ĐỀ THI ĐỀ XUẤT MÔN TOÁN KÌ THI DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ (CÓ ĐÁP ÁN)

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN
VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC
BỘ
TRƯỜNG THPT CHUYÊN TUYÊN
QUANG
---------ĐỀ THI ĐỀ XUẤT

KÌ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 20182019
MƠN: TỐN. LỚP 11
Thời gian làm bài: 180 phút
(Đề thi gồm 01 trang)

4

u1  3


2
u   2n  4n  un ; n  ¥ *
u
 n 1
n 2  4n  3
Câu 1 (4,0 điểm). Cho dãy số  n  xác định bởi : 
u 
u u
L  lim  1  22  L  nn 
n 
2 
2 2
Tính
O

K
Câu 2 (4,0 điểm). Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn   . Một đường tròn   đi qua
B, C và cắt CA, AB tại E , F khác B, C . BE cắt CF tại H , AH cắt  O  tại D khác A . Tiếp
K
tuyến của   tại E , F lần lượt cắt DB, DC tại M , N . Chứng minh rằng MN  OH .

Câu 3 (4,0 điểm). Tìm tất cả các hàm số f : ¡  ¡ thỏa mãn điều kiện :

 f ( x)  f ( z ) f ( y )  f (t )  f ( xy  zt )  f ( xt  yz ),

x, y, z , t  ¡

Câu 4 (4,0 điểm). Trên mặt phẳng tọa độ Oxy một điểm có các tọa độ là số nguyên được gọi
là điểm nguyên. Chứng minh rằng khơng tồn tại một đa giác có 2019 đỉnh là điểm nguyên và
có độ dài các cạnh bằng nhau.
Câu 5 (4,0 điểm). Cho 18 điểm trên mặt phẳng , khơng có 3 điểm nào thẳng hàng. Tơ 6 điểm
màu xanh, 6 điểm màu đỏ, 6 điểm màu vàng. Chứng minh rằng tổng diện tích của tất cả các
tam giác tạo được từ 18 điểm đã cho lớn hơn bốn lần tổng diện tích của tất cả các tam giác
cùng màu .
-Hết-

1


TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI

ĐỀ ĐỀ XUẤT KÌ THI HỌC SINH GIỎI KHU

ĐỀ ĐỀ XUẤT

VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
NĂM 2019
MƠN: TỐN 11
THỜI GIAN:180 PHÚT

Câu 1 (4,0 điểm) Cho dãy số ( xn ) thỏa
dương.Tính giới hạn của dãy số

un 1 

x1  2018 xn 1 

,

n 2  2n  4 2
xn
n2  3
với mọi n nguyên

n2
xn

Câu 2 (4,0 điểm) Tìm hàm f : R  R thỏa mãn hai điều kiện sau:
i) f (2019 f ( x)  f ( y ))  2019 x  y , x, y  R
ii) f bị chặn trên [-1,1]
Câu 3 (4,0 điểm)Cho tứ giác ABCD, thỏa mãn ÐDAB = ÐBCD , M trên AB và N trên
BC sao cho MN song song với AD và MN = 2AD , gọi I là trung điểm MN và H là trực
tâm tam giác ABC. Chứng minh HI vng góc với CD
Câu 4 (4,0 điểm) Cho p nguyên tố,p lớn hơn 3.Đặt:
1 1

1
1
a
1    ... 


2 3
p  2 p  1 ( p  1)!

Chứng minh rằng:

a

2  2p
(mod p)
p

Câu 5 (4,0 điểm) Tô màu cho 46 ô tùy ý của bảng ô vuông 9x9. Chứng minh rằng tồn
tại bảng ơ vng 2x2 chứa ít nhất 3 ơ đã tô màu.

----------------Hết----------------

2


ĐỀ ĐỀ XUẤT KÌ THI HỌC SINH
GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ
ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM 2019
MƠN: TỐN 11

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC

Thời gian làm bài: 180 phút, không
kể phát đề

Câu 1 (4,0 điểm).
Nếu f  x  là hàm số liên tục trên đoạn  0;1 sao cho f  0   f  1 . Chứng minh rằng tồn
a
, b
 0;1
tại hai dãy số  n  nN  n  nN   thỏa mãn :
a
, b
a) Các dãy số  n  nN  n  nN hội tụ.
b) f  an   f  bn  với mọi n .
*

*

*

*

Câu 2 (4,0 điểm).
Tìm tất cả các hàm số f : R  R sao cho với mọi số thực x và y ta có :
 x  2 f  y   f  y  2 f  x    f  x  y f  x  
Câu 3 (4,0 điểm).
6
3

Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho số: n  5n  4n  116 là tích của hai hoặc
nhiều số nguyên dương liên tiếp.
Câu 4 (4,0 điểm).
Cho tam giác nhọn ABC khơng cân nội tiếp đường trịn  . Đường tròn   thay đổi đi
qua B, C cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại E , F ( E , F  A). Đường tròn ngoại tiếp tam giác
AEF cắt lại đường tròn  tại K  A  K  . KE , KF lần lượt cắt lại đường tròn  tại
Q, P( P, Q  K ). Gọi T là giao điểm của BQ và CP . Gọi M , N lần lượt là trung điểm
BF , CE .
a) Chứng minh rằng T thuộc một đường thẳng cố định khi đường tròn  ' thay đổi.
b) Chứng minh rằng KA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN .
Câu 5 (4,0 điểm).
Số phần tử tối đa mà người ta có thể chọn ra từ tập hợp  1,2,...,31 sao cho tổng của bất
kỳ hai phần tử được chọn khơng là một số chính phương là bao nhiêu ?
----------------Hết----------------

3


HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN
KHU VỰC DUYÊN HẢI, ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
TRƯỜNG THPT CHUYÊN BIÊN HOÀ, HÀ NAM

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LẦN THỨ XII
MƠN THI: TỐN – KHỐI 11

Ngày thi 21/04/2019
Thời gian làm bài 180 phút
(Đề này có 5 câu; gồm 02 trang)

ĐỀ THI ĐỀ XUẤT

Câu 1 (4.0 điểm)
Cho dãy số bị chặn trên và thoả mãn điều kiện
Chứng minh rẳng dãy có giới hạn hữu hạn.
Câu 2 (4.0 điểm)
Cho là tam giác nhọn với đường tròn nội tiếp Gọi là tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp góc với .
Gọi là giao điểm của với (nằm giữa và ). Giả sử cắt đường cao của tam giác tại
a) Chứng minh rằng là trung điểm của
b) Gọi là đường trịn có tâm nằm trên đường cao đi qua và tiếp xúc trong với đường tròn tại .
Các điểm xác định tương tự. Chứng minh rằng đồng quy tại 1 điểm

Câu 3 (4.0 điểm) :
Cho

P  x





P  x  , P  x   1
là đa thức với hệ số nguyên, deg P  1 sao cho
. Chứng minh rằng tồn

tại số nguyên dương sao cho

P  n

khơng là số chính phương.

