SKKN một số KINH NGHIệM dạy “THể TíCH khối đa DIệN“

S GIO DC V O TO LO CAI
TRNG THPT S 1 VN BN

a

b

A
B
O
P

b'
I

H

Sáng kiến kinh
nghiệm
Tên đề tài :
MộT Số KINH NGHIệM DạY THể TíCH KhốI ĐA DIệN

ở TRUNG HọC PHổ THÔNG

môn: toán
tên tác giả: nguyễn mạnh hà
giáo viên môn: toán
chức vụ: phó tổ TRƯởNG chuyên
môn

N¨m häc: 2013 – 2014
PHẦN I: NHỮNG VẤN ĐỀ CHUNG
1. Lý do chọn đề tài
- Nhu cầu về hoà nhập với xu thế mới của giáo dục: “ Lấy người học làm
trung tâm, người học giữ vai trò chủ động, tích cực trong quá trình học tập “
- Những thay đổi của đối tượng được giáo dục:
+ Nhờ vào quá trình đổi mới giáo dục ở THCS nên học sinh đã có vốn kiến
thức nhất định.
+ Đa số học sinh còn yếu trong việc xác định quy trình giải toán, hệ thống
hoá và nhớ các công thức. Đa số học sinh gặp khó khăn trong việc lĩnh hội các kiến
thức về hình học không gian.
+ Việc sử dụng máy tính cầm tay vào giải toán ở đa số học sinh còn yếu.
2. Quan điểm chỉ đạo
- Giáo dục THPT phải củng cố, phát triển những nội dung đã học ở THCS,
hoàn thành nội dung giáo dục phổ thông.
- Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ
động, sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm từng lớp học, môn học. bồi
dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn,
tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh.
3. Mục tiêu của đề tài
a. Mục tiêu tổng quát
- Củng cố và phát triển những kết quả mà học sinh đã có ở THCS, nâng cao
chất lượng môn Toán ở trường THPT số 1 Văn Bàn.
b. Mục tiêu cụ thể
- Đưa ra một số kinh nghiệm truyền đạt các kiến thức cho học sinh với yêu
cầu cơ bản là: chủ yếu tập trung vào việc thực hành giải toán và để ý việc dùng máy
tính cầm tay.
- Góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy và học tập môn Toán của các lớp
mà bản thân tôi phụ trách giảng dạy.
4. Đối tượng nghiên cứu

- Tài liệu chuẩn kiến thức kỹ năng do Bộ Giáo dục và Đào tạo phát hành.
- Thực tế các giờ dạy của bản thân, dự giờ thăm lớp các đồng nghiệp.
5. Phạm vi nghiên cứu: Trong trường THPT số 1 Văn Bàn và trao đổi với
các giáo viên trường bạn.
6. Phương pháp nghiên cứu
- Tổng hợp, phân tích, đánh giá, dự đoán.
- Thống kê, hệ thống hóa.


PHẦN II: NỘI DUNG
1. Thực trạng dạy học môn Toán ở trường THPT số 1 Văn Bàn
a. Cơ sở lý thuyết
* Về phương pháp dạy học
- Thầy là người tổ chức, kích thích, hướng dẫn, giảng giải, giúp đỡ.
- Trò chủ động, hưng phấn, tự giác suy nghĩ, lao động nhiều hơn, thực hành
nhiều hơn. Từ đó có nhu cầu học tập mạnh mẽ, năng động, sáng tạo.
* Về cách thể hiện các kiến thức phần “Thể tích khối đa diện” của sách giáo
khoa:
- Giảm tối đa tính hàn lâm trong việc trình bày các kiến thức.
- Trong chừng mực cho phép, giảm nhẹ yêu cầu đối với tính chặt chẽ, chính
xác toán học.
- Tránh áp đặt kiến thức cho học sinh.
- Tránh cho học sinh có cảm giác nặng nề, nhàm chán trong các tiết học.
- Giúp học sinh nắm bắt, hiểu, củng cố các kiến thức thông qua việc tìm hiểu
các ứng dụng của những kiến thức đó trong khoa học, cũng như trong thực tiễn
cuộc sống.
- Thông qua việc tiếp thu kiến thức, giúp học sinh phát triển tư duy, hình
thành thẩm mỹ toán học.
- Hỗ trợ tích cực cho giáo viên trong việc đổi mới phương pháp giảng dạy.
b. Cơ sở thực tiễn

- Thuận lợi:
+ Bản thân được trang bị đầy đủ kiến thức về bộ môn, được sự quan tâm,
giúp đỡ của đồng nghiệp.
+ Học sinh: Đa số học sinh nỗ lực trong quá trình học tập; tiếp nhận nhanh
phương pháp giảng dạy mới.
- Khó khăn:
+ Giáo viên: Còn lúng túng trong cách truyền đạt kiến thức cho học sinh yếu.
+ Học sinh: Một phần nhỏ chưa có ý thức chuẩn bị bài tập ở nhà; Còn lạm
dụng sách tham khảo hay sử dụng sách tham khảo chưa đúng cách.


