Lý thuyết mủ logarit chuyên đề 5 pot

20
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG
CÓ CHỨA MŨ VÀ LOGARIT

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MŨ
1. Các đònh nghóa:

n
n thua so
a a.a a


(n Z ,n 1,a R)


1
aa

a


0
a1

a0


n
n

1
a
a

(n Z ,n 1,a R / 0 )


m
n
m
n
aa
(
a 0;m,n N
)

m
n
m
n
m
n
11
a
a
a

2. Các tính chất :

m n m n

a .a a


m
mn
n
a
a
a


m n n m m.n
(a ) (a ) a


n n n
(a.b) a .b


n
n
n
aa
()
b
b

3. Hàm số mũ: Dạng :
x
ya

( a > 0 , a 1 )
Tập xác đònh :
DR

Tập giá trò :
TR
(
x
a 0 x R
)
Tính đơn điệu:
* a > 1 :
x
ya
đồng biến trên
R

* 0 < a < 1 :
x
ya
nghòch biến trên
R

Đồ thò hàm số mũ :





Minh họa:

a>1
y=a
x
y
x
1
0<a<1
y=a
x
y
x
1


21










I. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LÔGARÍT
1. Đònh nghóa: Với a > 0 , a 1 và N > 0


dn

M
a
log N M a N


Điều kiện có nghóa:
N
a
log
có nghóa khi
0
1
0
N
a
a

2. Các tính chất :


a
log 1 0


a
log a 1


M
a

log a M


log N
a
aN


a 1 2 a 1 a 2
log (N .N ) log N log N


1
a a 1 a 2
2
N
log ( ) log N log N
N


aa
log N .log N

Đặc biệt :
2
aa
log N 2.log N


3. Công thức đổi cơ số :

a a b
log N log b.log N


a
b
a
log N
log N
log b

* Hệ quả:

a
b
1
log b
log a
và
ka
a
1
log N log N
k


* Công thức đặc biệt:
a

b
c
c
b
a
loglog

f(x)=2^x
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x
y

f(x)=(1/2)^x
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-3.5
-3

-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x
y

y=2
x

y=
x
2
1

1
x
y
y
x
1
O

O


21

4. Hàm số logarít: Dạng
a
y log x
( a > 0 , a 1 )
Tập xác đònh :
DR

Tập giá trò
TR

Tính đơn điệu:
* a > 1 :
a
y log x
đồng biến trên
R

* 0 < a < 1 :
a
y log x
nghòch biến trên
R

Đồ thò của hàm số lôgarít:

Minh họa:











5. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN:

1. Đònh lý 1: Với 0 < a 1 thì :
a
M
= a
N
M = N

2. Đònh lý 2: Với 0 < a <1 thì :
a

M
< a
N
M > N (nghòch biến)

3. Đònh lý 3: Với a > 1 thì :
a
M
< a
N
M < N (đồng biến )

4. Đònh lý 4: Với 0 < a 1 và M >
0;N > 0 thì : log
a
M = log
a
N M =
N
0<a<1
y=log
a
x
1
x
y
O
f(x)=ln(x)/ln(1/2)
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-3.5

-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x
y

y=log
2
x
x
y
x
y
f(x)=ln(x)/ln(2)
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5

-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x
y
xy
2
1
log
1
O
1
O
a>1
y=log
a
x
1
y
x
O


21

5. Đònh lý 5: Với 0 < a <1 thì :
log
a
M < log
a
N M >N (nghòch
biến)

6. Đònh lý 6: Với a > 1 thì :
log
a
M < log
a
N M < N (đồng
biến)

III. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG:

1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : a
M
= a
N

Ví dụ : Giải các phương trình sau :

x 10 x 5
x 10 x 15
16 0,125.8

2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số
Ví dụ : Giải các phương trình sau :

1)
2x 8 x 5
3 4.3 27 0

2)
x x x
6.9 13.6 6.4 0

3)
xx
( 2 3) ( 2 3) 4

4)
322
2
2
2
xxxx

5)
027.21812.48.3
xxxx

6)
07.714.92.2
22 xxx

3. Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B = 0
Ví dụ : Giải phương trình sau :
1) 8.3
x
+ 3.2
x
= 24 + 6
x

2)
0422.42
2
22
xxxxx


3)
20515.33.12
1xxx
(

4. Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng
minh nghiệm duy nhất (thường là sử dụng công cụ
đạo hàm)
* Ta thường sử dụng các tính chất sau:
Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương
trình f(x) = C có không quá một nghiệm trong khỏang (a;b). ( do đó nếu tồn
tại x

0
(a;b) sao cho
f(x
0
) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C)


21
Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm
giảm trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một
nghiệm trong khỏang (a;b) . ( do đó nếu tồn tại x
0
(a;b) sao cho f(x
0
) = g(x
0
)
thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x))
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1) 3
x
+ 4
x
= 5
x
2) 2
x
= 1+
x
2

3
3)
x
1
( ) 2x 1
3

IV. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG:
1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản :
aa
log M log N

Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1)
x
log (x 6 ) 3
2)
x x 1
log (4 4) x log (2 3)
21
2
3)
)3(log)4(log)1(log
2
1
2
2
1
2
2

xxx

)
2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số.
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1)
3
3
22
4
log x log x
3
2)
051loglog
2
3
2
3
xx

3. Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B = 0
Ví dụ : Giải phương trình sau :

2 7 2 7
log x 2.log x 2 log x.log x


4. Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh
nghiệm duy nhất.
(thường là sử dụng công cụ đạo hàm)

* Ta thường sử dụng các tính chất sau:
Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương
trình f(x) = C có không quá một nghiệm trong khỏang (a;b). ( do đó nếu tồn
tại x
0
(a;b) sao cho
f(x
0
) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C)
Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm
giảm trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một
nghiệm trong khỏang (a;b) . ( do đó nếu tồn tại x
0
(a;b) sao cho f(x
0
) = g(x
0
)
thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x))
Ví dụ : Giải các phương trình sau :

2
22
log (x x 6) x log (x 2) 4




22

V. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG:
1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : a
M
< a
N
(
,,
)
Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :
1)
2
x x 1
x 2x
1
3 ( )
3

2)
2
x1
x 2x
1
2
2


2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1)
2x x 2

2 3.(2 ) 32 0
4)
52428
11 xxx

2)
x 3 x
2 2 9
5)
11
21212.15
xxx

3)
21
1
xx
11
( ) 3.( ) 12
33
6)
0449.314.2
xxx

VI. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ
DỤNG:
1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản :
aa
log M log N

(
,,
)
Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :
1)
2
x
log (5x 8x 3) 2
2)
23
3
log log x 3 1

3)
2
3x x
log (3 x) 1
4)
x
x9
log (log (3 9)) 1


5)
)12(log12log4)1444(log
2
555
xx

2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.

Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1)
x
x
2
32
log (3 2) 2.log 2 3 0

2)
2
2x
x
log 64 log 16 3