(SKKN HAY NHẤT) sử dụng phương pháp hình học để giải các bài tập về chuyển động biểu kiến của mặt trời

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
TRƯỜNG THPT SÔNG RAY
Mã số: ..........

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TẬP VỀ
CHUYỂN ĐỘNG BIỂU KIẾN CỦA MẶT TRỜI

Người thực hiện: DƯƠNG LAN ANH
Lĩnh vực nghiên cứu:
- Quản lý giáo dục



- Phương pháp dạy học bộ mơn: ĐỊA LÝ



- Lĩnh vực khác: ....................................................... 
Có đính kèm: Các sản phẩm không thể hiện trong bản in SKKN
 Mơ hình
 Đĩa CD (DVD)
 Phim ảnh  Hiện vật khác
(các phim, ảnh, sản phẩm phần mềm)

Năm học: 2013 - 2014
1

LUAN VAN CHAT LUONG download : add

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
––––––––––––––––––
I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1. Họ và tên:Dương Lan Anh
2. Ngày tháng năm sinh: 24/03/1979
3. Nam, nữ: Nữ
4. Địa chỉ: Trường THPT Sông Ray- Xuân Tây- Cẩm Mỹ- Đồng Nai
5. Điện thoại cơ quan:0613- 713.267 / ĐTDĐ: 0984040469
6. Fax: Khơng có E-mail:
7. Chức vụ: Giáo viên giảng dạy bộ môn Địa Lý
8. Nhiệm vụ được giao năm học 20013-2014: Giảng dạy môn Địa Lý khối
12- 5 lớp; khối 10- 6 lớp; giáo viên chủ nhiệm lớp 11a8
9. Đơn vị công tác: Trường THPT Sơng Ray
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Thạc sỹ
- Năm nhận bằng: 2010
- Chuyên ngành đào tạo: Địa Lý sử dụng và bảo vệ tài nguyên môi trường
thuộc trường Đại học Khoa học, xã hội và nhân văn- Đại học quốc gia Tp.Hồ Chí
Minh
III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chun mơn có kinh nghiệm:Giảng dạy mơn Địa Lý trong trường
THPT; viết báo cáo và đánh giá về hiện trạng mơi trường của địa phương.
- Số năm có kinh nghiệm:10 năm
- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:
+ 2009: Đánh giá tài nguyên nước khu vực sơng Sài Gịn ( Phạm vi khảo sát
quận 7 và quận Nhà Bè).
+ 2010: Luận văn thạc sỹ: Đánh giá tài nguyên du lịch nhân văn tỉnh Gia Lai
+ 2012: Sơ đồ tư duy trong các tiết ôn tập môn Địa Lý 12.
+ 2013-2014: Đề tài “Sử dụng phương pháp giải bài tập về chuyển động biểu
kiến của Mặt Trời”

2

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TẬP VỀ
CHUYỂN ĐỘNG BIỂU KIẾN CỦA MẶT TRỜI
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong những năm qua ngành giáo dục đã có nhiều thay đổi trong nội dung dạy
và học ở các bậc học trong hệ thống giáo dục chung toàn quốc. Một trong những
vấn đề cốt lõi để được quan tâm là “ Làm thế nào để nâng cao hiệu quả dạy và học
của thầy và trò trong hệ thống giáo dục hiện nay ở nước ta?”. Vấn đề đổi mới
phương pháp dạy và học tích cực đã được phổ biến và áp dụng trong tất cả các bậc
học và mơn học trên tồn quốc đã đạt được những kết quả đáng khích lệ. Riêng
trường THPT Sơng Ray trong hai năm học 2012-2013 và 2013-2014 nhờ áp dụng
phương pháp đổi mới trong dạy và học đã đạt được kết quả cao trong bồi dưỡng học
sinh giỏi:
Năm học

Khối 12

Thứ hạng

Khối 10

Môn Địa Lý
(Số lượng giải)

2012-2013

26

7

10 giải trong có 1 giải 2, 3 giải 3.

2013-2014

8

6

5 giải trong đó có 1 giải 3.