2. Một vài kinh nghiệm dạy "Thể tích khối đa diện" ở Trung học phổ
thông.
2.1. Kiến thức học sinh cần nhớ khi học "Thể tích khối đa diện"
2.1.1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông:
A
Cho tam giác ABC vuông tại A, ta có:
2
2
2
a) Định lí Pytago: BC = AB + AC
b
c
b) BA2 = BH .BC ,
c) AB. AC = BC. AH
a

b

A

B

O

b'

I

P

H

1
1
1
=
+
2
2
AH
AB
AC 2
b
c
b
c
e) sin B = ;cos B = ; tan B = ;cot B =
a
a

c
b
c
b
c
b
sin C = ;cos C = ; tan B = ;cot B =
a
a
b
c

d)

B

H

2.1.2. Hệ thức lượng trong tam giác thường:
a) Định lí Cosin:
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc.cos A
b 2 = c 2 + a 2 − 2ca.cos B

b) Định lí Sin:

c 2 = a 2 + b 2 − 2ab.cos C
a
b
c
=

=
= 2R
sin A sin B sin C

(R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)
2.1.3. Các công thức tính diện tích
a) Công thức tính diện tích tam giác:
1
1
2
2
1
= ab.sin C =
2
abc
=
= p.r =
4R

1
2

S = a.ha = b.hb = c.hc
1
1
.bc.sin A = .ac.sin B
2
2
a+b+c 


p ( p − a) ( p − b) ( p − c)  p =
÷
2



- Đặc biệt:
1
2

+ Tam giác ABC vuông tại A: S = AB. AC
a2 3
+ Tam giác ABC đều cạnh a: S =
4

b) Diện tích hình vuông: S = cạnh x cạnh
c) Diện tích hình chữ nhật: S = dài x rộng
d) Diện tích hình thoi: S = chéo dài x chéo ngắn

a

C


e) Diện tích hình thang: S =

1
.(đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao
2

g) Diện tích hình bình hành: S = đáy x chiều cao
1
2

h) Diện tích tứ giác có hai đường chéo x, y vuông góc: S = x. y
h) Diện tích hình tròn: S = π .R 2
2.1.4. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
Ta tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng. Khi đó đường thẳng nối hai điểm
chung là giao tuyến của hai mặt phẳng. Ta thường tìm hai đường thẳng a, b đồng
phẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và giao điểm M (nếu có) của hai đường
thẳng này chính là một điểm chung của hai mặt phẳng.
2.1.5. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
Muốn tìm giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P), ta cần khéo léo
chọn một mặt phẳng (Q) chứa d sao cho giao tuyến a của (P) và (Q) dễ xác định.
Trong mặt phẳng (Q), đường thẳng d cắt a tại A (nếu có). Đó chính là giao điểm
cần tìm.
2.1.6. Chứng minh ba điểm thẳng hàng, chứng minh ba đường thẳng đồng
quy
- Muốn chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh A, B, C là ba
điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q). Khi đó A, B, C nằm trên giao
tuyến của chúng.
- Muốn chứng minh ba đường thẳng a, b, c đồng quy ta chứng minh hai trong
ba đường thẳng đó cắt nhau và giao điểm của chúng nằm trên đường thẳng còn lại
(thông thường lại đưa về bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng)
2.1.7. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P)
B1: Tìm hai điểm chung của mặt phẳng (P) với từng mặt của hình chóp ta
được các đoạn giao tuyến.
B2: Nối các đoạn giao tuyến ta được một đường gấp khúc khép kín là đa giác
cần tìm.
2.1.8. Chứng minh đường thẳng a song song với đường thẳng b

C1: Chứng minh a, b đồng phẳng rồi áp dụng các phương pháp chứng minh
trong hình học phẳng.
C2: Chứng minh a, b cùng song song với một đường thẳng thứ 3
C3: Áp dụng định lí về giao tuyến: Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt
chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến (Nếu có) của chúng song song với
hai đường thẳng ấy.
2.1.9. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (S/d quan hệ song song)
- Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng


- Tìm phương của giao tuyến (Biết giao tuyến song song với một đường
thẳng đã cho)
Khi đó giao tuyến là đường thẳng đi qua điểm chung và song song với đường
thẳng đã cho.
2.1.10.Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng (P)
Chứng minh d không nằm trong (P) và song song với đường thẳng a nằm
trong (P)
(Quay về bài toán chứng minh 2 đường thẳng song song)
2.1.11. Chứng minh hai mặt phẳng song song
Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song
song với mặt phẳng kia.
2.1.12. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Muốn chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) ta thường
dùng một trong hai cách sau:
C1: Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (P)
C2: Chứng minh d song song với đường thẳng a và a vuông góc với mp(P)
2.1.13. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau
Muốn chứng minh đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b ta thường
dùng các cách sau:
C1: Chứng minh đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng chứa đường

thẳng kia.
C2: Nếu hai đường thẳng đó cắt nhau thì ta có thể áp dụng các phương pháp
chứng minh vuông góc đối với hai đường thẳng đã được học trong hình học phẳng.
C3: Dùng định lí ba đường vuông góc (Nếu vuông góc với hình chiếu thì
muông góc với đường xiên và ngược lại)
2.1.14. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
C1: Chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt
phẳng kia
C2: Chứng minh góc giữa hai mặt phẳng bằng 900 hay góc phẳng nhị diện do
hai mặt phẳng đó tạo nên bằng 900
2.1.15. Xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
b

C1: Nếu a và b vuông góc với nhau thì:
- Dựng mặt phẳng (P) chứa a và vuông góc với b tại B
- Dựng BA ⊥ a tại A. Đoạn AB là đoạn vuông góc chung

a

B
A

P

C2: Cho a và b chéo nhau
- Dựng mp(P) chứa a, song song với b
- Chọn M trên b dựng MM ' ⊥ ( P) tại M'
- Từ M' dựng b'//b cắt a tại A

