3 toan cao cap toan tai chinh

TOÁN CAO CẤP VÀ ỨNG DỤNG
TOÁN CAO CẤP VÀ ỨNG DỤNG............................................................................................................... 1
PHẦN 1. ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH (30 tiết) ..................................................................................................... 4
Chương 0: Giới thiệu về hàm số trong kinh tế ....................................................................................... 4
0.1. Một số khái niệm cơ bản .............................................................................................................. 4
0.2. Giới hiệ mộ ố h m ố ơ c
0.3. Giới hiệ mộ ố m h nh

cơ bản ...................................................................................... 6
n inh ế ....................................................................................... 7

Chương 1. Ma trận v định thức ........................................................................................................... 11
1.1. Khái niệm cơ bản về ma trận ..................................................................................................... 11
1.2. Phé

n cơ bản của ma trận ................................................................................................... 14

1.2.1. Phép cộng hai ma trận cùng c p ......................................................................................... 14
1.2.2. Phé nhân v hướng của ma trận với một số thực ............................................................ 15
1.2.3. Tích của hai ma trận ............................................................................................................ 15
1.3 Định thức ..................................................................................................................................... 18
1.3.1. Định thức của ma trận vuông.............................................................................................. 18
1.3.3. Định thức của ma trận tích.................................................................................................. 23
1.4. Hạng của ma trận ....................................................................................................................... 23
1.4.1. Định nghĩa ........................................................................................................................... 23
1.4.3. Cách tính hạng của ma trận................................................................................................. 24
1.5. Ma trận nghịch đảo .................................................................................................................... 25
1.5.1. Khái niệm ............................................................................................................................. 25
1.5.2. Điều kiện tồn tại và duy nh t .............................................................................................. 26
1.5.3. Phương h

m ma rận nghịch đảo ................................................................................ 27

Chương 2. Hệ hương r nh

yến tính ................................................................................................ 28

2.1. Khái niệm cơ bản ........................................................................................................................ 28
2.2. Phương h

giải ....................................................................................................................... 29

2.2.1. Hệ Cramer ........................................................................................................................... 29
2.2.2. Phương h

Ga

............................................................................................................ 33

2.2.3. Sử dụng máy tính bỏ túi ...................................................................................................... 35
2.3. M h nh cân đối liên ngành........................................................................................................ 36
a) Bảng cân đối liên ngành dạng hiện vật ..................................................................................... 37
b) Bảng cân đối liên ngành dạng giá trị ......................................................................................... 39

1


Chương 3. Kh ng gian véc ơ Rn ............................................................................................................ 43
3.1. Khái niệm, tính ch t .................................................................................................................... 43
3.2. Mối quan hệ tuyến tính giữa c c véc ơ ..................................................................................... 44
3.3. Kh ng gian véc ơ c n ................................................................................................................ 45

PHẦN 2. GIAỈ TÍCH TRONG KINH TẾ VÀ KINH DOANH (30 iế ) ............................................................. 47
Chương 1. Bổ rợ giải ích h m ố 1 biến ố v ứng dụng..................................................................... 47
1.1. Đạo hàm và vi phân .................................................................................................................... 47
1.2. Sự liên tục của hàm số ................................................................................................................ 51
1.3. Tích phân hàm một biến (chỉ giới thiệ định nghĩa, ý nghĩa v c ch ính) ................................. 52
2.3.1. Tích phân b

định ............................................................................................................... 52

Tích hân x c định ......................................................................................................................... 53
2.3.3. Tích phân suy rộng............................................................................................................... 55
1.4. Khai triển Taylor của hàm một biến số ....................................................................................... 56
Chương 2. Gải ích h m ố hai biến ố v ứng dụng ............................................................................. 57
2.1. Đạo hàm riêng và vi phân hàm 2 biến ........................................................................................ 57
2.1.1. Giới thiệu về giới hạn và liên tục của hàm hai biến............................................................. 57
2.1.2. Đạo hàm riêng, vi phân........................................................................................................ 57
2.2. Cực trị hàm hai biến ................................................................................................................... 57
2.2.1. Cực trị h ng điều kiện........................................................................................................ 58
2.2.2. Cực trị có điều kiện .............................................................................................................. 61
Chương 3. Ứng dụng giải tích hàm số 1-2 biến số trong phân tích kinh tế ........................................... 68
3.1. Sự hay đổi tuyệ đối .................................................................................................................. 68
3.2. Sự hay đổi ương đối................................................................................................................. 68
3.3. Quan hệ giữa hàm bình quân và hàm cận biên, ứng dụng phân tích kinh tế ............................ 69
3.4. Quy luật lợi ích cận biên giảm dần ............................................................................................. 70
3.5. Tính hệ số ăng rưởng với một số dạng hàm kinh tế ................................................................ 70
3.6.

c định h m ổng hi biế h m cận bi n .................................................................................. 71

3.7.

c định h m

vốn dựa v

3.8. Tính h ng dư của ngư i i

h m đầ
d ng v

ư .............................................................................. 71

h ng dư của nh

ản x

............................................ 71

PHẦN 3. TÍNH TỐN TÀI CHÍNH CƠ BẢN (15 ) ...................................................................................... 74
Chương 1. Mộ ố h i niệm ch ng về hị rư ng

i chính ................................................................. 74

Lượng cung tiền ........................................................................................................................ 75
Lạm phát ...................................................................................................................................... 75
Trái phiếu ....................................................................................................................................... 76

2

Lãi su t ........................................................................................................................................ 77
Kh u hao ..................................................................................................................................... 78
Các sản phẩm nợ ...................................................................................................................... 78
Cổ phiếu ...................................................................................................................................... 82
Chương 2. Tính

n

i chính cơ bản ................................................................................................... 82

2.1. Một số công thức về lãi su t và các v n đề li n
2.1.1 Lãi đơn v chiết kh

an đến lãi su t ............................................ 82

đơn .................................................................................................... 82

2.1.2. Lãi kép và chiết kh u lãi kép ................................................................................................ 83
2.1.3. Dòng tiền đều ...................................................................................................................... 86
2.1.4. Trái phiếu............................................................................................................................. 90
2.1.5. Thẩm định dự n đầ

ư ..................................................................................................... 91