Câu 4 ( 4.0 điểm):
Tồn tại hay không một dãy vô hạn các số nguyên dương sao cho
và ,
Câu 5 (4.0 điểm):
Tìm số đường đi dọc theo cạnh lưới ô vuông từ đỉnh
vượt qua đường chéo chính

yx

(0, 0)

đến đỉnh

(2020, 2020) , sao cho khơng

và mỗi bước đi là sang phải hoặc lên trên.

4


==== Hết ====

5


KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN
KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN
HÀ NỘI

NĂM HỌC 2018- 2019
MƠN THI: TỐN LỚP 11

ĐỀ THI ĐỀ XUẤT

Ngày thi: ... tháng 4 năm 2019
(Thời gian làm bài 180 phút không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 1 trang

u
Câu 1 (4 điểm): Cho dãy số  n  xác định bởi:

Tính

1

u1 
2

un 1  u n  u 2  n  ¥ , n  1.

n

.

lim  n.un 

I;r
Câu 2 (4 điểm): Cho tam giác ABC. Gọi   là đường tròn nội tiếp của tam giác.

Đường tròn   tiếp xúc với BC tại P. Đường PI cắt   tại điểm thức hai là E.
Đường AE cắt BC tại F. Chứng minh rằng đường trịn bàng tiếp góc A tiếp xúc BC tại F.
I;r

Câu 3 (4 điểm): Cho
ước của tích

I;r

P  x   x2  1

P  n  .P  n  1 ....P(1)

P n  1
. Chứng minh tồn tại vơ số số n  ¥ sao cho 
là

.

2
Câu 4 (4 điểm):Tìm số nguyên k thỏa mãn p  k là hợp số với mọi số nguyên tố p .

Câu 5 (4 điểm): Trong một buổi khai mạc sự kiện, một nhóm S gồm 2014 học sinh
tham gia đứng thành một vòng tròn lớn. Mỗi học sinh đập tay với mỗi học sinh đứng ở
ngay hai bên cạnh mình một số lần nào đó. Với mỗi học sinh x , ta gọi f ( x) là tổng số
lần đập tay của bạn ấy với hai bạn đứng gần mình.
a) Chứng minh rằng tập hợp

 f ( x) x  S 

khơng thể bằng với tập hợp

 n n  ¥ , 2  n  2015 .
b) Chỉ ra một ví dụ trong đó tập hợp

 f ( x) x  S 

bằng với tập hợp

 n n  ¥ , n  3, 2  n  2016 .
………………………. HẾT …………………….

6


SỞ GD VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LAM SƠN

Bài 1(4,0 điểm). Cho dãy số  xn 

ĐỀ NỘP NGÂN HÀNG ĐỀ DUN HẢI
MƠN TỐN LỚP 11
NĂM HỌC 2018-2019
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể phát đề

 x1   1;2 


xn2

x

1

x

 n1
n
2 .
thỏa mãn 

Chứng minh dãy  xn  có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.
Bài 2(4,0 điểm). Cho số nguyên dương b  1 . Giả sử rằng với mỗi số nguyên k  1 tồn
2019
2019
tại số nguyên ak sao cho b  ak chia hết cho k . Chứng minh rằng b  a
với a là
số ngun nào đó.
Bài 3(4,0 điểm). Tìm tất các hàm f : ¡  ¡ thỏa mãn điều kiện:
f  2 x  f  y    f  2 x   x. f  2 y   f  f  y  

với x, y  ¡ .

Bài 4(4,0 điểm). Các đỉnh A, B, C của tam giác nhọn ABC lần lượt nằm trên các cạnh
· B C , BCA
·
· C A,
B
B1C1 , C1 A1 và A1B1 của tam giác A1B1C1 sao cho ·ABC  A
1 1 1

1 1 1
·
· AB
CAB
C
1 1 1 . Chứng minh rằng hai trực tâm của các tam giác ABC và A1 B1C1 cách
đều tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .

Bài 5(4,0 điểm). Cho tập X={1,2,3,...,n} gồm n số nguyên dương đầu tiên.
a) Với n=10, hãy chỉ ra 10 tập con của X, mỗi tập con có đúng 3 phần tử và 2 tập bất kì
trong 10 tập này có chung nhau khơng q 1 phần tử.
b) Với n=15, chứng minh rằng tồn tại ít nhất 333 tập con của X, mỗi tập có đúng 6 phần
tử và 2 tập bất kì trong đó có khơng q 4 phần tử chung.
----------------------------Hết---------------------------------

