CHUYÊN lâm ĐỒNG 2021 2022 m

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
LÂM ĐỒNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi có 01 trang)

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN
NĂM HỌC 2021 – 2022
Mơn thi: TỐN – CHUN
Thời gian làm bài: 120 phút
Khóa thi ngày: 9, 10, 11/6/2021

Câu 1. (2,0 điểm)

Tính giá trị biểu thức: A = 4 − 10 − 2 5 − 4 + 10 − 2 5 .

Câu 2. (2,0 điểm)

2
3
4
2021
2022
Cho B = 2 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 . Chứng minh rằng B + 2
khơng phải là số chính phương.

Câu 3. (2,5 điểm)

Câu 4. (2,0 điểm)
Câu 5. (2,0 điểm)

Câu 6. (1,5 điểm)

AH ( H ∈ BC ) .
Cho tam giác ABC , đường cao
Biết BC − AB = 2cm,
·
AC = 10cm và CAH
= 300. Tính diện tích tam giác ABC.
3
Cho a, b, c là các số nguyên thỏa mãn a + b + 20c = c . Chứng minh
3
3
3
rằng a + b + c chia hết cho 6.

Trường THCS X có 60 giáo viên. Tuổi trung bình của tất cả thầy
giáo và cô giáo là 42 tuổi. Biết rằng tuổi trung bình của các thầy
giáo là 50, tuổi trung bình của các cơ giáo là 38. Hỏi trường THCS
X có bao nhiêu thầy giáo, bao nhiêu cơ giáo?
 2 x − y − 3 + x 2 − 9 = 0
 2
Giải hệ phương trình:  y − 2 xy + 9 = 0.

Câu 7. (2,0 điểm)

x 2 + ( m − 1) x − m2 − 2 = 0 x
Cho phương trình:
( là ẩn, m là tham số).
Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu thỏa mãn
2 x1 − x2 = 4 (biết x1 < x2 ).

Câu 8. (2,5 điểm)

Cho hình vng ABCD . Vẽ đường trịn tâm O đường kính BC và

Câu 9. (1,5 điểm)

Cho a, b, c là các số dương và a + b + c = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất

A; AB )
đường tròn (
chúng cắt nhau tại một điểm thứ hai là E ( E
khác B ). Tia CE cắt AD tại điểm F . Chứng minh rằng F là trung
điểm của AD.

a3
b3
c3
P= 2
+
+
.
a + 4ab + b 2 b 2 + 4bc + c 2 c 2 + 4ca + a 2
biểu thức:
·
Câu 10. (2,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có BAD
> 900 . Gọi H là chân đường
vng góc kẻ từ A đến BC. Đường trung tuyến kẻ từ C của tam
giác ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại K . Chứng
minh rằng bốn điểm K , H , D, C cùng thuộc một đường tròn.
------------ HẾT ------------

Họ tên thí sinh:……………………………………Số báo danh:
……………………...
Giám thị 1:……………………Ký tên………Giám thị 2: ………………Ký
tên:……...


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN
LÂM ĐỒNG
NĂM HỌC 2021 – 2022
(Hướng dẫn chấm gồm có 06 trang)

Mơn thi: TỐN – CHUN
Khóa thi ngày: 9, 10, 11/6/2021

ĐÁP ÁN, HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ CHÍNH THỨC
CÂU
HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu 1
A = 4 − 10 − 2 5 − 4 + 10 − 2 5 .
(2,0 điểm ) Tính giá trị biểu thức:
Lập luận : A < 0

-

ĐIỂM

0,5 điểm

2



A =  4 − 10 − 2 5 − 4 + 10 − 2 5 ÷



0,5 điểm

2

= 8 − 2 4 − 10 − 2 5 . 4 + 10 − 2 5
= 8 − 2 6 + 2 5 = 8 − 2. ( 5 + 1) 2

0,5 điểm

= 8 − 2( 5 + 1) = 6 − 2 5 = ( 5 − 1) 2

0,5 điểm

⇒ A = 1 − 5.
Câu 2
B = 2 + 22 + 23 + 24 + ... + 22021 + 22022 . Chứng minh rằng
(2,0 điểm ) Cho
B + 2 không phải là số chính phương.

2
3
4

2021
2022
- Biến đổi: B = 2 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2

⇔ 2 B = 2 ( 2 + 22 + 23 + 24 + ... + 22021 + 2 2022 )

0,5 điểm

⇔ 2 B = 22 + 23 + ... + 22022 + 22023
- Tính được:

0,5 điểm

2 B − B = 22023 − 2 ⇔ B = 22023 − 2
- Tính được:
B + 2 = 22023 − 2 + 2 = 22023
2023

- Lập luận được: Vì 2 là lũy thừa với số mũ lẻ nên 2
khơng là số chính phương.
Vậy B + 2 khơng là số chính phương

