Chuong 1 Dao ham va vi phan ham nhieu bien

Chương 1
Chương 1
: Đạo hàm và vi phân của hàm nhiều biến
: Đạo hàm và vi phân của hàm nhiều biến
KHÔNG GIAN R
n
1) Chuẩn và khoảng cách (mêtric) trong R
n
:
( )
{ }
n n
1 2 n i
x x x x x= = ∈¡ ¡ ¡, ,..., , . là không gian vectơ.
Với
( )
n
1 2 n
x x x x= ∈ ¡, ,...,
ta gọi
2 2
1 n
x x x= + +...
là chuẩn của (vectơ) x
Với
( ) ( )
1 2 n 1 2 n
x x x x y y y y= =, ,..., , , ,...,
ta gọi
1 1 n n
xy x y x y= + +...

là tích vô hướng
của x và y.
Ta có :
x x x= .
Đònh lí 1: Với mọi
n
x y z∈ λ∈¡ ¡, , ,
ta có 5 tính chất:
1 x 0 x 0 x 0 2 x x 3 x y x y
4 x y x y 5 x y y z x z
≥ = ⇔ = λ = λ ≤
+ ≤ + − + − ≥ −
. , . . . .
. .
Chứng minh một số tính chất :
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2
2 2 2 2
1 1 n n 1 n 1 n
2 2 2 2
1 n 1 n
2
2
2 2 2 2
3 x y x y x y x x y y
x y x x y y x y

4 x y x y x y
x x x y y x y y x 2xy y x 2 x y y x y
x y x y
= + + ≤ + + + +
⇒ ≤ + + + + =
+ = + + =
+ + + = + + ≤ + + = +
⇒ + ≤ +
. . ... ... ...
. ... . ... .
.
. . . . .
Ta gọi
( )
x y x yρ = −,
là khoảng cách giữa x và y trong
n
¡
Theo đònh lý 1, khoảng cách có các tính chất sau :
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 x y 0 x y 0 x y 2 x y y x
3 x z x y y z 4 x y x y
ρ ≥ ρ = ⇔ = ρ = ρ
ρ ≤ ρ + ρ ρ λ λ = λ ρ
. , , , . , ,
. , , , . , ,
Chú ý :
2
n 1 x x x x y x y= = = − = −: ,

( )
n 2 3 x y x y= ρ = −, : ,
là khoảng cách thông thường của 2 điểm trong mặt phẳng,
không gian.
2) Giới hạn của dãy trong R
n
:
Cho dãy
{ }
n
k
a ⊂ ¡
, dãy gọi là hội tụ đến
n
a ∈ ¡
nếu :
o o k
0 k k k a a∀ε > ∃ ∀ ≥ − < ε, , :
Ký hiệu :
k k k
k
a a a a a a
→∞
= = →lim (hoặc lim , )
Một vài nhận xét :
• Nếu dãy hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất.
• Nếu dãy hội tụ đến a thì mọi dãy con của nó cũng hội tụ đến a.
• Dãy
{ }
k

a
gọi là dãy Cauchy nếu
o o k m
0 k k m k a a∀ε > ∃ ∀ ≥ − < ε, , , :
Ta nói
{ }
k
a
trong
n
¡
hội tụ ⇔ nó là dãy Cauchy.
• Nếu
{ }
k
a
là dãy Cauchy và có 1 dãy con hội tụ đến a thì
k
a a→
Đònh lý 2 : Cho dãy
{ }
n n
k
a a⊂ ∈¡ ¡,
, đặt
( ) ( )
( )
( )
k k
k

k 1 2 n 1 2 n
a x x x a x x x
 
= =
 ÷
 
, ,..., , , ,...,
( )
k
k i i
k k
a a x x i 1 2 n
→∞ →∞
= ⇔ = =lim lim ( , ,..., )
Chứng minh
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
k o o k
k
2 2
k k k k
o 1 1 2 2 o 1 1 2 2
k k k k
1 1 2 2 1 1 2 2
k k k k
k k

o o 1 1 2 2
o k
n 2 a a 0 k k k a a
k k x x x x k k x x x x
x x x x x x x x
0 k k k x x x x
2 2
k k a a
→∞
→∞ →∞ →∞ →∞
= ⇒ = ⇒ ∀ε > ∃ ∀ ≥ − < ε
   