2.1.6. Kh u hao.............................................................................................................................. 92
2.2. Sử dụng MS Excel phân tích giá trị của hương n đầ
2.2.1. Tính giá trị hiện tại của khoản đầ
2.2.2. Tính giá trị ương lai của khoản đầ
2.2.4. Tính thu nhập thực tế hi có
2.2.4. Một số bài tậ li n

ư ........................................................ 95

ư ................................................................................. 95
ư ............................................................................... 97

c động của thuế thu nhập và lạm phát .............................. 98

an đến dòng tiền đều ..................................................................... 100

3


PHẦN 1. ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Chương 0: Giới thiệu về hàm số trong kinh tế
0.1. Một số khái niệm cơ bản
Biến là một đại lượng mà dấu của nó có thể biến thiên, tức là nó có thể nhận các
giá trị khác nhau. Chẳng hạn, trong các phân tích kinh tế thường gặp các loại biến sau
đây:
- P: Giá cả (price),
-

Lợi nhuận (profit),

- R: Doanh thu (revenue),
- C: Chi phí (cost),
-Y: Thu nhập (income),
Trong các hàm số kinh tế toán, các biến được phân loại như sau:
- Biến nội sinh. Nếu một mơ hình kinh tế được xây dựng một cách chính xác thì thơng
qua việc giái quyết mơ hình có thể xác định được các giá trị của một biến , chẳng hạn

như xác định được mức giá cả làm cân bằng thị trường hay mức sản phẩm đầu ra làm
tối đa hóa lợi nhuận. Các biến như vậy được gọi là biến nội sinh, giá trị của chúng
được xác định từ các mối liên quan nội tại của mơ hình.
- Biến ngoại sinh. Biến ngoại sinh là các biến với các giá trị được xác định bởi các yếu
tố, các lực lượng xuất hiện ngồi mơ hình.Vì vậy, độ lớn của các biến ngoại sinh được
coi như các số liệu cho trước.
Một biến kinh tế có thể là nội sinh hay ngoại sinh tùy theo mơ hình hay lí thuyết
đang được xem xét. Chẳng hạn , khi nghiên cứu mơ hình cân bằng thị trường thì giá cả
P của một loại hàng hóa là biến nội sinh. Nhưng nếu nghiên cứu lí thuyết về chi phí
của người tieu dùng thì P lại là biến ngoại sinh, vì P được coi là số liệu đầu vào cho
mơ hình này.
Ngược lại so với biến, hằng số là một đại lượng có giá trị khơng thay đổi.Hằng số
có thể được kí hiệu bởi các sô hoặc một cách tổng quát hơn bằng các chữ.Trong các
trường hợp khi hằng số được kí hiệu bởi các chữ, chúng ta có các hàm số dạng tham
số.Giá trị của các tham số được coi là hằng số chỉ sau khi chúng được xác định.

4


Các tham số thường được kí hiệu bởi các chữ cái thường a, b, c hay
các biến nội sinh được kí hiệu bởi các chữ in như P, Q, R, C hay

…Còn

Λ… Biến ngoại

sinh được phân biệt với các biến nội sinh bởi các chỉ số dưới “0”, chẳng hạn như P 0,
C0 …
Các loại phương trình
Mối liên quan giữa các biến, hằng hay tham số được thể hiện thông qua các

phương trình . Chúng ta sẽ xem xét các loại phương trình thường gặp trong mơ hình
kinh tế như sau:
-Phương trình định nghĩa (definition equation)
-Phương trình hành vi (behavioral equation)
-Phương trình cân bằng (equilibrium equation)
 Phương trình định nghĩa là một đẳng thức mà hai biểu thức thay thế ở cả hai vế
của nó có cùng một ý nghĩa. Như vậy, dấu”=” trong phương trình định nghĩa phải
được hiểu như dấu

(đồng nhất thức)

Ví dụ. Lợi nhuận được định nghĩa thơng qua phương trình định nghĩa sau : = R –
C, tức là lợi nhuận thu được chính là phần dôi ra của doanh thus au khi đã trừ đi chi
phí.
 Phương trình hành vi phản ánh cách thức một biến thay đổi phụ thuộc vào sự
thay đổi giá trị của các biến khác. Nó có thể bao hàm các hành vi có ý thức của con
người (chẳng hạn, khi xét mối liên quan của tiêu dùng tổng hợp phụ thuộc vào thu
nhập quốc dân) hoặc các hành vi vô thức ( chẳng hạn khi xem xét mối liên quan giữa
tổng chi phí sản xuất và mức sản phẩm đầu ra). Tuy nhiên, để thiết lập một phương
trình hành vicần tuân theo các giả thiết nhất định. Như vậy, dấu “=” trong hành vi phải
được hiểu như một mối liên quan phụ thuộc.
Ví dụ. Xét các ví dụ sau đây về phương trình hành vi với C là chi phí và Q là mức
sản xuất đầu ra :
- Chi phí C = 75 + 10Q
- Chi phí C = 110 + Q2
Các điều kiện sản xuất được mô tả trong hai phương trình trên là khác nhau. Trong
phương trình thứ nhất chi phí cố định là 75, cịn trong phương trình thứ hai chi phí cố
định là 110. Sự biến thiên của chi phí C cũng là khác nhau trong hai phương trình trên.
5

Trong phương trình thứ nhất khi Q tăng lên một đơn vị thì C tăng lên 10 đơn vị,cịn
trịng phương trình thứu hai khi Q tăng lên một đơn vị thì Q tăng lên một lượng là :
(Q+1)2- Q2 = 2Q+1. Chẳng hạn nếu Q tăng từ 12 lên 13 thì C tăng lên 25 đơn vị.
 Phương trình cân bằng mơ tả điều kiện cân bằng, nói đúng hơn là các điều kiện
cần thiết để đạt tới tình trạng cân bằng.
Ví dụ. Xét các ví dụ sau đây về phương trình cân bằng :
-Qd=Qs : lượng cầu phải bằng lượng cung
- S = 1 : Tổng tiết kiệm phải bằng tổng đầu tư
Phương trình thứ nhất mơ tả điều kiện cân bằng trong mơ hình cân bằng thị
trường, cịn phương trình thứ hai mơ tả điều kiện cân bằng trong mơ hình thu nhập
quốc dân. Về bản chất, phương trình cân bằng khác vơi phương trình định nghĩa và
phương trình hành vi. Phương trình cân bằng có một ý nghĩa quan trọng trong các
phân tích kinh tế để tìm ra các trạng thái cân bằng.
02

