skkn “Một số biện pháp giúp học sinh giải được những bài tập toán cơ bản về lũy thừa của một số hữu tỉ ở lớp 7 trường Trung học cơ sở ”

I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Sự cần thiết của sáng kiến
Phải nói rằng: Tốn học là một mơn học cơ sở, môn khoa học tự nhiên lý
thú với nhiều ứng dụng rộng rãi trong cuộc sống hàng ngày, chính vì vậy, mong
muốn nắm vững kiến thức về toán học để học khá và học giỏi mơn Tốn là
nguyện vọng của rất nhiều học sinh. Trong giảng dạy mơn Tốn, việc giúp các
em nắm vững kiến thức cơ bản, biết khai thác và mở rộng kiến thức, áp dụng
vào giải được nhiều dạng bài tập là điều không hề dễ dàng, do đó địi hỏi người
giáo viên phải có phương pháp phù hợp với đối tượng học sinh, trong quá trình
dạy - học, sự tương tác giữa thầy - trị cũng đóng vai trò quan trọng giúp cho học
sinh phát triển tư duy, óc sáng tạo, sự nhanh nhạy khi giải tốn.
Trong phần Đại số lớp 7 thì “tốn lũy thừa” là một mảng kiến thức khá
rộng lớn chứa đựng rất nhiều các bài tốn hay và khó thường xuất hiện trong các
đề thi và kiểm tra. Qua quá trình giảng dạy bộ mơn tốn lớp 7, tơi nhận thấy: các
em rất “sợ” dạng toán này. Khi giải quyết các bài tập tốn về lũy thừa của số hữu
tỉ, các em ln có sự nhầm lẫn, mơ hồ trong cơng thức tính dẫn đến lặp đi lặp lại
các lỗi cơ bản, kĩ năng biến đổi, kĩ năng tính tốn cịn thiếu và yếu nên kết quả
khơng cao.Từ thực tế đó, tơi mạnh dạn nghiên cứu và viết sáng kiến kinh
nghiệm “Một số biện pháp giúp học sinh giải được những bài tập toán cơ bản
về lũy thừa của một số hữu tỉ ở lớp 7 trường Trung học cơ sở Lam Sơn” với
mong muốn giúp các em nhận thấy rõ những lỗi sai hay mắc phải để khắc phục
nhằm giải quyết được các bài toán về lũy thừa cơ bản, bên cạnh đó sáng kiến
này cịn cung cấp những phương pháp giải cụ thể đối với những dạng bài tập
toán luỹ thừa của lớp 7 giúp các em rèn luyện các thao tác tư duy, phương pháp
suy luận logic tạo sự say mê cho các em trong quá trình học tập.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Nhằm giúp học sinh khối lớp 7 trường Trung học cơ sở Lam Sơn khơng
cịn thấy khó khăn khi gặp phải các bài tập toán về lũy thừa của một số hữu tỉ
dạng cơ bản, khắc phục những sai sót khơng đáng có khi giải các bài tập toán
dạng này, nâng cao chất lượng học tập của học sinh, phát huy tính tích cực, chủ
động lĩnh hơi kiến thức và kích thích học sinh say mê học tập.

3. Đối tượng nghiên cứu
94 học sinh lớp 7/4 và 7/6 trường Trung học cơ sở Lam Sơn
4. Thời gian nghiên cứu
Từ ngày 5/9/2019 đến ngày 09/10/2019
II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Thực trạng của vấn đề cần giải quyết
1.1. Thuận lợi


Nhà trường đã được trang bị phịng học thống mát, đầy đủ bàn ghế, đồ
dùng học tập. Bên cạnh đó bản thân tôi cũng nhận được sự quan tâm chỉ đạo kịp
thời của Ban giám hiệu, sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của các đồng nghiệp
trong cơng tác giảng dạy.
Hơn thế nữa, là giáo viên trực tiếp giảng dạy mơn Tốn 7, tơi nắm chắc
tình hình, năng lực của từng học sinh, từ đó tơi có sự lựa chọn phương pháp dạy
học phù hợp mang lại kết quả tốt nhất.
1.2. Khó khăn
Tài liệu của học sinh cịn thiếu. Đa số các em chỉ có đủ điều kiện trang bị
được cho mình quyển sách giáo khoa Tốn lớp 7.
Địa bàn dân cư nằm rải rác, học sinh chủ yếu là con nhà, gia đình thuộc
diện nghèo khó, cuộc sống vất vả. Ngoài việc học trên lớp, về nhà các em phải
tham gia lao động phụ giúp gia đình nên thời gian tự học ở nhà cịn rất ít so với
chương trình học tập của bộ mơn Tốn hiện nay địi hỏi có sự tự luyện tập hình
thành kĩ năng.Trình độ dân trí cịn hạn chế, sự quan tâm đến việc học của phụ
huynh cịn chưa đúng mức, từ đó ảnh hưởng đến chất lượng học tập nói chung
và chất lượng học tập mơn tốn nói riêng.
2.3. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu
Qua kiểm tra khảo sát khi cho học sinh của hai lớp 7 giải bài tập lũy thừa
của một số hữu tỉ dạng cơ bản tôi nhận được kết quả như sau:

