Xử Lý Tín Hiệu Số & Hệ Thống

Xử Lý Tín Hiệu Số & Hệ Thống
Nguyễn Duy Bình-Kỹ sư chất lượng cao K53

1
Project 1 COMPUTING THE DTFT: FINITE-LENGTH SIGNALS

Trong project này chúng ta sẽ tập trung xử lý tín hiệu có độ dài hữu hạn. Điều này sẽ sử dụng
hàm DTFT cho ở dưới đây. Project làm việc với những tín hiệu dạng xung và phổ tần số DTFT của
chúng vì đây là những ví dụ dễ nhất cho tính toán phổ tần số của tín hiệu.
Chú ý:
Chúng ta cần 2 hàm để tính DTFT. Hàm MATLAB freqz sẽ dùng để xác định trong trường hợp tín
hiệu infinite-length, nhưng một hàm mới sẽ cần để tính DTFT của tín hiệu finite-length. Hàm được
gọi là DTFT(h,N)
function [H,W]=DTFT(h,N)
% DTFT calculate DTFT at N equally spaced frequencies
% usage: H=DTFT(h,N)
% h: finite-length input vector, whose length is L
% N: number of frequencies for evaluation over [-pi,pi]
% ==> constraint N>=L
% H: DTFT values (complex)
% W: (2nd output) vector of freqs where DTFT is computed
%
N=fix(N);
L=length(h);
h=h(:);
if(N<L)
error('DTFT: # data samles cannot exceed # freq samples')
end
W=(2*pi/N)*[0:(N-1)]';
mid=ceil(N/2)+1;
W(mid:N)=W(mid:N)-2*pi;

W=fftshift(W);
H=fftshift(fft(h,N));

Chúng ta không cần phải đưa vào biến độ dài L, vì nó sẽ được xác định bằng tính độ dài vector h.
Ngoài ra, khi tín DTFT là hàm tuần hoàn vùng từ là vùng tần số âm, nên phải sử dụng
hàm fftshift để sắp xếp lại miền tần số theo thứ tự. Sử dụng DTFT tính vector H, vẽ đồ thị trên
miền [- ] với chú ý là H(1) là tần số lấy mẫu ứng với
1.1 DTFT một xung
Cho tín hiệu độ rời rạc độ dài hữu hạn sau
1 with 0 n L
[ ]
0 elsewhere
r n
£ £
ì
=
í
î


a. Tìm phổ tần số của tín hiệu trên:
Xử Lý Tín Hiệu Số & Hệ Thống
Nguyễn Duy Bình-Kỹ sư chất lượng cao K53

2

2 2 2
-1
2
2 2 2

-1
2
-
-1
- -
-
- 0
- -
1
-
2
- -
1
2
1
-
2
1
2
2
2
1-
( ) [ ]*
1-
sin( )
( - )

sin( )
( - )
sin( )

( )
sin( )
sin( )
sin ( , )
sin( )
L L L
L
L
iL
L
i in in
i
n i
i i i
i
i i i
i
i
L
e
R e r n e e
e
L
e e e
e
e e e
L
R e e
a c L
q q q

q q q
q
q q q
q
q
q
q
w
w
q
q
q
q
w
+¥
= ¥ =
= = =
= =
=
=
å å

Vậy phổ tần số của tín hiệu đã cho là

-1
2
1
-
2
1

2
sin( )
( )
sin( )
L
i
i
L
R e e
w
w
w
w
=

Trong công thức trên ta có hàm số hay được dùng trong biến đổi DTFT gọi là hàm aliased sinc :

2
2
sin( )
sin ( , )
sin( )
L
a c L
w
w
w
=

b. Dùng hàm DTFT tính DTFT của tín hiệu xung 12 điểm. Sau đó vẽ đồ thị theo tần số góc ω

trong khoảng từ -π tới π.
x=ones(1,12);
[H,W]=DTFT(x,1024);
plot(W,abs(H));
grid on,xlabel('NORMALIZED FREQUENCY'),ylabel('abs(H(w))')
đồ thị biên độ

c. Tính hàm DTFT với số điểm lẻ L=15
x=ones(1,15);
Xử Lý Tín Hiệu Số & Hệ Thống
Nguyễn Duy Bình-Kỹ sư chất lượng cao K53

3
[H,W]=DTFT(x,1024);
plot(W,abs(H));
grid on,xlabel('NORMALIZED FREQUENCY'),ylabel('abs(H(w))')


Qua hai đồ thị biên độ ta thấy các điểm không của hàm asinc(ω,L) là cách đều nhau và
biên độ tại đó bằng 0. Đỉnh của biên độ đạt được là 15
d. Xác định các điểm không của hàm asinc(ω,L)
Các điểm không thỏa mãn hệ sau :
1
sin( ) 0
2
1
sin( ) 0
2
L
w

w
ì
=
ï
ï
í
ï
¹
ï
î

Suy ra
2k
L
p
w
=
do đó các điểm 0 là cách đều nhau và giá trị của nó được cho bởi công
thức trên.

