bài giảng môn giải tích III

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI
BÀI 14
§3. Phép tịnh tiến và phân thức đơn giản
• Quy tắc phân thức đơn giản • Sự cộng hưởng và nhân tử tích lặp bậc hai
1. Mở đầu.
Phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng có nghiệm là biến đổi Laplace nghịch
đảo của hàm hữu tỉ =
( )
( )
( )
P s
R s
Q s

Cần đưa ra kĩ thuật cho phép tính
{
}
−1
( )
R s
L
đượ
c thu
ậ
n l
ợ
i.
2. quy tắc phân thức đơn giản
a) Quy tắc 1. Phân thức đơn giản tuyến tính
N

ế
u
( )
Q s
có
( )
−
n
s a
thì
(
)
R s
có các s
ố
h
ạ
ng sau
( ) ( )
+ + + ∈ =
−
− −
1 2
2
, , 1,
»
n
i
n
A A A

A i n
s a
s a s a

b) Quy tắc 2. Phân thức đơn giản bậc hai
N
ế
u
(
)
Q s
có
( )
(
)
− +
2
2
n
s a b thì
(
)
R s
có d
ạ
ng
( )
( ) ( )
+ + +
+ + +

− +
   
− + − +
   
   
1 1 2 2
2 2
2
2 2
2 2

n n
n
A s B A s B A s B
s a b
s a b s a b

ở

đ
ó
∈ =
, , 1,
»
i i
A B i n

Định lí 1. Biến đổi trên trục
s

N
ế
u
{
}
=
( ) ( )
F s f t
L
t
ồ
n t
ạ
i v
ớ
i
>
s c
, thì t
ồ
n t
ạ
i
{
}
( )
at
e f t
L v
ớ

i
> +
s a c
và có
{
}
( ) ( )
at
e f t F s a
= −
L .
Hay t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i
{
}
1
( ) ( )
at
F s a e f t
−
− =
L
Chứng minh.
Ta có
( )

( )
( )
∞
− −
− =
∫
0
s a t
F s a e f t dt
( )
∞
−
 
=
 
∫
0
st at
e e f t dt
( )
{
}
= − >
,
at
e f t s a c
L
T
ừ
k

ế
t qu
ả
này và t
ừ
b
ả
ng 4.1.2 có
(
)
f t

(
)
F t


at n
e t

( )
+
>
−
1
!
,
n
n
s a

s a

(2.1)
cos( )
at
e kt

( )
−
>
− +
2
2
,
s a
s a
s a k

(2.2)
sin( )
at
e kt

( )
>
− +
2
2
,
k

s a
s a k

(2.3)
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
Ví dụ 1.
Tìm phép bi
ế
n
đổ
i Laplace ng
ượ
c c
ủ
a
a)
+
=
− −
2
3 2
1
( )
2 8
s
R s
s s s

•
( )

( )( )
+
= = + +
+ − + −
2
1
2 4 2 4
s A B C
R s
s s s s s s

•
+ = + − + − + +
2
1 ( 2)( 4) ( 4) ( 2)
s A s s Bs s Cs s .
• Thay
=
0
s ,
= −
2
s , và
=
4
s
ta có
− =
8 1
A ,

=
12 5
B ,
=
24 17
C
⇔

= −
1
8
A ;
=
5
12
B , =
17
24
C
•
( )
= − + +
+ −
1 1 5 1 17 1
. . . ,
8 12 2 24 4
R s
s s s

•

( )
{ }
− −
= − + +
1 2 4
1 5 17
.
8 12 24
t t
R s e e
L
b)
( )
+
=
+ +
2
4 2
2
5 4
s s
F s
s s
(
( ) ( )
= − − +
1
2 cos sin 2 cos 2 2 sin 2
3
f t t t t t

)
c)
( )
−
=
+ +
2
4 2
2
3 2
s s
F s
s s
(
(
)
= − − + +
2 cos sin 2 cos 2 2 sin 2
f t t t t t
)
Ví dụ 2.
Gi
ả
i bài toán giá tr
ị
ban
đầ
u
′′ ′
+ + =

2
4 4
y y y t
;
′
= =
(0) (0) 0.
y y

• Tác
độ
ng phép bi
ế
n
đổ
i Laplace ta có
+ + =
2
3
2
( ) 4 ( ) 4 ( ) .
s Y s sY s Y s
s

•
( )
= = + + + +
+
+
+

3 2 3 2 2
2
( )
2
( 2)
2
A B C D E
Y s
s s
s s s s
s

•
Đồ
ng nh
ấ
t các h
ệ
s
ố
ta có
( )
= − + − −
+
+
3 2 2
3 3
1 1 1
8 8
2 2 4

( )
2
2
Y s
s s
s s
s

•
− −
= − + − −
2 2 2
1 1 3 1 3
( )
4 2 8 4 8
t t
y t t t te e
.
Ví dụ 3.
Xét m
ộ
t h
ệ
con l
ắ
c lò xo v
ớ
i
=
1

2
m ,
=
17
k
,
=
3
c
đơ
n v
ị
(mét, kilôgam, giây).
( )
x t
là kho
ả
ng d
ị
ch chuy
ể
n c
ủ
a kh
ố
i l
ượ
ng
m
t

ừ
v
ị
trí cân b
ằ
ng c
ủ
a nó. N
ế
u kh
ố
i l
ượ
ng
đượ
c
đặ
t
ở
v
ị
trí
=
(0) 3
x ,
=
'(0) 1
x . Tìm
( )
x t

là hàm c
ủ
a dao
độ
ng t
ự
do t
ắ
t d
ầ
n.

