Sáng kiến cải tiến Ôn tập Tuyển sinh 10 môn Toán hiệu quả

SK: Một số biện pháp ôn tập tuyển sinh 10 mơn Tốn hiệu quả

MỤC LỤC
I. SƠ LƯỢC LÝ LỊCH TÁC GIẢ................................................................Trang 2
II. SƠ LƯỢC ĐẶC ĐIỂM TÌNH HÌNH
- TÊN SÁNG KIẾN............................................................................Trang 2
- LĨNH VỰC..................................................................................... ..Trang 2
III. MỤC ĐÍCH YÊU CẦU ........................................................................Trang
1. Thực trạng ban đầu của vấn đề .....................................................Trang 3
2. Sự cần thiết áp dụng sáng kiến......................................................Trang 3
3. Nội dung sáng kiến........................................................................Trang 3
IV. HIỆU QUẢ ĐẠT ĐƯỢC.......................................................................Trang 47
V. MỨC ĐỘ ẢNH HƯỞNG
1. Phạm vi tác dụng của sáng kiến .....................................................Trang 48
2. Những bài học kinh nghiệm............................................................Trang 48
48
IV. KẾT LUẬN ............................................................................................Trang 48
 TÀI LIỆU THAM KHẢO:..............................................................Trang 49
 PHỤ LỤC (chú thích từ viết tắc).....................................................Trang 49

PHÒNG GD-ĐT AN PHÚ
TRƯỜNG THCS PHÚ HỮU

Giáo viên: Nguyễn Hùng Vương

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Trang - 1


SK: Một số biện pháp ôn tập tuyển sinh 10 mơn Tốn hiệu quả

Phú Hữu, ngày 31 tháng 10 năm 2020

BÁO CÁO
Một số biện pháp ôn tập tuyển sinh 10 mơn Tốn hiệu quả.
I. SƠ LƯỢC LÝ LỊCH TÁC GIẢ
- Họ và tên: Nguyễn Hùng Vương.
Nam, nữ: Nam.
- Ngày tháng năm sinh: 18/ 08/ 1982.
- Nơi thường trú: Ấp Phú Hịa, xã Phú Hữu, huyện An Phú.
- Đơn vị cơng tác: Trường THCS Phú Hữu.
- Chức vụ hiện nay: Giáo viên.
- Lĩnh vực công tác: Dạy lớp
II. SƠ LƯỢC ĐẶC ĐIỂM TÌNH HÌNH ĐƠN VỊ
Trường THCS Phú Hữu thuộc ấp Phú Hiệp, xã Phú Hữu, huyện An Phú. Đây
là xã khó khăn của huyện, vì thế trường củng gặp nhiều khó khăn trong vấn đề giáo
dục. Trường gặp rất nhiều khó khăn về cơ sở vật chất, trang thiết bị dạy học, bên
cạnh đó gia đình thiếu quan tâm đến vấn đề học tập của con em, học sinh thiếu
động cơ và hứng thú trong học tập. Nhưng bù lại về phía giáo viên ln nhiệt tình,
tâm huyết và có chuyên môn khá tốt.
- Tên sáng kiến: Một số biện pháp ơn tập tuyển sinh 10 mơn Tốn hiệu quả
- Lĩnh vực: Tốn học.
III. MỤC ĐÍCH, U CẦU CỦA ĐỀ TÀI, SÁNG KIẾN
Trường gặp nhiều khó khăn, tuy nhiên với sự nhiệt tình, tâm huyết và trách
nhiệm cao trong cơng tác nên chất lượng giảng dạy ngày càng được nâng cao.
Trong những năm gần đây để có thể đánh giá được hiệu quả đào tạo của các trường
củng như phân luồng cho học sinh lớp 9 lên lớp 10. Ngành đã thực hiện việc thi
tuyển sinh 10 cho các em học sinh lớp 9. Đây là việc làm rất cần thiết, thúc đẩy
chất lượng giáo dục không những cấp THCS mà cả cấp THPT.
Để có thể làm tốt điều này mỗi giáo viên cấp THCS đặc biệt giáo viên giảng
dạy mơn có thi tun sinh 10, như bản thân dạy tốn thì cần phải qn triệt mục

đích này. Nắm được yêu cầu này tôi luôn quyết tâm và coi công việc này là trọng
tâm và cố gắng quyết tâm hoàn thành tốt. Có như vậy mới cùng nhà trường nâng
cao chất lượng tuyển sinh 10 của trường ngaỳ càng tốt hơn.
Để hồn thành tốt cơng tác tuyển sinh 10 và mang lại hiệu quả, đối với tơi cần
có kế hoạch cụ thể về phương pháp cũng như nội dung ôn tập và phân bố thời gian
ơn tập hợp lí, củng như kinh nghiệm giảng dạy của mỗi giáo viên mới có thể thành
cơng được. Và đây cũng là đề tài sáng kiến mà tôi đề cập đến: “Một số biện pháp
ơn tập tuyển sinh 10 mơn Tốn hiệu quả”
1. Thực trạng ban đầu trước khi áp dụng sáng kiến

Giáo viên: Nguyễn Hùng Vương

Trang - 2


SK: Một số biện pháp ôn tập tuyển sinh 10 mơn Tốn hiệu quả
- Tơi định hướng cho các em thấy được các kiến thức cần đạt được của đề thi
tuyển sinh 10 thông qua cấu trúc đề thi các năm qua, để các em hình thành cái
sường của một đề thi giúp các em định hướng tốt hơn.
Bài 1: Các bài tốn liên quan căn bậc hai: Tìm x hay giải phương trình,
rút gọn, trục căn thức ở mẫu, giải hệ phương trình, giải phương trình bậc nhất
2 ẩn, phương trình trùng phương.
Bài 2: Vẽ đồ thị hàm số y=ax 2(a ≠ 0). Tương giao của hai đồ thị của hai
hàm số y = ax + b(a ≠ 0) và y=ax2(a ≠ 0). Các bài toán liên quan hai hàm số trên.
Bài 3: Bài toán liên quan đến phương trình bậc hai một ẩn chứa tham số:
Tìm điều kiện tham số để phương trình có nghiệm hay vơ nghiệm; chứng minh
phương trình có nghiệm...; Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất hay thỏa mãn
điều kiện bài toán.
Bài 4: Bài tốn hình học: Chứng minh tứ giác nội tiếp và các bài tốn có
liên quan.