B

M b

A
P

M'
a


- Từ A dựng AB//M'M cắt b tại B
Đoạn AB là đoạn vuông góc chung.
C3: Cho a và b chéo nhau
- Dựng mặt phẳng ( P) ⊥ a tại O, (P) cắt b tại I
- Dựng hình chiếu vuông góc b' của b trên (P)
- Dựng trong (P) đường OH ⊥ b '
- Từ H, dựng đường thẳng song song với a cắt b tại B.
- Từ B dựng đường thẳng song song với OH, cắt a tại A
Đoạn AB là đoạn vuông góc chung của a và b.

a

b

A
B
O
P

b'

I

H

2.1.16. Góc giữa hai đường thẳng a và b: là góc giữa hai đường thẳng a’ và
b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt cùng phưng với a và b.
2.1.17. Góc giữa đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P): là góc
giữa a và hình chiếu a’ của nó trên (P).
2.1.18. Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q): là góc giữa hai đường thẳng lần
lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó,
Hoặc là góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng cùng
vuông góc với giao tuyến của chúng tại một điểm.
2.1.19. Thể tích khối chóp:
1
V = .B.h
3

(B là diện tích đáy, h là chiều cao)

2.1.20. Tỉ số thể tích tứ diện:
Cho khối tứ diện SABC. A’, B’, C’
là các điểm tùy ý lần lượt thuộc
SA, SB, SC. Ta có:

S

C'

VS . A ' B 'C ' SA ' SB ' SC '
=

.
.
VS . ABC
SA SB SC

A'
B'
C

A

B

2.1.21. Thể tích khối lăng trụ:
V = B.h

(B là diện tích đáy, h là chiều cao)
-Đặc biệt:
+ Thể tích khối hộp chữ nhật: V =a.b.c

(a, b, c là ba kích thước)


+ Thể tích khối lập phương: V = a
(a là độ dài cạnh)
2.2. Kinh nghiệm dạy bài tập ”Thể tích khối đa diện”
2.2.1.Phương pháp
a) Cách xác định đường cao của khối đa diện
- Đường thẳng qua đỉnh và vuông góc với mặt đáy.
- Giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt cùng chứa đỉnh và vuông góc với

3

đáy.
- Nếu mặt phẳng (P) đi qua đỉnh, vuông góc với đáy theo giao tuyến ∆ thì
trong mặt phẳng (P), kẻ đường thẳng qua đỉnh và vuông góc với ∆ sẽ được đường
cao của khối chóp.
- Cho hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt đáy thì đoạn nối đỉnh và hình
chiếu của nó là đường cao.
- Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc tạo với đáy những góc bằng
nhau (ít nhất 3 cạnh bên) thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp của đa
giác đáy.
- Khối chóp có các mặt bên (ít nhất 3 mặt bên) cùng tạo với đáy góc bằng
nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy.
- Khối chóp có hai mặt bên kề nhau và cùng tạo với đáy những góc bằng
nhau thì chân đường cao nằm trên đường phân giác góc của đỉnh chung, nằm trong
mặt phẳng đáy.
- Với khối lăng trụ ta lấy một đỉnh kết hợp với đáy đối diện ta cũng được một
khối chóp sau đó việc xác định chân đường cao cũng dựa theo các hướng trên.
- Cho điểm A và mặt phẳng (P). Đường thẳng d chứa A và d / /( P) thì khoảng
cách từ A đến (P) bằng khoảng cách từ điểm M bất kỳ trên d đến (P).
- Nếu có mặt phẳng (Q) chứa A và song song với (P) thì khoảng cách từ A
đến (P) bằng khoảng cách từ điểm M bất kỳ trên (Q) đến (P).
b) Tính thể tích bằng cách sử dụng công thức tỉ số thể tích:
- Tính thể một khối đa diện, ta không tính trực tiếp nó mà thông qua một
khối trung gian. Sau đó tìm tỉ số thể tích giữa khối đa diện cần tính và khối đa diện
trung gian. Từ thể tích khối trung gian ta suy ra thể tích của khối đa diện cần tính.
- Nếu hai khối chóp có cùng diện tích đáy thỡ tỉ số thể tích bằng tỉ số hai
đường cao tương ứng.
- Nếu hai khối chóp có cùng độ dài đường cao thì tỉ số thể tích bằng tỉ số hai
diện tích đáy.

- Cho khối tứ diện SABC. A’, B’, C’ là các điểm tùy ý lần lượt thuộc SA,
SB, SC. Ta có:
VS . A ' B 'C ' SA ' SB ' SC '
=
.
.
VS . ABC
SA SB SC


c) Tính thể tích bằng phương pháp tọa độ:
Hình lập phương hoặc hình hộp chữ nhật ABCD. A' B' C ' D'
Với hình lập phương,
Chọn hệ trục tọa độ sao cho :

D'

A'
B'

A(0;0;0) ; B(a;0;0) ; C ( a; a;0) ; D(0;a;0)

C'

A '(0;0; a ) ; B '(a;0; a) ; C '(a; a; a) ; D'(0;a;a)

Với hình hộp chữ nhật,
Chọn hệ trục tọa độ sao cho :

D

A

A(0;0;0) ; B(a;0;0) ; C ( a; b;0) ; D(0;b;0)