Hình 4.3.1.
H
ệ
kh
ố
i l
ượ
ng-lò xo và v
ậ
t c
ả
n c
ủ
a Ví d
ụ
1
• Ta có ph
ươ

ng trình vi phân t
ươ
ng
ứ
ng v
ớ
i bài toán là:
′′ ′
+ + =
1
3 17 0
2
x x x
v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n ban
đầ
u
=
(0) 3
x ;
′
=
(0) 1

x
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
• Tác
độ
ng phép bi
ế
n
đổ
i Laplace vào hai v
ế
, chú ý
{
}
=
0 0
L
ta có
[
]
 
− − + − + =
 
2
( ) 3 1 6 ( ) 3 34 ( ) 0
s X s s sX s X s
•
( ) ( )
+ +
= = +
+ +

+ + + +
2 2 2
3 19 3 5
( ) 3. 2
6 34
3 25 3 25
s s
X s
s s
s s

• S
ử
d
ụ
ng (2.2), (2.3) có
(
)
−
= +
3
( ) 3cos5 2sin5
t
x t e t t


Hình 4.3.2.
Hàm v
ị
trí

( )
x t
trong Ví d
ụ
1.
T
ừ
hình ta th
ấ
y
đồ
th
ị
c
ủ
a dao
độ
ng t
ắ
t d
ầ
n.
Ví dụ 4.
a) Xét h
ệ
con l
ắ
c lò xo - gi
ả
m xóc nh

ư
trong Ví d
ụ
3, tuy nhiên v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n
′
= =
(0) (0) 0
x x và v
ớ
i m
ộ
t l
ự
c tác
độ
ng bên ngoài
=
( ) 15sin2
F t t
. Tìm chuy
ể
n

độ
ng t
ứ
c
th
ờ
i và
ổ
n
đị
nh c
ủ
a kh
ố
i l
ượ
ng
đ
ó.
• Ta c
ầ
n gi
ả
i bài toán v
ớ
i giá tr
ị
ban
đầ
u

+ + =
" 6 ' 34 30 sin2
x x x t
;
= =
(0) '(0) 0
x x .
• Tác
độ
ng phép bi
ế
n
đổ
i Laplace vào ta có + + =
+
2
2
60
( ) 6 ( ) 34 ( )
4
s X s sX s X s
s

•
( )
( )
( )
+ +
= = +
 

+
+ + +
+ +
 
2 2
2 2
60
4
4 ( 3) 25
3 25
As B Cs D
X s
s
s s
s
.
•
Đồ
ng nh
ấ
t ta có = −
10
29
A , =
50
29
B , = =
10
29
C D . Vì v

ậ
y,
•
( )
( ) ( )
   
− + + − + + −
   
= + = +
   
+ +
+ + + +
   
2 2 2 2
1 10 50 10 10 1 10 25.2 10( 3) 4.5
.
29 29
4 4
3 25 3 25
s s s s
X s
s s
s s

• Do
đ
ó
( ) ( )
−
= − + + −

3
5 2
( ) 2cos2 5sin2 5cos5 2sin5
29 29
t
x t t t e t t
.
b)
(
)
( ) ( ) ( )
′′ ′ ′ ′′
+ − = = = =
3
6 0, 0 0, 0 0 1
x x x x x x
+)
( ) ( ) ( )
   
− − + − − =
   
3 2
1 1 6 0
s X s s s X s sX s
+)
( )
+
=
+ −
3 2

2
6
s
X s
s s s
 
= − − +
 
+ −
 
1 5 1 6
15 3 2
s s s

+)
{ }
{ } { }
(
)
−
= − − +
3 2
1
5 1 6
15
t t
e e
L L L
( )
{

}
−
= − −
2 3
1
6 5
15
t t
e eL
+)
( )
( )
−
= − −
2 3
1
6 5
15
t t
x t e e
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
c)
(
)
(
)
′′ ′ ′
− + = = =
6 8 2, 0 0 0
x x x x x (

( )
( )
= − +
2 4
1
1 2
4
t t
x t e e

d)
( ) ( )
−
′′ ′ ′
+ + = = =
4 8 , 0 0 0
t
x x x e x x (
( ) ( )
− −
 
= − +
 
2
1
2 2cos2 sin2
10
t t
x t e e t t
)

e)
(
)
( ) ( ) ( )
(
)
( )
′ ′′
− = = = = =
4 3
0, 0 1, 0 0 0 0
x x x x x x (
( ) ( )
= +
1
cosh cos
2
x t t t
)
f)
(
)
( ) ( ) ( )
(
)
( )
′′ ′′ ′
+ + = = = = = −
4 3
13 36 0, 0 0 0, 0 2, 0 13

x x x x x x x
(
( )
= +
1 1
sin2 sin3
2 3
x t t t
)
g)
(
)
( ) ( ) ( )
(
)
( )
′′ ′ ′′
+ + = = = = =
4 2 3
2 , 0 0 0 0 0
t
x x x e x x x x
(
( ) ( ) ( )
 
