b đề vào 10 chuyên toán tin 22 23 tỉnh hòa bình

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HỊA BÌNH

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUN
NĂM HỌC 2022-2023
Mơn : TỐN (DÀNH CHO CHUYÊN TIN)
Thời gian làm bài : 150 phút

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu I (3,0 điểm)
A=

1) Rút gọn biểu thức:

1
1
+
5− 3
5+ 3
y=

2) Vẽ đồ thị hàm số

1 2
x
4

x − 2 = 2x −1

3) Giải phương trình

Câu II. (3,0 điểm)
1) Cho đường thẳng

( d ) : y = ax + b

A ( −1; 3 )

. Tìm a và b để đường thẳng

( d ’) :

y = 5x + 3

( d)

đi qua điểm

và song song với đường thẳng
2) Để hưởng ứng ngày Tết trồng cây, một tổ có 13 học sinh cả nam và nữ tham gia
trồng được 80 cây. Biết tổng số cây mà các bạn nam trồng được bằng tổng số cây
mà các bạn nữ trồng được, số cây mà mỗi bạn học sinh nam trồng được nhiều hơn
số cây mỗi bạn nữ trồng được là 3 cây. Tính số học sinh nam, học sinh nữ của tổ đó
(số cây mỗi bạn nam trồng được là bằng nhau và số cây mỗi bạn nữ trồng được
bằng nhau).
x2 +

3) Cho số thực x dương thoả mãn điều kiện:
A = x3 +

1

x3

1
=7
x2

Tính giá trị biểu thức:
Câu III. (3,0 điểm)
Cho đường tròn tâm (O) và một điểm A cố định nằm ngồi đường trịn (O).
Vẽ các tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (B, C là các tiếp điểm), vẽ một cát tuyến
di động AMN (AM < AN) với (O). Gọi E là trung điểm của MN, CE cắt (O) tại
điểm thứ hai là I.
1) Chứng minh rằng: Năm điểm A, B, O, E, C cùng nằm trên một đường
tròn.
2) Chứng minh rằng: BI song song với MN.
3) Chứng minh rằng:

EB = EI


4) Xác định vị trí của cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN đạt giá trị
lớn nhất.
Câu IV. (1,0 điểm)
0 < a, b < 1
a − ab + b − ab ≤ 1
1) Cho
, chứng minh rằng:
x − 3 + 5 − x = x 2 − 8 x + 18
2) Giải phương trình:
ĐÁP ÁN

Câu I (3,0 điểm)
A=
1)

1
1
5+ 3+ 5− 3
+
=
5− 3
5 + 3 ( 5 − 3)( 5 + 3)

A=

A=

Rút gọn biểu thức:

1
1
+
5− 3
5+ 3

2 5
= 5
5−3

y=
2)

Vẽ đồ thị hàm số
Hoc sinh tự vẽ

1 2
x
4

x − 2 = 2x −1

+ Nếu
+ Nếu

x≥2
x<2

3) Giải phương trình
ta được phương trình:
ta được phương trình:

KL …
Câu II. (3,0 điểm)

x − 2 = 2 x − 1 ⇔ x = −1
−x + 2 = 2x −1 ⇔ x = 1

(loại)
(thỏa mãn).

1) Cho đường thẳng
điểm

A ( −1; 3)

Đường thẳng

Đường thẳng

( d)
( d)

. Tìm a và b để đường thẳng

A ( −1; 3)

a = 5

b = 8

y = 5x + 3

thì

( d)

a = 5

b = 8

( d ')

nên

( d)

y = 5x + 3

nên có phương trình

song song với đường thẳng

Vậy để đường thẳng

( d ’) :

và song song với đường thẳng

đi qua điểm

Từ (1) và (2) suy ra

( d ') :

( d ) : y = ax + b

đi qua

−a + b = 3 ( 1)

a = 5
( 2)

b ≠ 3

(thoả mãn)

đi qua điểm

A ( −1; 3)

hay đường thẳng

và song song với đường thẳng

( d) :

y = 5x + 8

2) Để hưởng ứng ngày Tết trồng cây, một tổ có 13 học sinh cả nam và nữ tham
gia trồng được 80 cây. Biết tổng số cây mà các bạn nam trồng được bằng tổng
số cây mà các bạn nữ trồng được, số cây mà mỗi bạn học sinh nam trồng được
nhiều hơn số cây mỗi bạn nữ trồng được là 3 cây. Tính số học sinh nam, học
sinh nữ của tổ đó (số cây mỗi bạn nam trồng được là bằng nhau và số cây mỗi
bạn nữ trồng được bằng nhau).
Gọi số học sinh nam của tổ là x (
⇒

Số học sinh nữ của tổ là:

0 < x < 13 x ∈ N

,

)

13 − x

Số cây mà một học sinh nam trồng được là:

Số cây mà một học sinh nữ trồng được là:

40
x

(cây)

40
13 − x

(cây)


Theo bài ra ta có phương trình:

Giải phương trình ta được

40
40
−3 =

x
13 − x

x1 = 5

x2 =

( TMĐK),

104
3

(loại).