Để đạt được thành quả đó là cả một sự nổ lực lớn của ban lãnh đạo cùng với
giáo viên của trường trong việc thực hiện phương pháp đổi mới trong dạy học tích
cực nhằm phát huy tính chủ động sáng tạo của người học ở trường THPT Sông Ray.
Để phát huy tính tích cực và sáng tạo trong mơn học Địa Lý đặc biệt trong các
lớp bồi dưỡng học sinh giỏi và lớp nâng cao ở trường, trong quá trình dạy tơi đã vận
dụng
“ Sử dụng phương pháp hình học để giải các bài tập chuyển động biểu
kiến của Mặt Trời”
Đối với phương pháp này theo quan điểm và sự quan sát của tác giả trong quá
trình áp dụng đã có được những thuận lợi như sau:
- Mơn hình học tạo cho học sinh tính trực quan cao trong việc vận dụng nó vào
giải tốn Địa lý và sự kiểm sốt q trình di chuyển biểu kiến của Mặt Trời trong
một năm.
- Học sinh có thể chứng minh và tìm ra cơng thức để giải các bài tốn liên
quan đến chuyển động biểu kiến của Mặt Trời, không nhất thiết phảo học thuộc lịng

cơng thức máy móc nhưng khơng hiểu được tại sao có được cơng thức đó.
-Kích thích khả năng tư duy và liên hệ kiến thức hình học của học sinh vào
môn học Địa Lý sẽ giúp các em thích thú học mơn Địa Lý hơn. Trên thực tế Địa Lý
là môn học khoa học “liên môn, liên ngành và có tính quy luật”. Cho nên dạy và học
Địa Lý là phải làm nổi bật được tính đặc thù của mơn khoa học này và điều đó tạo
hiệu quả rất tốt cho quá trình dạy và học của thầy và trị.
Qua đề tài này tơi muốn chia sẽ đến quý thầy cô và các em học sinh cảm hứng
và tình u đối với mơn học này. Tuy nhiên trong quá trình áp dụng phương pháp
này, chắc chắn sẽ khơng tránh khỏi những thiếu sót hoặc những chỗ chưa hay. Vì
3

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


thế, tôi rất mong nhận được những ý kiến chia sẽ, phê bình cũng như góp ý xây
dựng để đề tài tơi hồn thiện hơn.
II.CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1. Cơ sở lí luận
1.1

Khái niệm về phương pháp dạy học tích cực

Phương pháp dạy học (PPDH) tích cực là một thuật ngữ rút gọn, được dùng ở
nhiều nước để chỉ những phương pháp giáo dục, dạy học theo hướng phát huy tính
tích cực, chủ động, sáng tạo của người học. PPDH tích cực hướng tới việc hoạt động
hóa, tích cực hóa hoạt động nhận thức của người học, nghĩa là tập trung vào phát
huy tính tích cực của người học chứ không phải là tập trung vào phát huy tính tích
cực của người dạy.
Định hướng đổi mới phương pháp dạy và học đã được xác định trong Nghị
quyết Trung ương 4 khóa VII (1 - 1993), Nghị quyết Trung ương 2 khóa VIII (12 1996), được thể chế hóa trong Luật Giáo dục (12 - 1998), được cụ thể hóa trong các

chỉ thị của Bộ Giáo dục và Đào tạo, đặc biệt là chỉ thị số 15 (4 - 1999).
Luật Giáo dục, điều 24.2, đã ghi: "Phương pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy
tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của
từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng
kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập
cho học".
Có thể nói cốt lõi của đổi mới dạy và học là hướng tới hoạt động học tập chủ
động, chống lại thói quen học tập thụ động.
1.2

Đặc trưng của phương pháp dạy học tích cực

- Dạy và học thông qua tổ chức các hoạt động học tập của học sinh: Thông
qua đặc trưng này người học vừa là đối tượng của quá trình dạy học vừa là chủ thể
của q trình học. Qua đó tự lực khám phá những điều mình chưa rõ chứ không phải
thụ động tiếp thu những tri thức đã được giáo viên sắp đặt.
- Dạy và học chú trọng rèn luyện phương pháp tự học
Ngày nay người ta nhấn mạnh mặt hoạt động học trong qúa trình dạy học, nỗ
lực tạo ra sự chuyển biến từ học tập thụ động sang tự học chủ động, đặt vấn đề phát
triển tự học ngay trong trường phổ thông, không chỉ tự học ở nhà sau bài lên lớp mà
tự học cả trong tiết học có sự hướng dẫn của giáo viên.
- Tăng cường học tập cá thể, phối hợp với học tập hợp tác.
Lớp học là môi trường giao tiếp thầy - trò, trò - trò, tạo nên mối quan hệ hợp
tác giữa các cá nhân trên con đường chiếm lĩnh nội dung học tập. Thông qua thảo
luận, tranh luận trong tập thể, ý kiến mỗi cá nhân được bộc lộ, khẳng định hay bác
bỏ, qua đó người học nâng mình lên một trình độ mới. Bài học vận dụng được vốn
hiểu biết và kinh nghiệm sống của người thầy giáo.
Học tập hợp tác làm tăng hiệu quả học tập, nhất là lúc phải giải quyết những
vấn đề gay cấn, lúc xuất hiện thực sự nhu cầu phối hợp giữa các cá nhân để hoàn
4