2.2 M-file for asinc , Xây dựng M-file cho hàm asinc
Xây dựng hàm asinc(
w
,L) để tính giá trị hàm trực tiếp theo công thức giải tích. Hàm gồm có 2
biến đầu vào là : độ dài L và vector tần số . Tại điểm ta sẽ cho giá trị hàm số bằng L.
Hàm tính asinc(
w
,L)
function W = asinc(w,L)

L = fix(L);

len = length(w);

for i = 1:1:len

if(w(i)==0)

Xử Lý Tín Hiệu Số & Hệ Thống
Nguyễn Duy Bình-Kỹ sư chất lượng cao K53

4
W(i) = L; %#ok<AGROW>

else

W(i) = sin(1/2*L*w(i))./ sin(1/2*w(i)); %#ok<AGROW>

end

end


Sử dụng hàm asinc(
w
,L) ta tính trực tiếp phổ tần số của tín hiệu r[n] ban đầu. Sau đó vẽ đồ thị
biên độ và so sánh đồ thị thu được với đồ thị thu được từ sử dụng hàm DTFT trên.
Tính giá trị DTFT theo công thức trực tiếp:

x=ones(1,15);

[H,W]=DTFT(x,1024);%lấy vector tần số lấy mẫu.
H2=asinc(W,15).*exp(-j*W'*(15-1)/2);
plot(W,abs(H));
grid on,xlabel('NORMALIZED FREQUENCY'),ylabel('abs(H(w))')

Qua hai đồ thị biên độ tính theo hai cách trực tiếp và qua hàm DTFT ta thấy kết quả thu được từ
2 phương pháp là đồng nhất.












Project 2 DTFT SYMMETRIE, DTFT ĐỐI XỨNG

Xử Lý Tín Hiệu Số & Hệ Thống
Nguyễn Duy Bình-Kỹ sư chất lượng cao K53

5
Các tín hiệu finite-length thường được sử dụng có tính chất đối xứng để dễ tính DTFT hơn. Ví dụ
các xung hình chữ nhật là chẵn xung quanh điểm n=0 thì tính toán DTFT của nó sẽ là hàm thực
,chẵn theo đối số . Trong project 2, sáu loại đối xứng chính sẽ được xem xét và minh họa bởi
các ví dụ khác nhau.
Chú ý :

Cần thiết phải thay đổi hàm DTFT dể có thể chấp nhân một biến mới xác định thời điểm bắt đầu
của tín hiệu x[n]. Thông thường các tín hiệu bắt đầu được tính tại thời điểm n=0 bởi hàm DTFT
trong Project 1.
Một kĩ năng cần thiết nữa trong Project 2 là vẽ đồ thị DTFT để biểu diễn tính đối xứng. Thông
thương, các tần số góc được xác định trong khoảng từ 0 tới 2
p
. Tuy nhiên dể nghiên cứu
tính đối xứng của đồ thị DTFT chúng ta cần phải đưa chúng các tần số góc về khoảng từ
p p
- ®
.
Khi kiểm tra các đặc tính thực và ảo của biến đổi có thể phần tín hiệu là bằng không lại không
thực sự bằng 0. Điều đó có thể xảy ra do một số các giá trị vô cùng nhỏ trong quá trình làm
tròn. Nếu các giá trị đó nằm trong khoảng từ thì có thể bỏ qua và kết luận là do
làm tròn số gây ra. Tuy nhiên nếu cỡ thì chưa chắc đã là do làm tròn, trừ khi đã có một số
lượng lớn các phép tính đã được thực hiện.
Khi kiểm tra biến đổi là chẵn hay lẻ, nên sử dụng một chương trình để dịch chuyên biến đổi.
Nghĩa là ta cần phải có một hàm MATLAB mới để thực hiện tương tự với biểu diễn toán hạng của
dịch chuyển tần sô
( ) ( )
i i
Y e X e
w w
-
=
. Hàm số sẽ thực hiện biến đổi với cặp vector (H,W).
function [G, Wflipped ]= flipDTFT(H,W)
% FlipDTFT flip the DTFT G(w)=H(-w)
% usage:
% [ G,Wflipped] =flipDTFT(H,W)

