Tuyển tập bài giảng môn Giải tích (Tập 1 - in lần thứ 2): Phần 1

THƯ VIỆN
DẠI HỌC NHA TRANG

NGUYỄN DUY TIẾN

M

515
Ng 527 T
T.1

B À IG É G
GIẢITÍCH
TẬPI

‫ﱇﺀﺝ‬

،‫ ﺹ‬й

‫ﺓﱆ‬٠‫ ﺀ‬٧‫ﺀﱆ‬

‫ ء‬Лиг ٢ 4٠ ‫لجهء ج م ش ع ع م ق ع ه‬

XìuDiiilịug:
٠ Khơng xé sách
٠ Khơng gạch, v‫؛‬vẽ !ẽn sách ,ê١

n

-

® G

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUOc e iA HÀ NỘI


NGUYỄN DUY TIẾN

BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH
Tậpl
(In lần thứ 2)

>(

/ 3

ÌR ijm i6 ^ í H D c m M E I
- ^ Ị ~ hìaÉTi *m

1/T>ff

·*

“

r m iĩ V Ệ ỵ
^PI* »I III^ I Mi ^·m m

:]
'■>.

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI


M UC LUC

L M iioi d a u ............................................................................................................... V
V a i 16.1 v e iioi d u n g b a i giAng ...................................................................... vii
BAiig k y h ie u

...................................................................................................... xiii
C h u m ig 1. SO T H U .C

1.1 Cac tien do ciia so tlnrc

01

1.2 Ho quk ................................................................................................................. 05
1.3 Nguyoii ly cac doaii long nlian cua Cantor

09

1.4 Mien in a long cua so tlnrc ............................................................................. 10
1.5 G iai ban cua clay so. Day so Caucliy ........................................................... 11
1.6 Day so d a n d i e u ............................................................................................... 14
1.7 Mot so v an do kbac ......... .............................................................................. 17

C h u a n g 2. K H O N G G IA N M E T R I C
2.1 Dinb ngbia va vi du ......................................................................................... 26
2.2 T ap com pact

36

2.3 M ot so kbai nioni k b a c ..................................................................................... 40


2.4 Sự hội tụ tiong kliòiig gian metric ............................................................... 47
2.5 Khóng gian inctiĩc ã\\ ...................................................................................... 51
2.6 Com pact dãy và tập hồn tồn bị chặn .............................................. .

54

2.7 Tính tríi m ật và không gian khả ly .............................................................

59

2.8 Không gian liên thơng ...................................................................................... 61
2.9 Các ví dụ quan trọng ........................................................................................ 65
2.10 Ánh xạ co v à ng ٦iyẽn lý diem b ấ t dộng .................................................... 67

C h ư ơ n g 3. G IỚ I H Ạ N V À L IÊ N T Ụ C
3.1 Giới hạn của hàm (ánh xạ)

69

3.2 Hàm liên tục ............................................................................................. ..

79

3.3 Hàm liên tụ c trên tậ p c o m p a c t....................................................................... 82
3.4 Định lý giá trị trung gian

3.5 Các tn rờ n g hợp dặc biột ................................................................................. 91

C h ư ơ n g 4. V I P H Â N H À M M Ộ T B I Ể N
4.1 Đạo hàm của hàm Hố m ột biến

409

4.2 Các dịuh lý cơ bản của dạo hàm (trên doạu đóng liíru hạn) .............

114

4.3 Quy tắc L’Hospital .......................................................................................... 120
4.4 Công thức T a y lo r ............................................................................................. 122
4.5 Vi phân ............................................................................................................. 132


111
4.6 H àm lồi và liàm lõiíi ...................................................................................... 134

C h ư ơ n g 5 ٠ T ÍC H P H Â N R IE M A N N -S T IE L T J E S
5.1 Dịiili Iiglìĩa và SIT tồn tại của tícli pliân Ricmaiin-Stielt.‫؛‬cs . . . . . . . . . .

140

5.2 Lớp các Làm kliầ tícL ...................................................................................

147

5.3 Các tínL cLẩt ciia tícli pLân R-S ................................................................ 150
5.4 Các plinơng plìáp cơ bản tínli tícL pliân ................................................. )158

5.5 Các định lý giá ti ị tin n g blnli .................................................................... 162

C h ư ơ n g 6. C H U Ỗ I

só

V À T ÍC H P H Â N S U Y R Ộ N G

P h ầ n I: CHUỖI s ó
6.1 Các địiih nghĩa ............................................................................................... 167
6.2 Clmỗi dirơng ..................................................................................................... 169
6.3 Clmỗi đan dấn .................................. ............................................................. 181
6.4 Chuỗi hội tụ tuvột d ố i ................................ .................................................. 183
6.5 Chuỗi bán hội tụ ...................................... ....................... ............................. 185
P h ầ n II: T ÍC H P H Â N S U Y R Ộ N G
6.6 Tích phân suy rộng loại I ............................................................................. 188
6.7 Tícli pliân suy rộng loại II

190

6.8 Tieu chuẩn hội t^i .......................................................................................... 194
6.9 M ột sổ tien cliuẩn kliác - . . . . ٠. ........................................................................ 196
6.10 Tícli pliâii Eulor: Hàm gannua ( r ) và hàm b e ta {B) . . . . . . . . . . . . . . 199


IV

C h ư ơ n g 7. D Ã Y H À M V À C H U Ỗ I H À M
7.1 Hội tụ điểm

205

7.2 Hội tụ đều

208

7.3 Hội tụ đều và tín h liên tụ c ...........................................................................

214

7.4 Hội tụ đều và tích phân ................................................................................. 219

220

7.5 Hội tụ đ ều và vi phân

7.6 Tính liên tụ c đồng b ậ c ..................................................................................... 224
7.7 Chuỗi lũy th ừ a .................................................................................................. 229
7.8 Chuỗi Fourier ...................................................................................................

C h ư ơ n g 8. T ÍC H P H Â N P H Ụ T H U Ộ C T H A M

240

số

8.1 Trường hợp tích phân khơng suy rộng ...................................................... 261
8.2 T iường hợp tích phân suy r ộ n g .................................................................... 268
8.3 Tính m ột số tích phân quan trọng .............................................................. 276

B àng đao hàm cơ bản

286

B ả n g n g u y ê n h à m c ơ b ả n ........................................................ ............

