chuyen de ty le thuc va tinh chat cua day ty so bang nhau

Trường THCS Đại Đồng

GV: Nguyễn Thị Nghĩa

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN LỤC NAM
TRƯỜNG THCS BẢO SƠN

CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG VÀ HAI ĐỀ THI HSG
DỰ THI GVG CẤP HUYỆN VÒNG III
CHU KỲ 2016 – 2018

Họ và tên giáo viên: Nguyễn Thị Hường
Đơn vị công tác: Trường THCS Bảo Sơn
Giảng dạy mơn: Tốn
Trình độ đào tạo: Đại học

0


Trường THCS Đại Đồng

GV: Nguyễn Thị Nghĩa
Bảo Sơn, tháng 4 năm 2018

BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 7
Chuyên đề: TỈ LỆ THỨC - TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
A. CƠ SỞ LÍ THUYẾT
I. TỈ LỆ THỨC
1. Định nghĩa:

a c


(hoặc a : b = c : d).
b d
Các số a, b, c, d được gọi là các số hạng của tỉ lệ thức; a và d là các số hạng ngoài hay
ngoại tỉ, b và c là các số hạng trong hay trung tỉ.
2. Tính chất:
a c
Tính chất 1: Nếu  thì ad  bc (Tích trung tỉ = Tích ngoại tỉ)
b d
Tính chất 2: Nếu ad  bc và a, b, c, d 0 thì ta có các tỉ lệ thức sau:
a c
a b
d c
d b
 ,
 ,


,
b d
c d
b a
c a
Nhận xét: Từ một trong năm đẳng thức trên ta có thể suy ra các đẳng thức cịn lại.
II. TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
a c
a c ac ac

-Tính chất: Từ  suy ra:  
b d

b d bd bd
-Tính chất trên cịn mở rộng cho dãy tỉ số bằng nhau:
a c e
a c e a b  c a b  c
 
  

 ...
suy
ra:
b d f
b d f bd  f bd  f
(giả thiết các tỉ số trên đều có nghĩa).
a b c
* Chú ý: Khi có dãy tỉ số   ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2, 3, 5.
2 3 5
Ta cũng viết a : b : c = 2 : 3 : 5
Tỉ lệ thức là một đẳng thức của hai tỉ số

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
I/ DẠNG 1: TÌM GIÁ TRỊ CỦA SỐ HẠNG CHƯA BIẾT
TRONG CÁC TỈ LỆ THỨC.
x y
Ví dụ 1: Tìm hai số x và y biết 
và x  y  20
2 3
Giải
Cách 1: (Đặt ẩn phụ)
x y
Đặt   k , suy ra: x  2k , y  3k

2 3
1


Trường THCS Đại Đồng
GV: Nguyễn Thị Nghĩa
x

y

20

2
k

3
k

20

5
k

20

k

4
Theo giả thiết:
Do đó: x  2.4  8

y  3.4  12
KL: x  8 , y  12
Cách 2: (sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau):
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x y x  y 20
 

4
2 3 23 5
x
Do đó:  4  x  8
2
y
 4  y  12
3
KL: x  8 , y  12
Cách 3: (phương pháp thế)
x y
2y
Từ giả thiết   x 
2 3
3
2y
 y  20  5 y  60  y  12
mà x  y  20 
3
2.12
8
Do đó: x 
3

KL: x  8 , y  12
x y
y z
 và 2 x  3 y  z  6 .
Ví dụ 2: Tìm x, y, z biết:  ,
3 4 3 5
Giải
x y
x y
Cách 1: Từ giả thiết:   
(1)
3 4 9 12
y z
y
z
  
(2)
3 5 12 20
x y
z
Từ (1) và (2) suy ra:  
(*)
9 12 20
x y
z 2x 3 y z
2x  3y  z 6





 3
Ta có:  
9 12 20 18 36 20 18  36  20 2
x
Do đó:  3  x  27
9
y
 3  y  36
12
z
 3  z  60
20
KL: x  27 , y  36 , z  60
x y
z
 k ( sau đó giải như cách 1 của VD1).
Cách 2: Sau khi làm đến (*) ta đặt  
9 12 20
Cách 3: (phương pháp thế: ta tính x, y theo z)
2


Trường THCS Đại Đồng
y z
3z
  y
Từ giả thiết:
3 5
5

GV: Nguyễn Thị Nghĩa

3z
x y
3y
9z
 x
 5 
3 4
4
4
20
9z
3z
z
mà 2 x  3 y  z  6  2.  3.  z  6   60  z  60
20
5
10
3.60
9.60
 36 , x 
 27
Suy ra: y 
5
20
KL: x  27 , y  36 , z  60
x y
Ví dụ 3: Tìm hai số x, y biết rằng: 
và x. y  40

2 5
Giải
x y
Cách 1: (đặt ẩn phụ):
Đặt   k , suy ra x  2k ; y  5k
2 5
Theo giả thiết: x. y  40  2k.5k  40  10k 2  40  k 2  4  k  2
+ Với k  2 ta có: x  2.2  4
y  5.2  10
+ Với k  2 ta có: x  2.(2)  4
y  5.(2)  10
KL: x  4 , y  10 hoặc x  4 , y  10
Cách 2: ( sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau)
Vì x.y = 40 => x  0
x y
Nên nhân cả hai vế của  với x ta được:
2 5
2
x 2 xy 40
 
 8  x  16  x  4
2
5
5
4 y
4.5
 10
+ Với x 4 ta có   y 
2 5
2

4 y
4.5
  y
 10
+ Với x  4 ta có
2 5
2
KL: x  4 , y  10 hoặc x  4 , y  10
Cách 3: (phương pháp thế) làm tương tự cách 3 của ví dụ 1.
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Tìm các số x, y, z biết rằng
x y z
x2 x4
 

a.
b.
và 5 x  y  2 z  28
10 6 21
x 1 x  7
c. 4 x  3 y ; 7 y  5z và 2 x  3 y  z  6
d. x : y : z  12 :9:5 và xyz  20
10
6
14
x  16 y  25 z  9


e. x  5  y  9  z  21 và xyz  6720
f.

và 2 x3 1  15
9
16
25
Bài 2. Tìm các số x,y,z biết rằng
3.