% H=DTFT values complex
% W=frequency samples
% G= DTFT values
% Wflipped= flipped frequency domain lies within [-pi,pi)
%
N=length(H);
Wflipped=-W(N:-1:1);
G=H(N:-1:1);
%-----
% now get everything back into the [-pi,pi) interval
% assume that W was monotonically increasing
% so Wflipped is also increasing
%
jkl=find(Wflipped(:)'<-pi);
if(~isempty(jkl))
kk=[(length(jkl)+1):N jkl];
Wflipped(jkl)=Wflipped(jkl)+2*pi;
Wflipped=Wflipped(kk);
G=G(kk);
end
jkl=find(Wflipped(:)'>=(pi-100*eps));
if(~isempty(jkl))
kk=[jkl 1:(jkl(1)-1)];
Wflipped(jkl)=Wflipped(jkl)-2*pi;
Wflipped=Wflipped(kk);
G=G(kk);
end

2.1 Zero—Phase Signals, Tín hiệu pha 0
Xử lý các tín hiệu zero-phase là một điều khó khăn trong MATLAB vì hàm DTFT trong Project 1

cho rằng tín hiệu bắt đầu từ n=0 trong khi các tín hiệu zero-phase phải có tính đối xứng xung
quanh điểm n=0. Một cách để xử lý vấn đề này là ta thay đổi hàm DTFT bằng cách thêm vào 1
Xử Lý Tín Hiệu Số & Hệ Thống
Nguyễn Duy Bình-Kỹ sư chất lượng cao K53

6
biến mới xác định thời điểm bắt đầu của tín hiệu. Thời điểm ban đầu này sẽ làm thay đổi giá trị
hàm DTFT theo hệ thức
0
0
[ ] ( )
i n
DTFT i
x n n e X e
w
w
-
- ¬¾¾®

a. Xây dựng hàm DTFT_n0(x,n0,N) để thực hiện sự dịch chuyển thời gian của tín hiệu bằng
biến n0.
function [H,W]=DTFT_n0(h,n0,N) %#ok<INUSL>
%--
% usage [H,W]=DTFT_n0(h,n0,N)
% h finite-length input vector
% n0 xac dinh thoi diem bat dau tin hieu
% N number of freuencies for evaluation over [-pi,pi]
% H DTFT_n0 values
% W (2nd output) vector of frequencies for evaluation over
% [-pi,pi]

%
N=fix(N);
[X,W]=DTFT(h,N);
H=exp(i*n0*W).*X; %#ok<NASGU>

b. Kiểm tra DTFT_n0 bằng cách tính DTFT của một xung 21 điểm bắt đầu tại n=-10. Kết quả
sẽ là một hàm thực chẵn

Ta sử dụng tín hiệu
1 with -1 n 1
[ ]
0 elsewhere
r n
£ £
ì
=
í
î


x=ones(1,21);
[H,W]=DTFT_n0(x,10,25);
H
Kết quả tính với r[n] ,n0=10,N=25 như sau :
n=1 0.2492 + 0.0000i
n=13 21.0000
n=2 -0.6969 - 0.0000i
n=14 3.8438 - 0.0000i
n=3 1.0000 + 0.0000i
n=15 -3.3951 + 0.0000i

n=4 -1.0856 - 0.0000i
n=16 2.7111 + 0.0000i
n=5 0.9126 + 0.0000i
n=17 -1.8782 + 0.0000i
n=6 -0.4778 - 0.0000i
n=18 1.0000 - 0.0000i
n=7 -0.1831 - 0.0000i
n=19 -0.1831 - 0.0000i
n=8 1.0000 + 0.0000i
n=20 -0.4778 - 0.0000i
n=9 -1.8782 - 0.0000i
n=21 0.9126 - 0.0000i
n=10 2.7111 + 0.0000i
n=22 -1.0856 + 0.0000i
n=11 -3.3951 - 0.0000i
n=23 1.0000 - 0.0000i
n=12 3.8438 + 0.0000i
n=24 -0.6969 - 0.0000i

n=25 0.2492 + 0.0000i

Theo bảng số liệu ta thấy phổ tần số là hoàn toàn thực và giá trị phần ảo là bằng 0. Đồng thời
các giá trị thu được cũng đối xứng qua điểm n=0 nen là hàm chẵn.Điều đó phù hợp với lý thuyết.
c. Vẽ đồ thị của DTFT trên
Đồ thị phần thực
Xử Lý Tín Hiệu Số & Hệ Thống
Nguyễn Duy Bình-Kỹ sư chất lượng cao K53