287

C hỉ d ẫ n ......................................................................................................................291
T ài liêu th a m k h ảo

303


LỜI NÓ I ĐẦU

Cuốn sácli này là nội dung các bài giảng VC Giải Tícli do tơi biên soạn
cho các sinh viơn Tốn-Lý năin th ứ n h ất của .‘Lớp Đào Tạo Ciỉ* Nhân Khoa
Học T ài Năng” , Đại Học Khoa Học T ự Nhicn, Đại Học Quốc Gia Hà Nội, năin
học 1997 - 1998, 1998 - 1999 và 1999 - 2000. Vì thố, có lẽ sá c h n à y chỉ n ê n
d ù n g là m b à i g iả n g c h o n h ữ n g s in h v iê n T o á n " L ý k h á giỏi h o ă c
d ù n g là m tà i liê u t h a m k h ả o ch o s in h v iê n T o á n - L ý n ó i ch u n g .
Khi viốt cuốn sách này tơi nhằm các mục đích chính sau đây:
1. Trang bị cho ngiTỜi đọc một tài liệu txrơng dối ngắn gọn về những
kiến tlhrc cơ bản nhất của giải tích.
2. Cách trìn h bày hiện đại, mạch lạc và chính xác.
3. Giup Iigxrời dọc có thổ nhanh chóng nắm b ắ t dxĩợc những ý tường
chính và nhửng kct qủa quan trọng của giải tích.
Nlnr vậy là, tơi có th am vọng viết B à i g iả n g g iả i tíc h có n ơ i d u n g c ơ
b ả n , h iê n đ a i, tố c đ ô . Với ý dịiih ấy tôi chọn những cuốn sách sau làm

tại liộu tham khảo chính:
[1] W'.. Rudin, Principles of M athem atical Analysis (1976, tiếng Anh).
[2] G. M. Fictengolz, A Cotu.se in Differentiation and Integration
(1969, tiếng Nga, tậ p 1, 2, 3).
[3] G. E. Shilop, M athem atical Analysis (1969, tiếng Nga).
[4] X. Gourdon, Analyse (1994, tiếng Pháp).
[5] J . do Burgos, Calctilo Infinitesmal (1991, tiếng T ây Ban Nha).
Tịi và nhiều bạn của tơi cho rằn g [2] là “Kinh T hánh” của giải tích.
Tuy nhiên, trọn bộ ba tậ p của [2] quá dày (trên 2.000 trang). Vì thế tơi chỉ
chọn nhĩrng phần (theo tịi) hay n h ất của [2] nhir ; hội tụ dều, tích phân phụ
llittộc th am số de dtra vào bài giảng của mình. Tơi rấ t thích cách viết của [1],
3] và [4]. Nhiều kết quả của giải tích có trong bài giảng này dirợc tiìn h bày


VI

theo quail điểm ciia [1] ١ [3] và [4] như: xây dựng số th ự c theo tien đề; giơi Liạn
và liên tục đirợc nghiên cứu trong không gian metric; tích phân được cịnh
nghĩa theo Riemaim-Stieltjes. M ột số bài tập được chọn iọc từ [5]. Ngồj r a ١
tơi đ ã th am khảo m ột số sách b ằn g tiến g Việt (xem p h ần tà i liệu th âm kliảo
ờ cuối sách).
Ngày nay đ ã có những phần m ềm trợ giúp sinh viên tín h tốn bằng máy
tín h rấ t có hiệu qủa. Tôi nghĩ rằn g c ầ n h ư ớ n g d ẫ n s in h v iê n th ư c h à n h
t r ê n m á y theo tài liệu rấ t có ích sau:
[6] Andrổ Heck, Introduction to M aple (1996, tiến g Anh).
Vì thế, tr o n g các b à i g iầ n g n à y k h ô n g c ó .n h iề u p h ầ n lỉê n q u a n d ế n
ti n h t o á n ‫ ؛‬n h ư v ẽ đ ồ th ỉ, t i n h n g u y ê n h à m - d ỉê n tíc h , t h ể tíc h v â n
v â n . T ro n g k h i d ó , b à i g ỉầ n g dOi h ỏ i n g ư ơ i d o c p h ầ i n ắ m v ữ n g lý
th u y ế t , là m n h ỉề u b à i t â p lý t h u y ế t.
Tôi xin cliân tliàiili cám ơn b an lẵnli dạo Dại Học Quổc Gia, Dại Học

Klioa Học Ti.r Nliiên d ẵ m ờ ‫؛؛‬Lớp Dào Tạo CiV Nliân Klioa Học T ài Nầng” ,
nliờ dó tơi có điều kiện biên soạn v à till‫ ؛‬nghiộm các bài giàng của mliih.
Nliibu siiili viên ci١a ‫؛؛‬Lớp Dào T ạo

cử Nliâii

K lioa Học T ài N ăiiế’ dã

dọc và sửa bần th ào bài giằng này. Dặc blột là Hà M inh Lam, Vũ Anln Tĩiấii,
Nguyễn Cẩiili Hào, Dào Till Tliu Hà, Nguyỗii Ln.ru Sơn, Nguyễn Aiili Hoa,
Đặng Anln Tuấn Nguyễn Trung Tnl d ã hi‫ ؛‬u cliỉinli nliibu sai sót ti.ong b ần tliầo
dầu tỉỄii. Xin cám ơn Iihibu.
TOi clnâi'1 tliàuln cám ơn TS T rần ĐiTC Long, PGS. TSKH Nguyễn Văn
Minh, PGS. TSKH Pliạm Kỳ Anh, PGS. TS Nguyễn ThUy Tlianln TS Nguyễn
Quang H òa và TS. Trần Văn Ti.ản d ã dọc kỹ b àn tliầo, sn‫ ؛‬a nliíou lỗi cliíiih
tả và clio nliibu ý kỉỗii quý báu để bài giẳiig này diĩỢC lioàn clnỉuln Inơn.
Các GS Hà Huy Kliối, Ngơ V iệt T u n g , Nguỵễn H ữu V iệt Hnriig d ã clno
tô ‫ ؛‬một, sổ tnr liệu quý 1‫ ﺍﺍﺓﺫ‬quan d ến lịcli snV tốn. Xiu chân tliàiiln cám ơn.
Tơi cám ơn Nlià X uất Bần Dại Học Quốc G ia H à Nội d ã lioàn tliiộin bản
tliả.o để cuốn sácli này sớm dgn ta y b ạn dọc.
T ô‫ ؛‬d ã giànli iihiCu thời g‫؛‬an, Iihibu snrc In.rc và kièn Iiliẫn (kổ cả tir dánli
m áv bằng Тех) đổ viết các bài giảng này. Song tôỉ liigu rằn g cuổii sácln cịn có
nliibu vấn đề cần tranli luậụ, cơn nlnibu tliiểu sót. R ấ t Iinong bạn dọc khuvCn
bầo, clil dẫn và góp ý.


V li

V à i lờ i v ề n ô i d u n g b à i g iả n g

G iả i tíc h t o á n h o c là gì?

G iải tích to án học (M athem atical Analysis),

cịn có tơn là phổp tín h các đại lượng vơ cùng bổ và vơ cìiiig lớn (Calculus of
Infinitely Small and Large Q uantities) hoặc phép tính vi tích phân (Calculus
of Differentiation and Integiation, hoặc gọi tắ t là Calculus), ra đời vào nửa
cuối thế kỳ 17. Culculưs là ngành to án nghiên ciru chuyển động và sir thay
đổi của vật chất. Nơi nào có chuyển động hoặc sự tăn g triTỜng th ì nơi ấy có
the dìing Calculus. Phép tính vi p h ân cho phổp ta xác định m ặt phằng tiếp
xiíc với m ặt cong, tín h tốc độ và gia tốc của vật chun động và vân vân.
Phóp tính tích phân cho phép ta tín h diộn tích m ặt, tìm quỹ đạo chuyên dộng
của v ật the theo tốc độ của nó v à vân vân.
Có rấ t nhiều học giả xuất chúng th a m gia xây dựng lĩnh virc toán học
này. Đầu ticn phải kể tớ i Sir Isaac N e w to n (1642-1727, ngirời Anh), Baron
G ottfried W ilhehn L e ib n iz (1646-1716, người Đức). Trước Newton và Leib­
niz cần phải nhắc dến nhà thiên văn Johannes K e p le r (1571-1630, ngirời
Đức) đã giành 20 năm đe khám p h á ra b a định luật chuyên động của các
hành tinh:
1.