iới thiệu một số h m số sơ cấp cơ bản
Hàm số: Giả sử các tập hợp X và Y là miền biến thiên của các đại lượng biến

thiên x và y.
Đại lượng biến thiên y được gọi là hàm số của đại lượng biến thiên x nếu ứng
với mỗi giá trị xX có tương ứng với chỉ 1 giá trị y  Y theo một qui tắc f nào đó.
Ta viết y=f(x), x là đối số của y, và y là hàm số của x.
Trong chương trình này, ta chỉ xét những hàm số đơn trị, tức là ứng với mỗi giá
trị của x chỉ có tương ứng duy nhất một giá trị của y. Về mặt hình học điều đó có nghĩa
là trong miền xác định của hàm số, mọi đường thẳng song song với trục tung chỉ cắt
đồ thị của hàm số tại duy nhất 1điểm.
Hàm nhiều biến: X=(x1, x2, …, xn) D  Rn; u  R.
Đại lượng biến thiên u được gọi là hàm số của X hay của n biến x1, x2, …, xn
nếu ứng với mỗi giá trị XD có tương ứng 1 giá trị u thuộc R theo một qui tắc f nào

đó.
Ký hiệu: u = f(X) = f(x1, x2, …, xn)

6


- Đư ng mức: Đường mức của hàm số u = f(x1, x2, …, xn) là tập hợp các tổ hợp đầu
vào có cùng một mức đầu ra:

 x , x ,..., x  | f  x , x ,..., x   u 
1

2

n

1

2

n

0

- Một số hàm số sơ cấp cơ bản:
+) Hàm luỹ thừa x , hàm mũ  x , hàm logarit log ax
+) Các hàm lượng giác
+) Các hàm lượng giác ngược
- Hàm sơ cấp là hàm được hình thành từ các hàm sơ cấp cơ bản nhờ một số hữu hạn
các phép lấy tổng, hiệu, tích, thương, hàm hợp trên các hàm sơ cấp cơ bản.

03

iới thiệu một số m hình tốn inh tế

 H m cung v h m cầu
Khi phân tích thị trường hàng hóa và dịch vụ các nhà kinh tế sử dụng khái niệm
hàm cung và hàm cầu để biểu diễn sự phụ thuộc của lượng cung và lượng cầu đối với
một loại hàng hóa vào giá của hàng hóa đó. Hàm cung và hàm cầu có dạng:
Hàm cung: Qs=S(p)
Hàm cầu: Qd=D(p)
Trong đó p là giá hàng hóa, Qs là lượng cung (tức là lượng mà người bán hàng đồng ý
bán)
Qd là lượng cầu (tức là lượng mà người mua bằng lịng mua).
Khi xét xem các mơ hình hàm cung và hàm cầu ở dạng nêu trên, người ta giả
thiết rằng các yếu tố khác không thay đổi. Quy luật của thị trường trong kinh tế học nói
rằng, đối với các hàng hóa thơng thường, hàm cung là hàm đơn điệu tăng, hàm cầu là
hàm đơn điệu giảm. Điều này có nghĩa là: với các yếu tố khác giữ nguyên, khi giá
hàng hóa tăng lên thì người bán sẽ muốn bán nhiều hơn và người mua sẽ mua ít đi.
Các nhà kinh tế còn gọi đồ thị của hàm cung và hàm cầu là đường cung và đường cầu.
Giao điểm của đường cung và đường cầu gọi là điểm cân bằng của thị trường.
Chú ý: Trong các tài liệu kinh tế người ta thường sử dụng trục hoành để biểu
diễn lượng Q và trục tung để biểu diễn giá P. Trong kinh tế học nhiều khi người ta vẫn
gọi hàm ngược của hàm Qs=S(p) là hàm cung và hàm ngược của hàm Qd=D(p):
Qs=S(p)  p=S-1(Qs)

7


Qd=D(p)  p=D-1(Qd)
 Hàm cung và hàm cầu trên thị trư ng nhiều hàng hóa liên quan

Hàm cung (hàm cầu) biểu diễn lượng hàng hóa mà người bán bằng lịng bán
(người mua bằng lòng mua) ở mỗi mưc giá. Lượng cung và lượng cầu đối với một loại
hàng hóa trên thị trường không những phụ thuộc vào giá trị của hàng hóa đó mà cịn bị
chi phối bởi giá của các hàng hóa liên quan và thu nhập của người tiêu dùng. Trên thị
trường n hàng hóa liên quan hàm cung hàm hóa i và hàm cầu đối với hàng hóa i có
dạng:
Qsi = Si(p1,p2,...pn)
Qdi = Di(p1,p2,...pn)
Trong đó Qsi là lượng cung hàng hóa i
Qdi là lượng cầu đối với hàng hóa i
 Hàm sản xuất ngắn hạn
Các nhà kinh tế học sử dụng khái niệm hàm sản xuất để mơ tả sự phụ thuộc của
sản lượng hàng hóa của một nhà sản xuất vào các yếu tố đầu vào, gọi là yếu tố sản
xuất, như vốn và lao động...v..v..
Trong kinh tế học khái niệm ngắn hạn và dài hạn không được xác định bằng một
khoảng thời gian cụ thể mà được hiểu theo nghĩa như sau:
Ngắn hạn là khoảng thời gian mà ít nhất một trong các yếu tố sản xuất không
thể thay đổi. Dài hạn là khoảng thời gian mà tất cả các yếu tố sản xuất có thể thay đổi.
Khi phân tích sản xuất, có hai yếu tố quan trọng là Vốn ( Capital) và Lao động
(Labor) được kí hiệu là K và L. Trong ngắn hạn thì K khơng thay đổi, do đó hàm sản
xuất ngắn hạn có dạng
Q=f(L)
trong đó: L là lực lượng lao dộng được sử dụng, Q là mức sản lượng tương ứng.
 H m sản xuất d i hạn
Hàm sản xuất là hàm số biểu diễn sự phụ thuộc của sản lượng tiềm năng của
một doanh nghiệp vào lượng sử dụng các yếu tố sản xuất. Khi phân tích hoạt động sản
xuất, các nhà kinh tế thường lưu tâm dến 2 yếu tố sản xuất quan trọng nhất là tư bản
(K) và lao đông ( L).
8

