Đề vào 10 hệ chuyên môn toán 2022 2023 tỉnh quảng trị

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG TRỊ

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
Khóa ngày 06 tháng 06 năm 2022
Mơn thi : TỐN
Thời gian làm bài : 150 phút

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Câu 1. (2,0 điểm)

x −2
P = ( x − 1) 
−
 x −1


2

Cho biểu thức
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị lớn nhất của P
Câu 2. (2,0 điểm)
2 x2 + x = 4

1) Giải phương trình
2) Gọi

x1 ; x2

(

(


x + 2 ÷ x ≥ 0 
÷
2 ÷
x + 1 ÷ x ≠ 1 


)

)

3

x − 1 + 6 x −1

là hai nghiệm của phương trình
x1 x2 + 2 x1

hai nhận hai số
Câu 3. (2,0 điểm)

và

x2 x1 + 2 x2

x 2 − 11x + 4 = 0.

. Hãy lập một phương trình bậc

làm hai nghiệm
p 2 − 2q 2 = 1

p

1) Tìm tất cả các số nguyên tố và q thỏa mãn
2) Ba cầu thủ của một đội bóng trò chuyện với nhau về số áo được in trên áo mỗi người, nội
dung như sau:
An: Tôi nhận ra rằng các số trên áo của chúng ta đều là số ngun tố có hai chữ số.
Bình: Tổng hai số trên ảo của hai bạn là ngày sinh nhật của tôi đã trôi qua vào tháng này.
Chung: Thật thú vị! Tổng hai số trên áo của hai bạn là ngày sinh nhật của tôi sắp tới vào
tháng này.
An: Và tổng hai số trên áo hai bạn là ngày hôm nay.
Hãy xác định số áo của An, Bình và Chung.
Câu 4. (1,0 điểm)
1)

Cho biểu thức
rằng nếu

2)

∆≤0

f ( x ) = ax 2 + bx + c

thì

f ( x) ≥ 0

(với

a, b, c ∈ ¡ , a > 0)

với mọi số thực

Chứng minh rằng với mọi số thực

x, y , z

x

ta có :

3 ( x − x + 1) ( y − y + 1) ( z − z + 1) ≥ 1 + xyz + x 2 y 2 z 2
2

2

2

. Đặt

∆ = b 2 − 4ac

. Chứng minh

Câu 5. (3,0 điểm) Cho tam giác
thuộc đường trung trực
tâm A bán kính

AB

∆

ABC

vng ở B có

BD

là đường cao

của đoạn thẳng CD. Đường trịn đường kính

( D ∈ AC )
MA

AE 2 = AD. AC

Chứng minh

b)

Chứng minh

c)

Khi M di động trên

MC = ME
∆,

chứng minh

EF

M

là điểm

cắt đường trịn

tại E và F

a)

.

ln đi qua một điểm cố định.


ĐÁP ÁN
Câu 1. (2,0 điểm)

x −2

P = ( x − 1) 
−
 x −1


2

Cho biểu thức
c) Rút gọn P


x −2
P = ( x − 1) 
−
 x −1


2

(


x + 2 ÷ x ≥ 0 
÷
2 ÷
x + 1 ÷ x ≠ 1 


(

)


x + 2 ÷ x ≥ 0 
÷
2 ÷
x + 1 ÷ x ≠ 1 


)
 x −2
x + 1) − ( x + 2 ) ( x − 1) 
(
)
(


= ( x − 1)


( x − 1) ( x + 1)


( x − 1) ( x − x − 2 − x − x + 2 )
=
= ( x − 1) . ( −2 x ) = −2 x + 2
x +1
2

2

d)

x

Tìm giá trị lớn nhất của P
2

Ta có :

1 1 1
1

P = −2  x − ÷ + ≤ ⇔ x =
2 2 2
4


Max P =

1
1
⇔x=
2
4

Vậy
Câu 2. (2,0 điểm)

2x2 + x = 4

1)

Giải phương trình
Điều kiện

2) Gọi

x1 ; x2

)

3

x −1 + 6 x −1

x ≥1

( x −1) + 6 x −1 ⇔ 2x
⇔ ( 2 x + 1) ( x − 2 x − 1 ) = 0 ⇒ x − 2
2x2 + x = 4

(

3

2

+ x = 2 x − 1 ( 2 x + 1)
x − 1( do x ≥ 1) ⇒ x = 2(tmdk )

là hai nghiệm của phương trình

bậc hai nhận hai số

x1 x2 + 2 x1

Theo định lý Vi-et ta có :

và

x 2 − 11x + 4 = 0.

x2 x1 + 2 x2

x1 + x2 = 11; x1 x2 = 4

. Hãy lập một phương trình

làm hai nghiệm


Giả sử lập được phương trình bậc hai có hai nghiệm
Dễ thấy
X 1 = x1

X 1 > 0, X 2 > 0

(

)

. Ta có :

x1 x2 + 2 = 4 x1 ; X 2 = x2

(

X 1 = x1 x2 + 2 x1 ; X 2 = x2 x1 + 2 x2

)

x2 x1 + 2 = 4 x2

X 1 X 2 = 16 x1 x2 = 32 ( 1)

Suy ra

X 12 + X 22 = 16 ( x1 + x2 ) ⇔ ( X 1 + X 2 ) − 2 X 1 X 2 = 176 ⇔ ( X 1 + X 2 ) = 240
2