M ỗ i h à n h tin li c h u y ể n đ ô n g th e o m ô t e llip se có m ơ t tiê u

đ iể m là m ă t tr ờ i .
2. B á n k ín h v e c to r t ừ m ă t t r ờ i tớ i h à n h t i n h q u é t n h ữ n g d iê n
tíc h n h ư n h a u tr o n g n h ữ n g k h o ả n g t h ờ i g ia n n h ư n h a u .
3. B ìn h p h ư ơ n g c h u k ỳ q u a y c ủ a h à n h t i n h q u a n h m ă t t r ờ i tỷ
lê v ớ i lũ y t h ừ a b a c ủ a n ử a t r u c lớ n , t ứ c là , n ế u T là c h iề u d à i q u ã n g
đ ư ờ n g h à n h t i n h đ i đ ư ơ c t r o n g m ô t n ă m v à a là n ử a t r u c lớ n c ủ a
e llip s e t ư ơ n g ứ n g t h ì

có g ía t r i k h ô n g đ ổ i đ ố i v ớ i m o i h à n h

t i n h tr o n g h ê m ă t tr ờ i .
B ằng Calculus ta có tlic n it ra b a điiiL· luật trôii từ các địiili luật cL·uvcu


vni
động của Newton, nlnrng đ ấy là công việc “buổi cliiồu” . V ậy là, Kepler nliờ
các quan sát th ự c nghiộni đ ã mô t à hộ m ặt trờ i hoạt động như th e nào, san
đó Newton và Leibniz dùng Calculus giải thích vì sao lại nhir th ế. Theo tơi
đícu này clnrng tỏ v ật lý, cơ học, th icn văn là ” cội nguồn” của giải tích.
Nhícu ng ٦rời cho rằng, Archimedes (287-212 trư ớ c cơng ngun, ngirờì
Secily) là nhà to án học vĩ đại n h ấ t th ế giới và là tác giả của Calculus, vì ơng
đ ã tìiu ra plnrơng pháp tín h diện tích của hình có dạng p arab o la v à the tích
ciỉa hình nón, của parabola trò n xoay vân vân.
Năm 1821 Augustin Louis C a u c h y (1789-1857, người P háp) cơng bố
cuốn sách nổi tiếng “Giải■ tích” , tro n g đó ơng trìn h bày giải tích dvra tren
lý thuyết chặt chẽ về giới hạn. Ong định nghĩa giới hạn tlico ngôn ngữ e, ỗ.
Cách định nghĩa này đ ã tr ồ th àn h chuẩn mực của t ấ t cả sách giáo khoa về
giải tích. Các tư tiTỞng chính của C auchy vẫn cịn rực sáng tớ i ngày nay.
Cauchv d ã cơng bố 750 cơng trìn h vồ toán. Nếu mỗi năm Cauchy viết 12 bài,
th ì ông phải viết suốt 63 năm liền, th ế nlnrng ông chỉ th ọ 68 tuổi!
Karl Theodor Willielm W e ie r s tr a s s

(1815-1897, ngirời Đirc) cũng đã

dỉmg ngơn ngíĩ 6,6 để định nghĩa giới h ạn và có nhiều đóng góp vơ cùng to
lớn cho giải tích. Hầu h ết các cơng trìn h của ông được giới to án học biết đến
sau khi ông đ ã qua đời.

Không th ể không nhắc tớ i những cống hiến to lơn của B en ih ard B o lz a n o
(1781-1848, người Tiộp, nhiều n ăm làm việc ở Áo) với cơng trìn h ” Nghiên
CiTu Hàm Số ” do ơng viết năm 1830 ị P raha, nhưng 100 năm sau th ế giơi
m ới biết đến. T hực ra, có m ột số kết quả quan trọ n g dirợc Bolzano tìm ra
tn rớ c Ca\ichv và W eierstrass.
S it p h át triển của giải tích (cổ diển) cịn gắn líồn với tên tu ổ i của nhiều
nhà toán học kiột x u ất th ế kỷ 17, 18, 19 v à dầu thế kỷ 20 Iihir :
Renỗ D e s c a r te s (1596-1650, người P háp),
Pierre De F e r m a t (1601-1665, người P háp),
Lsaac B a r r o w (1630-1677, người Anh),
Michel R o lle (1652-1719, ngiTỜi P háp),
Jacob B e rn o u lli (1654-1705 ٦ người T hụy Sĩ ),
Johann B e rn o u lli (1667-1748, người T hụy Sĩ ),
Brook T a y lo r (1685-1731, người Anh),
Leonhard E u le r (1707-1783, người T hụy sĩ, nliiồu n ăm làm việc ở Nga),


IX

Jean le Rond d ’A le m b e r t (1717-1783, ngirời P háp),
Joseph Louis L a g r a n g e (1736-1813, ngirời P háp),
Pierre Simon L a p la c e (1749-1827, người P háp),
Jean B aptist Joseph F o u rie r (1768-1830, ngirời P háp),
Carl Friedi.ich G a u s s (1777-1855, ngirời Đrrc),
B ernhard B o lz a n o (1781-1848, ngirời Tiệp),
George G r e e n (1793-1841, ngirời Anh),
M ikhail O s to g r a d s k y (1801-1862, ngrĩời Nga),
Niels Henrik A b e l (1802-1829, người Nany),
Carl Guslav Jacob J a c o b i (1804-1851, người Đức),
Peter Guslav Lejciuic D ir ic h le t (1805-1859, người Dire),

Sir George Gabriel S to k e s (1819-1903, người Anh),
E duard H e in e (1821-1881, ngiĩời Dire),
P. L. C h e b y s h e v (1821-1894, người Nga),
Georges Friedrich B ernhard R ie m a n n (1826-1886, ngirời Dire),
Richard Julius W ilhelm D e d e k in d (1831-1916, người Đức),
G aston D a r b o u x (1842-1917, ngirời P háp),
Georg C a n to r (1845-1918, ngirời Đức, sinh ờ Nga),
Henri P o in c a r é

