Bài tập lý thuyết xác suất và thống kê toán học doc

Tr ần Qu ốc Chi ến:

Lý thuyết xác suất và thống kê tốn học

BÀI TẬP
CHƯƠNG 0

GIẢI TÍCH KẾT HỢP
0.1. Chứng minh
C(p,p) + C(p+1,p) + … + C(n,p) = C(n+1,p+1)
0.2. Chứng minh
n

C(n,1) + 2.C(n,2) + … + n.C(n,n) =

∑ k.C (n, k )

= n.2n−1

k =1

0.3. Chứng minh
1
1
1
C(n,0) + C(n,1) + .C(n,2) + … +
.C(n,n) =
2
3
n +1

n

1

∑ k + 1 C (n, k ) =
k =0

(

)

1
2 n +1 − 1
n +1

1. C(n,0) + 2.C(n,1) + 22.C(n,2) + … + 2n.C(n,n) = 3n
2. C(2n,2) + C(2n,4) + … + C(2n,2n) = 22n – 1 - 1

 Bài tập

1


Tr ần Qu ốc Chi ến:

Lý thuyết xác suất và thống kê tốn học

CHƯƠNG 1

SỰ KIỆN VÀ XÁC SUẤT

1.1. Có n người ngồi ngẫu nhiên quanh bàn trịn. Tính xác suất để hai người xác
định ngồi cạnh nhau.
1.2. Có n người ngồi ngẫu nhiên trên ghế dài. Tính xác suất để hai người xác định
ngồi cạnh nhau.
1.3. Một cỗ bài gồm 52 quân có 4 chất, mỗi chất 13 quân. Từ cỗ bài đã xóc kỹ ta rút
ngẫu nhiên 6 quân bài.
a) Tính xác suất sao cho trong 6 quân rút có ít nhất một con Át.
b) Tính xác suất sao cho trong 6 quân rút có đủ đại diện của 4 chất.
1.4. Có n đơi găng tay thuộc n loại khác nhau được bỏ lẫn lộn trong ngăn kéo. Rút
ngẫu nhiên 2.k chiếc (4 ≤ 2k ≤ n). Tính xác suất rút được đúng 2 đôi.
1.5. Bốn sinh viên vào 5 phịng học. Giả sử mỗi người có thể vào một phịng bất kỳ
với khả năng như nhau. Tính xác suất để
a) Cả 4 người vào cùng phòng.
b) Bồn người vào 4 phòng khác nhau.

 Bài tập

2


Tr ần Qu ốc Chi ến:

Lý thuyết xác suất và thống kê tốn học

BÀI GIẢI
CHƯƠNG 0

GIẢI TÍCH KẾT HỢP
0.1. Chứng minh
n

C(p,p) + C(p+1,p) + … + C(n,p) =

∑ C (k , p )

k=p

= C(n+1,p+1)

CM.
Sử dụng công thức Pascal
C(k,p) = C(k+1,p+1) − C(k,p+1)
ta có
n

n

n

k= p

k= p

∑ C (k , p) = ∑ C (k + 1, p + 1) − ∑ C (k , p + 1)

k=p

= C(n+1,p+1) − C(p,p+1) = C(n+1,p+1)
0.2. Chứng minh
n

C(n,1) + 2.C(n,2) + … + n.C(n,n) =

∑ k.C (n, k )

= n.2n−1

k =1

CM.
Sử dụng công thức k.C(n,k) = n.C(n−1,k−1) ta có
n

n

n −1

∑ k.C (n, k ) = ∑ n.C (n − 1, k − 1) = n. ∑ C (n − 1, h)
k =1

k =1

= n.2n−1

h=0

0.3. Chứng minh
n
1
1

1
1
1
C (n, k ) =
2 n +1 − 1
C(n,0) + C(n,1) + .C(n,2) + … +
.C(n,n) = ∑
2
3
n +1
n +1
k =0 k + 1
CM.
Sử dụng công thức (k+1).C(n+1,k+1) = (n+1).C(n,k) ta có
n
n
1
1
1 n +1
1
C (n, k ) = ∑
C (n + 1, k + 1) =
∑ k +1
∑ C (n + 1, h) = n + 1 2n +1 − 1
n + 1 h =1
k =0
k =0 n + 1