3


Trường THCS Đại Đồng
GV: Nguyễn Thị Nghĩa
2
2
2
a) x : y : z  3: 4 :5 và 5 z  3x  2 y  594
b) 3  x 1  2  y  2  ; 4  y  2   3  z  3 và 2 x  3 y  z  50
12 x 15 y 20 z 12 y 15 y  20 z


c)
và x  y  z  48
7
9
11
Bài 3. Tìm các số x,y,z biết :
x 3 y 5
1 4 y 1 6 y 1 8 y



a) y  2 ;  và 2 x  3 y  5 z  1
b)
z 7
13
19
5x
1 2 y 1 4 y 1 6 y
2 x  1 y  2 2x  3 y 1




c)
d)
5
7
6x
18
24
6x
1 2 y 1 4 y 1 6 y


e)
18
24
6x
Bài 4: Tìm các số x, y, z biết rằng:
x y z
x y

y z
 

a)
và 5 x  y  2 z  28
b)  ,
và 2 x  3 y  z  124
10 6 21
3 4 5 7
x y
2x 3y 4z


c)
và x  y  z  49
d)  và xy  54
2 3
3
4
5
x
y
z
x y
e)  và x 2  y 2  4
f) y  z  1  z  x  1  x  y  2  x  y  z
5 3
Bài 5: Tìm các số x, y, z biết rằng:
x 1 y  2 z  3



a) 3x  2 y , 7 y  5 z và x  y  z  32
b)
và 2 x  3 y  z 50
2
3
4
x y z
c) 2 x  3 y  5 z và x  y  z  95
d)   và xyz  810
2 3 5
y  z 1 z  x  2 x  y  3
1



e)
f) 10 x  6 y và 2 x 2  y 2  28
x
y
z
x yz
Bài 6: Tìm các số x; y; z biết rằng:
x 7
x y

a) y  3 và 5x – 2y = 87;
b)
và 2x – y = 34;
19 21

2x  1 3y  2 2x  3y 1
x 3 y3
z3




b)
và x2 + y2 + z2 = 14.
c)
5
7
6x
8 64 216
Bài 7: Tìm các số a, b, c biết rằng: 2a = 3b; 5b = 7c và 3a + 5c – 7b = 30.
Bài 8: Tìm các số x, y, z biết :
a) x : y : z = 3 : 4 : 5 và 5z2 – 3x2 – 2y2 = 594;
b) x + y = x : y = 3.(x – y)
Hướng dẫn:
a) Đáp số: x = 9; y = 12; z = 15 hoặc x = - 9; y = - 12; z = - 15.
b) Từ đề bài suy ra: 2y(2y – x) = 0, mà y khác 0 nên 2y – x = 0, do đó : x = 2y.
Từ đó tìm được : x = 4/3; y = 2/3.
Bài 9. Tìm hai số hữu tỉ a và b biết rằng hiệu của a và b bằng thương của a và b và
bằng hai lần tổng của a và b ?
Hướng dẫn: Rút ra được: a = - 3b, từ đó suy ra : a = - 2,25; b = 0,75.
4


Trường THCS Đại Đồng

GV: Nguyễn Thị Nghĩa
a
b
c
,
,
Bài 10: Cho ba tỉ số bằng nhau:
. Biết a + b + c  0 .Tìm giá trị của
bc ca ab
mỗi tỉ số đó ?
II/ DẠNG 2: CHỨNG MINH TỈ LỆ THỨC
Để chứng minh tỉ lệ thức:

A C
 ta thường dùng một số phương pháp sau:
B D

Phương pháp 1: Chứng tỏ rằng A. D = B.C
Phương pháp 2: Chứng tỏ rằng hai tỉ số

A
C
và
có cùng giá trị.
B
D

Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức.
(*) Một số kiến thức cần chú ý:
a na

(n  0)
+) 
b nb
n
n
a c a c 



+)
b d  b   d 
+) a.b + a.c = a( b+ c) hoặc a.b - a.c = a( b - c)
(*) Một số ví dụ : ( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
a c
a b c d

Ví dụ 1: Cho tỉ lệ thức 
.Chứng minh rằng:
b d
a b c d
Giải:
Cách 1: (Phương pháp 1)
Ta có: (a  b)(c  d )  ac  ad  bc  bd
(1)
(a  b)(c  d )  ac  ad  bc  bd
(2)
a c
Từ giả thiết:   ad  bc
(3)
b d

Từ (1), (2), (3) suy ra: (a  b)(c  d )  (a  b)(c  d )


ab cd

a b c  d

(đpcm)

Cách 2: (Phương pháp 2)
Đặt

a c
  k , suy ra a  bk , c  dk
b d

a  b kb  b b(k  1) k  1
Ta có: a  b  kb  b  b(k  1)  k  1

(1)

5


Trường THCS Đại Đồng
c  d kd  d d (k  1) k  1



c  d kd  d d (k  1) k  1

Từ (1) và (2) suy ra:

ab cd

a b c d

GV: Nguyễn Thị Nghĩa
(2)

(đpcm)

Cách 3: (phương pháp 3)
Từ giả thiết:

a c
a b
  
b d
c d

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a b a b a b  a b c  d
 


c d cd cd
a b c d

(đpcm)

Hỏi: Đảo lại có đúng khơng ?
a c
Ví dụ 2: Cho tỉ lệ thức 
b d

ab a 2  b2

. Chứng minh rằng:
cd c 2  d 2
Giải:

Cách 1: Từ giả thiết:

a c
  ad  bc
b d

(1)

ab  c 2  d 2   abc 2  abd 2  acbc  adbd

Ta có:

cd  a 2  b 2   a 2cd  b 2cd  acad  bc.bd
Từ (1), (2), (3) suy ra:
Cách 2: Đặt

ab  c 2  d 2   cd  a 2  b2 

a c

  k , suy ra a  bk , c  dk
b d

ab bk .b kb 2 b2



Ta có: +)
cd dk .d kd 2 d 2

(2)
(3)
ab a 2  b2


(đpcm)
cd c 2  d 2

(1)

2
2
a 2  b 2 (bk ) 2  b2 b 2k 2  b 2 b  k 1 b 2




+) 2
c  d 2 (dk )2  d 2 d 2 k 2  d 2 d 2  k 2 1 d 2

Từ (1) và (2) suy ra:

ab a 2  b2

cd c 2  d 2

(2)

(đpcm)

6


Trường THCS Đại Đồng
a c
a b
  
b d
c d
Cách 3: Từ giả thiết:
ab a 2 b 2 a 2  b2

  
cd c 2 d 2 c 2  d 2


ab a 2  b2

cd c 2  d 2

GV: Nguyễn Thị Nghĩa

(đpcm)

a
c
a 2  b 2 ab
 .