 X 1 + X 2 = 4 15

( 2)
 X 1 + X 2 = −4 15

Suy ra

Từ (1) và (2) kết hợp với
Câu 3. (2,0 điểm)

X 1 > 0, X 2 > 0

Tìm tất cả các số nguyên tố

1)

p = 2q + 1,
2

Từ giả thiết , ta có

và q thỏa mãn

p 2 − 2q 2 = 1

2

suy ra p lẻ

2q = p − 1 = ( p − 1) ( p + 1) M4 ⇒ qM2 ⇒ q = 2
2

Khi đó

p

, suy ra phương trình cần lập là

x 2 − 4 15 x + 32 = 0

2

p=3

(do q nguyên tố)

Suy ra
Vậy p=3, q=2
2) Ba cầu thủ của một đội bóng trị chuyện với nhau về số áo được in trên áo mỗi
người, nội dung như sau:
An: Tôi nhận ra rằng các số trên áo của chúng ta đều là số nguyên tố có hai chữ số.
Bình: Tổng hai số trên ảo của hai bạn là ngày sinh nhật của tôi đã trôi qua vào tháng
này. Chung: Thật thú vị! Tổng hai số trên áo của hai bạn là ngày sinh nhật của tôi sắp
tới vào tháng này.
An: Và tổng hai số trên áo hai bạn là ngày hôm nay.
Hãy xác định số áo của An, Bình và Chung.
Gọi

A, B, C

Ta có

lần lượt là số áo của An, Bình, Chung

A, B, C

đều là số ngun tố có 2 chữ số, khơng lớn hơn 31 và tổng 2 số bất kỳ trong 3

số không vượt quá 31 nên

A, B, C ∈ { 1;13;17}


A+C < B +C < A+ B ⇒ C < A < B

Từ giả thiết ta cũng suy ra được
Vậy số áo của An là 13, số áo của Bình là 17, số áo của Chung là 11
Câu 4. (1,0 điểm)
f ( x ) = ax 2 + bx + c

Cho biểu thức

3)

rằng nếu

∆≤0

thì

f ( x) ≥ 0

(với

với mọi số thực

2

Do vậy nếu

a>0

∆≤0

và

f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ¡

thì

2

x, y , z

ta có :

2

2

p = ( x 2 − x + 1) ( y 2 − y + 1) ; q = xy.

BĐT trở thành :

Dễ thấy

p > 0, ∀x, y ∈ ¡

( 3 p − q ) z − ( 3 p + q ) z + 3 p −1 ≥ 0
2

2

g ( z ) = ( 3 p − q2 ) z 2 + ( 3 p + q ) z + 3 p −1

∆ = ( 3 p + q ) − 4 ( 3 p − q 2 ) ( 3 p − 1) = −3 ( p − q ) − 12 ( 2 p − q 2 − 1)
2

Ta có

2

2 p − q 2 − 1 =  xy − ( x + y ) + 1 + ( x − y ) = ( 1 − x 2 ) ( 1 − y ) + ( x + y ) ≥ 0∀x, y ∈ ¡
2

Vì

x

3 ( x − x + 1) ( y − y + 1) ( z − z + 1) ≥ 1 + xyz + x y 2 z 2
2

Xét

. Chứng minh

2

Chứng minh rằng với mọi số thực

4)

. Đặt

∆ = b 2 − 4ac

b  b 2 − 4 ac
b 
∆


f ( x) = a  x +
= a x + ÷ −
÷ −
2a 
4a
2a  4 a



Ta có

Đặt

a, b, c ∈ ¡ , a > 0)

Suy ra
Vậy

3 p − q 2 = p + 2q − q 2 > 0

g ( z ) ≥ 0, ∀x, y, z ∈ R

2

và

2

∆ ≤ 0, ∀x, y ∈ ¡

, Đẳng thức xảy ra khi

Câu 5. (3,0 điểm) Cho tam giác
điểm thuộc đường trung trực
đường trịn tâm A bán kính

2

∆

AB

ABC

x = y = z =1

vng ở B có

BD

là đường cao

( D ∈ AC )

của đoạn thẳng CD. Đường trịn đường kính

tại E và F

.

M
MA

là
cắt


d)

Chứng minh

AE 2 = AD. AC

AD. AC = AB 2 = AE 2
e)

Chứng minh

(hệ thức lượng trong tam giác vuông)

MC = ME

AM 2 = AE 2 + ME 2 = AD. AC + ME 2 ( 1)
AM 2 = AG 2 + MG 2 = ( AD + DG ) + MG 2
2

= MD 2 + AD. ( AD + 2 DG ) = MD 2 + AD. AC

( 1) , ( 2 ) ⇒ MD = ME ⇔ MC = ME
f)

Do

Khi M di động trên

MF = ME

Suy ra

∆,

nên từ b, suy ra

IE.IF = IC.ID

chứng minh

EF

luôn đi qua một điểm cố định.

ME = MC = MD = MF ,

hay

(với I là giao điểm của CD và EF)

CEDF

là tứ giác nội tiếp


Mặt khác

G , E , A, F

Từ đó suy ra

cùng thuộc một đường trịn nên

IC.ID = IG.IA

ID =

Từ đây có thể tính được

DG.DA
⇒I
GA

cố định

IE.IF = IG.IA

(với G là trung điểm CD)