7


SỞ GD & ĐT TỈNH THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊN

Câu 1 (4,0 điểm). Cho dãy số

ĐỀ (GIỚI THIỆU) THI CHỌN HSG
VÙNG DUN HẢI ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
MƠN TỐN LỚP 11
Thời gian làm bài: 180 phút

 xn 

xác định bởi
 x1  0, x2  1

,n  2
3xn 1  2

x

n

1

10 xn  2 xn 1  2

Chứng minh dãy đã cho có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.
Câu 2 (4,0 điểm). Tìm tất cả các đa thức P với hệ số thực sao cho với mọi số thực x, y , z có tổng bằng
x, P  x   ,  y , P  y   ,  z , P  z  
0 thì trên mặt phẳng Oxy các điểm 
thẳng hàng.
Câu 3 (4,0 điểm).
Cho hình thoi ABCD. Đường trịn (O) nội tiếp trong hình thoi, tiếp xúc với các cạnh AB, AD, CD, CB
lần lượt tại M, N, E, F. Xét các điểm P, Q nằm tương ứng trên các cạnh AB, AD sao cho PQ tiếp xúc
(O).
a) Chứng minh giao điểm của CQ và PE nằm trên đường thẳng BD.
b) Trên MN lấy K sao cho KP//AD. Chứng minh khi P, Q thay đổi nhưng vẫn tiếp xúc (O) thì
đường thẳng PQ đi qua một điểm cố định.
Câu 4 (4,0 điểm). Cho p là số nguyên tố; x, y , z là các số nguyên dương thỏa mãn x  y  z  p .
2
2

2
x3  y 3  z 3  mod p 
Chứng minh rằng nếu
thì x  y  z chia hết cho x  y  z .
Câu 5 (4,0 điểm). Cho n, k là các số nguyên dương, n  k và S là tập hợp n điểm trong khơng gian
thỏa mãn
(i) Khơng có 65 điểm nào thẳng hàng.
(ii) Mỗi điểm P của S đều khơng có ít hơn k điểm trong S cách đều P.
k  1  4 3  n  1  n  2 
Chứng minh rằng
.
---------------------------HẾT --------------------

8


SỞ GD – ĐT QUẢNG NAM
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
NGUYỄN BỈNH KHIÊM
ĐỀ ĐỀ NGHỊ

KỲ THI OLYMPIC KHU VỰC DH - ĐBBB
NĂM HỌC 2018 - 2019
ĐỀ THI MƠN: TỐN 11
Thời gian: 180 phút (khơng kể thời gian giao đề)
(Đề thi có 01 trang)

Câu 1 (4,0 điểm). Cho dãy số (an ) được xác định bởi:
1
a1 

2 ,  an 1  an   2  an   1, n  1 .
a) Tìm giới hạn của dãy (an ) khi n → +∞.
a1  a2  ...  an
2
1 
, n  1,2,...
n
2
b) Chứng minh rằng
Câu 2 (4,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn  , P là điểm
nằm trong tam giác ABC . Gọi D là giao điểm của AP với   D  M  , E là giao
điểm của BP với AC , F là giao điểm của CP với AB , M là giao điểm của đường tròn
ngoại tiếp tam giác AEF với   M  A  . Tiếp tuyến tại B và C của  cắt nhau ở T ,
DT cắt  tại L  L  D  .
a) Gọi X là giao điểm của BC và EF . Chứng minh ba điểm A , L , X thẳng hàng.
b) Gọi N là điểm đối xứng của L qua đường thẳng BC . Chứng minh rằng bốn điểm
D, M , N , P cùng nằm trên một đường trịn.

Câu 3 (4,0 điểm). Tìm đa thức P  x  hệ số thực thỏa mãn:
P  x 2  x  1 – P  x  .P  x  1  0
, với mọi x  R .
Câu 4 (4,0 điểm). Cho đa thức
P  x    x  d1   x  d 2   x  d 3   x  d 4   x  d5   x  d 6   x  d 7   x  d 8   x  d 9 
với d1 , d 2 , d3 ,..., d9 là các số nguyên phân biệt. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên N

sao cho với mọi số nguyên x  N , P  x  chia hết cho một số nguyên tố lớn hơn 20.
Câu 5 (4,0 điểm). Ta định nghĩa viên gạch hình móc câu là hình gồm 6 ơ vng đơn vị
như hình vẽ dưới đây, hoặc hình nhận được do lật hình đó (sang trái, sang phải, lên trên,
xuống dưới) hoặc hình nhận được do xoay hình đó đi một góc.

9


Hãy xác định tất cả các hình chữ nhật m  n , trong đó m , n là các số ngun dương
sao cho có thể lát hình chữ nhật đó bằng các viên gạch hình móc câu?
------------------- Hết ------------------THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG
PHÚ THỌ
ĐỀ ĐỀ NGHỊ

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
NĂM 2019
MÔN THI: TOÁN - LỚP 11
Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1 (4 điểm). Chứng minh rằng với mỗi số vô tỷ  , tồn tại vô số cặp số  pn , qn  với
pn là số nguyên và qn nguyên dương sao cho với mọi n  ¥ ta đều có



pn
1
 2.
qn qn

Câu 2 (4 điểm). Trong tam giác ABC , các điểm D, E, F lần lượt là chân đường cao hạ
từ A, B và C , H là trực tâm của tam giác. Gọi I1 , I 2 , I3 lần lượt là tâm đường tròn nội
tiếp các tam giác HEF , HFD và HDE . Chứng minh rằng các đường thẳng AI1 , BI 2 , CI3
đồng quy.
Câu 3 (4 điểm). Cho dãy các đa thức Pn  x  với hệ số thực được xác định bởi

 P0  x   x 3  4 x

 Pn1  x   Pn  1  x  Pn  1  x   1, n  ¥ .
2020
Chứng minh rằng P2020  x  chia hết cho x .

Câu 4 (4 điểm). Cho số tự nhiên n  2. Với mỗi cặp số tự nhiên  a, b  nguyên tố cùng
d .
nhau, đặt d a ,b  gcd  na  b; a  nb  . Tìm giá trị lớn nhất của a ,b

Câu 5 (4 điểm). Trong một buổi dạ hội, mỗi người tham dự đều có ít nhất 3 người
quen. Chứng minh rằng có thể chọn ra một số chẵn người để xếp ngồi quanh một bàn
tròn sao cho mỗi người đều ngồi giữa hai người quen.

.....................HẾT.....................