(

(

 Bài tập

)

)

3


Tr ần Qu ốc Chi ến:

Lý thuyết xác suất và thng kờ toỏn hc

Câu hỏi lý thuyết XSTK
chơng 2. Biến ngẫu nhiên
III. Biến ngẫu nhiên liên tục
LT.2.III.1. Phát biểu định nghÜa biÕn ngÉu nhiªn liªn tơc. BiÕn ngÉu nhiªn liªn tục
khác biến ngẫu nhiên rời rạc nh thế nào ? Cho ví dụ.
LT.2.III.2. Cho X là biến ngẫu nhiên liên tôc. H·y chøng minh
(i)
P(X = x) = 0 ∀x∈R
b

(ii)
(iii)

P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X < b) =

∫ f ( x)dx
a

Hàm phân phối F(x) liên tục trên R và khả vi tại các điểm liên tục của hàm mật
độ f và F(x) = f(x).

LT.2.III.3. Định nghĩa kỳ vọng của biến ngẫu nhiên liên tục. Phát biểu và chứng minh
các tính chất của kỳ vọng.
LT.2.III.4. Định nghĩa phơng sai và độ lệch quân phơng của biến ngẫu nhiên liên tục.
Phát biểu và chứng minh các tính chất của phơng sai.
LT.2.III.5. Định nghĩa phơng sai và độ lệch quân phơng của biến ngẫu nhiên liên tục.
Chứng minh công thức Koenig-Huyghens tính phơng sai.
LT.2.III.6. Định nghĩa Mode và Trung vị biến ngẫu nhiên liên tục. Tìm mode và trung
vị của biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối mũ E().
LT.2.III.7. Trình bày luật phân phối đều trên [a;b] U([a;b]): Định nghĩa, hàm phân
phối, hàm mật độ, kỳ vọng và phơng sai, đồ thị.
LT.2.III.8. Trình bày luật phân phối mũ với tham số E() : Định nghĩa, hàm phân
phối, hàm mật độ, kỳ vọng và phơng sai, đồ thị.
LT.2.III.9. Định nghĩa các khái niệm Momen cấp k của biến ngẫu nhiên liên tục. Tìm
momen cấp 3 của biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối mũ E().
LT.2.III.10. Định nghĩa khái niệm Hệ số bất đối xứng của biến ngẫu nhiên liên tục.
Tìm hệ số bất đối xứng của biến ngẫu nhiên tu©n theo lt ph©n phèi mị E(λ).

 Bài tập

4


Tr ần Qu ốc Chi ến:

Lý thuyết xác suất và thng kờ toỏn hc

LT.2.III.11. Định nghĩa khái niệm Hệ số nhọn của biến ngẫu nhiên liên tục. Tìm hệ
số nhọn của biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối đều U([a;b]).
LT.2.III.12. Trình bày luật phân phối chính qui N(m,): Định nghĩa, hàm phân phối,
hàm mật độ, kỳ vọng và phơng sai, đồ thị.
LT.2.III.13. Lập công thức tính xác suất P( < X < β) cđa biÕn ngÉu nhiªn X cã phân
phối N(m,) theo hàm phân phối của luật phân phối chính qui chuẩn N(0,1).
LT.2.III.14. Lập công thức tính xác suÊt P( X - m < λ) cña biÕn ngÉu nhiên X có
phân phối N(m,) theo hàm phân phối của luật phân phối chính qui chuẩn N(0,1).
LT.2.III.15. Phát biểu và chứng minh qui tắc 3 và nêu ví dụ ứng dụng.
LT.2.III.16. Trình bày cách sử dụng bảng tính (x), cho ví dụ.
LT.2.III.17. Trình bày cách sử dụng bảng tính -1(u), cho ví dụ.
LT.2.III.18. Trình bày luật phân phối mũ E(): Định nghĩa, hàm phân phối, hàm mật
độ, kỳ vọng và phơng sai, đồ thị.

