Luận văn KHÔNG GIAN MÊTRIC NIKODYM VÀ TÍNH CHẤT pptx

ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ
Đinh Văn Phúc
KHÔNG GIAN MÊTRIC NIKODYM VÀ TÍNH CHẤT
Bộ môn: Giải tích
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Người hướng dẫn: PGS.TS. Lê Văn Hạp
Huế, Khóa học 2009 - 2013
LỜI CẢM ƠN
Khóa luận này được hoàn thành không chỉ là kết quả của sự cố gắng,
nỗ lực của bản thân mà trước hết là nhờ sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình,
chu đáo của thầy giáo PGS.TS. Lê Văn Hạp, em xin bày tỏ lòng biết ơn
chân thành và sâu sắc đến thầy.
Em xin thành cảm ơn quý thầy cô đã hết lòng dạy dỗ, giúp đỡ em
trong suốt những năm qua.
Em xin gửi đến gia đình, những người thân yêu và những người bạn
của em lời biết ơn chân thành sâu lắng, những người luôn sát cánh bên
em, động viên và tạo mọi điều kiện cho em được học tập cũng như trong
suốt quá trình hoàn thành khóa luận này.
Huế, ngày 6 tháng 05 năm 2013
Sinh viên
Đinh Văn Phúc
Mục lục
Lời mở đầu 3
1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5
1.1 Tập thương và quan hệ tương đương . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Không gian mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Không gian độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Hàm đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Tích phân Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6 Tích phân coi như một hàm tập . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.7 Không gian L
p
, 1 ≤ p < +∞ . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 KHÔNG GIAN MÊTRIC NIKODYM VÀ TÍNH CHẤT 15
2.1 Đạo hàm Radon-Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Không gian mêtric Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Kết luận 42
Tài liệu tham khảo 43
2
LỜI MỞ ĐẦU
Không gian mêtric và lý thuyết độ đo tích phân là một phần quan
trọng trong lý thuyết hàm số biến số thực, chúng cùng với giải tích hàm
làm nền tảng cho kiến thức toán học của sinh viên. Trong chương trình học
ở đại học, học phần không gian mêtric-không gian Tôpô được học ở học
kì hai của năm thứ hai, học phần lí thuyết độ đo và tích phân được học ở
học kì một năm thứ ba. Đây là những học phần không thể thiếu đối với
sinh viên ngành toán ở bậc đại học, các học phần này giúp chúng em làm
quen và nắm được khái niệm, tính chất của không gian mêtric, không gian
độ đo và lí thuyết tích phân Đặc biệt là không gian mêtric có những tính
chất thú vị, gần gũi với hình học. Khóa luận này đi sâu nghiên cứu về một
trường hợp đặc biệt của không mêtric, đó là không gian mêtric Nikodym.
Không gian mêtric Nikodym được xây dựng dựa trên một không gian
độ đo hữu hạn và nó có một số tính chất khá thú vị, có mối liên hệ chặt
chẽ với không gian độ đo. Nội dung của khóa luận đề cập đến khái niệm
không gian mêtric Nikodym, các tính chất của không gian này đồng thời
chỉ ra mối liên hệ giữa nó với không gian L
p
, 1 ≤ p < ∞.
Nội dung nghiên cứu của em là dựa trên cuốn sách [7], trong đó các
khái niệm, kết quả được nghiên cứu và trình bày lại một cách rõ ràng và

đầy đủ hơn. Tuy không phải là những kết quả mới được tìm thấy, nhưng
3
4
với tinh thần tìm tòi học hỏi kiến thức mới, hy vọng đề tài này sẽ đem lại
nhiều kiến thức bổ ích cho bản thân và nhiều thú vị cho độc giả. Nội dung
khóa luận gồm hai chương:
Chương I: Một số kiến thức chuẩn bị.
Chương II: Không gian mêtric Nikodym và tính chất.
Tuy đã có nhiều cố gắng, song do hạn chế về thời gian và năng lực
bản thân nên khóa luận không tránh khỏi những sai sót, rất mong được
sự quan tâm góp ý của thầy cô và các bạn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Huế, ngày 6 tháng 05 năm 2013
Tác giả
Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN
BỊ
1.1 Tập thương và quan hệ tương đương
Định nghĩa 1.1.1. Cho R là một quan hệ hai ngôi trong A. Khi đó:
i. R được gọi là phản xạ nếu
∀x∈A, xRx.
ii. R được gọi là đối xứng nếu
∀x, y∈A, xRy ⇒ yRx.
iii. R được gọi là bắc cầu nếu
∀x, y, z∈A, xRy và yRz ⇒ xRz.
Định nghĩa 1.1.2. Một quan hệ hai ngôi R trong A được gọi là quan hệ
tương đương nếu R thỏa mãn ba tính chất: phản xạ, đối xứng và bắc cầu.
Quan hệ tương đương được ký hiệu là ∼.
Định nghĩa 1.1.3. Cho ∼ là một quan hệ tương đương trong X và x ∈X.
Khi đó:

i. Tập hợp ¯x={ y∈X | y∼x} được gọi là lớp tương đương của x theo quan
5
6
hệ ∼.
ii. Tập hợp X/
∼
= { ¯x | x∈X} được gọi là tập hợp thương của X trên
quan hệ tương đương ∼.
1.2 Không gian mêtric
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử X là một tập bất kỳ khác trống. Ta gọi hàm số
d: X×X → R là một mêtric (hay khoảng cách) trên X nếu hàm số này
thỏa mãn ba tiên đề sau đây:
1. d(x, y)  0, ∀x, y∈X ; d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y,
2. d(x, y) = d(y, x) ( tính đối xứng ),
3. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), ∀x, y, z∈X ( bất đẳng thức tam giác ).
Khi đó tập X cùng với mêtric d đã cho được gọi là một không gian mêtric
và kí hiệu là (X, d).
Định nghĩa 1.2.2. Không gian mêtric X được gọi là tách được nếu có
một tập con hữu hạn hay đếm được A ⊂ X trù mật khắp nơi.
Mệnh đề 1.2.3. ([7]. MĐ 26, tr 204). Không gian con của một không
gian mêtric tách được là tách được.
Định nghĩa 1.2.4. Tập A ⊂ X được gọi là compact nếu với mọi dãy
(x
n
)
n
⊂ A đều tồn tại một dãy con (x
n
k
)