B

C

A '(0; 0; c ) ; B '(a;0; c) ; C '(a; b; c) ; D'(0;b;c)

Hình hộp đáy là hình thoi ABCD. A' B' C ' D'
Chọn hệ trục tọa độ sao cho :
A'

- Gốc tọa độ trùng với giao điểm O
của hai đường chéo của hình thoi
ABCD

z

D'

B'
C'

- Trục Oz đi qua 2 tâm của 2 đáy

D

A

y
B

Hình chóp tứ giác đều S.ABCD
z
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
S
Giả sử cạnh hình vuông bằng a và
đường cao SO = h
Chọn O(0;0;0) là tâm của hình vuông
A
 a 2
 a 2





A
−
;
0
;
0
;
C
;
0

;
0
Khi đó : 
  2

2

 

O

a 2   a 2 
B
B  0; −
;0 ÷; D  0;
;0 ÷; S (0;0; h)



2

÷





2

÷



Hình chóp tam giác đều S.ABC

C

x

D

C

x

y


z

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Giả sử cạnh tam giác đều bằng a và
đường cao bằng h . Gọi I là trung
điểm của BC
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
sao cho I(0;0;0)

S

y

 a
 a

A  − ;0;0 ÷; B  ;0;0 ÷
 2

Khi đó :  2
 a 3   a 3 
C  0;
;0 ÷
÷; S  0; 6 ; h ÷
÷
2

 


C

A
I

H

B

x

Hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và SA ⊥ (ABCD)
z

ABCD là hình chữ nhật
AB = a; AD = b
S
chiều cao bằng h
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho A(0;0;0)

A

Khi đó : B ( a;0;0 ) ; C ( a; b;0 )
D ( 0; b;0 ) ; S (0;0; h)

D

y

D

y

O

B

C

x

Hình chóp S.ABC có ABCD là hình thoi và SA ⊥ (ABCD)
z

S

ABCD là hình thoi cạnh a
chiều cao bằng h
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho O(0;0;0)

A
B

O
C

Hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) và ∆ ABC vuông tại A
z
Tam giác ABC vuông tại A có

x


AB = a; AC = b đường cao bằng h .

S

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
sao cho A(0;0;0)
A

Khi đó : B ( a;0;0 ) ; C ( 0; b;0 )

y

C

S ( 0;0; h )

x

B
Hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) và ∆ ABC vuông tại B

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
sao cho B(0;0;0)

z

S

Tam giác ABC vuông tại B có
BA = a; BC = b đường cao bằng h .

y

x

C

A

Khi đó : A ( a;0;0 ) ; C ( 0; b;0 )

B

S ( a;0; h )

Hình chóp S.ABC có (SAB) ⊥ (ABC), ∆ SAB cân tại S
và ∆ ABC vuông tại C
∆ ABC vuông tại C CA = a; CB = b
chiều cao bằng h

H là trung điểm của AB
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho C(0;0;0)
Khi đó : A ( a;0;0 ) ; B ( 0; b;0 )

z

S

y

x

a b
S ( ; ; h)
2 2

B

H

A

C

Hình chóp S.ABC có (SAB) ⊥ (ABC), ∆ SAB cân tại S
và ∆ ABC vuông tại A
∆ ABC vuông tại A AB = a; AC = b

z

S


chiều cao bằng h
H là trung điểm của AB
C

A

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho A(0;0;0)

H

B

Khi đó : B ( a;0;0 ) ; C ( 0; b;0 )

x

a
S (0; ; h)
2

Hình chóp S.ABC có (SAB) ⊥ (ABC), ∆ SAB cân tại S
và ∆ ABC vuông cân tại C
z

Tam giác ABC vuông cân tại C có
CA = CB = a đường cao bằng h .

S

H là trung điểm của AB
y

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
sao cho H(0;0;0)
 a





a

A



H

B
C

Khi đó : C  ;0;0 ÷; A  0; ;0 ÷
2 
 2


a


B  0; −
;0 ÷; S ( 0;0; h )
2 

1 uuur uuur
Diện tích tam giác ABC: S =  AB, AC 
2

Thể tích tứ diện ABCD: V =

1  uuur uuur uuur
AB, AC  . AD
6

uuur uuur uuur



V
=
Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’:
 AB, AD  . AA '

2.2.2. Các dạng toán
Loại I: Thể tích khối chóp
Dạng 1: Khối chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy

y

x


Ví dụ 1:
Cho hình tứ diện ABCD có cạnh
AD vuông góc với mặt phẳng (ABC),
ngoài ra AD = AC = 4a; AB = 3a; BC =
5a. Tính thể tích khối chóp tứ diện
ABCD theo a và tính khoảng cách từ A
đến (BCD).

D

H
C

A

M
B

Giải
* Tính thể tích khối chóp tứ diện ABCD theo a .
Vì AD = AC = 4a; AB = 3a; BC = 5a.
Suy ra ABC là tam giác vuông tại A.
1
1
1

VABCD = AD.S ABC = .4a. 4a.3a ÷ = 8a 3 .
3
3
2

* Tính khoảng cách từ A đến (BCD).
Dựng AM ⊥ BC tại M và dựng AH ⊥ DM tại H.
 BC ⊥ AM
⇒ BC ⊥ ( ADM ) ⇒ ( DBC ) ⊥ ( ADM ) .