Bi tp

5


Tr ần Qu ốc Chi ến:

Lý thuyết xác suất và thống kê tốn học

BT II.3.01
Mét sù kiƯn A cđa phÐp thư α cã x¸c st P(A)=3%. Thùc hiƯn phÐp thư 1000
lần. Gọi X là số lần xuất hiện sự kiện A.
a) Xác định luật phân phối của biến ngẫu nhiên X.
b) Xấp xỉ luật phân phối của X bằng luật phân phối Poisson, và luật phân phối chuẩn.

c) Sử dụng hàm phân phối chuẩn, tính gần đúng xác suất: sự kiện A xuất hiện không
quá 20 lần.

BT II.3.02
ở một nút giao thông cứ h phút có một xe đi qua, xác suất pan xe là p. HÃy tính
xác suất có ít nhất 1 xe bị pan trong khoảng thời gian từ 7g00 đến 19g00 trong:
a) những năm 90: h=15, p=5%
b) những năm 60: h=30, p=50%

BT II.3.03
Trong 100 vé số cã 5 vÐ cã thëng. Mét ngêi mua 4 vÐ.
a) Tìm xác suất để ngời đó có ít nhất 1 vé trúng thởng.
b) Ngời đó phải mua ít nhất bao nhiêu vé để xác suất có vé trúng thởng không nhỏ hơn
0,5.

BT II.3.04
Một ngời trung bình có 2 ngày bị ốm trong năm (365 ngày).
Tính xác suất để ngời đó trong 18 tháng có ít nhất 3 ngày bị ốm.

BT II.3.05
Cho biến ngẫu nhiên X tuân theo luật phân phối mũ E().
a) Viết bất đẳng thức Trebsep với tham số ε >0.
b) Tõ a) suy ra ∀t>0:t2.e-t ≤ e
c) H·y đánh giá độ chính xác của bất đẳng thức trên.

Bài tập

6

Tr ần Qu ốc Chi ến:

Lý thuyết xác suất và thống kê tốn học

BT II.3.06
Mét xóc s¾c khi gieo cã xác suất xuất hiện mặt 6 chấm là p , 0xúc sắc 6.n , n1, lần một cách độc lập. Ký hiệu biến ngẫu nhiên X n là số lần xuất
hiện mặt 6.
a) Xác định luật phân phối của Xn , kỳ vọng và phơng sai của nó.
b) Viết bất đẳng thức Trebsep đối với Xn với tham số >0.
c) Giả thiết xác suất các mặt nh nhau. Sử dụng bất đẳng thức trên, xác định n nhá nhÊt
sao cho x¸c st cđa sù kiƯn Xn/n - p 10-2 không lớn hơn 1/2.
BT II.3.07
Ký hiệu biến ngẫu nhiên X và Y là số xe đi qua ngà ba Huế vào Nam và ra Bắc
trong một khoảng thời gian, tuân theo luật phân phối Poisson P() và P(à). Giả thiết
X, Y độc lập, =15, à = 20. Gäi Z lµ tỉng sè xe qua qua Ng· ba Huế
a) Xác định luật phân phối của Z.
b) Sử dụng xấp xỉ tiệm cần chuẩn tính xác suất có Ýt nhÊt 40 xe ®i qua Ng· Ba HuÕ.
c) TÝnh xác suất có đúng 35 xe đi qua Ngà Ba Huế.
BT II.3.08
Có 5% số phiếu không hợp lệ trong 1000 phiếu. Lấy ngẫu nhiên 100 phiếu. Gọi X
là số phiếu không hợp lệ trong số lấy ra.
a) Xác định luật ph©n phèi cđa X.
b) XÊp xØ ph©n phèi cđa X bằng phân phối nhị thức, sau đó bằng phân phối Poisson.
c) Tính gần đúng xác suất P(X5), P(X=0).
BT II.3.09.a
Cho dÃy biến ngẫu nhiên (Xn)n1 , Xn có phân phối hình học G(pn), 0< pn < 1.
Tìm điều kiện cần và ®đ cđa (pn) ®Ĩ d·y (Xn) héi tơ theo lt.

