b đề vào 10 hệ chuyên toán tin 2022 2023 tỉnh quảng nam

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH QUẢNG NAM
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm có 01 trang)

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 VÀO TRƯỜNG
THPT CHUN NĂM HỌC 2022-2023
Mơn thi: TỐN (Tốn chun Tin)
Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề)
Khóa thi ngày: 14-16/6/2022

Câu 1. (1,5 điểm)
Cho biểu thức

 a a a a
A  1 
1  a  1 
a 1




với a  0, a  1 .

2
Rút gọn A và tìm a sao cho A  A  0 .
Câu 2. (1,0 điểm)
4
2
Tìm tất cả các số nguyên dương n để n  3n  1 là số nguyên tố.
Câu 3. (1,0 điểm)

2
d : y  2 x  m ( m là tham số). Tìm tất
Cho parabol ( P) : y   x và đường thẳng  

cả các giá trị của m để
đó có hồnh độ bằng 1 .
Câu 4. (2,0 điểm)

 d

cắt ( P) tại hai điểm phân biệt sao cho một trong hai giao điểm

2
a) Cho phương trình x  6 x  m  0 . Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số m để
2
2
phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thoả mãn 2 x1  x1 x2  2 x2  38 .

 1
 x  2 y  2 x  4 y  5

 x  2y  3

b) Giải hệ phương trình  x  2 y
.
Câu 5. (3,5 điểm)
Cho đường trịn (O) và điểm I nằm ngồi đường trịn đó. Từ điểm I kẻ hai tiếp tuyến

IA, IB với đường tròn (O) ( A, B là các tiếp điểm).
a) Chứng minh tứ giác OAIB nội tiếp đường tròn.

b) Qua A kẻ đường thẳng song song với IB cắt đường tròn (O ) tại điểm thứ hai là C (C
khác A). Đường thẳng IC cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E (E khác C). Đường
2
thẳng AE cắt IB tại K. Chứng minh KB  AK .KE .
IE DE

c) Đường thẳng IC cắt AB tại D. Chứng minh IC DC .
Câu 6. (1,0 điểm)
 x y
x2 y 2
 2  4  3  
2
x
 y x  với mọi số thực x; y khác 0.
Chứng minh rằng y

--------------- HẾT ---------------


Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu. Giám thị khơng giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: .................................................................. Số báo danh: ...........................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 VÀO TRƯỜNG
TỈNH QUẢNG NAM
THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2022-2023
HDC CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN CHUN TIN
(Bản hướng dẫn này gồm 04 trang)

* Lưu ý:
Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong hướng dẫn chấm nhưng đúng thì vẫn cho đủ
số điểm từng phần như hướng dẫn quy định.
Câu
Nội Dung
Điểm

Cho biểu thức

 a a a a
A  1 
1  a  1 
a 1




với a  0, a  1 . Rút gọn

A và

1,5

tìm a sao cho A  A  0 .
2

Câu 1


a ( a  1)  

a ( a  1) 
A  1 
1


a 1  
a  1 


0,25

 1 a 1 a

0,25







Kết quả: A  1  a với a  0; a  1

0,25
0,25 +
0,25

A  0
1  a  0
a  1

A2  A  0  


 A  1 1  a  1  a  2
Đối chiếu điều kiện, chọn a  2

0,25

Tìm tất cả các số nguyên dương n để n  3n  1 là số nguyên tố.
4





2



2





B  n 4  3n2  1  n 2  1  n 2  n 2  n  1 n2  n  1

Câu 2

Câu 3

.

1,0
0,25

Với n  1 , ta có B  1 khơng phải là số nguyên tố.

0,25

Với n  2 , ta có B  5 là số nguyên tố.

0,25

Với n  2 , mỗi thừa số của B đều lớn hơn 1 nên B là hợp số.
Vậy n  2 thoả đề.

0,25

2
d : y  2 x  m ( m là tham số).
Cho parabol ( P ) : y   x và đường thẳng  

 d

Tìm tất cả các giá trị của m để
cắt ( P) tại hai điểm phân biệt sao cho một
trong hai giao điểm đó có hồnh độ bằng 1 .
2
d

Phương trình hồnh độ giao điểm của ( P ) và   là x  2 x  m  0
( P ) và  d  cắt nhau tại hai điểm phân biệt   '  1  m  0  m  1 .
Gọi A là giao điểm có hồnh độ bằng 1 , A  P  nên A(1;  1)

1,0

0,25
0,25
0,25


A  d   1  2  m  m  3

(thoả mãn). Vậy m  3 .

0,25

a) Cho phương trình x  6 x  m  0 . Tìm tất cả các giá trị nguyên của
2

x; x
tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2 thoả
mãn

2 x12  x1 x2  2 x22  38 .

'  9  m ,

0,25

phương trình có 2 nghiệm phân biệt

x1 ; x2  9  m  0  m  9

0,25

.

2 x12  x1 x2  2 x22  38  2  x1  x2   5 x1 x2  38  2.6 2  5m  38  m 
2

34
5 .

34
 m  9  m  7; 8
Vậy 5
do m là số nguyên.