7

Đồ thị biên độ

Vậy từ đồ thị ta lại thấy rằng DTFT của tín hiệu r[n] là chẵn và đối xứng, phù hợp với lý
thuyết.
Giá trị phần ảo cỡ không hoàn toàn bằng không nhưng đó là do sai số làm tròn trong
quá trình tính toán. Chúng ta hoàn toàn có thể bỏ qua nó mà không ảnh hưởng tới kết quả
thu được
d. Chứng minh phần ảo là bằng 0 và pha biến thien từ 0 tới
p

1 1
( ) [ ]*
1 ( ) 1 2 cos( )
L
i in in
L
L L
in in
R e r n e e
e e n
w w w
w w
w
+¥
- -
-¥ -
-
= =
= + + = +
å å

å å

Từ chứng minh trên ta thấy phần ảo là bằng 0. Pha của
( )
i
R e
w
biến thiên từ 0 của thành phần
cố định 1 tới L . Mặt khác
Xử Lý Tín Hiệu Số & Hệ Thống
Nguyễn Duy Bình-Kỹ sư chất lượng cao K53

8
2*
k
N
p
w
=

1... 1k N= -

Do dó pha của
( )
i
R e
w
biến thiên từ 0 tới
Cũng cần phải chú ý là sự đối xứng này chỉ có thể quan sát khi số xung là lẻ, nếu số xung là
chẵn thì còn phải kể tới một sự trễ pha của nửa tín hiệu.

2 .2 Triangular Pulse
Cho một tín hiệu đối xứng khác dạng tam giác như sau
L - n with 0 n<
[ ] L+n w -L<n<0
0 es
L
n ith
lewhere
£
ì
ï
D =
í
ï
î

Độ dài của tín hiệu là 2L-1 và có thể xác định bằng tích chập của 2 xung hình chữ nhật có L
điểm. Kết quả của DTFT là một hàm asinc được làm vuông, pha bằng 0 vì đây là một tín hiệu
đối xứng.
a. Vẽ đồ thị 21 điểm xung trong khoảng
20 20n- £ £
. Sau đó tính DTFT của nó bằng hàm
DTFT_n0 và vẽ đồ thị kết quả trong khoảng
p w p
- £ <

Đồ thị:

Đồ thị phần ảo của DTFT

Xử Lý Tín Hiệu Số & Hệ Thống
Nguyễn Duy Bình-Kỹ sư chất lượng cao K53

9

Đồ thị phần thực của DTFT

Đồ thị biên độ của DTFT


Xử Lý Tín Hiệu Số & Hệ Thống
Nguyễn Duy Bình-Kỹ sư chất lượng cao K53

10
2.3 Symmetries in th DTFT
Có nhiều các đặc tính đối xứng trong miền thời gian và tần số. Một nhóm các đặc tính dùng cho
các hàm thuần thực hoặc thuần ảo, những thuộc tính khác cho hàm chẵn hoặc hàm lẻ. Ví dụ,
DTFT của hàm chẵn là hàm chẵn. Mỗi ví dụ dưới đây sẽ tập trung vào một loại đối xứng. Đối xứng
trong miền tần số có thể được thể hiện bằng vẽ đồ thị phần thực và phần ảo (hoặc biên độ và
pha) va sử dụng thêm hàm flipDTFT để kiểm tra .
a. DTFT của một tín hiệu thực là một đối xứng liên hợp, , nghĩa là liên
hợp của DTFT giống như là dịch chuyển nó. Ví dụ với tín hiệu x[n]= với
. Vẽ đồ thị biên độ và pha của DTFT và chứng tỏ rằng nó giống liên hợp phức
đối xứng.
So sánh biên độ
a=0.9;
nn=[0:1:21];x=a.^nn.*cos(2*pi*nn/sqrt(31)); %#ok<NBRAK>
[H,W]=DTFT(x,1024);
[Y,Wflip]=flipDTFT(H,W);
subplot(211), plot(W,abs(H))

xlabel('NORMALIZED FREQUENCY'),ylabel('Abs(H(w))'),grid on
subplot(212),plot(W,abs(Y))
xlabel('NORMALIZED FREQUENCY'),ylabel('Abs of flipDTFT (H(w))'),grid on