Hảm sản xuất có dạng : Q= f(K,L). Hàm số ngày cho biết số lượng sản phẩm
mà doanh nghiệp có khả năng sản xuất được ở mỗi sức sử dụng kết hợp vốn và lao
động. Khi phân tích sản xuất người ta giả thiết rằng các doanh nghiệp khai thác hết
khả năng công nghệ, tức là Q luôn luôn là sản lượng tiềm năng. Do đó hàm sản xuất f
là do công nghệ xác định. Dạng hàm sx mà các nhà kinh tế học hay sử dụng là hàm
Cobb-Douglas:
Q=a.KαLβ
(trong đó a, α,  là các hằng số dương).
Đường mức của hàm sản xuất có phương trình:
f(K.L)=Qo ( Qo=const>0)
- Đường đồng lượng
Đường mức là tập hợp các yếu tố sản xuất (K.L) cho cùng một mức sản lượng
Qo cố định.Trong kinh tế học thuật ngữ “ đường mức” của hàm sản xuất có tên gọi là
đường đồng lượng hay đường đẳng lượng.
 H m doanh thu, h m chi phí v h m lợi nhuận
- Hàm doanh thu là hàm số biểu diễn sự phụ thuộc của tổng doanh thu (TR) vào sản
lượng (Q):
TR=TR(Q)
Tổng doanh thu của nhà sản xuất cạnh tranh là hàm bậc nhất:
TR=p.Q
Đối với nhà sản xuất độc quyền tổng doanh thu được xác định: TR=D-1(Q).Q
- Hàm chi phí là hàm số biểu diễn sự phụ thuộc của tổng chi phí sản xuất (TC) và sản
lượng (Q):
TC=TC(Q)
- Hàm chi phí tính theo các yếu tố sản xuất thì hàm chi phí là hàm số của các yếu tố
sản xuất:
TC = wkK + wLL + Co
trong đó wk: là giá thuê một đơn vị tư bản, wL: là giá thuê một đơn vị lao động, Co: là
chi phí cố định.

9


- Hàm chi phí kết hợp: Trên thực tế có nhiều doanh nghiệp sản xuất kết hợp nhiều loại
sản phẩm. Giả sử doanh nghiệp sản xuất n loại sản phẩm, với trình độ cơng nghệ nhất
định để sản xuất Q1 đơn vị sản phẩm 1, Q2 đơn vị sản phẩm 2,..., Qn đơn vị sản phẩm n
thì doanh nghiệp phải bỏ ra khoản chi phí TC. Khi đó ta có hàm chi phí kết hợp như
sau:
TC = TC(Q1.Q2.....,Qn)
- Hàm lợi nhuận là hàm số biểu diễn sự phụ thuộc của tổng lợi nhuận (π) vào sản
lượng (Q):
π=π(Q)
Hàm lợi nhuận được xác định thông qua hàm doanh thu và hàm chi phí
π = TR(Q) - TC(Q)
Nếu doanh nghiệp cạnh tranh có hàm sản xuất Q=f(K.L) và giá thị trường của sản
phẩm là p thì tổng doanh thu của doanh nghiệp là hàm số của K, L:
TR=pQ=pf(K,L)
Tổng lợi nhuận của một doanh nghiệp cạnh tranh là hàm số:
π = pf(K,L) - (wKK+wLL+Co)

 Hàm tiêu dùng và hàm tiết kiệm
-Hàm tiêu dùng để biểu diễn sự phụ thuộc của biến tiêu dùng C (consumption) vào
biến thu nhập Y (Income):
C=f(Y)
Khi thu nhập tăng người ta thường có xu hướng tiêu dùng nhiều hơn, do đó hàm tiêu
dùng là hàm đồng biến.
-Hàm tiết kiệm là hàm số biểu diễn sự phụ thuộc của biến tiết kiệm S và biến thu nhập
Y : S=S(Y)
 H m lợi ích

Ta gọi mỗi tổ hợp hàng hóa là một túi hàng. Giả sử cơ cấu tiêu dùng gồm có n mặt
hàng. Mỗi túi hàng là một bộ n số thực X=(x1,x2,...,xn) trong đó xi là lượng hàng hóa Ti
(i=1,2,3...,n). Hàm lợi ích là hàm đặt tương ứng với mỗi túi hàng X với một giá trị lợi
ích U nhất định theo quy tắc : túi hàng nào được ưa chuộng hơn thì được gán trí trị lợi
ích lớn hơn. Hàm lợi ích có dạng tổng qt như sau:
U=U(x1,x2,x3....,xn)
10


Chú ý: hàm lợi ích được sử dụng để biểu diễn sở thích của người tiêu dùng: túi hàng
nào được ưa thích hơn thì được gán giá lợi ích lớn hơn. Giá trị lợi ích U chỉ mang ý
nghĩa ước lệ, Nếu V=g(U) là một hàm dương đồng biến thì hai hàm lợi ích
U=U(x1,x2,....,xn) và V=g[U(x1,x2,...,xn)] cùng mơ tả một sở thích
Đường àng qu n là đường mức của hàm lợi ích.