Ví dụ 3: Cho tỉ lệ thức : 2
. Chứng minh rằng:
2
b d
c d
cd

Giải
2
a 2  b 2 ab  2ab  a 2  2ab  b2   a  b   ab   a  b   a  b   a.b

Ta có : 2
;
2
2
2
c  d 2 cd 2cd c  2cd  d  c  d  cd  c  d   c  d  c.d

c  a  b  b  c  d  ca  cb bc  bd ca  bd





1
a  c  d  d  a  b  ac  ad da  db ca  bd
a c
 ca  cb  ac  ad  cb  ad  
(dpcm)
b d


BÀI TẬP VẬN DỤNG:

Bài 1. Cho tỉ lệ thức
tỉ số đều có nghĩa )
2a  7b 2c  7d

a)
3a  4b 3c  4d
2
a 2  b2
 ab 
c) 
  c2  d 2
cd 

a c
 . Chứng minh rằng ta có tỉ lệ thức sau ( với giả thiết các
b d

2015a  2016b 2015c  2016d


2016c  2017d 2016a  2017b
2
ab  2a  3b 
7a 2  5ac 7b 2  5bd


d)
e)
cd  2c  3d 
7a 2  5ac 7b 2  5bd
a c
Bài 2. Cho a  c  2b và 2bd  c  b  d  ; b, d  0 . Chứng minh rằng: 
b d
a2014
a1 a2 a3
Bài 3. Cho dãy tỉ số bằng nhau : a  a  a  L  a
Chứng minh rằng :
2
3
4
2015

b)

2014

a1  a1  a2  a3  L  a2014 

a2015  a2  a3  a4  L  a2015 

a8 a9
a1 a2
Bài 4: Cho a  a  ...............  a  a và a1  a2  ...  a9  0 . CMR: a1  a2  ...  a9
2
3
9
1
a c
Bài 5. Cho  các số x, y, z, t thỏa mãn ax  yb  0 và zc  td  0
b d
xa  yb xc  yd

Chứng minh rằng :
za  tb zc  td
a c
2a  13b 2c  13d

Bài 6. Cho tỉ lệ thức
. Chứng minh rằng : 
b d
3a  7b 3c  7d
7


Trường THCS Đại Đồng
GV: Nguyễn Thị Nghĩa
a c
Bài 7: Cho tỉ lệ thức: 
. Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau: (với giả thiết

b d
các tỉ số đều có nghĩa).
3a  5b 3c  5d

1)
3a  5b 3c  5d

a 2  b2
 ab 

2) 
 c2  d 2
cd 

a b c  d

3)
a b c d

ab  a  b 

4)
cd  c  d  2

2

2

5)

2a  5b 2c  5d

3a  4b 3c  4d

6)

2005a  2006b 2005c  2006d

2006c  2007d 2006a  2007b

7)

a
c

ab cd

8)

7a 2  5ac 7b2  5bd

7a 2  5ac 7b2  5bd

7a 2  3ab 7c 2  3cd

9)
11a 2  8b 2 11c 2  8d 2
a b c
Bài 8: Cho   . Chứng minh rằng:
b c d

Bài 9: Cho

a
 abc 
bcd   d


3

a
b
c


. Chứng minh rằng: 4(a  b)(b  c)  (c  a)2
2003 2004 2005

a b
a 2  b2 a


Bài 10: Chứng minh rằng nếu :
thì 2
b d
b d2 d
Bài 11: CMR: Nếu a 2  bc thì
Bài 12:

Cho

ab ca

a b c a

. Đảo lại có đúng khơng?

a c
ab cd

. Chứng minh rằng  .
b d
a b c d

Bài 13: Chứng minh rằng nếu:

u 2 v3

u 2 v 3

thì

u v
 .
2 3

Bài 14: Chứng minh rằng nếu a( y  z )  b( z  x)  c( x  y ) ,trong đó a, b,c khác nhau
yz
zx
x y
và khác 0 thì : a(b  c)  b(c  a)  c(a  b) .

Bài 15: Cho

a c
 . Các số x, y, z, t thỏa mãn: xa  yb  0 và zc  td  0
b d
8


Trường THCS Đại Đồng
xa  yb xc  yd

Chứng minh rằng:
.
za  tb zc  td

GV: Nguyễn Thị Nghĩa

Bài 16: Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 thỏa mãn: b2  ac ; c 2  bd và b3  c3  d 3  0
Chứng minh rằng:

a 3  b3  c 3 a
 .
b3  c 3  d 3 d

a b c
ax 2  bx  c
. Chứng minh rằng nếu a  b  c
2
a1 x  b1 x  c1
1

1
1
không phụ thuộc vào x.
Bài 17: Cho P 

Bài 18: Cho biết :

a b'
 1 ;
a' b

thì giá trị của P

b c'
  1 . Chứng minh rằng: abc + a’b’c’ = 0.
b' c

a
c
 .
b d
x y z
bz  cy cx  az ay  bx
  .