10


TRƯỜNG THPT
CHUYÊN BÌNH LONG

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN
KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
LẦN THỨ X, NĂM HỌC 2018 – 2019

ĐỀ ĐỀ XUẤT

ĐỀ THI MƠN TỐN – KHỐI 11
Thời gian: 180 phút (Khơng kể thời gian giao đề)

(Đề thi gồm 01 trang)

Câu 1 (4 điểm). Cho các dãy số thực (an ), (bn ), (cn ) thỏa mãn các điều kiện sau:
i) a1 = 1, b1 = c1 = 0,
c
a
b
an = an- 1 + n- 1 , bn = bn- 1 + n- 1 , cn = cn- 1 + n- 1
n
n
n với mọi n  1.
ii)
2
2
lim n ( (an - bn ) + (bn - cn ) + (cn - an ) 2 ) = 0.
Chứng minh rằng
Câu 2 (4 điểm). Cho p là số nguyên tố có dạng 12k  11 . Một tập con S của M  {1, 2,K , p  1}
được gọi là “tốt” nếu như tích các phần tử của S khơng nhỏ hơn tích các phần tử của M \ S . Ký hiệu
 S hiệu hai tích trên. Tìm giá trị nhỏ nhất của số dư khi chia  S cho p xét trên mọi tập con tốt của
p 1
M có chứa đúng 2 phần tử.

Câu 3 (4 điểm). Cho hàm số f : ¥  ¥ thỏa mãn
f (2)  5, f (2020)  2019 và f (n )  f ( f (n  1)) với mọi n  1.
a) Chứng minh rằng f (2n )  f (2n  1) là hằng số với mọi n  2.
b) Tính các giá trị có thể có của f (2019).
Câu 4 (4 điểm). a) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O ) có điểm P bất kỳ trên mặt phẳng.
Đường trịn ( APB ),( APC ) cắt lại AC , AB tại các điểm E , F . Đường tròn ( AEF ) cắt lại AP ở điểm
T . Gọi H là điểm đối xứng với K qua P. Chứng minh rằng H nằm trên đường tròn (O ).

b) Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O ) có điểm P thay đổi trên đường trung tuyến AM của
tam giác ABC . Đường tròn ( APB ),( APC ) cắt lại AC , AB theo thứ tự tại các điểm E , F . Gọi G là
giao điểm của EF , BC. Đường tròn ( AEF ) cắt AP ở T . Chứng minh rằng đối xứng của T qua PG
nằm trên đường tròn (O ).
Câu 5 (4 điểm). Cho k là số nguyên tố không lớn hơn 2019 . Gọi tập A là tập con của tập

S   2,3,...,2019

sao cho

thể tìm được tập B sao cho

A k

và khơng có hai phần tử nào trong A chia hết nhau. Chỉ ra rằng có

B  k,A  B  S

và khơng có hai phần tử nào trong tập B chia hết nhau.
11


------- HẾT -------

SỞ GD&ĐT BẮC NINH
TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC NINH

ĐỀ THI OLYMPIC KHU VỰC DHBB
NĂM HỌC 2018 - 2019
Mơn: Tốn – lớp 11

(Thời gian: 180 phút – không kể thời gian giao đề)

(Đề thi đề xuất)

Câu 1 (5 điểm). Cho số thực x  1. Tìm





n

lim 2 n x  1 .

n 

Hãy phát biểu bài toán tổng quát.

Câu 2 (5 điểm). Cho tam giác ABC nhọn ( AB  AC ) nội tiếp đường tròn (O; R) và I là tâm
đường tròn nội tiếp tam giác. Đường thẳng AI cắt BC tại E và cắt (O) tại điểm thứ hai F. Vẽ
đường cao AD của tam giác ( D  BC ), trên tia AD lấy điểm K sao cho AK  2 R . Đường
thẳng KF cắt đường thẳng BC tại H.
a) Chứng minh rằng IK  IH .
b) Đường trịn đường kính AH cắt KE tại G (G cùng phía với K đối với đường thẳng AH), AG
cắt KI tại M. Chứng minh rằng MI  MG .
n
Câu 3 (5 điểm). Cho đa thức P( x)  an x  ...  a1 x  a0 (an  0; n  2) có các hệ số đều là

những số nguyên. Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên k sao cho P( x)  k không phân
tích được thành tích của hai đa thức với hệ số nguyên với bậc lớn hơn không.

Câu 4 (5 điểm). Cho n điểm (n > 3) trong đó khơng có ba điểm nào thẳng hàng. Hai điểm bất
kì được nối với nhau bằng một đoạn thẳng, mỗi đoạn thẳng được tơ bởi một màu xanh, đỏ
hoặc vàng. Biết rằng: có ít nhất một đoạn thẳng màu xanh, một đoạn thẳng màu đỏ, một đoạn
thẳng màu vàng, khơng có điểm nào mà các đoạn thẳng xuất phát từ đó có đủ cả ba màu và
khơng có tam giác nào tạo bởi các đoạn thẳng đã nối có ba cạnh cùng màu.
(a) Chứng minh rằng không tồn tại ba đoạn thẳng cùng màu xuất phát từ cùng một điểm.
12


(b) Hãy cho biết có nhiều nhất bao nhiêu điểm thoả mãn u cầu bài tốn.
-------------------Hết-------------------

TRƯỜNG THPT CHUN

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC
DH& ĐBBB NĂM HỌC 2018- 2019

LÊ THÁNH TƠNG

MƠN THI: TỐN LỚP 11

QUẢNG NAM

(Thời gian làm bài 180 phút không kể thời gian giao đề)

ĐỀ ĐỀ NGHỊ

1
1
1

xn 1  ( x1  1)( x2  )( x3  )...( xn  )
2
3
n (nN*)
Câu 1 (4 điểm): Cho dãy (xn) biết x1 = 1,

2018n n
Tính lim xn  2019

Câu 2 (4 điểm): Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn tâm O đường kính AB, AD <
BC. Gọi P là giao điểm AC và BD, Q là giao điểm AD và BC. Trên tia đối của tia AB
lấy điểm S sao cho hai tam giác SAQ và SQB đồng dạng với nhau . Đường thẳng đi qua
Q và vng góc với QS cắt AC, BD lần lượt tại H và K.
a/ Chứng minh PQ là tiếp tuyến của đường tròn (PHK).
b/ Chứng minh đường thẳng OQ chia đường tròn (PHK) thành hai phần bằng nhau.
Câu 3 (4 điểm): Kí hiệu ¢



là tập hợp các số ngun dương.