k
⊂ (x
n
)
n
hội tụ về một điểm
x
0
∈ A. Nếu X là tập compact thì ta nói X là không gian compact.
Định nghĩa 1.2.5. Định nghĩa không gian mêtric đầy đủ.
1. Dãy (x
n
)
n
trong không gian mêtric X được gọi là dãy cơ bản hay dãy
Cauchy nếu lim
m,n→0
d(x
m
, x
n
) = 0. Nói cách khác (x
n
)
n
là dãy cơ bản khi và
7
chỉ khi:
(∀ε > 0)(∃n
0

)(∀m, n ≥ n
0
) : d(x
m
, x
n
) < ε.
2. Không gian mêtric X được gọi là không gian mêtric đầy đủ nếu mọi dãy
cơ bản của nó đều hội tụ trong X.
Định nghĩa 1.2.6. Cho M là một tập con của không gian mêtric X. Ta
gọi M là tập không đâu trù mật nếu nó không trù mật trong bất kì hình
cầu nào cả. Nói một cách tương đương:
( M⊂X là tập không đâu trù mật ) ⇔ (
◦
M= ∅).
Định nghĩa 1.2.7. Giả sử A là một tập con của không gian mêtric X. Ta
gọi A là tập thuộc phạm trù I trong X nếu tồn tại một dãy các tập không
đâu trù mật A
1
, A
2
, sao cho A=
∞
∪
n=1
A
n
.
Tập A⊂X được gọi là thuộc phạm trù II nếu nó không phải là tập
thuộc phạm trù I.

Định lí 1.2.8. (Định lí Baire-Category)([1]. ĐL 4.3.4, tr 58).
Giả sử X là một không gian mêtric đầy đủ. Khi đó X là tập thuộc
phạm trù II.
Hệ quả 1.2.9. Giả sử X là một không gian mêtric đầy đủ và (A
n
)
n
là
dãy các tập con của X sao cho X=
∞
∪
n=1
A
n
. Khi đó tồn tại n
0
∈ N sao cho
◦
A
n
0
= ∅.
Định lí 1.2.10. ([7]. ĐL 7, tr 213) Cho X là một không gian mêtric
đầy đủ và (f
n
)
n
là một dãy các hàm thực liên tục trên X hội tụ điểm trong
X tới hàm f nhận giá trị thực thì có một tập con D trù mật trong X sao
cho (f

n
)
n
là liên tục đồng bậc và f là liên tục tại mỗi điểm trong D.
8
1.3 Không gian độ đo
Định nghĩa 1.3.1. Một đại số là một lớp các tập con của X chứa X, ∅
và kín đối với mọi phép toán hữu hạn về tập hợp ( phép hợp và phép giao
một số hữu hạn tập, phép trừ và phép trừ đối xứng hai tập).
Định lí 1.3.2. Một lớp C là một đại số khi và chỉ khi C không rỗng và
thỏa mãn hai điều kiện:
a. A∈C, B∈C ⇒ A∪B ∈ C,
b. A∈C, A
c
= X\A∈ C.
Định nghĩa 1.3.3. Một σ-đại số là một lớp tập các tập con của X chứa
X, ∅ và kín đối với mọi phép toán hữu hạn hay đếm được về tập.Dĩ nhiên
một σ-đại số cũng là một đại số.
Định lí 1.3.4. Một lớp F là một σ-đại số khi và chỉ khi F không rỗng và
thõa mãn các điều kiện:
a. A
n
∈ F (n = 1, 2, 3, ) ⇒
∞
∪
n=1
A
n
∈ F,
b. A ∈ F ⇒A

c
= X\A ∈ F.
Định nghĩa 1.3.5. (Hàm tập hợp). Cho X là một tập tùy ý, M là một
lớp tập con của X. Một hàm µ xác định trên M gọi là một hàm tập.
Hàm đó là cộng tính nếu:
A, B∈ M, A∩B=∅, A∪B∈ M ⇒ µ(A∪B)=µ(A)+µ(B).
Bằng qui nạp chúng ta chứng minh được rằng nếu µ là cộng tính thì
nó cũng hữu hạn cộng tính tức là với A
i
∈ M, i = 1, 2, 3, n, A
i
∩A
j
= ∅,
∪
n
i=1
A
i
∈ M thì µ(∪
n
i=1
A
i
)=

n
i=1
µA
i

.
Hàm tập µ gọi là σ-cộng tính nếu A
i
∈ M, i = 1, 2, 3, , A
i
∩A
j
= ∅,
9
i=j và
∞
∪
i=1
A
i
∈ M thì µ(
∞
∪
i=1
A
i
)=
∞

i=1
µA
i
.
Định nghĩa 1.3.6. Một hàm tập µ gọi là một độ đo nếu nó được xác định
trên một đại số C và thỏa mãn 3 điều kiện sau:

(i) µ(A)0 với mọi A∈ C,
(ii) µ(∅) = 0,
(iii) µ là σ-cộng tính.
Một độ đo µ gọi là hữu hạn nếu µ(X)<+∞, σ-hữu hạn nếu:
X=
∞
∪
i=1
X
i
, X
i
∈ C, µ(X
i
)<+∞.
∗ Một số tính chất
Định lí 1.3.7. ( [1]. ĐL 1, tr 11). Nếu µ là độ đo trên đại số C thì:
i. A ∈C, B∈C, B ⊂A⇒ µ(B) ≤ µ(A).
ii. A, B∈C, B ⊂A, µ(B) <+∞⇒ µ(A\B)= µ(A)−µ(B).
iii. A
i
∈C (i=1,2,3 ) A∈C, A⊂
∞
∪
i=1
A
i
⇒ µ(A) ≤
∞


i=1
µ(A
i
).
iv. A
i
∈C (i=1,2,3 ), A
i
∩A
j
= ∅, i = j A∈C, A⊃
∞
∪
i=1
A
i
⇒ µ(A) ≥
∞

i=1
µA
i
.
Hệ quả 1.3.8. Nếu độ đo µ là σ-hữu hạn thì mọi tập A ∈ C đều có thể
phân tích thành một số đếm được tập có độ đo hữu hạn.
Định lí 1.3.9. ( [1], ĐL 2, tr 12). Nếu µ là độ đo trên đại số C thì:
i. µ(A
i
) = 0 (i=1,2,3 ),
∞

∪
i=1
A
i
∈ C ⇒ µ(
∞
∪
i=1
A
i
) = 0.
ii. A ∈ C, µ(B)=0 ⇒ µ(A∪B) = µ(A\B)= µ(A).
Định lí 1.3.10. ( [3]. ĐL 3, tr 13). Nếu µ là độ đo trên đại số C thì:
10
i. A
i
∈ C (i=1,2,3 ), A
1
⊂A
2
⊂
∞
∪
i=1
A
i
∈ C ⇒ µ(
∞
∪
i=1

A
i
) = lim
i→∞
µ(A
i
).
ii. A
i
∈ C (i=1,2,3 ), A
1
⊃A
2
⊃ , µ(A
1
) <+∞
∞
∩
i=1
A
i
∈ C ⇒ µ(
∞
∩
i=1
A
i
) = lim
i→∞
µ(A

i
).
Định lí 1.3.11. ( [3]. ĐL 4, tr 14). Cho µ là một hàm tập không âm,
cộng tính trên đại số C và sao cho µ(∅) = 0. Nó sẽ là một độ đo nếu có
một trong hai điều kiện sau:
i. A
i
∈ C (i=1,2,3 ), A
1
⊂A
2
⊂
∞
∪
i=1
A
i
∈ C ⇒ µ(
∞
∪
i=1
A
i
) = lim
i→∞
µ(A
i
).
ii. A
i

∈ C (i=1,2,3 ), A
1
⊃A
2
⊃ , µ(A
1
) <+∞
∞
∩
i=1
A
i
= ∅ ⇒ lim
i→∞
µ(A
i
) = 0.
1.4 Hàm đo được
Định nghĩa 1.4.1. Cho một không gian X, một σ-đại số F những tập
con của X và một tập A∈ F. Một hàm số f:A→R gọi là đo được trên tập
A đối với σ-đại số F nếu với mỗi a ∈ R thì { x∈A : f(x) <a}∈ F.
Định lí 1.4.2. ( [3]. ĐL 13, tr 38). Mỗi hàm số f(x) đo được trên một
tập A là giới hạn của một dãy hàm đơn giản f
n
(x)
f(x) = lim
n→∞
f
n
(x).

Nếu f(x) ≥ 0 với mọi x ∈ A thì có thể chọn các f
n
sao cho:
f
n
(x) ≥ 0, f
n+1
(x) ≥ f
n
(x),
với mọi n ∈ N và với mọi x∈A.
11
1.5 Tích phân Lebesgue
Định nghĩa 1.5.1. Tích phân của hàm đơn giản không âm f =

n
i=1
α
i
χ
A
i
trên A theo độ đo µ, kí hiệu là

A
f(x)dµ hay gọn hơn

A
fdµ, là số


n
i=1
α
i
µA
i
. Vậy

A
f(x)dµ =

n
i=1
α
i
µA
i
.
Rõ ràng rằng nếu µA = 0 thì

A
fdµ = 0.
∗ Tích phân của hàm đo được không âm.
Cho f : A → R là một hàm đo được và không âm trên A. Theo định
lí về cấu trúc của hàm đo được, tồn tại một dãy các hàm đơn giản không
âm (f
n
)
n
trên A sao cho

0 ≤ f
n
≤ f
n+1
mọi n ∈ N và f
n
 f, n → ∞.
Giới hạn lim
n→∞

A
f
n
dµ tồn tại không phụ thuộc (f
n
) và là một số thực
không âm hay +∞. Ta đi đến định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.5.2. Tích phân của hàm đo được không âm f trên A theo
độ đo µ, kí hiệu là

A
fdµ hay

A
f(x)dµ(x), là số lim
n→∞

A
f
n

dµ. Vậy

A
fdµ = lim
n→∞

A
f
n
dµ.
∗ Tích phân của hàm đo được bất kì.
Bây giờ ta giả sử f : A → R là đo được bất kì. Khi đó nếu đặt
f
+
= max{f, 0}, f
−
= −min{f, 0} thì f
+
và f
−
là những hàm đo được
không âm trên A và f = f
+
− f
−
. Theo Định nghĩa 1.5.2, các tích phân

A
f
+

dµ và

A
f
−
dµ tồn tại và là các số thực không âm hay +∞. Một cách
tự nhiên ta đi đến định nghĩa sau.
Định nghĩa 1.5.3. Nếu một trong hai tích phân