KL…
x2 +

3) Cho số thực x dương thoả mãn điều kiện:
A = x3 +

Tính giá trị biểu thức:
1
x + 2 =7
x

1
x3
2

2

Từ giả thiết

1
=7
x2

suy ra:

ổ 1ử
1
ỗ
x+ ữ
= 9 ị x + = 3 ( do x > 0)
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố
xứ
x

ổ 1ữ
ửổ2 1 ữ
ử ổ3 1 ữ
ử ổ 1ử
ổ3 1 ử
ỗ
ị 21 = ỗ
x+ ữ

x + 2ữ
=ỗ
x + 3ữ
+ỗ
x+ ữ
=ỗ
x + 3ữ
ữ
ữ+ 3
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ố
ố
ố
ứ
x ứỗ
x ứ ố
x ứ ố
xứ ỗ
x ữ

ị A = x3 +

1
= 18
x3

Cõu III. (3,0 điểm)
Cho đường tròn tâm (O) và một điểm A cố định nằm ngồi đường trịn
(O). Vẽ các tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (B, C là các tiếp điểm), vẽ một
cát tuyến di động AMN (AM < AN) với (O). Gọi E là trung điểm của MN, CE
cắt (O) tại điểm thứ hai là I.


1) Chứng minh rằng: Năm điểm A, B, O, E, C cùng nằm trên một
đường trịn.
Ta có

OB ⊥ AB

Tương tự ta có

( Tính chất tiếp tuyến và bán kính)

⇒ ·ABO = 900

·ACO = 900

Suy ra tứ giác ABOC nội tiếp (Tổng hai góc đối bằng
Vì E là trung điểm của MN nên

1800

)(1)

OE ⊥ MN ⇒ ·AEO = 900

Suy ra tứ giác AEOB nội tiếp (Tổng hai góc đối bằng

1800

)(2)

Từ (1) và (2) suy ra 5 điểm A, B, O, C, E cùng thuộc một đường trịn đường kính AO.
2) Chứng minh rằng: BI song song với MN.
Trong đường tròn đường kính AO ta có:


·ABC = ·AEC

Mà

·ABC = BIC
·

cung AC )

3)

( góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn

⇒ ·AEC

=

·
BIC
⇒ BI / / MN

Chứng minh rằng:

Ta có
Mà

(cùng chắn cung AC)

·
·
IBE
= BEA

EB = EI

(so le trong)

·
·
·
BEA
= BCA

= BIC

suy ra

·
·
IBE
= BEA

nên

EB = EI

4) Xác định vị trí của cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN đạt giá
trị lớn nhất.
BI / / MN ⇒ BI / / AN ⇒ S AIN = S ABN

( vì có chung đáy AN và chiều cao hạ từ đỉnh B

và đỉnh I bằng nhau).
⇒ S AIN = S ABN =

Kẻ NK vuông góc với đường thẳng AB
Ta có AB khơng đổi
Mà

⇒ S AIN

1
AB.NK

2

đạt giá trị lớn khi NK đạt giá trị lớn nhất.

NK ≤ NB ≤ 2 R ⇒ NK max = 2 R

khi và chỉ khi N đối xứng với B qua O

Câu IV. (1,0 điểm)
0 < a, b < 1
a − ab + b − ab ≤ 1
1) Cho
, chứng minh rằng:
a +1− b
a − ab = a . 1 − b ≤
0 < a, b < 1
2
Vì
nên


b − ab = b . 1 − a ≤

Tương tự ta có
a − ab + b − ab ≤

Do đó

ĐK:

b +1− a
2

a +1− b b +1− a
+
=1
2
2

2) Giải phương trình:
3≤ x≤5

(đpcm)

x − 3 + 5 − x = x 2 − 8 x + 18

a + b ≤ 2(a 2 + b 2 ), ∀a, b∈ R

Học sinh chứng minh được:
x − 3 + 5 − x ≤ 2(x − 3 + 5 − x) = 2, ∀x : 3 ≤ x ≤ 5

Áp dụng ta được
x 2 − 8 x + 18 = (x − 4) 2 + 2 ≥ 2, ∀x ∈ R

Ta có

Do đó phương trình đã cho tương đương với
KL …

 x − 3 + 5 − x = 2

⇔x=4
 2
 x − 8 x + 18 = 2