⇒ ∀ ≥ − + − < ε ⇒ ∀ ≥ − < ε − < ε
 ÷  ÷
   
⇒ = = ⇐ = =
ε ε
⇒ ∀ε > ∃ ∀ ≥ − < − <
⇒ ∀ ≥ −
Với : lim , , :
: : ,
lim , lim lim , lim
, , : ,
:
( ) ( )
2 2
2 2
k k
1 1 2 2 k
k

x x x x a a
2 2
→∞
ε ε
   
= − + − < + = ε ⇒ =
 ÷  ÷
   
lim
3) Vài khái niệm Tôpô trong R
n
:
Cho
n
a 0∈ ε >¡ và
, ta gọi
( )
{ }
n
B a x x a
ε
= ∈ − < ε¡ :
là ε _ lân cận của điểm a (hình
cầu tâm a, bán kính ε)
( )
{ }
n
B a x x a
ε
= ∈ − ≤ ε¡' :

Cho tập con
n
A ⊂ ¡
và
n
a ∈ ¡
• Điểm a gọi là điểm trong của A nếu
0∃ε >
sao cho
( )
B a A
ε
⊂
• Điểm a gọi là điểm ngoài của A nếu
0∃ε >
sao cho
( ) ( )
C
B a A B a A
ε ε
= ∅ ⊂I (hoặc )
• Điểm a gọi là điểm biên của A nếu
( ) ( )
C
0 B a A B a A
ε ε
∀ε > ≠ ∅ ≠ ∅I I, và
Mỗi điểm
n
a ∈ ¡

là một và chỉ một trong 3 loại điểm nói trên của tập A.
Tập tất cả các điểm biên của A, ký hiệu là
A∂
và gọi là biên của A.
Tập A gọi là tập mở nếu
a A∀ ∈
đều là điểm trong của A. Nói cách khác :
( )
a A 0 B a A
ε
∀ ∈ ∃ε > ⊂, sao cho
Tập A gọi là tập đóng nếu A chứa tất cả các điểm biên của A. Nói cách khác :
( )
a A 0 B a A
ε
∀ ∉ ∃ε > = ∅I, sao cho
Nhận xét :
1 A A
2 A A
⇔ ∂ = ∅
⇔ ∂ ⊂
I) A mở
) A đóng
Ta gọi bao đóng của A là tập đóng nhỏ nhất chứa A, ký hiệu
A
. Ta có :
A A A= ∂U
Ta gọi phần trong của A là tập mở lớn nhất được chứa trong A, ký hiệu
o
A

. Ta có :
o
A A A= ∂\
Đònh lí 3:
{ }
n n
A a⊂ ⇔ ⊂ → ∈ ∈¡ ¡
k k
Tập con A đóng Mọi dãy a ,a đều có a A
Chứng minh
( ) { }
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
k k
k o o k
k
k
k
Gia a A a a A
0 B a A a a k k k a a
a B a B a A
Gia a A A B a A a B a A
1 1
k k
a
ε
ε ε
⇒ ⊂ → ∉
ε > = ∅ → ∃ ∀ ≥ − < ε