Tìm tất cả các hàm f : ¢  (,1] thỏa mãn :

1)
2)

f (m  n) 

2. f (mn)


f (m)  f (n) m, n  ¢

f  1  0

13


2

x
4
Câu 4 (4 điểm): Tìm nghiệm của phương trình 5  y  4y  1 trên tập các số tự

nhiên.
Câu 5 (4 điểm ): Trên bảng đen, người ta cho các số 2,3,4,5,6. Thực hiện xóa hai số x,y
bất kì trên bảng và thay vào đó hai số
Hỏi sau 2019 bước thực hiện như vậy thì trên bảng có xuất hiện một số nhỏ hơn
1
2 hay không ?

………………………. HẾT …………………….
TRƯỜNG THPT
CHUYÊN LÊ QUÝ
ĐÔN - ĐÀ NẴNG
ĐỀ ĐỀ XUẤT

(Đề thi gồm 01 trang)

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT

CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG
BẮC BỘ
LẦN THỨ XII, NĂM HỌC 2018 – 2019
ĐỀ THI MƠN TỐN – KHỐI 11
Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)

Bài 1:(4 điểm)
Cho a là số nguyên dương và dãy số (xn) xác định bởi
Xác định a để dãy số (xn) có giới hạn hữu hạn.
Bài 2: (4 điểm) Tìm tất cả các đa thức P(x) thỏa mãn điều kiện:
Bài 3: (4 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), có trực tâm H và đường trịn
Euler (J). Đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc các cạnh AB, AC lần lượt tại D, E. Một điểm
T di động trên đường trịn (J). Đường thẳng qua T vng góc với HT cắt đường trịn (O)
ở M, N. Dựng hình bình hành MHNK.
a) Chứng minh rằng điểm K luôn di chuyển trên một đường cố định khi điểm T thay đổi.
b) Đường trịn (S) tiếp xúc ngồi với (J) và tiếp xúc với các cạnh AB, AC lần lượt tại X
và Y. Gọi Z là trực tâm của tam giác ADE. Chứng minh rằng tứ giác AXZY là hình thoi.
Bài 4: (4 điểm)
Xác định tất cả các số nguyên n > 1 sao cho là một số nguyên.
Bài 5: (4 điểm)
Cho tam giác có các cạnh là 9cm, 12cm và 15 cm. Chia mỗi cạnh thành n phần
bằng nhau với . Nếu tính bình phương khoảng cách từ mỗi điểm chia này đến đỉnh dối
14


diện của tam giác thì tổng của tất cả các khoảng cách là một số nguyên dương. Xác định
tất cả các giá trị của n ?
-----------------Hết------------------

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO LÀO
CAI
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÀO
CAI
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT

ĐỀ THI HSG DUN HẢI VÀ ĐBBB
NĂM HỌC 2018 – 2019
Mơn: Tốn – Lớp 11
Thời gian làm bài: 180 phút, không
kể phát đề
(Đề thi gồm 01 trang)

2
Câu 1 (4,0 điểm) Cho các số thực a, b  0 và 1  a  4b  4 , xét dãy số (un ) thỏa mãn
u0  2, u1  a,

un  2  aun1  bun . Tiếp tục xét dãy số (vn ) được xác định bởi

vn  Cn0un  Cn1un 1  Cn2un  2 2  L  Cnnu0 n .
a) Chứng minh rằng tồn tại số thực  để lim vn  0.
lim  v0  v1  v2  L  vn   L
b) Với  ở trên, đặt
. Chứng minh rằng L  1.
I
Câu 2 (4,0 điểm) Cho ABC có đường trịn nội tiếp   tiếp xúc với BC , CA, AB ở D, E , F .
Đường thẳng qua A song song BC cắt DE , DF lần lượt tại M , N . Đường tròn ngoại tiếp tam giác
DMN cắt đường tròn  I  tại điểm L khác D .

a) Chứng minh A, K , L thẳng hàng.

b) Tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN tại M , N cắt EF tại U , V . Chứng
minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác UVL tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam
giác DMN .
Câu 3 (4,0 điểm) a) Chứng minh rằng nếu đa thức P ( x ) hệ số thực, và là tổng của ít nhất 3 đơn
2
2
thức có bậc khác nhau đơi một thì P ( x)  P ( x ) sẽ là tổng của ít nhất 2 đơn thức có bậc khác nhau.
n

(Ta hiểu khái niệm đơn thức như sau: cho đa thức

f ( x)   ak x k
k 0

k
thì ak x gọi là các đơn thức).

b) Tùy theo giá trị thực của tham số c, xác định số lượng đa thức P ( x) hệ số thực thỏa mãn
P 2 ( x)  P( x 2 )  c x 2018 x  ¡ .

15


Câu 4 (4,0 điểm) Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số nguyên và thì abc là lập
phương của một số nguyên.
Câu 5 (4,0 điểm) Cho bảng ô vng kích thước 100  100 mà mỗi ơ được điền một trong các ký
tự A, B, C , D sao cho trên mỗi hàng, mỗi cột của bảng thì số lượng ký tự từng loại đúng bằng 25. Ta
gọi hai ô thuộc cùng hàng (không nhất thiết kề nhau) nhưng được điền khác ký tự là “cặp tốt”, cịn
hình chữ nhật có các cạnh song song với bảng và bốn đỉnh của nó được điền đủ bốn ký tự A, B, C , D là
“bảng tốt”.

a) Hỏi trong các cách điền ở trên, có bao nhiêu cách điền mà mỗi bảng ô vuông 1 4, 4 1 và 2  2 đều
có chứa đủ các ký tự A, B, C , D ?
b) Chứng minh rằng với mọi cách điền thỏa mãn đề bài thì trên bảng ơ vng đã cho:
i) Ln có 2 cột của bảng mà từ đó có thể chọn ra được 76 cặp tốt.
ii) Ln có một bảng tốt.
---------------Hết--------------ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC THPT
VÙNG DUYÊN HẢI &ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
LẦN THỨ X, NĂM HỌC 2018 - 2019
Mơn: TỐN; Lớp:11
Thời gian: 180 phút khơng kể thời gian phát đề

SỞ GD&ĐT HỊA BÌNH
TRƯỜNG THPT CHUN
HỒNG VĂN THỤ
ĐỀ ĐỀ XUẤT

Câu 1. (4đ) Dãy số
a
Cho dãy số ( n ) xác định như sau:
ìï
1
ïï a1 = 1, a2 =
ïí
2
ïï
2
*
ïïỵ n ( n +1) an+1.an + nan .an- 1 = ( n +1) an+1 .an- 1 , " n ẻ Ơ
2
< n an , " n ẻ Ơ *

n
+
1
Chứng minh rằng:
.