= + − − +
 
2
1
2 10 2 cos 5 14 sin

50
t
x t e t t t t
)
h)
(
)
(
)
′′ ′ ′
+ + = = = −
6 18 cos2 , 0 1, 0 1
x x x t x x
(
( ) ( ) ( )
−
= + + +
3
1 1
489cos3 307 sin3 7cos2 6sin2
510 170
t
x t e t t t t
)
i)
(
)
( ) ( ) ( )
′′ ′ ′ ′′
+ − = = = =

3
12 0, 0 0, 0 0 1
x x x x x x (
( )
−
= − + −
3 4
1 5 1
6 21 14
t t
x t e e
)
k)
(
)
( ) ( ) ( )
′′ ′ ′ ′′
+ − = = = =
3
20 0, 0 0, 0 0 1
x x x x x x (
( )
−
= − + −
4 5
1 1 1
10 6 15
t t
x t e e
)

3. Sự cộng hưởng và nhân tử tích lặp bậc hai
Hay dùng hai phép bi
ế
n
đổ
i Laplace ng
ượ
c c
ủ
a hàm phân th
ứ
c
đơ
n gi
ả
n trong tr
ườ
ng h
ợ
p
phân tích l
ặ
p b
ậ
c hai (nh
ậ
n
đượ

c khi s
ử
d
ụ
ng k
ỹ
thu
ậ
t nh
ư

ở
Ví d
ụ
5, Bài 2)
( )
−
 
 
=
 
 
+
 
1
2
2 2
1
sin
2

s
t kt
k
s k
L ;
( )
−
 
 
= −
 
 
+
 
1
2 3
2 2
1 1
(sin cos )
2
kt kt kt
k
s k
L
Ví dụ 5.
S
ử
d
ụ
ng phép bi

ế
n
đổ
i Laplace
để
gi
ả
i bài toán v
ớ
i giá tr
ị
ban
đầ
u
′′
+ =
2
0 0
sin
x x F t
ω ω
;
′
= =
(0) 0 (0)
x x
• Tác
độ
ng phép bi
ế

n
đổ
i Laplace vào có + =
+
2 2
0
0
2 2
( ) ( )
F
s X s X s
s
ω
ω
ω

•
( )( )
=
+ +
0
2 2 2 2
0
( )
F
X s
s s
ω
ω ω
 

= −
 
 
− + +
 
0
2 2 2 2 2 2
0 0
1 1
F
s s
ω
ω ω ω ω
,
≠
0
ω ω

⇒
tìm
đượ
c
(
)
x t

• N
ế
u
=

0
ω ω
ta có
( )
=
+
0 0
2
2 2
0
( )
F
X s
s
ω
ω
, khi
đ
ó
( )
= −
0
0 0 0
2
0
( ) sin cos
2
F
x t t t t
ω ω ω

ω

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

Hình 4.3.4.
Nghi
ệ
m c
ộ
ng h
ưở
ng trong (18) v
ớ
i
=
0
1
2
ω
và
=
0
1
F ,
cùng v
ớ
i
đườ
ng bao c
ủ

a nó
= ±
( )
x C t

Ví dụ 6.
Gi
ả
i bài toán v
ớ
i giá tr
ị
ban
đầ
u
(
)
+ + =
4
2 " 4
t
y y y te
;
= = = =
(3)
(0) '(0) "(0) (0) 0
y y y y .
• Có
{
}

′′
=
2
( ) ( )
y t s Y s
L ,
(
)
{
}
=
4
4
( ) ( )
y t s Y s
L ,
{
}
( )
=
−
2
1
1
t
te
s
L
.
• Tác

độ
ng phép bi
ế
n
đổ
i Laplace vào có
(
)
( )
+ + =
−
4 2
2
4
2 1 ( )
1
s s Y s
s
.
•
( )
2 2 2 2 2 2
2
4
( )
1
( 1) ( 1) ( 1) 1
1
A B Cs D E s F
Y s

s
s s s s
s
+ +
= = + + +
−
− + − +
+

• Dùng h
ệ
s
ố
b
ấ
t
đị
nh có
( )
( )
( )
+
= − + +
−
+
−
+
2 2 2
2
1 2 2 2 1

1
1
1
1
s s
Y s
s
s
s
s

• Do
đ
ó
(
)
= − + + +
( ) ( 2) 1 sin 2cos
t
y t t e t t t
.

HAVE A GOOD UNDERSTANDING!
HAVE A GOOD UNDERSTANDING!HAVE A GOOD UNDERSTANDING!
HAVE A GOOD UNDERSTANDING!