⇒ ∈ = ∅
⇐ ∈∂ ∀ ∈ ≠ ∅ =
I
I
¥ I I
: sử A đóng nhưng tồn tại , .
Chọn , sao cho . Do nên , :
. Mâu thuẫn với
: sử \ thì khi đó k , . Chọn
Vì
{ }
k k k
k
1
a a a a A a a
k
→∞
− < ⇒ = ⊂ → ∈lim . Mâu thuẫn với giả thiết , nhưng a A
{ }
⊂ ∈
n
k
Tập A R gọi la ø tập compact nếu mọi dãy a trong A đều có 1 dãy con hội tụ đến 1 điểm a A
Đònh lý 4 : A⇔¡
n
Tập A trong compact đóng và bò chặn
Chứng minh
( ) { }
{ }
{ }

k k
l l
n
k k
a A
k
Lay a A a a
a a a
a a A
a A
k
→ ∈
⇒ ⊂ → ∈
⊂
= ∈
∀ ∈ ∃ ∈
¡
¥
'
: tùy ý , .
Do A compact, tồn tại dãy con ,
Do giới hạn của dãy là duy nhất nên ' . Theo đònh lý 3 thì A đóng
Giả sử A không bò chặn. Khi đó k ,
{ }
k
a k
k
a A
≥
⊂

sao cho .
Ta có không có dãy con hội tụ
Điều này mâu thuẫn với A là compact. Vậy A bò chặn
( ) { }
( ) ( )
{ }
{ }
( )
{ }
( )
{ }
( )
( )
{ }
( )
1
2
x
⇐ = =
→
 
 
 


k k
k 1 2 k
k k k
l l
1 1 1

k
k
l
l
m
2 2
:Cho n . Giả sử a x ,x là dãy tùy ý trong A. Ta cần CM dãy a có 1 dãy con hội tụ
Do x bò chặn nên có dãy con x hội tụ, x
x bò chặn nên có dãy con x
( )
( ) ( )
{ }
k
l
m
2
1 2
x
a x x a A
→


 
 
⇒ = → = ∈
 
 
 
k
l

m
2
k k
l l
m m
1 2
hội tụ, x
x ,x , (do A đóng)
• Tập A trong
n
¡
gọi là tập liên thông nếu S
1
, S
2
là các tập con tùy ý của
n
¡
thỏa
mãn :
1 2 1 2 1 2
S A S A A S S S S A≠ ∅ ≠ ∅ ⊂ ≠ ∅I I I IU, , đều có
• Tập D của
n
¡
gọi là miền nếu D mở và liên thông. Nếu D là miền thì
D D D= ∂U
gọi là miền đóng.
HÀM NHIỀU BIẾN – GIỚI HẠN & LIÊN TỤC
1) Hàm n biến : Cho

n
A ⊂ ¡

Ta gọi một ánh xạ
(
)
( )
(
)
n n
1 1
A
x x x u f x f x x
→
= = =
¡
a,..., ,...,
f :
là 1 hàm n _ biến xác
đònh trên tập A.
Ký hiệu
( ) ( )
1 n 1 n
u f x x x x A= ∈,..., , ,...,
• Hàm 2 biến thường ký hiệu
( )
z f x y= ,
Hàm 3 biến thường ký hiệu
( )
u f x y z= , ,

• Hàm
( )
z f x y= ,
cho bởi 1 công thức, ta gọi tập tất cả các (x,y) mà công thức có
nghóa là tập xác đònh của hàm số.
Ví dụ :
( )
2 2
z f x y 1 x y= = − −,
có TXĐ là
2 2
x y 1+ ≤
là hình tròn đơn vò trong mặt
phẳng
• Biểu diễn của hàm 2 biến : cho hàm
( ) ( )
z f x y x y D= ∈, , ,
. Tập tất cả các điểm
( )
( )
x y f x y, , ,
trong Oxyz gọi là “mặt” biểu diễn của f.
Ví dụ : z = 2x – 3y có mặt biểu diễn là mp có pt 2x – 3y – z = 0
z = x
2
+ y
2
có mặt biểu diễn là mặt paraboloid tròn xoay
• Cho hàm
( )

z f x y= ,
. Với mỗi z
o
thì hệ pt
( )
o
o
f x y z
z z

=


=


,
là 1 đường trong không gian,
gọi là đường đẳng trò hay đường mức của f.
2) Giới hạn : Cho
n
A ⊂ ¡
và điểm
n
x ∈ ¡
• Điểm x gọi là điểm giới hạn (điểm tụ) của tập A nếu mọi
( ) { }
( )
0 B x A x
ε