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


thành nhiệm vụ chung. Trong hoạt động theo nhóm nhỏ sẽ khơng thể có hiện tượng
ỷ lại; tính cách năng lực của mỗi thành viên được bộc lộ, uốn nắn, phát triển tình
bạn, ý thức tổ chức, tinh thần tương trợ. Mơ hình hợp tác trong xã hội đưa vào đời
sống học đường sẽ làm cho các thành viên quen dần với sự phân công hợp tác trong
lao động xã hội.
Trong nền kinh tế thị trường đã xuất hiện nhu cầu hợp tác xuyên quốc gia, liên
quốc gia; năng lực hợp tác phải trở thành một mục tiêu giáo dục mà nhà trường phải
chuẩn bị cho học sinh.
- Kết hợp đánh giá của thầy với tự đánh giá của trò.
Trong dạy học, việc đánh giá học sinh không chỉ nhằm mục đích nhận định
thực trạng và điều chỉnh hoạt động học của trò mà còn đồng thời tạo điều kiện nhận
định thực trạng và điều chỉnh hoạt động dạy của thầy.
Trước đây giáo viên giữ độc quyền đánh giá học sinh. Trong phương pháp tích
cực, giáo viên phải hướng dẫn học sinh phát triển kĩ năng tự đánh giá để tự điều
chỉnh cách học. Liên quan với điều này, giáo viên cần tạo điều kiện thuận lợi để học
sinh được tham gia đánh giá lẫn nhau. Tự đánh giá đúng và điều chỉnh hoạt động
kịp thời là năng lực rất cần cho sự thành đạt trong cuộc sống mà nhà trường phải
trang bị cho học sinh.
1.3 Khái niệm về học tập tích cực
Tâm lí học hoạt động chỉ ra rằng: Bằng hoạt động và thông qua hoạt động con người
tự sinh ra tâm lí, tạo thành và phát triển ý thức cũng như nhân cách của mình. Học
sinh vừa là sản phẩm vừa là chủ thể tích cực của hoạt động. Kết quả học tập phụ
thuộc chủ yếu vào hoạt động của học sinh. Học “Là sự biến đổi bản thân mình trở
nên có thêm giá trị, bằng lỗ lực của chính mình để chiếm lĩnh nhưng giá trị mới từ
bên ngoài” (Jacques Delors – Learning: The treasure within, USNECO, Pari 1996).
Theo khái niệm trên muốn đạt được hiệu quả giáo dục thì người thầy phải tìm cách

để kích thích học sinh tự tìm tịi và học hỏi kiến thức thông qua sự dẫn dắt của giáo
viên, không thụ động trong quá trình tìm kiến tri thức mới.
1.4 Vận dụng kiến thức hình học để biểu diễn khi giải bài tập
Chủ đề “Khảo sát chuyển động biểu kiến của mặt trời” trên thực tế là khảo sát
góc nhập xạ (góc nghiêng của tia nắng mặt trời chiếu xuống bề mặt Trái Đất) và
tìm hiểu qui luật biến thiên của giá trị này theo thời gian với chu kì là một năm.
Đây là một chuyển động địa – vật lí trong khơng gian khá phức tạp về phương
diện hình học; bởi vậy học sinh cần phải lắm vững các kiến thức (khái niệm, tính
chất…) của bộ mơn hình học phẳng và phải có tư duy về hình học khơng gian để
dễ dàng hình dung được chuyển động biểu kiến. Những kiến thức về hình học mà
tác giả đã vận dụng trong đề tài này là:
- Tia phân giác: Biểu thị 2 trị số góc nhập xạ bằng nhau trên một điểm của bề mặt
Trái Đất hoặc biểu thị góc ở tâm khi khảo sát cùng thời điểm có hai vị trí góc
nhập xạ bằng nhau.
5