(1854-1912, người P h áp ),

O tto Ludwig H o ld e r (1859-1937, ngiTỜi Đức),
David H ilb e r t (1862-1943, ngirời Đức),
H erm ann M in k o w sk i (1864-1909, người Đức),
Émile B o r e l (1871-1956, người P h áp ),
Guido F u b in i (1879-1943, ngiTỜi Ý),
Heri Léon L e b e s g u e (1875-1941, người P háp),
Nikolai Nicolaievich L u z in (1883-1950, người Nga).
John von N e u m a n n (1903-1957, ngiròi M ỹ ), m ột trong những nhà toán
học lớn cvia th ế kv 20, d ã viết: “Calculus là th àn h tự u hàng đ ầu của tốn
học hiộn dại, khó có th ể dánh gía h ế t tầ m quan trọng của nó. Tôi cho rằng
Calculus d ặ t mốc x u ất p h á t của to án học hiộn đại rõ ràng hơn b ấ t cứ cái
gì khác; và hộ thống của giải tích to án học, m ột sự p h át tricn logic của nó
vẫn cịn tạo nên sự tiến bộ kv th u ậ t to lớn n h ấ t trong tư duy chính xác”
(nguyên văn tiếng Anh: The calculus was th e first achievement of m odern
m athem atics and it is difficult to overestim ate its im portance. I think it defines


more micqiiivocally th a n any thing else the inception of m odern m athem atics;
and the system of m athem atical analysis, which is its logical development,

still constitutes the greatest technical advance in exact thinking, W o rld o f
M a th e m a tic s , V ol 4, N e w Y o rk : S im o n a n d S c h u s te r , 1 9 6 0 , “ T h e
M a th e m a tic ia n ,” b y J o h n v o n N e u m a n n , p p . 2 0 5 3 -2 0 6 3 ).
N ô i d u n g c ủ a b à i g iả n g
Tài liộu này gồm 8 clnrơng.
Các tiCn dề của số th ự c dược trìnli bày trong chương 1. Tơi klìOng chọn
lát cắt Dedekind (và dãy Caucliy) đổ xây dirng sổ thự c, vl liai lý do:
Tlnr n h ấ t là tlreo kinli n ^ iiệ m ciia nhfèu ng ٦TỜi till cácli xây dựng số tln.rc
tlico lát cắt Dedekind lioặc dãy Canchy là nliftng điều rấ t kliO hiểu dổi với
sinli viỄn năm tlu t nliắt.
Tliir liai là th ờ i gian quy dlnli clio bài giẳng rấ t liạn chổ.
Các kết quầ cliínli của d iư ơ ng 1 là : Hệ quầ rú t ra từ các tiẽii dC của sổ
tlurc; NguyCn ly các đoạn lồng nliau của Cairtoi.; TiCu cliuần Caucliy ve sự
tồn tại giới liạn a i a dãy sổ; D ây đơn điộu, sổ e; Giới hạn trê n và giơỉ liạn
dirơĩ (đây là phần kliO n liất ciia chương 1); Tiêu cliuẩn Stolỵ. Clurơng 1 có
30 bàỉ tập.
Clnrơng 2 dànli clio kliOng gian m etric de làm nền cho lý tliuyCt giới
hạn. T ập dOng, mờ, bi cliặn, tríi m ât, com pact, com pact dây, kliOng gian đủ,
kliOng gian liên tliOng là nhfrng kliái niệm cơ bần và dược trin h bày kliá clii
tiet. Dịnli lý Hchie-Borcl, địnli lý Bolzano-W eierstrass, dịnli ly Baire, nguyCn
1٠<‫ ﻡ‬hlnli cầu dóng lồng nliau, nguyCn lý đieiii b ấ t dộng là nliững kết quầ cliínli
của chương 2. Chương 2 có 40 bài tập.
Giởi liạn và liCn tiỊC diĩợc trin h bày trong clurơng 3. X u ất pliát, từ dinh
ngliĩa giới liạn cila ánh xạ giữa các kliOng gian nletric, ta đề cập tơ i tínli liCn
ti.ic theo quan d iể n rto p o : nglilch ầnh cila tập mơ là tậ p mơ. Các tUili chất
ciia liàm liên ti.ic trêu tậ p com pact, treii kliOng gian liCn tliOng dược kliầo sát
clii tiết. Sau dó xét trirơng hợp riêng: hàm m ột biến và liàin nhC u biến, giới
liạir m ột pliía, pliân loại điểm gián đoạn, vơ címg lớn, vơ címg bé, giới liạn
theo liướng, giới liạn lặp. Chương 3 có 50 bài tập.
^'lặc díi nuỊC dícli clrínli cila bài giầng này là trin h b ày phép tUili vi tích

pliân trẽn dirơng tliằng, nliưng tôi cliọn cácli ti ٠lnli bày giới liạn v à liCn tục


XI

trong klỉong gian luotric VI :
TliiV nhất là doi tirạng cua hài giảng này là các sinh viên kliá giỏi, họ đã
làm (ỊU('n \'ới giói liạn và liơn tục ờ chương tiình phổ thơng.
T hứ hai là íict kiộui dirạc thời gian: lôi cnốn sinh vicn th n hiổn giải tích
''liiọn dại".
Vi ])han lìàiii một biốn là nội dnng cửa chương 4. Các định lý Format,
Rollo, Lagiango, Canchy, kHospital dược clnrng minh chi tiết. Kốt qnả qnan
trọng nhất của phần này là công thức Taylor và các áp dụng ciia nó. Hàm
lồi, các b ất dằng thứ c Jonson. Holder, Minkowski cfmg đirợc trình bày khá
đìxy ãủ. Chương 4 có 40 bài tập.
Chương ٠٢) dành cho tích phản Riomann-Stioltios. P hân hoạch, các tổng
Darbonx. tích phân tron, tích phân của chương 5. Tiếp thoo là các diồn kiộn cần và dử của tín h khả tích, lớp các
hàm khả tích và các tín h chất của tích phân. Định lý cơ bản của plìổp tính
phân, phương pháp dổi biến, tích phân từ ng phần, dịnh lý giá trị tn u ig bình
dược chứng minh chi tiết. Chương 5 có 27 bài tập.
Chương ĩ) khơng nói gì dốn tích phân b ất dịnh và các ứng dụng cửa
tích phân Riomann, trong khi dó lại tiìn h bày khá kv lý tlniyốt tích phân
Riomann-St ioltjos. Tơi chọn cách trình bày như thố là do:
- Sinh vion (khá giỏi) dă làiu qnon với tích phân b ấ t dịnh và tích phân
Riomann ở chương trìn h phổ thỏiig.
- Các pham mồm Ma])lo, Mathomal.ica giủp sinh viơn tính ngun hàm,
t ích phân R.ic'inann cực kỳ hiộn qnà. Hơn m~ra, trôn thực tố, rấ t nhiồn hàm
không có ngu\ ٠ơn hàm, hoặc khơng thổ biou dion ngnn hàm dưới dạng các
hàm quon thnịc. Vì thố viơc dùng máy tính do tính gần dủng tíd i phản

