Đề vào 10 hệ chuyên môn toán 2022 2023 tỉnh quảng ninh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH QUẢNG NINH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2022-2023
Môn thi: TOÁN (chuyên)
Thời gian làm bài : 150 phút

Câu 1. (3,0 điểm)
3 x  2   3 y  2   1.
a) Cho các số hữu tỷ x, y thỏa mãn 
Chứng minh
A  x 2  xy  y 2

là số hữu tỉ
2
b) Giải phương trình : 6 x  5 x  1  x 5 x  1
 x2
 x6
y
 2
y  y 3
2
c) Giải hệ phương trình  x

Câu 2. (2,0 điểm)
a) Chứng minh rằng với x là số nguyên bất kỳ thì 25 x  1 khơng thể viết dưới
dạng tích hai số nguyên liên tiếp
b) Tìm tất cả các số thực x sao cho

 3x 2  2 x  1 1

 ,
2
 2x 1  2

trong đó ký hiệu

 a  a   a  với  a  là số nguyên lớn nhất không vượt quá

a

Câu 3. (1,0 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x  y  z . Tìm giá trị nhỏ
 1
1
1 
P   2x2  2 y 2  z 2   2  2  2 
y
2z 
x
nhất của biểu thức

Câu 4. (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH . Đường trịn (O) đường

E E  B
BE  D  B, D  E  .
kính BC cắt AB tại 
. Gọi D là một điểm trên cung nhỏ

O
Hai đường thẳng DC và AH cắt nhau tại G, đường thẳng EG cắt đường tròn   tại
M ( M khác E), hai đường thẳng AH và BM cắt nhau tại I, đường thẳng CI cắt
O
đường tròn   tại P (P khác C).

a) Chứng minh tứ giác DGIP nội tiếp
b) Chứng minh GA.GI  GE.GM
c) Hai đường thẳng AD và BC cắt nhau tại N, DB và CP cắt nhau tại K. Chứng
minh hai đường thẳng NK và AH song song với nhau


Câu 5. (0,5 điểm) Chứng minh rằng trong 16 số nguyên dương đôi một khác nhau
nhỏ hơn 23, bao giờ cũng tìm được hai số khác nhau có tích là số chính phương
ĐÁP ÁN
Câu 1. (3,0 điểm)
3 x  2   3 y  2   1.
d) Cho các số hữu tỷ x, y thỏa mãn 
Chứng minh
A  x 2  xy  y 2

là số hữu tỉ

 3x  2   3 y  2   1  9 xy  6 x  6 y  4  1  3xy  2 x  2 y  1
A  x 2  xy  y 2 

 x  y

2

 3xy 

 x  y

2

 2  x  y  1 

 x  y  1

2

 x  y 1
Vì x, y hữu tỉ  A hữu tỉ
2
e) Giải phương trình : 6 x  5 x  1  x 5 x  1



 
5x  1   0



1
x  , pt  6 x 2  3x 5 x  1  2 x 5 x  1  5 x  1  0
5
ĐK:







 3x 2 x  5x  1  5x  1 2 x 







 2 x  5 x  1 3x  5 x  1  0
1

 2 x  5 x  1  0  x  1; x  4 (tmdk )

3 x  5 x  1  0(do x  1  PTVN )

5
 1
S  1; 
 4
Vậy
 x2
 y x6

 2
y  y 3

2
f) Giải hệ phương trình  x

Điều kiện : x  0; y  0 . Nhân vế với vế của hai phương trình ta được :

 x  y

2


x2
x

y

3

y

3

x

 x  6  x  2; y  1

3

x
9 
x2


x

y


3

y


x

3

 x  6  x  6; y  3

x  3


2;1 , 6;3
Vậy hệ có hai nghiệm   

Câu 2. (2,0 điểm)
c) Chứng minh rằng với x là số ngun bất kỳ thì 25 x  1 khơng thể viết
dưới dạng tích hai số ngun liên tiếp

 

Giả sử

Có vế phải là 25 xM25 với mọi x nguyên (1)
Xét vế trái :

25 x  1  n n  1 n  ¢  n  n  1  25 x   n  2   n  3   5  25 x

Th1: 

n  2  M5

thì

n  3   n  2  5

cũng chia hết cho 5 nên

 n  2   n  3 M25  vế trái   n  2   n  3  5 không chia hết cho 25
n  3   n  2  5
Th2: n  2 không chia hết cho 5 thì
cũng khơng chia hết cho 5
n  2   n  3
 n  2   n  3  5
Nên 
không chia hết cho 5 
không chia hết cho 5 hay vế
trái không chia hết cho 25
Cả hai trường hợp đều mâu thuẫn với (1). Vậy 25 x  1 không viết được dưới dạng
tích hai số ngun liên tiếp
d) Tìm tất cả các số thực x sao cho