Chương 1 Ma trận và định thức
Ma trận và định thức là một công cụ hữu hiệu giúp chúng ta giải quyết các bài tốn
về khơng gian vectơ Rn và các bài tốn về hệ phương trình tuyến tính dễ dàng hơn.
Đặc trưng của đại số ma trận là xác định các cấu trúc đại số trên tập hợp các ma trận
cùng cấp bằng cách định nghĩa luật hợp thành trong và ngồi trên tập ấy. Mục đích
trong chương này là chúng ta sẽ tập trung nghiên cứu tính chất của lý thuyết ma trận
và lý thuyết định thức để làm cơ sở liên hệ giải quyết các bài tốn về khơng gian
vectơ, phương trình tuyến tính, và dạng toàn phương.
1.1. Khái niệm cơ bản về ma trận
Cho m, n là các số nguyên dương; K là trường R hoặc C.
Định nghĩa 1 Một bảng số chữ nhật gồm m  n phần tử được xếp thành m dòng và
n cột:
 a11
a
A =  21



a m1

a12
a 22
a m2

a1n 
a 2n 


a mn 

gọi là ma trận cấp m  n. Số aij là phần tử của ma trận A nằm ở giao điểm của hàng i
và cột j (aij  K).
Trong chương này, chúng ta chủ yếu xét các ma trận thực, tức là ma trận có các
phẩn tử aij là các số thực.
Để ký hiệu ma trận, người ta thường dùng hai ngoặc vuông như trên hay hai dấu
ngoặc trịn và có thể viết gọn như sau:

11


A = [aij]m×n hoặc A = (aij)m  n hoặc Amn
 2 3 7 
. Đây là một ma trận cấp 23 có:
6 1

Ví dụ 1. Cho A = 

0

a11 = 2, a12 = -3, a13 = 7
a21 = 0, a22 = 6, a23 = -1
Ma trận cột là ma trận chỉ có một cột Am1 (n = 1).
Ma trận dịng là ma trận chỉ có một dịng A1n (m = 1).
Ma trận không là ma trận mà tất cả các phần tử của nó đều bằng 0. Ký hiệu ma trận
không cấp m  n là mn hoặc 
0 0 0

= 
 là ma trận không cấp 23
0 0 0
Ma trận đối của ma trận A = (aij)mn là ma trận (-aij)mn, ký hiệu -A.
1 2 3 4 
 1 2 3 4
có ma trận đối là: -A = 


6 7 8 
 5 6 7 8

A= 
5

Ma trận vng là ma trận có số dịng bằng số cột
Ma trận A = (aij)mn có số hàng m bằng số cột n, ta gọi A là ma trận vuông cấp n;
khi đó, đường chéo chính của A đi từ góc trên bên trái xuống góc dưới bên phải chứa
các phần tử a11, a22, ..., ann, đường chéo phụ của A đi từ góc dưới bên trái lên góc trên
bên phải chứa an1, an-1 2, ..., a1n.

Ma trận tam giác trên là ma trận vng có mọi phần tử nằm bên dưới đường chéo
chính đều bằng 0:
 a11
0
A= 


 0

a12
a 22
0

a1n 
a 2n 


a nn 

(aij = 0 khi i > j)

Ma trận tam giác dưới là ma trận vng có mọi phần tử nằm bên trên đường chéo
chính đều bằng 0:
 a11 0
a
a
A =  21 22


a n1 a n 2

0 
0 


a nn 

12

(aij = 0 khi i < j)


Ma trận đường chéo là ma trận vng có mọi phần tử ở ngồi đường chéo chính
đều bằng 0:
 a11
0



 0

0 
0 
(aij = 0, i  j)


a nn 

0
a 22

0

Ma trận đơn vị là ma trận đường chéo có các phần tử thuộc đường chéo chính đều
bằng 1, ký hiệu là E. Ma trận đơn vị cấp n ký hiệu là En.
1 0
0 1
E= 


0 0

0
0 


1

Ma trận chuyển vị của ma trận A là ma trận ký hiệu AT, nhận được từ ma trận A
bằng cách viết các dòng của A thành các cột với thứ tự tương ứng. Như vậy:
 a11
a
A =  21


a m1

a12
a 22
a m2

a1n 
a 2n 


a mn 



 a11
a
AT =  12


 a1n

a 21
a 22
a 2n

a m1 
a m 2 


a mn 

 4 1 
 4 3 2 
Ví dụ 2. A =  3 0  thì AT = 

 1 0 7

 2 7 

Ma trận bậc thang dòng là ma trận có phần tử khác khơng đầu tiên của dịng dưới
(tính từ trái sang) ln đứng bên phải phần tử khác khơng đầu tiên của dịng trên. Ma
trận bậc thang cột là ma trận có phần tử khác khơng đầu tiên của cột bên phải (tính từ
trên xuống) ln nằm ở dưới dịng chứa phần tử khác khơng đầu tiên của cột bên trái.

13


Hai ma trận A, B được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng cấp và các phần tử ở
các vị trí tương ứng bằng nhau, ký hiệu A = B.

1) A và B cùng cÊp: A   aij  mn , B  bij  mn
A B  
aij  bij , i  1, m, i  1, n

 2)

 4

Ví dụ 3. 
3

7  a b 
có nghĩa là a = -4, b = 7, c = 3, d = 19.

19  c d 

1 2 Phép toán cơ bản của ma trận

1 2 1 Phép cộng hai ma trận cùng cấp
Định nghĩa 2 Cho hai ma trận cùng cấp A = [a ij ]m  n và B = [b ij ]m  n. Tổng của A
và B là một ma trận cùng cấp C = [c ij ]m  n, ký hiệu C = A + B, trong đó:
c ij = a ij + b ij (i = 1, m , j = 1, n )
Như vậy, muốn cộng hai ma trận cùng cấp, ta cộng các phần tử cùng vị trí với
nhau.
3 4 7   2

15

6

 3 2

4  15

7  6

5

11 13

Ví dụ 4. 




0 13 1   1 14 9  0  (1) 13  (14) 1  9   1 1 10
Tính chất 1
Từ tính chất của phép cộng hai số, ta có các tính chất sau cho các ma trận cùng cấp

t1. Tính chất giao hoán: A + B = B + A

14


t2. Tính kết hợp:

(A + B) + C = A + (B + C)

t3. A = [aij]m×n,  mn: A +  = A
t4. A = [aij]m×n,  ma trận đối của A là –A = [-aij]m×n thỏa mãn A + (-A) = mn
Chú ý 1. Gọi Matmn ( K ) là tập các ma trận cấp mn trên trường K.
1 2 2 Phép nhân v hướng của ma trận với một số thực
Định nghĩa 3 Cho A = [a ij ]m  n, k  K.
Tích kA là một ma trận C = kA cấp mn xác định bởi:
c ij = k.a ij ( i = 1, m , j = 1, n )
Như vậy, muốn nhân một ma trận với một số, ta nhân tất cả các phần tử của ma
trận với số đó.
Ví dụ 5.
3 2
3  ( 7)
3 1  15 6 21 3 
 5 2 7 1   3  5
3   2 0 9 1  3  2
3 0
3 9
3  ( 1)    6 0 27 3
 6 2 4 8  3  6 3  (2)
3 4
3  8  18 6 12 24 