Ri(١mann là viộc làm cần thiết.
“ Tích ])hân Riouiann-Stioltjos dược sử dụng rộng rãi trong thống kô xác
suất, vật lý vk gikip sinh viên th ấy rỏ qnan hô giữa chnỗi và tích phân.
Chnỗi số và tích phân sny rộng là nội dưng cửa chương 6. Các tiôn chuẩn
(]uon thuộc (Cauchy, D’Alombort, Raabo) dược trình bày thoo ngơn ngữ giới
hạn írõn hoặc giới hạn dưới. Các kốt quả (của Leibniz, Dirichlot, Ricmann)
vồ chuỗi dan dấu, chuỗi bán hội tụ dược trình bày chi tiết. Tiếp theo là các
klicíi niọni cơ bản và các kết quả chínli vồ tích phân suy rộng loại I và II. Các
tiêu chuẩn Abol, Dirichlot dược chứng minh khá chi tiết. Các tích chất cơ


xii
bảiỉ ciia liaiii gaiiuna, b e ta сгга Euler ãvcọc tiin li bày Ờ cuổi cbuơiig. Cliirơiig
6 có 31 bài tập.
CluTơiig 7 clàiih cbo <Ịã٧ liàiu và cliuỗi bàiii. Hội tu đều là kbái Iiiộm then
cliổt. Các tiêu cliuẩn Са ١гс1іу, W eierstrass, Abel, Diriclilet, Diui đirạc trliili
bày clii tiCt. Nliữiig ứug di.uig quaii trọiig сгіа liội ti .1 đều duợc luiuli liọa bằiig
các dịuli ІѴ dổi tlnr t\r lấv giới l٤ạu ١ cliuyeii giới liạii qua dấu tícli plìâu lioặc
q^ia dấu dạo liàiu. 'Kliái liỉộur liẽiì t,١.ic dồug bậc dOug vai trị cliíuli klii xet tíuli
com pact tu o u g dối của tậ p tro u g kliOug giaii các lìàiu liCu t ١.ic (xác dịuli trCu
tập coiupact). TiCp tlieo ta xét ulỉữug cliuỗi bàiii dặc biột quaii trọug: cliuỗi
b٦ .v tlitra và cliuỗi liĩơug giác. Clmỗi Taylor v à cluiỗi Fourier dirợc Iigliỉêi'1 cìTu
kliá clii ti í t . Các kCt quầ liCir quaii dến s\ĩ liội t\i ciia cliuỗi Tayloi. và cliiiỗi
Fo١irier là trọiig tâ iu сгга pliầu uàv. CluTơiig 7 có 25 bài tập.
Cluroug 8 (có uội duiig tiTOug tir với pliầii d ầu a ỉ a cluroug 7) dàuli clio
tícli pliâii plu .1 tliuộc tliaiu sổ. M nc dícli cliíiili c ١١a cluroug lìày là c١uig cẩp
clio bạu dọc lĩiột côug егг t,ổt de tíiìli m ột sổ tícli pliâii q ‫ ا‬гau trọug: tícb pliâu
Diricldet, G a ١iss, Laplace, Fresuel, Friillaui. Cluroiig này có 22 bài t,ập.
Vậy là, trong tàỉ liộu n ày có gần 300 bài t-ập. Các bài tậ p tluTỜng d ١TỢc
gắn vói pliần ІѴ tliu v ít tu ơ n g ١١٠ng. B ài tậ p nliằm gi٢١p b ạn đọc liiổu sâ ١i tliCm

lý tlmyCt, gợi mờ nguOi dọc tlin t.ịi sáng tạo, ren luyện kbầ năng tínlì toán.
Bạn dọc nên làm tliCm bài tậ p trong các c١iổn sácli

4 ٠, 5. (xem pliần tài

1ì‫ ؛‬u tbam kliảo). Nếu bạn lỉiuổn liọc cácli siV d ١.mg M aple, bạn nen dọc 9.
Tôi cbọn cácli viCt atlian m ặ t” v à kể d m y ‫ ؛‬n lịcli siV để bạn dọc cẩm tliấy
tlioải m ái klii liọc giẳi tíclì tbeo bài gỉảiig này.
Hà Nội nn٦ ạ tliu 1999
Ngìiycn Duy T iín


X lll

b

An g k ý h iệ u

N

T ập các số tir Iiliicii

Q

T ập các sổ liĨTii ty

IR

T ập các sổ tli^ĩc

Ri

T ập các số tlnrc klioug âm

!

T ập các sổ tliirc v à —oo, oo

Z

T ập các sổ Iiguycii

c

T ập các sổ pliitc

ae A

a tliưộc A

aệ A

a klìOiig tliirộc A

ЗаеА

Tồn tại

Va ‫ ج‬A

Vói mọi

٠

a
a

e A
e A

T ập I.ỗng

A cB

A là tậ p con c١‫ ؛‬a B {A bị clnta tio n g

AUB

Hợp ci١a A và B

АПВ

Giao a \ a A và B

A \B

H ìộu сг’і а A và B

X

‫ ج‬P}

|.τ ‫ ج‬p ‫ﺭ‬

A tậ p các p b ần t ١v x

T ập các p b ần tiV .T E I

Ỉ'

Plian bíi ciia 4‫ﺩ‬

Α°

Pliân tio n g ciia A
Bao kin c١١ia A

дА

‫ ﺝ‬X có tínli cliẩ'

Bien ci‫ ؛‬a A

có tínb cliất


X IV

f iA )

Aiili

cina

cxvd A

‫ا‬
(.٩:.„)=
.٧т٨
{
,л
n۶
٨:
٠
E‫ﻢ‬
.‫?'ﻟ‬:
Па?،.!
|‫ا‬.‫ﺄ‬.‫ﺑ‬т‫|ا‬
[·т]
m
ax‫ﺀﺀ‬
а(:7-)~
/5
(‫ﺎﻻ‬.‫ﺟ‬
т)١avO

Ngliịcli ảiili c ١١a

!

í'.

f in )

Dạo liàiii Clia

f

/٠/
‫ا‬/٠
B ٩ iia

Dạo liàiii cấ p liai cila
Dạo liàm cấp

n

cila

Dãv (sổ lioặc dãy các pliầii tiV)
Hợp các tậ p

A .ị

Giao các tậ p

A?

.‫ﻟﻢ‬

tổiig các số
tícli các sổ
tícli sổ

(2„.)!!

( 2 ĩi+ l) !!

Oi

,

1 ...1 1

tícli các sổ cliẵii 2.4...2ii

tíc l các sổ lổ 1

. 1

+ ‫ ﺓ‬...( 2‫) ﺍ ﺍ‬

Giá tiị t ٩iy‫ ؛‬t dổi cila X
Cliiiẩii của

.r

Pliầii iigiiyCii ciia 'X

Hw pE

Gậii titii ddiig ci١a

iììíE

Cận dưới dlm g cda

E
E

Giá tiị lớn Iiliất cila

mill

Giá tii bó n liất cda

E

E

tiĩơng dirong vớ‫ ؛‬ị ỉ

о =

a.

là

)

cíing bó bậc cao lion

vơ ‫ﻢ‬
‫وﻟ‬
cínig b í


XV

/ -=^fj

Địuli ngliia f là CJ
Aiih xạ / từ X vào Y
Dãy Xj,^ liội tụ đcn X

fog
lim
liiii sup
"“.٠٥^
7Í-—T0C
Ihu — lini inf
//.-٢oc ''.“ ^٠٥

Hàiu lìợp của / và

q

Liin trơn
Giới liạn dưới
tícli phân tif.li

tích phân dưới

(?;) =» (u)
(7;) <‫[ » =؛‬u)

(i) suy ra (ii) và ngxrợc lại

d{x, y)

Khoảng cách từ

B { x ,r )

Hình cầu IIIỜ tâiii

B '{ x ,r )
B ^ (x, r)

(i) suy ra (ii)