0,5 điểm
2023

0,5 điểm


AH ( H ∈ BC )
Câu 3

Cho tam giác ABC , đường cao
. Biết AC = 10cm,
(2,5 điểm )
·
= 300. Tính diện tích tam giác ABC.
BC − AB = 2cm và CAH

0
- Tính được: CH = AC.sin 30 = 5cm

0,5 điểm

AH = AC.cos300 = 5 3cm
2
2
2
- Viết được: AB − HB = AH

(

AB 2 − ( BC − 5 ) = 5 3
2

)

0,5 điểm

2

- Lập luận : BC − AB = 2cm ⇒ AB = BC − 2

0,5 điểm

⇒ ( BC − 2 ) − ( BC − 5 ) = 75
2

2

⇔ ( BC − 2 + BC − 5 ) ( BC − 2 − BC + 5 ) = 75

- Tính được: BC = 16 cm
- Vậy

S ABC

(

AH .BC 5 3.16
=
=
= 40 3 cm 2
2
2

)

0,5 điểm
0,5 điểm

3

Câu 4
Cho a, b, c là các số nguyên thỏa mãn a + b + 20c = c .
(2,0 điểm )
3
3
3
Chứng minh rằng a + b + c chia hết cho 6.

- Biến đổi được:

a + b + 20c = c 3 ⇔ a + b + c = c 3 − c − 18c

⇔ a + b + c = c ( c − 1) ( c + 1) − 18c
6
- Chứng minh được: ⇔ a + b + c = c ( c − 1) ( c + 1) − 18cM

0,5 điểm
0,5 điểm

3
3
3
- Mặt khác: a + b + c − (a + b + c)

= (a − 1)a (a + 1) + (b − 1) b(b + 1) + (c − 1)c(c + 1)M
6

0,5 điểm
0,5 điểm

3
3
3
- Lập luận kết luận a + b + c chia hết cho 6

Câu 5
Trường THCS X có 60 giáo viên. Tuổi trung bình của tất cả
(2,0 điểm ) thầy giáo và cô giáo là 42 tuổi. Biết rằng tuổi trung bình của
các thầy giáo là 50, tuổi trung bình của các cơ giáo là 38. Hỏi
trường THCS X có bao nhiêu thầy giáo, bao nhiêu cô giáo?
- Gọi x và y lần lượt là số cô giáo và số thầy giáo của trường

( x, y ∈ N ; x, y < 60 )
*

THCS X

0,5 điểm
0,25 điểm

- Lập luận được pt: x + y = 60
38 x + 50 y
= 42
60
- Lập luận được pt:

0,5 điểm

 x + y = 60

 x = 40

⇔
 38 x + 50 y
= 42
 y = 20

- Giải hệ pt:  60

0,5 điểm
0,25 điểm

- Trả lời: Cô giáo : 40 , thầy giáo : 20
Câu 6
(1,5 điểm )

 2 x − y − 3 + x 2 − 9 = 0 ( 1)
 2
y − 2 xy + 9 = 0.
( 2)
Giải hệ phương trình: 

- Điều kiện 2 x − y − 3 ≥ 0 ,

0,25 điểm

2
- Phương trình (2) ⇔ ( y − x ) = x − 9
2

1 ⇔
- Phương trình ( )

0,25 điểm
0,25 điểm

2x − y − 3 + ( y − x ) = 0
2

2 x − y − 3 = 0  x = 3
⇒
⇔
y−x=0

y = x

- Kiểm tra điều kiện và kết luận hệ phương trình có nghiệm

0,5 điểm

( 3;3)

0,25 điểm

Câu 7
x 2 + ( m − 1) x − m2 − 2 = 0
Cho
phương
trình:
(*) ( x là ẩn, m là

(2,0 điểm )
tham số). Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm
trái dấu thỏa mãn 2 x1 − x2 = 4 (biết x1 < x2 ).
- Lập luận được phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu thì P <
0
ac = 1.( −m − 2 ) < 0
2

với mọi giá trị m .

nên phương trình có hai nghiệm trái dấu

- Do phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt trái dấu và x1 < x2

0,5 điểm


Suy ra x1 < 0 , x2 > 0 ⇒ x1 = − x1 , x2 = x2

0,5 điểm

2 x1 − x2 = 4 ⇒ −2 x1 − x2 = 4 ( 1)

0,25 điểm

 x1 + x2 = 1 − m (2)

x .x = − m 2 − 2 (3)
- Theo định lí Viet ta có:  1 2

0,25 điểm

do đó từ gt:

 x1 + x2 = 1 − m (2)  x1 = m − 5
⇔

−2 x1 − x2 = 4 (1)

 x2 = 6 − 2m
- Giải hệ
Mà x1 < 0 < x2 nên ta được m < 3 .
- Thay x1 = m − 5 , x2 = 6 − 2m vào (3) ta được phương trình:

0,25 điểm
0,25 điểm

m = 2
⇔
(m − 5)(6 − 2m) = − m − 2  m = 14 .
2

- Kết hợp m < 3 ta được m = 2 thỏa yêu cầu bài tốn.
Câu 8
Cho hình vng ABCD . Vẽ đường trịn tâm O đường kính
(2,5 điểm ) BC
A; AB )
và đường tròn (
chúng cắt nhau tại một điểm thứ hai
CE

là E ( E khác B). Tia
cắt AD tại điểm F . Chứng minh
rằng F là trung điểm của AD .

- Kẻ đoạn nối tâm OA và dây chung BE ⇒ OA ⊥ BE
- Chứng minh được: BE ⊥ CF
- Chứng minh được: OA / / CF
- Chứng minh được tứ giác AOCF là hình bình hành

0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm


⇒ OC = FA .

- Lập luận: từ
AD .

0,5 điểm
OC =

BC AD
AD
=
⇒ AF =
⇒
2
2

2
F là trung điểm của

Câu 9
Cho a, b, c là các số dương và a + b + c = 6. Tìm giá trị nhỏ
(1,5 điểm ) nhất biểu thức:
a3
b3
c3
P= 2
+
+
.
a + 4ab + b 2 b 2 + 4bc + c 2 c 2 + 4ca + a 2

Với

a3
b
≥
a
−
a,b > 0 , ta chứng minh a 2 + b 2
2.

- Áp dụng:

0,25 điểm

( a − b)

2

≥ 0 ⇔ a 2 + b 2 ≥ 2ab ⇔

−1
−1
≥
2
a +b
2ab
2

Khi đó:
a (a 2 + b 2 ) − ab 2
ab 2
ab 2
b
=a− 2
≥a−
=a−
2 =
2
2
2
2
a +b
a +b
2ab
2

a +b
a3

0,25 điểm

b3
c
c3
a
⇒ 2 2 ≥b−
; 2
≥c−
2
b +c
2 c +a
2
Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên ta có:
a3
b3
c3
a+b+c
+ 2 2+ 2
≥
2
2
2
a +b b +c
c +a
2

( a − b)
- Áp dụng:

2

0,25 điểm

≥ 0 ⇔ 2 ( a 2 + b 2 ) ≥ 4ab

Ta có:
a3
a3
1 a3
≥
= .
a 2 + 4ab + b 2 a 2 + 2(a 2 + b 2 ) + b 2 3 a 2 + b 2 ;

0,25 điểm

b3
b3
1 b3
≥
= .
b 2 + 4bc + c 2 b 2 + 2(b 2 + c 2 ) + c 2 3 b 2 + c 2 ;
c3
c3
1 c3
≥
=

.
c 2 + 4ac + a 2 c 2 + 2(c 2 + a 2 ) + a 2 3 c 2 + a 2
Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên ta có:

0,25 điểm


a3
b3
c3
+
+
a 2 + 4ab + b 2 b 2 + 4bc + c 2 c 2 + 4ca + a 2
1  a3
b3
c3  a + b + c
≥  2
+
+
=1
÷≥
3  a + b2 b2 + c 2 c 2 + a 2 
6

0,25 điểm

-Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1, dấu “=” xảy ra khi

a = b = c = 2.
Câu 10

·
ABCD có BAD
> 900 .Gọi H là chân
(2,0 điểm ) Cho hình bình hành
đường vng góc kẻ từ A đến BC . Đường trung tuyến kẻ từ
C của tam giác ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
tại K .Chứng minh rằng bốn điểm K , H , D, C cùng thuộc
một đường tròn.

Gọi M là trung điểm AB .
Để chứng minh bốn điểm K , H , D, C cùng thuộc một đường
·
·
tròn, ta đi chứng minh DKH = DCH .

0,5 điểm

·
·
·
- Chứng minh được: DCH = ABC = AKC
·
·
DKA
= HKM

Khi đó ta đi chứng minh
.
Bài tốn được hồn thành nếu ta chứng minh được tam giác
DKA đồng dạng tam giác HKM.

·
·
= KMH
- Chứng minh được: KAD
Ta có:

(

) (

)

·
·
·
·
KAD
= 180° − KAC
+ 180° − DAC
= KBC
+ ·ACH

·
·
·
·
·
·
KMH
= MHC

+ MCH
= MBC
+ MCA
+ ·ACH = KBC
+ ·ACH
·
·
= KMH
Suy ra KAD
(1)

- Chứng minh được: ∆KMA # ∆BMC

mà

0,5 điểm


⇒

KA
BC
AD
AK MK
=
=
⇒
=
KM BM MH
AD MH (2)

0,5 điểm

·
·
- Từ (1) và (2) suy ra ∆ DKA # ∆HKM ⇒ DKA = HKM
·
·
·
·
·
·
Mà DKH = DKA + AKH = HKM + AKH = AKC
·
·
⇒ DKH
= DCH

0,5 điểm

Và kết luận bốn điểm K , H , D, C cùng thuộc một đường tròn.
(Lưu ý: Học sinh giải cách khác đúng giám khảo phân bước cho điểm tương
ứng)
…………Hết……….