Tính chất 2.2.
Với mọi A, B  Matmn ( K ), k , h  K , ta có tính chất:
t1. k(hA) = (k. h)A = h(kA).
t2. k(A + B) = kA + kB.
t3 . (k + h)A = kA + hA.
t4. 1A = A.
Chú ý 2. Trong trường hợp các ma trận cùng cấp, phép trừ hai ma trận được xác
định thông qua phép cộng với ma trận đối. Hiệu của ma trận A và ma trận B được định
nghĩa như sau: A – B = A + (-B)
1 2 3 Tích của hai ma trận
Định nghĩa 4 Ta gọi tích của ma trận A = [aij]m  n với ma trận B = [bij]n  p là một
ma trận C = [cij]m  p, ký hiệu C = A.B mà các phần tử cij được xác định như sau:
n

c ij =

a
k 1

ik

b kj , i = 1, m , j = 1, p

15


Quy tắc này có thể minh họa bằng hình sau:




Dịng i  ai1




ai 2




ain  



mn













 





 n p 


b1 j
b2 j
bnj

cij








m p

Cột j
Chú ý 3. Tích A.B của hai ma trận A và B chỉ được xác định khi số cột của A phải
bằng số dòng của B. Khi đó, AB có số dịng bằng số dịng của ma trận A và số cột
bằng số cột của ma trận B. Muốn nhân BA (B bên trái, A bên phải) phải có điều kiện:
số cột của B bằng số hàng của A, do đó khi tồn tại tích AB nhưng chưa chắc tồn tại
tích BA. Trường hợp đặc biệt khi A và B là hai ma trận vuông cùng cấp thì nhân AB
và BA đều được.
Ví dụ 6.

 2 1 3
 7 3 4 
Cho A = 
, B =  11 4 2  . Khi đó tích C = A.B gồm các phần tử:

1 0 5 
 0 6 13

c11 = 7.2 + (-3).(-11)+ 4.0 = 47
c12 = 7.1 + (-3). 4

+ 4.6 = 19

c13 = 7.3 + (-3).2

+ 4.13 = 67

c21 = 1.2 + 0.(-11)

+ 5.0 = 2

c22 = 1.1 + 0. 4

+ 5.6 = 31

c23 = 1.3 + 0. 2

+ 5.13 = 68

 47 19 67 

31 68

Vậy: C = A.B = 
2
Ví dụ 7.
2

0

 6 5 
, ta có:
0 

A= 
, B = 
 1 3 
4

 2  (6)  0  4

25  0 0 

 12 10 
5

A.B = 
 =  18

(1)  (6)  3  4 (-1)  5  3  0

16


(6)  2  5  (1) (6)  0  5  3  17 15
=
4  0  0  3   8
0 

B.A = 
 4  2  0  (1)

Như vậy, phép nhân hai ma trận, nói chung khơng có tính chất giao hốn. Điều
này khơng có gì bất ngờ vì trong định nghĩa của ma trận tích, các ma trận A và B tham
dự một cách khơng bình đằng.
Tính chất 3.
Cho 3 ma trận A, B, C và k  K. Giả sử A, B, C thoả mãn các điều kiện để tồn tại
tích các ma trận. Khi đó, ta có các tính chất sau
t1. Tính kết hợp: (AB)C = A(BC)
t2. Tính phân phối đối với phép cộng: (A + B)C = AC + BC
A(B + C) = AB + AC
t3. k(BC) = (kB)C = B(kC)
a b 

Ví dụ 8. Cho ma trận A = 
. Tính A2 – (a + d)A + (ad – bc)

c d 
a b  a(a  d) b(a  d) 
=


 c d   c(a  d) d(a  d) 

2

a b   a 2  bc b(a  d) 
;
c d   
2

 c(a  d) d  bc 

1 0 

(a+d) 

0 
ad - bc
 A2 – (a + d)A + (ad – bc) =

0
ad - bc 

(ad – bc)E = (ad – bc) 
 = 
0 1 

0 0
0 0



Chú ý 4. i) Phép nhân hai ma trận là một luật hợp thành trong, xác định trên tập
hợp các ma trận vng cấp n.
ii) Theo các tính chất của phép cộng và phép nhân ma trận với ma trận,
ta có thể nói rằng tập hợp các ma trận vng cấp n trên trường K lập thành một vành
(khơng giao hốn) gọi là vành các ma trận vuông cấp n trên trường K.

17


1 3 Định thức
1 3 1 Định thức của ma trận vu ng
Cho ma trận vuông cấp n:
 a11
a
21
A= 


 an1

a1n 
a2 n 
.


ann 

a12
a22

an 2

Định thức cấp n liên kết với ma trận A là một số, ký hiệu là det(A) hoặc |A| hoặc
a11

a12

a1n

a21

a22

a2 n

an1

an 2

ann

,

được tính
Định thức cấp 1: det([a11]) = a11
Định thức cấp 2
a

a 

Định thức của ma trận A =  11 12  có hai thành phần tương ứng với hai hoán vị
a 21 a 22 
của tập hợp {1,2}.
Hoán vị 12 N(12) (1) N( 12 ) a11 a 22
12

0

+ a11a22

21

1

- a12 a22

Theo định nghĩa, ta có:
det(A) =

a11

a12

a 21 a 22

= a11a22 – a12a21

Như vậy, định thức cấp 2 bằng tích hai phần tử nằm trên đường chéo chính trừ đi
tích hai phần tử nằm trên đường chéo phụ.
Ví dụ 12.

1 2
3 4

= 1. 4 - 2 . 3 = -2;
a

b

c d

= ad - bc.