ε > ≠ ∅I, \
x là điểm giới hạn của A
( )
{ }
{ }
( )
k k
x A x x x⇔ ∃ ⊂ → dãy \ sao cho
Các điểm
x A∈
nhưng không phải là điểm giới hạn của A gọi là điểm cô lập của A.
Ví dụ :
1
A n
n
 
= ∈ ⊂
 
 
¥ ¡:
thì 0 là điểm giới hạn của A, 0 ∉ A và mọi điểm thuộc A
đều là điểm cô lập.
( )
x A 0 B x A x
ε
∈ ⇔ ∃ε > =I là điểm cô lập của A sao cho
• Cho hàm u = f(x) xác đònh trên tập A,
( )
0
x

là 1 điểm giới hạn của A. Số L gọi là giới
hạn của f(x) khi
( )
0
x x→
nếu mọi dãy
( )
{ }
( )
{ }
( ) ( )
k 0 k 0
x A x x x⊂ →\ ,
đều có
( )
( )
k
f x L→
Ký hiệu
( )
( )
0
x x
f x L
→
=lim
( )
( )
( )
( )

0
0
x x
f x L 0 0 x A 0 x x f x L
→
= ∈ ⇔ ∀ε > ∃δ > ∀ ∈ < − < δ − < ε¡lim , sao cho , đều có
• Tính chất : Nếu
( )
( )
( )
( )
0 0
x x x x
f x A g x B
→ →
= =lim , lim
thì
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0 0
x x x x
g x

B
0 0
x x x x
1 f x g x A B 2 f x g x A B
f x
A
3 f x A 0 A 1
B
g x
→ →
→ →
   
+ = + =
   
= ≠ = > ≠
) lim ) lim . .
) lim (B 0) 4) lim (A , )
• Giả sử
( )
z f x y= ,
, (x
o
, y
o
) là 1 điểm giới hạn của TXĐ của nó
Giới hạn của
( )
f x y,
khi
( ) ( )

o o
x y x y→, ,
được ký hiệu
( )
( )
( )
x y x y
o o
f x y
→, ,
lim ,
hoặc
( )
x x
o
y y
o
f x y
→
→
lim ,
( ) ( )
{ }
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
{ }
( ) ( ) ( )
n n n n o o n n o o n n
x x
o

y y
o
n n n n o o n o n o n n
f x y L x y x y x y x y x y f x y L
x y x y x y x x y y f x y L
→
→
= ⇔ ∀ ≠ → →
⇔ ∀ ≠ → → →
lim , , , , , , , , đều có ,
, , , , , , đều có ,
(Trong đk cuối có ý nghóa cả trường hợp x
o
, y
o
, L = ± ∞)
Ví dụ : Tìm giới hạn :
2
2 2
x 0
y 0
x y
x y
→
→
+
lim
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
x 0 x 0

y 0 y 0
xy
x y 1 x y 1 x y x y
x x x 0 0
2 2
x y x y x y x y x y
→ →
→ →
+
= ≤ = = ⇒ =
+ + + + +
Ta có : . . Từ đó : lim lim
Ví dụ : Xét sự tồn tại giới hạn :
2 2
x 0
y 0
xy
x y
→
→
+
lim
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
n n n n
2
n n n n
2 2 2
1
x y 0 0 0 f x y 0 0

n
1
1 1
1 1 1 1
n n n
x y 0 0 f x y
1 1 2
n n 2 2
n n n
 
= → = →
 ÷
 
 
= → = = = →
 ÷
 
+
≠
, , , , ,
.
' , ' , , , ' , '
1
Do 0 nên giới hạn không tồn tại
2
3) Giới hạn lặp :
Xét hàm
( )
z f x y= ,
, giả sử với mỗi y trong 1 lân cận của y

o
tồn tại
( ) ( )
x x
o
y f x y
→
ϕ = lim ,
Khi đó nếu tồn tại
( )
y y
o
y L
→
ϕ =lim
thì L gọi là một giới hạn lặp của (x,y)
Ký hiệu :
( ) ( )
y y x x y y x x
o o o o
L f x y f x y
→ → → →
 