Câu 2. (4đ) Hình học phẳng
Trong mặt phẳng cho ba đường trịn ω1, ω2, ω3 đơi một tiếp xúc ngoài nhau. Gọi P1
là tiếp điểm của ω1, ω3, P2 là tiếp điểm của ω2, ω3. A, B là hai điểm trên đường tròn ω3
khác P1, P2 sao cho AB là đường kính của đường trịn ω3. Đường thẳng AP1 cắt đường
tròn ω1 tại điểm thứ hai là X, đường thẳng BP 2 cắt đường tròn ω2 tại điểm thứ hai là Y.
Các đường thẳng AP2, BP1 cắt nhau tại Z. Chứng minh rằng X, Y, Z thẳng hàng.
Câu 3. (4đ) Đa thức
Tìm tất cả các hàm đơn ánh f : ¡ ® ¡ thỏa mãn với mọi số thực x và số ngun dương
n ln có:
n

å i éëêf ( x + i +1) - f ( f ( x + i ) ) ùûú< 2018
i =1

Câu 4. (4đ) Số học

16


2

3

4

Tìm số nguyên tố p nhỏ nhất để phương trình a + p = b có nghiệm a, b nguyên dương.
Câu 5. (4đ) Tổ hợp
Cho 2018 số thực khác nhau nằm trong đoạn [1;2] có tổng là S. Một cách phân hoạch
2018 số đó vào hai tập rời nhau A và B được gọi là tốt nếu tổng các số trong A và tổng
S
các số trong B có hiệu khơng quá 2018 . Chứng minh rằng: với mọi cách phân hoạch tốt
673 £ A , B £ 1345

thì

.

HẾT

17


SỞ GD & ĐT TỈNH HƯNG YÊN
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HƯNG YÊN

ĐỀ ĐỀ XUẤT THI CHỌN HSG
VÙNG DUYÊN HẢI ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
MƠN TỐN LỚP 11
Thời gian làm bài: 180 phút

Bài 1: (4 điểm) Cho hàm số f ( x) liên tục và bị chặn trong khoảng (a;  ) . Chứng minh rằng với mọi
lim xn  
số T dương, ta ln tìm được dãy ( xn ) thỏa mãn n 
và

lim f  x n +T  - f  x n   = 0.

n

 I , r  . Đường tròn  I , r  tiếp
Bài 2: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A ngoại tiếp đường tròn
xúc với AB, BC , CA tại P, Q, R . Gọi K là trung điểm của AC , đường thẳng IK cắt AB tại M .
Đoạn thẳng PQ cắt đường cao AH của tam giác ABC tại N . Chứng minh rằng N là trực tâm tam
giác ABC .
Bài 3: (4 điểm) Cho đa thức

P ( x )  an x n  ...  a1x  a0  an  0, n  2 

có các hệ số đều là số nguyên.

Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên k sao cho P( x )  k khơng phân tích được thành tích của hai
đa thức hệ số nguyên với bậc lớn hơn 0.

 n  1 ! không chia hết cho n2 .
Bài 4: (4 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho
2018
Bài 5: (4 điểm) Hãy xác định số các số tự nhiên n không vượt quá 10
thỏa mãn hai điều kiện sau

đây:
i) n chia hết cho 7.

 0,1, 2,3, 4,5, 6,8 .
ii) Chữ số trong biểu diễn thập phân của n thuộc
------------- Hết ------------

18


HƯỚNG DẪN CHẤM
TRƯỜNG THPT CHUYÊN TUYÊN QUANG

Câu

Nội dung chính cần đạt

Cho dãy số

 un 

Điểm

4

u1  3


2
u   2n  4n  un ; n  ¥ *
 n 1
n 2  4n  3
xác định bởi : 

4.0đ

u 
u u
L  lim  1  22  L  nn 
n 
2 
2 2
Tính

1
Ta có

un 1

 2n


 4n  un

n  4n  3
2

vn  n  n  2  un

2n 1
un 
n  n  2

2

  n  1  n  3 un 1  2n  n  2  un  vn 1  2vn

) nên dãy

 vn  là một cấp số nhân,

vn  4.2n 1  2n 1

(với

. Vậy

4đ

un 1
1
 
n
. Từ đó 2 n n  2 .

u 
1
1  3
u u
3
L  lim  1  22  L  nn   lim  


n 
2  n   2 n  1 n  2  2
2 2

2

O
K
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn   . Một đường tròn   đi qua

4.0đ

B, C và cắt CA, AB tại E , F khác B, C . BE cắt CF tại H , AH cắt  O  tại D
K
khác A . Tiếp tuyến của   tại E , F lần lượt cắt DB, DC tại M , N . Chứng

minh rằng MN  OH .

19


Câu

Nội dung chính cần đạt

Điểm

Gọi L  ME  AH , ta có LEB  ACB  ADB nên tứ giác BDEL nội
tiếp , suy ra HD.HL  HB.HE  HC.HF nên tứ giác CDFL nội tiếp , suy ra
LFC  ADC  ABC nên FL là tiếp tuyến của  K  và L, F , N thẳng hàng.
Ta có ML.ME  MB.MD và NF .NL  ND.NC nên MN là trục đẳng phương

của

 LFE  và  O 

LFE 
Ta chứng minh tâm J của 
nằm trên OH

O
Gọi AQ là đường kính của   , vì tứ giác BCEF nội tiếp nên EF  OA ,
K
mặt khác LE , LF là các tiếp tuyến của   nên EF  KL suy ra KL / / AQ .

