Chương 1: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN pptx

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
HÀM NHIỀU BIẾN
Chương 1:
Phần 1
Nội dung
1.Đạo hàm riêng cấp 1 của z = f(x,y)
2.Đạo hàm riêng cấp cao của z = f(x,y)
3.Sự khả vi và vi phân.
ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP 1
Đạo hàm riêng cấp 1 của f(x, y) theo biến x tại (x
0
, y
0
)
0 0 0 0
0 0 0 0
0
( , ) ( , )
( , ) ( , ) lim
x
x
f x y f xx y
f
f x y x
x
y
x
∆ →
+ −
∂
′

= =
∂
∆
∆
Đạo hàm riêng cấp 1 của f theo biến y tại (x
0
, y
0
)
0 0 0 0
0 0 0 0
0
( , ) ( , )
( , ) ( , ) lim
y
y
f x y
y
y f x y
f
f x y x y
y
∆ →
+ −
∂
′
= =
∂
∆
∆

(Cố định y
0
, biểu thức là hàm 1 biến theo x, tính
đạo hàm của hàm này tại x
0
)
Ý nghĩa của đhr cấp 1
Cho mặt cong S: z = f(x, y), xét f’
x
(a, b), với c = f(a, b)
Mphẳng y = b cắt S theo
gt C
1
đi qua P.
(C
1
) : z = g(x) = f(x,b)
Xem phần mặt cong S gần
P(a, b, c)
g’(a) = f’
x
(a, b)
f’
x
(a, b) = g’(a) là hệ số góc tiếp tuyến T
1
của
C
1
tại x = a.

f’
y
(a, b) là hệ số góc tiếp tuyến T
2
của C
2
( là phần
giao của S với mp x = a) tại y = b
Các ví dụ về cách tính.
(1,2) :
x
f
′
(1,2), (1,2)
x y
f f
′ ′
1/ Cho f(x,y) = 3x
2
y + xy
2
Tính
cố định y
0
= 2, ta có hàm 1 biến
2
( , )2 6 4f x x x= +
2
1
(1,2) (6 4 ) |

x x
f x x
=
′ ′
⇒ = +
1
12 4 | 16
x
x
=
= + =
(1,2)
y
f
′
cố định x
0
= 1, ta có hàm 1 biến
2
( , ) 31f y y y= +
2
2
(1,2) (3 ) |
y y
f y y
=
′ ′
⇒ = +
f(x,y) = 3x
2

y + xy
2
2
(3 2 ) | 7
y
y
=
= + =
( , ), ( , )
x y
f x y f x y
′ ′
Tính với mọi (x, y) ∈ R
2
( , )
x
f x y
′
Xem y là hằng, tính đạo hàm f(x, y) theo x
2
( , ) , ( ,6 )
x
f x y y y yx x
′
= + ∀
Áp dụng tính:
(1,2)
x
f
′

=
(Đây là cách thường dùng để tính đạo hàm tại 1 điểm)
f(x,y) = 3x
2
y + xy
2
1, 2
2
(6 ) | 16
x y
xy y
= =
+ =
2/
( , )
y
f x y
′
Xem x là hằng, tính đạo hàm f(x, y) theo y
2
( , ) 3 , )2 ( ,
y
f x y x yx x y
′
= + ∀
Áp dụng tính:
(1,2)
x
f
′

=
2
1, 2
(3 2 ) | 7
x y
x xy
= =
+ =
f(x,y) = 3x
2
y + xy
2
2/ Tính
(1,1), (1,1)
x y
f f
′ ′
với f(x, y) = x
y
1
( , ) , 0
y
x
f x y yx x
−
′
= ∀ >
1 1
(1,1) 1 1 1;
x

f
−
′
⇒ = × =
( , ) ln , 0
y
y
f x y x x x
′
= ∀ >
1
(1,1) 1 ln1 0
y
f
′
⇒ = =
2 2
,( , ) (0,0)
( , )
0, ( , ) (0,0)
xy
x y
f x y
x y
x y

≠

=
+



=

3/ Cho
a/ Tính
b/ Tính
(0,1)
x
f
′
(0,0)
x
f
′
a/ Tính
(0,1)
x
f
′
(0,1) không phải là điểm phân chia
biểu thức.
2 2 2
2 2 2
( ) 2
( , ) , ( , ) (0,0)
( )
x
y x y x y
f x y x y

x y
+ −
′
= ∀ ≠
+
(0,1) 1
x
f
′
⇒ =
2 2
,( , ) (0,0)
( , )
0, ( , ) (0,0)
xy
x y
f x y
x y
x y

≠

=
+


=


b/ Tính

(0,0)
x
f
′
(0,0) là điểm phân chia biểu thức
⇒ Tính bằng định nghĩa
0 0 0 0
0 0
0
( , ) ( , )
( , ) lim
x
x
f x x y f x y
f x y
x
∆ →
+ ∆ −
′
=
∆
0 0
(0 ,0) (0,0)
(0,0) lim lim 0 0
x
x x
f x f
f
x
∆ → ∆ →

+ ∆ −
′
= = =
∆
2 2
,( , ) (0,0)
( , )
0, ( , ) (0,0)
xy
x y
f x y
x y
x y

≠

=
+


=


Hàm f xác định tại, mọi (x,y)
2 2
2 2
( , )
x y
x
x

f x y e
x y
− +
′
= −
+
4/ Cho
2 2
( , )
x y
f x y e
− +
=
tính
( , )
x
f x y
′
, ( , ) (0,0)x y∀ ≠
Công thức trên không đúng cho (x, y) = (0, 0)
(0 ,0) ( 0,0)f x f
x
+ ∆ −
∆
•
Tại (0, 0): tính bằng định nghĩa
f không có đạo hàm theo x tại (0, 0)
(f’
x
(0,0) không tồn tại) .

2
1
x
e
x
− ∆
−
=
∆
2
0
1
lim 1
x
x
e
x
±
− ∆
∆ →
−
⇒ =
∆
m
2 2
( , )
x y
f x y e
− +
=

Ví dụ cho hàm 3 biến
(Tương tự hàm 2 biến)
( , , )
xz
f x y z x ye= +
, ,
x y z
f f f
′ ′ ′
Cho
Tính
tại
(0, 1,2)−
1
xz
x
f yze
′
= +
xz
y
f e
′
=
xz
z
f xye
′
=
(0, 1,2) 1 2 1

x
f
′
⇒ − = − = −
ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP CAO
Xét hàm 2 biến f(x,y) f’
x
, f’
y
cũng là các hàm 2 biến
2
2
2
xx
x
f
f f
x
f
x x
∂ ∂∂
′′ ′′
= =
 
=
 ÷
∂ ∂
 
∂
2

yx
f
xy y
f
f
x
∂ ∂
 
=
∂
′′
=
∂∂

∂

∂
÷

2
xy
f
yx x
f
f
y
∂ ∂
 
=
∂

′′
=
∂∂

∂

∂
÷

2
2
yy
y
f
f f
y
f
y yy
∂ ∂
 
=
 ÷
∂
∂
′′ ′′
=
∂

=
∂


∂
Đạo hàm riêng cấp 2 của f là các đhr cấp 1( nếu
có) của f’
x
, f’
y
VÍ DỤ
2
( , ) cos( )f x y x xy y x= + + −
2 sin( )
x
x y y xf = + + −
′
( )
x
x
xx
ff
′
=
′
′′
Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của f
sin( )
y
f x y x
′
= − −
( )

y
y
xx
ff
′
=
′
′′
2 cos( )y x
= − −
( )
2 sin( )
x
x y y x= + −
′
+
1 cos( )y x
= + −
( )
x
x
yy
ff
′
=
′
′′
(0, ) 0, (0, ) 1
yx yy
f f

π π
′′ ′′
= =
(0, ) 3, (0, ) 0
xx xy
f f
π π
′′ ′′
= =
( )
y
y
yy
ff
′
=
′
′′
sin( )
y
f x y x
′
= − −
1 cos( )y x
= + −
cos( )y x
= − −
Tổng qt thì các đạo hàm hỗn hợp khơng bằng nhau
xy yx
f f

′′ ′′
≠
liên tục trong miền mở chứa (x
0
, y
0
)
Định lý Schwartz: nếu f(x, y) và các đạo hàm riêng
, , ,
x y xy yx
f f f f
′ ′ ′′ ′′
thì
0 0 0 0
( , ) ( , )
xy yx
f x y f x y
′′ ′′
=
(VD 2.28 trang 53, Tốn 3, Đỗ Cơng Khanh)
•
Đối với các hàm sơ cấp thường gặp, đònh lý Schwartz
luôn đúng tại các điểm đạo hàm tồn tại.
•
Đònh lý Schwartz cũng đúng cho đạo hàm cấp 3 trở lên.
xxy xyx yxx
f f f
′′′ ′′′ ′′′
= =
( )

m n
m n
m n
m
m mn
y
n
x
n
yx y x
f
f
f
+
+
∂∂
∂∂
 
∂
=
∂ ∂
=
 ÷
 
Ý
Cách viết đạo hàm cấp cao và cách tính:
Lưu ý: đối với các hàm sơ cấp tính theo
thứ tự nào cũng được.
2 xy
xx

f y e
′′
=
( , )
xy
x
f x y ye
′
=
( , ) (1 )
xy
xy
f x y xy e
′′
= +
[ ]
( , ) (1 )
xy
xyy
f x y x xy x e
′′′
= + +
( , )
xy
f x y e=
1/ Cho tính
,
,
xx xyy
f f

′′ ′′′
Ví dụ
2
(2 )
xy
x x y e= +
Cách 2:
2 xy
yy
f x e
′
=
( , )
xy
f x y e=
xyy yyx
f f
′′′ ′′′
=
( )
2
2
xy
x x y e= +
Lấy theo thứ tự này nhanh hơn cách trước.
Đạo hàm f: 7 lần theo x, 3 lần theo y
7
7
( , )
f

x y
x
∂
∂
2/ Cho
( , ) ln(2 3 )f x y x y= +
Tính
10
7 3
( 1,1)
f
x y
∂
−
∂ ∂
7 1 7
7
( 1) ( 7 1)!2
(2 3 )x y
−
− −
=
+
7
7
2 6!
(2 3 )x y
=
+
10 3 7

7 3 3 7
( , ) ( , )
f f
x y x y
x y y x
 
∂ ∂ ∂
=
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂
 
3 7
3 7
2 6!
(2 3 )y x y
 
∂
=
 ÷
∂ +
 
10
7 3
7 3
( 1,1) 2 9! 3
f
x y
∂
− = − × ×
∂ ∂

3 7
3 7
( , )
f
x y
y x
 
∂ ∂
 ÷
∂ ∂
 
7 3 10
2 6!3 ( 7)( 7 1)( 7 2)(2 3 )x y
−
= − − − − − +
7 3 10
2 9 ! 3 (2 3 )x y
−
= − × × × +