Chương 1: Ma trận hệ phương trình tuyến tính pptx

1
BÀI GIẢNG TÓM TẮT

MÔN TOÁN C2
(GV: Trần Ngọc Hội - 2009)


CHƯƠNG 1
MA TRẬN
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

A. MA TRẬN
§1. ĐỊNH NGHĨA VÀ KÝ HIỆU
1.1. Đònh nghóa:
Một ma trận loại m × n trên R là một bảng chữ nhật gồm m dòng, n cột với
mn hệ số thực có dạng:
11 12 1n
21 22 2n
m1 m2 mn
a a a
aa a
A

a a a
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟

⎝⎠

Viết tắt: A = (a
ij
)
m×n
hay A = (a
ij
), trong đó a
ij
∈ R.
Ta gọi:
a
ij
: hệ số ở dòng i, cột j của ma trận A;
m : số dòng của ma trận A;
n : số cột của ma trận A;
(a
i1
a
i2
a
in
) : dòng thứ i của ma trận A;

2
1j
2j
mj
a

a
a
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

: cột thứ j của ma trận A.
Ký hiệu: M
m×n
(R) là tập hợp tất cả những ma trận loại m×n trên R.
Ví dụ:
32
M
210
321
A
×
∈
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛

=
(R);
23
M
32
10
21
B
×
∈
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
(R)
1.2. Đònh nghóa:
Cho hai ma trận cùng loại A = (a
ij
)
m×n
và B = (b
ij
)

m×n
. Ta nói A bằng B, ký
hiệu A = B, nếu a
ij
= b
ij
, ∀1 ≤ i ≤m, 1 ≤ j ≤ n.
1.3. Đònh nghóa:
(i) Ma trận không loại m × n, ký hiệu: 0
m×n
hay 0, là ma trận loại m × n mà tất
cả các hệ số đều bằng 0.
(ii) Một ma trận vuông cấp n là một ma trận loại n × n (i.e. số dòng = số cột = n).
Trong mỗi ma trận vuông cấp có một đường chéo chính (gọi tắt là đường
chéo) gồm các hệ số a
ii
, 1 ≤ i ≤ n.


Tập các ma trận vuông cấp n trên R được ký hiệu là M
n
(R).
(iii) Một ma trận chéo cấp n là một ma trận vuông cấp n mà tất cả các hệ số
nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0.
11
22
nn
a 0 0
0a 0
A

00 a
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

(iv) Ma trận đơn vò cấp n, ký hiệu I
n
hay I, là ma trận chéo cấp n mà tất cả các
hệ số nằm trên đường chéo chính đều bằng 1:
Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
Vuihoc24h.vn

3
nijnn
10 0
0 1 0
I()

01
×
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
==δ
⎜⎟

⎜⎟
⎝⎠

với
⎩
⎨
⎧
≠
=
=δ
jinếu0
jinếu1
ij

(v) Một ma trận tam giác trên (tam giác dưới) cấp n là một ma trận vuông cấp n
mà tất cả các hệ số nằm phía dưới (phía trên) đường chéo chính đều bằng 0.
Như vậy,
A = (a
ij
)
n×n
là ma trận tam giác trên
⇔ a
ij
= 0, ∀1 ≤ j < i ≤ n, nghóa là A có dạng:
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟

⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
nn
n222
n11211
a 00

a a0
a aa
A

B = (b
ij
)
n×n
là ma trận tam giác dưới
⇔ b
ij
= 0, ∀1 ≤ i < j ≤ n, nghóa là B có dạng:
⎟
⎟
⎟

⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
nn2n1n
2221
11
b bb

0 bb
0 0b
B

§2. CÁC PHÉP TOÁN MA TRẬN
2.1. Phép lấy chuyển vò:
Cho A = (a
ij
) là một ma trận loại m×n. Ta gọi ma trận chuyển vò của A, ký
hiệu A
T
, là ma trận loại n×m, có được từ A bằng cách xếp các dòng của A thành
các cột tương ứng của A

T
. Nghóa là:
11 12 1n 11 21 m1
21 22 2n 12 22 m2
T
m1 m2 mn 1n 2n mn
aa a aa a
a a a a a a
AA

a a a a a a
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
=⇒=
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠


Như vậy, hệ số ở dòng i, cột j của ma trận A
T
bằng hệ số ở dòng j, cột của ma
trận A.

