Ky thuat giai he phuong trinh
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (736.15 KB, 22 trang )
M
T S
K
THU
T GI
I H
PH
NG TRèNH
Luy
n thi
i H
c 2011
Giỏo viờn: Lấ B B
O
T
Toỏn THPT Phong i
n
(lo
i)
M
T S
PHNG PHP
GI
I H
PHNG TRèNH
Tham kh
o T
p chớ THTT 2010
Trong cỏc thi
i h
c nh
ng nm gn õy, ta g
p r
t nhi
u bi toỏn v
h
phng tr
ỡnh
. Nh
m giỳp cỏc b
n ụn thi t
t, bi vi
t ny chỳng tụi xin gi
i thi
u m
t s
d
ng bi v k nng gi
i.
I.H
S
D
NG
PHNG PHP BI
N I TNG NG.
c i
m chung c
a d
ng h
ny l s
d
ng cỏc k nng bin i
ng nh
t
c
bi
t l k nng phõn tớch nhm a m
t PT trong h
v
d
ng n gi
n ( cú th
rỳt
theo
y
ho
c ng
c l
i ) r
i th
vo PT cũn l
i trong h
.
*Lo
i th
nh
t:
Trong h
cú m
t phng trỡnh b
c nh
t v
i
n x ho
c y khi ú ta tỡm
cỏch rỳt y theo x ho
c ng
c l
i.
Vớ d
1. Gi
i h
phng trỡnh
2 2
2
1 1 3 4 1 1
1 2
ỡ
ù
ớ
ù
ợ
x y x y x x
xy x x
Gi
i. D
th
y
0
x
khụng th
a món PT(2) nờn t
(2) ta cú :
2
1
1
x
y
x
thay vo (1) ta
c
2 2
2 2 2 2
1 1
x . 3 4 1 1 2 1 1 3 1
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
x x
x x x x x x x
x x
3 2 3 2
1
1 2 2 1 1 3 1 1 2 2 4 0 0
2
ộ
ờ
ờ
ờ
ở
x
x x x x x x x x x x x
x
T
ú, ta
c cỏc nghi
m c
a h
l : (1;
1) , (
2;
5
2
)
*Lo
i th
hai:
M
t phng trỡnh trong h
cú th
a v
d
ng tớch c
a cỏc phng trỡnh
b
c nh
t hai
n.
Vớ d
2 . Gi
i h
phng trỡnh
2 2
2 1
2 1 2 2 2
ỡ
ù
ớ
ù
ợ
xy x y x y
x y y x x y
Gi
i .
i
u ki
n:
1, 0 x y
PT (1)
2 2
2 0 2 0 x xy y x y x y x y x y
( t
i
u ki
n
ta cú
0
!x y
)
2 1 0 2 1 x y x y
thay vo PT (2) ta
c :
2 2 2 2 1 2 2 0 y 0 2 5
ị y x y y y y do y x
*Lo
i th
ba:
a mt phng trỡnh trong h
v
d
ng phng trỡnh b
c hai c
a m
t
n,
n cũn l
i l
tham s
.
Vớ d
3.
Gi
i h
phng trỡnh
2
2 2
5 4 4 1
5 4 16 8 16 0 2
ỡ
ù
ớ
ù
ợ
y x x
y x xy x y
Gi
i .Bi
n
i PT (2) v
d
ng
2 2
4 8 5 16 16 0
y x y x x
www.VNMATH.com
M
T S
K
THU
T GI
I H
PH
NG TRèNH
Luy
n thi
i H
c 2011
Giỏo viờn: Lấ B B
O
T
Toỏn THPT Phong i
n
Coi PT (2) l phng trỡnh
n y tham s
x ta cú
2
' 9' x
t
ú ta
c nghi
m
5 4 3
4 4
ộ
ờ
ờ
ở
y x
y x
Thay (3) vo (1) ta
c:
2
4
0
5 4 5 4 4
5
0 4
ộ
ị
ờ
ờ
ị
ở
x y
x x x
x y
Thay (4) vo (1) ta
c
:
2
4 0
4 5 4 4
0 4
ị
ộ
ờ
ị
ở
x y
x x x
x y
V
y nghi
m c
a h
l
: (0;4) , (4;0) ,
4
;0
5
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
II.
H
S
D
NG
PHNG PHP
T
N PH
i
m quan tr
ng nh
t trong
h
d
ng
ny l phỏt hi
n
n ph
, ; , a f x y b g x y
cú
ngay trong t
ng phng trỡnh ho
c xu
t hi
n sau m
t phộp bi
n
i h
ng
ng th
c c
b
n ho
c phộp chia cho m
t bi
u th
c khỏc 0.
Vớ d
4
. Gi
i h
phng trỡnh
2
2
1 4 1
1 2 2
ỡ
ù
ớ
ù
ợ
x y y x y
x y x y
Gi
i .
D
th
y
1 y
khụng th
a món PT(1) nờn HPT
2
2
1
4
1
2 1
ỡ
ù
ù
ớ
ổ ử
ù
ỗ ữ
ù
ố ứ
ợ
x
y x
y
x
y x
y
t
2
2
1
, 2
1
ỡ
ị
ớ
ợ
a b
x
a b y x
ab
y
gi
i h
ta
c
1 a b
t
ú ta cú h
2
1
3
ỡ
ớ
ợ
x y
x y
H
ny b
n
c cú th
gi
i d
dng.
Vớ d
5.
Gi
i h
ph
ng tr
ỡnh
2 2
2
3
4 4 7
1
2 3
ỡ
ù
ù
ớ
ù
ù
ợ
xy x y
x y
x
x y
Gi
i .
i
u ki
n :
0 ạx y
HPT
2 2
2
3
3 7
1
3
ỡ
ù
ù
ớ
ù
ù
ợ
x y x y
x y
x y x y
x y
www.VNMATH.com
M
T S
K
THU
T GI
I H
PH
NG TRÌNH
Luy
n thi
i H
c 2011
Giáo viên: LÊ BÁ B
O
T
Toán THPT Phong i
n
t
1
2 ; ³
a x y a b x y
x y
ta đ
c h
2 2
3 13 1
3 2
ì
ï
í
ï
î
a b
a b
Gi
i h
ta đ
c a=2 , b=1 ( do
2
³a
)
t
đó ta có h
1
2
1 1
1 0
1
ì
ì ì
ï
Û Û
í í í
î î
ï
î
x y
x y x
x y
x y y
x y
III.H
S
D
NG
PHNG PHÁP HÀM S
H
lo
i này ta g
p nhi
u
hai d
ng
( ) 0 f x
(1)và
( ) ( ) f x f y
(2) v
i
f
là hàm đn
đi
u trên t
p D và
, x y
thu
c D .Nhi
u khi ta c
n ph
i
đánh giá
n
, x y
đ
, x y
thu
c t
p
mà hàm
f
đn đi
u
* Lo
i th
nh
t:
M
t phng trình trong h
có d
ng
( ) ( ) f x f y
, phng tr
ình còn l
i
giúp ta gi
i h
n
,
x y
thu
c t
p D đ trên đ trên đó hàm
f
đn đi
u
.
Ví d
6 . Gi
i h
phng trình
3 3
8 4
5 5 1
1 2
ì
ï
í
ï
î
x x y y
x y
Gi
i .
T
PT (2) ta có
8 4
1; 1 1; 1£ £ Û £ £x y x y
Xét hàm s
>
@
3
5 ; 1;1
Î f t t t t
có
>
@
2
' 3 5 0; 1;1
5 Î f t t t
do đó
( )f t
ngh
ch bi
n trên
kho
ng (
1;1) hay
PT (1)
Û x y
thay vào PT (2) ta đ
c PT
:
8 4
1 0 x x
t
4
0 ³a x
và gi
i phng trình ta đ
c
4
1 5 1 5
2 2
Þ ±a y x
*Lo
i th
hai:
Là d
ng h
đ
i x
ng lo
i hai mà khi gi
i th
ng d
n đ
n c
hai tr
ng
h
p (1) và (2)
Ví d
7. Gi
i h
phng trình
2 1
2 1
2 2 3 1
2 2 3 1
ì
ï
í
ï
î
y
x
x x x
y y y
Gi
i .
t
1; 1 a x b y
ta đ
c h
2
2
1 3 1
1 3 2
ì
ï
í
ï
î
b
a
a a
b b
Tr
v
v
i v
2 PT ta đ
c :
2 2
1 3 1 3
a b
a a b b
(3)
Xét hàm s
2
2
2
1
1 3 ; ' 3 ln3
1
t t
t t
f t t t f t
t
Vì
2 2 2 /
1 1 0 0,
! ³ Þ ! Þ ! 5t t t t t f t t
do đó hàm s
( )f t
đ
ng
bi
n trên R
Nên PT (3)
Û a b
thay vào PT (1) ta đ
c
2
1 3
a
a a
(4)
Theo nh
n xét trên thì
2
1 0 !a a
nên PT (4)
2
ln 1 ln 3 0
Û a a a
( l
y ln hai v
)
www.VNMATH.com
M
T S
K
THU
T GI
I H
PH
NG TRÌNH
Luy
n thi
i H
c 2011
Giáo viên: LÊ BÁ B
O
T
Toán THPT Phong i
n
Xét hàm s
2
2
1
ln 1 ln 3; g' ln 3 1 ln3 0,
1
5 Î
g a a a a a a R
a
hay hàm
( )
g a
ngh
ch bi
n trên
và do PT (4) có nghi
m
0 a
nên PT (4) có
nghi
m duy nh
t
0 a
T
đó ta đ
c nghi
m c
a h
ban đ
u là
:
1
x y
.
IV.
H
S
D
NG
PHNG PHÁP ÁNH GIÁ
V
i phng pháp này,
c
n lu ý phát hi
n các bi
u th
c không âm và n
m v
ng cách v
n
d
ng các b
t đ
ng th
c c b
n.
Ví d
8 . Gi
i h
phng trình
2
2
3
2
2
3
2
2 9
2
2 9
ì
ï
ï
í
ï
ï
î
xy
x x y
x x
xy
y y x
y y
Gi
i.
C
ng v
v
i v
hai PT
ta đ
c
2 2
2 2
3
3
2 2
2 9 2 9
xy xy
x y
x x y y
(1)
Ta có :
2
2
3
3
2 2
3 3
2 2
2
2 9 1 8 2
2
2 9 2 9
³ Þ £ £
xy xy
xy
x x x xy
x x x x
Tng t
2
3
2
2 9
£
xy
xy
x x
mà theo b
t đ
ng th
c Côsi
2 2
2 ³x y xy
Nên VT(1)
£
VP(1)
D
u b
ng x
y ra khi
x y 1
0
é
ê
ë
x y
th
l
i ta đ
c nghi
m c
a h
là: (0;0) , (1;1)
Ví d
9
. Gi
i h
phng trình
3
3
3 4
2 6 2
ì
ï
í
ï
î
y x x
x y y
Gi
i. HPT
2
3
2
3
2 3 2
2 1 2 1
2 2 3 2
2 2 1 2 2
ì
ì
ï ï
Û Û
í í
ï ï
î
î
y x x
y x x
x y y
x y y
N
u
2!x
t
(1) suy ra
2 0 y
di
u này mâu thu
n v
i PT(2) có
2
x
và
2y
cùng d
u
.
Tng t
v
i
2x
ta cng suy ra đi
u vô lí
. V
y nghi
m c
a h
là
2
x y
.
www.VNMATH.com
M
T S
K
THU
T GI
I H
PH
NG TRÌNH
Luy
n thi
i H
c 2011
Giáo viên: LÊ BÁ B
O
T
Toán THPT Phong i
n
Hy v
ng m
t s
ví d
trên s
giúp b
n ph
n nào k nng gi
i h
.
k
t thúc bài
vi
t m
i các b
n cùng gi
i các h
phng trình sau
BÀI T
P T
LUY
N
3
2 2
3
3 2
2
4 2
3 2
2 3 8
3 2 16
1) 2)
2 4 33
2 6
2 2 1 1
3 9
3) 4)
4 2 3 48 48 155 0
4 1 ln 2
ì
ì
ï
í í
î
ï
î
ì
ï
í
ï
î
x y
xy x y
x y x y
x y
x x y x y
x y
y x y y x
y x y x 0
ì
ï
í
ï
î
3 2
2 2
2 2
2 2 2
2
3 2
2
2
2 4 1 3 5
5) 6)
0
44
2007
2 0
1
7) 8)
2 3 6 12 13 0
2007
1
ì
ì
ï ï
í í
ï
ï
î
î
ì
ï
ì
ï
í í
ï
ï
î
x
y
x y
x x x y y y
x xy y y
x y x y
y
e
x y x y
y
x
x x y x
e
x
ï
ï
î
www.VNMATH.com
M
T S
K
THU
T GI
I H
PH
NG TRèNH
Luy
n thi
i H
c 2011
Giỏo viờn: Lấ B B
O
T
Toỏn THPT Phong i
n
M
T S
CH í
KHI GI
I H
PHNG TRèNH
Tham kh
o T
p chớ THTT 400- 2010
Bi toỏn 1:
(A- 2008) Gi
i h
phng tr
ỡnh:
2 3 2
4 2
5
4
5
1 2
4
x y x y xy xy
x y xy x
ỡ
ù
ù
ớ
ù
ù
ợ
L
i gi
i:
H
ó cho tng ng v
i
2 3 2
2
2
5
4
5
4
x y x y xy xy
x y xy
ỡ
ù
ù
ớ
ù
ù
ợ
Suy ra
2
2 2 2
x y xy x y x y
2 2
1 0x y x y xy
a)
2
2
0
0
5
4
x y
x y
xy
ỡ
ù
ị
ớ
ù
ợ
(I)
H
(I) cú nghi
m
3
3
5 25
; ;
4 16
x y
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
b)
2
2
1
2
1 0
3
2
x y
x y xy
xy
ỡ
ù
ù
ị
ớ
ù
ù
ợ
(II)
H
(II) cú nghi
m
3
; 1;
2
x y
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
V
y h
ó cho cú hai nghi
m
;
x y
l
3
3
5 25
;
4 16
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
;
3
1;
2
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
.
Bi toỏn 2:
(B- 2009) Gi
i h
phng trỡnh:
2 2 2
1 7
1 13
xy x y
x y xy y
ỡ
ớ
ợ
L
i gi
i: D
th
y
0y ạ
nờn h
ó cho tng ng v
i
2
2
2
1
1
7
7
1
1
13
13
x
x
x
x
y y
y y
x
x
x
x
y y
y y
ỡ
ỡ
ù
ù
ù ù
ớ ớ
ổ ử
ù ù
ỗ ữ
ù ù
ợ
ố ứ
ợ
www.VNMATH.com
M
T S
K
THU
T GI
I H
PH
NG TRèNH
Luy
n thi
i H
c 2011
Giỏo viờn: Lấ B B
O
T
Toỏn THPT Phong i
n
Suy ra
2
1 1
20 0x x
y y
ổ ử ổ ử
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
.
a)
1
5
1
5
12
x
y
x
y
x y
ỡ
ù
ị
ớ
ù
ợ
(H
vụ nghi
m)
b)
1
4
1
4
3
x
y
x
y
x y
ỡ
ù
ị
ớ
ù
ợ
. Tr
ng h
p ny h
cú hai nghi
m
1
; 1;
3
x y
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
v
; 3;1
x y
.
Nh
n xột:
Qua hai vớ d
thi tuy
n sinh nờu trờn, chỳng ta th
y r
ng ụi khi ch
c
n
bi
n i c b
n, d
a vo cỏc h
ng
ng th
c l cú th
c k
t qu
. Ta xột ti
p cỏc vớ d
ũi h
i cỏc phộp bi
n
i ph
c t
p hn.
Bi toỏn 3:
Gi
i h
phng trỡnh:
12
1 2
3
12
1 6
3
x
y x
y
y x
ỡ
ổ ử
ù
ỗ ữ
ùố ứ
ớ
ổ ử
ù
ỗ ữ
ù
ố ứ
ợ
L
i gi
i:
i
u ki
n
0, 0, 3 0x y y x! ! ạ
. H
ó cho tng ng v
i
1 3
12 2
1
1
3
12 6
1 3 12
1
3
3
x y
y x
x
y x
y
y x
x y
ỡ
ỡ
ù
ù
ù ù
ớ ớ
ù ù
ù ù
ợ
ợ
Suy ra
2
2 2
1 9 12
6 27 0 6 27 0.
3
y y
y xy x
x y y x x x
ổ ử ổ ử
ị ị
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
Tỡm
c
3
y
x
v
9
y
x
(lo
i). V
i
3
y
x
ta
c
2 2
1 3 ; 3 1 3
x y
.
Bi toỏn 4:
Gi
i h
phng trỡnh:
log log (1)
2 2 3 (2)
y x
x y
xy y
ỡ
ù
ớ
ù
ợ
L
i gi
i:
i
u ki
n
0, 0, 1, 1
x y x y! ! ạ ạ
.
T
(1) cú
2
2 0t t
v
i
log
y
t x
.
a) V
i
log 1
y
x
, ta
c
2
3
log
2
x y
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
.
b) V
i
log 2
y
x
, ta
c
2
1
x
y
. Th
vo (2)
c
2
1
2 2 3 (3)
y
y
Tr
ng h
p ny PT (3) vụ nghi
m. Th
t v
y:
+ N
u
1
y !
thỡ
2 2
1 1
2 2; 2 1 2 2 3
y y
y y
! ! ị !
.
www.VNMATH.com
M
T S
K
THU
T GI
I H
PH
NG TRèNH
Luy
n thi
i H
c 2011
Giỏo viờn: Lấ B B
O
T
Toỏn THPT Phong i
n
+ N
u
0 1y
thỡ
2
1
1
y
!
suy ra:
2 2
1 1
2 1; 2 2 2 2 3
y y
y y
! ! ị !
.
V
y h
ó cho ch
cú m
t nghi
m
2 2
3 3
; log ;log
2 2
x y
ổ ử
ổ ử ổ ử
ỗ ữ ỗ ữ
ỗ ữ
ố ứ ố ứ
ố ứ
.
Bi toỏn 5:
(D
b
D- 2008) Gi
i h
phng trỡnh:
2 2
2 2
2 2
36 60 25 0
36 60 25 0
36 60 25 0
x y x y
y z y z
z x z x
ỡ
ù
ớ
ù
ợ
L
i gi
i: H
ó cho tng ng v
i
2
2
2
2
2
2
60
36 25
60
36 25
60
36 25
x
y
x
y
z
y
z
x
z
ỡ
ù
ù
ù
ớ
ù
ù
ù
ợ
Hi
n nhiờn h
ny cú nghi
m
; ; 0;0;0 .
x y z
Di õy ta xột
, , 0x y z ạ
.
T
h
trờn ta th
y
, , 0x y z !
. S
d
ng b
t
ng th
c Cauchy ta cú:
2 2 2
2
2
60 60 60
36 25 60
2 36 .25
x x x
y x
x x
x
Ê
.
Tng t ta thu
c
y x z y
Ê Ê Ê
. Suy ra
x y z
. T
ú suy ra h
cú m
t nghi
m n
a
5
.
6
x y z
Bi toỏn 6:
Gi
i h
phng trỡnh:
3
4
1 8
1
x y x
x y
ỡ
ù
ớ
ù
ợ
L
i gi
i:
k
1, 0.x y
Th
y
t
PT(2) vo PT(1) ta
c
2
3
1 1 8 (3)
x x x
T
(3) cú
3 2
1 2 9 (4)x x x x
Xột hm s
3 2
( ) 2 9 1f x x x x x
. Ta cú
/ 2
( ) 3 2 2 0 1f x x x x 5
.
Suy ra hm s
( )
f x
luụn luụn ngh
ch bi
n khi
1x
.
M
t khỏc, hm s
( ) 1g x x
luụn ngh
ch bi
n khi
1x
nờn
2x
l nghi
m duy
nh
t c
a PT(4).
V
y h
cú m
t nghi
m duy nh
t
; 2;1x y
.
Nh
n xột:
i v
i bi toỏn trờn, dung cụng c
o hm
gi
i quy
t l r
t hay, tuy
nhiờn, ta c
ng cú th trỏnh c
o hm b
ng cỏch bi
n
i khộo lộo
nh sau:
www.VNMATH.com
M
T S
K
THU
T GI
I H
PH
NG TRèNH
Luy
n thi
i H
c 2011
Giỏo viờn: Lấ B B
O
T
Toỏn THPT Phong i
n
2
3
2
2
PT(3) 1 1 1 1 8 0
2
2 2 2 4 0
1 1
1
2 Do 2 4 0, 1
1 1
x x x
x
x x x x x
x
x x x x
x
ộ ự
ở ỷ
ổ ử
! 5
ỗ ữ
ố ứ
Di õy, xin nờu mt bi toỏn trong
thi tuy
n sinh
i h
c g
n nh
t m n
u khụng
dựng
n cụng c
o hm thỡ khú cú th
gi
i quy
t
c.
Bi toỏn 7:
(A- 2010) Gi
i h
phng trỡnh:
2
2 2
4 1 3 5 2 0 (1)
4 2 3 4 7 (2)
x x y y
x y x
ỡ
ù
ớ
ù
ợ
L
i
gi
i:
k
3 5
;
4 2
x yÊ Ê
.
2
PT(1) 4 1 2 5 2 1 5 2x x y y
t
2 2
2
1 1
5 2
x u
u u v v
y v
ỡ
ù
ị
ớ
ù
ợ
.
Hm
2
( ) 1f t t t
cú
/ 2
( ) 3 1 0f t t !
nờn
( )
f t
luụn
ng bi
n trờn
, suy ra:
2
0
2 5 2
5 4
2
x
u v x y
x
y
ỡ
ù
ớ
ù
ợ
Th
y
vo PT (2) ta
c:
2
2 2
5
4 2 2 3 4 0 (3)
2
x x x
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
Nh
n th
y
0x
v
3
4
x
khụng ph
i l nghi
m c
a PT (3). Xột hm s
:
2
2 2
5
( ) 4 2 2 3 4
2
g x x x x
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
trờn
3
0;
4
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
.
Ta cú
/ 2 2
5 4 4
( ) 8 8 2 4 4 3 0
2
3 4 3 4
g x x x x x x
x x
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
trờn
3
0;
4
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
.
Suy ra
( )g x
ngh
ch bi
n trờn
3
0;
4
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
. Nh
n th
y
1
0
2
g
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
, nờn PT(3) cú nghi
m duy
nh
t
1
2
x
. V
i
1
2
x
thỡ
2y
. V
y h
ó cho cú m
t nghi
m
1
; ;2
2
x y
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
.
Bi toỏn 8: Gi
i h
phng trỡnh:
5 4 10 6
2
(1)
4 5 8 6 (2)
x xy y y
x y
ỡ
ù
ớ
ù
ợ
L
i gi
i:
Hi
n nhiờn
0
y ạ
. Chia h
ai v
c
a PT(1) cho
5
0y ạ
ta
c
5
5
x x
y y
y y
ổ ử ổ ử
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
.
www.VNMATH.com
M
T S
K
THU
T GI
I H
PH
NG TRÌNH
Luy
n thi
i H
c 2011
Giáo viên: LÊ BÁ B
O
T
Toán THPT Phong i
n
Hàm s
5
( )f t t t
có
/ 4
( ) 5 1 0, f t t t ! 5
nên hàm s
( )f t
luôn đ
ng bi
n nên
2
.
x
y x y
y
Û
Th
2
x y
vào PT(2) ta đ
c
4 5 8 6x x
. Tìm đ
c
1x
.
V
y h
có hai nghi
m
; 1;1x y
và
; 1; 1x y
.
BÀI T
P T
LUY
N:
Gi
i các h
phng trình sau:
4 3 2 2 4 3 2 2
3 2 2
1 2 2 9
1) 2)
1 2 6 6
2 6 2
11 1
3) 4)
7 6 26 3
2 3 2
x x y x y x x y x y x
x y x xy x xy x
x
y x y
x y y x
y
y x y x
x x y x y
ì ì
ï ï
í í
ï ï
î î
ì
ì
ï
ï
í í
ï
ï
î
î
2
2
2 2
2 2
1
1
2 3 4 6
2
2 2
12 20 0
5)
6)
ln 1 ln 1
2 2
3
2 2
2 2
2
7) 8)
2 1
2 2 4 1 0
x y x
x
y
x
x xy y
x y y x
x y x y
x y
x y y x x
xy
x y x
x y x x y x
ì
ì
ï ï
í í
ï
ï
î
î
ì
ï
ï
í
ï
ï
î
2
3 2 3
3
1
3 3 2
9)
2 1
log log 3
1 2
y x
x x y y
x y
x
y x
ì
ï
í
ï
î
ì
ï
í
æ ö
æ ö
ç ÷
ç ÷
ï
è ø
è ø
î
www.VNMATH.com
Chuyờn
H
PHNG TRèNH
Luyn thi i hc 2011
Giỏo viờn:
Lấ B BO
T Toỏn THPT Phong in
H
PHNG TRèNH I S
Dng1:
H
PH
NG TRèNH B
C
NH
T
HAI
N
Dng tng quỏt:
1 1 1
2 2 2
(*)
a X b Y c
a X b Y c
ỡ
ớ
ợ
Phng
phỏp:
Thụng th
ng
c
ú 3 ph
ng ph
ỏp
gi
i
h
ph
ng tr
ỡnh d
ng
(*).
Cỏch 1: Ph
ng ph
ỏp th
.
Cỏch 2: Ph
ng phỏp c
ng
i
s
.
Cỏch 3:
Phng phỏp dựng nh thc
.
Kớ hi
u
:
1 1 1 1 1 1
1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1
2 2 2 2 2 2
, ,
X Y
a b c b a c
D a b a b D c b c b D a c a c
a b c b a c
TH1:
0 :
D ạ
H
cú nghi
m
duy nh
t
X
Y
D
X
D
D
Y
D
ỡ
ù
ù
ớ
ù
ù
ợ
TH2:
0 : Và 0
X Y
D D D
: H
cú vụ s
nghi
m
d
ng
^ `
0 0 1 0 1 0 1
;
X Y a X b Y c
TH3:
0 : Hoặc , hoặc 0. Hệ vô nghiệm.
X Y
D D D ạ
Bi t
p
:
Gi
i
c
ỏc h
ph
ng tr
ỡnh sau:
1)
6 5
3
9 10
1
x y
x y
ỡ
ù
ù
ớ
ù
ù
ợ
2)
6 2
3
2 2
3 4
1
2 2
x y x y
x y x y
ỡ
ù
ù
ớ
ù
ù
ợ
3)
6 3 2
5
1 1
4 2 4
2
1 1
x y
y x
x y
y x
ỡ
ù
ù
ớ
ù
ù
ợ
4)
2
2
2 2 1 3
2 1 4
x x y
x x y
ỡ
ù
ớ
ù
ợ
5)
3 6
1
1 2
2 3
7
1 2
x x
y y
x x
y y
ỡ
ù
ù
ớ
ù
ù
ợ
6)
2 3 7
5
2 3
1 3 1
5
2 3
x y
x y
x y
x y
ỡ
ù
ù
ớ
ù
ù
ợ
7)
1 1
3 2 6
1 1
3 2 4
x y
x y
x y
x y
ỡ
ổ ử
ù
ỗ ữ
ù ố ứ
ớ
ổ ử
ù
ỗ ữ
ù
ố ứ
ợ
8)
4 1
3
1
2 2
4
1
x y
x y
ỡ
ù
ù
ớ
ù
ù
ợ
9)
3( )
7
5 5
3
x y
x y
x y
y x
ỡ
ù
ù
ớ
ù
ù
ợ
10)
8 1
17
7 3
x y
x y xy
ỡ
ù
ớ
ù
ợ
11)
2
2
3 1
2 7 15
x y
x y
ỡ
ù
ớ
ù
ợ
12)
2
2
5
2(4 ) 2
2
4 4
x
y
x
y
ỡ
ù
ù
ớ
ù
ù
ợ
13)
1 0
2 1
x y
x y
ỡ
ù
ớ
ù
ợ
14)
1 2 1
1 3
x y
x y
ỡ
ù
ớ
ù
ợ
15)
2 2
2 3 1
x y
x y
ỡ
ù
ớ
ù
ợ
www.VNMATH.com
Chuyên
đ
H
PHNG TRÌNH
Luyn thi i hc 2011
Giáo viên:
LÊ BÁ BO
T Toán THPT Phong in
Dng
2:
H gm mt phng trình bc hai và mt phng trình bc nht
Dng tng quát:
2 2
0
0
ax by cxy dx fy e
Ax By C
ì
í
î
Phng
pháp:
T phng trình bc nht, rút mt n theo n còn li và thay vào phng
trình bc hai.
Bài tp
:
Gi
i
c
ác h
ph
ng tr
ình sau:
1)
2 2
2 7 0
2 2 4 0
x y
y x x y
ì
í
î
2)
2
4 9 6
3 6 3 0
x y
x xy x y
ì
í
î
3)
2
2
2 1 0
12 2 10 0
x x y
x x y
ì
ï
í
ï
î
4)
2
2 1 2 2 0
3 1 0
x y x y
xy y y
ì
ï
í
ï
î
5)
2 2
2 3 7 12 1
1 0
x xy y y y
x y
ì
í
î
6)
2 3 2 5 3 0
3 1
x y x y
x y
ì
ï
í
ï
î
7)
2 2
11 5
2 3 12
x y
x y
ì
í
î
8)
2 2
9 4 6 42 40 135 0
3 2 9 0
x y xy x y
x y
ì
í
î
9)
2 2
7 9 12 5 3 5 0
2 3 1
x y xy x y
x y
ì
í
î
10)
2 2
6 2 0
8 0
x y x y
x y
ì
í
î
11)
2 2
2 6
2 3
x xy y x y
x y
ì
í
î
12)
2
10
2 5
x xy x
x y
ì
í
î
13)
3
2
1 2
4
x y x y
x y
x y
ì
ï
í
ï
î
14)
2 2
1 1 1
3 2 3
1 1 1
9 4 4
x y
x y
ì
ï
ï
í
ï
ï
î
15)
2
2
1 1 1
1 3
1 1 1
4
1
x y
y
x
ì
ï
ï
í
ï
ï
î
16)
4 2
4 117 0
25
x y x y
x y
ì
ï
í
ï
î
17)
3 3
1
7
x y
x y
ì
í
î
18)
2 2
18 18 18 17 12 12 1 0
3 4 0
x x y x xy
x y
ì
ï
í
ï
î
19)
2 2
45
5
x y x y
x y
ì
ï
í
ï
î
www.VNMATH.com
Chuyên
đ
H
PHNG TRÌNH
Luyn thi i hc 2011
Giáo viên:
LÊ BÁ BO
T Toán THPT Phong in
Dng
3:
H
I
X
NG
LO
I 1
Dng tng quát:
; 0
; 0
f X Y
g X Y
ì
ï
í
ï
î
(*)
Trong
đó
hoán v
gi
a
,
X Y
th
ì bi
u
th
c
; , ;f X Y g X Y
không thay đi
.
Phng
pháp:
+
t
.
S X Y
P X Y
ì
í
î
. Thay vào h
(*), t
ìm ra
,
S P
.
+ Lúc
đó
,
,
X Y
l
à nghi
m
c
a
ph
ng trình
2
0t St P
(1)
Các nhn xét:
* Do tính
đi
x
ng
c
a
, X Y
nên n
u
ph
ng trình (1) có các nghi
m
1 2
, t t
th
ì h
(*) có nghi
m
1 2 2 1
; , ;
t t t t
.
* C
ng
do tính
đi
x
ng
nên
đ
h
(*) có nghi
m
duy nh
t
thì
điu kin
c
n
là
X Y
(thay
vào h tìm tham s, sau đó thay vào h (*) đ tìm điu kin đ
)
* Do
, X Y
là nghi
m
c
a
ph
ng trình
2
0t St P
n
ên
điu kin cn và đ
đ
h
(*) có nghi
m
là:
Phng trình (1) có nghim trên tp giá tr ca
, X Y
.
Bài tp
:
Gi
i
c
ác h
ph
ng tr
ình sau:
1)
2 2
4
2
x xy y
x xy y
ì
í
î
2)
2 2
5
13
x xy y
x y xy
ì
í
î
3)
2 2
4 2 2 4
7
21
x xy y
x x y y
ì
ï
í
ï
î
4)
2 2
4 2 2 4
5
13
x y
x x y y
ì
ï
í
ï
î
5)
6
12
2 2 2
3
x y z
xy yz zx
x y z
ì
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
î
6)
2 2
2 2
1 1
5
1 1
9
x y
x y
x y
x y
ì
ï
ï
í
ï
ï
î
7)
*
2 2
2 2
1 1
4
1 1
4
x y
x y
x y
x y
ì
ï
ï
í
ï
ï
î
8)
2 2
7
5
x xy y
x y
ì
í
î
9)
2 2
18
12
x y
y x
x y
ì
ï
í
ï
î
9)*
2 2 2
4
3
2
x y z
x y z
xyz
ì
ï
í
ï
î
10)
3 3
7
( ) 2
x y
xy x y
ì
í
î
11)
3 3 3
1
4
1
x y z
xy yz xz
x y z
ì
ï
í
ï
î
12)*
2 2 2
6
7
14
x y z
xy yz xz
x y z
ì
ï
í
ï
î
13)
4 4
2 2
17
3
x y
x y xy
ì
ï
í
ï
î
14)
2 2
5
6
x xy y
x y xy
ì
í
î
15)
2 2
18
( 1). ( 1) 72
x x y y
x x y y
ì
í
î
16)
3 3
19
( )(8 ) 2
x y
x y xy
ì
í
î
17)
2 2
7
2
5
2
x y xy
x y xy
ì
ï
ï
í
ï
ï
î
18)
9
( )
20
x
x y
y
x y x
y
ì
ï
ï
í
ï
ï
î
www.VNMATH.com
Chuyên
đ
H
PHNG TRÌNH
Luyn thi i hc 2011
Giáo viên:
LÊ BÁ BO
T Toán THPT Phong in
19)
3
( )
2
x
x y
y
x y x
y
ì
ï
ï
í
ï
ï
î
20)
2 2
19
7
x xy y
x xy y
ì
í
î
21)
2 2
11
3( ) 28
x y xy
x y x y
ì
í
î
22)
2 2
1
1
2
x y
x y
ì
ï
í
ï
î
23)
2
( 2)(2 ) 9
4 6
x x x y
x x y
ì
í
î
24)
2 2
2 2
1 1
5
1 1
49
x y
x y
x y
x y
ì
æ ö
ï
ç ÷
ï è ø
í
æ ö
ï
ç ÷
ï
è ø
î
25)
11
6 6
11
x y xy
xy
x y
ì
ï
í
ï
î
26)
5 5
9 9 4 4
1x y
x y x y
ì
ï
í
ï
î
27)
2 2
2 2 4 4
3 5
7 155
xy x y
x y x y
ì
ï
í
ï
î
28)
30
35
x y y x
x x y y
ì
ï
í
ï
î
29)
4
4
x y
x y xy
ì
ï
í
ï
î
30)
7
1
78
x y
y x
xy
x xy y xy
ì
ï
í
ï
î
31)
1 1 3
1 1 1 1 6
x y
x y y y y x
ì
ï
í
ï
î
32)
1 1 1
3
1 1 1
3
1
1
x y z
xy yz zx
xyz
ì
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
î
Dng 3:
H
I
X
NG
LO
I
2
H
ph
ng trình
đc
g
i
là h
đi
x
ng
lo
i
2 khi thay
X
b
i
Y
ho
c thay
Y
b
i
X
thì h phng trình không thay đi.
D
ng tng quát:
; 0
(*)
; 0
f X Y
f Y X
ì
ï
í
ï
î
Phng
pháp:
N
u
;f X Y
là
đ
a th
c
thì thông th
ng
h
(*)
đc
gi
i
nh
sau:
Bi
n
đi
(*)
; ; 0 . ; 0
; 0 ; 0
f X Y f Y X X Y g X Y
f X Y f X Y
ì ì
ï ï
Û Û
í í
ï ï
î î
Bài tp
: Gi
i
các h
ph
ng trình sau:
1)
3
3
3 8
3 8
x x y
y y x
ì
ï
í
ï
î
2)
4
3
4
3
y
x y
x
x
y x
y
ì
ï
ï
í
ï
ï
î
3)
3
3
3
4
2
3
4
2
x x y
y y x
ì
ï
ï
í
ï
ï
î
4)
2 2
2 2
2 5 4
2 5 4
x y y
y x x
ì
ï
í
ï
î
www.VNMATH.com
Chuyên
đ
H
PHNG TRÌNH
Luyn thi i hc 2011
Giáo viên:
LÊ BÁ BO
T Toán THPT Phong in
4)
3
3
2
2
x x y
y y x
ì
ï
í
ï
î
5)
2
2
2
2
2
3
2
3
y
y
x
x
x
y
ì
ï
ï
í
ï
ï
î
6)
1 3
2
1 3
2
x
y x
y
x y
ì
ï
ï
í
ï
ï
î
7)
2 2
2 2
2 3 2
2 3 2
x x y
y y x
ì
ï
í
ï
î
7)
2
2
1
2
1
2
x y
y
y x
x
ì
ï
ï
í
ï
ï
î
8)
2
2
2 4
2 4
x x y
y y x
ì
ï
í
ï
î
9)
2
2
2 4 5
2 4 5
x y y
y x x
ì
ï
í
ï
î
10)
2
2
3 2
3 2
x x y
y y x
ì
ï
í
ï
î
11)
2
2
x x y
y y x
ì
ï
í
ï
î
12)
2
2
1
1
xy x y
yx y x
ì
ï
í
ï
î
13)
2 2
2 2
2 2
2 2
x y x y
y x y x
ì
ï
í
ï
î
14)
3
3
y x
x y
ì
ï
í
ï
î
D
ng 4:
H PHNG TRÌNH NG CP
H
ph
ng trình
đi
s
đng cp bc hai theo
, x y
.
Dng tng quát:
2 2
1 1 1 1
2 2
2 2 2 2
a x b xy c y d
a x b xy c y d
ì
ï
í
ï
î
(*)
Phng
pháp:
+ Gi
i
h
khi
0x
.
+ Khi
0x ¹
,
đ
t
y tx
th
vào h
(*), kh
x
đc
ph
ng trình theo
t
.
+ Gi
i
t
, r
i
tìm
, x y
.
Bi
n đi:
2
2 2
2
1 1 1 1
1 1 1 1
2
2 2
2
2 2 2 2
2 2 2 2
(1)
(1)
. LËp tû
(2)
(2)
x a b t c t d
a x b tx c tx d
x a b t c t d
a x b tx c tx d
ì
ì
ï ï
Û
í í
ï ï
î
î
Bài tp
:
Gi
i
các h
ph
ng trình sau:
1)
2 2
2 2
3 1
3 3 13
x xy y
x xy y
ì
ï
í
ï
î
2)
2 2
2 2
3 2 11
2 3 17
x xy y
x xy y
ì
ï
í
ï
î
3)
3 3
7
2
x y
xy x y
ì
ï
í
ï
î
4)
2 2
5
2 5 2
2
x xy y
y x
x y xy
ì
ï
í
ï
î
5)
3 2 3
3 2 3
1
2 2
x xy y
x x y y
ì
ï
í
ï
î
6)
2 2
2 3 0
2
x xy y
x x y y
ì
ï
í
ï
î
7)
2 2
2 2
3 5 5 37
5 9 3 15
x xy y
x xy y
ì
ï
í
ï
î
8)
2 2
2 2
4 2 1
2 4
x xy y
x xy y
ì
ï
í
ï
î
9)
3 2 2 3
3 2 2
3 6
3 2 2
x x y xy y
y x y xy
ì
ï
í
ï
î
10)
2 2
2 2
3 1
2 2 8
x xy y
x xy y
ì
ï
í
ï
î
11)
2 2
2 2
2 3 2
2 4
x xy y
x xy y
ì
ï
í
ï
î
12)
3 3
2 2
7
2 3 16
y x
x y xy
ì
ï
í
ï
î
13)
3 3
2 2 3
1
2 2
x y
x y xy y
ì
ï
í
ï
î
14)
2 2
2 2
3 5 4 3
9 11 8 13
x xy y
y xy x
ì
ï
í
ï
î
15)
2 2
2 2
13
25
x y x y
x y x y
ì
ï
í
ï
î
www.VNMATH.com
Chuyên
đ
H
PHNG TRÌNH
Luyn thi i hc 2011
Giáo viên:
LÊ BÁ BO
T Toán THPT Phong in
THI I HC T 2002
-
2010
Chuyên đ
:
H
PHNG TRÌNH
1) (B- 2002)
Gi
i h phng trình
:
3
2
x y x y
x y x y
ì
ï
í
ï
î
2) (D- 2002)
Gii h phng trình
:
3 2
1
2 5 4
4 2
2 2
x
x x
x
y y
y
ì
ï
í
ï
î
3)
(D
b
-
2002)
Gi
i h phng trìn
h
:
4 2
4 3 0
log log 0
x y
x y
ì
ï
í
ï
î
4)
(D b
- 2002)
Gii h phng trình
:
3 2
3 2
log 2 3 5 3
log 2 3 5 3
x
y
x x x y
y y y x
ì
ï
í
ï
î
5)
(A- 2003)
Gi
i h phng trình
:
3
1 1
2 1
x y
x y
y x
ì
ï
í
ï
î
6)
(D b
- 2003)
Gii h phng trình
:
log log
2 2 3
y x
x y
xy y
ì
ï
í
ï
î
7)
(B- 2003)
Gii h phng trình
:
2
2
2
2
2
3
2
3
y
y
x
x
x
y
ì
ï
ï
í
ï
ï
î
8) (A- 2004)
Gii h phng trình
:
1 4
4
2 2
1
log log 1
25
y x
y
x y
ì
ï
í
ï
î
9) (D- 2004) Tìm
m
đ
h
sau c
ó nghi
m
:
1
1 3
x y
x x y y m
ì
ï
í
ï
î
10)
(D- 2005)
Gi
i h phng trình
:
2 3
9 3
1 2 1
3log 9 log 3
x y
x y
ì
ï
í
ï
î
11)
(D b
- 2005)
Gii h phng trình
:
2 2
4
( 1) ( 1) 2
x y x y
x x y y y
ì
í
î
12)
(D b
- 2005)
Gii h phng trình
:
2 1 1
3 2 4
x y x y
x y
ì
ï
í
ï
î
13
) (A- 2006)
Gi
i h phng trình
:
3
1 1 4
x y xy
x y
ì
ï
í
ï
î
14)
(D
b
-
2006)
Gi
i h phng trình
:
2
2
1 ( ) 4
1 2
x y y x y
x y x y
ì
ï
í
ï
î
15)
(D b
- 2006)
Gii h phng trình
:
3 3
2 2
8 2
3 3 1
x x y y
x y
ì
ï
í
ï
î
16) (D- 2006) CMR:
0a5 !
, h
ph
ng
tr
ình sau có duy nh
t
nghi
m
:
ln 1 ln 1
x y
e e x y
y x a
ì
ï
í
ï
î
17)
(D b
- 2006)
Gii h phng trình
:
2 2
2 2 2
3( )
7( )
x xy y x y
x xy y x y
ì
ï
í
ï
î
18)
(D b
- 2006)
Gii h phng trình
:
2 2
ln 1 ln 1
12 20 0
x y x y
x xy y
ì
ï
í
ï
î
19)
(D
b
-
2006)
Gi
i h phng trình
:
2 2
2 2
13
25
x y x y
x y x y
ì
ï
í
ï
î
www.VNMATH.com
Chuyên
đ
H
PHNG TRÌNH
Luyn thi i hc 2011
Giáo viên:
LÊ BÁ BO
T Toán THPT Phong in
20)
(D b
- 2007)
Gii h phng trình
:
2 1
2 1
2 2 3 1
2 2 3 1
y
x
x x x
y y y
ì
ï
í
ï
î
21)
(D b
- 2007) Gi
i h phng trình
:
4 3 2 2
3 2
1
1
x x y x y
x y x xy
ì
ï
í
ï
î
22)
(D b
- 2007) CMR
: H
ph
ng trình
sau có 2 nghi
m
tho
0, 0
x y! !
.
2
2
2007
1
2007
1
x
y
y
e
y
x
e
x
ì
ï
ï
í
ï
ï
î
23)
(D
b
-
2007)
Gi
i h phng trình
:
2
2
3
2
2
3
2
2 9
2
2 9
xy
x x y
x x
xy
y y x
y y
ì
ï
ï
í
ï
ï
î
24) (A- 2008)
Gi
i h phng trình
:
2 3 2
4 2
5
4
5
(1 2 )
4
x y x y xy xy
x y xy x
ì
ï
ï
í
ï
ï
î
25) (B- 2008)
Gi
i h phng trình
:
4 3 2 2
2
2 2 9
2 6 6
x x y x y x
x xy x
ì
ï
í
ï
î
26) (D- 2008)
Gii h phng trình
:
2 2
2
2 1 2 2
x y xy x y
x y y x x y
ì
ï
í
ï
î
27)
H
-A-2009
. Gii h phng trình:
2 2
2 2
2 2
log ( ) 1 log ( )
3 81
x y xy
x y xy
ì
ï
í
ï
î
28) (B- 2009) G
ii h phng trình
:
ì
í
î
2 2 2
1 7
1 13
xy x y
x y xy y
29) (D- 2009)
Gii h phng trình
:
ì
ï
í
ï
î
2
2
1 3 0
5
1 0
x x y
x y
x
30)
(H
-
B-2010)
Gi
i h phng trình:
2
2
log (3 1)
4 2 3
ì
í
î
x x
y x
y
31)
(H
-D-2010)
Gii h phng trình:
2
2
2
4 2 0
2log ( 2) log 0
ì
ï
í
ï
î
x x y
x y
32) (
H
-
A-2010)
Gi
i h phng trình:
ì
ï
í
ï
î
2
2 2
4 1 3 5 2 0
4 2 3 4 7
x x y y
x y x
www.VNMATH.com
Chuyờn
H
PHNG TRèNH
Luyn thi i hc 2011
Giỏo viờn:
Lấ B BO
T Toỏn THPT Phong in
CC DNG H PHNG TRèNH KHC
1) Gi
i
h
ph
ng trỡnh:
2 2 1
3 2 10
x y y x
x y y x
ỡ
ù
ớ
ù
ợ
G
i ý:
D
ng
hpt b
c
nh
t
ha
i
n
2) Gi
i
h
ph
ng trỡnh:
1 1
2 2 2
x y
x y y
ỡ
ù
ớ
ù
ợ
Gi ý:
Bỡnh ph
ng tr
ờn TX
.
3)
Gi
i
h
ph
ng trỡnh:
1 7 4
1 7 4
x y
y x
ỡ
ù
ớ
ù
ợ
Gi ý:
B
ỡnh ph
ng tr
ờn TX
4) Gi
i
h
ph
ng trỡnh:
2 2
2 2
2 3
10
y x y x
x x y y
ỡ
ù
ớ
ù
ợ
G
i ý:
Bi
n
i
:
2 2
2 2
2
2
(1) 2 3
. .
(2) 10
1
2 3 1
. .
10
1
y x y x
x x y y
y
y
x
y
x
y
x
x
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
5) Gi
i
h
ph
ng trỡnh:
2 2
2 2
2 5 4 6 2 0
1
2 3
2
x y x y x y
x y
x y
ỡ
ù
ớ
ù
ợ
Gi ý:
(1) cú d
ng
ng
c
p
b
c
hai.
6) Gi
i
h
ph
ng tr
ỡnh:
2
2 4 1
5
2
3
2
x xy
x y
x
x y
ỡ
ù
ù
ớ
ù
ù
ợ
Gi ý:
Bi
n
i
:
2 ( 2 ) 1 1
(1) 5 2 5
2 2
x x y
x
x y x y
7) Gi
i
h
ph
ng trỡnh:
2 2
3 2 16
2 4 33
xy x y
x y x y
ỡ
ớ
ợ
Gi ý:
Bi
n
i
:
Nhân (1) với 2 và cộng phơng trình (2)
:
2 2
2
2 8 8 65 0
8 65 0
5 13 0
x y xy x y
x y x y
x y x y
8) Gi
i
h
ph
ng tr
ỡnh:
2 2
2 2
1 1 18
1 1 2
x x y x y x y y
x x y x y x y y
ỡ
ù
ớ
ù
ợ
Gi ý:
(1) (2) 8x y
9) Gi
i
h
ph
ng trỡnh:
2 2
2 2
3 4 1
3 2 9 8 3
x y x y
x y x y
ỡ
ù
ớ
ù
ợ
Gi ý:
Bi
n
i
:
2 2
2 2
3 4 1
3 3 2 4 3
x x y y
x x y y
ỡ
ù
ớ
ù
ợ
10) Gi
i
h
ph
ng tr
ỡnh:
2 3
2
12
6
x x
y y
xy xy
ỡ
ổ ử ổ ử
ù
ù
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
ớ
ù
ù
ợ
G
i ý:
M
i
ph
ng tr
ỡnh c
a
h
u
l
ph
ng trỡnh
i
s
theo
n
ph
.
11) Gi
i
h
ph
ng trỡnh:
2 2
2 2 2
6
1 5
y xy x
x y x
ỡ
ù
ớ
ù
ợ
Gi ý:
Bi
n
i
:
www.VNMATH.com
Chuyờn
H
PHNG TRèNH
Luyn thi i hc 2011
Giỏo viờn:
Lấ B BO
T Toỏn THPT Phong in
2
2
2
2
2
2 2
1
6
1
5
1
6 (1)
1
5 2 (2)
x
x
y y
x
x
y y
x
x
y y
x x
x
y y y
ỡ
ổ ử
ù
ỗ ữ
ù ố ứ
ớ
ù ổ ử
ỗ ữ
ù
ố ứ
ợ
ỡ
ổ ử
ù
ỗ ữ
ù ố ứ
ớ
ùổ ử ổ ử ổ ử
ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ
ù
ố ứ ố ứ ố ứ
ợ
Thay (1) vo (2).
12)
Gi
i
h
ph
ng trỡnh:
6 5
2
x y x y
x y x y
xy
ỡ
ù
ớ
ù
ợ
G
i ý:
Ph
ng trỡnh (1) cú d
ng
b
c
hai.
13) Gi
i
h
ph
ng tr
ỡnh:
a)
2 2
20
136
x y x y
x y
ỡ
ù
ớ
ù
ợ
b)
2 1 1
3 2 4
x y x y
x y
ỡ
ù
ớ
ù
ợ
c)
2 2
6
20
x y y x
x y y x
ỡ
ù
ớ
ù
ợ
d)
2 2
2 8 2
4
x y xy
x y
ỡ
ù
ớ
ù
ợ
G
i ý:
Bi
n
i
:
2 2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
(1) 2 2 16 2
2 2 2
2 2
2 2 0
x y xy
x y x y xy
x y x y
x y x y x y
e)
2 2
5
2
21
x y
y x
x y xy
ỡ
ù
ớ
ù
ợ
14) Gi
i
h
ph
ng tr
ỡnh:
2 2
3 3
3
3
2 3
6
x y x y xy
x y
ỡ
ù
ớ
ù
ợ
Gi ý:
t
3
3
, u x v y
15) Gi
i
h
ph
ng trỡnh:
2 2
2 2
3
3
3
0
x y
x
x y
y x
y
x y
ỡ
ù
ù
ớ
ù
ù
ợ
Gi ý:
Bi
n
i
:
2
2 2
2
2 2
3
(1) 3 (3)
3
(2) 0 (4)
3 1
(3) (4) 2 3 3
2
xy y
xy y
x y
xy x
xy
x y
y
xy y y
y
ị
ị
ổ ử
ị ị
ỗ ữ
ố ứ
16) Gi
i
h
ph
ng trỡnh:
3 2
2 2
2 12 0
8 12
x xy y
x y
ỡ
ù
ớ
ù
ợ
Gi ý:
Bi
n
i
:
3 2 2 2
Thay (2) vào (1):
2 8 0
Đây là pt đẳng cấp bậc 3.
x xy x y yị
17) Gi
i
h
ph
ng trỡnh:
a)
2
2
1
2 10
2
2
3
2
x y
x y
x y
x y
ỡ
ù
ù
ớ
ù
ù
ợ
b)
1
3
2
4
2
x
x y
x
x y
ỡ
ù
ù
ớ
ù
ù
ợ
c)
2 2
25 2
( ) 10
x y xy
y x y
ỡ
ớ
ợ
d)
2
2 2
2 2
19
7
x xy y x y
x xy y x y
ỡ
ù
ớ
ù
ợ
www.VNMATH.com
Chuyờn
H
PHNG TRèNH
Luyn thi i hc 2011
Giỏo viờn:
Lấ B BO
T Toỏn THPT Phong in
Gi ý
d): Ph
ng trỡnh (1)
ng
c
p
b
c
2.
18) Gi
i
h
ph
ng tr
ỡnh:
a)
2 2
2 2
12
12
x y x y
y x y
ỡ
ù
ớ
ù
ợ
G
i ý:
t
2 2
, u x y v x y
2
1
2
u
y v
v
ổ ử
ị
ỗ ữ
ố ứ
b)
20
16
5
y
x y x y
x
x
x y x y
y
ỡ
ù
ù
ớ
ù
ù
ợ
Gi ý:
Nhõn v
theo v
2 ph
ng trỡnh.
c)
2 2
2 2
3 1 0
4 5 2 1 0
x x y
x x y
ỡ
ù
ớ
ù
ợ
Gi ý:
Nhõn (1) v
i
2
, kh
y
.
d)
2 2
2 2
3
15
x y x y
x y x y
ỡ
ù
ớ
ù
ợ
Gi ý:
Cỏch 1: Hpt
ng
c
p
b
c
3.
Cỏch 2: Bi
n
i
:
2
2
4 3
2 15
x y x y xy
x y x y xy
ỡ
ộ ự
ù ở ỷ
ớ
ộ ự
ù
ở ỷ
ợ
19) Gi
i
h
ph
ng trỡnh:
2 2
3 2 16
2 4 33
xy x y
x y x y
ỡ
ớ
ợ
Gi ý:
Bi
n
i
:
2 2
2
2 6 4 32
2 4 33
3 2 16
8 65 0
xy x y
x y x y
xy x y
x y x y
ỡ
ớ
ợ
ỡ
ù
ớ
ù
ợ
20) Gi
i
h
ph
ng trỡnh:
a)
2 2
2 2
x y
x y
ỡ
ù
ớ
ù
ợ
Gi ý:
C
ỏch1: Bi
n
i
:
Đ
2 2
2 2
2 2 2 2
TX
y x
x y x
x y x y x
ỡ
ỡ
ù ù
ớ ớ
ù
ù
ợ
ợ
x yị
Cỏch 2:
Lấy (1) (2) :
2 2
2 2
x y x y
x y y x
x y
x y x y
ị
ị
21) Gi
i
h
ph
ng trỡnh:
6 2 3
6 2 3
x y
y x
ỡ
ù
ớ
ù
ợ
G
i ý:
Cỏch 1: Bi
n
i
:
(1) (2) 6 6
6 6
1 1
0
6 6
x y x y
x y y x
x y x y
x y
x y x y
x y
ị
ổ ử
ỗ ữ
ỗ ữ
ố ứ
Cỏch 2: B
t
ng
th
c
:
2
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2 2
6 12
6 12
6 6 24
6 1 1 6
6 1 1 6
6 6 24
6
Dấu " " xãy ra khi chỉ khi
6
3
x y
y x
x y y x
x y x y
y x y x
x y y x
x y
y x
x y
ỡ
ù
ớ
ù
ợ
ị
ỡ
Ê
ù
ớ
ù
Ê
ợ
ị Ê
ỡ
ù
ớ
ù
ợ
22) Gi
i
h
ph
ng trỡnh:
a)
2 2
2 2
3 4 0
2 2 11 6 2 0
x xy y y
x xy y x y
ỡ
ù
ớ
ù
ợ
www.VNMATH.com
Chuyờn
H
PHNG TRèNH
Luyn thi i hc 2011
Giỏo viờn:
Lấ B BO
T Toỏn THPT Phong in
Gi ý:
Thực hiện: (1) 2 3
C
ỏch khỏc: Th
0x
.
t
y kx
.
b)
2 2
2 2
2 1 0
3 2 0
x x y
x y x y
ỡ
ù
ớ
ù
ợ
Gi ý:
2
2
1
(1) 1
1
y x
x y
y x
ộ
ờ
ở
c)
2 3
2 2 2
2 4 3 0
2 0
x y x
x y x y
ỡ
ù
ớ
ù
ợ
Gi ý:
2
3
2
2
2
2
3
2 1 1 0 (1)
2
(2)
1
2
(2) : 1 1 1 1
1
(1) 2 1 1 0
x y
x
y
x
x
y
x
x y
ỡ
ù
ớ
ù
ợ
Ê Ê ị Ê Ê
ị
23) Gi
i
c
ỏc h
ph
ng tr
ỡnh sau:
1)
3 2 2
3
2
64
2 6
y x x y
x y
ỡ
ù
ớ
ù
ợ
Gi ý:
3
2
3 2
2
(2) : 6 2 8 2
8
0, 2
64 8
y x y
y x
x y
x y
ỡ
ù
ị ị
ớ
Ê
ù
ợ
2)
2 2
2 2
1 1
3
1 1 3 2
7
xy
x y
x y
x y xy
ỡ
ù
ù
ớ
ù
ù
ợ
Gi ý:
2 2
1 1
3
1 1 2
7
xy
x y
xy
x y xy
ỡ
ù
ù
ớ
ù
ù
ợ
2
1 1
3
1 1
Đặt
1 1
3
xy
x y
u
x y
v xy
xy
x y
ỡ
ỡ
ù
ù ù
ớ ớ
ổ ử
ù ù
ợ
ỗ ữ
ù
ố ứ
ợ
3)
1 6
7
2
x y
x y xy
ỡ
ù
ớ
ù
ợ
Gi ý:
Quy
ng
(1), kh
xy
.Ho
c
chia
(2) cho
xy
.
4)
2
1 3
4 5 5
x x y
x y
ỡ
ù
ớ
ù
ợ
Gi ý:
ỏnh
giỏ B
T
ph
ng trỡnh (2).
5)
2 2
5
2
3
2
x y xy
x y
y x
ỡ
ù
ù
ớ
ù
ù
ợ
Gi ý:
H
ng
c
p
. Ho
c
chia (1) cho
xy
.
6)
3
2
2 2
3 4
1 1
x y x
x x y
ỡ
ù
ớ
ù
ợ
Gi ý:
TX
2
1 1 1x x Ê Ê
3
2
(1) : 3 4.x y x
7)
8
5 11
x x x y
y x
ỡ
ù
ớ
ù
ợ
G
i ý:
Ph
ng ph
ỏp th
.
CM pt vụ
nghi
m
.
8)
3
3
1 1 3
9
x y
x y
ỡ
ù
ớ
ù
ợ
G
i ý: t
3
3
1, 1u x v y
9)
2 2 7
3 2 23
x y x y
x y
ỡ
ù
ớ
ù
ợ
Gi ý:
Ph
ng phỏp th
. Ho
c
t
, 2 2u x y v x y
10)
2 2
2
4 3 0
2 1 3
x xy y
x x y xy
ỡ
ù
ớ
ù
ợ
G
i ý:
Ph
ng tr
ỡnh (1)
ng
c
p
b
c
2.
11)
3 2 3
2
3 3 1
5
x x y x
x xy y
ỡ
ù
ớ
ù
ợ
Gi ý:
3 2 3
3
3
(1) 3 3 1
1 1
x x x y
x y y x
www.VNMATH.com
Chuyên
đ
H
PHNG TRÌNH
Luyn thi i hc 2011
Giáo viên:
LÊ BÁ BO
T Toán THPT Phong in
12)
5 2 7
2 5 7
x y
x y
ì
ï
í
ï
î
13)
5
5 5 8
x y
x y
ì
ï
í
ï
î
Gi ý:
Bi
n
đi
:
5 5 13
5 5 3
5 5 13
5 5
3
5 5
§Æt u 5, v 5
x x y y
x x y y
x x y y
x x y y
x x y y
ì
ï
Û
í
ï
î
ì
ï
ï
Û
í
ï
ï
î
14)
2 2 7
2 1 3 1 7
x y x y
x y
ì
ï
í
ï
î
Gi ý:
Bi
n
đ
i
:
LÊy (1) (2)
3 1 2 1 2 2
2 1 2 1
3 1 2 1 2 2
x y y x x y
x y x y
x y y x x y
Þ
Û
15)
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
4)
2
1
4(
32)
2
1
4(
y
xy
x
xy
16)
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
49)
1
1)((
5)
1
1)((
22
22
yx
yx
xy
yx
17)
2
3 1
8 9
y x y
x y x y
ì
ï
í
ï
î
G
i ý:
2
(1) 3 1 0
0 3 0 9
(2) : TX§: 9 0 9
x y y
x y x y
x y x y
Û £
Û £ £ Û £ £
³ Û ³
18)
3
3 2
6
6
8
x y x y
x y x y
ì
ï
í
ï
î
Gi
ý:
3
3
3
3
3
3
6
HÖ
8
0
6 (I)
8
0
6 (II)
8
x y x y
x y x y
x y
x y x y
x y x y
x y
x y x y
x y x y
ì
ï
Û
í
ï
î
é
³
ì
ê
ï
ê
í
ê
ï
ê
î
Û
ê
ì
ê
ï
ê
í
ê
ï
ê
î
ë
www.VNMATH.com