BT II.3.09.b

Một thùng có n quả cấu đánh số từ 1 ®Õn n, n ≥ 1. Mét nhãm n ngêi còng mang số
từ 1 đến n, lần lợt rút mỗi ngời một quả cầu, có trả lại. Nếu có ngời rút đợc quả cầu
trùng với số của mình thì lặp lại quá trình rút cầu trên.
Ký hiệu Xn là số lần lặp quá trình rút cầu cho đến khi mỗi ngời rút đợc quả cầu
khác số với mình.
a) Xác định luật ph©n phèi cđa Xn , kú väng cđa nã.
b) Chøng minh (Xn) hội tụ theo luật đến biến ngẫu nhiên Y, xác định luật phân phối
của Y.
c) Chứng minh: limE(Xn) = E(Y)

 Bài tập

7


Tr ần Qu ốc Chi ến:

Lý thuyết xác suất và thống kê tốn học

BT II.3.10
Cho d·y biÕn ngÉu nhiªn (X k)k1 , có kỳ vọng và phơng sai. Đặt mk = E(Xk) và giả


n



thiết rằng D X k = o(n 2 ) .
 k =1



a) Chøng minh r»ng dÃy biến ngẫu nhiên (Mn)n1 , định nghĩa nh sau:
Mn =

X 1 + ... + X n m1 + ... + mn

n
n

hội tụ theo luật đến 0.
b) Giả thiết Xk có kỳ vọng m và phơng sai k. Chứng minh luËt sè lín yÕu:
Mn =

X 1 + ... + X n XS
→ m
n

BT II.3.11a
Ti thä mét chÊt phãng x¹ cã lt ph©n phèi mị E(λ), λ>0. Gäi T1,..., Tn là tuổi
thọ của n hạt chất phóng xạ, phân rà ®éc lËp. Ký hiƯu S n lµ ti thä cđa hạt đầu tiên
phân rÃ.
a) Xác định hàm phân phối của Sn .
b) Khảo sát sự hội tụ theo luật của d·y biÕn ngÉu nhiªn (n.S n)n≥1
c) Chøng minh r»ng
Mn =

T1 + ... + Tn XS 1
→
n

λ

BT II.3.11b
Tuæi thä mét chÊt phóng xạ có luật phân phối mũ E(), >0. Gọi T1,..., Tn là tuổi
thọ của n hạt chất phóng xạ, phân rà độc lập. Ký hiệu R n là tuổi thọ của hạt cuối cùng
phân rÃ.
a) Xác định hàm phân phèi cña Rn .
 Rn 
 .
 n  n≥1

b) Khảo sát sự hội tụ theo luật của dÃy biến ngÉu nhiªn 
c) Chøng minh r»ng
Mn =

T1 + ... + Tn XS 1

n


BT II.3.12
Cho dÃy biến ngẫu nhiên (Tn)n0 định nghĩa nh sau:
Tn+1= g(Tn), n0, trong đó g:II là ánh xạ co trên khoảng I trong R, có điểm cố
định duy nhÊt l.
a) Chøng minh r»ng d·y (Tn) héi tô theo xác suất, kéo theo hội tụ theo luật, đến l.
b) Khảo sát hội tụ theo xác suất và theo luËt cña d·y:
T0 ~ U([-1,1]); Tn+1 =

 Bài tập

1
2π

Tn

−

t

∫ e 2 dt
0

8


Tr ần Qu ốc Chi ến:

Lý thuyết xác suất và thống kê tốn học

BT II.4.20
Cho tËp tỉng thĨ gåm 1000 viên bi. Trọng lợng bi X là biến ngẫu nhiên kỳ vọng à
= 25g, độ lệch quân phơng = 0.07g.
XÐt mÉu lỈp cì 49 : X1 , ... , X49.
a) Xác định phân phối tiệm cận chuẩn của đại lợng trung bình
M =