Xếp loại
Lớp

TB trở lên
Giỏi

Khá

TB

Yếu, kém

7/4(46)

8(17%)

15(31%)

18(39%)

5(13%)

41(87%)

7/6(48)

7(15%)

16(33%)

19(40%)

6(12)

42(88%)

Tổng(94)

15(16%)

31(33%)

37(40%)

11(11%)

83(88%)

Từ bảng số liệu trên cho thấy: ngay từ đầu năm học, học sinh có thể giải
được dạng bài tập tốn lũy thừa của một số hữu tỉ rất ít, tỉ lệ các em không giải
được bài tập dạng này là rất cao. Những hạn chế cơ bản mà các em gặp phải
trong q trình làm bài tơi có thể nhận thấy rất rõ đó là:
- Khơng nhớ kiến thức cơ bản

2


- Không nắm được các dạng bài tập về lũy thừa của số hữu tỉ cơ bản và
phương pháp giải cho mỗi dạng bài tập đó.
- Ngộ nhận khi vận dụng công thức, quy tắc hay quy ước trong quá trình

tính tốn
- Kĩ năng tính tốn, biến đổi biểu thức cịn yếu
Từ những khó khăn đó, các em chưa tích cực và tự giác, chất lượng học
tập còn thấp.
2. Các giải pháp tiến hành
2.1. Hệ thống hóa và khắc sâu các công thức lũy thừa của một số hữu
tỉ dạng cơ bản
Muốn học tốt kiến thức toán lũy thừa các em học sinh cần phải hiểu, nhớ
các công thức lũy thừa cơ bản, rồi từ đó vận dụng để giải quyết các bài tập cơ
bản. Kiến thức trọng tâm về lũy thừa của một số hữu tỉ của lớp 7 bao gồm:
Định nghĩa luỹ thừa với số mũ tự nhiên đã được học lớp 6:

14 2 43 (n  N*)
an = a.a.........a
n thừa số
Một số tính chất:
Với a, b, m, n  N






am. an = am+n,
am : an = am-n (a ≠ 0, m > n)
(a.b)m = am. bm (m ≠ 0)
(am)n = am.n (m, n ≠ 0)
am. an . ap = am+n+p (p  N)
Quy ước:




a1 = a
a0 = 1 (a ≠ 0)

Ở lớp 7, khi học sinh được mở rộng tập hợp số nguyên Z sang đến tập hợp
các số hữu tỉ Q thì với : x, y  Q; m, n  N; a, b  Z :


x.x......... x
xn =     (x  N*)

n thừa số



n

an
a

(b ≠ 0, n ≠ 0)
 
bn
b

xo = 1




xm . xn = xm+n
xm
 x m  n (x ≠ 0)
n
x
1
(x ≠ 0)
xn



x-n =



(xm)n = xm.n
(x.y)m = xm. ym



n



x
xn


(y ≠ 0)
 
yn
y

2.2. Hệ thống lại các dạng bài tập lũy thừa của số hữu tỉ cơ bản và
phương pháp giải cho mỗi dạng đó. Bên cạnh đó sưu tầm thêm bài tập có
dạng nâng cao để học sinh tìm tịi cách giải
Dạng 1: Tính tốn trên các lũy thừa.
Phương pháp: Vận dụng linh hoạt các cơng thức, phép tính về lũy thừa để
tính cho hợp lí và nhanh. Biết kết hợp hài hịa một số phương pháp trong tính
tốn khi biến đổi.
Bài 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A =

2 30.5 7  213.5 27
2 27.5 7  210.5 27

b) M =  x  4 ( x 5)

( x  6 ) ( x 6 )

( x 5 )

, với x = 7
Phương pháp giải

Với bài này, học sinh khơng nên tính giá trị của từng lũy thừa rồi thực
hiện các phép tính khác theo thứ tự thực hiện phép tính, mà nếu làm như vậy thì
rất khó có thể đưa ra đáp án đúng. Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh tìm thừa

số chung và đưa ra ngoài ngoặc ở cả tử và mẫu số, sau đó thực hiện việc rút gọn
thì việc tìm kết quả của bài toán nhanh đến bất ngờ.
213.5 7 (217  .5 20 )
2 30.5 7  213.5 27
=
= 23 = 8
10 7
17
20
27 7
10 27
2
.
5
(
2