4
2.2. Phép nhân vô hướng:
Cho ma trận A = (a
ij
)

m×n
và số thực α ∈ R. Ta đònh nghóa αA là ma trận có
từ A bằng cách nhân tất cả các hệ số của A cho α, nghóa là:
αA = (αa
ij
)
m×n

Ví dụ:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
− 620
286
310

143
2

Ký hiệu: – A = (–1)A = (– a
ij
)
m×n

Ta dễ dàng kiểm tra được các tính chất sau:
Với A = (a
ij
) và α, β ∈ R;
(i) (αβ)A = α(βA)
(ii) (αA)
T
= αA
T

(iii) 0.A = 0 và 1.A = A.
2.3. Phép cộng ma trận:
Cho hai ma trận cùng loại m×n: A = (a
ij
)
m×n
và = (b
ij
)
m×n
. Ta đònh nghóa tổng
hai ma trận A và B, ký hiệu A + B, là ma trận loại m×n mà các hệ số có được

bằng cách lấy tổng của các hệ số tương ứng của A và B, nghóa là:
A + B = (a
ij
+ b
ij
)
m×n

Ví dụ:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−

+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
− 6108
433
387
401
321
032

Ta dễ dàng kiểm được các tính chất sau:
Với A, B, C ∈ M
m×n
(R) và α, β ∈ R ta có:
(i) A + B = B + A (tính giao hoán);
(ii) (A + B) + C = A + (B + C) (tính kết hợp);
(iii) 0
m×n
+ A = A + 0
m×n
= A;
(iv) A + (–A) = (–A) + A = 0
m×n
;

(v) (A + B)
T
= A
T
+ B
T
;
(vi) α(A + B) = αA + αB
(vii) (α + β)A = αA + βA;
(viii) (–α)A = α(–A) = –(αA)
Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
Vuihoc24h.vn

5
Ký hiệu: A – B = A + (–B) = (a
ij
– b
ij
)
m×n

2.4. Phép nhân ma trận:
Cho hai ma trận A và B có tính chất: Số cột của ma trận A bằng số dòng của
ma trận B. Cụ thể ma trận A = (a
ij
) loại m×n và ma trận B = (b
ij
) loại n×p. Ta
đònh nghóa tích của hai ma trận A và B, ký hiệu AB, là ma trận C loại m×p đònh
bởi:

• Về loại: C có loại m×p.
[Ghi nhớ bằng ký hiệu hình thức : (m×n)(n×p)= (m×p)]
• Về hệ số: C có hệ số dòng i, cột j được tính bởi công thức:
n
ij ik kj
k1
cab
=
=
∑

Nói cách khác, hệ số ở dòng i, cột j của AB có được bằng cách nhân các hệ số ở
dòng i của ma trận A với các hệ số tương ứng ở cột j của ma trận B rồi lấy tổng
của chúng:

Ví dụ: Với
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
213
121
A
,

1 3
B2 1
31
⎛⎞
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
−
⎝⎠
, C =
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
01
12
ta có:

26
AB
11 8
⎛⎞
=
⎜⎟

⎝⎠
;
10 5 5
BA 5 5 0
05 5
⎛⎞
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
−
⎝⎠
;
51
BC 5 2
53
−
⎛⎞
⎜⎟
=−
⎜⎟
⎜⎟
−
⎝⎠
;
13 4
CA
12 1
−−
⎛⎞

=
⎜⎟
−
⎝⎠

nhưng AC và CB không xác đònh.
Phép nhân ma trận có các tính chất sau:
(i) Với A là ma trận loại m×n, ta có:
I
m
A = A và AI
n
= A
Suy ra với A là ma trận vuông cấp n, ta có

6
I
n
A = A.I
n
= A
(ii) Với A là ma trận loại m×n ta có:
0
p×m
A = 0
p×n
và A0
n×q
= 0
m×q

Suy ra với A là ma trận vuông cấp n, ta có:
0
n×n
A = A.0
n×n
= 0
n×n

(iii) Phép nhân ma trận có tính kết hợp:
A ∈ M
m×n
(R); B ∈ M
n×p
(R); C ∈ M
p×q
(R)
(AB)C = A(BC)
nhưng không có tính giao hoán, nghóa là thông thường AB ≠ BA (có thể AB xác
đònh nhưng BA lại không xác đònh).
(iv) Phép nhân ma trận có tính phân phối đối với phép cộng.
A(B + C) = AB + AC;
(B + C) A = BA + CA
(v) (AB)
T
= B
T
A
T

(vi) Với A =
11
22
2n
a
0
a
0
a
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠


là một ma trận chéo và k nguyên dương, ta có:

k
11
k
k
22
k
k
nn
a

0
A A A
a
0
a
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
==
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠




Chú ý: Nhiều tính chất quen thuộc của phép nhân giữa các số thực không
còn đúng đối với phép nhân ma trận, chẳng hạn:
2
A 0 A = 0.
AB 0 A = 0 hay B = 0.
AB = AC
B = C.
A0
=⇒
=⇒
⎧

⇒
⎨
≠
⎩

Ví dụ: Với
01 01 00
A;B;CO
00 00 00
⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞
====
⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠
, ta có A
2
= 0; AB = 0; AB =
AC, nhưng A, B đều khác 0 và B ≠ C.
Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
Vuihoc24h.vn

7
§3. PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TRÊN DÒNG
3.1. Đònh nghóa:
Cho A = (a
ij
)
m×n
. Ta gọi phép biến đổi sơ cấp trên dòng (viết tắt là BĐSCTD)
trên A là một trong ba loại biến đổi sau:
1) Loại 1: Đỏi hai dòng cho nhau.

Ký hiệu : d
i
↔ d
k
chỉ

phép đổi hai dòng i và k cho nhau .
2) Loại 2: Nhân một dòng cho một số khác 0.
Ký hiệu: d
i
: = αd
i
chỉ

phép nhân dòng thứ i cho số α ≠ 0.
3) Loại 3: Cộng vào một dòng một bội của dòng khác.
Ký hiệu: d
i
: = d
i
+ βd
k
chỉ

phép cộng vào dòng thứ i bội β (β ∈ R) lần
của dòng k ≠ i.
3.2. Đònh nghóa:
Cho A và B là hai ma trận cùng loại. Ta nói A tương đương dòng với B, ký
hiệu A ~ B, nếu B có được từ A qua hữu hạn (tùy ý) phép biến đổi sơ cấp trên
dòng nào đó.

Vậy:
A ~ B ⇔ ∃e
1
, e
2
, , e
k
: các phép BĐSCTD sao cho
12 k
ee e
12 k
AA A AB
⎯
⎯⎯→⎯⎯⎯→⎯⎯⎯→⎯⎯⎯→=
Nhận xét: Ta thấy quan hệ tương đương dòng là một quan hệ tương đương,
nghóa là các tính chất sau được nghiệm đúng:
(i) A ~ A;
(ii) A ~ B ⇒ B ~ A
(iii) A ~ B và B ~ C ⇒ A ~ C
3.3. Đònh nghóa: (Ma trận dạng bậc thang và dạng bậc thang rút gọn)
Cho A = (a
ij
) là một ma trận loại m×n trên R. Ta nói:
(i) A có dạng bậc thang nếu A có dạng sau:

8

trong đó k
1
< k

2
< < k
r
và
12 r
1k 2k rk
a ,a , ,a 0≠ , nghóa là A thỏa hai tính chất
sau:
1) Các dòng khác 0 luôn luôn ở trên các dòng bằng 0 của A.
2) Trên hai dòng khác 0 của A, hệ số khác 0 đầu tiên của dòng dưới bao giờ
cũng ở bên phải cột chứa hệ số khác 0 đầu tiên của dòng trên.
(ii) A có dạng bậc thang rút gọn (hay có dạng rút gọn theo dòng từng bậc) nếu
tính chất sau được thỏa:
1) A có dạng bậc thang.
2) Các hệ số khác 0 đầu tiên trên các dòng khác 0 của R đều bằng 1.
3) Trên các cột có chứa các số 1 là các hệ số khác không đầu tiên trên các
dòng khác 0, tất cả các hệ số khác đều bằng 0. Nghóa là R có dạng như trong (i)
và
12 r
1k 2k rk
aa a1
=
== =, hơn nữa, ngọai trừ các hệ số 1 này, trên các cột k
1
,
k
2
, , k
r
tất

cả các hệ số còn lại đều bằng 0.
Ví dụ: Xét các ma trận:
12 542
00 31 7
A
00004
00 0 0
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛

=
0000
3010
2400
1232
B

101000
01 3 00
C
00 0 12
00 0 00
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜

⎜
⎜
⎝
⎛
=
00000
00100
00010
72031
D

Ta thấy:
• A có dạng bậc thang nhưng B không có dạng bậc thang.
• C có dạng bậc thang rút gọn nhưng D không có dạng bậc thang rút gọn
(D chỉ có dạng bậc thang).


Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
Vuihoc24h.vn

9
3.4. Đònh lý:
Cho A là một ma trận loại m×n trên R. Khi đó tồn tại duy nhất một ma
trận bậc thang rút gọn R sao cho A ~ R. Ta gọi R là ma trận dạng bậc thang rút
gọn của A và số lượng dòng khác 0 của R là hạng của ma trận A, ký hiệu r(A).
Nhận xét: Hạng của ma trận A cũng bằng số lượng dòng khác 0 của bất kỳ
ma trận dạng bậc thang nào (không nhất thiết rút gọn) tương đương dòng với A.
Ví du 1: Tìm một ma trận dạng bậc thang R tương đương dòng với ma trận:
17 1 3 0
17 1 2 2

A
214 2 7 0
642 3 13 3
⎛⎞
⎜⎟
−−−
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
−
⎝⎠

Từ đó xác đònh hạng của A.
Đáp số:
17 1 3 0
00 2 5 2
AR
00 0 1 0
00 0 0 0
⎛⎞
⎜⎟
−−−
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∼
. Ma trận A có hạng là r(A) = 3.

Ví du 2: Tìm ma trận dạng bậc thang R tương đương dòng với ma trận:
17 1 3 0
17 1 2 2
A
214 2 7 0
642 3 13 3
⎛⎞
⎜⎟
−−−
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
−
⎝⎠

Đáp số:
1700 1
0010 1
AR
0001 0
0000 0
−
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

∼
.

§4. MA TRẬN KHẢ NGHỊCH
4.1. Đònh nghóa:
Một ma trận A vuông cấp n được gọi là khả nghòch nếu có một ma trận B
vuông cấp n sao cho AB = BA = I
n
. Khi đó ma trận B là duy nhất và được gọi là
ma trận nghòch đảo của A ký hiệu là A
–1
.
Nhận xét
:

10
1) Nếu ma trận A có một dòng hay một cột bằng 0 thì A không khả nghòch.
Đảo lại không đúng.
2) Ma trận đơn vò I khả nghòch và I
–1
= I.
3) Với A, B là hai ma trận vuông cấp n ta có:
(A khả nghòch và A
-1
= B) ⇔ AB = I
n
⇔ BA = I
n

4) Nếu A khả nghòch và α ∈ R, α ≠ 0 thì ma trận αA cũng khả nghòch và

11
1
(A) A
−−
α=
α
.
5) Nếu A khả nghòch thì A
T
cũng khả nghòch và
(A
T
)
–1
= (A
–1
)
T

6) Nếu A, B là hai ma trận khả nghòch có cùng cấp thì ma trận tích AB
cũng khả nghòch và:
(AB)
–1
= B
-1
A
–1


4.2. Đònh lý:

Cho A là một ma trận vuông cấp n. Ta có các khẳng đònh sau tương đương:
1) A khả nghòch.
2) r(A) = n.
3) A ~ I
n
.
4) Tồn tại các phép BĐSCTD e
1
, e
2
, , e
k
biến ma trận A thành ma trận đơn
vò I
n
.
Hơn nữa, khi đó cũng qua chính các phép biến đổi e
1
, e
2
, , e
k
, ma trận đơn
vò I
n
sẽ biến thành ma trận nghòch đảo A
–1
, nghóa là:

Nếu

3
12 k
e
ee e
12 kn
AA A AI
⎯
⎯⎯→⎯⎯⎯→⎯⎯⎯→⎯⎯⎯→=

thì
312 k
e
ee e
1
n12 k
IBB BA
−
⎯⎯⎯→⎯⎯⎯→⎯⎯⎯→⎯⎯⎯→=
.
Chú ý: Trong thực hành, để xét tính khả nghòch của ma trận A vuông cấp n
và tìm A
-1
(nếu có), ta tiến hành như sau: Xếp I
n
bên phải ma trận A: (A⏐I
n
) và
dùng các phép BĐSCTD để biến đổi ma trận này theo hướng đưa A về dạng bậc
thang rút gọn R:
Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com

Vuihoc24h.vn

11
p
12
e
ee
n11 pp
(A I ) (A B ) (A B ) ⎯⎯⎯→⎯⎯⎯→⎯⎯⎯→⎯⎯⎯→

Trong quá trình biến đổi có thể xảy ra hai trường hợp:
• Trường hợp 1: Tồn tại p sao cho trong dãy biến đổi trên, ma trận A
p
có ít
nhất 1 dòng hay 1 cột bằng 0. Khi đó a không khả nghòch.
• Trường hợp 2: Mọi ma trận A
i
trong dãy biến đổi trên đều không có dòng
hay cột bằng 0. Khi đó ma trận cuối cùng của dãy trên có dạng (I
n
,B). Ta có A
khả nghòch và A
-1
= B (Thử lại AB = I
n
).
Ví dụ: Xét tính khả nghòch của A và tìm A
–1
(nếu có)
a) A =

⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
191484
12873
7452
4321
b) A =
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜

⎜
⎝
⎛
−− 3014
1203
0112
4321

Đáp số:
a) A khả nghòch và ma trận nghòch đảo của A là:
1
10 7 9 1
234 1
A
1331
22 21
−
−
⎛⎞
⎜⎟
−− −
⎜⎟
=
⎜⎟
−−
⎜⎟
−−
⎝⎠

b) A không khả nghòch.

4.3. Đònh lý:
Cho A là một ma trận vuông cấp 2:
ab
A
cd
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠

Ta có: A khả nghòch khi và chỉ khi:
ab
det A ad bc 0
cd
==−≠
.
Khi đó:
1
db
1
A
ca
ad bc
−
−
⎛⎞
=
⎜⎟
−
−

⎝⎠

Ví dụ: Ma trận
21
A
34
−
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
có detA = 11 nên A khả nghòch và ta có:
1
41
1
A
32
11
−
⎛⎞
=
⎜⎟
−
⎝⎠
.

12

§5. PHƯƠNG TRÌNH MA TRẬN
Cho các ma trận:

• A vuông cấp n, khả nghòch;
• B loại n×p;
• C loại m×n.
Khi đó:
-1
A
X = B X = A B⇔
-1
YA = C Y = CA⇔
Ví dụ: Cho hai ma trận:
A =
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−−
−−−
−
3134

5123
3212
2321
;
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
=
1000
1100
0110
0011
B

a) Chứng tỏ A khả nghòch và tìm A
–1

.
b) Tìm ma trận X thỏa AXA = AB.
c) Tìm ma trận X thỏa A
2
XA
2
= ABA
2
.
Giải:
a) Ta tìm được
A
–1
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−−

−−
−−
18315029
1232
2353
29508147

b) AXA = AB ⇔ XA = B ⇔ X = BA
-1
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−−
−−
−−
18315929
17294727

1121
27477644

c) A
2
XA
2
= ABA
2
⇔ AX = B ⇔ X = A
–1
B =
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−

13812129
1512
1823
211313447

Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
Vuihoc24h.vn

13
B. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
§1. ĐỊNH NGHĨA VÀ KÝ HIỆU
1.1. Đònh nghóa:
(i) Một hệ phương trình tuyến tính trên R gồm m phương trình, n ẩn số là
một hệ có dạng:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=+++
=+++
=+++
mnmn22m11m
2nn2222121
1nn1212111
bxa xaxa

bxa xaxa

bxa xaxa
(1)
trong đó
• a
ij
, b
i
∈ R: Các ẩn số;
• x
1
, x
2
, , x
n
: Các ẩn số thực.
• Mỗi bộ số (x
1
, x
2
, , x
n
) = (α
1
, α
2
, , α
n
) thỏa tất cả các phương trình
trong (1) được gọi là một nghiệm của (1). Khi hệ có nghiệm ta còn nói hệ đó
tương thích.