= =
 ÷
 
lim lim , lim lim ,
Tương tự, ta có :
( )
x x y y

o o
f x y
→ →
lim lim ,
Ví dụ :
( )
x
f x y
y x
=
−
,
( ) ( ) ( ) ( )
y 0 x 0 y 0 x 0 y 0 x 0 x 0 x 0
y 0
x
f x y 0 0 f x y 1 1 f x y
x
→ → → → → → → →
→
= = = = − = −
−
lim lim , lim lim lim , lim lim lim , không tồn tại
Ví dụ :
( )
1
f x y x
y
=, sin
( ) ( ) ( )

y 0 x 0 y 0 x 0 y 0 x 0
y 0
f x y 0 0 f x y f x y 0 x
y
→ → → → → →
→
= = = ≤
1
lim lim , lim lim lim , : không tồn tại lim , (Vì xsin )
Ví dụ :
( )
2 2
xy
f x y
x y
=
+
,
( ) ( ) ( )
x 0 y 0 x 0 x 0 y 0
y 0
f x y f x y f x y 0
→ → → → →
→
= =lim , : không tồn tại lim lim , lim lim ,
4) Hàm liên tục :
Cho hàm
( )
n
u f x x A= ∈ ⊂ ¡,

. Hàm gọi là liên tục tại
( )
0
x A
∈
nếu
( )
( )
( )
( )
0 0
0 0 x A x x f x f x∀ε > ∃δ > ∀ ∈ − < δ − < ε, sao cho , thì
( ) ( )
{ }
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
k k k 0
f x A x f x f x⇔ ∀ ⊂ → →
0 0
liên tục tại x , x đều có
Hàm gọi là liên tục trên A nếu nó liên tục tại mọi x ∈ A
Tính chất : Cho
( ) ( )
u f x u g x= =,
liên tục tại
( )
0
x

. Khi đó
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
f x
f x g x f x g x 0
g x
+ ≠
0
, . , (g x )
liên tục tại
( )
0
x
Đònh lý 1 : Hàm
( )
u f x=
liên tục trên tập compăc A thì tồn tại
( ) ( )
a b
x x A∈,
sao cho :
( )
( )
( )
( )
( )
a b

f x f x f x x A≤ ≤ ∀ ∈,
CM :
( )
( )
{ }
( )
( )
( )
{ }
( )
{ }
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
x A
k k a
l l
k a k a
l l
m f x A f m
x x x A
f x f x f x m f x m
∈
= ⊂ →

⊂ → ∈
→ → =
k k
k
Đặt inf , khi đó tồn tại x , x
Do A compăc nên có dãy con x ,
Do f liên tục nên . Vì nên
Tương tự, ta có phần còn lại của CM
Hàm f xác đònh trên tập A gọi là liên tục đều nếu
( ) ( )
0 0 sao x y A x y f x f y∀ε > ∃δ > ∈ − < δ − < ε, , cho mọi , , thì
Đònh lý 2 : Hàm f liên tục trên tập compăc A thì f liên tục đều
CM :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
{ }
( )
{ }
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
k k k k k k
o o
0
0

1
0 x y A x y f x f y
k
A x A
f f x
Ta
∃ε > ∈ − < − ≥ ε
⊂ → ∈
→
k k k
l l
k
l
Giả sử f không liên tục đều. Khi đó
, sao cho mọi k, tồn tại , , nhưng
Do A compăc, x nên tồn tại dãy con x ,x .
Do f liên tục nên x
có
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )

( )
( )
( )
( )
( )
k 0 k k k 0 k 0 k 0
l l l l l l
l
k 0 k 0 0
l l
k
l
o l
1
y x y x x x x x 0 y x
k
Do f y f x f f y f x f x 0
f f y k
− ≤ − + − ≤ + − → ⇒ →
→ − → − =
− ≥ ε ∀
k
l
k
l
f liên tục nên . Từ đó x .
Ta gặp mâu thuẫn vì x ,
ĐẠO HÀM RIÊNG
1) Đònh nghóa đạo hàm riêng :
Cho hàm

( )
z f x y= ,
, xác đònh trong ε – lân cận
( )
o o
B x y
ε
,
của
( )
o o
x y,
Cho x số gia ∆x. Ta gọi :
( ) ( ) ( )
x o o o o o o
f x y f x x y f x y∆ = + ∆ −, , ,
là số gia riêng theo
biến x tại
( )
o o
x y,
Nếu tồn tại và hữu hạn giới hạn :
( )
x o o
x 0
f x y
x
∆ →
∆
∆

,
lim
thì giới hạn đó gọi là đạo hàm riêng
theo biến x tại
( )
o o
x y,
. Ký hiệu
( )
o o
f x y
x
∂
∂
,
hoặc
( )
x o o
f x y' ,
Vậy
( ) ( ) ( )
o o o o o o
x 0
f x y f x x y f x y
x x
∆ →
∂ + ∆ −
=
∂ ∆
, , ,

lim
Tương tự, ta có đạo hàm riêng theo biến y tại
( )
o o
x y,
. Ký hiệu
( )
o o
f x y
y
∂
∂
,
hoặc
( )
y o o
f x y' ,
Chú ý : Đạo hàm riêng theo biến x (y) là đạo hàm của hàm đã cho theo biến x (y) nếu
coi biến kia là hằng số.
Ví dụ : a) Cho
2
z x 3xy= +
. Tính
( ) ( )
x y
z 1 0 z 1 0' , , ' ,
( ) ( )
x x y y
z 2x 3y z 1 0 2 z 3x z 1 0 3= + ⇒ = = ⇒ =' ' , , ' ' ,
b) Cho

( )
z f x y x= =,
. Tính
( ) ( )
x y
z 0 0 z 0 0' , , ' ,
( )
( )
( )
( )
( )
x
x x
y
y
x 0 x 0
y 0 y 0
x
f 0 0
f 0 0 x f 0 0
x x
f 0 0
f 0 0 0 0 0 0
y
∆ → ∆ →
∆ → ∆ →
∆
∆
∆ = ∆ =
∆ ∆

∆
∆ = = = =
∆
,
, , lim lim không tồn tại nên ' , không tồn tại
,
, , lim lim
c) Cho
( )
0 xy 0
z f x y
1 xy 0

=
= =

≠

nếu
,
nếu
. Tính
( ) ( )
x y
z 0 0 z 0 0' , , ' ,
( ) ( ) ( )
( )
( )
x
x x y

x 0
f 0 0
f 0 0 f x 0 0 f 0 0 0 f 0 0 0
x
∆ →
∆
∆ = ∆ = ⇒ = = =
∆
,
, , ' , lim . Tương tự, ta cũng có : ' ,
Chú ý rằng :
( ) ( )
1 1 1 1
0 0 f 1 f 0 0
n n n n
   
→ → ≠
 ÷  ÷
   
, , , , ,
nên hàm không liên tục tại
( )
0 0,
2) Đạo hàm riêng cấp cao :
Nếu
f
x
∂
∂
có đạo hàm riêng theo biến x tại

( )
o o
x y,
,
Ta có :
( )
( )
2
o o
o o
2
f x y
f
x y
x x
x
∂
 
∂ ∂
=
 ÷
∂ ∂
∂
 
,
,
gọi là đạo hàm riêng cấp 2 theo x của hàm tại
( )
o o
x y,

Tương tự, ta có
( )
2
o o
2
f x y
y
∂
∂
,
là đạo hàm riêng cấp 2 theo biến y tại
( )
o o
x y,
Các đạo hàm riêng :
( ) ( ) ( )
xy
2
o o o o o o
f f
x y x y f x y
y x x y
 