 BC ⊥ DA
Suy ra AH ⊥ ( DBC ) ⇒ d ( A, ( DBC ) ) = AH
Ta có

1
1
1
1

1
1
1
1
1
6a 34
=
+
=
+
+
= 2+
+
2
2
2
2
2
2
2
2 ⇒ AH =
AH
AD
AM
AD
AB
AC
9a 16a 16a
17

Vậy d ( A, ( DBC ) ) =

6a 34
.
17

Ví dụ 2:
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân đỉnh B, AB = a, SA
vuông góc với mặt phẳng (ABC); mp(SBC) tạo với mp(ABC) một góc 450 .Gọi G
là trọng tâm tam giác ABC. Tính thể tích khối chóp S.BCG và tính khoảng cách từ
điểm G đến mp(SBC) theo a.


S

Giải
* Tính thể tích khối chóp S.BCG
Vì mp(SBC) tạo với mp(ABC)
một góc
·
450 ⇒ SBA
= 450 ⇒ SA = AB = a

H

J

C

A

G
I
B

2
3
1
1 1
 1 1 a  a
VS .BCG = SA.SGBC = SA. S ABC ÷ = a. . ÷ =
3
3 3
 3  3 2  18
* Tính khoảng cách từ điểm G đến mp(SBC).
a3
3
3VG .SBC
3VS .GBC
18 = a 2
d (G,( SBC )) =
=
=
1
1
S SBC
6
SB.BC
a 2.a
2
2

Ví dụ 3:

Cho hình chóp tứ giác
S.ABCD có đáy ABCD là hình
vuông cạnh bằng a. Biết các mặt
bên (SAB) và (SAD) vuông góc
với mp(ABCD); SA = a 3 . O là
tâm hình vuông ABCD.Gọi G1 ,
G2 lần lượt là trọng tâm của
∆SAC và ∆SDC. Tính thể tích
khối chóp G1. ABCD và tính
khoảng cách từ điểm G2 đến
mp(SBC) theo a.

S

J

G1
H

G2

A

D

I

O

B

C

Giải
* Tính thể tích khối chóp G1. ABCD :
1
1 1
VG1 . ABCD = .d ( G1 , ( ABCD ) ) .S ABCD = . d ( S , ( ABCD ) ) .S ABCD
3
3 3
3
1
1
a 3
= SA.S ABCD = a 3.a 2 =
9
9
9


* Tính khoảng cách từ điểm G2 đến mp(SBC).

2
21
1
d (G2 ,( SBC )) = d ( J ,( SBC )) =
d ( D,( SBC )) = d ( A,( SBC ))
3

32
3
Kẻ AH ⊥ SB suy ra AH ⊥ (SBC). Khi đó d(A, (SBC)) = AH
Xét ∆SAD vuông tại A. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
1
1
1
1
1
a 3
=
+
=
+
. Suy ra AH =
.
2
2
2
2
2
2
AH
SA
AB
3a
a
Vậy d (G2 , ( SBC )) =

a 3

.
6

Dạng 2: Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy
Ví dụ 1:
S
Cho hình chóp S.ABCD có
đáy ABCD là hình thang vuông tại
A và D; AB = AD = 2a; CD = a.
Mặt phẳng (SBC) tạo với
mp(ABCD) một góc 600 . Mặt bên
I
(SAD) vuông góc với đáy. Các
mặt bên (SAB) và (SDC) cùng tạo
với mặt đáy một góc bằng nhau.
A
Gọi H là trung điểm AD. Tính thể
M
H
tích khối chóp S.ABCD theo a và
tính khoảng cách từ điểm C đến
K
D
C
mp(SHB).
Giải
Vì các mặt bên (SAB) và (SDC) cùng tạo với mặt đáy một góc bằng nhau
·
·
nên SAD

. Suy ra tam giác SAD cân tại S. Khi đó SH ⊥ ( ABCD ) .
= SDA
Dựng SK ⊥ BC tại K.
·
Vì (SBC) tạo với mp(ABCD) một góc 600 nên SKH
= 600 .
* Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a:
Ta có:
2a.a
2a + a ) 2a
(
a.a a 2
2
2
= a ; SCDH =
= 3a ; S ABH =
=
BC = a 5 ; S ABCD =
2
2
2
2
2
2
a
3a
S HBC = S ABCD − S ABH − SCDH = 3a 2 − a 2 − =
2
2

B


3a 2
2
2S
3a 5 ; SH = HK .tan 600 = 3a 15
HK = HBC = 2 =
5
BC
5
a 5
1
1 3a 15 2 3a 3 15
Vậy VS . ABCD = SH .S ABCD = .
(đvtt)
.3a =
3
3
5
5
* Tính khoảng cách từ điểm C đến mp(SHB):
Dựng CM ⊥ HB tại M ⇒ CM ⊥ ( SHB ) ⇒ d ( C , ( SHB ) ) = CM
S HBC

2S
3a 5
3a 5
3a 2
; BH = a 5 ; CM = HBC =

. Vậy d ( C , ( SHB ) ) =
.
=
2
BH
5
5

Dạng 3: Khối chóp đều.
Ví dụ 1:
Cho hình chóp tứ giác đều
SABCD có cạnh bên bằng

S

a 5
;
4

mặt bên tạo với đáy một góc 600 .
Tính thể tích khối chóp S.ABCD và
tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng AB và SD.