A
f
+
dµ và

A
f
−
dµ là
hữu hạn thì ta định nghĩa tích phân của f trên A (theo độ đo µ), kí hiệu
12
là

A
fdµ hay

A
f(x)dµ(x), là số

A
f

+
dµ −

A
f
−
dµ.
Vậy

A
fdµ =

A
f
+
dµ −

A
f
−
dµ.
Để ý là nếu tích phân của f trên A tồn tại thì

A
fdµ ∈ R.
Nếu

A
fdµ ∈ R(nghĩa là


A
fdµ tồn tại và hữu hạn) thì ta nói f khả
tích trên A. Lúc này cả hai tích phân

A
f
+
dµ và

A
f
−
dµ đều là những số
hữu hạn.
Định lí 1.5.4. (Định lí hội tụ bị chặn).([1]. ĐL 3.1.7, tr 221). Giả
sử (f
n
)
n
là dãy các hàm đo được trên A thỏa mãn |f
n
| ≤ g, mọi n ∈ N và
g là hàm khả tích trên A. Nếu (f
n
)
n
hội tụ hầu khắp nơi hay hội tụ theo
độ đo về một hàm f trên A thì lim
n→∞


A
f
n
dµ =

A
fdµ.
1.6 Tích phân coi như một hàm tập
Cho (X, F, µ) là một không gian độ đo, f là hàm khả tích trên X.
Khi đó ứng với mỗi tập A ∈ F có thể xác định số
λ(A) =

A
fdµ.
Như thế ta có một hàm tập λ. Hàm tập này cũng gọi là tích phân bất định
của f(x).
Định lí 1.6.1. ( [3]. ĐL 6, tr 86). Hàm tập λ là σ-cộng tính, nghĩa là
nếu A =
∞
∪
n=1
A
n
, các A
n
∈ F đôi một rời nhau và nếu có

A
fdµ ( chẳng
hạn nếu f ≥ 0 ) thì


A
fdµ =
∞

n=1

A
n
fdµ.
Định lí này cho ta thấy rằng nếu f là một hàm khả tích, không âm thì
13
hàm tập λ xác định như trên là một độ đo trên σ-đại số F. Rõ ràng nếu
µ(A) = 0 thì λ(A) = 0.
1.7 Không gian L
p
, 1 ≤ p < +∞
Giả sử (X, F, µ) là một không gian độ đo. Cho 1 ≤ p < +∞, gọi
L
p
(X, µ) là tập hợp tất cả các hàm đo được trên X sao cho

X
|f(x)|
p
dµ < ∞.
Trong đó ta không phân biệt các hàm tương đương nhau ( nghĩa là bằng
nhau hầu khắp nơi ). Nếu X ⊂ R
n
là tập hợp đo được theo Lebesgue và

µ là độ đo Lebesgue thì ta kí hiệu L
p
(X).
Định lí 1.7.1. ([4]. ĐL 1.1, tr 71). Tập hợp L
p
(X, µ) với hai phép toán
cộng là tổng của hai hàm và nhân là nhân một hàm với một số tạo thành
một không gian vectơ.
Định lí 1.7.2. ([4]. ĐL 1.5, tr 75). Cho (X, F, µ) là không gian độ đo,
1 ≤ p < +∞ khi đó hàm:
 f = (

X
|f(x)|
p
dµ)
1
p
.
Xác định một chuẩn trên L
p
(X, µ) và L
p
(X, µ) là một không gian tuyến
tính định chuẩn.
Định lí 1.7.3. ( Riesz-Fischer)([2]. ĐL 2.3, tr 57). Không gian L
p
(X, µ),
1 ≤ p < +∞ là một không gian Banach.
Hệ quả 1.7.4. ([4]. ĐL 1.7, tr 77). Cho 1 ≤ p < +∞.

Nếu {f
n
} ⊂ L
p
(X, µ) và lim
n→∞
 f − f
n
= 0, thì tồn tại một dãy con
{f
n
k
} của dãy {f
n
}, hội tụ hầu khắp nơi về f trên X.
Định lí 1.7.5. ([4]. ĐL 1.8, tr 77).
14
Cho dãy {f
n
} ⊂ L
p
(X, µ), 1 ≤ p < +∞. Nếu dãy {f
n
} đơn điệu tăng
và hội tụ hầu khắp nơi về f trên X thì lim
n→∞
 f − f
n
= 0.
Định lí 1.7.6. ([7]. ĐL 7, tr 148).

Cho E là một tập đo đượcvà 1 ≤ p < ∞. Giả sử (f
n
)
n
là một dãy
trong L
p
(E) hội tụ điểm hầu khắp nơi trên E tới hàm f thuộc L
p
(E) thì:
f
n
→ f trong L
p
nếu và chỉ nếu lim
n→∞

E
|f
n
|
p
dµ =

E
|f|
p
dµ.
Mệnh đề 1.7.7. Cho S là hàm đơn giản đo được trên X. S khả tích trên
X khi và chỉ khi độ đo của tập hợp {x ∈ X : S(x) = 0} là hữu hạn.