X 1 + ... + X 49
49

và tÝnh x¸c suÊt 24,98 ≤ M ≤ 25,02.

b) LÊy 300 mẫu lặp cỡ 49. Ước lợng số mẫu có 24,98 M 25,02
BT II.4.21a

Xét tập rất nhiều trẻ sơ sinh cã x¸c suÊt bÐ trai, bÐ g¸i b»ng nhau

a) Lấy mẫu 200 trẻ từ tập trên. Tính xác suất cã Ýt nhÊt 40% bÐ trai tõ tËp mÉu.
b) LÊy 1000 mẫu 200 trẻ. Ước lợng số mẫu có ít nhất 40% bé trai.

BT II.4.21b

Xét tập rất nhiều trẻ sơ sinh cã x¸c suÊt bÐ trai, bÐ g¸i b»ng nhau

a) Lấy mẫu 200 trẻ từ tập trên. Tính xác suất có từ 43% đến 57% bé gái từ tập mẫu.
b) Lấy 1000 mẫu 200 trẻ. Ước lợng số mẫu có từ 43% đến 57% bé gái.

BT II.4.22

Một thùng kín có 80 quả cầu, trong đó có 60% cầu trắng và 40% cầu đen. Cho 50 mẫu có lặp
cỡ 20. Ước lợng

a) số mẫu có số cầu đen bằng số cầu trắng
b) có 15 cầu đen
c) có ít nhất 10 cầu tr¾ng

BT II.4.23a

 Bài tập

9

Tr ần Qu ốc Chi ến:

Lý thuyết xác suất và thống kê tốn học

Cho mÉu 100 viªn bi tõ tËp tổng thể vô số bị. Giả thiết đờng kính bi có kỳ vọng à = 0.95 cm
và độ lệch quân phơng = 0.025cm. HÃy xác định khoảng tin cậy của đờng kính viên
bi với độ tin cậy 95%

a) bằng cách sử dụng bất đẳng thức Trebsep
b) với giả thiết ®êng kÝnh bi tu©n theo luËt ph©n phèi chuÈn.

BT II.4.23b

Cho mẫu 100 viên bi từ tập tổng thể vô số bị. Giả thiết đờng kính bi có kỳ vọng à = 0.95 cm
và độ lệch quân phơng = 0.025cm. HÃy xác định khoảng tin cậy của đờng kính viên
bi với độ tin cậy 99%

a) trong trờng hợp sử dụng bất đẳng thức Trebsep
b) trong trờng hợp giả thiết đờng kÝnh bi tu©n theo luËt ph©n phèi chuÈn.

BT II.4.24

Thêi gian thực hiện một loại phản ứng hoá học là biến ngẫu nhiên T độ lệch quân phơng =
0.05 giây. HÃy xác định số lần thí nghiệm ít nhất để với độ tin cậy 95%, độ lệch của
trung bình cộng thời gian so với kỳ vọng không quá 0.01 giây

a) trong trờng hợp sử dụng bất đẳng thức Trebsep
b) trong trờng hợp giả thiết biến ngẫu nhiên T tuân theo luật phân phối chuẩn.

BT II.4.25

Trong một đợt bầu cử ngời ta chọn ngẫu nhiên 100 cử tri để thăm dò kết quả thì đợc biết có
55% bỏ phiếu cho ứng cử viên A, 45% bầu ứng cử viên B.

a) HÃy xác định khoảng tin cậy của tỉ lệ cử tri bầu ứng cử viên A với độ tin cậy 95%.
b) Giả thiết tỉ lệ phiếu bầu trên là chung cho tất cả cử tri. Cần phải thăm dò ít nhất
bao nhiêu cử tri để có thể đảm bảo ứng cử viên A có ít nhất 50% phiếu bầu với độ tin
cËy 95%.