B { x ,r ) \ {.r}
ẦÍ

đốn
X

Hìnli cầu dóng tâm

y

bán kính r
X

bán kính

r

Hình cầu thu gọn
Lân cận

r

Hàm gamma

B

Hàm b eta

Qin)

X

Tập các hàiu khả vi liên tục tớ i cấp n


‫‪ | ; .‬؛ ل‬

‫‪- ٤.‬‬

‫‪h,:‬‬

‫‪'.‬ﺇﻭ‬

‫‪:h‬‬


C hương 1
SỐ T H Ự C

Hầu hốt các kliái Iiiộiii cơ bản của ٤oán liọc (nlnr giớ‫ ؛‬bạn, liCn tnc, vi
])bản \'c١i tícb I)liân) đều tb.ra tron kliái niộm vồ số tln.TC. Tbể nlnrng s ố th ư c
là g ì? Đâv là m ột câu liổỉ rấ t klió. Vi‫ ؛‬c xâv tb.rng sổ tlnrc là m ột vấn đề cơ
bản của tcán lìọc. Ngà\' na ١', sổ tlu.ĩc tlurờng đirợc xây dirng tboo các plurơng
pbáp sau:
P li ١ĩơng pliáp nlìát, cắt, Dodokind‫؛‬
P lì ١ĩơng pliáp dãy СаггсЬу‫؛‬
P l ‫ا‬l٢ơng ỉ)báp tiOn dO.
Trơng gláơ trinli này t,a sir dụng pliiíơng pliáp tiín do đổ xây dựng sổ
tlnrc (Ví١١ klibng di sâu vào clii tiOt). Bạn cliỉ cbn nbớ rằn g số tln.rc là nbi.rng
số mb lĩi.in d a ٩ ηοη blOt có các pliOp tínb cộng (trír ) nliân (cliia), có quan bộ
tlnV tir (sổ Iiiby 1(711 lion. bO bơn bav b ằng sổ kia) \'à, dặc biỌt, bạn pbải tliíra
Iiliận T ie n đG vG c a n t r ê n (m à dirơi d ây so tiln b bày). TliO là bạn d ã có
dil "libiili tran g ’' do liiOu nln.rng vấn dồ tiOp tlioo cila giáo trinb này.

1.1 C á c tỉê n đ ề c ứ a số tliư c
1.1.1 Đ ỉn h Iig h la
TcỊp c(Ìc Sổ t ì i a c c l là tập các рЬ.сіи. tac ■Л'٠ч)١г ١ ... cỏ lì.ai ph.ép tíub. cộu.g,
■u-l).(lu. 'ũ(\ {i.aau ١١٠ệ t.b.ac taỗ tb.a , cỏc tờu. d ờ (ν٦١١Λ ‫·؛‬٦١‫ ؛‬٦ Μ·ϋ١١ d 'ư ớ i ‫ﻭﺍ'ﺀﺓﺓ‬:

(i.) ? ‫ﺍﺃ‬.‫ )ﺁﻍ‬tí.ub. cơu.g -V a)a ρ1ι.έ'٤١ t.í.ub. ub.du. ٠ sao clao

4~:

M xR -

R

(.ĩ, ?7 ) — ‫ ب‬.X‫رو ب‬
là ĩì.h.óĩìi. giao 1١.οά^.١ tũc 1‫ﺓ‬,‫ﻭ‬

. x-V ٦j : ٧ -Vx ٩‫ ؛ﺅﻝ‬m.ọi x,]] e l ;
. X + (‫ رو‬+ ^)

‫ى‬

(X + 2 + (‫ رو‬vớ i m.ọi X ,‫رو‬, г ‫ ج‬I ;

. tồĩì, tại phain. l.ử ữ e l sao c ١١,o χ -\-‫ ^؟‬: χ xởi Ĩ1٦٠ỌÌ X- e l ;
. với mọi X ‫ ج‬R tồn tại - X ‫ ج‬R sao clio X + (-X ) : 0 ‫—ﻧﻢ‬X đĩCỢC
go‫؛‬- la ph-ầìn tử aổl của X,);
R xR
‫ ﻯ‬٠, ' ‫ ﻻ‬١

!

-¥ χ ‫ = رو‬X ٠ ‫رو‬

1Д٦| ١١ la ■ηΙιότΓίΊ. g‫؛‬.ao liodu, tức la,
. ХД] : px XỚ‫■ )؛‬Ш-ОІ χ.,ρ e l \ ‫ﻷﺍ‬١;

. χ ( ۴ ) = (χ?7)^ với W/Çi X,‫رو‬, ‫ ج ة‬R \ {0};
. tòa tạl phax. tử 1 e l sao c1١٠o \x ‫ ﺕ‬X. XỞI ٣١٦‫ﺀ‬0‫ )؛‬X. e l \ ^ ữ ١;
. với m,ọi X ‫ ج‬R \ ( ‫ ز ه‬, tần tại X~1 e ! \ {0} 5ữơ cho χ ( χ - ^ ) = 1
(x “ ! ằ cợ c go‫؛‬, la p ١١.ầa tử ٦٦.g1١٠١c ١ì. ầo cda X);
G‫؛‬ũa
٠
1١a ‫؛‬. pli.ép t'í٠a1١, ĩì٠àp có iii-oi. lien. ١١٠ệ saa
‫ﺇ؛'ﺍ‬

“V ζ>■ : Χ4| ١ χ.ζ (tí.al. c١١,ăt plí.dx, plì.ổl) ^ x ,p ٩z e l .

(ll) Qaiax. b.ệ tlì-ũ tic < sao cb.o aổl xởl b.a‫؛‬. pb,ax٠ tả bẫt k٠p x ٦p ‫ ﺍ ﻉ‬ta
latou luou có X. < ١] ١١٠oặc Я] < X xd qx^ax. b.ệ < cỏ các tí-^-b. cb.át saa:
. X < χ \ίχ ‫ ﺍ ﻉ‬xd ĩì.ếai X. < ١і ١ P < .r tbí. X. = ١] (tíab- pbda- ^róag);
. иегі '.X. < ١і ١ li < Z tb.١٠ X. < z (tíxb. bắc cầa);
. X. <11 k.b.l xa c1١,i k-b,‫؛‬, x ^ - z < i j | z \ i z e l ;
. nếĩL 0 ‫ ة‬X, 0 ^ ‫ رو‬tliì ٥ < x ۶7 .
Ta x'٠.Ểt X. < 11 (‫؛‬Ị.oặc II > x ) x.ều X. < 11 xd : 1 1 ١٠ ‫ﺗﺐ‬.
(ίίί) T iê n đ ề v ề câ n tr ê n . M ọi tập Ẩ c R, Λ
txèx. аяіх.д.

0 ύ?: clì.ặn trên cơ cận


Do Ilion TlOii đồ vồ cận trcii, ta cần các kliái n ‫؛‬ệni qnan ti.ọng san:
1 ٠1 ٠‫ ﺙﺀ‬ïïmYv

Nói Tằn.g tâp A c l bi dì.ạĩi, trêu ٠п٠егі tồn, tại г € ‫ ﺍ‬sao

cb.0 Л. < г ٠υάΐ■ m oi X e A ‫ ؛‬pb0,n, І.гс ‫ ﺓ‬nbxc tb.ể à c ợ c gọt là cận. t ٣ èn, cua tạp A.