5
)
2 .5  2 .5

a) A =

b) M =  x  4 ( x  5)

( x  6 ) ( x 6 )

( x 5 )

Học sinh dễ phát hoảng khi nhìn thấy câu b vì số mũ của lũy thừa cứ cao

dần mà số lại chưa cụ thể. Nhưng khi thay giá trị của x vào thì M lại tìm được
một cách dễ dàng.
M =  x  4  ( x  5)
12
113

M = 32

( x  6 ) ( x 6 )

( x 5 )

=  7  4  ( 7  5)

( 7  6 )( 7 6 )

= 3 2 = 32 = 9
1

Bài 2: Chứng tỏ rằng:

4

( 7 5 )


a) A = 102008 + 125 45
b) B = 52008 + 52007 + 52006 31
c) M = 88 + 220 17
d) H = (3135. 299 – 3136. 36) 7

Phương pháp giải
Với bài toán này, học sinh phải huy động kiến thức về dấu hiệu chia hết,
kĩ năng và phương pháp biến đổi, lưu ý rằng: nếu a m, a n, (m; n) = 1 thì a m.n
(a, m, n  N*)
a) A = 102008 + 125
Ta có: 102008 + 125 = 100...0 + 125 = 100...0125
2008 số 0

2005 số 0

A có tận cùng là 5 => A 5
Tổng các chữ số của A là: 1+1+2+5 = 9 => A 9.
Mà (5;9) = 1 => A 5.9 hay A 45
b) B = 52008 + 52007 + 52006
Ta khơng thể tính giá trị cụ thể của từng lũy thừa rồi thực hiện phép cộng.
Giáo viên có thể gợi ý đặt thừa số chung.
B = 52008 + 52007 + 52006
B = 52006. (52 + 51 + 1)
B = 52006. 31 31
c) M = 88 + 220
Cách làm tương tự như câu b, nhưng trước tiên phải đưa về hai lũy thừa
có cùng cơ số:
M = 88 + 220 = (23)8 + 220 = 224 + 220
M = 220 (24 + 1) = 220 (16 + 1) = 220.17 17
d) H = 3135. 299 – 3136. 36
Với câu này, học sinh cũng phải nhận ra cần đặt thừa số chung, nhưng đặt thừa
số chung nào lại là một vấn đề. Nếu đặt 3135 làm thừa số chung thì buộc phải
tính kết quả trong ngoặc, và như vậy thì rất lâu và dễ nhầm. Khi đó, giáo viên có
thể hướng dẫn.
H = 3135 . 299 – 3136 . 36

H = 3135 . 299 – 3136 - 35. 3136
H = 3135 . (299 – 313) - 35. 3136
H = 3135 . 14 - 35. 3136


H = 7. (3135 . 2 – 5. 3136 ) 7
Bài 3. Cho A = 2 + 22 + 23 + … + 260. Chứng tỏ rằng: A 3, A 7, A 5
Phương pháp giải
Với bài này, giáo viên hãy hướng dẫn các em đi nhóm các lũy thừa thành từng
nhóm 2; 3; 4... lũy thừa sao cho sau khi đặt thừa số chung ở mỗi nhóm thì xuất
hiện số cần chứng tỏ A chia hết cho nó.
Ví dụ: A = 2 + 22 + 23 + … + 260
= (2 + 22) + (23 + 24) + (25 + 26) + … + (257 + 258) + (259 + 260)
= 2.(1 + 2) + 23.(1 + 2) + 25.(1 + 2) + … + 257.(1 + 2) + 259.(1 + 2)
= (1 + 2).(2 + 23 + 25 + … + 257 + 259)
= 3.(2+23+25+…+257+259) => A 3
Tương tự, ta có:
A = (2 + 22 + 23) + (24 + 25 + 26) + … + (258 + 259 + 260 )
= 2.(1 + 2 + 22) + 24.(1 + 2 + 22) + … + 258.(1 + 2 + 22)
= (1 + 2 + 22).(2 + 24 + 27 + … + 258)
= 7.(2 + 24 + 27 + … + 258) => A 7
A = (2 + 23) + (22 + 24) + … + (257 + 259) + (258 + 260)
A = 2(1 + 22) +22(1 + 22) + … + 257(1 + 22) + 258(1 + 22)
= (1 + 22).(2 + 22 + 25 + 26 + … + 257 + 258)
= 5. (2 + 22 + 25 + 26 + … + 257 + 258
=> A 5
Một số bài tập luyện tập sau:
1) Chứng tỏ rằng các biểu thức sau đều viết được dưới dạng số chính
phương:
M = 13+23