Định thức cấp 3:
Định thức của ma trận vuông cấp 3

18


 a11 a12
A = a 21 a 22
 a 31 a 32

a13 
a 23 
a 33 

có 6 thành phần tương ứng với 6 hoán vị của tập hợp {1, 2, 3}.
Hoán vị 123 N(123) (1) N(123 ) a11 a 22 a 33
123

0

+ a11a22a33

231

2

+ a12 a23a31

312

2

+ a13a21a32

321

3

- a13a22a31

213

1

- a12a21a33

132

1

- a11a23a32

det(A) = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32
Để nhớ quy tắc tính định thức cấp 3, người ta thường dùng “quy tắc Sarrus” sau:



























D u+




D u-





Từ quy tắc Sarrus trên, chúng ta còn một quy tắc khác để tính nhanh định thức cấp
3: ghép thêm cột thứ nhất và cột thứ hai vào bên phải định thức hoặc ghép thêm dòng
thứ nhất và dòng thứ hai xuống bên dưới định thức rồi nhân các phần tử trên các
đường chéo như quy tắc thể hiện trên hình:
D u-

D u-

3

D u+

D u+

4

-5

Ví dụ 13. 8 7 -2 = 3.7
2 -1

8

19


Định thức cấp n:
Cho

d=

a11

a12

a1n

a21

a22

a2 n

an1

an 2

ann

Định nghĩa 8. Xóa đi dòng thứ i và cột thứ j (dòng và cột chứa phần tử a ij) của
định thức d, ta được một định thức cấp n-1, gọi là định thức con cấp n-1, ký hiệu là
Mij. Định thức Mij được gọi là phần bù và Aij = (-1)i+jMij gọi là phần bù đại số của phần
tử aij của định thức d.
Như vậy, phần bù đại số của phần tử aij là phần bù Mij được gán dấu (+) nếu i+j là
số chẵn và được gán dấu (-) nếu i+j là số lẻ.
1 2 3

Ví dụ 23. Cho định thức d = a b 0
4 5 6

có phần bù đại số của các phần tử thuộc dòng thứ hai là:
A21 = (-1)2+1M21 = -

2 3
5 6
1 3

A22 = (-1)2+2M22 =

4 6

A23 = (-1)2+3M23 = -

1 2
4 5

=3
=-6
=3

Quy tắc kh i triển định thức
Định lý 2. Định thức cấp n bằng tổng các tích số của mỗi phần tử của một dịng
(hoặc cột) bất kỳ với phần bù đại số tương ứng của phần tử đó, tức là, với i là một
dịng bất kỳ và j là một cột bất kỳ của định thức d, ta ln có:
d = a1jA1j + a2jA2j +

+ anjAnj

(2.1)

d = ai1Ai1 + ai2Ai2 +

+ ainAin

(2.2)

Công thức (2.1) được gọi là công thức khai triển định thức theo cột j, và công thức
(2.2) được gọi là công thức khai triển định thức theo dòng i.

20


Ví dụ 24. Tính định thức
1 2 3

d= a b 0
4 5 6

Giải:
Khai triển theo dòng 2:
d = a21A21 + a22A22 +a23A23
= a . 3 + b . (-6) + 0 . 3 = 3a-6b = 3(a-2b)
Ví dụ 25. Tính định thức của ma trận tam giác:

a) 1 =

a11 a12

a1n

0

a 22

a 2n

0

0

a nn

b) 2 =

a11

0

0

0

a 21

a 22 0

0

a n1

a n2 a n3

a nn

a12 a13

a1n

0

a 33 ...

a 3n

0 ...

a nn

Giải:
a) Thực hiện phép khai triển theo cột 1 ta được

1 =

a11 a12

a1n

0

a 22

a 2n

0

0

a nn

+(-1)n +1 .0.

= (-1)1+1a11

a12 a13

a1n

a 22 a 23 ...

a 2n

0

0

= a11

... a (n-1)n

a 22 a 23

a 2n

0

a 33 ...

a 3n

0

0 ...

a nn

0

a 22 a 23

a 2n

a 33 a 34 ...

a 3n

0

a 33 ...

a 3n

0 a 44 ...

a 4n

0

0 ...

a nn

0

a nn

+ (-1)2+1 .0.

= a11.a22

0 ...

+ …+

=…

= a11a22…ann
b) Khai triển theo dịng tương tự, ta cũng có

2 =

a11

0

0

0

a 21

a 22 0

0

a n1

a n2 a n3

a nn

= a11a22…ann

1.3.2. Tính chất của định thức
(i) Định thức đổi dấu khi đổi chỗ hai dịng hoặc hai cột cho nhau (tính thay phiên).

21


(ii) Định thức được nhân với   K khi ta nhân một dịng hay một cột với  (tính
thuần nhất).
(iii) Định thức không thay đổi khi ta thêm vào một dịng (hoặc cột) một tổ hợp
tuyến tính của các dịng (hoặc cột) cịn lại.
Thuật tốn tính định thức (Phương pháp G uss)
Bước 1: Chọn một phần tử aij  0, rồi đổi chỗ dòng và cột để đưa phần tử aij đó về
vị trí dịng 1, cột 1 với chú ý tính thay phiên trong định thức.`(Thơng thường, ta chọn
aij gần 1 nhất hoặc aij trên cột 1). Nếu phần tử như vậy khơng tồn tại thì định thức bằng
0.
Lần lượt cộng vào dòng thứ i (i  2) tích của dịng thứ nhất (của ma trận mới) với


ai1
.
a11

Bước 2: Tại bước thứ k (2  k  n), lặp lại bước 1 đối với ma trận con cấp n-k+1 ở

góc phải bên dưới cùng.
Bước 3: Tối đa sau n-1 bước ta sẽ được một ma trận tam giác trên. Định thức của
nó bằng tích các phần tử trên đường chéo.
2

1

4

Ví dụ 26 Tính định thức 4 15 7
1

4

3

Giải: Biến đổi
2

1

4

4 15 7
1

4

D1  D3

1

4

3

  4 15 7

3

2

1

4 D1  D2
2 D1  D3



1

4

3

 0 1 5

1

7 D2  D3

3

  0 1 5  33

0 7 2

4

4

0

0

33

Ta có thể kết hợp với cơng thức khai triển định thức để các bước biến đổi đơn giản
hơn.
Ví dụ 27.
1

1

2 2 D1  D2 1

2 1 7
5 3 2

5 D1  D3



1

0 3

2
3 

0 8 8

3

3

8 8

 3.8.