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


- Các định lí về hai đường thẳng song song: Dùng tính chất bằng nhau của các cặp
góc đồng vị, cặp góc trong cùng phía; tính chất bù nhau của cặp góc ngồi cùng
phía…
- Tính chất phụ nhau (Có tổng hai góc là 90 0): Dùng tính tốn sự liên hệ giữa góc
nhập xạ và góc ở tâm.
2. Cơ sở thực tiễn
2.1.Thuận lợi và khó khăn khi thực hiện đề tài
a. Thuận lợi
- Yêu cầu đổi mới trong giáo dục nói chung và mơn địa lý nói riêng đã tạo điều
kiện cho giáo viên và học sinh có cơ hội để áp dựng các phương pháp dạy và học
tích cực như: hoạt động nhóm, dung cơng nghệ thơng tin trong dạy học, sử dụng

tính liên ngành, liên mơn để tiết dạy đạt hiệu quả tối ưu nhất…
- Cơ sở vật chất và phương tiện dạy học phù hợp và tương đối đầy đủ.
- BGH thực sự quan tâm và tạo điều kiện để thầy và trị có được mơi trường học
tập tốt nhất có thể.
- Về giáo viên:
+ Đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm mặc dù tuổi nghề chưa cao, nhiệt huyết
với nghề.
+ Trong tổ thường xuyên tổ chức các chuyên đề đây là cơ hội để các giáo viên
trong tổ học hỏi kinh nghiệm và trao đổi những thơng tin liên quan đến các bài dạy.
- Về phía học sinh:
+ Tinh thần học tập nghiêm túc, khả năng tiếp thu phương pháp mới nhanh.
+ Các khối lớp đều có lớp để bồi dưỡng học sinh giỏi mơn địa lý, một lớp từ 7- 12
học sinh. Đây là cơ hội để giáo viên nâng cao thêm tay nghề cũng như học sinh có
nhiều cơ hội trau dồi thêm kiến thức của mình
b. Khó khăn
- Do đầu vào trường thấp nên ngồi các lớp cơ bản ra thì trường thì có 3 lớp nâng
cao cho ban tự nhiên cịn lớp nâng cao cho ban khoa học xã hội khơng có.
- Học sinh nhìn chung khơng quan tâm đến các mơn xã hội vì cho rằng đây là mơn
phụ khơng liên quan đến các kì thi sau này.
- Học sinh tham gia vào đội tuyển để bồi dưỡng môn Địa Lý lực học tương đối thấp.
- Phạm vi và đối tượng áp dụng phương pháp này còn hẹp trong khi giáo viên muốn
truyền đạt đơn vị kiến thức này thì phải đầu tư nhiều thời gian nghiên cứu mơn hình
học thật am tường.

6

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP

1. Phạm vi và đối tượng
a. Phạm vi: Thực hiện trên các lớp dạy bồi dưỡng học sinh giỏi môn Địa Lý
của 3 khối lớp 10, 11, 12.
b. Đối tượng: Tất cả học sinh khối 10 bậc THPT, đặc biệt các lớp tự chọn,
ban KHXH và các lớp bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Địa Lý của 3 khối lớp 10, 11,
12 có nhu cầu nâng cao kiến thức địa lý tự nhiên phần chuyển động biểu kiến. Trong
đề tài này tác giả chỉ dạy chủ yếu và khảo sát trên các lớp bồi dưỡng học sinh giỏi
của 3 khối.
2. Những công việc liên quan trong quá trình thực hiện đề tài
- Tổ chức dạy ở 3 khối lớp bồi dưỡng học sinh giỏi môn Địa Lý, mỗi lớp dao
động 9- 12 học sinh về phương pháp giải bài tập chuyển động biểu kiến của mặt trời
bằng phương pháp hình học.
- Ở 3 lớp tác giả chia ra thành 6 nhóm, mỗi lớp 2 nhóm để dạy đối chứng;
nhóm 1được học giải bài tập chuyển động biểu kiến của Mặt Trời bằng phương
pháp hình học ngay từ bắt đầu; nhóm 2 được học giải bài tập chuyển động biểu kiến
của Mặt Trời bằng 2 giai đoạn. Giai đoạn 1 học sinh được tiếp cận theo phương
pháp giải truyền thống như: nhớ các công thức giáo viên hướng dẫn, dùng quy tắc
tam xuất hoặc theo cách hướng dẫn của tuyển tập Olympic môn Địa Lý 30-4 được
xuất bản định kỳ hàng năm, nhà xuất bản Đại Học sư phạm và các loại sách hướng
dẫn khác đang hiện hành trên thị trường. Giai đoạn 2 học sinh tiếp cận phương pháp
giải toán chuyển động biểu kiến bằng phương pháp hình học.
- Thực hiện giải các bài tập để chứng minh phương pháp của tác giả để nhấn
mạnh cho sinh hiểu và sau đó tự áp dụng vào trong quá trình học tập của mình.
3. Hoạt động dạy học và tiến trình dạy học “Sử dụng phương pháp hình
học giải bài tập chuyển động biểu kiến của Mặt Trời”
Mục tiêu của đề tài này là giúp cho học sinh hiểu rõ về chuyển động biểu
kiến của Mặt Trời để từ đó tạo tiền đề cho việc nghiên cứu các ứng dụng thực tiễn
như giải thích các hiện tượng tự nhiên và giải các bài tốn có liên quan đến chuyển
động biểu kiến của Mặt Trời- ở đây tác giả chỉ xin mạn phép được trình bày phần
giải bài tập về chuyển động biểu kiến của Mặt Trời, riêng về sử dụng góc nhập xạ