Định lí 1.7.8. ([4]. ĐL 3.2, tr 81). Tập hợp S gồm tất cả các hàm đơn
giản khả tích trên X là trù mật trong L
p
(X, µ), với 1 ≤ p < +∞.
Chương 2
KHÔNG GIAN MÊTRIC
NIKODYM VÀ TÍNH CHẤT
2.1 Đạo hàm Radon-Nikodym
Cho (X, M, µ) là một không gian độ đo và f là một hàm không âm
đo được đối với M, ta định nghĩa một hàm tập ν trên M như sau:
ν(E) =

E
fdµ với mọi E ∈ M.
Chúng ta đã biết rằng khi đó ν là một độ đo trên không gian đo được
(X, M) và nó có tính chất: nếu E ∈ M và µ(E) = 0 thì ν(E) = 0.
Định nghĩa 2.1.1. Cho một không gian độ đo (X, M, µ) và ν là một độ
đo. Độ đo ν mà thỏa mãn tính chất nếu E ∈ M và µ(E) = 0 kéo theo
ν(E) = 0 thì ν được gọi là tuyệt đối liên tục đối với µ và chúng ta kí hiệu
là: ν << µ.
Định lí 2.1.2. Cho (X, M, µ) là một không gian độ đo, ν là một độ đo
hữu hạn trên không gian đo được (X, M). Khi đó ν là tuyệt đối liên tục
đối với µ khi và chỉ khi với mỗi ε > 0, tồn tại một δ > 0 sao cho với bất
kì tập E ∈ M, nếu µ(E) < δ thì ν(E) < ε ( 2.2.0).
15
16
Chứng minh. + Giả sử ν tuyệt đối liên tục đối với µ và tồn tại ε
0
> 0,
dãy (E

n
) ⊂ M sao cho với mỗi n, µ(E
n
) <
1
2
n
và ν(E
n
) ≥ ε
0
. Với mỗi n,
ta đặt A
n
=
∞
∪
k=n
E
k
, thì (A
n
)
n
là một dãy giảm các tập trong M. Từ tính
đơn điệu của ν và tính cộng tính đếm được của µ ta có:
ν(A
n
) = ν(
∞

∪
k=n
E
k
) ≥ ν(E
n
) ≥ ε
0
và µ(A
n
) = µ(
∞
∪
k=n
E
k
) ≤
∞

k=n
µ(E
k
) ≤
1
2
n−1
với mọi n.
Đặt A
∞
=

∞
∩
n=1
A
n
. Do tính đơn điệu của độ đo µ, ta có:
µ(A
∞
) = µ(
∞
∩
n=1
A
n
) ≤ µ(A
n
) ≤
1
2
n−1
, ∀n ∈ N.
Cho n → ∞ ta được µ(A
∞
) = 0.
Mặt khác ta có ν(A
1
) ≤ ν(X) < ∞ và (A
n
)
n

là dãy giảm nên
ν(A
∞
) = ν(
∞
∩
n=1
A
n
) = lim
n→∞
ν(A
n
). Do ν(A
n
) ≥ ε
0
với mọi n nên
ν(A
∞
) = lim
n→∞
µ(A
n
) ≥ ε
0
. Điều này mâu thuẫn với ν là tuyệt đối liên
tục đối với µ vậy ta có điều phải chứng minh.
+ Giả sử (2.2.0) đúng. Cho E ∈ M mà µ(E) = 0. Ta cần chứng minh
ν(E) = 0. ∀ n ∈ N, lấy ε

n
=
1
n
thì theo giả thiết sẽ tồn tại δ
n
> 0, sao cho
(2.2.0) nghiệm đúng. Vì µ(E) = 0 < δ
n
nên ν(E) <
1
n
, với mọi n ∈ N.
Cho n → ∞ ta được ν(E) = 0. Vậy ν là tuyệt đối liên tục đối với µ.
Định nghĩa 2.1.3. (Độ đo Dấu). Cho một không gian đo được (X, M).
Một hàm tập ν trên M được gọi là một độ đo dấu trên M nếu nó thỏa
mãn các điều kiện dưới đây:
1. ν(E) ∈ (−∞; +∞] với mọi E ∈ M hoặc ν(E) ∈ [−∞; +∞) với mọi
E ∈ M,
2. ν(∅) = 0,
3. Với mọi dãy (E
n
) đôi một rời nhau trong M;
17

n∈N
ν(E
n
) tồn tại trong R và


n∈N
ν(E
n
) = ν(∪
n∈N
E
n
).
Nếu ν là một độ đo dấu trong M, thì không gian (X, M, ν) được gọi
là không gian độ đo dấu.
Một độ đo dấu µ gọi là hữu hạn nếu µ(X) ∈ R, σ-hữu hạn nếu:
X=
∞
∪
i=1
X
i
, X
i
∈ M, µ(X
i
) ∈ R.
Chú ý: Nếu (E
n
) là một dãy trong M trong không gian độ đo dấu
(X, M, ν), thì

n∈N
ν(E
n

) có thể không tồn tại trong R, cho nên không
phải khi nào (E
n
) đôi một rời nhau thì tổng

n∈N
ν(E
n
) trong điều kiện (3)
của định nghĩa trên cũng tồn tại. Bây giờ cho E
1
, E
2
, E
n
, E
i
∈ M. Khi
đó do điều kiện (1) trong định nghĩa trên nên

n
i=1
ν(E
i
) luôn luôn tồn tại
trong R . Nếu E
1
, E
2
, E

n
, E
i
∈ M, E
i
∩ E
j
= ∅, i = 1, n, j = 1, n
thì dãy (E
1
, E
2
, E
n
, ∅, ∅ ) là đôi một rời nhau và từ ν(∅) = 0 nên điều
kiện (3) trong định nghĩa trên được thỏa mãn.
Định nghĩa 2.1.4. Cho không gian độ đo (X, M, µ) và f là hàm đo được
trên tập D ∈ M. Nếu

D
f
+
dµ −

D
f
−
dµ tồn tại trong R, thì ta nói rằng
f là nửa khả tích trên D đối với µ hay µ-nửa khả tích trên D và xác định


D
fdµ =

D
f
+
dµ −

D
f
−
dµ.
Mệnh đề 2.1.5. Cho (X, M, µ) là một không gian độ đo, cho f : X → R
là một hàm nửa khả tích trên X, chúng ta xác định một hàm tập ν trên
M bởi:
ν(E) =

E
fdµ với mọi E ∈ M, thì ν là một độ đo dấu trên M.
Chứng minh. Vì f là nửa khả tích nên trong hai tích phân

X
f
+
dµ
và

X
f
−

dµ có một tích phân là hữu hạn, không mất tính tổng quát giả sử

X
f
+
dµ là hữu hạn. Khi đó với mọi E ∈ M ta có
18
0 ≤

E
f
+
dµ ≤

X
f
+
dµ < +∞. Do vậy
ν(E) =

E
f
+
dµ −

E
f
−
dµ ∈ [−∞, +∞), tức là điều kiện (1) trong định
nghĩa được thỏa mãn.