∂ ∂ ∂
= =
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂
 
, , '' ,

( ) ( ) ( )
yx
2
o o o o o o
f f
x y x y f x y
x y y x
 
∂ ∂ ∂
= =
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂
 
, , '' ,
gọi là các đạo hàm riêng hỗn hợp cấp 2.
Ví dụ : Cho
x y
z x e
+
= sin .
. Tính các đạo hàm riêng
x y xx yy xy yx
z z z z z z' , ' , '' , '' , '' , ''
.
( )
( )
( )
x
y
xx

yy
xy
yx
x y x y x y
x y
x y x y x y x y x y
x y
x y x y x y
x y x y x y
z x e x e x x e
z x e
z x e x e x e x e 2 x e
z x e
z x e x e x x e
z x e x e x x e
+ + +
+
+ + + + +
+
+ + +
+ + +
= + = +
=
= − + + + =
=
= + = +
= + = +
' cos . sin . cos sin
' sin .
'' sin . cos . cos . sin . cos .

'' sin .
'' cos . sin . cos sin
'' cos . sin . cos sin
Chú ý : có thể xảy ra trường hợp
( ) ( )
xy yxo o o o
f x y f x y≠'' , '' ,
Ví dụ : Cho hàm
( )
2 2
2 2
2 2
2 2
x y
xy x y 0
f x y
x y
0 x y 0

−
+ ≠

=
+


+ =

. nếu
,

nếu
. Tính
( ) ( )
xy yx
f 0 0 f 0 0'' , , '' ,
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
x
x
xy yx
4 2 2 4
2
2 2
x 0 x 0
4
4
y 0
y x 4x y y
x y 0 0 f
x y
f x 0 f 0 0
0
f 0 0 0

x x
y y
f 0 0 1 f 0 0 1
y y
∆ → ∆ →
∆ →
+ −
≠ =
+
∆ −
= = =
∆ ∆
 
∆ − ∆
 
 
= = − =
∆ ∆
, , : '
, ,
' , lim lim
'' , lim , tương tự, '' ,
Đònh lý Schwartz :
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2
o o
2 2
o o o o

f x y f x y
x y
x y y x
f x y f x y
thì
x y y x
∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂
=
∂ ∂ ∂ ∂
, ,
Nếu các đạo hàm hỗn hợp , tồn tại và liên tục trong 1 lân cận của ,
, ,

Chứng minh
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
y
o o o o o o
o o o o
o o o 1
x x B x
g x y f x f x h x y f x y f x
g x y g x h x x h x
g x y g x f x y
ε
∆ ∆ + ∆ + ∆ ∈

= + ∆ − = + ∆ −
+ ∆ − = + ∆ −
+ ∆ − = + ∆ + α ∆ −
o o o o
o o o
Chọn x, y đủ bé sao cho : x,y , ,y y ,y
Đặt , x,y ,y , , ,y ,y
Ta có : ,y ,y ,y ,y (*)
Theo đònh lý Lagrange : ,y ,y ' x,y
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
y
yx
x x
xy
yx
o 1
o 2 1 1 2
o o o 1 o 1
o 1 2 1 2
o 2
f x y y
f x y x y 0 1
h x x h x f x y f x x
f x y x y 0 1
f x
 
+ α ∆ ∆

 
 
= + α ∆ + α ∆ ∆ ∆ α α ∈
 
 
+ ∆ − = +β ∆ + ∆ − + β ∆ ∆
 
 
= +β ∆ +β ∆ ∆ ∆ β β ∈
 
+ α ∆
o
o
o o o o
o
o
' ,y
'' x,y ( , , )
Tương tự, ,y ,y ' x,y ' x,y
'' x,y ( , , )
Từ đó do (*) nên '' x,y
( ) ( )
xy1 o 1 2
y f x y+ α ∆ = + β ∆ +β ∆
o
'' x,y
( ) ( )
yx xy yx xyo o o o
x 0 y 0 f f f x y f x y∆ → ∆ → =Cho , , do '' và '' liên tục nên : '' , '' ,
Chú ý : Cho hàm n biến