H
D
C
O
A

a

I
B

Giải
* Tính thể tích khối chóp S.ABCD
- Hình chóp tứ giác đều SABCD có:
+ ABCD là hình vuông cạnh a;
+ SO ⊥ (ABCD);
+ SA = SB = SC = SD.
Đặt AB = x. Gọi I là trung điểm BC. Vì mặt bên tạo với đáy một góc 600
·
nên SIO
= 600 .
x
x 3
x
Ta có OI = BI = ; SO =
; SI =
2
2
4
2
2
 a 5   x   x 2
2
2
2
SB = SI + IB ⇔ 

÷ = ÷ + ÷ ⇔ x=a
 4  2 4
1
1 a 3 2 a3 3
Vậy VS . ABCD = SO.S ABCD = .
.a =
3
3 2
6


* Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD.
Vì AD // BC nên d(AD, SC) = d(AD, (SBC)) = d(A, (SBC))
Ta có AO ∩ (SBC) ≡ C và c do đó
d(A, (SBC)) = 2.d(O, (SBC)) ;
SO ⊥ (ABCD) nên SO ⊥ BC
Kẻ SJ ⊥ BC thì J là trung điểm của BC
Suy ra BC ⊥ (SOJ) ⇒ (SBC) ⊥ (SOJ)
(SBC) ∩ (SOJ) ≡ SJ, kẻ OH ⊥ SJ (H ∈ SJ). Khi đó d(O, (SBC)) = OH
Xét tam giác SOJ vuông tại O, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có
1
1
1
1
=
+
OJ = .a , SO = SC 2 − CO 2
2
2
2 mà

OH
OJ
OS
2
3
3
Suy ra OH =
.a
a .Vậy d ( AD, SC ) =
2
4

Ví dụ 2:
Cho hình chóp tứ giác đều
S.ABCD cạnh đáy bằng a. Cạnh bên
bằng 2a. Gọi E là điểm đối xứng của D
qua trung điểm của SA. Gọi M , N lần
lượt là trung điểm của AE và BC. Tính
thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng
cách giữa hai đường thẳng MN, AC theo
a.

E
S
M

A

P
O

D

B
H
N
C

Giải
Gọi P là trung điểm của AB .Khi đó MP // AB
(1)
Ta có SE // DA và SE = DA ⇒ SE // BC
Có SE = BC ⇒ SEBC là hình bình hành ⇒ EB // SC (2)
Vậy từ (1) , (2) ⇒ MP // SC
Lại có PN // AC nên (MNP) // (SAC)
⇒ d(MN, AC) = d((MNP),(SAC)) = d(H,(SAC)) = OH = 1 BD = a 2
4
4

(với H, O lần lượt là giao điểm của BD với NP và AC).


Loại II: Thể tích khối lăng trụ
Dạng 1: Khối lăng trụ đứng.
Ví dụ 1:
Cho hình lập phương
ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.Gọi G là trọng
tâm ∆ABA’ . Tính thể tích khối chóp
G.BDD’B’ theo a.

D

C
O

A

M

B

G
D'

C'

A'

B'

Giải
BG
2
=
(do G là trọng tâm ∆ABA’). Khi đó
BM
3
2
2
21

21
a 2
.
d (G, ( BDD ' B ')) = d ( M , ( BDD ' B ')) = AO =
AC =
.a 2 = .
3
3
32
32
3
a 2
Hay d (G , ( BDD'B'))=
.
3
1
1a 2 2
2a 3
VG . BDD'B'. = d (G , ( BDD'B')).SBDD'B' =
a 2=
3
3 3
9
Ví dụ 2:
Cho lăng trụ đứng tam giác
A'
C'
ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác
B'
vuông có BA = BC = a, cạnh bên AA’

= a 2 . Gọi M là trung điểm của BC.
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
E
AM và B’C.
C
A
Ta có

M
B

Giải
Gọi E là trung điểm BB’
Ta có EM // B’C suy ra B’C / / (AEM)
Suy ra d(B’C,AM)= d(B’C,(AEM))= d(C,(AEM)) = d(B,(AEM))
(vì MB = MC)


Do tam giác ABC vuông tại B nên tứ diện BAEM có BA, BE, BM đôi một
vuông góc với nhau.
Nếu gọi BH là chiều cao kẻ từ B của tứ diện ABCD ( H ∈ ( AEM ) ) thì
1
1
1
1
1
1
1
7
a 7

=
+
+
= 2 + 2 + 2 = 2 ⇒ BH 2 =
2
2
2
2
a
a
BH
BA BE
BM
a
a
7
2
4
a 7
⇒ d ( AM , B ' C ) =
7

Ví dụ 3:
Cho khối lăng trụ đứng
ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác
đều cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm
của cạnh AC. Góc tạo bởi đường thẳng
B'M và mặt phẳng (ABC) bằng 450
a) Tính diện tích tam giác ABC
b) Tính chiều cao của khối lăng trụ trên

c) Tính thể tích của khối lăng trụ trên

B'

C'

A'

B

45°

C
M

A

Giải
* Diện tích tam giác ABC là:
* ( B ' M , ( ABC ) )

1
a2 3
S ABC = . AB. AC.sin 600 =
2
4
0
= ∠B ' MB = 45

* Xét tam giác B'BM vuông tại B có: BB ' = BM .tan 450 =

Vậy chiều cao của khối lăng trụ bằng BB'=

a 3
2

a 3
2

* Thể tích của khối lăng trụ là
VABC . A ' B 'C ' = S ABC .BB ' =

a 2 3 a 3 3a 3
.
=
4
2
8


Dạng 2: Khối lăng trụ xiên
Ví dụ 1:
Cho hình hộp
ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình
chữ nhật với
AB = 3 AD = 7 .Hai mặt bên
(ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt
tạo với đáy những góc 450 và 600. .
Tính thể tích khối hộp nếu biết
cạnh bên bằng 1.