 3x 2  2 x  1 1


 ,
2
 2x 1  2

trong đó ký hiệu

 a  a   a  với  a  là số nguyên lớn nhất không vượt quá

a

3x 2  2 x  1
3 x  2 x  1  2 x   x  1  0, 2 x  1  0 
 0  1
2 x2  1
Với mọi x :
2

Với mọi

x : 2x  x2  1 

2

2

2

3x 2  2 x  1 4 x 2  2
 2

 2  2
2x2  1
2x 1

 3x 2  2 x  1  1
3x2  2 x  1 1
3x 2  2 x  1 3





2
2

2
2x 1
2
2
Từ (1) và (2)  2 x  1  2
hoặc 2 x  1
3x 2  2 x  1 1
1
 x
2
2
2
Giải 2 x  1
3x 2  2 x  1 3
1

 x
2
2
4
Giải 2 x  1


1
1
x   ;x 
2
4
Vậy các số phải tìm là

Câu 3. (1,0 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x  y  z . Tìm giá trị
 1
1
1 
P   2x2  2 y 2  z 2   2  2  2 
y
2z 
x
nhỏ nhất của biểu thức
 1
1
1 
P   2x2  2 y 2  z2   2  2  2 
y
2z 
x

Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có :

 2
1 
2
P   x  y   z 2    2 

  xy 2 z 

 8
  x  y  2    z  2 1 
1
  x  y   z  


 1 8. 
 

   x  y  2 2 z 2   z 
x

y




 2 



 
2

2

2

 x y
 8 1  17 8 t
t 
  0  t  1  P   t  1     
 t 2 2 t 2
Đặt  z 
15 17
 t 1  15 17
      1    17
2 2
 2 2t  2t 2
 P  17, dấu "  " xảy ra khi

Vậy

Min P  17  x  y 

xy

1
z
2

1
z
2

Câu 4. (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH . Đường trịn (O)
đường kính BC cắt AB tại E  E  B  . Gọi D là một điểm trên cung nhỏ
BE  D  B, D  E  .

Hai đường thẳng DC và AH cắt nhau tại G, đường thẳng EG

cắt đường tròn  O  tại M ( M khác E), hai đường thẳng AH và BM cắt nhau tại
O
I, đường thẳng CI cắt đường tròn   tại P (P khác C)


d) Chứng minh tứ giác DGIP nội tiếp
D thuộc đường trịn đường kính BC  BDC  90

 BDG  BHG  180
 tứ giác BHGD nội tiếp  HGC  DBH
DBC  DPC (nội tiếp (O) cùng chắn cung DC)  HGC  DPI nên tứ giác
DGIP nội tiếp
e) Chứng minh GA.GI  GE.GM
E  đường trịn đường kính BC  BEC  90  BAH  BCE (cùng phụ với
ABC ) ; BME  BCE (cùng chắn cung BE )  EAG  IMG

Xét GIM và GEA có IGM  EGA (đối đỉnh), EAG  IMG

GI
GE

 GI .GA  GE.GM
GM GA
f) Hai đường thẳng AD và BC cắt nhau tại N, DB và CP cắt nhau tại K.
Chứng minh hai đường thẳng NK và AH song song với nhau
EGD và CGM có EGD  CGM (đối đỉnh), EDG  CMG (cùng chắn
GE GC
 EGD ∽ CGM ( g .g ) 

 GE.GM  GC.GD
GD GM
cung EC)
GI GD
GE.GM  GI .GA  GI .GA  GC.GD 

GC GA
Lại có
Xét GAD và GCI có
GI GD
AGD  CGI ,

 GAD ∽ GCI (c.g .c )  DAG  ICG
GC GA
Xét ANH và CKD có AHN  CDK  90, NAH  DCI  ANH  DKC nên tứ
 GIM ∽ GEA( g .g ) 

giác DNKC nội tiếp  KNC  KDC  90 hay NK  NC
Mà AH  NC  NK / / AH

Câu 5. (0,5 điểm) Chứng minh rằng trong 16 số nguyên dương đôi một khác
nhau nhỏ hơn 23, bao giờ cũng tìm được hai số khác nhau có tích là số chính
phương
Lập 15 nhóm như sau:
Nhóm 1: 1; 4; 9; 16
Nhóm 2: 2; 8; 18
Nhóm 3: 3; 12
Nhóm 4: 5; 20
11 nhóm tiếp theo, mỗi nhóm có 1 số là một trong 11 số khơng ở nhóm nào trong 4
0,25 nhóm trên.
Với 16 số nguyên dương đôi một khác nhau nhỏ hơn 23 được xếp vào 15 nhóm
→ có hai số được xếp vào cùng một nhóm, mà 11 nhóm cuối chỉ có 1 số
→ hai số đó ở cùng một nhóm trong các nhóm từ nhóm 1 đến nhóm 4
 tích của chúng là số chính phương.