So sánh pha
a=0.9;
nn=[0:1:21];x=a.^nn.*cos(2*pi*nn/sqrt(31)); %#ok<NBRAK>
Xử Lý Tín Hiệu Số & Hệ Thống
Nguyễn Duy Bình-Kỹ sư chất lượng cao K53

11
[X,W]=DTFT(x,1024);
[Y,Wflip]=flipDTFT(X,W);
subplot(211), plot(W,angle(X))
xlabel('NORMALIZED FREQUENCY'),ylabel('Arg(H(w))'),grid on
subplot(212),plot(W,angle(Y))
xlabel('NORMALIZED FREQUENCY'),ylabel('Arg of flipDTFT (H(w))'),grid on




Dựa vào đồ thị ta có thể thấy đồ thị biên độ của DTFT và đồ thị liên hợp đối xứng là bằng
nhau, đồ thị pha của DTFT và của liên hợp phức đối xứng là đối nhau qua trục tung . Đó
chính là tính chất cần tìm.

b. Nếu tín hiệu là thuần ảo, DTFT của nó sẽ là liên hợp phản đối xứng. Sử dụng hàm x[n] từ

phần trên, định nghĩa hàm y[n] =jx[n].
So sánh biên độ
a=0.9;
nn=[0:1:21];x=j*a.^nn.*cos(2*pi*nn/sqrt(31)); %#ok<NBRAK>
[X,W]=DTFT(x,1024);
[Y,Wflip]=flipDTFT(X,W);
subplot(211), plot(W,abs(X))
xlabel('NORMALIZED FREQUENCY'),ylabel('Abs(H(w))'),grid on
subplot(212),plot(W,abs(Y))
xlabel('NORMALIZED FREQUENCY'),ylabel('Abs of flipDTFT (H(w))'),grid on
Xử Lý Tín Hiệu Số & Hệ Thống
Nguyễn Duy Bình-Kỹ sư chất lượng cao K53

12

So sánh phase
a=0.9;
nn=[0:1:21];x=j*a.^nn.*cos(2*pi*nn/sqrt(31)); %#ok<NBRAK>
[X,W]=DTFT(x,1024);
[Y,Wflip]=flipDTFT(X,W);
subplot(211), plot(W,angle(X))
xlabel('NORMALIZED FREQUENCY'),ylabel('Arg(H(w))'),grid on
subplot(212),plot(W,angle(Y))
xlabel('NORMALIZED FREQUENCY'),ylabel('Arg of flipDTFT (H(w))'),grid on
Xử Lý Tín Hiệu Số & Hệ Thống
Nguyễn Duy Bình-Kỹ sư chất lượng cao K53

13

Ta thấy biên độ của DTFT và của liên hợp phức phản đối xứng là bằng nhau. pha của

chúng đối nhau. Đó là tính chất cần tìm.
c. Một hàm chẵn trong miền thời gian cũng cho một hàm chẵn trong miền tần số. sừ dụng
tín hiệu trong miền là chẵn. Tính DTFT của hàm trên
và chứng minh nó chẵn với
Đồ thị phần thực
nn=[-29:1:29];
x=exp(i*2*pi*nn.^2/25);
[H,W]=DTFT_n0(x,30,1024);
plot(W,real(H))
xlabel('NORMALIZED FREQUENCY'),ylabel('Real(H(w))'),grid on
Xử Lý Tín Hiệu Số & Hệ Thống
Nguyễn Duy Bình-Kỹ sư chất lượng cao K53

14


Đồ thị phần ảo
nn=[-29:1:29];
x=exp(i*2*pi*nn.^2/25);
[H,W]=DTFT_n0(x,30,1024);
plot(W,imag(H))
xlabel('NORMALIZED FREQUENCY'),ylabel('Im(H(w))'),grid
on
Từ đồ thị ta thấy phần thực và ảo của DTFT đều đối xứng qua trục tung do đó đây là hàm
chẵn. phù hợp với các tính toán lý thuyết
d. Với tín hiệu lẻ trong khoảng , thì DTFT của nó sẽ là hàm lẻ theo

Đồ thị phần thực
x=[-19:1:19];