Ta có ν(∅) =

∅
fdµ = 0 nên điều kiện (2) thỏa mãn.
Ta xét (E
n
) là dãy các tập đôi một rời nhau trong M,
∞

n=1
ν(E
n
) tồn
tại trong R, đặt E =
∞
∪
n=1
E
n
, khi đó ta có:
ν(E) =

E
fdµ =

∞
∪
n=1
E
n

fdµ =
∞

n=1

E
n
fdµ =
∞

n=1
ν(E
n
) vậy điều kiện (3)
được thỏa mãn. Do đó ν là một độ đo dấu.
Định nghĩa 2.1.6. (Đạo hàm Radon-Nikodym).
Cho (X, M, µ ) là một không gian độ đo, ν là một độ đo dấu trong không
gian đo được (X, M). Nếu tồn tại một hàm f đo được trên X đối với
M sao cho ν(E) =

E
fdµ với mỗi E ∈ M thì f được gọi là đạo hàm
Radon-Nikodym của ν đối với µ và ký hiệu là
dν
dµ
.
Chú ý rằng nếu một đạo hàm Radon-Nikodym f của ν đối với µ tồn
tại thì

X

fdµ = ν(X) ∈ R. Vậy f không nhất thiết khả tích trên X đối
với µ.
Mệnh đề 2.1.7.
(i) Cho f là một đạo hàm Radon-Nikodym của một độ đo dấu ν đối với
một độ đo µ trên một không gian đo được (X, M). Nếu g là một hàm đo
được trên X sao cho f = g hầu khắp nơi trên X đối với µ, thì g cũng là
một đạo hàm Radon-Nikodym của ν đối với µ.
(ii) Cho µ là độ đo σ-hữu hạn và ν là một độ đo dấu trên một không gian
đo được (X, M). Nếu hai hàm đo được f và g là đạo hàm Radon-Nikodym
của ν đối với µ thì f = g hầu khắp nơi trên X đối với µ.
19
Chứng minh. (i) Chú ý rằng nếu g là một hàm đo được trên X
sao cho f = g hầu khắp nơi trên X thì với mỗi E ∈ M chúng ta có

E
gdµ =

E
fdµ = ν(E). Vậy theo định nghĩa g là đạo hàm Radon-
Nikodym của ν đối với µ.
(ii) Để chứng minh (ii) ta đi chứng minh mệnh đề sau đây trước:
Mệnh đề 2.1.8. Cho (X, M, µ) là một không gian độ đo σ-hữu hạn, f
và g là hai hàm đo được µ-nửa khả tích trên X sao cho

E
fdµ =

E
gdµ
với mỗi E ∈ M, thì f = g hầu khắp nơi trên X.

Chứng minh. Do µ là σ-hữu hạn nên có một dãy (A
n
)
n
trong M sao
cho A
n
∩ A
m
= ∅,
∞
∪
n=1
A
n
= X và µ(A
n
) < ∞, ∀n ∈ N. Ta sẽ chứng minh
f = g hầu khắp nơi trên mỗi A
n
, ∀n ∈ N (1).
Giả sử (1) không được thỏa mãn khi đó có ít nhất một trong hai tập
E = {x ∈ A
n
: f(x) < g(x)} và F = {x ∈ A
n
: f(x) > g(x)} sẽ có một
tập có độ đo dương. Giả sử µ(E) > 0, khi đó ta biểu diễn E = E

∪ E


trong đó E

= {x ∈ A
n
: −∞ < f(x) < g(x)}
và E

= {x ∈ A
n
: f(x) = −∞, g(x) > −∞}. Vì E

∩ E

= ∅, nên sẽ
có ít nhất một trong hai tập E

, E

có độ đo dương.
+ Xét trường hợp µ(E

) > 0, bây giờ ta có E

= ∪
m∈N
∪
k∈N
∪
l∈N

E

m,k,l
ở
đây E

m,k,l
= {x ∈ A
n
: −m ≤ f(x), f(x) +
1
k
≤ g(x) ≤ l}.
Vì 0 < µ(E

) ≤

m∈N

k∈N

l∈N
µ(E

m,k,l
) do đó sẽ tồn tại m
0
, k
0
, l

0
sao
cho µ(E

m
0
,k
0
,l
0
) > 0, đặt E
∗
= E

m
0
,k
0
,l
0
thì ta có:

E
∗
(g − f)dµ ≥
1
k
0
µ(E
∗

) > 0.
Vì f và g là µ-nửa khả tích trên E
∗
, chúng ta có

E
∗
(g − f)dµ
=

E
∗
gdµ −

E
∗
fdµ. Suy ra

E
∗
gdµ ≥

E
∗
fdµ +
1
k
0
µ(E
∗

) >

E
∗
fdµ. Mâu
thuẫn với giả thiết.
20
+ Trường hợp µ(E

) > 0 chúng ta có E

= ∪
m∈N
E

m
ở đây:
E

m
= {x ∈ A
n
: f(x) = −∞, g(x) ≥ −m}.
Khi đó 0 < µ(E

) ≤

m∈N
µ(E


m
). Suy ra tồn tại m
0
∈ N sao cho
µ(E

m
0
) > 0, ta có

E

m
0
fdµ = −∞ và

E

m
0
gdµ ≥ −m
0
µ(E

0
) > −∞,
vì vậy

E


m
0
fdµ =

E

m
0
gdµ, ta cũng gặp điều mâu thuẫn với giả thiết.
Do đó µ(E) = 0. Chứng minh tương tự ta cũng suy ra µ(F ) = 0, do
đó f = g hầu khắp nơi trên A
n
, ∀n ∈ N nên ∃D
n
đo được sao cho
µ(D
n
) = 0 và f = g trên A
n
D
n
, đặt D =
∞
∪
n=1
D
n
⇒ µ(D) = 0 và ta
có XD ⊂
∞

∪
n=1
(A
n
D
n
) nên f = g trên XD, vậy f = g hầu khắp nơi
trên X.
Bây giờ ta chứng minh (ii):
Nếu hai hàm đo được f và g đều là đạo hàm Radon-Nikodym của ν đối
với µ thì

X
gdµ =

X
fdµ = ν(X) ∈ R. Suy ra f và g là các hàm nửa khả
tích trên X và do µ là σ-hữu hạn. Áp dụng mệnh đề 2.1.8 ta suy ra f = g
hầu khắp nơi trên X đối với µ.
Cho (X, M, µ) là một không gian độ đo và ν là độ đo dấu trên một
không gian đo được (X, M). Xét tập S là tập tất cả các hàm đo được trên
X. Khi đó quan hệ f = g hầu khắp nơi trên X với f, g ∈ S là một quan
hệ tương đương. Xét tập hợp tất cả các lớp tương đương đối với quan hệ
này, nếu f ∈ S là đạo hàm Radon-Nikodym của ν đối với µ thì với mỗi
phần tử trong lớp tương đương của f cũng là đạo hàm Radon-Nikodym
của ν đối với µ như chúng ta đã chỉ ra trong mệnh đề (i), lớp tương đương
này cũng được gọi là đạo hàm Radon-Nikodym của ν đối với µ. Trong đó
mỗi phần tử của lớp tương đương này thì được gọi là một phần tử đại diện
của đạo hàm Radon-Nikodym.
21

Chú ý: Khẳng định (ii) trong mệnh đề 2.1.7 không còn đúng nữa nếu µ
không là σ-hữu hạn.
Ví dụ: Với một tập không rỗng X tùy ý, xét M = {∅, X} cho µ là độ đo
trên (X, M) được xác định bởi: µ(∅) = 0 và µ(X) = ∞ thì độ đo µ không
là σ-hữu hạn. Bây giờ đặt : ν(∅) = 0 =

∅
1dµ và ν(X) = µ(X) =

X
1dµ.
Điều này chỉ ra rằng hàm f
1
= 1 trong X là một đạo hàm Radon-Nikodym
của ν đối với µ. Tiếp theo cho c ∈ R, c > 0 và lấy f
c
= c trên X. Thì
chúng ta có ν(∅) = 0 =

∅
cdµ và ν(X) = µ(X) = ∞ =

X
cdµ. Điều này
chỉ ra rằng hàm f
c
= c trên X là một đạo hàm Radon-Nikodym của ν đối
với µ. Nếu c = 1 thì f
1
= f

c
trên X do vậy ta sẽ không có f
1
= f
c
hầu
khắp nơi trên X đối với µ.
* Một số tính chất của đạo hàm Radon-Nikodym
Cho (X, M, µ) là một không gian độ đo và ν là độ đo dấu trên không
gian đo được (X, M). Khi đó Đạo hàm Radon-Nikodym của ν đối với µ nếu
tồn tại là một hàm đo được
dν
dµ
trên X sao cho ν(E) =

E
dν
dµ
dµ, ∀E ∈ M.
Khi đó ta có một số tính của đạo hàm Radon-Nikodym của ν đối với µ
dưới đây.
Tính chất 2.1.9. Cho (X, M, µ) là một không gian độ đo và ν là độ đo
dấu trên không gian đo được (X, M).
(i) Nếu ν << µ và µ là σ-hữu hạn thì
dν
dµ
tồn tại.
(ii) Nếu
dν
dµ

tồn tại thì ν << µ.
Chứng minh. (i) Chính là kết quả của Định lí Radon-Nikodym ( [7].
22
ĐL Radon-Nikodym,
tr 390 ).
Chứng minh (ii). Nếu
dν
dµ
tồn tại thì ta có: ν(E) =

E
dν
dµ
dµ, ∀E ∈ M. Nếu
E ∈ M sao cho µ(E) = 0 thì suy ra ν(E) = 0. Vậy ν << µ.
Tính chất 2.1.10. Cho (X, M, µ) là một không gian độ đo và ν là độ đo
dấu trên không gian đo được (X, M). Giả sử đạo hàm Radon-Nikodym
dν
dµ
của ν đối với µ tồn tại. Khi đó:
(i) Nếu ν là một độ đo thì
dν
dµ
≥ 0 hầu khắp nơi trên X.
(ii) Nếu ν là một độ đo dấu hữu hạn, thì
dν
dµ
khả tích trên X.
(iii) Nếu ν là một độ đo dấu σ-hữu hạn, thì
dν

dµ
nhận giá trị thực hầu khắp
nơi trên X đối với µ.
(iv) Nếu ν là một độ đo dấu σ-hữu hạn, thì trong lớp tương đương của
dν
dµ
có một phần tử đại diện nào đó nhận giá trị thực trên X.
Để chứng minh Tính chất 2.1.10 trước tiên ta chứng minh Mệnh đề
sau:
Mệnh đề 2.1.11. Cho một không gian độ đo (X, M, µ). Xét f là một
hàm đo được trên tập D ∈ M. Nếu