4.0đ

  thì P là điểm Miquel của tứ giác toàn phần
Gọi
BCEFAS và HK  SA tại P nên H , K , P, Q thẳng hàng
Vì KL / / AQ và O là trung điểm AQ nên HK đi qua trung điểm J của KL .
Vậy MN  OH .
S  EF  BC , P  SA  O

Tìm tất cả các hàm số f : ¡  ¡ thỏa mãn điều kiện :

 f ( x)  f ( z ) f ( y )  f (t )  f ( xy  zt )  f ( xt  yz ),

x, y, z , t  ¡

 f ( x)  f ( z ) f ( y)  f (t )  f ( xy  zt )  f ( xt  yz ), (1)

4.0đ

4

 f (0)  0
(1)  
 f (0)  1

2
Cho x  y  z  t  0 , từ
20


Câu

Nội dung chính cần đạt

Điểm

1
1
f ( x) 
2 cho y  z  t  0 ta được
2 , x  ¡
a) Nếu
b) Nếu f (0)  0 cho z  t  0 ta được f ( xy )  f ( x) f ( y ); x, y  ¡ (2)
 f (1)  0
(2)  
 f (1)  1
Cho x  y  1 từ
f (0) 

b1) Nếu f (1)  0 cho y  1, z  t  0 ta được f ( x)  0 , x  ¡
b2)Nếu f (1)  1 cho t  x, z  y ta được

 f ( x)  f ( y)

2

 f  x 2  y 2  , x, y  ¡ (3)

(3)   f ( x)   f ( x 2 ), x  ¡ (4)
Cho y  0 từ
Từ (4)  f ( x)  0, x  0
2

+Xét
3

x   0;  

, từ

(4)  f ( x) 

(3)  f ( x)  f ( y ) 

Từ

f ( x2 )  f

 t 





f  x2  y2   f

f (t ), t  0

x 2  y 2 , x, y   0;  

 f ( x)  ax 2
2
f ( x)  x 2 , x   0;  
Thay f ( x)  ax vào (2) ta được

+ Cho x  y  0, t  1 , từ (1)  f ( z )  f (  z ), z  ¡ nên f ( x) là hàm số chẵn
2
trên ¡ . Do đó f ( x)  x , x  ¡ .

4

 f ( x)  0

 f ( x)  1
2

 f ( x)  x 2
Thử lại ta được các hàm số 

thỏa mãn bài tốn.
Oxy
Trên mặt phẳng tọa độ
một điểm có các tọa độ là số nguyên được gọi là

điểm nguyên. Chứng minh rằng khơng tồn tại một đa giác có 2019 đỉnh là
điểm nguyên và có độ dài các cạnh bằng nhau.
Ta chứng minh bằng phản chứng
Giả sử tồn tại đa giác A1 A2 ... A2019 thỏa mãn bài toán.
Ai  xi ; yi  ; ai  xi 1  xi ; bi  yi 1  yi ; i  1, 2019
Đặt

2019

2019

i 1

i 1

  ai  0;  bi  0.  1

Ta có

4,0đ
4đ

 x2020  x1 ; y2020  y1 

. Gọi c là độ dài các cạnh của đa giác.

c 2  ai2  bi2 , i  1, 2019  c 2  0,1, 2  mod 4 
c 2  0  mod 4 

1
A
thì bằng phép vị tự tâm 1 tỷ số 2 ta thu được một đa

Nếu
giác mới cũng thỏa mãn bài tốn và có độ dài cạnh bằng nửa cạnh đa giác
cũ. Do đó ta có thể giả sử

c 2  1, 2  mod 4 

2019

c  1 mod 4 

Nếu
với (1).

2

thì

ai  bi  1 mod 2     ai  bi   1 mod 2 
i 1

mâu thuẫn

21


Câu
Nếu

c  2  mod 4 
2

Nội dung chính cần đạt

Điểm

thì
2019

2019

i 1

i 1

ai  1 mod 2  , bi  1 mod 2    ai  1 mod 2  ,  bi  1 mod 2 

mâu thuẫn với

(1).
Cho 18 điểm trên mặt phẳng , không có 3 điểm nào thẳng hàng. Tơ 6 điểm
màu xanh, 6 điểm màu đỏ, 6 điểm màu vàng. Chứng minh rằng tổng diện
tích của tất cả các tam giác tạo được từ 18 điểm đã cho lớn hơn bốn lần tổng

diện tích của tất cả các tam giác cùng màu .

4.0đ

Nhận xét với mọi tam giác ABC và điểm M nằm trong mặt phẳng chứa tam
giác thì

S  ABC   S  MAB   S  MBC   S  MCA 

Gọi S xxx là tổng diện tích của tất cả các tam giác có màu xanh, khi đó với
5

mỗi điểm M ta có

S xxx  4



 A, B xanh

S  MAB 

( Mỗi cạnh AB xanh là cạnh của 4

tam giác xanh)
Cho M lần lượt chạy trên 6 đỉnh đỏ và 6 đỉnh vàng ta được
12 S xxx  4  S xxd  S xxv   3S xxx  S xxd  S xxv

4đ

.