Q = 13+23+33+43+53

N = 13+23+33

R = 13+23+33+43+53+63

P = 13+23+33+43

K = 13+23+33+43+53+63+73

2) Tính A và B bằng hai cách trở lên:
A = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + … + 2n (n  N*)
B = 70 + 71 + 72 + 73 + 74 + … + 7n+1 (n  N)
3) Viết tổng sau dưới dạng một lũy thừa của 2
T = 22+ 22 + 23 +24+25+…+ 22008
Dạng 2: So sánh hai lũy thừa

6


Phương pháp chung: để so sánh hai lũy thừa ta thường biến đổi về hai lũy
thừa có cùng cơ số hoặc có cùng số mũ (có thể sử dụng các lũy thừa trung gian
để so sánh).


Lưu ý một số tính chất sau: Với a, b, m, n  N, ta có:
a > b  an > bn,  n N*
m > n  am > an, (a > 1)
a = 0 hoặc a = 1 thì am = an (m.n 0)



Với A, B là các biểu thức ta có:
An > Bn  A > B > 0
Am > An  m > n và A > 1, hay m < n và 0 < A < 1

Bài 1. So sánh
a) 33317 và 33323
b) 200710 và 200810
c) (2008 - 2007)2009 và (1998 - 1997)1999
Phương pháp giải
Với bài này học sinh có thể nhìn ngay ra cách giải vì các lũy thừa đã có
cùng cơ số hoặc có cùng số mũ.
a) Vì 1 < 17 < 23 nên 33317 < 33323
b) Vì 2007 < 2008 nên 200710 < 200810
c) Ta có: (2008 - 2007)2009 = 12009 = 1 và (1998 - 1997)1999 = 11999 = 1
Vậy (2008 - 2007)2009 = (1998 - 1997)1999
Bài 2: So sánh
a) 2300 và 3200

e) 9920 và 999910

b) 3500 và 7300

f) 111979 và 371320

c) 85 và 3.47
d) 202303 và 303202

g) 1010 và 48.505
h) 199010 + 1990 9 và 199110
Phương pháp giải

Để làm được bài này thì học sinh cần sử dụng linh hoạt các tính chất của
lũy thừa nhằm mục đích đưa các lũy thừa về cùng cơ số hoặc cùng số mũ.
Hướng dẫn:
a) Ta có: 2300 = (23)100 = 8100
3200 = (32)100 = 9100
Vì 8100 < 9100 nên 2300 < 3200


b) Tương tự câu a, ta có: 3500 = (35)100 = 243100
7300 = (73)100 = 343100
Vì 243100 < 343100 nên 3500 < 7300
c) Ta có: 85 = 215 = 2.214 < 3.214 = 3.47 => 85 < 3.47
d) Ta có: 202303 = (2.101)3.101 = (23.1013)101
= (8.101.1012)101 = (808.101)101
303202 = (3.101)2.101 = (32.1012)101 = (9.1012)101
Vì 808.1012 > 9.1012 nên 202303 > 303202
e) Ta thấy: 992 < 99.101 = 9999 => (992)10 < 999910 hay 9920 < 999910
f) Ta có: 111979 < 111980 = (113)660 = 1331660 (1)
371320 = 372)660 = 1369660 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 111979 < 371320
g) Ta có: 1010 = 210. 510 = 2. 29. 510 (*)
48. 505 = (3. 24). (25. 510) = 3. 29. 510 (**)
Từ (*) và (**) => 1010 < 48. 505
h) Có: 199010 + 19909 = 19909. (1990+1) = 1991. 19909
199110 = 1991. 19919
Vì 19909 < 19919 nên 199010 + 1990 9 < 199110

Bài 3. Chứng tỏ rằng: 527 < 263 < 528
Phương pháp giải
Với bài này, học sinh lớp 7 sẽ khơng định hướng được cách làm, giáo viên
có thể gợi ý: hãy chứng tỏ 263 > 527 và 263 < 528
Ta có: 263 = (27)9 = 1289 và 527 = (53)9 = 1259
=> 263 > 527 (1)
Lại có: 263 = (29)7 = 5127 và 528 = (54)7 = 6257
=> 263 < 528 (2)
Từ (1) và (2) => 527 < 263 < 52
Bài 4. So sánh: a) 10750 và 7375

