Đề Thi Thử Học Sinh Giỏi Lớp 8 Toán 2013 - Phần 2 - Đề 15 doc

ĐỀ 8
Bài 1( 2 điểm).

Cho biểu thức :
        
2 2 2 2
1 1 1 1
x y x y
P
x y y x y x x y
  
     

1.Rút gọn P.
2.Tìm các cặp số (x;y)

Z sao cho giá trị của P = 3.

Bài 2(2 điểm). Giải phương trình:
2 2 2 2
1 1 1 1 1
5 6 7 12 9 20 11 30 8
x x x x x x x x
   
       

Bài 3( 2 điểm). Tìm giá trị lớn nhất của biẻu thức:
2
2 1
2
x

M
x




Bài 4 (3 điểm). Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi E; F lần lượt là
trung điểm của các cạnh AB, BC. M là giao điểm của CE và DF.
1.Chứng minh CE vuông góc với DF.
2.Chứng minh

MAD cân.

3.Tính diện tích

MDC theo a.
Bài 5(1 điểm). Cho các số a; b; c thoả mãn : a + b + c =
3
2
.
Chứng minh rằng : a
2
+ b
2
+ c
2



3

4
.
ĐÁP ÁN
Bài 1. (2 điểm - mỗi câu 1 điểm)
MTC :






1 1
x y x y
  

1.






   









   
2 2 2 2
1 1 1 1
1 1 1 1
x x y y x y x y x y x y x y xy
P
x y x y x y x y
         
 
     


P x y xy
  
.Với
1; ; 1
x x y y
    
thì giá trị biểu thức được xác định.
2. Để P =3
3 1 2
x y xy x y xy
        







1 1 2
x y
   

Các ước nguyên của 2 là :
1; 2.
 

Suy ra:

1 1 0
1 2 3
x x
y y
   
 

 
    
 


1 1 2
1 2 1
x x
y y
  
 

 

  
 
(loại).

1 2 3
1 1 0
x x
y y
  
 

 
  
 


1 2 1
1 1 2
x x
y y
    
 

 
    
 
(loại)
Vậy với (x;y) = (3;0) và (x;y) = (0;-3) thì P = 3.
Bài 2.(2 điểm) Điều kiện xác định:
2

3
4
5
6
x
x
x
x
x















Ta có :




  

  
  
2
2
2
2
5 6 2 3
7 12 3 4
9 20 4 5
11 30 5 6
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
    
    
    
    

Phương trình đã cho tương đương với :
           
1 1 1 1 1
2 3 3 4 4 5 5 6 8
x x x x x x x x
   
       

1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 2 4 3 5 4 6 5 8
x x x x x x x x

        
       

1 1 1
6 2 8
x x
  
 
  
4 1
6 2 8
x x
 
 





2
8 20 0 10 2 0
x x x x
       

10
2
x
x





 

thoả mãn điều kiện phương trình.
Phương trình có nghiệm : x = 10; x = -2.
Bài 3.(2điểm)



 
 
 
2 2
2 2
2 2
2
2
2
2 2
2 2 1
2 1 2 2
2 2
2 1
1
1
2 2
x x x
x x x
M

x x
x x
x
M
x x
   
    
 
 
  

  
 

M lớn nhất khi


2
2
1
2
x
x


nhỏ nhất.
Vì


2

1 0
x x
  
và


2
2 0
x x
  
nên


2
2
1
2
x
x


nhỏ nhất khi


2
1
x

= 0.
Dấu “=” xảy ra khi x-1 = 0

1
x
 
. Vậy M
max
= 1 khi x = 1.
Bài 4. . (3iểm)
a.
µ
¶
1 1
( . . )
BEC CFD c g c C D
  
V V

CDF
V
vuông tại C
µ
¶
µ
µ
0 0
1 1 1 1
90 90
F D F C CMF
      V vuông tại M
Hay CE


DF.
b.Gọi K là giao điểm của AD với CE. Ta có :
( . . )
AEK BEC g c g BC AK
  
V V

AM là trung tuyến của tam giác MDK vuông tại M
1
2
AM KD AD AMD
   V cân tại A
c. ( . )
CD CM
CMD FCD g g
FD FC
 V : V
Do đó :
2 2
.
CMD
CMD FCD
FCD
S CD CD
S S
S FD FD
   
  
   
   

V
V V
V

Mà :
2
1 1
.
2 4
FCD
S CF CD CD
 
V
.
Vậy :
2
2
2
1
.
4
CMD
CD
S CD
FD

V
.
Trong
DCF

V
theo Pitago ta có :
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 5
.
2 4 4
DF CD CF CD BC CD CD CD
 
      
 
 
.
Do đó :
2
2 2 2
2
1 1 1
.
5
4 5 5
4
MCD
CD
S CD CD a
CD
  
V

Bài 5 (1điểm)
Ta có:

2
2 2 2
1 1 1
0 0
2 4 4
a a a a a
 
        
 
 

Tương tự ta cũng có:
2
1
4
b b
 
;
2
1
4
c c
 

Cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được:
1

1

1

k

e

m

d

c

f

b

a

2 2 2
3
4
a b c a b c
     
. Vì
3
2
a b c
  
nên:
2 2 2
3

4
a b c
  

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c =
1
2
.
=========================