Gọi S1 , S2 , S lần lượt là tổng diện tích của các tam giác cùng màu , tổng diện
tích của các tam giác khác màu và tổng diện tích của tất cả các tam giác .
Ta có

3S1  3S xxx  3S ddd  3Svvv   S xxd  S xxv    S ddx  S ddv    Svvx  Svvd 

 3S1   S xxd  S xxv    S ddx  S ddv    Svvx  S vvd   S xdv  S 2

 4 S1  S1  3S1  S1  S 2  S (đccm)
TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄNTRÃI

Câu Nội dung trình bày

Điểm

1
Cho dãy số ( xn ) thỏa
hạn của dãy số
Ta có

(xn )

un 1 

x1  2018 xn 1 

,

n 2  2n  4 2
xn
n2  3
với mọi n nguyên dương. Tính giới

4đ

n2
xn

2,0

là dãy số dương.

n2 + 2n + 4 2
xn+1 =
xn
n2 + 3

2

ổ x
ử
ổ x
ử
xn+1
ữ
ữ
ỗ
ỗ

n
n
ữ
ữ
ỗ
=ỗ

ln
=
2ln
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ n2 + 3 ứ
ữ
ố n2 + 3ữ
ứ
ố
(n + 1)2 + 3 ỗ
(n + 1)2 + 3
xn+1

Đặt

22

ổ x
ử
ữ
ỗ
n
ữ
yn = lnỗ
ữ
ỗ 2
ữ
ữ
ỗ
ố n + 3ứ

Ta cú
y1 = ln1009
yn+1 = 2yn

nên (yn) là cấp số nhân,do đó

yn = 2n- 1 ln1009

.

Suy ra
ổ x
ử
ữ
ỗ
n

ữ
lnỗ
= 2n- 1 ln1009
ữ
ỗ
ữ
2
ỗ
ữ
ố n + 3ø

xn
n2 + 3

n- 1

= 10092

n- 1

Û xn = n2 + 3.10092

Do đó:

1,0
un =

n2
n2
n2

n
n
=
=
=
.
n
n- 1
2
2n
2
2
2
xn
2
n + 3.1009
n
+
3
n + 3. 1009
1009

Chứng minh bằng quy nạp ta được
2n > n, " n Î ¥

Suy ra
0<

n
n

2

1009

<

n
n
n
n
2
=
< 2=
=
n
n
n(n - 1) n - 1
2
(1 + 1)
Cn
2

Do đó

1,0
lim

n
2n

=0

1009

lim

n
2

n +3

=1

Vậy limun = 0

Câu Tìm hàm f : R  R thỏa mãn hai điều kiện sau:
2
i) f (2019 f ( x)  f ( y ))  2019 x  y , x, y  R (1)
ii) f bị chặn trên [-1,1] (2)

4,0

23


Trong i) cho x=y thì f(2020f(x))=2020x (3)
Đặt 2020.f(x)=u,2020f(y)=v thì f(u)=2020x,f(v)=2020y
Suy ra f(2019f(u)+f(v))=f(2019.2020x+2020y) (4)
Theo giả thiết thì f(2019f(u)+f(v))=2019u+v (5)

1,0

Từ (4) và (5) thì:
f(2019.2020x+2020y) = 2019.2020f(x)+2020f(y) (6)
Trong (6) cho x=y=0 ta được f(0)=0
Thay x=0 vào (6) ta được f(2020y)=2020f(y)
Thay y=0 vào (6) ta được f(2019.2020x)=2019.2020f(x)
Do đó (6) trở thành: f(2019.2020x+2020y) = f(2019.2020x)+f(2020y)

1,0

Suy ra f(x)+f(y)=f(x+y) với mọi x,y (7)
Bằng quy nạp ta chứng minh được f(rx)=rf(x) với mọi r hữu tỷ,x là số thực (8)
Lấy dãy số thực (xn) sao cho limxn=0 (có thể giả sử |xn| nhỏ hơn 1)
Ứng với mỗi số tự nhiên n,chọn dãy qn sao cho:
1
1
 qn 
 | xn | | qn .xn | 3 | xn |2  qn .xn  [-1,1]
3
| xn |
xn
| f (qn .xn ) | C
1
| f ( xn ) | | f (qn .xn ) | 0  f (0)
qn
Do đó :
khi n tiến ra vô cùng

2,0

Suy ra f(x) liên tục tại 0,f cộng tính nên f liên tục trên R.
f(x) liên tục và cộng tính trên R nên f(x)=ax với mọi x (phương trình hàm Cơsi)
Thử lại thỏa mãn
Câu Cho tứ giác ABCD, thỏa mãn ÐDAB = ÐBCD , M trên AB và N trên BC sao cho MN
3

song song với AD và MN = 2AD , gọi I là trung điểm MN và H là trực tâm tam giác ABC.
Chứng minh HI vng góc với CD

4,0

Từ D kẻ đường thẳng song song AB cắt BC tại J lấy N sao cho J B = J N , qua N kẻ đường

2,0

thẳng song cắt AB tại M  MN song song AD và MN = 2AD .
24


Theo giả thiết MN = 2AD , IM = IN  MI = AD , MN song song với AD
 tứ giác ADIM là hình bình hành
 ÐMID = ÐMAD = ÐBCD  tứ giác DCNI nội tiếp ÐICD = ÐIND ,
tương tự tứ giác AIND là hình bình hành  ÐDAI = ÐIND .
Gọi K là trực tâm tam giác CDI, P là giao điểm IK với CD, Q là giao điểm AK với BC 
ÐICP = ÐDKP , do ÐICD = ÐIND

 ÐIND = ÐI AD = DK P
 tứ giác AIKD nội tiếp, ADIM là hình bình hành

0
 ÐADI = 180 - ÐDI M

0
0
 ÐPK Q = ÐAK I = ÐADI = 180 - ÐDIM = 180 - ÐDCN

2,0

tứ giác KPCQ nội tiếp, IK vng góc với CD
 KQ vng góc vng góc BC, ID song song AB
 CK vng góc AB
 K là trực tâm tam giác ABC
 KH  HI vng góc với CD.

Câu Cho p nguyên tố,p lớn hơn 3.Đặt:
4

1 1
1
1
a
1    ... 


2 3
p  2 p  1 ( p  1)!

4,0

2  2p
a
(mod p)
p
Chứng minh rằng:

Ta có :
a  (p  1)!

p 1
( p  1)!
( p  1)!
( p  1)!
 ... 
 ( p  2)!   (1) k 1
2
p2
k
k 1

1

Và

p 1

C p  C p  ...  C p
2  2p

p

p
2

p 1

( p  1)!
 
k 1 k !.( p  k )!

Giả sử :

1,0

1,0
( p  1)!
 ak (mod p)
k !.( p  k )!
( p  1)!

 (k  1)!.( p  k )!.ak (mod p )
k

25