(SKKN HAY NHẤT) cải tiến phương pháp giải các bài toán dãy số bằng công cụ lượng giác trong chương trình toán THPT

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


"CẢI TIẾN PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN DÃY
SỐ BẰNG CƠNG CỤ LƯỢNG GIÁC TRONG CHƯƠNG
TRÌNH TỐN THPT"

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Khi đề cập về cách giải các bài toán dãy số thường chỉ sử
dụng phương pháp quy nạp đại số, nên chưa làm sáng tỏ
được bản chất, cách xác lập dãy số , gây khó khăn cho học
sinh khi gặp các bài tốn nâng cao như dãy số có cơng thức
truy hồi phi tuyến tính. Đa số các bài tốn trên thường phải
sử dụng cơng cụ lượng giác
I. Mục đích đề tài:
-Cải tiến phương pháp phát hiện tính chất và nêu giải pháp cho
các bài tốn dãy số bằng cơng cụ lượng giác mà các tài liệu chưa
đề cập một cách trực tiếp,toàn diện
-Với cách tiếp cận và giải quyết các vấn đề dãy số nhờ lượng
giác ,với các bài tốn minh họa ,người đọc sẽ có hứng thú say

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


mê nghiên cứu khoa học, được sử dụng linh hoạt các kiến thức

về giải tích như: hàm số ,đa thức,cấp số,dãy số,giới hạn,đạo
hàm ,tích phân,phương trình hàm cũng như đại số,lượng giác
-Từ giải pháp trên , giáo viên và học sinh có thể vận dụng để rèn
luyện kỹ năng xử lý tình huống,tư duy sáng tạo, giải các bài tốn
nâng cao ,phức hóa và sáng tác các bài tập hay nhằm ôn luyện
phục vụ vào các kỳ thi học sinh giỏi các cấp
II/. Mô tả giải pháp:
1. Thực trạng:
1.1. Những hạn chế:
-Sách giáo khoa, sách tham khảo hiện có, khi đề cập về cách giải
các bài toán dãy số thường chỉ sử dụng phương pháp quy nạp đại

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


số, nên chưa làm sáng tỏ được bản chất, cách xác lập dãy số ,
gây khó khăn cho học sinh khi gặp các bài tốn nâng cao như
dãy số có cơng thức truy hồi phi tuyến tính. Đa số các bài tốn
trên thường phải sử dụng cơng cụ lượng giác
-Theo quy định của Bộ Giáo dục và Đào tạo, cấu trúc của một đề
thi học sinh giỏi hiện nay phải có bài tốn kiểm tra về giải tích
mà thường là xét các tính chất hàm số, dãy số
1.2 Ưu điểm giải pháp mới:
-Học sinh được trang bị một phương pháp tiếp cận và cách giải
các bài toán dãy số phi tuyến nhờ công cụ lượng giác
-Tập cho học sinh bước đầu có hứng thú say mê nghiên cứu khoa
học, sử dụng linh hoạt các kiến thức đã học về giải tích như: hàm

LUAN VAN CHAT LUONG download : add

số, đa thức, cấp số, dãy số, giới hạn, đạo hàm , tích phân, phương
trình hàm cũng như đại số, lượng giác
-Giáo viên nắm bắt phương pháp từ đó sáng tác bài tập phù hợp
với đối tượng học sinh mình trực tiếp bồi dưỡng 

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


2.Nội dung giải pháp
2.1 .Tiếp cận và giải bài toán về tính chất dãy số nhờ định dạng
lượng giác các số hạng, các hệ số trong công thức truy hồi của
dãy số hoặc xét tính chất có trong cung lượng giác của dãy
lượng giác .Ta có thể minh họa bằng các ví dụ sau: 
Ví dụ 1:Cho dãy (un) có u1=cosa;u2=cos2a, un+1=2cosa.un -un-1khi
n>1.
Tìm Sn =u1 +u2 +…+un
Giải:
Bằng qui nạp ta có số hạng tổng qt có dạng đa thức lượng giác
un=kcosna+lsinna

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Theo giả thiết có 

Suy ra :k=1;l=0 Vậy : un=cosna

Sn =u1 +u2 +…+un =cosa+cos2a+…+cosna= 

Ví dụ 2: Cho dãy số (un) , (vn) có u0=0;v0=cosa,
un=un-1 +2vn-1sin2a ;vn= vn-1 +2un-1cos2a khi n>0
Tìm số hạng tổng quát un ;vn
Giải:
Xét un +kvn=(1+2kcos2a )un-1 +(k+2sin2a)vn-1

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Cho tỉ lệ 1:k=(1+2kcos2a ):(k+2sin2a) ta có k=tana hoặc k=-tana
suy ra :un +tana.vn=(1+2sina.cosa )un-1 +(tana+2sin2a)vn-1
un –tana.vn=(1-2sina.cosa )un-1 +(-tana +2sin2a)vn-1
Vậy : un +tana.vn=(1+sin2a)(un-1 +tana.vn-1 )
un –tana.vn=(1-sin2a)(un-1 –tana.vn-1 )
Khi đó : un +tana.vn=(1+sin2a)n(u0 +tana.v0 )=(1+sin2a)n sina
un –tana.vn=(1-sin2a)n(u0 –tana.v0 ) =-(1-sin2a)n sina