b) 291 và 535

8


Phương pháp giải
Ở bài trước ta có thể so sánh trực tiếp các lũy thừa cần so sánh hoặc chỉ sử
dụng một lũy thừa trung gian nhưng ở bài này nếu chỉ áp dụng cách đó thì khó
tìm ra lời giải cho bài toán. Với bài này ta cần so sánh qua hai lũy thừa trung
gian:
a) Ta thấy: 10750 < 10850 = (4. 27)50 = 2100. 3150 (1)
7375 > 7275 = (8. 9)75 = 2225. 3150 (2)
Từ (1) và (2) => 10750 < 2100. 3150 < 2225. 3150 < 7375. Vậy 10750 < 7375.
b) 291 > 290 = (25)18 = 3218 và 535 < 536 = (52)18 = 2518 => 291 > 3218 > 2518 > 535.
Vậy 291 > 535.
Bài 5. So sánh
a) (-32)9 và (-16)13

b) (-5)30 và (-3)50

c) (-32)9 và (-18)13

d) (

 1 100
1
) và ( )500
16
2

Phương pháp giải
Đưa về so sánh hai lũy thừa tự nhiên.
a) (-32)9 = - 329 = - (25)9 = - 245
(-16)13 = - 1613 = - (24)13 = - 2 52
Vì 245 < 252 nên -245 > - 252. Vậy (-32)9 > (-16)13.
b) (-5)30 = 530 = (53)10 = 12510
(-3)50 = 350 = (35)10 = 243 10. Vì 12510 < 24310 nên (-5)30 < (-3)50.
c) (-32)9 = - 329 = - (25)9 = - 245
Mà 245 < 252 = 1613 < 1813 => - 245 > -1813 = (-18)13.
Vậy (-32)9 > (-18)13.
d) Ta có: (

 1 100
1
1
1
1
 1100
( 1) 500

) = 100 = 100 = 400 và ( )500 = 500 = 500
16
2
16
2
2
16
2

Vì 2400 < 2500 nên
Vậy (

1
2

400

>

1
2 500

 1 100
1
) > ( )500.
16
2

Bài 7. So sánh M và N biết: M =

100100  1
100101  1
;
N
=
100 99  1
100100  1

Phương pháp giải


100101  1
Cách 1: N =
>1
100100  1
100
100101  1 100101  1  99 100101  100 (100  1).100
100100  1
=> N = 100 > 100
= 100
=
=
=M
99
100  1 100  1  99 100  100 (100  1).100
100 99  1

Vậy M < N.
Cách 2: M =

99
100100  1 100100  100  99 (100 99  1).100  99
=
=
= 100 99
99
99
100 99  1
100  1
100  1
100  1

99
100101  1 100101  100  99 (100100  1).100  99
=
=
= 100 100
100
100
100100  1
100  1
100  1
100  1

N=

Vì 10099 + 1 < 100100 + 1 nên
=> 100 -

99

99
>
99
100  1
100100  1

99
99
< 100 99
100  1
100100  1

Vậy M < N.
Bây giờ giáo viên có thể cho học sinh làm một số bài tập tương tự sau:
1. So sánh:
a) 528 và 2614

b) 521 và 12410

c) 3111 và 1714

d) 421 và 647

e) 291 và 535

g) 544 và 2112

2. So sánh:
a)

1
300

2

và

1

b)

200

3

8

 1
1
c)    và  
 4
8

5

1
199

5

và

1
300

3

15

 1
 3
d)   và  
 10 
 10 

20

3. So sánh:
1315  1
1316  1
a) A = 16
và B = 17
13  1
13  1
19991999  1
1999 2000  1
b) A =
và B =
19991998  1
19991999  1

100100  1
100 69  1
c) A =
và B =
100 99  1
100 68  1

Phương pháp giải
c) A =

100100  1
100 69  1
và
B
=
100 99  1
100 68  1

Bài này không giống bài 7 và bài 8. Học sinh sẽ lúng túng khi bắt tay làm
bài, giáo viên cần hướng dẫn: quy đồng mẫu A và B, ta có:
10


(100100  1).(100 68  1)
A=
(100 99  1).(100 68  1)

(100 69  1).(100 99  1)
và B =
(100 68  1).(100 99  1)

Để so sánh A và B lúc này ta có thể so sánh tử số của A và tử số của B.
Xét hiệu tử số của A trừ tử số của B:
(100100 + 1). (10068 + 1) – (10069 + 1). (10099 + 1)
= 100168 + 100100 + 10068 + 1 - 100168 – 10099 – 10069 – 1
= 100100 – 10099 – 10069 + 10068
= 100. 10099 – 10099 – 100.10068 + 10068
= 99.10099 - 99.10068
= 99. (10099 - 10068) > 0 (vì 10099 > 10068).
Vậy A>B.
2.3. Giúp học sinh nhận thấy rõ những sai sót hay mắc phải trong
q trình làm bài
1. Sai sót do khơng nắm vững định nghĩa luỹ thừa của một số hữu tỉ :
Ví dụ: Tính 23
a) Lời giải học sinh
23 = 2 . 3 = 6
Ở đây học sinh không nắm vững định nghĩa lũy thừa của một số hữu tỉ.
b/ Lời giải đúng :
23 = 2 . 2 . 2 = 8
2. Sai sót do khơng nắm vững cơ số của tích 2 luỹ thừa :
Ví dụ : Rút gọn biểu thức : A = (- x)2 yx5(- y)3
a/ Lời giải học sinh :
A = (- x)2 yx5(- y)3
= (- x)2x5 y (- y)3
= (- x)7 (- y4)
= x7y4
Ở đây học sinh có thói quen (- x) 2x5 = - x2+5 quên chú ý cơ số chưa
giống nhau vì : - x x .
b/ Lời giải đúng :
A = (- x)2 yx5(- y)3

= (-1x)2 x5y(-1y)3


= (-1)2 x2x5y(-1)3y3
= (-1)5x7y4
= - x7y4
3. Sai sót do lẫn công thức luỹ thừa của luỹ thừa với tầng luỹ thừa :
Ví dụ : Tính

B 2

a/ Lời giải học sinh :
b/ Lời giải đúng :

23

3
2.3
6
B 2 2 = 2 = 2 = 64

B = 22 = 28 = 256
3

3

Lưu ý 22  ( 22 )3
4. Sai sót do khơng nắm vững tích 2 luỹ thừa với tổng 2 luỹ thừa cùng
cơ số:
Ví dụ : Tìm n biết ( n  N ) : 2n + 2n = 64

a/ Lời giải học sinh
2n + 2n = 64
 2n+n = 64  22n = 26  2n = 6  n = 3

Ở đây các em lẫn lộn cơng thức tích hai luỹ thừa với tổng hai luỹ thừa .
b/ Lời giải đúng :
2n + 2n = 64
 1.2n + 1.2n = 64
 (1+1) 2n = 64
 2 . 2n = 64
 2n = 32
 2n = 25
 n=5

5. Sai sót do không nắm vững thương của 2 luỹ thừa cùng cơ số với
hiệu hai luỹ thừa:
Ví dụ : Rút gọn biểu thức : C =

93

3

4

 33 

2

a/ Lời giải học sinh :
C=

93

3

4

 33



2

=

(32 )3

3 2 3

3  = 3 
4 3 2

1 2

36
= 2 = 34 = 81
3

12

Ở đây học đã nhầm hiệu hai luỹ thừa cùng cơ số với thương của hai luỹ
thừa cùng cơ số (34 - 33 = 34-3 )
b/ Lời giải đúng :
C=

93

3

4

 33 

2

=

(3 2 ) 3

3.3

3

 33 

=

2

3 2 3

 3 (3  1)
3

2

=

1
36
=
6 2
4
3 .2

6. Sai sót do khơng nắm vững qui tắc rút gọn biểu thức :
Ví dụ : Rút gọn biểu thức : D =

54 - 53
252

a/ Lời giải học sinh :
5 4 - 53
5 4 - 53
5 4 - 53
D=
= 2 2 = 4 = -53
2
(5 )

25
5

Ở đây các em đã nhầm

5 4 - 53
= -53 (đã rút gọn 54 với 54) quên đặt thừa
54

số chung ở tử rồi mới rút gọn .
b/ Lời giải đúng :
53 (5 - 1)
5 4 - 53
5 3.4 4
D=
= 2 2 = 4 =
(5 )
5
25 2
5

7. Sai sót do khơng nắm vững tính chất đặt trưng của cơ số a trong
luỹ thừa :
Ví dụ 1: So sánh A và B
1
8

1
4

Với A = ( )2 ; B = ( )4
a/ Lời giải học sinh :
1
8

1
2

1
2

1
4

1
2

1
2

A = ( )2 = [( )3]2 = ( )6
B = ( )4 = [( )2]4 = ( )8
1
2

1
2

Ta có : ( )6 < ( )8
Nên A < B

Ở đây khi so sánh hai luỹ thừa các em đã đưa các luỹ thừa về cùng một
cơ số . Rồi nhận xét luỹ thừa nào có mũ lớn hơn thì luỹ thừa đó lớn hơn qn
chú ý đến đặc trưng của cơ số a .
Nếu a > 1 và m > n thì am > an
Nếu 0 < a < 1 và m > n thì am < an


b/ Lời giải đúng :
1
8

1
2

1
2

1
4

1
2

1
2

A = ( )2 = [ )3]2 = ( )6
B = ( )4 = [( )2]4 = ( )8
1
2

1
2

Ta có : ( )6 > ( )8

(vì 0 < 1/2 < 1)