Bài 20: Cho dãy tỉ số :
; CMR:
a
b

c
a
b c
Bài 19: Cho tỉ lệ thức:

2a  13b 2c  13d

;
3a  7b
3c  7d

Chứng minh rằng:

III/ DẠNG 3 : TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC
(*) Một số kiến thức cần chú ý:
- Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
- Tính chất của phân số
- Các cơng thức về lũy thừa
(*) Một số ví dụ :

x
3x  y 3
Ví dụ 1 : Cho tỉ lệ thức x  y  4 . Tính giá trị của tỉ số y
Bài giải:
Cách 1 :
3x  y 3
Từ x  y  4  4(3x – y) = 3(x+y)  12x – 4y = 3x + 3y
 12x – 3y = 3(x+y)  9x = 7y
x 7
Vậy y  9

3x
1
3x  y 3
y
3

Cách 2: Từ x  y  4  x
1 4
y
9


Trường THCS Đại Đồng
GV: Nguyễn Thị Nghĩa
x
3a 1 3

Đặt y  a 
a 1 4
 4(3a 1)  3( a  1)  12a  4  3a  3
7
 12a  3a  3  4  9a  7  a 
9
x 7
Vậy y  9
yzx
x y z
Ví dụ 2: Cho   . Tính giá trị của biểu thức P  x  y  z
2 3 4
Cách 1:

x y z
Đặt   = k  x = 2k ; y = 3k ; z = 4k ( k  0)
2 3 4
3k  4k  2k 5k 5
P
 
2k  3k  4k 3k 3
5
Vậy P 
3
Cách 2 :
x y z y zx y zx x yz x yz



Có   
2 3 4 3 4  2
5
2 3 4
3
y zx x yz
yzx 5




5
3
x yz 3
5

Vậy P 
3
a
b
c
d



Ví dụ 3 : Cho dãy tỉ số bằng nhau
. Tính giá
bcd ac d abd bca
ab bc cd d a



trị của biểu thức M 
.
cd ad ab bc
Bài giải:
a
b
c
d



Từ
bc d a c d a b d bc  a
a

b
c
d

1 
1 
1 
1
bcd
acd
abd
bca
a bc  d a b c d a b c d a bc  d




(*)
bcd
acd
a b  d
bca
+) Xét a  b  c  d  0  a  b  (c  d ); b  c  (a  d )
 M  4
+) Xét a  b  c  d  0 Từ (*) ta có :
bc d  ac d  ab d  bc a
a bcd
M 4

10

Trường THCS Đại Đồng

GV: Nguyễn Thị Nghĩa
ab bc ca


Ví dụ 4: Cho a , b ,c đôi một khác nhau và thỏa mãn
.Tính giá trị
c
a
b
a  b  c 

của biểu thức P  1  1   1  .
b  c  a 

Bài giải:
a b bc c a
a b
bc
ca



1 
1 
1
Từ

c
a
b
c
a
b
abc abc abc



(*)
c
a
b
+) Xét a  b  c  0  a  b  c; a  c  b; b  c  a
a  b b  c a  c c a b abc
P


   
1 
b
c
a
b c a
abc
+) Xét a  b  c  0 Từ (*) ta có :
a b c P 8
ab
bc

ca


Ví dụ 5 : Cho các số a;b;c khác 0 thỏa mãn
. Tính giá trị của biểu
a b bc ca
ab2  bc2  ca 2
thức P 
.
a 3  b3  c 3
Bài giải :
ab
bc
ca


Với a, b, c  0 ta có :
ab bc c a
a b bc c a 1 1 1 1 1 1



     
ab
bc
ca
b a c b a c
1 1 1
    a  b  c  P 1
a b c

BÀI TẬP VẬN DỤNG:
an 1 an
a1 a2 a3
Bài 1. Cho a  a  a  L  a  a
(với a1  a2  L  an  0 )
2
3
4
n
1
a12  a12  L  an2
a19  a29  L  an9
A

B

Tính :
;
 a1  a2  L  an  2
 a1  a2  L  an  9

Bµi 2: Cho a, b, c là các số hữu tỉ khác 0 sao cho:

a+b-c a-b+c -a+b+c
=
=
c
b
a

(a+b)(b+c)(c+a)
abc
a
a
a1 a 2
= =...= 2007 = 2008
Bài 3: Cho 2008 số thoả mãn a1+a2+…+a2008  0 và
a 2 a3
a 2008
a1
Tìm giá bằng số của biểu thức: M

11


Trường THCS Đại Đồng

GV: Nguyễn Thị Nghĩa
2
1

a +a +...a +a 22008
Hãy tính giá trị của biểu thức: N=
(a1 +a 2 +...+a 2007 +a 2008 ) 2
Bài 4: Cho P =

2
2

2

2007

a b c
ax2 +bx+c
= =
Chứng
minh
rằng
nếu
a1 b1 c1
a1x2 +b1x2 +c1

Thì giá trị của P không phụ thuộc vào giá trị của x.
Bài 5: Cho d·y tØ sè b»ng nhau:
2012a  b  c  d a  2012b  c  d a  b  2012c  d a  b  c  2012d



a
b
c
d
ab bc cd d a



TÝnh M 
cd d  a a b bc
Bài 6: Cho 3 số x , y , z, t khác 0 thỏa mãn điều kiện :
y  z  t  nx z  t  x  ny t  x  y  nz x  y  z  nt




( n là số tự nhiên)
x
y
z
t
và x + y + z + t = 2012 . Tính giá trị của biểu thức P = x + 2y – 3z + t

IV/ DẠNG 4: ỨNG DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TỈ LỆ THỨC, DÃY TỈ SỐ
BẰNG NHAU VÀO GIẢI BÀI TOÁN CHIA TỈ LỆ
Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên có ba chữ số biết rằng số đó chia hết cho 18 và các chữ số
của nó chia hết cho tỉ lệ với 1;2;3.
Lời giải
Gọi số tự nhiên có 3 chữ số cần tìm là abc , ( ĐK : a, b, c  N *,1  a  9,0  b, c  9 )
 1  a  b  c  27
 abcM
2
abc
M
18

( do 18=2.9 và ƯCLN(2;9)=1 )