Ta coi un ;vn là nghiệm của hệ bậc nhất 

Vậy giải hệ ta có : un = 

vn= 

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Ví dụ 3:(đề được tác giả sáng tác và gửi cho hội đồng ra đề
thi quốc gia năm 2008)

Cho dãy số (Vn) trong đó   =sin   và có u1=   ; un=un-1+2un-2+…

+(n-1) u1;với n nguyên ,n>1
Tìm giới hạn của dãy (Vn) khi n 
Giải:
Ta xét cung lượng giác có trong   là :
un=un-1+2un-2+…(n-1) u1
Suy ra un-un-1=2un-2+…(n-1) u1
= [un-2+…(n-2) u1]+[un-2+…+ u1]
Vậy : un-2un-1= un-2+…+ u1(*)

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Thay n b ởi n-1 có : un-1-2un-2= un-3+…+ u1(**)
T ừ (*) v (**) ta có : un-2un-1= un-2 + un-1-2un-2
Suy ra un-3un-1+ un-2 =0.

Phương trình đặc trưng :t2-3t+1=0 có nghiệm 

 )n+B.( 

Vậy : un =A.( 

 )n

Do u1=1; u2=1 suy ra A=1- 

Thử lại un =(1- 

Suy ra : 3-nun =(1- 

Do 0< 
nên 

 <1,0< 

 ;B=1+ 

 )n+(1+ 

 ).( 

 ; 

 ).( 

 ).( 

 )n+(1+ 

 ).( 

 )n thoả bài toán

 )n

 <1

 Vn =sin0 =0

LUAN VAN CHAT LUONG download : add

2.2 . Nếu bài toán cho dãy số dạng phi tuyến tính :đa thức, phân
thức, hoặc căn thức giống như giải hệ phương trình;tính tích
phân,… ta tìm cách lượng giác hóa cơng thức dãy số.Muốn giải
tốt ta cần để ý số hạng đầu và sự tương thích của hệ thức truy
hồi với một đặc trưng nào đó của hàm lượng giác .Ta xét một số
ví dụ minh họa sau
Ví dụ 1:(đề tác giả sáng tác gửi tham dự kỳ thi Olympic
30/4 ,Miền nam,năm 2005):
Cho dãy số (un) có:

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


a) Chứng minh rằngvới mọi n thuộc Z+, ta có 
b) Lập dãy số (vn) biết vn = 
Tìm giới hạn cuả dãy (vn) khi n   
Giải
a) Ta chứng minh un > 0 với mọi n thuộc Z+.
Thật vậy, u1 > 0, u2 > 0.
Giả sử un > 0với mọi n   k.

Ta có 

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Vậy, un > 0 với mọi n thuộc Z+.

Ta lại có 

Giả sử 

Ta có:

Vậy 

Ta lại có 

 và hàm y = ex là hàm đồng biến trên R.

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


b) Ta có :

 

Mặt khác, ta có

Mà 

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Vậy 

Ví dụ 2:  Cho dãy (un) và (vn) : 

Tìm số hạng tổng quát un và  vn
Giải:

U0 =2 = 

U1 = 

 ; V1 = 

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


U2 = 

U3 = 

 ; V2 = 

 ;

V3 = 

Chứng minh qui nạp có : Un = 
            

                                           Vn = 

LUAN VAN CHAT LUONG download : add

2.3.Giải quyết các bài toán thi học sinh giỏi liên quan bằng
phương pháp trên ví dụ như:
 Bài 1: (đề thi chọn HSG quốc gia năm 2001)
Cho số thực a  và  dãy số (xn) có x0=a ;xn+1=xn+sinxn
Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn khi n 

 và tìm giới

hạn đó
Bài 2 (đề thi chọn HSG quốc gia năm 1990)

 Cho dãy (xn)  có 

 ;xn= 

  khi n>1

a/Cần thêm điều kiện gì để dãy đã cho tồn số dương
b/Dãy số có tuần hồn khơng ?tại sao?
Bài 3 (đề thi chọn HSG quốc gia năm 1994)

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Cho

số

thực

a 

  và  dãy

số

(xn)

có

x0=a ;xn= 
Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn khi n 

 và tìm giới

hạn đó
 
3 Phạm  vi áp dụng :
Giải pháp trên dùng để bồi dưỡng học sinh khá giỏi trong cấp
học trung học phổ thơng ,Giáo viên có thể nghiên cứu và sáng
tác bài tập để bồi dưỡng  tùy theo đối tượng học sinh của mình
4.Hiệu quả về ứng dụng giải pháp :

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Đề tài có ý nghĩa cải tiến phương pháp giải các bài tốn  về dãy
số nhờ cơng cụ lượng giác.Đây là tài liệu tác giả dùng để bồi
dưỡng cho học sinh các lớp chuyên toán và đội tuyển của tỉnh
Kết quả:Lớp chuyên do bản thân phụ trách đạt 10 giải /14

họcsinh, 2 HCV,1HCB toàn miền Nam            

LUAN VAN CHAT LUONG download : add