BT II.4.26a

Cã N (N rÊt lín) cư tri tham gia bầu cử. Để ớc lợng tỉ lệ p số ngời bầu ứng cử viên A, ngời ta
chọn ngẫu nhiên n cử tri để thăm dò kết quả. Ký hiệu X n là số cử tri chọn ứng cử viên
A.

a) HÃy xác định luật phân phối của Xn .
b) Giả thiết n/N 1/10. HÃy xác định luật phân phối tiệm cận đơn giản nhất của Xn.

Bi tp

10


Tr ần Qu ốc Chi ến:

Lý thuyết xác suất và thống kê tốn học

c) Gi¶ thiÕt 0.4 ≤ p ≤ 0.6. HÃy tìm n nhỏ nhất để có thể coi X n cã lt ph©n phèi
tiƯm cËn chn.

BT II.4.26b

Cã N (N rÊt lín) cư tri tham gia bÇu cư. Ký hiệu p là tỉ lệ số ngời bầu ứng cử viên A. Ngời ta
chọn ngẫu nhiên n cử tri để thăm dò kết quả. Ký hiệu X n là số cử tri chọn ứng cử viên
A.
Xn p
X
a) HÃy xác định luật phân phối của Fn = n và của Gn =
.
p(1 − p )
n

b) T×m a > 0 nhá nhÊt tho¶ P(-a ≤ Gn ≤ a ) ≥ 0.99.
c) Cho mÉu cì n=1000 , ta cã tÇn st ngêi bỏ phiếu cho A là f=0,55. Tìm khoảng ớc
lợng [p1 , p2 ] cđa p víi ®é tin cËy Ýt nhÊt lµ 0.99

BT II.4.28
XÐt tËp tỉng thĨ cã N (N rất lớn) phần tử, và biến ngẫu nhiên X nhận các giá trị tơng ứng a1 , ... , aN .
Ký hiƯu µ = E(X) vµ σ2 = D(X). Chän ngẫu nhiên mẫu không lặp cỡ n (n < N)
(X1 ,..., Xn). Ký hiÖu
M =

X 1 + ... + X n
n

2
a) Chøng minh D(M) = σ . N − n

n

N 1

b) Tìm giới hạn của D(M) khi N rất lớn so víi n.

 Bài tập

11


Tr ần Qu ốc Chi ến:

Lý thuyết xác suất và thng kờ toỏn hc

bài tập Xác Suất Thống Kê
III. Biến ngẫu nhiên liên tục
BT 2.I.5. Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục với đồ thị hàm mật độ nh sau
b

-a 0
a
Các tham số a và b dơng và ta nãi X tu©n theo luËt ph©n phèi Simpson tham sè

a.
a) BiĨu diƠn b theo a vµ biĨu diƠn têng minh hàm mật độ f .
b) Xác định hàm phân phối F của X và vẽ đồ thị của nó.
c) Tính kỳ vọng E(X) và phơng sai V(X).
BT 2.I.6.
a) Xác định số thực a để hàm f cho bởi
f(x) =

0 nếu x ≤ 1 vµ f(x) = a/(x2-1/4) nÕu x > 1

là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên liên tục.
b) Xác định hàm phân phối F của X.
c) Kỳ vọng E(X) có tồn tại hay không ? Nếu tồn tại, hÃy tính E(X).
d) Phơng sai V(X) có tồn tại hay không ? Nếu tồn tại, hÃy tính V(X).
BT 2.I.7.
a) Cho aR. Xác định số thực để hàm f cho bëi
f(x) =

0 nÕu x ≤ a vµ f(x) = λ/(x2 +1) nếu x > a

là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên liên tục.
b) (i)
Xác định hàm phân phối F của X.
(ii)
Vẽ đồ thị hàm mật độ f và hàm phân phối F.
c) X có mômen bậc s 1 hay không ?
BT 2.I.8.
Cho hàm F nh sau: F(x) = ex / (ex + e-x ) ∀x∈R
a) (i)
Chøng tá r»ng F là hàm phân phối F của biến ngẫu nhiên liên tục X.
(ii)
Xác định hàm mật độ f của X.
b) Chứng tỏ X là biến ngẫu nhiên trung tâm (kỳ väng E(X)=0).
c) Chøng minh r»ng X cã ph¬ng sai V(X) vµ
+∞