Gtả зге A bi cb.ặn, txèu ١ z аге‫ ؟‬с go ‫ا '؛‬٠‫ ة‬d ĩ v tr e ii ‫ ج ا أ أ\ ة‬сгіа Α ١ n٠Ễu:
. Z la edu tren. của A , tức Id, X < 2 \ίχ e A ‫؛‬
. 2 là cậ ٩١٠ t٣ èn. bé u1٦,dt eda A , t.dc Id, n,ểu 4] < 2 till Ч] kb'ôn.g pb.d‫؛‬. ١,d cdn.
t ٣ èn. сгіа A .
Cận tiOn Itn ig cila tậ p A được kv li‫؛؛‬n là snp A (snp là viOt t.ắt cila clitr
Latinli snpioinnin).
Tirơiig t.i.r ta CĨ tliO ilịnli ngliỵa t-ập bị cliặn dưới, cận dưới và cận diĩới
dilng nliư san
1.1.3 D ỉiili Iig lila. ^0?: 7'ằng tậv A c ! bị cỉiặn à cớ i nếu ữ n toi 2 1 ‫ ج ؛‬sao
c.lì٠o .٦٠. > 2 4)ởì n٦.ọt -Xe A ‫ ؛‬pliần. t٠'d 2 п.ііге tliC dieơc gọt Id cận. dieởt cda tỌp A

G'.i'tl stc A b٠ỉ. cli.ặn. d4eớt, 2 агс‫ ؟‬с gọt Id c a n à ư cíi ‫ ﺝ \\ ﺃ \ ﺓ‬сгіа А , n,ễu:
. 2 Id cạ ٦i d4eớt сгіа А , t.ức Id, X 2 ‫\ ﺡ‬ίχ ‫ ﺡ‬Α ’١
. 2 ١.d Cliu a.4CỚ‫؛‬. lớn. ٦١b٠d t cita A , titc Id, n.Ểu 4Ị > 2 tbt ٠‫ ﺍﺇ‬k.1i.ôn,g pbdt Id
cmi d'icâi ơLỈa A.
Cận diĩới ditng cita tậ p A dược kv liiộn Id inf A (inf là vidt t ắ t cila cln.ĩ
Latinli infininni).

c IR , A ‫ﺹ‬Й và bị cliặn tiOn till
! . Tír đó sny la non A c R , A ^ Й và bị cliặn

TiOn do vồ cận tiOn nói I.ằng nOn A
sn p A tbii tại và sn p A ‫ﺝ‬

dưórị till inf A tồn t.ại vd inf A ‫ ! ﻉ‬. Nliư vậ.v, so với diư ơ ng tiln li pliổ tliông
till ti(٦n db (iii) là inới ١ cịn (!) và (ii) là nlnTng tínli cliất ٩ ηοη t.lmộc cila sổ
tliưc.


Tir địiili Iigliĩa dồ dàiig th ấy I.ằiỉg:

1 .1.4 Đ ịn h lý
(i) N ế u A c l bi cb,ặ٢١. tĩèìì. tb.ì. ‫؟ = ﺓ‬.wp A k.ìì.i ٠üà cli.i khi
X < Z \/x e A
\/ ‫> ﺝ‬

0

3‫ج آ‬

e A :z

—s <

X e .

(٩.‫؛‬,) Neit A c I bi. ckặĩì. ả cở i tlìí. Z : \‫ ﺃ\ﺍ‬A kb.i ‫ﻵ‬0‫ ﺍ‬d ii k٦b‫؛‬٠,
Z < X \^x e A
\/3

0 < ‫ﺝ‬X e

e A :X e < Z f S .

(iii) Giua cậ ٦٦. trèii٠ du ٠n٠g ٦‫ﺓﻝ‬٠ cận. àicởi cLung có ٢٣١٠‫ ﺍ ﺓ‬lien- ١١٠ệ saii
iiif A : — s n p (-A ),

snp A : — h if(-A ).

B à ỉ tâ p
1. Cluriig iniiih dịuli lý trcn.

2. Thố uào là t-ập khôiig bị chặii trcii, khOiig bị chặii dirới, kliỏiig bị clìặn ‫؟‬
C h ủ ý.
1. Các Iilià t,ốii liọc tliế kỷ 19 d ẵ cli،riig niiiih lằiig tbii tạ i v à d ١i.v Iiliẩl tậ p
R th o ầ m ãn các tiíii đề tiCii.
2. Khơiig n h ấ t thiCt sn p A ‫ ﺝ‬A) lẠ.ặc inf A e A.
3. Ta nól I.ằng M là p h ầ n t ử lớ n n liấ t c^ia tập A nến M e A v h x < M với
tất cầ

‫إ‬

‫ ﺝ‬A (tiong tinờng hợp dó t.a vidt M :

I.ằng ĩĩi là p h ầ n t ử b é n h ấ t ci١a tập A ngn

/;;٠ €

in a x A ).. Tirơng tir , ta nói
A và X > rn với tất cả .X ‫ ج‬A

(tiong tiirờng hợp dó t.a vidt rri : inin A ). Ncu A có phần tr’r lớn nhẩt : inax A
thl snp A : inax A . Nếu A có phần t‫؟‬r bc nhất : inin A tlil inf A : inin A.


4. Cận t.ĩêii đúng, cận chrới đúng nếu ton tạl thi duy nhất.
B à ỉ tậ p
3. Hây làm sáng tỏ 2., 34 ٠‫ﻝ‬. tiong chứ ý tiCn.
1.1.5 D iiili n g liĩa .

Ta nói, tàj) A c ! là bi chặn nếu A vủa ٥ ‫ ؛‬chặn trèĩi

0.ừa Ьг сІгГіи dicởi, t ٠ức ١.‫ﻟﺔ‬١ tồn. t.n'1, 0‫ > ﻝ‬٠ sao cho \χ.\ < 0, NÌT. e A.
Ta tliẩ .٧ ngay nằng khi A bị c.hặn thi A có cậ.n ti.Ền dUng và có cận dưới
dhng thuộc IR
1.2

(Л

7 0

‫)؛‬.

Hê q u ả

1 . Τ.1

u^Vũa. Che sổ t,٦‫ ؛‬n,l١٠‫؛‬.èn. d u q c 1‫ﺍ‬.‫ ﻵ‬li'i.ệu baTUj‫^؟‬, Ott d u q c a^uh. u٠ghĩ,a

nine sau: 1 ( ά σ η ν ί ) ; 2 : ί } 1 ; 3 = 2 + 1‫ ؛‬..)‫ ؛‬٣‫ﺭ‬, = (η,- 1) + 1 ١ ... các
d a q c 1.'‫ ﺅ‬lìl.ệAi Ьилгд ‫ ﺓ‬OCI dicqc d ١٦ch n٠gh.ầ uhu saa: ٠ ١ ‫ ﺫ ﺩ‬١ ‫ ﻵ ﺩ‬٠١‫ ﺫ ﺁ ﺩ‬١٠.. ١ ‫ ﰿ‬٩٦‫ ﺍ‬١٠..
S ổ l١.-d-a t;ỷ l.d s ổ C.Ó dạu.g ! ١ in,١ ĩ ١. ‫ ﻉ‬1‫ﺩ‬١ η ‫ﺏ‬

к.д h.'i.ệu Q la tập cdc sổ

l١.'dat'g.
S ỗ ٠υό i’ỷ Ui sổ th.١‫ ؛‬c ١ T١,h.\tìì.g k.hơu,g phdt ta sổ h.'ü.a tp.
B àỉ tậ p
4 ٠ Chtrng niinlí ự 2 . \ Д là chc sổ vO t ‫ ؛‬.
5.