Bài 5: Bài tốn thực tế(liên quan đại số hoặc hình học)
- Xét ở mặt tổng thể của đề thi tuyển sinh 10 qua các năm thì đề thi chia đều ở
các chương của chương trình tốn lớp 9. Vì thế để các em làm bài tốt các em cần có
kiến thức tổng quát và logic các nội dung đã học, vì chúng có liên quan nhau. Các
em chưa làm tốt bài thi do đa phần các em bị vướng các vấn đề sau:
+ Chưa nắm rõ kiến thức trọng tâm của từng chương.
+ Kỹ năng chưa có ở các dạng bài tập trọng tâm.
+ Học sinh chưa hệ thống được kiến thức liên quan.
+ Chưa biết dạng bài tập nào là trọng tâm.
+ Kỹ thuật làm bài chưa có.
+ Thời gian ơn tập cịn ít nên học sinh rèn luyện kỹ năng giải bài tập chưa
nhiều.
+ Thêm bài toán thực tế các em hay ngỡ ngàng vì việc áp dụng kiến thức vào
thực tế chưa nhiều.
2. Sự cần thiết phải áp dụng Sáng kiến
Nhằm mục đích cung cấp cho các em học sinh lớp 9 có đủ kiến thức và kỹ
năng về mơn Toán để các em học tốt hơn ở cấp THPT và nâng cao tỉ lệ tuyển sinh
10 đối với bộ mơn tốn, tơi thấy việc ơn tập tuyển sinh 10 là rất cần thiết.
Khi nắm được khung chương trình và cấu trúc đề thi thì việc xây dựng cho
mình kế hoạch về thời gian và kiến thức trọng tâm để ôn tập phù hợp với từng đối
tượng học sinh là rất cần thiết. Bên cạnh đó để các em làm bài có chất lượng thì kỹ
năng và kinh nghiệm làm bài là rất cần thiết, quyết định không nhỏ đến kết quả của
các em.
3. Nội dung sáng kiến
Với kinh nghiệm giảng dạy và ôn tập tuyển sinh 10 nhiều năm qua, tơi mạnh
dạn đổi mới phương pháp của mình từ năm học 2016-2017 đến 2018-2019 với
các nội dung sau:
Giáo viên: Nguyễn Hùng Vương

Trang - 3

SK: Một số biện pháp ôn tập tuyển sinh 10 mơn Tốn hiệu quả
- Tham mưu với lãnh đạo nhà trường và tổ chuyên môn xây dựng kế hoạch
ôn tập tuyển sinh 10.
- Xây dựng kiến thức trọng tâm bám sát cấu trúc đề thi tuyển sinh 10 dựa
trên các kiến thức liên quan của các chương.
- Ứng dụng CNTT trong ôn tập cho các em.
- Thường xuyên kiểm tra q trình học tập các em thơng qua các bài thi
thử, dựa vào cấu trúc đề thi tuyển sinh.
- Hướng dẫn cách làm bài và một vài kỹ thuật giúp học sinh làm bài tốt, đặc
biệt các em yếu .
Tổ chức thực hiện
3.1 Tham mưu với lãnh đạo nhà trường và tổ chuyên môn xây dựng kế hoạch
ôn tập tuyển sinh 10.
- Tham mưu với tổ chuyên môn và lãnh đạo trường tăng tiết để đảm bảo cung
cấp đủ cho học sinh lượng kiến thức cần thiết, mặc dù trường gặp khó khăn trong
vấn đề cho học sinh học trái buổi, nhưng với sự quyết tâm lãnh đạo củng tìm cách
tháo gỡ.
- Bản thân cùng tổ chuyên môn lên kế hoạch xây dựng chương trình ơn tập
phù hợp, thời gian ôn tập hợp lí. Giáo viên biên soạn nội dung thành các chuyên
đề lớn và trọng tâm. Đảm bảo kiến thức để các em làm tốt bài tập ở kỳ thi tuyển
sinh 10.(nội dung phần 3.2)
- Thường xuyên báo cáo tình hình ơn tập với tổ chun mơn và lãnh đạo để
lịp thời hỗ trợ và giúp đỡ giải quyết khó khăn chủa giáo viên và học sinh để ơn tập
hiệu quả.
3.2 Xây dựng kiến thức trọng tâm bám sát cấu trúc đề thi tuyển sinh 10 dựa trên
các kiến thức liên quan của các chương.
Để xây dựng nội dung kiến thức trọng tâm phù hợp cấu trúc đề thi củng như
giúp cho các em dễ hiểu, dễ nhớ và dễ làm tôi chia thành các nội dung lớn. Trong

mỗi nội dung tơi tóm tắt kiến thức cần nhớ, dạng bài tập phù hợp cấu trúc đề thi và
cuối cùng là bài tập tự luyện cho học sinh làm thêm

Giáo viên: Nguyễn Hùng Vương

Trang - 4


SK: Một số biện pháp ôn tập tuyển sinh 10 mơn Tốn hiệu quả
NỘI DUNG 1: CĂN BẬC HAI
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.

 A , ( A ≥ 0 )
A2 = A = 
− A , ( A < 0 )

3.

A.B = A . B

5.

A 2 .B = A

2.

A xác định (hay có nghĩa) khi A ≥ 0

( A ≥ 0 , B ≥ 0)

4.

A
=
B

B ( B ≥0 )

6. A B = A2 B ( A ≥ 0 , B ≥ 0 )

7. A B = − A2 B ( A < 0 , B ≥ 0 )
9.

A
A B
=
B
B

11.

C
C
=
A± B

(

( B >0 )

Am B
A −B

A
B

(A

≥ 0 , B > 0)

8.

A
1
=
B
B

10.

C
A mB
C
=
A − B2
A ±B

AB ( AB ≥ 0 , B ≠ 0 )

(

) ( A ≥ 0) ; A ≠ B

2

) ( A ≥0 ; B ≥0 ; A ≠ B)

Giải phương trình bậc nhất một ẩn. ax +b =0 (a ≠ 0)
II. BÀI TẬP THAM KHẢO
@DẠNG 1: Rút gọn căn thức
Phương pháp giải :

12.

1. Sử dụng :


A , ( A ≥ 0 )
A2 = A =

−A , ( A < 0 )

2. Để rút gọn A ta thực hiện các bước sau:
Qui đồng mẫu số chung, nếu có.
Đưa bớt thừa số ra ngoài dấu căn
Trục căn thức ở mẫu, nếu có.
Thực hiện phép tính: Lũy thừa, khai căn, nhân,chia…
Cộng, trừ các số hạng đồng dạng…
Ví dụ : Rút gọn
1/

(

)

3 −1

2

3 / 2× 4− 7

2/

(

5 −3

)

2

+

(

)

5 −1

2

4 / x 2 + 2 x + 1 + x 2 − 2 x + 1 , ( x ≥ 1)
Giải :

Giáo viên: Nguyễn Hùng Vương

Trang - 5


SK: Một số biện pháp ôn tập tuyển sinh 10 mơn Tốn hiệu quả

(

1/
2/

(

)

2

)

2

3 −1
5 −3

3 −1 = 3 −1

=
+

(

)

5 −1

2

3 −2 +

=

3 / 2 × 4− 7 = 8−2 7 =

(

)

7 −1

2

3 −1 = 3 − 5 + 5 −1 = 2
=

7 −1 = 7 −1

4/ x 2 + 2 x + 1 + x 2 − 2 x + 1 = ( x + 1) + ( x − 1) = x + 1 + x − 1 = x + 1 + x − 1 = 2 x
2

2

@DẠNG 2:Thực hiện phép tính .
Phương pháp giải :
• Áp dụng các quy tắc nhân căn bậc hai , đưa thừa số ra ngoài dấu căn , trục căn
thức ở mẫu , dùng hằng đẳng thức . . .
Ví dụ: Thực hiện phép tính
1/ 16 − 49 + 121 ;

2/ 8 − 3 2 + 4 50

3/ ( 28 − 2 14 + 7 ) 7 + 7 8

4 / ( 15 50 + 5 200 − 3 450 ) : 10
Giải :

1/ 16 − 49 + 121 = 4 – 7 + 11 = - 8
2/ 8 − 3 2 + 4 50 = 2 2 − 3 2 + 20 2 = 19 2

( 28 − 2 14 + 7 ) 7 + 7 8 = ( 2 7 − 2 2.7 + 7 ) 7 + 14
4/ ( 15 50 + 5 200 − 3 450 ) : 10 = 15 5 + 5 20 − 3 45 = 15
3/

2
5 + 10 5 − 9 5 = 16 5

@DẠNG 3: Tìm x (Giải phương trình). Ta sử dụng các phương pháp sau:
A = B ⇔ A = B 2 với A,B ≥ 0

-

Dùng công thức:

-

Đưa về phương trình bậc nhất một ẩn: ax+b=0 ⇔ x =

−b
a

VD: Tìm x (Giải phương trình)
a.

5x − 2 5 = 0

b. 3x − 2 x = 3 + 2

c.

x
+ 3x = 3
3

d. 3x + 12 x = 27
Giải :

Giáo viên: Nguyễn Hùng Vương

Trang - 6


SK: Một số biện pháp ôn tập tuyển sinh 10 mơn Tốn hiệu quả
a. 5 x − 2 5 = 0

b.

3x − 2 x = 3 + 2

⇔
x(

⇔ 5x = 2 5

3 − 2) = 3 + 2

⇔=
x

2 5
5
⇔x = 2
⇔x =

(
⇔=
x

3 + 2
3 − 2
3 + 2 )2
3−
2

⇔=
x y5
+
6
1/ Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi cơng
thức
= ax
+2b , trong
đó a , b là các
x
c
.
+
3
x
=
3
≠
d . 3x + 12 x = 27
số đã cho trước a 0
3
2/ Hàm số xbậc nhất y = ax + b xác định với mọi x ∈ R và có tính chất :
⇔ 3x + 2 3x = 3 3

⇔
3.( biến+
3 x ) = 3. 3
- Đồng
3 trên R khi a > 0
- Nghịch
⇔
x +3 x biến
=3 trên R khi a < 0
⇔ 3 3x = 3 3
3/ Đồ
của
⇔
4 xthị
=
3 hàm số y = ax + b là một đường thẳng :
3
⇔
x =
- Cắt
trục
4

hoành tại điểm : A( −

⇔ x =1

b
; 0)
a

III.-BÀI
TẬP
TỔNG
HỢP
Cắt trục
tung
tại điểm
: B(0 ; b)
Tính
(rút, bgọn
( aBài
gọi1là. hệ
số gốc
gọi):là tung độ gốc )
4/ Các đường thẳng có cùng hệ số gốc a thì tạo với trục 0x các gốc bằng nhau
+ góc
16 −α 25
49 + 2 thẳng
36 − 2và25
− :75tg+α =
48a
; giữa
2/ đường
- 1/
Khi 4a −> 09thì
tạo bởi
tia ;0x là3/
góc 12
nhọn

0
- Khi a < 0 thì góc α tạo bởi giữa
9 đường thẳng và tia 0x là góc tù :tg(180 - α ) = - a

4/ ( 2 3 + 5 ) (5 − 2 3)
7/

9
1
+
− 2;
2
2

5/

8/

3

(

+ 3 12 − 27 ;

5+ 6

)

2

6/ ( 5 2 − 3 6 ) ×4 2 + 8 27

 14 − 7
15 − 5 
1
+
:
− 120 ; 9/ 
÷
;
÷
1− 3  7 − 5
 1− 2

Bài 2 . Trục căn thức ở mẫu :
7 đường
2 thẳng (d):y = ax + b(a ≠ 0) và đường 2thẳng (d/): y = a/x + b/ (a ≠ 0)
Chú1/
ý: Nếu
và
2/
7
3+ 5
5+ 7
thì :
/
a = a
/ ⇔
/
/+ ⇔

1
1
2
3
≠
- (d) cắt (d ) −a a
- (d) // (d )

/
3/
4/
b ≠ b
5− 6
5+ 6
2 + 2+ 3
a = a /
/ ⇔ 
≡
- (d)3 . (d
) gọn
- (d) :⊥ (d/) ⇔ a . a/ = -1
 rồi/ tính giá trị của biểu thức
Bài
Rút
b = b
5/ Hàm số y1= ax2+(a ≠10) có tính chất :
2
1/ A=
3/ C =
16 xbiến

+ 56
x +x49> 0với x = 3
- Nếu a > 30 +thì 2hàm 3số−nghịch
biến khi x <40x +và7 −đồng
khi
2

- Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0
1 số y =15
−2 12≠
x3 + 3x 2
6/ 2/
ĐồB=
thi hàm
độ0 và
trụcx 0y
− ax (a 0)là một
27đỉnh
+ là gốc tọa
, x≥
3
4/ Dparabol
= 3x − với
với
= làm
trục đối xứng
.
3+ 2
5 −2
x+3

- Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hồnh , 0 là điểm thấp nhất của đồ thị
- Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hồnh , 0 là điểm cao nhất của đồ thị

I.

NỘI DUNG 2: HÀM SỐ
KIẾN THỨC CƠ BẢN.

Giáo viên: Nguyễn Hùng Vương

Trang - 7


SK: Một số biện pháp ôn tập tuyển sinh 10 mơn Tốn hiệu quả
II.
KIẾN THỨC CƠ BẢN

y
a>0

0

α

x

y =ax +b

II.
BÀI TẬP THAM KHẢO

 Dạng 1: Xác định và vẽ đồ thị hàm số bậc nhất
Phương pháp giải :
• Nếu điểm A(x0 ; y0) thuộc đồ thị hàm số y
• Các kết quả 1/ ; 2 / ; 3/ và 4 / đã nêu trong

= a x + b thì a x0 + b = y0
phần kiến thức cơ bản

II. BÀI TẬP THAM KHẢO
@ Dang1: Xác định và vẽ đồ thị hàm số
Phương pháp giải:
Giáo viên: Nguyễn Hùng Vương

Trang - 8


SK: Một số biện pháp ôn tập tuyển sinh 10 mơn Tốn hiệu quả
- Nếu điểm A(x0,y0) thuộc đồ thị hàm số y=ax + b thì a.x0 + b = y0
- Sử dụng các kết quả 1;2;3;4 trong kiến thức cơ bản.
Ví dụ 1: Xác định hàm số y = a x + b và vẽ đồ thị của chúng , biết rằng :
1/ b = 1 và đồ thị của nó đi qua điểm A(2 ; 0)
2/ Đồ thị của nó đi qua điểm B(1 ; -4) và song song với đường thẳng y = 2x
3/ Đồ thi vuông góc với đường thẳng y = - 5x +1 và đi qua điểm C(5 ; 2)
4/ Đồ thị hàm số đi qua hai điểm M(2 ; 1) và N(1 ; 2)
Giải :
1/ Xác định hàm số : y = a x + b
b = 1 ta có : y = a x + 1
Đồ thị của nó đi qua điểm A(2 ; 0) , ta có : 0 = a . 2 + 1 ⇒ a =
Vậy : Hàm số cần xác định là : y =
−1

Vẽ đồ thị hàm số : y = x + 1
2
- Cho x = 0 ⇒ y = 1 : (0 ; 1)
- Cho y = 0 ⇒ x = 2 : (2 ; 0)

−1
x+1
2

−1
2

y

y=

1
2

x + 1

2

1
x

-2
-1
1
2

2/ • Hàm số xác định : y = -2x - 2
-1
• Vẽ đồ thi y = -2x - 2 (vẽ tương tự)
3/ •Xác định hàm số : y = a x + b
Vì đồ thị vng góc với đường thẳng y = -5x + 1 nên a . ( - 5 ) = - 1
0

⇔ a=

3

1
5

1
5

Đồ thi hàm số y = a x + b đi qua điểm C(5 ; 2) nên ×5 + b = 2 ⇔ b = 1
Vậy : Hàm số cần xác định là : y =
• Vẽ đồ thị y =

1
x+1
5

1
x + 1 (vẽ tương tự)
5

4/ Thay lần lượt tọa độ của M(2 ; 1) và N(1 ; 2) vào y = a x + b ,

ta được hệ phương trình :
1 = 2a + b

, hệ phương trình có nghiệm ( a = -1 ; b = 3)
2 = a + b

• Hàm số cần xác định là : y = -x + 3
• Vẽ đồ thị y = -x + 3 (vẽ tương tự)
Ví dụ 2 : Cho hàm số y = (m +5)x + n
1/Tìm điều kiện của m để hàm số đồng biến , nghịch biến
2/Tìm điều kiện của m để đồ thị của hàm số đã cho song song với đường
thẳng y = x + 2
Giáo viên: Nguyễn Hùng Vương

Trang - 9


SK: Một số biện pháp ôn tập tuyển sinh 10 mơn Tốn hiệu quả
Giải :
⇔
1/ Hàm số đã cho đồng biến m + 5 > 0 ⇔ m > - 5
Hàm số đã cho nghịch biến ⇔ m + 5 < 0 ⇔ m < - 5
2/ Đồ thị của hàm số đã cho song song với đường thẳng y = x + 2
m + 5 = 1  m = −4
⇔
⇔
n ≠ 2
n ≠ 2

@Dạng 2: Xác định hàm số và vẽ đồ thị hàm số y = a x2

Phương pháp giải :
1. Nếu điểm A ( x0;y0) thuộc đồ thị hàm số y = a x2 thì a x0 = y0
2. Vẽ đồ thị hàm số thực hiện các bước sau :
- Lập bảng giá trị
- Vẽ đồ thị
Ví dụ 1: Cho hàm số y = a x2
a/ Xác định a , biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm A(1 ; - 1)
b/ Tìm điểm thuộc parabol nói trên có hồnh độ bằng 4
c/ Tìm điểm thuộc parabol nói trên có tung độ bằng - 3
d/ Tìm điểm thuộc parabol có tung độ gấp đơi hồnh độ
Giải :
a/ Thay tọa độ điểm A : x = 1 , y = - 1 vào y = a x2 ta được : -1 = a . 1 ⇒ a = -1
b/ Thay x = 4 vào y = - x2 , ta đươc : y = - 42 = - 16 .
Điểm phải tìm được B(4 ; - 16)
c/ Thay y = -3 vào y = - x2 , ta đươc : -3 = - x2 ⇒ x = ± 3 . Các điểm phải tìm là C(
3 ; - 9) và C/( − 3 ; -3)
d/ Tập hợp các điểm có tung độ gấp đơi hồnh độ là đường thẳng y = 2x
 y = 2x

Ta có : 

y = x

2

Giải hệ phương trình trên ta được hai điểm cần tìm là ( 0 ; 0) và (-2 ; - 4)
Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số y =

1 2
x

2

Giải :
• Lập bảng giá trị :
x
y=

1 2
x
2

-2

-1

0

1

2

2

1
2

0

1
2

2

y

3
2

1

Giáo viên: Nguyễn Hùng Vương
-3

-2

-1

x
0

1

2

3

Trang - 10


SK: Một số biện pháp ôn tập tuyển sinh 10 mơn Tốn hiệu quả

• Vẽ đồ thị y =

1 2
x
2

@Dạng 3: Tìm giao điểm của hai đồ thị
Phương pháp giải :
Thực hiện các bước sau :
- Lập phương trình hồnh độ giao điểm .
- Giải phương trình , từ đó tìm được tọa độ các giao điểm .
Ví dụ: Cho đồ thị (P) : y = 2x2 và (d) : y = - x + 3.Tìm tọa độ giao điềm của (P)
và (d)
Giải :
 x1 = 1
Phương trình hồnh độ giao điểm : 2x = -x + 3 ⇔ 2x + x - 3 = 0 ⇔ 
−3
x2 =

2
2

2

Thay x1 = 1 vào hàm số y = - x + 3 ta được y1 = - 1 + 3 = 2
−3
9
 −3 
vào hàm số y = - x + 3 ta được y1 = -  ÷ + 3 =
2

2
 2 
−3 9
Vậy : tọa độ giao điềm của (P) và (d) là A(1 ; 2) và B( ; )
2 2

Thay x2 =

@Dạng 4: Sự tương giao của hai đồ thị
Phương pháp giải :
Lập phương trình hồnh độ giao điểm :
• Cắt nhau tại hai điểm phân biệt ⇔ Phương trình có hai nghiệm phân biệt
• Tiếp xúc nhau ⇔ Phương trình có nghiệm kép
• Khơng có điểm ⇔ Phương trình vơ nghiệm

Ví dụ 1: Tìm m để cho hai đồ thị sau
( P ): y = x2
(d ) : y = 2x + m
a/ Cắt nhau tại hai điểm phân biệt
b/ Tiếp xúc nhau
c/ Khơng có điểm chung

Giải :
Phương trình hồnh độ giao điểm của (P) và (d) :
Giáo viên: Nguyễn Hùng Vương

Trang - 11


SK: Một số biện pháp ôn tập tuyển sinh 10 mơn Tốn hiệu quả

x2 = 2x + m ⇔ x2 - 2x - m = 0 (1) . ∆ / = 1 + m
a/ (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt
⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ / > 0 ⇔ 1 + m > 0 ⇔ m > −1
b/ (P) và (d) tiếp xúc nhau
⇔ (1) có hai nghiệm kép ⇔ ∆ / = 0 ⇔ 1 + m = 0 ⇔ m = −1
c/(P) và (d) khơng có điểm chung
⇔ ∆ / < 0 ⇔ 1 + m < 0 ⇔ m < −1

Ví dụ 2: Cho hàm số (P) : y = ax2 . Tìm a , biết (P):
1/ Đi qua điểm A( - 1 ; 1)
2/ Đồ thị của nó cắt đường thẳng (d) : y = -2x + 3 tại một điểm có hồnh độ
bằng 1
Giải :
1/ Vì điểm A( - 1 ; 1) thuộc đồ thị (P) nên a . (- 1)2 = 1 ⇒ a = 1
2/ Thay x = 1 vào đường thẳng (d) : y = -2x + 3 ta được : y = - 2 . 1 + 3 = 1
Do đó (P) cắt (d) tại 1 điểm : ( 1 ; 1) nên a . 1 = 1 ⇒ a = 1
III. BÀI TẬP TỔNG HỢP
1. Cho hàm số y=

x2
có đồ thị là Parabol (P)
2

a. Vẽ đồ thị hàm số (P)
b. Tìm điều kiện của m để đường thẳng y= -2x+m (d) tiếp xác với (P). Khi
đó hãy tìm tọa độ của điểm tiếp xúc.
2. Cho hàm số y= − x 2 có đồ thị là Parabol (P)
a. Vẽ đồ thị hàm số (P)
b. Tìm tọa độ giao điểm của (P) và đường thẳng (d) :y=-2x+1 bằng phép
tính.

3. Cho hàm số y= − x 2 có đồ thị là Parabol (P)
a. Vẽ đồ thị hàm số (P)
b. Xác định hệ số a,b của đường thẳng (d) : y=ax+b, biết (d) cắt trục hoành
tại điểm có hồnh độ bằng 1 và (d) cắt (P) tại điểm có hồnh độ bằng 2.
4. Cho parabol (P) :y= x 2 . Hãy lập phương trình đường thẳng (d) song song với
đường thẳng (d’) : y= 2x và tiếp xúc với (P).
5. Cho parabol (P) : y=

x2
và đường thẳng (d) :y=mx+1
2

a. Vẽ đồ thị hàm số (P)
b. Chứng minh rằng (d) và (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt
6. Cho hàm số : y = (m – 2 )x + 3m + 1 (1)
a. Xác định các giá trị của m để đường thẳng d song song với đường thẳng
y = 3x + 2 . Vẽ đồ thị của hàm số với giá trị của m vừa tìm được
b. Gọi giao điểm của đồ thị hàm số vừa tìm được ở câu 1/ với trục tung và
trục hồnh lần lượt là A , B . Tính SA0B ? ( 0 là gốc tọa độ )
c. Xác định giá trị của m để đường thẳng d cắt trục tung tại điểm có tung độ
bằng 3
Giáo viên: Nguyễn Hùng Vương

Trang - 12


SK: Một số biện pháp ôn tập tuyển sinh 10 mơn Tốn hiệu quả
d. Xác định giá trị của m để đường thẳng d đi qua điểm A(- 2 ;

1

)
2

1
4

7. Cho hàm số y = x − 3 ( 1)
a. Vẽ đồ thị hàm số (1)
b. Đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành , cắt trục tung tại các điểm A , B . Tính
chu vi và diện tích tam giác AOB ?
8. Cho Parabol (P) : y =

1 2
x và đường thẳng (d) : y = 3mx – 1 – m
2

a. Chứng minh đường thẳng (d) luôn đi qua 1 điểm cố định
b. Tìm m để đường thẳng (d) tiếp xúc với (P) . Xác định tọa độ tiếp điểm .
NỘI DUNG 3 : PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
A. Phương trình:
1/Phương trình bậc nhất một ẩn: ax + b = 0
2/ Phương trình bậc hai: a x2 + bx + c = 0 ( a , b , c ∈ ¡ , a ≠ 0 )
Cách giải : Tính ∆ = b2 – 4ac
a/ Nếu ∆ < 0 thì phương trình vơ nghiệm
b/ Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép : x1 = x2 = −

b
2a

c/ Nếu ∆ > 0 thì phường trình có hai nghiệm phân biệt :
x1 =

−b + ∆
2a

; x2 =

−b − ∆
2a

 x1 = 1

3/ Nếu a + b + c = 0 thì 
c
 x2 = a
 x1 = −1

4/ Nếu a - b + c = 0 thì 
c
 x2 = − a

 a1 x + b1 y = c1
(x và y là hai ẩn số)
 a2 x + b2 y = c2

1/ Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số có dạng : 

2/ Minh họa tập nghiệm : Trên mặt phẳng tọa độ 0xy , vẽ hai đường thẳng
d1 : a1x + b1y = c1

d2 : a2x + b2 = c2
• Nếu d1 và d2 cắt nhau tại M0(x0 ; y0) thì hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất
(x0;y0)B. Hệ Phương trình:
• Nếu d1 // d2 thì hệ phương trình vơ nghiệm
•Nếu
d1 ≡Nguyễn
d2 thì hệHùng
phương
trình có vơ số nghiệm , nghiệm của mỗi phương
Giáo
viên:
Vương
Trang trìnhlà
- 13
nghiệm của hệ.
3/ Hai cách giải hệ phương trình là phương pháp cộng và phương pháp thế


SK: Một số biện pháp ôn tập tuyển sinh 10 mơn Tốn hiệu quả

II. BÀI TẬP THAM KHẢO
@Dạng 1: Giải phương trình
Ví dụ: Giải các phương trình bậc hai
a. 2x2 + 3x – 2 = 0 ; b. 2x2 – 3x + 5 =0 ; c. 4x2 – 20x + 25 = 0 ;
d. 2x2 – 10 =0
; e. 7x2 + 4x = 0
; f. x2 - 2 x − 1 − 2 = 0
Giải :
a/ 2x + 3x – 2 = 0 ( a = 2 , b = 3 , c = -2 )
∆ = b2 – 4ac = 32 – 4 .2 . ( - 2) = 9 + 16 = 25 ⇒ ∆ = 25 = 5

Vì ∆ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt :
2

x1 =

−b + ∆ −3 + 5 1
−b − ∆ −3 − 5
=
= ; x2 =
=
= −2
2a
2.2
2
2a
2.2

b/ 2x2 – 3x + 5 = 0 ( a = 2 , b = - 3 , c = 5 )
∆ = ( - 3)2 – 4 . 2 .5 = - 31 < 0
Vì ∆ < 0 nên phương trình vô nghiệm
c/ 4x2 – 20x + 25 = 0 ( a = 4 , b/ = 10 , c = 25)
∆ / = 102 – 4 . 25 = 0
Vì ∆ / = 0 nên phương trình có nghiệm kép : x1 = x2 =
d/ 2x2 – 10 = 0 ⇔ 2x2 = 10 ⇔ x2 = 5 ⇔ ± 5
Vậy : Phương trình có hai nghiệm : x1 = 5 ; x2 = − 5

5
2

x = 0

4
e / 7x + 4x = 0 ⇔ x ( 7 x + 4 ) = 0 ⇔ 
x=−
7

2

Vậy : Phương trình có hai nghiệm : x1 = 0 ; x2 = −

4
7

f/ x2 - 2 x − 1 − 2 = 0 ( a = 1 , b = - 2 , c = −1 − 2 )
Giáo viên: Nguyễn Hùng Vương

Trang - 14


SK: Một số biện pháp ôn tập tuyển sinh 10 mơn Tốn hiệu quả
Ta có : a – b + c = 1 + 2 - 1 -

 x1 = −1

c
2 =0 ⇔
x2 = − = 1 + 2
a


@Dạng 2: Phương trình có ẩn ở mẫu, quy về phương trình bậc hai

Phương pháp giải :
• Tìm điều kiện xác định của phương trình
• Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu
• Giải phương trình vừa tìm được
• Xem xét các giá trị của x tìm được có thoả mãn điều kiện xác định không và kết

luận về nghiệm của phương trình

x 2 − 3x + 5
1
Ví dụ 1: Giải phương trình sau x − 3 x + 2 = x − 3
(
)(
)

Điều kiện xác định : x ≠ 3, x ≠ −2

Giải :

x 2 − 3x + 5
1
2
2
Ta có : x − 3 x + 2 = x − 3 ⇔ x − 3x + 5 = x + 2 ⇔ x − 4 x + 3 = 0 (1)
(
)(
)
x = 1

1

Phương trình (1) có dạng : a + b + c = 0 ⇔ 
 x2 = 3 ( loai )
Vậy : Phương trình đã cho có 1 nghiệm là : x = 1
@Dạng 3: Phương trình trùng phương : a x4 + bx2 + c = 0 (1)
Phương pháp giải :

• Đặt t = x2 ( t ≥ 0 ) , phương trình (1) ⇔ at2 + bt + c = 0 (2)
• Giải phương trình (2) : Chọn các nghiệm t ≥ 0 suy ra x = ± t

Ví dụ: Giải các phương trình
1 / x4 + 5x – 6 = 0 ;
2/ x4 + 3x + 2 = 0
Giải :
4
1/ x + 5x – 6 = 0 (1)
t = 1

1
Đặt t = x2 ( t ≥ 0 ) , (1) ⇔ t2 + 5t – 6 = 0 ⇔ 
t2 = −6 ( loai )
Với t 1 = 1 ⇒ x2 = 1 ⇒ x = ±1
Vậy : Phương trình (1) có hai nghiệm là x1 = 1 và x2 = - 1
2/ x4 + 3x + 2 = 0 (1)

t = −1( loai )

1
Đặt t = x2 ( t ≥ 0 ) , (1) ⇔ t2 + 3t + 2 = 0 ⇔ 

t2 = −2 ( loai )

Vậy : Phương trình (1) vơ nghiệm
@Dạng 4: Tìm tham số để phương trình bậc hai có 1 nghiệm cho trước x = a.
tính nghiệm cịn lại
Giáo viên: Nguyễn Hùng Vương

Trang - 15


SK: Một số biện pháp ôn tập tuyển sinh 10 mơn Tốn hiệu quả
Phương pháp giải :
• Thay nghiệm đã cho vào phương trình , tính được tham số .
• Tính tổng hoặc tích , từ đó tìm nghiệm cịn lại .
Ví dụ: Cho phương trình 2(x2 – 2) = x(mx + 1)
Tìm m để phương trình đã cho có 1 nghiệm x = -1 . Tính nghiệm cịn lại .
Giải :
2
Ta có : 2(x – 2) = x(mx + 1) ⇔ (2 - m)x2 –x + 2 = 0
Phương trình đã cho có 1 nghiệm x = - 1 ⇔ (2 – m) ( -1)2 – (-1) -2 = 0 ⇔ m = 1
Theo hệ thức Vi – ét : x1 + x2 =
Với x1 = - 1 và m = 1 ⇒ x2 =

1
1
⇒ x2 =
− x1
2−m
2−m

1

+1 = 2
2 −1

@Dạng 5: Tìm tham số khi biết một hệ thức đối xứng giữa các nghiệm của
phương trình bậc hai
Phương pháp giải :
• Biến đổi hệ thức đã cho theo x1 + x2 và x1. x2
• Thay x1 + x2 = −

b
c
và x1. x2 = vào hệ thức ta được phương trình theo
a
a

tham số . Giải phương trình này tìm được giá trị tam số .
Ví dụ: Cho Phương trình x2 -2x – m2 – 4 = 0 . Tìm m sao cho phương trình có
hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn
a/ x12 + x22 = 20 ;
b/ x1 – x2 = 10
Giải :
a/ Điều kiện để phương trình đã cho có 2 nghiệm : ∆ / = m2 + 5 > 0
2
Ta có : x12 + x22 = 20 ⇔ ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = 20 ⇔ 22 − ( −m 2 − 4 ) = 20
⇔ m 2 = 4 ⇔ m = ±2 (TMĐK)
Vậy : m = ±2
b/ Điều kiện để phương trình đã cho có 2 nghiệm : ∆ / = m2 + 5 > 0
2
2
Ta có : x1 – x2 = 10 ⇔ ( x1 − x2 ) = 102 ⇔ ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 = 100

⇔ 22 − 4 ( − m 2 − 4 ) = 100 ⇔ m 2 = 20 ⇔ m = ±2 5 (TMĐK)

Vậy : m = ±2 5

@Dạng 6: Tìm tham số để phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn hệ
thức đối xứng giữa các nghiệm
Phương pháp giải :
Giáo viên: Nguyễn Hùng Vương
Trang - 16


SK: Một số biện pháp ôn tập tuyển sinh 10 mơn Tốn hiệu quả
• Viết hệ thức Vi –ét
• Từ hệ thức đã cho tìm x1 theo x2 (hoặc x2 theo x1) , thay vào hệ thức Vi-ét
ta được phương trình tham số
• Giải phương trình này ta tìm được giá trị tham số
Chú ý : Nếu chưa có điều kiện có nghiệm của phương trình đã cho thì cần
phải thử lại và chỉ nhận các giá trị của m làm cho phương trình có nghiệm
Ví dụ: Cho phương trình x2 - 2mx +2m – 1 = 0 (m là tham số )
1/ Chứng minh phương trình ln có nghiệm x1 . x2 với mọi giá trị của m
2/ Trong trường hợp phương trình có nghiệm kép , hãy tính nghiệm kép đó
3/ Tìm m thỏa mãn x1= 2x2 .
Giải :
2
/
1/ Vì ∆ = ( m − 1) ≥ 0, ∀m ∈ ¡
Nên phương trình ln có nghiệm x1 , x2 với mọi m
2
2/ Phương trình có nghiệm kép ⇔ ∆ / = 0 ⇔ ( m − 1) = 0 ⇔ m = 1
−b / m 1

= = =1
a
1 1
 x1 + x2 = 2m
3/ Theo hệ thức Vi-ét : 
(1)
 x1 x2 = 2m − 1

Nghiệm kép là : x1 = x2 =

Thay x1 = 2x2 vào (1) ta được :
2m

3 x2 = 2m
 x2 =
⇔
3
 2
2
x
=
2
m
−
1
2
 2
 2 x = 2m 1
2

2
m =
2
m


2
2 ì
ữ = 2m − 1 ⇔ 8m − 18m + 8 = 0 ⇔ 
 3 
m =

3
3
Vậy : có hai giá trị là m =
; m=
2
4

3
2 tmdk
(
)
3
4

@Dạng 7: Tìm giá trị nhỏ nhất và nhỏ nhất của một biểu thức
Phương pháp giải :
-

Tìm điều kiện tham số để phương trình có 2 nghiệm.
Biến đổi biểu thức theo tổng và tích 2 nghiệm dựa vào định lí Vi-ét.
Dựa vào biểu thức xét xem biểu thức lớn hơn hay nhỏ hơn hoặc bằng bao
nhiêu. Số đó chính là GTNN hoặc GTLN.
Xét dấu “=” xảy ra khi nào,
để tìm 2tham số.
2

Ví dụ: Cho phương trình x -2mx+m -3m+1=0(m tham số) (1)
Tìm m để biểu thức A=x1.x2+x1+x2 đạt giá trị nhỏ nhất với x1,x2 là 2 nghiệm
của phương trình(1)
Giáo viên: Nguyễn Hùng Vương

Trang - 17


SK: Một số biện pháp ôn tập tuyển sinh 10 mơn Tốn hiệu quả
Giải
2
2
Phương trình: x - 2mx + m - 3m + 1 = 0 (1)
Có: a=1; b=-2m;c= m2 - 3m + 1
∆ / = 3m − 1

Để phương trình có 2 nghiệm x1,x2 khi ∆ / ≥ 0 ⇔ 3m − 1 ≥ 0 ⇔ m ≥

1
3

Theo định lí Vi-ét ta có: x1+x2=2m, x1.x2=m2-3m + 1

1
2

3
4

A=x1.x2+x1+x2 = m2 - m + 1= (m − )2 + ≥

3
với mọi m
4

1
2
3
1
Vậy Min A= khi m=
4
2

Dấu “=” xãy ra khi m=

a1 x +b1 y =c1
a2 x +b2 y =c2

@Dạng 8: Giải hệ 

Phương pháp giải :
• Sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng rồi minh họa bằng đồ thị
.

Ví dụ: Giải hệ phương trình sau
3 x + 5 y = 1 ( 1)

 2 x + y = −4 ( 2 )

Giải :
• Phương pháp cộng :
3 x + 5 y = 1
3 x + 5 y = 1
−7 x = 21
 x = −3
⇔
⇔
⇔

 2 x + y = −4
−10 x − 5 y = 20
3x + 5 y = 1  y = 2

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất (-3 ; 2)
• Phương pháp thế :
Rút y từ phương trình (2) ta được : y = - 2x – 4 thay vào phương trình (1) ta có :
3x + 5(-2x – 4) = 1 ⇔ -7x = 21 ⇔ x = -3
Thay x = - 3 vào biểu thức của y ta có : y = - 2( - 3) – 4 = 2
Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất (-3 ; 2)
@Dạng 9: Các bài toán liên quan đến nghiệm và số nghiệm của hệ
 a1 x + b1 y = c1

 a2 x + b2 y = c2

Phương pháp giải :
Giáo viên: Nguyễn Hùng Vương

Trang - 18


SK: Một số biện pháp ôn tập tuyển sinh 10 mơn Tốn hiệu quả
Có thể dựa vào các kết quả sau :
 a1 x0 + b1 y0 = c1
 a2 x0 + b2 y0 = c2

1/ (x0 ; y0) là nghiệm của hệ (*) 

 a1 x + b1 y = c1
( a1 , b1 , c1 , a2 ,b2 , c2 khác 0)
 a2 x + b2 y = c2

2/ 

a

b

c

1
1
1
• Có vơ số nghiệm ⇔ a = b = c
2

2
2

a

b

c

1
1
1
• Vơ nghiệm ⇔ a = b ≠ c
2
2
2

a

b

1
1
• Có một nghiệm duy nhất ⇔ a ≠ b
2
2

Ví dụ :

( a − 2 ) x + 5by = 25

có nghiệm( x ;y) = (3;- 1)
 2ax − ( b − 2 ) y = 5

Tìm a ,b để hệ phương trình 

Giải :
Thay x = 3 , y = -1 vào hệta được :
3a − 5b = 31 3a − 5b = 31
33a = 66
a = 2
⇔
⇔
⇔

6a + b = 7
30a + 5b = 35
b = 7 − 6a
b = −5

 mx + 4 y = 6 ( 1)
 x + my = 3 ( 2 )

Ví dụ 3: Cho hệ phương trình có ẩn (x ; y) 

Tìm giá trị của m để hệ phương trình
1/ Có một nghiệm duy nhất
2/ Vô số nghiệm
3/ Vô nghiệm
Giải :
1/ m ≠ 0 hệ phương trình có một nghiệm duy nhất khi

m
4
≠
⇔m 2 ≠ 4 ⇔m ≠±2
1
m
3

4 y = 6
y =
⇔
2
Khi m = 0 , hệ phương trình đã cho trở thàng 
x = 3

x = 3
Vậy với m = 0 hoặc m = ± 2 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất

2/ Với m ≠ 0 , hệ phương trình vơ số nghiệm khi

Giáo viên: Nguyễn Hùng Vương

Trang - 19


SK: Một số biện pháp ôn tập tuyển sinh 10 mơn Tốn hiệu quả
m 4
=

m 2 = 4

m = ±2
m 4 6
1 m
= = ⇔
⇔
⇔
⇔m = 2
1 m 3
m = 2
m = 2
4 = 6

m 3
3/ Với m ≠ 0 , hệ phương trình vơ nghiệm khi
m 4
1 = m
m 2 = 4
m = ±2
m 4 6

= ≠ ⇔
⇔
⇔
⇔ m = −2
4
6
m
≠
2
1 m 3

m
≠
2


 ≠

m 3

III. BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1: Giải các phương trình
1. x2 +6x – 16 = 0 ;
2. 7x2 +12x +5 = 0 ;
3. x 2 − 2 x − 5 = 0 ;
4. 2x2 – 4x = 0
5. 6x2 + x + 5 = 0 ;
6. y2 - 16 = 0 ;
7. x4 -13x2 + 36 = 0 ;
8. 3x4 – 4x2 + 1 = 0
9. (3x – 7)(5x2 +2) = 0 ;
10. 5(x2 – 2x +1) – 3(x2 – 2x +1) – 2 = 0
11.

2x
1
−
=2
x −1 x +1
2

12. x6 + 61x – 8000 = 0
Bài 3: Cho phương trình bậc hai : x2 – 4x + m = 0 (1).
1. Giải phương trình m=3
2. Tìm m để phương trình (1)
a. Có hai nghiệm phân biệt
b Có nghiệm kép
c Vơ nghiệm
Bài 4: Cho phương trình : x2 – 2mx +(m - 4) = 0 (1)
1. Giải phương trình khi m=0, m=4
2. Tìm m để phương trình có 1 nghiệm x1=3, khi đó khơng giải phương trình hãy
tìm nghiệm cịn lại.
Bài 5: Cho phương trình x2 – 4x + m = 0 (1) (m tham số)
Giáo viên: Nguyễn Hùng Vương

Trang - 20


SK: Một số biện pháp ôn tập tuyển sinh 10 mơn Tốn hiệu quả
a.Tìm m sao cho phương trình (1) có một nghiệm là 1. Tìm nghiệm cịn lại.
b.Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa x12 + x22 = -10
Bài 6: Giả sử x1 , x2 là nghiệm của phương trình x2 – 2(m -1)x + m2 -1 = 0 .
Tìm hệ thức giữa x1 , x2 khơng phụ thuộc vào m
Bài 7: Cho phương trình x2 - 3x + m = 0 (m tham số)
a. Giải phương trình với m=2
b. Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình đã cho. Tìm giá trị nhỏ nhất của
A= x12 + x22 − 3x1.x2
Bài 8: Giải các hệ phương trình sau
x + y = 5
2 x − y = 1

x − y = 3
3 x − 4 y = 2

1/ 

2/ 

3 x − 2 y = 11
5/ 
4 x − 5 y = 3

x y
 − =1
6/  2 3
5 x − 8 y = 3

7 x − 3 y = 5
4 x − y = 2

3/ 

 x + 5 y = 0

7/ 

 5 x + 3 y = 1 − 5

 x + 3 y = −2
5 x − 4 y = 11

4/ 

x + 2 y = 1
2 x + 6 y = 2

8/ 

Bài 9: Giải các hệ phương trình sau
1 1
 x − y =1

1/ 
3 − 4 = 5
 x y

 1
x−2 −

2/ 
 2 −
 x − 2

1
=2
y −1
3
=1
y −1

 2 x − 1 − y − 1 = 1

 2 ( x + y ) + 3 ( x − y ) = 4
5/ 
6/ 
( x + y ) + 2 ( x − y ) = 5
 x − 1 + y − 1 = 2
 mx + 3 y = 7
Bài 10: Tìm m , n để hệ phương trình 
có nghiệm (2 ; - 4)
5 x + ny = 3
3 x − 2 y = −2
4/ 
 2 x + y = 1

2 x − y = 3
, với m là tham số .
 x + 2my = 1
1
1/ Giải hệ phương trình với m = −
2

Bài 11: Cho hệ phương trình 

2/ Với giá trị của m thì hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất .
 mx + y = 2
. Tìm m để hệ phương trình
 x + my = 2

Bài 12: Cho hệ phương trình 
a. Có nghiệm duy nhất.
b. Có vơ số nghiệm.

c. Vơ nghiệm.