Do đó : A > B
Ví dụ 2 : So sánh M và N . Với M = (- 32)9 ; N = (- 8)13
a/ Lời giải học sinh :
M = (- 32)9 = [(- 2)5]9 = (- 2)45
N = (- 8)13 = [(- 2)3]13 = (- 2)39
Ta có : (- 2)45 >(- 2)39
Nên M > N
Ở đây các em quên chú ý đến cơ số a (a < 0) khi so sánh 2 luỹ thừa cùng
cơ số . Trong trường hợp này ta có thể đưa cơ số âm về dạng cơ số dương . Rồi
suy ra kết quả .
b/ Lời giải đúng :
M = (- 32)9 = [(- 2)5]9 = (- 1.2)45 = (- 1)45. 245 = - 245
N = (- 8)13 = [(- 2)3]13 = (- 2)39 = - 239
Ta có : 245 > 239
Suy ra : - 245 < - 239
Vậy M < N
8. Sai sót do khơng xét hết các trường hợp đặt biệt của cơ số a :
Ví dụ : Tìm x biết rằng :
( x - 1)6 = ( x - 1)8
a/ Lời giải của học sinh :
Chỉ bằng nhau khi và chỉ khi cơ số chúng đồng thời bằng 1 , nghĩa là
x-1=1

 x

=2

Ở đây các em quên xét hết các trường hợp đặt biệt cơ số a , có thể là
16 =18 hoặc (-1)6 = (- 1)8 hoặc 06 = 08
b/ Lời giải đúng :
Chỉ bằng nhau khi và chỉ khi cơ số của chúng đồng thời bằng nhau
14


Nghĩa là

x-1=0  x=1

Hoặc x - 1 = 1  x = 2
Hoặc x - 1 = - 1  x = 0
* Chú ý : Có thể giải bài toán này theo cách khác .
2.4. Yêu cầu học sinh giải bài tập tương tự hoặc giải một bài tập bằng
nhiều cách để hình thành kĩ năng
Đối với khả năng của các em, chúng ta khơng thể có những u cầu quá
cao. Tôi thường xuyên yêu cầu các em làm tập tương tự bởi vì trong cùng một
dạng nếu giải được nhiều bài tập thì kĩ năng giải tốn sẽ tốt hơn. Đối với học
sinh khá giỏi, tôi yêu cầu các em tìm lời giải khác cho bài tập. Nếu khai thác
được hết các cách giải, các em sẽ được luyện tập cho khả năng tư duy, từ đó kiến
thức sẽ vững vàng hơn.
Để làm được điều đó tơi ln luôn sưu tầm rất nhiều bài tập cho mỗi dạng
để học sinh giải tại lớp, trong giờ luyện tập và làm bài tập về nhà và có sự kiểm
tra, đánh giá kịp thời.
2.5.Tạo khơng khí học tập vui vẻ

Trong mỗi lớp thường có nhiều đối tượng học sinh và đối với các em học
sinh yếu kém ln ln gặp khó khăn nhiều hơn nên trong q trình làm bài tập
tơi ln ln động viên khuyến khích, hỗ trợ các em kịp thời, bên cạnh đó tơi
cũng phân cơng nhiệm vụ cho những họ sinh khá, giỏi kiểm tra và giảng bài lại
cho các em vì các em nói chuyện với nhau có thể dễ dàng hơn.
Bên cạnh đó, tơi ln sử dụng các biện pháp gây hứng thú cho học sinh để
các tiết học tránh sự khô khan, nặng nề. Các biện pháp đó có thể là phân nhóm
làm bài hoặc cho học sinh tham gia trị chơi tốn học hay thi trả lời nhanh hoặc
là tổ chức học sinh tham gia trò chơi hái hoa dân chủ. Tùy nội dung bài tập để
giáo viên có thể tổ chức hoạt động giúp cho học sinh tích cực hơn.
C. KẾT LUẬN, KHUYẾN NGHỊ
I. KẾT QUẢ THỰC HIỆN
Trong thời gian qua, kết hợp với công tác giảng dạy trên lớp, tôi đã hướng
dẫn các em học sinh khối 7 học nội dung này, kết quả cho thấy các em đã tránh
được những sai sót khơng đáng có, nhiều em giải tốt các bài tập về lũy thừa và
rất hào hứng tìm tịi thêm nhiều bài tập ngồi bài tập mà cơ giao. Tơi nhân thấy
rằng các em thích giải bài tập mơn tốn nói chung và tốn lũy thừa nói riêng.
Tơi đã cho 40 em học sinh khá, giỏi khối lớp 7 làm bài kiểm tra khảo sát
trước và sau khi thực hiện chuyên đề này, kết quả cho thấy:


Năm học 2019 – 2020: (đầu học kì 1)
Tổng số
40

5  dưới 8

Dưới 5

8  10

Số lượng

Tỉ lệ %

Số lượng

Tỉ lệ %

Số lượng

Tỉ lệ %

4

10

10

25

26

65

Các em học sinh sau khi được học chuyên đề đã nắm vững được các dạng
bài tập về lũy thừa để tìm ra phương pháp giải hợp lý nhất cho các bài tập nâng
cao bồi dưỡng học sinh giỏi. Đặc biệt một số em trong đội tuyển học sinh giỏi đã
giải và vận dụng rất linh hoạt, nhanh và chọn được phương pháp tối ưu khi giải
toán.

II. LỜI KẾT
Như đã giới thiệu, “Toán lũy thừa của một số hữu tỉ” là một mảng kiến
thức khá rộng, chứa đựng rất nhiều những bài tốn hay và lí thú. Để chiếm lĩnh
được nó khơng phải là việc dễ làm. Với hệ thống bài tập từ dễ đến khó trong
từng dạng tốn, tơi muốn cung cấp một số phương pháp giải bài tập có liên quan
đến lũy thừa, giúp các em u thích học tốn đào sâu kiến thức về mảng lũy thừa
dưới dạng các bài tập. Tùy theo khả năng và mức độ nhận thức của học sinh mà
giáo viên truyền thụ kiến thức, phương pháp làm bài tập cho phù hợp với từng
đối tượng.
Tuy đã rất cố gắng trong công việc nghiên cứu, nhưng do vấn đề thời
gian, kinh nghiệm hạn chế nên chuyên đề này không thể tránh khỏi thiếu sót. Tơi
rất mong nhận được sự tham gia đóng góp ý kiến từ các đồng nghiệp để chun
đề này được hồn chỉnh hơn.
Tơi xin chân thành cảm ơn.
Phước Đồng, ngày 09 tháng 10 năm 2019
Người viết.

Phan Thị Ngần

16


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sưu tầm từ mạng internet.
2. Sưu tầm, học hỏi từ đồng nghiệp.
3. Phương pháp giải toán theo chủ đề phần đại số (Phan Văn Thoại).
4. Chuyên đề bồi dưỡng toán THCS (Nguyễn Vũ Thanh).
5. Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7 (Trần Thị Vân Anh).
6. Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 7 (Bùi Văn Tuyên).
7. Toán bồi dưỡng học sinh giỏi (Vũ Hữu Bình – Tơn Thân – Đỗ Hồng Hiếu).

Mục lục
Trang
A. ĐẶT VẤN DỀ..................................................................................................1
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ..................................................................................2
1. Thực trạng của vấn đề cần giải quyết..................................................2
2. Các giải pháp tiến hành........................................................................3
2.1. Hệ thống hóa và khắc sâu các cơng thức lũy thừa của một số hữu tỉ
dạng cơ bản ..........................................................................................................3
2.2. Hệ thống lại các dạng bài tập lũy thừa của số hữu tỉ dạng cơ bản và
phương pháp giải cho mỗi dạng đó. Bên cạnh đó sưu tầm thêm bài tập nâng cao
để học sinh tìm tịi cách giải..................................................................................4
Dạng 1: Tính tốn theo cơng thức cơ bản...................................................4
Dạng 2: So sánh hai lũy thừa......................................................................6
2.3.Giúp học sinh nhận thấy rõ những sai sót hay mắc phải trong q trình
làm bài.................................................................................................................11
2.4. u cầu học sinh giải bài tập tương tự hoặc giải một bài tập bằng
nhiều cách để hình thành kĩ năng........................................................................15
2.5. Tạo khơng khí học tập vui vẻ.............................................................15
C. KẾT LUẬN, KHUYẾN NGHỊ....................................................................15
I. KẾT QUẢ THỰC HIỆN.....................................................................15
II. LỜI KẾT.............................................................................................16
D. TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................17

18


NHẬN XÉT – ĐÁNH GIÁ – XẾP LOẠI
TỔ CHUYÊN MÔN

.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
NHẬN XÉT – ĐÁNH GIÁ – XẾP LOẠI
HỘI ĐỒNG HIỆU TRƯỞNG NHÀ TRƯỜNG
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

20