( )
1 2 n
u f x x x= , ,...,
Đạo hàm riêng theo biến x
i
là đạo hàm của hàm theo biến x
i
nếu coi các biến khác là
hằng số. Ký hiệu
i
u
x
∂
∂
hoặc
x
i
f '
.
Tương tự, ta cũng có đạo hàm riêng cấp cao của nó.
VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN SỐ
1) Đònh nghóa vi phân của hàm 2 biến :
Cho
( )
z f x y= ,
xác đònh trong 1 lân cận
( )
o o
B x y
ε

,
.
Cho x, y các số gia tương ứng là ∆x và ∆y sao cho
( ) ( )
o o o o
x x y y B x y
ε
+ ∆ + ∆ ∈, ,
Ta gọi
( ) ( ) ( )
o o o o o o
f x y f x x y y f x y∆ = + ∆ + ∆ −, , ,
là số gia toàn phần của
( )
f x y,
tại
( )
o o
x y,
Hàm gọi là khả vi tại
( )
o o
x y,
nếu
( )
o o
f x y A x B y x y∆ = ∆ + ∆ + α ∆ + β ∆, . . . .
, trong đó A,
B là hằng số,
0 x y 0α β → ∆ ∆ →, khi ,

.
Khi hàm khả vi tại
( )
o o
x y,
thì ta có :
( )
o o
df x y A x B y= ∆ + ∆, . .
là vi phân (toàn phần)
của f tại
( )
o o
x y,
Đặt
( ) ( )
2 2
x yρ = ∆ + ∆
. Ta có :
x yα ∆ + β ∆ = ερ. .
, trong đó
x y∆ ∆
ε = α + β
ρ ρ
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
2
x y
x y

∆ + ∆
∆ ∆
ε = α + β ≤ α +β = α + β
ρ ρ
ρ
Ta có
( )
0 0 x y 0ε → α β → ⇒ α ∆ + β ∆ = ρ khi , . .
Ta có thể đònh nghóa một cách tương đương:
Hàm
( )
z f x y= ,
khả vi tại
( )
o o
x y,
nếu
( ) ( )
o o
f x y A x B y 0∆ = ∆ + ∆ + ρ, . .
(*), trong đó
( )
0 ρ
là vô cùng bé cấp cao hơn
( ) ( )
2 2
x yρ = ∆ + ∆
khi
0ρ →
2) Điều kiện để hàm 2 biến khả vi :

Đònh lý 1 : Hàm
( )
z f x y= ,
khả vi tại
( )
o o
x y,
thì liên tục tại
( )
o o
x y,
CM :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
o o o o
o o o o o o
f x x y y f x y A x B y 0
x 0 y 0 f x x y y f x y x y
+ ∆ + ∆ − = ∆ + ∆ + ρ
∆ → ∆ → + ∆ + ∆ →
Ta có : , , . .
Cho , , Ta có : , , . Do đó f liên tục tại ,
Đònh lý 2 : Hàm khả vi tại
( )
o o
x y,
thì hàm có các đạo hàm riêng tại
( )
o o
x y,

. Hơn
nữa :
( ) ( )
o o o o
f x y f x y
A B
x y
∂ ∂
= =
∂ ∂
, ,
,
CM :
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
x
o o o o o o
o o o o o o
o o
y 0 f x y f x x y f x y A x x
f x x y f x y f x y
A x 0 f x y A B
x y
∆ = ∆ = + ∆ − = ∆ + α ∆
+ ∆ − ∂
⇒ = + α ∆ → = =
∆ ∂
Trong (*), cho : , , , . .

, , ,
. Cho , ta có : ' , . Tương tự,