(ii) Ma trận
A = (a
ij
)
m×n
=
11 12 1n
21 22 2n
m1 m2 mn
aa a
aa a

a a a
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

được gọi là ma trận hệ số ở vế trái của hệ (1).
Ma trận
B =
1
2
m
b
b

b

⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

được gọi là ma trận hệ số ở vế phải của hệ (1).
Ma trận

14
(A⏐B) =
11 12 1n
1
21 22 2n 2
m
m1 m2 mn
aa a
b
a a a b


b
aa a
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟

⎝⎠

được gọi là ma trận bổ sung (hay ma trận mở rộng) của hệ (1).
Khi đó, hệ (1) được viết dưới dạng ma trận như sau:
AX = B (2)
trong đó
1
2
n
x
x
X

x
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
: Ma trận cột các ẩn số
1.2. Đònh nghóa:
Với các ký hiệu trong Đònh nghóa 1.1, ta nói:
(i) Hệ (1) và (2) là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất nếu B = 0, nghóa
là b
1
= b
2
= = b

n
= 0.
(ii) Hệ (1) và (2) là hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất nếu có
1 ≤ j ≤ m sao cho b
j
≠ 0, nghóa là nếu B ≠ 0.
1.3. Nhận xét:
Một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất bất kỳ luôn luôn có nghiệm vì
nó nhận (0,0, ,0) làm một nghiệm, gọi là nghiệm tầm thường. Điều này không
đúng đối với các hệ không thuần nhất.

§2. PHƯƠNG PHÁP GAUSS GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Trong phần này ta sẽ đề cập đến phương pháp Gauss để giải hệ phương
trình tuyến tính:
AX = B
trong đó A = (a
ij
)
m×n
; B =
1
2
m
b
b

b
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟

⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
;
1
2
n
x
x
X

x
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
.

Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
Vuihoc24h.vn

15
2.1. Nhận xét:
Khi giải một hệ phương trình tuyến tính, các phép biến đổi sau đây cho ta
các hệ tương đương:
• Hóan đổi hai phương trình cho nhau;
• Nhân hai vế của một phương trình cho một số khác 0.

• Cộng vào một phương trình một bội của phương trình khác.
Tương ứng với các phép biến đổi trên là các phép BĐSCTD đối với ma trận
bổ sung.
Từ nhận xét trên ta có kết quả sau:
2.2. Đònh lý:
(i) Nếu A ~ R thì AX = 0 ⇔ RX = 0.
(ii) Nếu (A⏐B) ~ (R⏐B′) thì AX = B ⇔ RX = B′.
Dùng Đònh lý 2.2 ta tìm được phương pháp Gauss để giải các hệ phương
trình tuyến tính như sau:
2.3. Phương pháp Gauss:
Bước 1: Viết ma trận bổ sung (A⏐B) của hệ (sau khi viết các ẩn theo một
thứ tự nào đó).
Bước 2: Dùng các phép BĐSCTD biến đổi ma trận (A⏐B) cho đến khi A biến
thành ma trận dạng bậc thang (hay bậc thang rút gọn), nghóa là
(A⏐B) → → (R⏐B′)
Bước 3: Viết lại hệ phương trình tuyến tính RX = B′ ứng với ma trận bổ
sung (R⏐B′). Sau đó giải hệ này bằng cách lần lượt tính các ẩn dựa vào các
phương trình từ phía dưới lên. Nghiệm của hệ này chính là nghiệm của hệ đã
cho.
2.2. Đònh lý (Kronecker – Capelli):
Xét hệ phương trình tuyến tính AX = B. Đặt:
• r
1
= r(A);
• r
2
= r(A|B);
• n là số ẩn.
Khi đó:
1) Nếu r

1
< r
2
thì hệ AX = B vô nghiệm.
2) Nếu r
1
= r
2
= n thì hệ AX = B có duy nhất một nghiệm.

