b đề vào 10 hệ chuyên môn toán tin 22 23 tỉnh phú thọ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG
NĂM HỌC 2022-2023
Mơn: TỐN CHUN

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 1. (2,0 điểm)
a) Cho phương trình

x 2  2  m  2  x  2m  5  0

. Tìm m để phương trình có hai nghiêm

1 1
 3
x
;
x
x
x2
1
2
1
phân biệt
thỏa mãn

b) Chứng minh rằng

P  3 2

10 3 3
10 3
 2
9
9 là số nguyên

Câu 2. (2,0 điểm)
a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x  2 xy  8 x  4  y  4   0
2
2
b) Chứng minh rằng nếu m, n là hai số tự nhiên thỏa mãn 2022m  m  2023n  n thì
2

2

2022  m  n   1

là số chính phương

Câu 3. (2,0 điểm)
a) Giải phương trình 4 x  3 x  15  3x  1  0
b) Cho hai số thực a, b phân biệt. Quanh đường tròn viết n số thực đôi một khác nhau
2

 n  3 sao cho mỗi số bằng tổng của hai số đứng liền kề nó. Tìm n và các số được

viết nếu hai số đầu tiên được viết lần lượt là a và b

Câu 4. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nôi tiếp đường trịn   có đường cao AA1 , đường
trung tuyến BB1 và đường phân giác trong CC1 . Goi D, E , F lần lượt là giao điểm của
O

AA1 ; BB1 ; CC1 với  O  . Biết A1 B1C1 là tam giác đều

a) Chứng minh rằng tam giác ABC đều
b) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng CE , N là trung điểm của đoạn thẳng CD . I là
giao điểm của AN và FM . Tính AIF
c) Tia CI cắt AF và (O) lần lượt tại J và K. Chứng minh rằng I là trung điểm của
JA
CK . Tính tỉ số JF


a 2b  ab 2  2  a  b  ab   0.
a
,
b
Câu 5. (1,0 điểm) Cho
là các số thực dương thỏa mãn
2  a 3b  ab3    1  2ab   3
2

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P

2ab

ĐÁP ÁN
Câu 1. (2,0 điểm)
c) Cho phương trình

x 2  2  m  2  x  2m  5  0

. Tìm m để phương trình có hai

1 1
 3
x
;
x
x
x2
1
2
1
nghiêm phân biệt
thỏa mãn
2
 '   m  3

Tính được

m  3
 '  0




5
2m  5  0  m 


2
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2  0 thì

 x1  x2  2  m  2 

Theo Vi-et ta có :  x1 x2  2m  5
1 1
x x
11
  3  1 2  3  x1  x2  3x1 x2  2  m  2   3  2m  5   m  (tm)
x1 x2
x1 x2
4
11
m
4
Vậy

d) Chứng minh rằng
Ta có :
P3  2 

P  3 2

10 3 3
10 3

 2
9
9 là số nguyên

 10 3  10 3  
10 3
10 3
10 3 3
10 3 
3 2

2
 3 3  2 
2


2



9
9
9 
9 
9
9 





300
.P  P 3  4  2 P
81
P  2
 P3  2P  4  0   2
 P  2 P  2  0(vn)
Vậy P  2 hay P là số nguyên
 P3  4  3 3 4 

Câu 2. (2,0 điểm)
x 2  2 xy  8 x  4  y  4   0
2

c) Tìm nghiệm nguyên của phương trình
Phương trình  1  x  2  y  4  x  4  y  4   0  2 
2

2

(1)


Xem phương trình (2) là phương trình bậc hai ẩn x, ta cần tìm điều kiện của y để
2
phương trình   có nghiệm   '  0

  y  4   4  y  4   3  y  4   0  y  4  x  2
2

2

2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên    
2
2
d) Chứng minh rằng nếu m, n là hai số tự nhiên thỏa mãn 2022m  m  2023n  n
x; y  2;0

thì

2022  m  n   1

là số chính phương

2022m  m  2023n  n  2022m2  2022n 2  m  n  n 2
  m  n   2022m  2022n  1  n 2  1
2

2

Th1 : Với m  n   1  m  n  0  2022  m  n   1  1 là số chính phương
m  n; 2022m  2022n  1  d
Th2: Với m  n  m  n  0 . Gọi 

m  n Md

 n 2 Md 2  nMd  mMd
2022

m

2022
n

1
M
d

 2022m  2022n Md  1Md  d  1   m  n; 2022m  2022n  1  1

2022m  2022n  1 là hai số nguyên tố cùng nhau


Mặt khác 
chính phương (đpcm)
Câu 3. (2,0 điểm)

m  n 2022m  2022n  1  n 2

hay m  n và

là số chính phương nên suy ra

2022  m  n   1

là số

2
c) Giải phương trình 4 x  3 x  15  3 x  1  0 (1)

Phương trình

3 x  1  0
4 x 2  3 x  15  3x  1   2
2
 4 x  3x  15   3 x  1

1
1


x 
x 


 x2
3
3
4 x 2  3 x  15  9 x 2  6 x  1 5 x 2  3x  14


Vậy x  2
d) Cho hai số thực a, b phân biệt. Quanh đường tròn viết n số thực đôi một khác
 n  3
n

nhau
sao cho mỗi số bằng tổng của hai số đứng liền kề nó. Tìm và các
số được viết nếu hai số đầu tiên được viết lần lượt là a và b