Câu 4
( 2,0 )

1
; v  x  2 y.
x

2
y
x


2
y
Điều kiện
. Đặt
Ta có hệ phương trình
3

u  2; v  

2 .
Giải tìm được  u  3; v  1 hoặc 
u

-

1,0

u  2v  5

uv  3

0,25
0,25

2

1
x



x  2 y 

3
3

 x  2 y  1
y  1

6
Với  u  3; v  1 , ta có
1

x  1
 x  2 y  2



1
3

3
y



x  2y 
 u  2; v  

4
2  , ta có 

2
Với 
.
2

 x  3

y  1
6;
Đối chiếu điều kiện, hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm 
 Nếu thiếu điều kiện x  2 y thì trừ 0,25 đ

Câu 5

0,25

0,25

 1
 x  2 y  2 x  4 y  5

 x  2y  3
 x  2y
b) Giải hệ phương trình 
.

-

1,0

0,25

x  1


1
 y  4

Cho đường trịn (O) và điểm I nằm ngồi đường trịn đó. Từ điểm I kẻ hai
tiếp tuyến IA, IB với đường tròn (O ) ( A, B là các tiếp điểm).
a) Chứng minh tứ giác OAIB nội tiếp đường tròn.
b) Qua A kẻ đường thẳng song song với IB cắt đường tròn (O) tại
điểm thứ hai là C (C khác A). Đường thẳng IC cắt đường tròn (O )

0,25

3.5


tại điểm thứ hai là E (E khác C). Đường thẳng AE cắt IB tại K.
2
Chứng minh KB  AK .KE .
IE DE

c) Đường thẳng IC cắt AB tại D. Chứng minh IC DC .

5a

a) Chứng minh tứ giác OAIB nội tiếp đường trịn
Hình vẽ phục vụ câu a)

5b

1,0
0,25

·
IAO
 900 (tính chất tiếp tuyến)
·
IBO
 900 (tính chất tiếp tuyến)

0,25

0
·
·
Suy ra IAO  IBO  180 nên tứ giác OAIB nội tiếp đường tròn.

0,25

b) Qua A kẻ đường thẳng song song với IB cắt đường tròn (O) tại
điểm thứ hai là C (C khác A). Đường thẳng IC cắt đường tròn (O )
tại điểm thứ hai là E (E khác C). Đường thẳng AE cắt IB tại K.
2
Chứng minh KB  AK .KE .
Hình vẽ phục vụ câu b)
Xét hai tam giác AKB và BKE, có
·

·
KAB
 KBE
(cùng bằng nửa số đo của cung EB),

0,25

1,5

0,25
0,25

góc K chung

0,25

nên chúng đồng dạng

0,25

AK KB

suy ra BK KE .
 KB 2  AK .KE

0,25
0,25


IE DE


IC
DC .
c) Đường thẳng IC cắt AB tại D. Chứng minh

5c

·
·
Xét hai tam giác AKI và IKE, có KAI  KIE (cùng bằng góc ECA), góc K chung
AK IK

 IK 2  AK .KE
nên chúng đồng dạng, suy ra IK KE
.
IK

KB
Từ đó suy ra
(1)
Qua E kẻ đường thẳng song song với IB, cắt AB tại H và cắt IA tại J, theo
JE EH

định lí Ta-lét ta có IK KB (2).
JE EH
JE  EH 

AC AC .
Từ (1) và (2) suy ra

IE DE
IE JE
DE EH



Theo định lí Ta-let IC AC và DC AC . Vậy IC DC .
 x y
x2 y2


4

3
 y  x 
y2 x2
 với mọi số thực x; y khác 0.
Chứng minh rằng
Cách 1:
2
2
 x y
x2 y 2
x4  y4  4x2 y2 3 x  y

 4  3   

y 2 x2
 y x
x2 y2

xy





 x  y  4 x y  3xy x  y
4

4

2

 x2  y2

  x




x

2



2

2

2

2





Câu 6





0,25
0,25

1,0

0,25

2





 x 2  y 2 x 2  y 2  xy  2 xy x 2  y 2  xy  0
2

0,25



 y 2 xy  2 x 2 y 2  2 xy x 2  y 2  0



0,25

(do x y  0)
2





1,0

 y 2  xy x 2  y 2  2 xy  0

2

y  3y2 
2
  x   
  x  y   0 (*)
2
4 


Bất đẳng thức (*) luôn đúng với mọi số thực x; y khác 0. Vậy bất đẳng thức đã cho
luôn đúng với mọi số thực x; y khác 0.

0,25

0,25

0,25

Cách 2:
2

 x y
x y
x2 y 2
t2      2  2  2
t 
 y x
y
x
y x . Ta có
Đặt
t  2
x2 y 2
 2  2  t2  4  
2
x
t  2
Theo Cô-si y

0,25

2
Bất đẳng thức đã cho trở thành t  3t  2  0   t  1  t  2  0 (*)

0,25

Với t  2 , (*) luôn đúng nên bất đẳng thức đã cho luôn đúng

0,25

Với t  2 , (*) luôn đúng nên bất đẳng thức đã cho luôn đúng

0,25

---------------------------------------------------------------