Giáo viên: Nguyễn Hùng Vương

Trang - 21


SK: Một số biện pháp ôn tập tuyển sinh 10 mơn Tốn hiệu quả
NỘI DUNG 4: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1/ Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH. Ta có các
hệ thức sau:
a) BC2 = AB 2 + AC2 (định lý Py ta go)
∆ABC có BC2 = AB 2 + AC2 ⇒ ∆ABC vuông tại A (định lý Py ta go đảo)

b) AB 2 = BC.BH

AC2 = BC.CH

c) AH 2 = HB.HC

d) AB.AC = BC.AH ( = 2S ABC )

e)

1
1
1
=

+
AH 2 AB 2 AC2

2/ Tỉ số lượng giác của góc nhọn
Cho ∆ABC vng tại A ta có:
Sin B =

AC
;
BC

Cos B =

AB
BC

;

tan B =

AC
AB

Cot B =

AB
AC

II. BÀI TẬP THAM KHẢO
 Dạng 1: Các bài tập về tính tốn

Phương pháp giải: Sử dụng các hệ thức trên để tính tốn các đại lượng hình học.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vng tại A, có AH là đường cao (H ∈ BC). Biết AB =
6cm; BC = 10cm. Tính AC, AH, HB, HC?
Giải
Xét tam giác ABC vuông tại A có AH là đường
cao
Ta có: AB 2 + AC2 = BC2 (định lý Py ta go)
⇒ AC = BC2 − AB 2 = 102 − 62 = 8 (cm)

Ta cũng có AH.BC = AB.AC
⇒ AH =

Giáo viên: Nguyễn Hùng Vương

AB.AC 6.8
=
= 4,8 (cm)
BC
10

Trang - 22


SK: Một số biện pháp ôn tập tuyển sinh 10 mơn Tốn hiệu quả
AB 2 = BC.HB ⇒ HB =

AB 2 62
=
= 3,6 (cm)
BC 10

Lại có HC = BC – HB = 10 – 3,6 = 6,4 (cm)
Ví dụ 2: Đường cao AH trong tam giác ABC
vuông tại A chia cạnh huyền thành hai đoạn HB =
9cm; HC = 4cm. Hãy tính độ dài đường cao và các
cạnh góc vng của tam giác.
Giải
Xét tam giác ABC vng tại A có AH là đường cao
Ta có: AH2 = HB.HC ⇒ AH = HB.HC = 9.4 = 6 (cm)
Ta cũng có: BC = HB + HC = 9 + 4 = 13 (cm)
AB 2 = BC.HB ⇒ AB = BC.HB = 13.9 = 3. 13 (cm)
AC2 = BC.HC ⇒ AC = BC.HC = 13.4 = 2 13 (cm)
 Dạng 2: Tính các yếu tố của tam giác dựa vào tỉ số lượng giác của góc nhọn.

Phương pháp giải: Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vng
để tính tốn
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vng tại A, có AB = 4cm; BC = 8cm. Tính các góc B,
C và độ dài đường cao AH.

Giải
• Xét ∆ ABC vng tại A có:

Sin C =

AB 4 1
µ = 300
⇒ C
= =
BC 8 2

µ +C
µ = 900 ⇒ B
µ = 900 − C
µ = 900 − 300 = 600
Mà B

Xét ∆AHB vng tại H có:
AH = AB. Sin B = 4. Sin 600 = 4g

3
= 2 3 (cm)
2

Ví dụ 2: Cho tam giác DEF có DE = 30cm; DF =
40cm; EF = 50cm
a) Tính các góc của tam giác DEF (làm tròn
Giáo viên: Nguyễn Hùng Vương

Trang - 23


SK: Một số biện pháp ôn tập tuyển sinh 10 mơn Tốn hiệu quả
đến độ);
b) Kẻ đường cao DH. Tính DH;
Giải

a) Xét ∆DEF có
EF2 = 502 = 2500
DE2 + DF2 = 302 + 402 = 2500
⇒ EF 2 = DE 2 + DF 2 Do đó ∆ DEF vng tại D (theo định lý Pytago đảo)

·
⇒ EDF
= 900

DF 40 4
µ ≈ 530
=
= ⇒E
EF 50 5
µ +F
$ = 900 ⇒ F
$ = 900 − E
µ = 900 − 530 ; F
$ ≈ 37 0
Mà E

Ta cũng có: Sin E =
b) Tính DH

Xét ∆ DEF vng tại D có: DH.EF = DE.DF ⇒ DH =

DE.DF 30.40
=
= 24 (cm)
EF
50

III. BÀI TẬP TỔNG HỢP:
Bài 1: Giải tam giác ABC vuông tại A biết
a) AC = 8cm; BC = 10cm

µ = 300
b) AC = 5cm; C
µ = 350
c) BC = 10cm; B

Bài 2: Cho tam giác ABC biết AB=5 cm, AC=12cm, BC=13 cm.
a. Tam giác ABC là tam giác gì? Tính đường cao AH
b. Tính BH, CH
Bài 3: Cho tam giác ABC vuôngtaij A. Biết BH=4cm, CH=9cm.
Tinhs AB, AC, AH?

NỘI DUNG 5: GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN

Giáo viên: Nguyễn Hùng Vương

Trang - 24


SK: Một số biện pháp ôn tập tuyển sinh 10 mơn Tốn hiệu quả
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1/ Góc ở tâm
 Góc có đỉnh trùng với tâm của đường trịn được gọi là góc ở tâm
 Góc ở tâm chắn cung nhỏ hoặc nửa đường trịn.
 Góc ở tâm AOB chắn cung AmB
¼ = AOB
·
 Sđ AmB
=α
¼ = 3600 − α
Sđ AnB

2/ Góc nội tiếp
·
a) Nếu BAC
là góc nội tiếp trong đường trịn (O) thì:
1 ¼
·
BAC
= sđ BmC
2
1·
·
·
BAC
= BOC
(với BAC
≤ 900 ) (Hình 1)
2

b) Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung (hoặc hai cung bằng nhau) thì bằng nhau:
·
·
(Hình 2).
BDC
= BMC
·
c) Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn là góc vng: BAC
= 900 (Hình 3)

3/ Góc tạo bởi t tia tiếp tuyến và dây cung

·
 BAx
là góc tạo bởi tia tiếp tuyến Ax
·
¼ .
và dây AB, BAx
chắn AmB
·
·
¼
 BAy
là góc tạo bởi tia tiếp tuyến Ay và dây AB, BAy
chắn AnB
1 ¼
·
= sđ AmB
 BAx
;
2

1 ¼
·
BAy
= sđ AnB
;
2

1 ¼
·
·

ADB
= BAx
= sđ AmB
2

4/ Góc có đỉnh ở bên trong và bên ngồi đường trịn
Giáo viên: Nguyễn Hùng Vương

Trang - 25