E
fdµ tồn tại và

E
fdµ ≥ 0 với mọi
tập con E đo được của D thì f ≥ 0 hầu khắp nơi trên D.
Chứng minh. Giả sử không có f ≥ 0 hầu khắp nơi trên D. Khi đó
tập E = {x ∈ D : f(x) < 0} có µ(E) > 0. Mặt khác chúng ta biểu
diễn E =
∞
∪
k=1
E
k
, với E
k
= {x ∈ D : f(x) ≤ −
1

k
}, k ∈ N và ta có
∞

k=1
µ(E
k
) ≥ µ(E) > 0. Như vậy có k
0
∈ N sao cho µ(E
k
0
) > 0. suy ra
23

E
k
0
fdµ ≤ −
1
k
0
µ(E
k
0
) < 0. Điều này mâu thuẫn với giả thiết

E
fdµ ≥ 0
với mọi tập con đo được E của D. Mệnh đề được chứng minh.

Bây giờ ta chứng minh Tính chất 2.1.10.
(i) Giả sử ν là một độ đo thì chúng ta có:

E
dν
dµ
dµ = ν(E) ≥ 0 với mỗi
E ∈ M. Từ Mệnh đề 2.1.11 ta có
dν
dµ
≥ 0 hầu khắp nơi trên X.
(ii) Giả sử ν là một độ đo dấu hữu hạn thì

X
dν
dµ
dµ = ν(X) ∈ R. Suy ra
dν
dµ
là khả tích trên X.
(iii) Giả sử ν là độ đo dấu σ-hữu hạn. Khi đó tồn tại một dãy (E
n
)
n
từng
đôi một rời nhau trong M sao cho
∞
∪
n=1
E

n
= X và ν(E
n
) ∈ R, tức là
dν
dµ
là
khả tích trên E
n
. Điều này suy ra rằng
dν
dµ
nhận giá trị thực hầu khắp nơi
trên E
n
với mỗi n ∈ N. Do hợp đếm được của các tập có độ đo bằng 0 thì
có độ đo 0 nên ta có
dν
dµ
nhận giá trị thực hầu khắp nơi trên X.
(iv) Nếu ν là một độ đo dấu σ-hữu hạn thì theo (iii)
dν
dµ
là hàm nhận giá
trị thực hầu khắp nơi trên X đối với µ. Do đó có tập E
0
có độ đo bằng 0
trong (X, M, µ) sao cho
dν
dµ

chỉ nhận giá trị thực trong XE
0
. Chúng ta
xác định một hàm trên X bằng cách đặt:
g(x) =







dν
dµ
nếu x ∈ XE
0
0 nếu x ∈ E
0
(2.1)
thì g là hàm đo được trên X, nhận giá trị thực và
dν
dµ
= g hầu khắp nơi
trên X đối với µ. Do vậy g là đạo hàm Radon-Nikodym của ν đối với µ.
Tính chất 2.1.12. Cho µ, ν và λ là các độ đo σ-hữu hạn trên không gian
đo được (X, M).
i. Nếu ν << µ và f là một hàm không âm trên X đo được đối với M thì

X
fdν =


X
f
dν
dµ
dµ.
24
ii. Nếu ν << µ, c ∈ R thì
d(cν)
dµ
= c
dν
dµ
hầu khắp nơi trên X đối với µ.
iii. Nếu ν << µ và λ << µ thì
d(ν+λ)
dµ
=
dν
dµ
+
dλ
dµ
hầu khắp nơi đối với µ.
iv. Nếu ν << µ << λ, thì
[
dν
dλ
] = [
dν

dµ
][
dµ
dλ
] hầu khắp nơi đối với λ.
v. Nếu ν << µ và µ << ν, thì
dν
dµ
dµ
dν
= 1 hầu khắp nơi đối với µ.
Chứng minh. i. Giả sử ν << µ và f là một hàm đo được không âm
trên X. Với hàm đơn giản không âm trên X: ϕ =

n
i=1
c
i
χ
E
i
, ta có:

X
ϕdν =
n

i=1
c
i

νE
i
=
n

i=1
c
i
(

E
i
[
dν
dµ
]dµ)
=

X
n

i=1
c
i
χ
E
i
[
dν
dµ

]dµ =

X
ϕ[
dν
dµ
]dµ.
Với một hàm đo được không âm f thì tồn tại một dãy (ϕ
i
)
i
tăng các
hàm đơn giản không âm sao cho:

X
fdν = lim

X
ϕ
i
dν = lim

X
ϕ
i
[
dν
dµ
]dµ =


X
f[
dν
dµ
]dµ.
ii. Ta có : (cν)(E) = cν(E) = c

E
[
dν
dµ
]dµ =

E
c[
dν
dµ
]dµ từ đây suy ra c[
dν
dµ
]
là đạo hàm Radon-Nikodym của cν đối với µ. Mặt khác ta lại có
d(cν)
dµ
cũng
là đạo hàm Radon-Nikodym của cν đối với µ, do đó từ tính duy nhất của
đạo hàm Radon-Nikodym suy ra
d(cν)
dµ
= c

dν
dµ
hầu khắp nơi trên X đối với
µ.
iii. Dễ thấy rằng nếu ν << µ và λ << µ thì ν + λ << µ. Với bất kì tập
đo được E chúng ta có: