Rèn luyện giải hê phương trình từ BoxMath pot

Rèn Luyện Giải HPT từ BoxMath
1 Giải hệ phương trình:



x
3
y + y
4
= 9
x
2
y + y
3
+ x + y = 6 + xy
2
**** - - - - - - ****
Lời giải
Cách 1 Với x = −y , hệ vô nghiệm. Xét x = −y.Ta có:



x
3
y + y
4
= 9
x
2
y + y

3
+ x + y = 6 + xy
2
⇔



y(x + y)(x
2
+ y
2
− xy) = 9
y(x
2
+ y
2
− xy) = 6 −x −y
⇔



y(x
2
+ y
2
− xy) =
9
x + y
(1)
y(x

2
+ y
2
− xy) = 6 −x −y(2)
Thế (1) vào (2), ta có:
6 −x −y =
9
x+y
⇒ x + y = 3 ⇒ x = 3 −y(3)
Thay (3) vào phương trình (1), ta có:
(3 −y)
3
y + y
4
= 9 ⇔ 3(y − 1)
3
= 0 ⇔ y = 1
Với y = 1, ta có x = 2. Vậy hệ có nghiệm là (2; 1) 
Cách 2 Ta viết hệ lại dưới dạng:



y(x + y)(x
2
− xy + y
2
) = 9(1)
6 −(x + y) = y(x
2
− xy + y

2
)(2)
Thay (2) vào (1) ta được:
(x + y − 3)
2
= 0 ⇔ x + y = 3(3)
Thay (3) vào pt thứ nhất của hệ ta được
(y − 1)
3
= 0 ⇔ y = 1 ⇒ x = 2
Vậy phương trình đã cho có nghiệm (2, 1) 
Cách 3 Từ phương trình thứ 2 của hệ suy ra:
y
3
− xy
2
+ (1 + x
2
)y + x − 6 = 0
Bây giờ đặt f(y) = y
3
− xy
2
+ (1 + x
2
)y + x − 6
=⇒ f

(y) = 3y
2

− 2xy + x
2
+ 1 = 2y
2
+ (x − y)
2
+ 1 > 0, ∀x, y ∈ R
Suy ra hàm f(y) là hàm đồng biến ngặt.
Xét trường hợp : y >
x
2
⇒ f(y) > f

x
2

=
3
8
(x −2) (x
2
+ 2x + 8)
nếu x > 2 thì f(y) > 0 và hệ phương trình vô nghiệm
nếu x < 2 ⇒ f

x
2

< 0 kết hợp với phương trình thứ nhất ta có: y < 1 vô lý
Xét trường hợp: y <

x
2
cũng tương tự như trường hợp 1 và hệ vô nghiệm
Cho nên nếu hệ có nghiệm thì y =
x
2
⇒ x = 2y Khi thay vào hệ thì đựơc: (x; y) = (2; 1)
Vậy hệ có nghiệm là (2; 1) 
boxmath.vn 1

2 Giải hệ phương trình:



4x
2
+ 2y
2
− 8x − 8y + 6 = 0 (1)
8x
2
+ 3y
2
− 8xy − 4y + 1 = 0 (2)
**** - - - - - - ****
Lời giải
Cách 1 Hệ tương đương




2(x −1)
2
+ (y − 2)
2
= 3 (1)
2(2x −y)
2
+ (y − 2)
2
= 3 (2)
Lấy (1) trừ (2), ta được:
(x −1)
2
− (2x − y)
2
= 0 ⇔ (x −y + 1)(3x − y − 1) = 0 ⇔

y = x + 1
y = 3x −1
+ Thế y = x + 1 vào (1), ta được 2(x − 1)
2
+ (x − 1)
2
= 3 ⇔

x = 0 ⇒ y = 1
x = 2 ⇒ y = 3
+ Thế y = 3x − 1 vào (1), ta được 2(x − 1)
2
+ (3x − 3)

2
= 3 ⇔


x = 1 −

3
11
⇒ y = 2 −3

3
11
x = 1 +

3
11
⇒ y = 2 + 3

3
11
Vậy hệ có 4 nghiệm là (0; 1) , (2; 3) ,

1 −

3
11
; 2 − 3

3
11


,

1 +

3
11
; 2 + 3

3
11


Cách 2 Đặt x = a + 1, y = b + 2. Khi đó hệ đã cho trở thành



2a
2
+ b
2
= 3 (1)
8a
2
+ 3b
2
= 8ab + 3 (2)
Thế (1) vào (2) thu được
(a −b)(3a −b) = 0 ⇐⇒ a = b hoặc 3a = b
+ Với a = b thay vào (1) suy ra a = b = ±1;

+ Với b = 3a thay vào (1) suy ra 3a = b = ±3

3
11
.
Từ đó suy ra tập nghiệm của hệ ban đầu
S =

(2; 3), (0; 1),

3

3
11
+ 1; 3

3
11
+ 2

,

−3

3
11
+ 1; −3

3
11

+ 2


Cách 3 Ta có:
(2) −
1
2
(1) là 2(x − y + 1)(3x − y − 1) = 0
TH1: y = x + 1 Thay vào phương trình (1):
4x
2
+ 2(x + 1)
2
− 8x − 8(x + 1) + 6 = 0 ⇔ 6x(x −2) = 0 ⇔ x = 0; x = 2
TH2: y = 3x −1, thay vào (1):
4x
2
+ 2(3x − 1)
2
− 8x − 8(3x − 1) + 6 = 0 ⇔ 11x
2
− 22x + 8 = 0 ⇔ x = 1 ±

3
11
Thay lại, thấy hệ có đúng 4 nghiệm.
Vậy các nghiệm của hệ là: (0; 1) , (2; 3) ,

1 −


3
11
; 2 − 3

3
11

,

1 +

3
11
; 2 + 3

3
11


3 Giải hệ phương trình:



y
4
+ +3y
2
x
2
+ 2yx

3
+ 2x
4
= 2x(1 −y
3
)
x
2
+ y
2
= x(1 −y)
**** - - - - - - ****
Lời giải
(1) ⇔ (x
2
+ y
2
)(2x
2
+ 2xy + y
2
) = 2x ⇔ x(1 − y) [2(x
2
+ xy) + y
2
] = 2x
boxmath.vn 2

⇔ x(1 −y) [2(x − y
2

) + y
2
] = 2x ⇔

x = 0
(1 −y) [2x −y
2
] = 2
+) Với x = 0 thay vào (2) suy ra y = 0
+) Với (1 −y) [2x − y
2
] = 2
Nhận thấy y = 1 không thỏa mãn hệ phương trình nên ta có x =
1
1 −y
+
y
2
2
Thay vào (2) ta được:

1
1 −y
+
y
2
2

2
+ y

2
=

1
1 −y
+
y
2
2

(1 −y) ⇔ y
6
− y
4
− 6y
3
+ 2y
2
+ 8y = 0
⇔ y (y + 1) (y
4
− y
3
− 6y + 8) = 0 ⇔



y = 0
y = −1
y

4
− y
3
− 6y + 8 = 0 (3)
Mặt khác từ (2) suy ra
x = x
2
+ xy + y
4
> 0 ⇒ y ≤ 1 ⇒ y
4
− y
3
− 6y + 8 = (y
3
− 6) (y − 1) + 2 > 0 ⇒ (3) vô nghiệm
∗) Với y = 0 thay vào (2) ta đươc: x
2
− x = 0 ⇔

x = 0
x = 1
∗) Với y = −1 thay vào (2) ta đươc: x
2
− 2x + 1 = 0 ⇔ x = 1
Vậy hệ đã cho có nghiệm (0; 0) ; (1; 0) ; (1; −1) 
4 Giải hệ phương trình:






1
3x
+
2x
3y
=
x +
√
y
2x
2
+ y
(1)
2(2x +
√
y) =
√
2x + 6 −y (2)
**** - - - - - - ****
Lời giải
ĐK: x ≥ −3; y ≥ 0
(1) ⇔
2x
2
+ y
3xy
=
x +

√
y
2x
2
+ y
⇔ (2x
2
+ y)
2
= 3xy

x +
√
y

⇔ 4x
4
+ x
2
y − 3xy
√
y + y
2
= 0
Nhận thấy y = 0 không thỏa mãn hệ nên ta có:
4x
4
y
2
+

x
2
y
−
3x
√
y
+ 1 = 0
Đặt
x
√
y
= t (t ∈ R) ta được:
4t
4
+ t
2
− 3t + 1 = 0 ⇔ (2t −1)
2
(t
2
+ t + 1) = 0 ⇒ t =
1
2
⇒
√
y = 2x ⇒ x ≥ 0
Thay
√
y = 2x vào (2) ta được:

4x
2
+ 8x =
√
2x + 6 ⇔ (4x
2
+ 8x)
2
= 2x + 6 ⇔ 8x
4
+ 32x
3
+ 32x
2
− x − 3 = 0
⇔ (4x
2
+ 10x + 3) (2x
2
+ 3x − 1) = 0 ⇔ x =
−3 +
√
17
4
(do x ≥ 0 ) ⇒ y =
13 −3
√
17
2
Vậy hệ đã cho có nghiệm


−3 +
√
17
4
;
13 −3
√
17
2


5 Giải hệ phương trình:



x
3
y − y
4
= 7
x
2
y + 2xy
2
+ y
3
= 9
**** - - - - - - ****
Lời giải

boxmath.vn 3

HPT ⇔



y(x
3
− y
3
) = 7
y(x + y)
2
= 9
⇒ x > y > 0 ⇒ x =
3
√
y
− y thay vào phương trình đầu ta được:
y



3
4
√
8
√
y
− y


3
− y
3


= 7
Đặt t =
√
y > 0 thì: t
2


3
t
− t
2

3
− t
6

= 7 ⇔ t
9
− (3 − t
3
)
3
+ 7t = 0
Xét hàm số f(t) = t

9
− (3 − t
3
)
3
+ 7t = 0 Ta có: f

(t) = 9t
8
+ 9t
2
(3 −t
3
)
2
+ 7 > 0; ∀t > 0
Vậy hàm số f(t) đồng biến trên khoảng (0; +∞)nên nghiệm của hệ phương trình là duy nhất.
Dễ thấy hệ có nghiệm (2; 1)
6 Giải hệ phương trình:



x
2
y − 4x + y = 0
xy
2
− 2y = 2
**** - - - - - - ****
Lời giải

Hệ phương trình được viết lại dưới dạng:



y =
4x
x
2
+ 1
xy
2
− 2y = 2
Thay phương trình thứ nhất vào hai đưa đến phương trình
x

4x
x
2
+ 1

2
− 2

4x
x
2
+ 1

= 2 ⇐⇒ 2x
4

− 8x
3
+ 4x
2
+ 8x + 2 = 0
x = 0 không là nghiệm của PT nên chia 2 vế cho x
2
2x
2
− 8x + 4 +
8
x
+
2
x
2
⇐⇒ 2

x
2
+
1
x
2

+ 8

x +
1
x


+ 4 = 0
Đặt t = x +
1
x
⇐⇒ |t| ≥ 2 và x
2
+
1
x
2
= t
2
− 2. PT trở thành:
2(t
2
− 2) + 8t + 4 = 0 ⇐⇒ t(t + 4) = 0
Với t = −4 ⇐⇒ x +
1
x
= −4 ⇐⇒ (x + 2)
2
= 3 ⇐⇒ x = −2 ±
√
3 =⇒ y =
−8 ±4
√
3
7 ∓4
√

3
Với t = 0 là chuyện không có
Vậy hệ đã cho có nghiệm

−2 +
√
3;
−8 + 4
√
3
7 −4
√
3

,

−2 −
√
3;
−8 −4
√
3
7 + 4
√
3


7 Giải hệ phương trình:

**** - - - - - - ****

Lời giải
8 Giải hệ phương trình:

**** - - - - - - ****
Lời giải
boxmath.vn 4

9 Giải hệ phương trình:

**** - - - - - - ****
Lời giải
10 Giải hệ phương trình:

**** - - - - - - ****
Lời giải
1 Giải hệ phương trình:

**** - - - - - - ****
Lời giải
2 Giải hệ phương trình:

**** - - - - - - ****
Lời giải
3 Giải hệ phương trình:

**** - - - - - - ****
Lời giải
4 Giải hệ phương trình:

**** - - - - - - ****

Lời giải
5 Giải hệ phương trình:

**** - - - - - - ****
Lời giải
6 Giải hệ phương trình:

**** - - - - - - ****
Lời giải
boxmath.vn 5

7 Giải hệ phương trình:

**** - - - - - - ****
Lời giải
8 Giải hệ phương trình:

**** - - - - - - ****
Lời giải
9 Giải hệ phương trình:

**** - - - - - - ****
Lời giải
10 Giải hệ phương trình:

**** - - - - - - ****
Lời giải
1 Giải hệ phương trình:

**** - - - - - - ****

Lời giải
2 Giải hệ phương trình:

**** - - - - - - ****
Lời giải
3 Giải hệ phương trình:

**** - - - - - - ****
Lời giải
4 Giải hệ phương trình:

boxmath.vn 6

**** - - - - - - ****
Lời giải
5 Giải hệ phương trình:

**** - - - - - - ****
Lời giải
6 Giải hệ phương trình:

**** - - - - - - ****
Lời giải
7 Giải hệ phương trình:

**** - - - - - - ****
Lời giải
8 Giải hệ phương trình:

**** - - - - - - ****

Lời giải
9 Giải hệ phương trình:

**** - - - - - - ****
Lời giải
10 Giải hệ phương trình:

**** - - - - - - ****
Lời giải
1 Giải hệ phương trình:

**** - - - - - - ****
Lời giải
boxmath.vn 7

2 Giải hệ phương trình:

**** - - - - - - ****
Lời giải
3 Giải hệ phương trình:

**** - - - - - - ****
Lời giải
4 Giải hệ phương trình:

**** - - - - - - ****
Lời giải
5 Giải hệ phương trình:

**** - - - - - - ****

Lời giải
6 Giải hệ phương trình:

**** - - - - - - ****
Lời giải
7 Giải hệ phương trình:

**** - - - - - - ****
Lời giải
8 Giải hệ phương trình:

**** - - - - - - ****
Lời giải
9 Giải hệ phương trình:

**** - - - - - - ****
Lời giải
boxmath.vn 8

10 Giải hệ phương trình:

**** - - - - - - ****
Lời giải
1 Giải hệ phương trình:

**** - - - - - - ****
Lời giải
2 Giải hệ phương trình:

**** - - - - - - ****

Lời giải
3 Giải hệ phương trình:

**** - - - - - - ****
Lời giải
4 Giải hệ phương trình:

**** - - - - - - ****
Lời giải
5 Giải hệ phương trình:

**** - - - - - - ****
Lời giải
6 Giải hệ phương trình:

**** - - - - - - ****
Lời giải
7 Giải hệ phương trình:

boxmath.vn 9

**** - - - - - - ****
Lời giải
8 Giải hệ phương trình:

**** - - - - - - ****
Lời giải
9 Giải hệ phương trình:

**** - - - - - - ****

Lời giải
10 Giải hệ phương trình:

**** - - - - - - ****
Lời giải
1 Giải hệ phương trình:

**** - - - - - - ****
Lời giải
2 Giải hệ phương trình:

**** - - - - - - ****
Lời giải
3 Giải hệ phương trình:

**** - - - - - - ****
Lời giải
4 Giải hệ phương trình:

**** - - - - - - ****
Lời giải
boxmath.vn 10

5 Giải hệ phương trình:

**** - - - - - - ****
Lời giải
6 Giải hệ phương trình:

**** - - - - - - ****

Lời giải
7 Giải hệ phương trình:

**** - - - - - - ****
Lời giải
8 Giải hệ phương trình:

**** - - - - - - ****
Lời giải
9 Giải hệ phương trình:

**** - - - - - - ****
Lời giải
10 Giải hệ phương trình:

**** - - - - - - ****
Lời giải
boxmath.vn 11