D'
C'

A'
B'

D
C

N
A

H
M

B

Giải
Kẻ A’H ⊥ ( ABCD ) ,HM ⊥ AB, HN ⊥ AD ⇒ A' M ⊥ AB, A' N ⊥ AD
¼
⇒¼
A 'MH = 45o ,A'NH
= 60o
Đặt A’H = x . Khi đó
2x
A’N = x : sin 600 =
3
3 − 4x 2
AN = AA' 2 − A' N 2 =
= HM

3
Mà HM = x.cot 450 = x
3 − 4x 2
3
-> x =
⇒x=
3
7
Kết luận: VABCD.A’B’C’D’ = AB.AD.x =

3. 7.

3
=3
7

Ví dụ 2:
Cho lăng trụ tam giác ABC.A 1B1C1 có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi
cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 300. Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng
(A1B1C1) thuộc đường thẳng B1C1. Tính thể tích khối lăng trụ và khoảng cách giữa
hai đường thẳng AA1 và B1C1 theo a.


A

B

C

K

A1

C
H

1

B1
Giải
Do AH ⊥ ( A1 B1C1 ) nên góc ∠AA1 H là góc giữa AA1 và (A1B1C1).
Theo giả thiết thì góc ∠AA1 H bằng 300.
a 3
Xét tam giác vuông AHA1 có AA1 = a, góc ∠AA1 H =300 ⇒ A1 H =
.
2

a 3
2
AH
⊥
B
C
B
C
⊥
(
AA
H
)

nên A1H vuông góc với B1C1. Mặt khác
1 1 nên
1 1
1

Do tam giác A1B1C1 là tam giác đều cạnh a, H thuộc B1C1 và A1 H =

Kẻ đường cao HK của tam giác AA1H thì HK chính là khoảng cách giữa
AA1 và B1C1.
Ta có AA1.HK = A1H.AH ⇒ HK =

A1 H . AH a 3
=
AA1
4

Loại III: Sử dụng phương pháp tọa độ để tìm thể tích khối đa diện
Ví dụ 1:
Trong không gian với hệ toạ
độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có
đáy ABCD là hình thoi. AC cắt BD
tại gốc toạ độ O. Biết A(2;0;0) ;
B(0;1;0) ; S (0;0;2 2 ) . Gọi M là trung
điểm của SC .
1. Tính góc và khoảng cách
giữa hai đường thẳng SA và BM
2. Giả sử mặt phẳng (ABM)
cắt đường thẳng SD tại N. Tính thể
tích khối chóp S.ABMN.

S
M

N

A

D

C
O


Giải
Chọn hệ trục toạ độ Đê cac vuông góc Oxyz như sau :
O(0;0;0) ; A(2;0;0) ; B(0;1;0) ; S (0;0;2 2 )
Ta có :

(

C (−2;0;0) ; D(0;−1;0) ; M (−1;0; 2 )

)

(

SA = 2;0;−2 2 ; BM = − 1;−1; 2

)

1. Gọi α là góc giữa SA và BM Sử dụng công thức tính góc giữa hai đường
thẳng
Ta có :

(

)

cos α = cos SA, BM =

SA.BM
SA BM

3
2

=

⇒ α = 30o

* [ SA, BM ] = (−2 2 ;0;−2) ; AB = (−2;1;0) [SA, BM ]. AB = 4 2 ≠ 0
d ( SA, BM ) =

[ SA, BM ]. AB
[ SA, AB]

=

4 2
2 6

=
3
8+4



2. MN // AB // CD ⇒ N là trung điểm của SD. Toạ độ trung điểm N  0;− ; 2 


SA = (2;0;−2 2 ) ;

SM (−1;0;− 2 )

1
2

SB = (0;1;−2 2 ) ;

SM (−1;0;− 2 ) ⇒ [ SA, SM ] = (0;4 2 ;0)
1
4 2 2 2
[ SA, SM ].SB =
=
6
6
3
1
2 2
2
VS . AMN = [ SA, SM ].SN =

=
6
6
3
Vậy VS . ABMN = VS . ABM + VS . AMN = 2 (đvtt)
VS . ABM =

Ví dụ 2:
z

Cho hình chóp S.ABCD có đáy
ABCD là hình vuông cạnh 2a ; SA = a ;
SB = a 3 và mặt phẳng (SAB) vuông
góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của các cạnh AB,
BC . Tính theo a thể tích khối chóp
S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai
đường thẳng SM, DN
x

S

A

B

M

Giải

D y
K

H
N

C




Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên AB ⇒ SH ⊥ (ABCD)
Ta có : SA2 + SB 2 = a 2 + 3a 2 = AB 2
⇒ ∆SAB vuông tại S ⇒ SM = a
a 3
Do đó : ∆SAM đều ⇒ SH =
2



a 3

÷;
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau : H (0;0;0) ; S  0;0;
2 ÷