1

1

1 1

 48

Thuật tốn trên tuy ln cho ta kết quả, nhưng việc ln ln trừ đi một bội của
dịng (cột) thứ nhất có thể dẫn tới một ma trận phức tạp ở các bước tiếp theo sau đó.

Do đó, cũng vẫn phương pháp đưa về ma trận tam giác, nhưng tùy đặc thù bài tốn, ta
có thể linh hoạt trong việc sử dụng thứ tự các phép biến đổi sơ cấp.

22


1 3 3 Định thức của ma trận tích
Định lý 4 Định thức của tích các ma trận vng cùng cấp bằng tích các định thức
của chúng.
Cho A = [aij]nn, B = [bij]nn là các ma trận vuông cùng cấp. Khi đó
det(A.B) = det(A).det(B)
Ví dụ 31 Cho A là ma trận vng cấp n có det(A) = 10. Tính:
a) Tính det(A2), det(A3), det(AT.A)?
b) Cho ma trận B thỏa mãn B2 = A, tính det(B)?
Giải:
a) det(A2) = det(A.A) = det(A) . det(A) = 10 . 10 = 100
det(A3) = det(A.A.A) = [det(A)]3 = 103
det(AT.A) = det(AT).det(A) = det(A).det(A) = 102
b) det(B2) = det(A) =10  det(B).det(B) = 10  [det(B)]2 = 10  det(B) = 
10

1.4. Hạng của ma trận
1 4 1 Định nghĩa
 a11
a
Cho ma trận A cấp m  n: A =  21


 am1

a12
a22
am 2

a1n 
a2 n 


amn 

và k là một số nguyên thoả mãn 1  k  min{m,n}.
Định nghĩa 10 Cấp cao nhất của các định thức con khác 0 của ma trận A được gọi
là hạng của ma trận A, ký hiệu là r(A).
Dễ thấy, 0  r(A)  min{m,n}.
Quy ước: Hạng của ma trận khơng bằng 0.
1 2 3 4 
Ví dụ 2 32 Tính hạng ma trận A =  2 1 -2 -1  .
3 3 1 3 



Ma trận A có C32  C42 

3!
4!

 18 định thức con cấp 2 của A, đó là
2!1! 2!2!

23

M12
12 =

1 2
2 1

= -4 , M13
12 =

1

3

= -8, …

2 -2

Ma trận A có tất cả 4 định thức con cấp 3 là:
1 2
123
123

M

3

1 2

= 2 1 2 = 0, M

124
123

3 3
2

3

4

1

= 2 1 1 = 0, M

1

134
123

3 3

3

3

4

234

= 2 2 1 = 0, M123
=

3

1

3

4

1 2 1 = 0.
3

1

3

Theo định nghĩa, ta có r(A) = 2.
Ví dụ 33. Tính hạng các ma trận bậc thang:
1 -3 -7 9 
A = 0 0 8 5  , B =
0 0 0 4 

5 -2 7 9 
0 3 6 -2  , C =


0 0 0 0 

6 3 2 
0 7 -2 


0 0 4 

r(A) = 3; r(B) = 2; r(C) = 3
Chúng ta có chú ý sau
Chú ý 6. Hạng của một ma trận bậc thang bằng số dịng khác khơng của nó.
Cách tìm hạng của ma trận theo định nghĩa là rất phức tạp, vì vậy ta sẽ đưa ra một
số cách tính hạng ma trận đơn giản hơn.
1 4 3 Cách tính hạng của ma trận
Định nghĩa 11 Các phép biến đổi sau được gọi là các phép biến đổi sơ cấp của ma
trận:
i) Đổi chỗ hai dòng, hoặc hai cột của ma trận cho nhau
ii) Nhân một dòng hoặc một cột với một số khác khơng
iii) Cộng vào một dịng (hay một cột) tích một dòng (hay một cột) khác với một số
Dễ dàng nhận thấy các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận khơng làm thay đổi hạng
của ma trận.
Cách tính hạng củ m trận:
Vì các phép biến đổi sơ cấp khơng làm thay đổi hạng của một ma trận nên để tính
hạng của một ma trận ta dùng các phép biến đổi sơ cấp để đưa ma trận đó về dạng ma
trận bậc thang. Khi đó, hạng của ma trận bậc thang thu được chính là hạng của ma trận
cần tìm.

24


8
1

Ví dụ 2 34 Tính hạng của ma trận: A = 
7

3

-4

5

-3 -5
-5

1

-1

3

9
0 -7 
4 1

2 5
5

Giải:
8
1

7


3
1
0

0

0
1
0

0

0

-4

5

9
1 -3 -5 0

0 -7 Đổi chỗ D1 và D2 8 -4 5 5


7 -5 1 4
4 1


2 5

3 -1 3 2
0 -7
1 -3

0 8
5 65
Đổi chỗ D2 và D4


0 16
4 50 


2 26 
 0 20
0 -7 
2 26 
0 -2 

0 0
5

-3 -5
-5

1

-1

3

-3

-5

20

45

16

36

8

18

-3

-5

8

18

0

0

0

0

-7 
D1( 8)  D2
( 7)  D3
9  D1
D1( 3)  D3


1

5
-5 0 -7 
18 2 26 
36 4 50 

45 5 65 

D2( 2)  D3

D2( 5/ 2)  D4



Vậy, r(A) = 3.

1.5. Ma trận nghịch đảo
1 5 1 Khái niệm
Định nghĩa 13 Cho A là ma trận vuông cấp n và E là ma trận đơn vị cấp n. Nếu có

ma trận X sao cho A.X = X.A = E
thì ta nói ma trận A là khả nghịch và X được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận
A (hay A có ma trận nghịch đảo là X), và ký hiệu A-1 = X.
1 1 

Ví dụ 36 Ma trận A = 
 có ma trận nghịch đảo là
1 2 
2

1

1 1   2

1 1 0

2

1 1 1  1 0

A-1 = 
 vì 1 2   1 1  = 0 1 và  1 1  1 2  = 0 1
 1 1 


 



 


Từ định nghĩa, ta có chú ý sau:
Chú ý 7. Nếu X là nghịch đảo của A thì X cũng khả nghịch và X-1 = A.

25