16
3) Nếu r
1
= r
2
< n thì AX = B có vô số nghiệm với bậc tự do là n–r
1
, nghóa là
có n–r
1
ẩn có thể nhận bất cứ các giá trò thực nào cho trước, gọi là n–r
1
ẩn tự do,
và r
1
ẩn còn lại được tính theo các ẩn tự do trên.
Chú ý: Có nhiều cách chọn ẩn tự do, nhưng thông thường, ta chọn các ẩn tự
do là các ẩn không đứng đầu trong các phương trình của hệ rút gọn RX = B'
sau cùng.
Độc giả có thể nghiên cứu phương pháp Gauss qua các ví dụ minh họa sau:

Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình tuyến tính sau:
a)
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=+++
=+++
=+++
=+++
18xx2x3x4
7xx2x2x3
6x3x2x2x
7x4x3x2x
4321
3421
4312
4321

b)
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧

=−++
=−++
−=+−+
=+−+
4x7x4x3x2
5x2xx5x3
1x22x13x3x
1x5x3x2x
4321
4321
4321
4321

c)
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=−+
=−++−
−=+−+
=−+−
8x10x3x3
5x3x2xx2
3xx5x3x3
2x4x3x2x
431

4321
4321
4321

Đáp số:
a) Ta viết lại hệ phương trình dưới dạng:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=+++
=+++
=+++
=+++
18xx2x3x4
7x2xx2x3
6x3x2xx2
7x4x3x2x
4321
4321
4321
4321

Hệ đã cho tương đương với hệ sau:
1234
1
234 2

3
34
4
4
x2x3x4x7
x2
x4x5x6 x1
x5
x x 2
x3
2x 6
+++=
=
⎧
⎧
⎪
⎪
++= =
⎪⎪
⇔
⎨⎨
=
+=
⎪⎪
⎪⎪
=−
=−
⎩
⎩

Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
Vuihoc24h.vn

17
Hệ có duy nhất một nghiệm là:
(x
1
, x
2
, x
3
, x
4
) = (2, 1, 5, –3).
b) Hệ đã cho tương đương với hệ sau:
1234
234
x2x3x5x1
x10x17x 2
+−+=
⎧
⎨
−+=−
⎩

Chọn x
3
= α, x
4
= β, ta tính được:

⎩
⎨
⎧
β−α+−=
β+α−=
17102x
29175x
2
1

Vậy hệ đã cho có vô số nghiệm với hai ẩn tự do:
1234
(x ,x ,x ,x ) (5 17 29 , 2 10 17 , , )=−α+β−+α−βαβ
với α, β ∈ R tùy ý.
c) Hệ đã cho tương đương với hệ sau:
1234
23 4
34
x2x3x4x 2
3x 8x 11x 9
10x 20x 18
0 = 2
−+−=
⎧
⎪
−+− =
⎪
⎨
−=
⎪

⎪
⎩

Hệ này vô nghiệm. Do đó hệ đã cho ban đầu cũng vô nghiệm.
Ví dụ 2: Giải và biện luận các hệ phương trình tuyến tính sau theo tham số
m∈R:
a)
1234
1234
123 4
1234
3x 5x 3x 4x 1
2x 3x x x 0
5x 9x 6x 15x 2
13x 22x 13x 22x 2m
++−=
⎧
⎪
+++=
⎪
⎨
++− =
⎪
⎪
++−=
⎩

b)
123 4
1234

12 34
2
123 4
xxx2x1
x2x3x4x 2
xx4xx m
4x 3x x mx m 6m 4
+−+ =
⎧
⎪
+−+=
⎪
⎨
−+ −=
⎪
⎪
+−+ =−+
⎩

Đáp số:
a) Hệ đã cho tương đương với hệ sau:

18
1234
23 4
34
x2x2x5x 1
x 3x 11x 2
(1)
xx 1

0 = 2m - 4
++−=
⎧
⎪
−− + =−
⎪
⎨
−−=−
⎪
⎪
⎩

• 2m – 4 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2: Hệ vô nghiệm.
• m = 2: Hệ có vô số nghiệm với một ẩn tự do:
1234
(x ,x ,x ,x ) (1 21 , 1 14 ,1 , )=−α−+α−αα
b) Hệ đã cho tương đương với hệ sau:
123 4
234
34
2
4
xxx2x 1
x2x2x 1
(1)
xxm1
(m-7)x = m 7m
+−+ =
⎧
⎪

−+ =
⎪
⎨
+=+
⎪
⎪
−
⎩

• m – 7 ≠ 0 ⇔ m ≠ 7: Hệ đã cho có duy nhất một nghiệm là:
1234
(x , x , x , x )=(-1, 3-2m, 1, m)
• m = 7: Hệ đã cho có vô số nghiệm với một ẩn tự do:
1234
(x ,x ,x ,x ) ( 8 ,17 4 ,8 , )=−+α − α −α α


Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
Vuihoc24h.vn