A  − ;0;0 ÷ ; B  ;0;0 ÷ ;
 2

 2

a

3a





D  − ; 2a;0 ÷ ; M  ;0;0 ÷ ;
2
2
a

a



uuur  a
a 3  uuur  3a
a 3
SM =  ;0; −
SN
=
;

a
;
−
÷

÷;
;
 2
2 ÷
2 ÷
2



uuur  a
a 3  uuur
SD =  − ; 2a; −
÷; DN = ( 2a; − a;0 )
2 ÷
 2





uur  3a
a 3
SB =  ;0; −
÷;
2 ÷

 2


 3a

; a;0 ÷
 2


N

+ Thể tích khối chóp S.BMDN

VS . BMDN = VSMNB + VSMND

2
2
uuur uuur  2

 SM , SN  =  a 3 ; − a 3 ; a ÷

  2
2
2 ÷


3
3
uuur uuur uur
uuur uuur uuur

 SM , SN  SB = a 3 ;  SM , SN  SD = 3a 3




2
2
3
1 uuur uuur uur a 3
1 uuur uuur uuur a 3 3
VSMNB =  SM , SN  SB =
VSMND =  SM , SN  SD =
;
6
12
6
4

VS . BMDN = VSMNB + VSMND =

a3 3 a3 3 a3 3
+
=
12
4
3

+ Tính cosin của góc giữa SM, DN
cos ( SM , DN ) =

a2
a 2 3a 2
+
4a 2 + a 2
4
4

=

1
5

Ví dụ 3:
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a ,
cạnh bên AA ' = a 2 . Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích của khối
lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B’C


Giải
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac
vuông góc Oxyz như sau :

B'

B (0;0;0) ; A ( 0; a;0 ) ; C ( a;0;0 ) ;
a

B’ 0;0; a 2 ; M  ;0;0 ÷
2


uuuur  a
 uuuur
AM =  ; − a;0 ÷ ; B ' C = a;0; −a 2 ;
2

uuuur
AB ' = 0; − a; a 2

(

z

A'

C'

)

(

(

)

A

B

)

y
M
C

x

uuuur uuuur  2
a2 2 


AM
,
B
'
C
=
a
2;
;a ÷
Chứng minh AM và B’C chéo nhau: 
 
2



+ Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’
VABC . A ' B 'C ' = AA '.S ∆ABC =

1 3
a 2

2

(đvtt)

+ Khoảng cách giữa AM và B’C
uuuur uuuur uuuur a 3

Vì :  AM , B ' C  AB ' =
2
⇒ AM và B’C chéo nhau
uuuur uuuur uuuur
 AM , B ' C  AB '


d ( AM , B ' C ) =
uuuur uuuur
 AM , B ' C 


3
a
a 7
2
=
=
7
1
2a 4 + a 4 + a 4
2

PHẦN III: KẾT LUẬN
1. Bài học kinh nghiệm
* Từ những kinh nghiệm trên kết quả bài kiểm tra khảo sát của 01 lớp mà tôi
tham gia giảng dạy như sau:
Điểm yếu kém
15,2
%

Điểm trung bình
47,4
%

Điểm khá giỏi
37,4
%

Tổng số đạt yêu cầu
84,8
%

* Tôi nhận thấy để dạy tốt "Thể tích khối đa diện" ở trường THPT, người
dạy cần phải làm được tối thiểu các công việc sau:
- Gây hứng thú học tập cho học sinh.
- Phải có kiến thức sâu sắc.
- Chuẩn bị tốt kiến thức cho học sinh (chú trọng phần phương pháp)
- Soạn giảng theo chuyên đề để tạo điều kiện cho học sinh dễ tiếp thu, từ đó
tạo niềm say mê, yêu thích, khám phá môn Toán cho các em học sinh.
- Coi trọng việc khai thác các kiến thức có trong sách giáo khoa THPT làm
nền tảng giảng dạy. Điều đó sẽ giúp ích rất tốt cho sự phát triển trí tuệ của học sinh.

- Cần khai thác tốt các phần mềm Toán học như: mapple, Cabri, Sketpad, ...
trong quá trình truyền đạt kiến thức cho học sinh.
- Cần có sự quan tâm sát đáng đối với học sinh yếu. Các phần kiến thức cần
được nhắc đi, nhắc lại nhiều lần để kiến thức có thể thấm dấn vào học sinh.
- Chú ý đổi mới kiểm tra, đánh giá. Kiểm tra kiến thức học sinh trong cả quá
trình học tâp (trước, trong và sau khi học).
* Để có thể học tốt, người trò phải tích cực, tự giác trong việc chuẩn bị bài,
rèn luyện kỹ năng giải bài tập.
2. Đề xuất, kiến nghị
- Nội dung dạy một bài luyện tập cần được quan tâm nhiều hơn trong các
dịp bồi dưỡng (cần có những giờ giảng mẫu của các giáo viên cốt cán, mà qua đó
các giáo viên dự có thể đúc rút ưu, nhược điểm để hoàn thiện mình).
- Trong các dịp bồi dưỡng cần dành thời gian đáng kể để trao đổi về các
chuyên đề ôn thi học sinh giỏi (có sự chọn lọc giáo viên tham gia). Điều đó sẽ làm
rút ngắn khoảng cách giữa giáo viên các trường và giáo viên trường THPT Chuyên
Lào Cai, đồng thời góp phần nâng cao chất lượng môn Toán nói chung của toàn
tỉnh Lào Cai.
- Trong đổi mới phương pháp, máy chiếu và các phần mềm Toán học giữ vai
trò quan trọng nhưng đổi mới tư duy của người thầy là quan trọng hơn cả.