+)
9
 abcM
+) Các chữ số của số cần tìm tỉ lệ với 1; 2; 3
Mà abcM2  cM2

=> a; b; c tỉ lệ với 1; 3; 2 hoặc a; b; c tỉ lệ với 3; 1; 2
a b c a bc a bc

 a  b  cM
6
+) Nếu a;b;c tỉ lệ với 1; 3; 2   
1 2 3 1 2  3
6
Lại có abc ⋮ 9  a + b + c ⋮ 9
Mà 1  a  b  c  27 Nên a + b + c = 18
a  3

a b c
    3  b  9
(Thỏa mãn điều kiện)
1 3 2

c  6

12


Trường THCS Đại Đồng

a  9

+) Nếu a, b, c tỉ lệ với 3; 1; 2  b  3

c  6

GV: Nguyễn Thị Nghĩa
(Thỏa mãn điiều kiện)

Vậy số tự nhiên có 3 chữ số cần tìm là 396; 936
Ví dụ 2: Ba lớp 7A, 7B, 7C có tất cả 144 học sinh. Nếu rút ở lớp 7A đi

1
số học sinh,
4

1
1
số học sinh, rút ở lớp 7C đi học sinh thì số học sinh cịn lại của cả
7
3
3 lớp bằng nhau. Tính số học sinh mỗi lớp ban đầu.
Lời giải
Gọi số học sinh ban đầu của lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là x, y, z (học sinh)
ĐK: x, y, z  N *, x, y, z  144
+) Ba lớp 7A, 7B, 7C có tất cả 144 học sinh  x  y  z  144
rút ở lớp 7B đi

+) Nếu rút ở lớp 7A đi

1
1
1
học sinh, rút ở lớp 7B đi học sinh, rút ở lớp 7C đi
4
7

3

học sinh thì số học sinh cịn lại của 3 lớp bằng nhau.
3
6
2
x y z
Nên ta có
4
7
3
3
6
2
x y z x  y  z 144
 x 
y
   

6
24
42
18 z
8 7 9 8  7  9 24
 x  48
  y  42 (Thỏa mãn điều kiện)
 z  54

Vậy số học sinh lúc đầu của các lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là 48 học sinh, 42 học sinh,
54 học sinh.

Ví dụ 3: Lớp 7A có 52 học sinh được chia làm ba tổ. Nếu tổ một bớt đi 1 học sinh, tổ
hai bớt đi 2 học sinh, tổ ba thêm vào 3 học sinh thì số học sinh tổ một , hai, ba tỉ lệ
nghịch với 3; 4; 2. Tìm số học sinh mỗi tổ.
Lời giải
Gọi số học sinh tổ một, tổ hai, tổ ba của lớp 7A lần lượt là x, y, z.(học sinh)
ĐK: x, y, z  N *, x, y, z  52
+) Lớp 7A có 52 học sinh => x + y + z = 52
+) Nếu tổ một bớt đi 1 học sinh, tổ hai bớt đi 2 học sinh, tổ ba thêm vào 3 học sinh thì
số học sinh tổ một, hai, ba tỉ lệ nghịch với 3; 4; 2
Nên ta có 3.(x – 1) = 4.(y – 2) = 2.(z + 3)
3  x – 1 4  y – 2  2  z  3



12
12
12
13


Trường THCS Đại Đồng
GV: Nguyễn Thị Nghĩa
 x – 1   y – 2    z  3

4
3
6
x 1 y-2 z  3 x  y  z 52





 4
4
3
6
13
13
 x  1  16
 x  17

  y  2  12   y  14 (Thỏa mãn điều kiện)
 z  3  24
 z  21


Vậy số học sinh tổ một, tổ hai, tổ ba của lớp 7A lần lượt là 17 học sinh, 14 học sinh,
21 học sinh.
3
Ví dụ 4: Tìm ba phân số có tổng bằng 3 . Biết tử của chúng tỉ lệ với 3; 4; 5 còn
70
mẫu của chúng tỉ lệ với 5; 1; 2.
Lời giải
a c e
Gọi ba phân số cần tìm là b , d , g với a, b, c, d , e, g  Z ; b, d , g  0
Theo đầu bài ta có
a c e
3
   3
a : c : e = 3:4 :5; b : d : g = 5: 1: 2

và
b d g
70
a c e
+) a: c : e = 3 : 4 : 5 =>    k với k  Z
3 4 5
 a = 3k ,c = 4k , e = 5k
b d g
+) b : d : g = 5 : 1 : 2 =>    t với t  Z , t  0
5 1 2
 b= 5t, d = t, g = 2t
a c e
3
3k 4k 5k 213
+) b  d  g  3 70 =>   
5t t 2t
70
k 71 213
k 3
 . 
=> 
t 10
70
t 7
a 9 c 12 e  15
 
, 
,
b 35 d
7 g 14

9 12 15
Vậy ba phân số cần tìm là
,
,
35
7
14
Ví dụ 5: Độ dài ba cạnh của một tam giác tỉ lệ với 2; 3; 4. Ba chiều cao tương ứng với
ba cạnh tỉ lệ với ba số nào?
Lời giải
Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và ,
lần lượt là các chiều cao
tương ứng.

a.ha b.hb c.hc


=> a.
2
2
2
+) có a, b, c tỉ lệ với 2; 3; 4

Diện tích của tam giác đó là:

= b.

= c.

(1)

14


Trường THCS Đại Đồng
a b c
=>    k ( k  o )
2 3 4
=> a = 2k, b = 3k v à c = 4k
(1) =>2k.
= 3k. = 4k.