Nếu

‫ ﻉ‬N klidng phải là số chínli pluĨơỉig thl ự ĩĩ cO pliải là sổ vô tỷ

không'3
1 .2 .2 D ịiib lý .

Cl١.o t.-Titởc ■.V. > t١ . Vởt ٦n,ọ‫؛‬, ٦٦. + M tOn. tạ ٠i υά d:a'g ٦٦.h,dt 'IJ > Q

sao (:h,0 уП :

. S ổ y ٦١.ag d'aqc ٦٠١‫؛‬.ẽt d ١f,ố‫؛‬. dạn.g ựã ٠ l١,ap χ \ | ١١.

c+--ứ٩jg -0‫ﺃ‬.'1,٦‫ﺍ‬.‫ ﺍ‬١..

‫) ؟‬ạ ١ A ‫ ؛؟ > ﺓ ﺃ ﺕ‬٠. Zη■ < χ. ١ ٠

٠ Vói г ! ;;:/(] + .٦٠) till о <
kliitf' ‫ ﺍ ﺓ' ﺍ‬٦‫ﳌﺈ‬.

2

< 1. Do dó 2 "' <

2

<

.ĩ:. Suy I٠a

2

4‫ﺩ ﺝ‬

và A


٠ T a cliiriig iniiili 1 ‫ ﺏ‬.T là cận trẽn của A. T liật vậy, IICII 1 + :r kliơng pliầi là

cận trCn сг’га A tlìì tồn tại z e A sao clio г > 1 + X. Suy ra Z?1 > z > X, tức.
là, z ị A. Vơ lý. V ậy A bị cliặn trCn. Do đó, tồn tạ i y e ! sao clio
?; = supẨ.
T a sẽ cliứng ininli yti : X. T liật vậy, giầ sử ngirợc lại.
yii < :X. Clỉọn h 0 ,1 ) ‫ ) ﻉ‬sao cbo
h<

x - y

;?/(?/‫ ﺏ‬l ) n - i

Sử cliing bất đằng tliiìc sơ cấp
—о,тг < (ị “ а)пЬ'пг1}

lien

о<

a < ‫خ‬,

ta có
(aj-Vh>‫ ؛‬U - ٦j U < b ٠ìi٠ ^٦] V b

١ ١

v -\ < h ٠u V i)-V l ١ ”' " \ < Χ - ١ Γ

٠

Do đó, {y + h)ii < X và vl tlie y i h e A. DiCn này vỏ ly vl ĩ j i h > y : s١ip A.
١‫ > ﺍﺍﻝ‬X. U y

k

‫ ﺇﺃ‬٦‫ — ﺍ‬X

n y .„.-ỉ ٠

RO ràng 0 < Ả: < ‫ﺭﻭ‬. T a clnĩng ininli ‫ ﺭﻭ‬- k là cận trCn ciia A. T liật vậy, nếu
n g rợ c lại tb l tồn tạ i t E i sao clio ị > y — k. Snv ra
y

n

۴ ‫ < ﻟﻢ‬yti - (‫ ~ رو‬Ả:)” < кпуЧі-ì = ‫ﺀ”رو‬

X.

Do đó, fji > X tứ c là, t ị A. Vô ly.
B ây giờ, giẳ sử tồn tạ i 0 < 2‫ورو‬,‫ رو‬sao cliO ‫ = ﺀ؛رو‬۶‫ = دةر‬X. Nổn 0 <; 2‫رو < ارو‬
till X = ‫ةرو < ﺀإرو‬٤ = X. Vơ lý. Tir đó suy ra 2‫ *رو > ارو‬Tirơng t^r t٠a có ‫رو‬2 > ‫ارو‬.
Vậy, 2‫رو = ارو‬, tire là, tinli tlny n liất điĩợc cliiTng ininli.

□

Nliơ k ế t ٩i١
i a trCn ta CĨ tho địnli ngliỵa liàin sổ ηη.ι nlnr san.
1 ٠٠‫ ﺓ‬٠‫ ﻵ‬I m

số m ũ .

Gìd SIC ٥. ١٠‫ ﻷ‬s ổ tliacc àacơn.g ١)à khác 1.

٠ V ởt ٣ : nr.!n. là sổ hícai

till ta aặt
о ٣ = Ѵа\|'‘л‫ ؛‬та·,


Vói π , > \ υ α ■
٠r. là sổ ■υο txj tb,'l 1,0, dạt
α'Τ

= sup{a٢ịr <

٠ Vở ٩. ‫ < ﺩﺍ‬a < \ ٩‫ ﺍﺓﻝ‬:٣ ‫ﺍ‬.‫ﺓ‬٠ sồ '٧‫ﺓ‬

r

e

Q}.

X) r e

Q}.

X)

t ١٦٠l ta dặt

α٠τ = іп£{аГ|г <

Klii đó, (lễ dang cliứng minh lằng
а Н Ѵ :а Х .а У )

xy
{aXyj : аП

Bây giờ la nói sơ ٩na về hàm loga .٩:.
1 .2 .4 H à m loga.

G‫؛‬.d s ٠à Q < a ‫ \ ﺏ‬١)à ì ٠. >

Kh.1 dó ١ tồn. tại duaj nhdt

y e ! sao cho 0.У : ٦٦. S ổ y n,d^ d ٩٤ợo gọt Id logarithm cơ s ổ ٥٠ của ٦١٠ ٠٧а ta
m ế ty :\o g (iX .
Nhờ các lin h chất cda hàm mh, ta có:
loga(-ry) = log„ T ‫ ا‬lo g . У)

tio n g dó ;7: >

l٥ga(-r ٥) = ‫ ة‬log„ X,

0 0 < ‫ ﺃ‬7‫ ﺭ‬cỏn ‫ ﺓ‬là sổ thự c tùy ý.

C h ú ý.
1. Hàm lũy th ừ a là hàm có dạng .n٥ . X nất p h át từ các hàm:
ίτχ 2

fV

ta dịỉili nghĩa d a th ứ c bậc ‘П theo công thức
P {x) = ao +

ơ i] X

+ ... +

α -η χ Η )

٠٠„,

^ 0,

các hằng sổ η,ο,α,ι, ... ١α.„, ‫ ﺝ‬к dơợc gọí là hệ số củ a d a th ứ c p .
Hàm liini tỷ là thư ơ ng cha hai d a thức.
Hàm vỏ tỷ là hàm có cliứa những bỉểu thứ c có d ấn cẵ,n. C hằng hạn
X

+