 Bài tập

12


Tr ần Qu ốc Chi ến:

Lý thuyết xác suất và thống kê toán học

0

V(X) = 4.∫ t.e-t/(et + e-t)dt

BT 2.I.9.
Cho hµm f nh sau: f(x) = 0 nÕu x < 0 vµ f(x) = λ / (x3 + 1 ) nếu x 0
a) (i)
Xác định a, b, c để
xR: 1/(x3 + 1) = a/(x+1) + (b.x+c)/(x2 - x + 1)
(ii)
Tính tích phân
+
-

1/(t3 + 1)dt

(iii) Xác định để f là mật độ của biến ngẫu nhiên.
b) Cho X là biến ngẫu nhiên có mật độ f. Tính hàm ph©n phèi F cđa X.
c) Chøng tá X cã kú vọng E(X). Tính E(X)
d) X có phơng sai không ?
BT 2.I.10
a) (i)

Cho x ≥ 0. Chøng minh sù héi tô cđa tÝch ph©n
+∞
I(x) = ∫ λ e −t − / 2 dt
2.
x
(ii)
Xác định để hàm f định nghĩa nh sau:
f(x) = 0 nÕu x < 0 vµ f(x) = I(x) nếu x 0
là mật độ của biến ngẫu nhiên X.
b) Xác định hàm phân phối F của X.
c) (i) Chøng minh r»ng tån t¹i K sao cho ∀x ≥ 2: f(x) ≤ K.e-x .
(ii) Tõ c©u (i) suy ra X có mômen mọi bậc k.
BT 2.I.11
Cho hàm f nh sau: f(x) = λ.2-x nÕu x ≥ 0 vµ f(x) = à.2x nếu x < 0, trong đó
và à là các số thực.
a) và à phải thoả mÃn quan hệ gì để f là mật độ của biến ngẫu nhiên.
b) và à phải thoả mÃn quan hệ gì để f là mật độ của biến ngẫu nhiên trung tâm (có
kỳ vọng bằng 0).
c) Chứng minh rằng biến ngẫu nhiên X ở câu b) có phơng sai. HÃy tính phơng sai đó.
d) Xác định hàm phân phối F của X.
e) Cho Y là biến ngẫu nhiên Y = [X] ([x] là phần nguyên của x). Xác định luật phân
phối của Y và tính E(Y).
BT 2.I.12
Cho X là biến ngẫu nhiên có mật độ f liên tục trên R.
Gi¶ thiÕt f(x) = 0 ∀x ≤ 0.
Chøng minh r»ng Y = ln(X) là biến ngẫu nhiên liên tục và xác định mật độ của
Y.
BT 2.I.13
Bi tp

13


Tr ần Qu ốc Chi ến:

Lý thuyết xác suất và thng kờ toỏn hc

Cho X là biến ngẫu nhiên có mật độ f liên tục trên R.
Đặt Y = ea.X + b , trong đó a > 0 và b R.
a) Chứng minh rằng Y là biến ngẫu nhiên.
b) Xác định hàm mật độ của Y.
BT 2.II.9
Cho X là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối Gama (b,) cã mËt ®é
fb,τ(x) = 0 nÕu x ≤ 0
xτ-1.e-x/b
+∞
fb,τ(x) = 
nÕu x > 0 ( Γ(τ) = ∫ uτ-1.e-udu )
0
bτ .()
a) Chứng minh rằng mômen gốc bậc s tồn tại ∀s≥1
b) TÝnh m«men gèc bËc s (s≥1).
BT 2.II.10
a) Cho X là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối Pareto VP(α,a,b) cã mËt ®é
fα,a,b (x) = 0 nÕu x ≤ b + a
α a
α+1
fb,τ(x) = . 
nÕu x > b + a
a