GV: Nguyễn Thị Nghĩa

 2ha  3hb  4hc => 2ha  3hb  4hc
12 12 12
ha hb hc

 
=> ,
tỉ lệ với 6; 4 ; 3
6 4 3
Vậy độ dài ba cạnh của một tam giác tỉ lệ với 2; 3; 4 thì ba chiều cao tương tứng với
ba cạnh đó tỉ lệ với 6; 4; 3.
1
Ví dụ 6: Một ô tô phải đi từ A đến B trong một thời gian dự định. Sau khi đi được
2
quãng đường thì ơ tơ tăng vận tốc thêm 20%. Do đó ơ tơ đến B sớm hơn được 10 phút.
Tính thời gian ô tô đi từ A đến B.
Lời giải

Gọi vận tốc dự định là x, vận tốc mới tăng là y ( x,y > 0)
120
y 6
x => 
Ta có y 
100
x 5
Gọi C là trung điểm của AB. Ô tô đến B sớm hơn dự định 10 phút là nhờ tăng vận tốc
từ điểm C.
Nếu ô tô đi từ C đến B với vận tốc x mất thời gian là
Nếu ô tô đi từ C đến B với vận tốc y mất thời gian là
y t
y 6
Thì x. = y.
=>  1 mà 
x t2
x 5
t1  60
t 6
t t t t
=> t1  5 => 1  2  1 2  10 => 
6 5 65
2
t2  50
=>Thời gian ô tô đi nửa đường AB với vận tốc đã tăng hết 50 phút
Thời gian ô tô đi nửa đường AB với vận tốc dự định hết 60 phút.
Vậy thời gian ô tô đi từ A đến B là 60 + 50 = 110 (phút)
Ví dụ 7: Một cửa hàng có ba cuộn vải, tổng chiều dài ba cuộn vải đó là 186m, giá tiền
mỗi mét vải của ba cuộn là như nhau. Sau khi bán được một ngày cửa hàng còn lại
cuộn thứ nhất,

2
3

1
3
cuộn thứ hai, cuộn thứ ba. Số tiền bán được của ba cuộn thứ nhất,
3
5

thứ hai, thứ ba lần lượt tỉ lệ với 2; 3; 2. Tính xem trong ngày đó cửa hàng đã bán được
bao nhiêu mét vải mỗi cuộn.
Lời giải
Gọi chiều dài cuộn vải thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là x, y, z (m)
ĐK: 0< x, y, z < 186
+) Tổng chiều dài ba cuộn vải đó là 186m => x + y + z = 186
15


Trường THCS Đại Đồng

GV: Nguyễn Thị Nghĩa
1
3
+ Sau khi bán được một ngày cửa hàng còn lại cuộn thứ nhất,
cuộn thứ hai,
3
5
cuộn thứ ba
=> Trong ngày đó cửa hàng đã bán được số mét vải ở cuộn thứ nhất, thứ hai, thứ ba

x 2 y 2z
lần lượt là , ,
(mét)
3 3 5
+) Số tiền bán được của ba cuộn thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt tỉ lệ với 2; 3; 2 và
giá tiền mỗi mét vải của ba cuộn như nhau.
=> Số mét vải bán được của ba cuộn thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt tỉ lệ với 2; 3; 2
x 2 y 2z
2x 2 y 2z

=> : :  2 :3: 2 => 
3 3 5
12 9 10
x y z
x  y  z 186
  

6
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta được:
12 9 10 12  9 10 31
 x  72

=>  y  54 ( Thỏa mãn điều kiện )
 z  60

Vậy trong ngày đó cửa hàng đã bán số mét vải ở cuộn thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần
lượt là : 24; 36; 24 (mét).
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng số đó là bội của 72 và các chữ số của nó
xếp từ nhỏ đến lớn thì tỉ lệ với 1 ; 2 ; 3

3
Bài 2 . Tìm hai phân số tối giản biết hiệu của chúng là
và các tử tương ứng tỉ lệ
196
với 3 và 5 , các mẫu tương ứng tỉ lệ với 4 và 7.
Bài 3. Cho ABC các góc ngồi của tam giác tại A,B,C tỉ lệ với 4 ; 5 ; 6 . Các góc
trong tương ứng tỉ lệ với các số nào ?
Bài 4. Trong một đợt lao động, ba khối 7,8,9 chuyển được 912m3 đất. Trung bình mỗi
học sinh khối 7,8,9 theo thứ tự làm được 1,2m3 ; 1,4m3 ; 1,6m3 . Số học sinh khối 7 và
khối 8 tỉ lệ với 1 và 3, số học sinh khối 8 và 9 tỉ lệ với 4 và 5. Tính số học sinh mỗi
khối ?
Bài 5. Quãng đường AB dài 76m, người thứ nhất đi từ A đến B và người thứ hai đi từ
4
B đến A. Vận tốc của người thứ nhất chỉ bằng vận tốc của người thứ hai (đến lúc
5
10
gặp nhau). Thời gian của người thứ nhất chỉ bằng
thời gian của người thứ hai. Tính
11
quãng đường mỗi người đi được ?
16


Trường THCS Đại Đồng
GV: Nguyễn Thị Nghĩa
Bài 6. Số học sinh khối 6, 7, 8, 9 của một trường THCS lần lượt tỉ lệ với 9;10;11;8.
Biết rằng số học sinh khối 6 nhiều hơn số học sinh khối 9 là 8 em. Tính số học sinh
của trường đó?

PHỊNG GD & ĐT LỤC NAM

TRƯỜNG THCS BẢO SƠN

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

MƠN: Tốn 7
(Thời gian làm bài : 150 phút)

Câu 1 ( 6 điểm)
1) Thực hiện phép tính :
10
10
10
10
10
9.69.120  46.96
B


 ... 

A
;
4 13
12
7.12 12.17 17.22
2012.2017 2017.2022
8 .3  6
2) Cho a, b, c là ba số thực khác 0, thoả mãn :

a b c b  c a a  c b



.
c
a
b

b  a  c

Hãy tính giá trị của biểu thức B  1  .1  . 1   .
a
c
b








3) Tính giá trị của đa thức f ( x)  x 5  2018 x 4  2016 x 3  2018 x 2  2016 x  2017
tại x = 2017
Câu 2 ( 3 điểm)
3x  2 y 2 z  4 x 4 y  3z
x y z


. Chứng minh rằng :   .
4

3
2
2 3 4
1
2
x  y
 x 2  xz  0
2) Tìm x, y, z biết:
2
3

1) Cho

Câu 3 (5 diểm)
1) Tìm các cặp số tự nhiên (x; y) sao cho: 49 - y2 = 12(x - 2001)2
2) Cho 2019 x1  2018 y1  2019 x2  2018 y2  ...  2019 x2018  2018 y2018  0 .
x1  x2  x3  ...  x2018

2018

Chứng minh y  y  y  ...  y  2019 .
1
2
3
2018
3)Một cửa hàng có ba cuộn vải, tổng chiều dài ba cuộn vải đó là 186m, giá tiền
2
mỗi mét vải của ba cuộn là như nhau. Sau khi bán được một ngày cửa hàng còn lại
3
1

3
cuộn thứ nhất, cuộn thứ hai, cuộn thứ ba. Số tiền bán được của ba cuộn thứ nhất,
3
5
17


Trường THCS Đại Đồng
GV: Nguyễn Thị Nghĩa
thứ hai, thứ ba lần lượt tỉ lệ với 2; 3; 2. Tính xem trong ngày đó cửa hàng đã bán được
bao nhiêu mét vải mỗi cuộn.
Câu 4 (5 điểm)
Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E
sao cho ME = MA. Chứng minh rằng:
a) AC = EB và AC // BE
b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh
ba điểm I , M , K thẳng hàng
·
·
·
·
c) Từ E kẻ EH  BC  H  BC  . Biết HBE
= 50o ; MEB
=25o. Tính HEM
và BME
Câu 5 (1 điểm). Tìm các số tự nhiên x, y, z  0 thoả mãn điều kiện: x+y+z=xyz
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HỤN
Mơn: Tốn 7
Câu

Nội dung
9.6 .120  4 .9 3 .2 .3 .23.3.5  212.312
A

84.312  612
212.313  212.312
312.212.5  212.312 312.212 (5 1)
 12 12

2 .3 (3 1)
212.312.2
9



6

6

2

9

9

5 1
2
2

Vậy A= 2
10
10
10
10
10
B


 ... 

7.12 12.17 17.22
2012.2017 2017.2022
5
5
5
5
5
Câu 1
 2.(


 .... 

)
7.12 12.17 17.22
2012.2017 2017.2022
6 điểm
1 1 1 1 1 1
1

1
1
1



)
= 2(       .... 
7 12 12 17 17 22
2012 2017 2017 2022
1
1
2022  7 2015
)  2.

= 2( 
7 2022
2022.7 7077
Vậy B 

2015
7077

Điểm
0,5

0.5

0.5

0.5

18


Trường THCS Đại Đồng
2)
+Nếu a+b+c  0
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có:

GV: Nguyễn Thị Nghĩa

a  b c b c  a c  a  b a  b  c  b  c  a  c  a  b


=
=1
c
a
b
abc

0,5

mà

abc
bca
c  a b
1 

1 
1 = 2
c
a
b

0,5

=>

ab bc ca


=2
c
a
b

0,25



b 

a 

ba ca bc

c

)(
)(
) =8
Vậy B = 1  1   1   (
c  b 
a
c
b
 a 
+Nếu a+b+c = 0
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có:

a  b c b c  a c  a  b a  b  c  b  c  a  c  a  b


=
=0
abc
c
a
b
mà

a bc
bca
ca b
1 
1 
1 = 1
c

a
b

=>

ab bc ca


=1
c
a
b




Vậy B =  1 

0,25

0,5

0,5

b  a 
c  ba ca bc
)(
)(
) =1
 1   1   (

a 
c  b 
a
c
b

0,25

3)Tính giá trị của đa thức
f ( x)  x5  2018 x 4  2016 x 3  2018 x 2  2016 x  2017 tại x = 2017
 2018  x  1


Ta có x  2017  

 2016  x  1

.

Khi đó ta có:

f (2017)  x5  ( x  1) x 4  ( x 1) x3  ( x  1) x 2  ( x 1) x  x
 x5  x 5  x 4  x 4  x 3  x 3  x 2  x 2  x  x
0

0,5

0,5

Vậy f(2017) =0

19


Trường THCS Đại Đồng

GV: Nguyễn Thị Nghĩa

3x  2 y 2 z  4 x 4 y  3z


1) Theo bài ra ta có:
4
3
2

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
Câu 2.
12 x  8 y 6 z  12 x 8 y  6 z 12 x  8 y  6 z  12 x  8 y  6 z




0
3 điểm
16
9
4
16  9  4
12 x  8 y 0 12 x 8 y

 
 
 12 x 8 y 6 z
 8 y  6 z 0
 8 y 6 z
12 x 8 y 6 z
x y z

     (đpcm)
24 24 24
2 3 4

0,5
0,5
0,25

2) Áp dụng tính chất A  0

1
 1
 x 2 0
x  2  0



2
2

 y   0  y   0
3

3


2
 x  xz  0
x x  z  0





0,5

1

x


2

2

 y  
3

1

z  x   2


1,0

Vậy x = 1/2; y = -2/3; z = -1/2
Câu 3.
5 điểm

0,25
0,5
1) Xét đẳng thức: 49- y =12  x - 2001 .
Vế phải là mộ số chẵn không âm nên y là một số lẻ và không lớn 0,5
hơn 7
Khi y = 1  x = 2003 và x = 1999
0,5
Khi y = 3 khơng có giá trị x  N
Khi y = 5 khơng có giá trị x  N
Khi y = 7  x = 2011
Vậy các cặp (x; y) cần tìm là (2003; 1); (1999; 1); (2001; 7)
2

2

20


Trường THCS Đại Đồng
GV: Nguyễn Thị Nghĩa
2) Ta có
2019 x1  2018 y1  0
2019 x2  2018 y2  0
…

2019 x2018  2018 y2018  0
 (2017 x1  2016 y1 )2  (2017 x2  2016 y2 )2  ...  (2017 x2016  2016 y2016 )2  0 0,5
Theo bài ra ta có:
2019 x1  2018 y1  2019 x2  2018 y2  ...  2019 x2018  2018 y2018  0

Suy ra:
 2019 x1  2018 y1  0

 2019 x2  2018 y2  0

M


 2019 x2018  2018 y2018  0
 2019 x1  2018 y1
 2019 x  2018 y
x
x
x
2018
2
2
 
 1  2  ...  2018 
M
y1 y2
y2018 2019

2019 x2018  2018 y18

(1)

0,5

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta được:

x
x  x  ...  x2018
x1 x2
  ...  2018  1 2
(2)
y1 y2
y2018 y1  y2  ...  y2018

Từ (1) và (2) suy ra

x1  x2  x3  ...  x2018 2018

(đpcm)
y1  y2  y3  ...  y2018 2019

0,5

21


Trường THCS Đại Đồng
GV: Nguyễn Thị Nghĩa
3) Gọi chiều dài cuộn vải thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là x, y, z 0,25
(m) ĐK: 0< x, y, z < 186

+) Tổng chiều dài ba cuộn vải đó là 186m => x + y + z = 186
0,5
1
+ Sau khi bán được một ngày cửa hàng còn lại cuộn thứ nhất,
3
3
cuộn thứ hai,
cuộn thứ ba
5
=> Trong ngày đó cửa hàng đã bán được số mét vải ở cuộn thứ nhất,
x 2 y 2z
thứ hai, thứ ba lần lượt là , ,
(mét)
3 3 5
+) Số tiền bán được của ba cuộn thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt tỉ
lệ với 2; 3; 2 và giá tiền mỗi mét vải của ba cuộn như nhau.
=> Số mét vải bán được của ba cuộn thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần
lượt tỉ lệ với 2; 3; 2
x 2 y 2z
2x 2 y 2z

=> : :  2 :3: 2 => 
3 3 5
12 9 10
0,5
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta được:
x y z
x  y  z 186
  


6
12 9 10 12  9  10 31
 x  72

=>  y  54 ( Thỏa mãn điều kiện )
 z  60
0,5

Vậy trong ngày đó cửa hàng đã bán số mét vải ở cuộn thứ nhất, thứ
0,25
hai, thứ ba lần lượt là : 24; 36; 24 (mét).
A

Câu 4
5 điểm

I
M

B

C
H

K

E

22

Trường THCS Đại Đồng
GV: Nguyễn Thị Nghĩa
1) Xét AMC và EMB có :
AM = EM (gt )
·AMC = EMB
·
(đối đỉnh )
BM = MC
(gt )
0,75
Nên : AMC = EMB (c.g.c )
 AC = EB
·
0,5
·
Vì AMC = EMB  MAC
= MEB
0,5
·
·
Mà MAC
và MEB
là 2 góc có vị trí so le trong
0,25
Suy ra AC // BE .
2) Xét AMI và EMK có :
AM = EM (gt )
·
·

= MEK
( vì AMC  EMB )
MAI
AI = EK (gt )
0,5
Nên AMI  EMK ( c.g.c )
·
·
Suy ra AMI = EMK
·
0,5
Mà ·AMI + IME
= 180o ( tính chất hai góc kề bù )
o
·
·
 EMK
+ IME
= 180
0,5
 Ba điểm I;M;K thẳng hàng (đpcm)
µ = 90o ) có HBE
·
3) Trong tam giác vuông BHE ( H
= 50o
·
·
0,5
= 90o - HBE
= 90o - 50o =40o

 HBE
o
o
o
·
·
·
= HEB
- MEB
= 40 - 25 = 15
 HEM
0,5
·
là góc ngồi tại đỉnh M của HEM
BME
·
·
·
Nên BME
= HEM
+ MHE
= 15o + 90o = 105o
0,5
( định lý góc ngồi của tam giác )
xyz
0,25
Câu 5 Khơng mất tính tổng qt của bài tốn giả sử
Vì x, y, z là các số tự nhiên khác 0  1  x  y  z
1 điểm
Ta có x  y  z  xyz  *

1
1
1



1
yz xz xy
1
1
1
3
1 2  2  2  2
x
x
x
x
2
 x  3  x 1
0,25
Thay vào (*) ta được
1+y+z = yz
  y  1  z  1  2
y  1  1 y  2


z  1  2 z  3
  x, y,z    1;2;3
Vì vai trò của x, y, z như nhau nên các bộ số (x,y,z) thoả mãn bài

0,25
23


Trường THCS Đại Đồng
GV: Nguyễn Thị Nghĩa
toán là :  1;2;3 ;  1;3;2  ;  2;1;3 ;  2;3;1 ;  3;1;2  ;  3;2;1
0,25

PHÒNG GD & ĐT LỤC NAM
TRƯỜNG THCS BẢO SƠN

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MƠN: Tốn 9
(Thời gian làm bài : 150 phút)

Câu 1: (4,5 điểm)

2017
2018

và 2017  2018 .
2018
2017
b. Tìm x, y, z, biết: 4x2 + 2y2 + 2z2 – 4xy – 2yz + 2y – 8z + 10  0 .
1
5
c. Giải phương trình:

 4.

x3
x4
Câu 2: (4,0 điểm)
x 2  x 2 x  x 2  x 1


.
Cho biểu thức: P 
x  x 1
x
x 1
a. Rút gọn P.
b. Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
2 x
c. Xét biểu thức: Q 
, chứng tỏ 0 < Q < 2.
P
Câu 3: (4,0 điểm)
5  2 3 17 5  38
2018
a. Với x 
.
. Tính giá trị của biểu thức: B =  3x3  8x 2  2 
5  14  6 5
b. Xác định đa thức P( x) có bậc bốn thỏa mãn:
P(1)  0 và P(x) - P(x-1) = x(x + 1)(2x + 1).
Câu 4: (6,0 điểm)
1/ Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác AD
a. Khơng dùng máy tính hãy so sánh :





a) Chứng minh hệ thức:

2
1
1


AD AB AC

b) Hệ thức trên thay đổi như thế nào nếu đường phân giác trong AD bằng đường
phân giác ngoài AE
2/ Cho tam giác ABC cân tại A, gọi I là giao điểm của các đường phân giác.
Biết IA =2 5 cm, và IB = 3cm. Tính độ dài AB.
Câu 5: (1,5 điểm)
24