Đánh số các số được viết theo thứ tự là a1 ; a2 ;....; a6 với a1  a; a2  b . Ta có :
a1  a; a2  b; a3  b  a; a4  a; a5  b; a6  a  b; a7  a  a1



Suy ra n  6. Mà
Th1: n  3  a1  a; a2  b; a3  b  a
Vì a3  a1  a2  b  a  b  a  a  0  a2  a3 (loại)
n  3  n  3; 4;5;6


Th 2 : n  4  a1  a; a2  b; a3  b  a; a4  a
 a4  a1  a3   a  b  a2  a4 (ktm)
Th3 : n  5
 a1  a; a2  b; a3  b  a; a4  a; a5  b

 a5  a1  a4  0  b  0  a2  a5 ( ktm)
Th 4 : n  6
 a1  a; a2  b; a3  b  a; a4  a; a5  b; a6  a  b
Dễ thấy a6  a1  a5 luôn thỏa mãn

 phân biệt thì
 
Để các số i 
Vậy n  6 và các số được viết là a1  a; a2  b; a3  b  a; a4  a; a5  b; a6  a  b
a i  1, 6

ab  0; a  b; a  2b; b  2a *

O

Câu 4. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nơi tiếp đường trịn   có đường cao AA1 ,
đường trung tuyến BB1 và đường phân giác trong CC1 . Goi D, E , F lần lượt là giao

O
điểm của AA1 ; BB1; CC1 với   . Biết A1 B1C1 là tam giác đều

d) Chứng minh rằng tam giác ABC đều
1
A1 B1  AC
AA
C
A
B
2
Xét tam giác 1 vng tại 1 có 1 là trung điểm cạnh AC nên
1
B1C1  AC  AC1C
2
Suy ra
vuông tại C1 , mà CC1 là đường phân giác của C nên C1 là
trung điểm cạnh AB


1
AC
2
Lại có
nên A1C1 là đường trung bình của tam giác ABC , suy ra A1 là
trung điểm cạnh BC
Vậy A1; B1; C1 lần lượt là trung điểm của các cạnh BC , CA, AB nên ABC đều (đpcm)

A1C1  B1C1 


e) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng CE , N là trung điểm của đoạn thẳng CD .
I là giao điểm của AN và FM . Tính AIF

Vì ABC đều nên AFBDCE là lục giác đều
»
»
»
»
»
»
Do đó sd AF  sd FB  sd BD  sd DC  sdCE  sd EA  60
Xét FCM và ADN có FC  AD, CM  CN , FCM  ADN  60
Suy ra FCM  ADN (c.g .c)  DAN  CFM
 OAI  OFI  OIAF là tứ giác nội tiếp  AIF  AOF  60


f) Tia CI cắt AF và (O) lần lượt tại J và K. Chứng minh rằng I là trung điểm
JA
của CK . Tính tỉ số JF

Ta có OCE và OCD là hai tam giác đều bằng nhau nên
Lại có MN là đường trung bình

CED  MN 

OM  ON 

1
DE.  OMN
2
đều

1
DE
2

 MON  MIN  60  M , I , O, N cùng thuộc một đường trịn
Lại có OMC  ONC  90  O, N , M , C cùng thuộc đường trịn đường kính OC
Vậy 5 điểm O, I , M , C , N cùng thuộc một đường trịn đường kính OC
Suy ra OIC  OMC  90  OI  CK  I là trung điểm của CK
Từ O kẻ OG  FM , OH  AN . Gọi L là giao của AN , CF

Ta có AOH  FOG  OG  OH  OGI  OHI  GIO  HIO
OL IL

 OI là phân giác của
OF IF
OL IL 1
ADC 

  IF  3IL  1
OF IF 3
Mà L là trọng tâm
Gọi bán kính của (O) là R nên CE  R
FIL 

Xét ECF vng tại E có EF  CE.tan ECF  R.tan 60  R 3

R 2 R 13

4
2
2
Mà tứ giác OIMC nội tiếp nên FI .FM  FO.FC  2 R
2 R 2 4 13R
IF 4 13R
 IF 

 IL 

FM
13
3
39
OIAF
Vì tứ giác
nội tiếp nên :
 FM  EF 2  EM 2  3R 2 

4 2
13R
R 13
3 13R
R  AL 
 AI  IL 
 AI 

9
3
3
13
1
NIC  NOC  30  NIM  IJ
2
Dễ có
là đường phân giác trong góc I của
JA IA 3
AIF 


JF IF 4
a 2b  ab 2  2  a  b  ab   0.
a, b
LO.LF  IL. AL 

Câu 5. (1,0 điểm) Cho

là các số thực dương thỏa mãn

2  a 3b  ab 3    1  2ab   3
2

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Ta có :

P

2ab

a 2b  ab 2  2  a  b  ab   0  ab  a  b   2  a  b   2ab
 ab 

Lại có

2 2
8
2
 2
 2   a  b  2  a  b  8  0  a  b  4
a b
a b

a 2b  ab 2  2  a  b  ab   0  1 
2  a 3b  ab3    1  2ab   3
2

P

2ab

 1  2ab 

2

3

2

2
1 1
1


 
ab a  b
ab 2 a  b

2ab  a 2  b 2    1  2ab   3
2



2ab

1
2ab
ab
1 
1
3
2
2
1
  a  b  2   

  a  b 
ab 2
 2 ab

 a2  b2 

  a  b  2 
2

64
64
127 3
64 64 127 3 71
2


  33  a  b .
.

 
ab ab ab 2
ab ab
4 2 4
71
Min P 
ab2
4
Vậy
  a  b 
2