(SKKN HAY NHẤT) một số KINH NGHIệM dạy “THể TíCH khối đa DIệN“

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI
TRƯỜNG THPT SỐ 1 VN BN

a

b

A
B
O
P

b'
I

H

Sáng kiến kinh nghiệm
Tên đề tài:
MộT Số KINH NGHIệM DạY THể TíCH KhốI ĐA
DIệN

ở TRUNG HọC PHổ THÔNG

môn: toán
tên tác giả: nguyễn mạnh hà
giáo viên môn: toán
chức vụ: phó tổ TRƯởNG chuyên
môn

Năm học: 2013 2014

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


PHẦN I: NHỮNG VẤN ĐỀ CHUNG
1. Lý do chọn đề tài
- Nhu cầu về hoà nhập với xu thế mới của giáo dục: “ Lấy người học làm
trung tâm, người học giữ vai trị chủ động, tích cực trong q trình học tập “
- Những thay đổi của đối tượng được giáo dục:
+ Nhờ vào quá trình đổi mới giáo dục ở THCS nên học sinh đã có vốn kiến
thức nhất định.
+ Đa số học sinh còn yếu trong việc xác định quy trình giải tốn, hệ thống
hố và nhớ các cơng thức. Đa số học sinh gặp khó khăn trong việc lĩnh hội các kiến
thức về hình học khơng gian.
+ Việc sử dụng máy tính cầm tay vào giải tốn ở đa số học sinh cịn yếu.
2. Quan điểm chỉ đạo
- Giáo dục THPT phải củng cố, phát triển những nội dung đã học ở THCS,
hoàn thành nội dung giáo dục phổ thông.
- Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ
động, sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm từng lớp học, môn học. bồi
dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn,
tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh.
3. Mục tiêu của đề tài
a. Mục tiêu tổng quát
- Củng cố và phát triển những kết quả mà học sinh đã có ở THCS, nâng cao
chất lượng mơn Tốn ở trường THPT số 1 Văn Bàn.
b. Mục tiêu cụ thể
- Đưa ra một số kinh nghiệm truyền đạt các kiến thức cho học sinh với yêu
cầu cơ bản là: chủ yếu tập trung vào việc thực hành giải tốn và để ý việc dùng
máy tính cầm tay.

- Góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy và học tập mơn Tốn của các lớp
mà bản thân tôi phụ trách giảng dạy.
4. Đối tượng nghiên cứu
- Tài liệu chuẩn kiến thức kỹ năng do Bộ Giáo dục và Đào tạo phát hành.
- Thực tế các giờ dạy của bản thân, dự giờ thăm lớp các đồng nghiệp.
5. Phạm vi nghiên cứu: Trong trường THPT số 1 Văn Bàn và trao đổi với
các giáo viên trường bạn.
6. Phương pháp nghiên cứu
- Tổng hợp, phân tích, đánh giá, dự đốn.
- Thống kê, hệ thống hóa.

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


PHẦN II: NỘI DUNG
1. Thực trạng dạy học mơn Tốn ở trường THPT số 1 Văn Bàn
a. Cơ sở lý thuyết
* Về phương pháp dạy học
- Thầy là người tổ chức, kích thích, hướng dẫn, giảng giải, giúp đỡ.
- Trị chủ động, hưng phấn, tự giác suy nghĩ, lao động nhiều hơn, thực hành
nhiều hơn. Từ đó có nhu cầu học tập mạnh mẽ, năng động, sáng tạo.
* Về cách thể hiện các kiến thức phần “Thể tích khối đa diện” của sách giáo
khoa:
- Giảm tối đa tính hàn lâm trong việc trình bày các kiến thức.
- Trong chừng mực cho phép, giảm nhẹ yêu cầu đối với tính chặt chẽ, chính
xác tốn học.
- Tránh áp đặt kiến thức cho học sinh.
- Tránh cho học sinh có cảm giác nặng nề, nhàm chán trong các tiết học.
- Giúp học sinh nắm bắt, hiểu, củng cố các kiến thức thông qua việc tìm hiểu
các ứng dụng của những kiến thức đó trong khoa học, cũng như trong thực tiễn

cuộc sống.
- Thông qua việc tiếp thu kiến thức, giúp học sinh phát triển tư duy, hình
thành thẩm mỹ tốn học.
- Hỗ trợ tích cực cho giáo viên trong việc đổi mới phương pháp giảng dạy.
b. Cơ sở thực tiễn
- Thuận lợi:
+ Bản thân được trang bị đầy đủ kiến thức về bộ môn, được sự quan tâm,
giúp đỡ của đồng nghiệp.
+ Học sinh: Đa số học sinh nỗ lực trong quá trình học tập; tiếp nhận nhanh
phương pháp giảng dạy mới.
- Khó khăn:
+ Giáo viên: Còn lúng túng trong cách truyền đạt kiến thức cho học sinh yếu.
+ Học sinh: Một phần nhỏ chưa có ý thức chuẩn bị bài tập ở nhà; Còn lạm
dụng sách tham khảo hay sử dụng sách tham khảo chưa đúng cách.

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


2. Một vài kinh nghiệm dạy "Thể tích khối đa diện" ở Trung học phổ
thông.
2.1. Kiến thức học sinh cần nhớ khi học "Thể tích khối đa diện"
2.1.1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông:
Cho tam giác ABC vuông tại A, ta có:
A
a) Định lí Pytago:
b
b)
c
c)
d)

B

H

a

C

e)

2.1.2. Hệ thức lượng trong tam giác thường:
a) Định lí Cosin:

b) Định lí Sin:
(R là bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC)
2.1.3. Các cơng thức tính diện tích
a) Cơng thức tính diện tích tam giác:
S

- Đặc biệt:
+ Tam giác ABC vuông tại A:
+ Tam giác ABC đều cạnh a:
b) Diện tích hình vng: S = cạnh x cạnh
c) Diện tích hình chữ nhật: S = dài x rộng
d) Diện tích hình thoi: S = chéo dài x chéo ngắn
e) Diện tích hình thang: S =

.(đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


g) Diện tích hình bình hành: S = đáy x chiều cao
h) Diện tích tứ giác có hai đường chéo x, y vng góc:
h) Diện tích hình trịn:
2.1.4. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
Ta tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng. Khi đó đường thẳng nối hai điểm
chung là giao tuyến của hai mặt phẳng. Ta thường tìm hai đường thẳng a, b đồng
phẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và giao điểm M (nếu có) của hai đường
thẳng này chính là một điểm chung của hai mặt phẳng.
2.1.5. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
Muốn tìm giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P), ta cần khéo léo
chọn một mặt phẳng (Q) chứa d sao cho giao tuyến a của (P) và (Q) dễ xác định.
Trong mặt phẳng (Q), đường thẳng d cắt a tại A (nếu có). Đó chính là giao điểm
cần tìm.
2.1.6. Chứng minh ba điểm thẳng hàng, chứng minh ba đường thẳng đồng
quy
- Muốn chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh A, B, C là ba
điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q). Khi đó A, B, C nằm trên giao
tuyến của chúng.
- Muốn chứng minh ba đường thẳng a, b, c đồng quy ta chứng minh hai trong
ba đường thẳng đó cắt nhau và giao điểm của chúng nằm trên đường thẳng cịn lại
(thơng thường lại đưa về bài tốn chứng minh ba điểm thẳng hàng)
2.1.7. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P)
B1: Tìm hai điểm chung của mặt phẳng (P) với từng mặt của hình chóp ta
được các đoạn giao tuyến.
B2: Nối các đoạn giao tuyến ta được một đường gấp khúc khép kín là đa giác
cần tìm.
2.1.8. Chứng minh đường thẳng a song song với đường thẳng b

C1: Chứng minh a, b đồng phẳng rồi áp dụng các phương pháp chứng minh
trong hình học phẳng.
C2: Chứng minh a, b cùng song song với một đường thẳng thứ 3
C3: Áp dụng định lí về giao tuyến: Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt
chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến (Nếu có) của chúng song song với
hai đường thẳng ấy.
2.1.9. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (S/d quan hệ song song)
- Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng
- Tìm phương của giao tuyến (Biết giao tuyến song song với một đường
thẳng đã cho)

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Khi đó giao tuyến là đường thẳng đi qua điểm chung và song song với đường
thẳng đã cho.
2.1.10.Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng (P)
Chứng minh d không nằm trong (P) và song song với đường thẳng a nằm
trong (P)
(Quay về bài toán chứng minh 2 đường thẳng song song)
2.1.11. Chứng minh hai mặt phẳng song song
Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song
song với mặt phẳng kia.
2.1.12. Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng
Muốn chứng minh đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (P) ta thường
dùng một trong hai cách sau:
C1: Chứng minh d vng góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (P)
C2: Chứng minh d song song với đường thẳng a và a vuông góc với mp(P)
2.1.13. Chứng minh hai đường thẳng vng góc với nhau
Muốn chứng minh đường thẳng a vng góc với đường thẳng b ta thường

dùng các cách sau:
C1: Chứng minh đường thẳng này vng góc với mặt phẳng chứa đường
thẳng kia.
C2: Nếu hai đường thẳng đó cắt nhau thì ta có thể áp dụng các phương pháp
chứng minh vng góc đối với hai đường thẳng đã được học trong hình học phẳng.
C3: Dùng định lí ba đường vng góc (Nếu vng góc với hình chiếu thì
mng góc với đường xiên và ngược lại)
2.1.14. Chứng minh hai mặt phẳng vng góc
C1: Chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt
phẳng kia
C2: Chứng minh góc giữa hai mặt phẳng bằng 900 hay góc phẳng nhị diện do
hai mặt phẳng đó tạo nên bằng 900
2.1.15. Xác định đoạn vng góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
b

C1: Nếu a và b vng góc với nhau thì:
- Dựng mặt phẳng (P) chứa a và vng góc với b tại B
- Dựng BA  a tại A. Đoạn AB là đoạn vng góc chung
C2: Cho a và b chéo nhau
- Dựng mp(P) chứa a, song song với b
- Chọn M trên b dựng MM '  ( P) tại M'
- Từ M' dựng b'//b cắt a tại A
- Từ A dựng AB//M'M cắt b tại B
Đoạn AB là đoạn vng góc chung.

a

B
A

P

B

M b

A
P

M'
a

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


C3: Cho a và b chéo nhau
- Dựng mặt phẳng ( P)  a tại O, (P) cắt b tại I
- Dựng hình chiếu vng góc b' của b trên (P)
- Dựng trong (P) đường OH  b '
- Từ H, dựng đường thẳng song song với a cắt b tại B.
- Từ B dựng đường thẳng song song với OH, cắt a tại A
Đoạn AB là đoạn vng góc chung của a và b.

a

b

A
B
O

P

b'
I

H

2.1.16. Góc giữa hai đường thẳng a và b: là góc giữa hai đường thẳng a’ và
b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt cùng phưng với a và b.
2.1.17. Góc giữa đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng (P): là góc
giữa a và hình chiếu a’ của nó trên (P).
2.1.18. Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q): là góc giữa hai đường thẳng lần
lượt vng góc với hai mặt phẳng đó,
Hoặc là góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng cùng
vng góc với giao tuyến của chúng tại một điểm.
2.1.19. Thể tích khối chóp:
(B là diện tích đáy, h là chiều cao)
2.1.20. Tỉ số thể tích tứ diện:
Cho khối tứ diện SABC. A’, B’, C’
là các điểm tùy ý lần lượt thuộc
SA, SB, SC. Ta có:

S

C'
A'
B'
C

A

B

2.1.21. Thể tích khối lăng trụ:
(B là diện tích đáy, h là chiều cao)
-Đặc biệt:
+ Thể tích khối hộp chữ nhật:
(a, b, c là ba kích thước)
+ Thể tích khối lập phương:
(a là độ dài cạnh)
2.2. Kinh nghiệm dạy bài tập ”Thể tích khối đa diện”

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


2.2.1.Phương pháp
a) Cách xác định đường cao của khối đa diện
- Đường thẳng qua đỉnh và vng góc với mặt đáy.
- Giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt cùng chứa đỉnh và vng góc với
đáy.
- Nếu mặt phẳng (P) đi qua đỉnh, vng góc với đáy theo giao tuyến
thì
trong mặt phẳng (P), kẻ đường thẳng qua đỉnh và vuông góc với sẽ được đường
cao của khối chóp.
- Cho hình chiếu vng góc của đỉnh lên mặt đáy thì đoạn nối đỉnh và hình
chiếu của nó là đường cao.
- Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc tạo với đáy những góc bằng
nhau (ít nhất 3 cạnh bên) thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp của đa
giác đáy.
- Khối chóp có các mặt bên (ít nhất 3 mặt bên) cùng tạo với đáy góc bằng

nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy.
- Khối chóp có hai mặt bên kề nhau và cùng tạo với đáy những góc bằng
nhau thì chân đường cao nằm trên đường phân giác góc của đỉnh chung, nằm trong
mặt phẳng đáy.
- Với khối lăng trụ ta lấy một đỉnh kết hợp với đáy đối diện ta cũng được một
khối chóp sau đó việc xác định chân đường cao cũng dựa theo các hướng trên.
- Cho điểm A và mặt phẳng (P). Đường thẳng d chứa A và
thì khoảng
cách từ A đến (P) bằng khoảng cách từ điểm M bất kỳ trên d đến (P).
- Nếu có mặt phẳng (Q) chứa A và song song với (P) thì khoảng cách từ A
đến (P) bằng khoảng cách từ điểm M bất kỳ trên (Q) đến (P).
b) Tính thể tích bằng cách sử dụng cơng thức tỉ số thể tích:
- Tính thể một khối đa diện, ta khơng tính trực tiếp nó mà thơng qua một
khối trung gian. Sau đó tìm tỉ số thể tích giữa khối đa diện cần tính và khối đa diện
trung gian. Từ thể tích khối trung gian ta suy ra thể tích của khối đa diện cần tính.
- Nếu hai khối chóp có cùng diện tích đáy thỡ tỉ số thể tích bằng tỉ số hai
đường cao tương ứng.
- Nếu hai khối chóp có cùng độ dài đường cao thì tỉ số thể tích bằng tỉ số hai
diện tích đáy.
- Cho khối tứ diện SABC. A’, B’, C’ là các điểm tùy ý lần lượt thuộc SA,
SB, SC. Ta có:

c) Tính thể tích bằng phương pháp tọa độ:

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Hình lập phương hoặc hình hộp chữ nhật
Với hình lập phương,
Chọn hệ trục tọa độ sao cho :

D'

A'
B'
C'

Với hình hộp chữ nhật,
Chọn hệ trục tọa độ sao cho :

D

A

B

C

Hình hộp đáy là hình thoi
Chọn hệ trục tọa độ sao cho :
A'

- Gốc tọa độ trùng với giao điểm O
của hai đường chéo của hình thoi
ABCD
- Trục

z

D'

B'
C'

đi qua 2 tâm của 2 đáy

D

A

y
B

Hình chóp tứ giác đều S.ABCD
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Giả sử cạnh hình vng bằng a và
đường cao
Chọn O(0;0;0) là tâm của hình vng
A
Khi đó :
B

C

x

S
D
O
C

Hình chóp tam giác đều S.ABC

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Giả sử cạnh tam giác đều bằng a và
đường cao bằng . Gọi I là trung
điểm của BC
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
sao cho I(0;0;0)

S

C

A

Khi đó :

I

H

B
Hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và SA
ABCD là hình chữ nhật
S
chiều cao bằng

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho A(0;0;0)

(ABCD)

D

A

Khi đó :

O

B

C

Hình chóp S.ABC có ABCD là hình thoi và SA

(ABCD)

S

ABCD là hình thoi cạnh
chiều cao bằng
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho O(0;0;0)

D

A
B

Hình chóp S.ABC có SA

(ABC) và

O
C

ABC vuông tại A

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Tam giác ABC vng tại A có
đường cao bằng .

S

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
sao cho A(0;0;0)
C

A

Khi đó :

B
Hình chóp S.ABC có SA

Tam giác ABC vng tại B có
đường cao bằng .

(ABC) và

ABC vng tại B
S

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
sao cho B(0;0;0)

C

A

Khi đó :

B

Hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC), SAB cân tại S
và ABC vng tại C
ABC vuông tại C
chiều cao bằng
H là trung điểm của AB
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho C(0;0;0)
Khi đó :

S

A

B

H

C

Hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC), SAB cân tại S
và ABC vuông tại A

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


ABC vuông tại A
chiều cao bằng

S

H là trung điểm của AB
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho A(0;0;0)

C

A
H

B

Khi đó :

Hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC), SAB cân tại S
và ABC vuông cân tại C
Tam giác ABC vuông cân tại C có
đường cao bằng .

S

H là trung điểm của AB
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
sao cho H(0;0;0)

A

H

B
C

Khi đó :

Diện tích tam giác ABC:
Thể tích tứ diện ABCD:
Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’:
2.2.2. Các dạng tốn

LUAN VAN CHAT LUONG download : add

Loại I: Thể tích khối chóp
Dạng 1: Khối chóp có một cạnh bên vng góc với đáy
Ví dụ 1:
Cho hình tứ diện ABCD có cạnh
AD vng góc với mặt phẳng (ABC),
ngoài ra AD = AC = 4a; AB = 3a; BC =
5a. Tính thể tích khối chóp tứ diện
ABCD theo a và tính khoảng cách từ A
đến (BCD).

D

H
C

A

M
B

Giải
* Tính thể tích khối chóp tứ diện ABCD theo a .
Vì AD = AC = 4a; AB = 3a; BC = 5a.
Suy ra ABC là tam giác vng tại A.
.
* Tính khoảng cách từ A đến (BCD).
Dựng
tại M và dựng

tại H.
.

Suy ra
Ta có
Vậy

.

Ví dụ 2:
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng cân đỉnh B, AB = a, SA
vng góc với mặt phẳng (ABC); mp(SBC) tạo với mp(ABC) một góc
.Gọi G
là trọng tâm tam giác ABC. Tính thể tích khối chóp S.BCG và tính khoảng cách từ
điểm G đến mp(SBC) theo a.
Giải
* Tính thể tích khối chóp S.BCG

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Vì mp(SBC) tạo với mp(ABC)
một góc

* Tính khoảng cách từ điểm G đến mp(SBC).

Ví dụ 3:
Cho hình chóp tứ giác
S.ABCD có đáy ABCD là hình
vng cạnh bằng a. Biết các mặt

bên (SAB) và (SAD) vng góc
với mp(ABCD); SA = a . O là
tâm hình vng ABCD.Gọi
,
lần lượt là trọng tâm của
∆SAC và ∆SDC. Tính thể tích
khối chóp
và tính
khoảng cách từ điểm
đến
mp(SBC) theo a.

S

J

G1
H

G2

A

D

I
B

O
C

Giải
* Tính thể tích khối chóp

* Tính khoảng cách từ điểm

:

đến mp(SBC).

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Kẻ AH  SB suy ra AH  (SBC). Khi đó d(A, (SBC)) = AH
Xét ∆SAD vng tại A. Theo hệ thức lượng trong tam giác vng ta có:
. Suy ra AH =
Vậy

.

.

Dạng 2: Khối chóp có một mặt bên vng góc với đáy
Ví dụ 1:
S
Cho hình chóp S.ABCD có
đáy ABCD là hình thang vng tại
A và D; AB = AD = 2a; CD = a.
Mặt phẳng (SBC) tạo với
mp(ABCD) một góc

. Mặt bên
I
(SAD) vng góc với đáy. Các
mặt bên (SAB) và (SDC) cùng tạo
với mặt đáy một góc bằng nhau.
A
Gọi H là trung điểm AD. Tính thể
M
H
tích khối chóp S.ABCD theo a và
tính khoảng cách từ điểm C đến
K
D
C
mp(SHB).

B

Giải

nên

Vì các mặt bên (SAB) và (SDC) cùng tạo với mặt đáy một góc bằng nhau
. Suy ra tam giác SAD cân tại S. Khi đó
.
Dựng
tại K.
Vì (SBC) tạo với mp(ABCD) một góc
nên
.

* Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a:
Ta có:
;

;

;

;

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Vậy

(đvtt)

* Tính khoảng cách từ điểm C đến mp(SHB):
Dựng
tại M
;

;

.

. Vậy

Dạng 3: Khối chóp đều.
Ví dụ 1:

Cho hình chóp tứ giác đều
SABCD có cạnh bên bằng

S

;

mặt bên tạo với đáy một góc
.
Tính thể tích khối chóp S.ABCD và
tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng AB và SD.

H
D
C
O
A

nên

a

I
B

Giải
* Tính thể tích khối chóp S.ABCD
- Hình chóp tứ giác đều SABCD có:
+ ABCD là hình vng cạnh a;

+ SO  (ABCD);
+ SA = SB = SC = SD.
Đặt AB = x. Gọi I là trung điểm BC. Vì mặt bên tạo với đáy một góc
.
Ta có

Vậy
* Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD.
Vì AD // BC nên d(AD, SC) = d(AD, (SBC)) = d(A, (SBC))
Ta có AO  (SBC)  C và c do đó

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


d(A, (SBC)) = 2.d(O, (SBC)) ;
SO  (ABCD) nên SO  BC
Kẻ SJ  BC thì J là trung điểm của BC
Suy ra BC  (SOJ)  (SBC)  (SOJ)
(SBC)  (SOJ)  SJ, kẻ OH  SJ (H  SJ). Khi đó d(O, (SBC)) = OH
Xét tam giác SOJ vuông tại O, theo hệ thức lượng trong tam giác vng ta có
mà
Suy ra

,

.Vậy

Ví dụ 2:
Cho hình chóp tứ giác đều
S.ABCD cạnh đáy bằng a. Cạnh bên

bằng 2a. Gọi E là điểm đối xứng của D
qua trung điểm của SA. Gọi M , N lần
lượt là trung điểm của AE và BC. Tính
thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng
cách giữa hai đường thẳng MN, AC theo
a.

E
S
M

A

P
O

D

B
H
N
C

Giải
Gọi P là trung điểm của AB .Khi đó MP // AB
(1)
Ta có SE // DA và SE = DA
SE // BC
Có SE = BC
SEBC là hình bình hành

EB // SC (2)
Vậy từ (1) , (2)
MP // SC
Lại có PN // AC nên (MNP) // (SAC)
d(MN, AC) = d((MNP),(SAC)) = d(H,(SAC)) = OH =
(với H, O lần lượt là giao điểm của BD với NP và AC).

Loại II: Thể tích khối lăng trụ
Dạng 1: Khối lăng trụ đứng.

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Ví dụ 1:
Cho hình lập phương
ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.Gọi G là trọng
tâm ∆ABA’ . Tính thể tích khối chóp
G.BDD’B’ theo a.

D

C
O

A

M

B

G
D'

C'

A'

B'

Giải
Ta có

(do G là trọng tâm ∆ABA’). Khi đó
.

Hay

.

Ví dụ 2:
Cho lăng trụ đứng tam giác
ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác
vng có BA = BC = a, cạnh bên AA’
=
. Gọi M là trung điểm của BC.
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
AM và B’C.

A'

C'
B'

E

C

A
M
B

Giải
Gọi E là trung điểm BB’
Ta có EM // B’C suy ra B’C / / (AEM)
Suy ra d(B’C,AM)= d(B’C,(AEM))= d(C,(AEM)) = d(B,(AEM))
(vì MB = MC)
Do tam giác ABC vng tại B nên tứ diện BAEM có BA, BE, BM đơi một
vng góc với nhau.

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Nếu gọi BH là chiều cao kẻ từ B của tứ diện ABCD (

Ví dụ 3:
Cho khối lăng trụ đứng
ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác
đều cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm
của cạnh AC. Góc tạo bởi đường thẳng
B'M và mặt phẳng (ABC) bằng 450

a) Tính diện tích tam giác ABC
b) Tính chiều cao của khối lăng trụ trên
c) Tính thể tích của khối lăng trụ trên

B'

) thì

C'

A'

B

45

C
M

A

Giải
* Diện tích tam giác ABC là:
*  B ' M ,  ABC  

1
a2 3
S ABC  . AB. AC.sin 600 
2
4

0
 B ' MB  45

* Xét tam giác B'BM vng tại B có: BB '  BM .tan 450 
Vậy chiều cao của khối lăng trụ bằng BB'=

a 3
2

a 3
2

* Thể tích của khối lăng trụ là
VABC . A ' B 'C '  S ABC .BB ' 

a 2 3 a 3 3a 3
.

4
2
8

Dạng 2: Khối lăng trụ xiên
Ví dụ 1:

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Cho hình hộp
ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình

chữ nhật với
AB = 3 AD = 7 .Hai mặt bên
(ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt
tạo với đáy những góc 450 và 600. .
Tính thể tích khối hộp nếu biết
cạnh bên bằng 1.

D'
C'

A'
B'

D
C

N
A

H
M

B

Giải
Kẻ A’H  ( ABCD) ,HM  AB, HN  AD  A' M  AB, A' N  AD
Đặt A’H = x . Khi đó
2x
A’N = x : sin 600 =
3

AN =

AA' 2  A' N 2 

3  4x 2
 HM
3

Mà HM = x.cot 450 = x
3  4x 2
3
-> x =
x
3
7
Kết luận: VABCD.A’B’C’D’ = AB.AD.x =

3. 7.

3
3
7

Ví dụ 2:
Cho lăng trụ tam giác ABC.A 1B1C1 có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi
cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 300. Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng
B khoảng cách giữa
(A1B1C1) thuộc đường thẳng B1A
C1. Tính thể tích khối lăng trụ và
hai đường thẳng AA1 và B1C1 theo a.

C

K

A1

C
H

1

LUAN VAN CHAT LUONG download
: add
B1


Giải
Do AH  ( A1 B1C1 ) nên góc AA1 H là góc giữa AA1 và (A1B1C1).
Theo giả thiết thì góc AA1 H bằng 300.
a 3
Xét tam giác vng AHA1 có AA1 = a, góc AA1 H =300  A1 H 
.
2

a 3
2
AH

B
C

B
C

(
AA
H
)
nên A1H vng góc với B1C1. Mặt khác
1 1 nên
1 1
1

Do tam giác A1B1C1 là tam giác đều cạnh a, H thuộc B1C1 và A1 H 

Kẻ đường cao HK của tam giác AA1H thì HK chính là khoảng cách giữa
AA1 và B1C1.
Ta có AA1.HK = A1H.AH  HK 

A1 H . AH a 3

AA1
4

Loại III: Sử dụng phương pháp tọa độ để tìm thể tích khối đa diện
Ví dụ 1:
Trong khơng gian với hệ toạ
độ
cho hình chóp S.ABCD có
đáy ABCD là hình thoi. AC cắt BD
tại gốc toạ độ O. Biết

;
;
. Gọi M là
trung điểm của SC .
1. Tính góc và khoảng cách
giữa hai đường thẳng SA và BM
2. Giả sử mặt phẳng (ABM)
cắt đường thẳng SD tại N. Tính thể
tích khối chóp S.ABMN.

S
M

N

D
A

Giải
Chọn hệ trục toạ độ Đê cac vng góc

C
O

như sau :

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


;

;

;

Ta có :
;
1. Gọi

;

;

là góc giữa SA và BM Sử dụng cơng thức tính góc giữa hai đường
thẳng

Ta có :

*
2.

;
N là trung điểm của SD. Toạ độ trung điểm N
;

Vậy
Ví dụ 2:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy
ABCD là hình vng cạnh ;
;

và mặt phẳng (SAB) vng
góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của các cạnh AB,
BC . Tính theo thể tích khối chóp
S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai
đường thẳng SM, DN

;

(đvtt)

S

A

D
K

H
M

B
Giải

Gọi H là hình chiếu vng góc của S trên AB
Ta có :
vng tại S

N
SH

C
(ABCD)

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Do đó :

đều

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc
A

; B

;

D

;

như sau :
; M

;

; S
;

;

N

;

;
+ Thể tích khối chóp S.BMDN

;
;

+ Tính cosin của góc giữa SM, DN

Ví dụ 3:
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vng,
cạnh bên
. Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo thể tích của khối
lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B’C

,

Giải
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac
vuông góc
như sau :
;A

;C

;

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


B’

;M
;

;

Chứng minh AM và B’C chéo nhau:
+ Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’
(đvtt)
+ Khoảng cách giữa AM và B’C
Vì :
AM và B’C chéo nhau

PHẦN III: KẾT LUẬN
1. Bài học kinh nghiệm
* Từ những kinh nghiệm trên kết quả bài kiểm tra khảo sát của 01 lớp mà tôi
tham gia giảng dạy như sau:
Điểm yếu kém

Điểm trung bình

Điểm khá giỏi

Tổng số đạt yêu cầu

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


15,2
%

47,4
%

37,4
%

84,8
%

* Tơi nhận thấy để dạy tốt "Thể tích khối đa diện" ở trường THPT, người
dạy cần phải làm được tối thiểu các công việc sau:
- Gây hứng thú học tập cho học sinh.
- Phải có kiến thức sâu sắc.
- Chuẩn bị tốt kiến thức cho học sinh (chú trọng phần phương pháp)
- Soạn giảng theo chuyên đề để tạo điều kiện cho học sinh dễ tiếp thu, từ đó
tạo niềm say mê, u thích, khám phá mơn Tốn cho các em học sinh.
- Coi trọng việc khai thác các kiến thức có trong sách giáo khoa THPT làm
nền tảng giảng dạy. Điều đó sẽ giúp ích rất tốt cho sự phát triển trí tuệ của học sinh.
- Cần khai thác tốt các phần mềm Toán học như: mapple, Cabri, Sketpad, ...
trong quá trình truyền đạt kiến thức cho học sinh.
- Cần có sự quan tâm sát đáng đối với học sinh yếu. Các phần kiến thức cần
được nhắc đi, nhắc lại nhiều lần để kiến thức có thể thấm dấn vào học sinh.
- Chú ý đổi mới kiểm tra, đánh giá. Kiểm tra kiến thức học sinh trong cả quá

trình học tâp (trước, trong và sau khi học).
* Để có thể học tốt, người trị phải tích cực, tự giác trong việc chuẩn bị bài,
rèn luyện kỹ năng giải bài tập.
2. Đề xuất, kiến nghị
- Nội dung dạy một bài luyện tập cần được quan tâm nhiều hơn trong các
dịp bồi dưỡng (cần có những giờ giảng mẫu của các giáo viên cốt cán, mà qua đó
các giáo viên dự có thể đúc rút ưu, nhược điểm để hồn thiện mình).
- Trong các dịp bồi dưỡng cần dành thời gian đáng kể để trao đổi về các
chuyên đề ôn thi học sinh giỏi (có sự chọn lọc giáo viên tham gia). Điều đó sẽ làm
rút ngắn khoảng cách giữa giáo viên các trường và giáo viên trường THPT Chuyên
Lào Cai, đồng thời góp phần nâng cao chất lượng mơn Tốn nói chung của tồn
tỉnh Lào Cai.
- Trong đổi mới phương pháp, máy chiếu và các phần mềm Toán học giữ vai
trò quan trọng nhưng đổi mới tư duy của người thầy là quan trọng hơn cả.

3. Kết luận
Trước những yêu cầu về đổi mới, cải tiến phương pháp trong giảng dạy, bản
thân tơi đã có nhiều cố gắng nhằm nâng cao chất lượng bộ môn. Tôi đã tăng cường
công tác tự bồi dưỡng, thường xuyên trao đổi chuyên môn, dự giờ thăm lớp các
đồng nghiệp để đúc rút kinh nghiệm. Tơi nhận thấy bản thân mình phải cố gắng
khơng ngừng vươn lên trong giảng dạy mới đáp ứng được yêu cầu đổi mới của giáo
dục hiện nay.

LUAN VAN CHAT LUONG download : add