x-b
Cho Y là biến ngẫu nhiên Y = .X + à (>0, àR).
Xác định luật phân phối của Y.
b) Tính kỳ vọng và phơng sai của X VP(,1,0).
c) Sử dụng kết quả câu b) tính kỳ vọng và phơng sai của X VP(,a,b).
BT 2.II.11
Cho X là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối mũ E().
a) Xác định luật phân phối của biến ngẫu nhiên Y = a.Xk ( a > 0 vµ k > 1 ).
b) Xác định luật phân phối của biến ngẫu nhiên Y = c.X (c>0) .
BT 2.II.12
Cho X là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối Pareto VP(,a,0) có mật độ
f,a,b (x) = 0 nÕu x ≤ a
α a
α+1
fb,τ(x) = .
nếu x > a
a
x
a) Xác định luật phân phối của biÕn ngÉu nhiªn Y = logk (X/a) ( a > 0 và k > 1 ).
b) Xác định luật phân phèi cđa biÕn ngÉu nhiªn Y = Xc (c>0) .
BT 2.II.13
Cho X là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chính qui N(0,) và a > 1.
Xác định để xác suất P(X[a-1,a+1]) là lớn nhất.
BT 2.II.14

Bi tp

14

Tr ần Qu ốc Chi ến:

ph©n

Lý thuyết xác suất và thng kờ toỏn hc

Sử dụng bảng hàm phân phối cđa lt ph©n phèi chÝnh qui N(0,1) tÝnh tÝch
∫e

1
-x + x

0

dx

(Cho biÕt √2 = 1.42 , π = 3.14 )
BT 2.II.15
a) Cho X là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối đều trên [a;b]. Xác định luật
phân phối của biÕn ngÉu nhiªn Y = α.X + β (α ≠ 0, β ∈ R).
b) Cho ϕ:R → R lµ song ánh khả vi liên tục có đạo hàm (x) 0 xR. Giả thiết
các biến ngẫu nhiên X và (X) tuân theo luật phân phối đều tơng ứng trên [a,b]
và trên [c,d]. Chứng minh rằng là hàm afin.
BT 2.II.16
a) Cho α > 0 vµ β > 0 vµ
1

B(α,β) = ∫ tα -1 (1-t)β-1 dt
0

(i)
(ii)
(iii)

Chøng minh r»ng β.B(α+1,β) = α.B(α,β+1).
Chøng minh r»ng B(α,β+1) + B(α+1,β) = B(α,β).
Chøng minh r»ng B(α,β) = B(β,α).

(iv)

Chøng minh r»ng B(α+1,β) =

α

 . B(α,β).
α+β

b) Cho gα,β(x) lµ hµm nh sau
gα,β(x) = 0 nÕu x ∉ [0,1]
1
gα,β(x) = . xα-1.(1- x)β-1 nÕu x ∈ [0,1]
B(α,β)
Chøng minh r»ng g,(x) là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên . Biến ngẫu nhiên có mật
độ g, gọi là tuân theo luật phân phối Beta với tham số và .
c) Tính kỳ vọng và phơng sai của biến ngẫu nhiên có mật độ g, .
BT 2.II.17
a) Cho X là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chính qui N(0,1). Xác định luật
phân phối của biến ngẫu nhiên Y = X 2 gọi là luật phân phối khi-bình một bậc tự
do.
b) Xác định kỳ vọng và phơng sai của biến ngẫu nhiên Y.

c) Xác định kỳ vọng và phơng sai cđa biÕn ngÉu nhiªn Y = X 2 víi X cã ph©n phèi
N(m,σ).
BT 2.II.18
 Bài tập

15


Tr ần Qu ốc Chi ến:

Lý thuyết xác suất và thng kờ toỏn hc

Cho X là biến ngẫu nhiên có hàm phân phối F X là song ánh đơn điệu tăng từ R vào
(0,1).
a) Xác định luật phân phối của biến ngẫu nhiên Y = FX(X).
b) Tính kỳ vọng và ph¬ng sai cđa Y.

 Bài tập

16