để giải thích các hiện tượng tự nhiên trong môn Địa Lý tác giả sẽ trình bày ở một đề
tài khác. Tiến trình dạy học theo phương pháp này như sau:
3.1. Khái niệm:
Hiện tượng Mặt Trời ở đúng đỉnh đầu lúc 12 giờ trưa (tia nắng Mặt Trời
chiếu thẳng góc với tiếp tuyến ở bề mặt đất) được gọi là Mặt Trời lên thiên đỉnh. Ở
Trái Đất, ta thấy hiện tượng này chỉ lần lượt xảy ra tại các địa điểm từ vĩ tuyến
23027’N (ngày 22-12) cho tới 23027B (ngày 22-6) rồi lại xuống vĩ tuyến 23027N.
Điều đó làm ta có ảo giác là Mặt Trời di chuyển. Nhưng trong thực tế, không phải
Mặt Trời di chuyển mà là Trái Đất chuyển động tịnh tiến xung quanh Mặt Trời.
7

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Chuyển động khơng có thực đó của Mặt Trời được gọi là chuyển động biểu kiến
hằng năm của Mặt Trời (SGK Địa lí lớp 10 nâng cao trang 28,29).
3.2. Mở rộng kiến trức
Để dễ hiểu, ta hãy hình dung thế này: Khi ta ngồi trên xe ôtô đang chạy, ta thấy
mọi người và các vật thể trên xe “ đứng yên” ( đứng yên tương đối), trong khi nhìn
ra bên ngoài ta lại thấy cây cối, nhà xưởng,…bên ngoài đường chuyển động vùn vụt
về phía ngược lại. Vậy ta ở trên trái đất cũng như ở trên xe không thể cảm nhận
được Trái Đất đang chuyển động mà ngược lại thấy Mặt Trời chuyển động xung
quanh Trái Đất. Kỳ thực đó chính là ảo giác, vì thế theo ảo giác đó ta thấy Mặt Trời
chuyển động tịnh tiến xung quanh Trái Đất theo chiều Bắc- Nam. Và ta giả định như
thế là đúng. Vậy sự chuyển động giả định đó- trái ngược thực tế được gọi là “sự
chuyển động biểu kiến của Mặt Trời”.
Từ khái niệm và phần mở rộng trên ta thấy rằng: Trong vùng nội chí tuyến từ
23027’N tới 23027’B bất cứ thời điểm nào cũng có một điểm mà tại đó Mặt
Trời lên thiên đỉnh.
3.3. Mơ hình hóa Chuyển động biểu kiến của mặt trời:

Hình 1 (Các mũi tên trên chỉ hướng tia nắng Mặt Trời)
8

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Từ bốn hình trên ta tổng hợp lại thành một hình sau đây:

Hình 2
Từ hình 2 ta có thể hình dung và quy ước như sau: Tia nắng Mặt Trời vng
góc với bề mặt Trái Đất lần lượt (chuyển động) từ chí tuyến 23 027’N qua xích đạo
rồi đến chí tuyến 23027’B và ngược lại. Hay nói cách khác là góc α hợp với tia nắng
mặt trời và mặt phẳng xích đạo tại tâm Trái Đất sẽ dao động từ 23 027’N đến
23027’B và ngược lại.- Giá trị chuyển động này là 15’08”/ngày (23 027’/93 ngày) tại
Bán cầu Bắc và 15’38”/ngày (23027’/ 90 ngày)tại Bán cầu Nam.
۞ Ghi chú: Các hình vẽ thể hiện chuyển động biểu kiến của Mặt Trời đều là
hình vẽ của mặt cắt Trái Đất theo phương Bắc – Nam; khi Mặt Trời lên thiên đỉnh,
các tia nắng vng góc với mặt phẳng tiếp tuyến của Trái Đất tại điểm đó nhưng ta
qui ước khơng vẽ mặt phẳng này vì các góc trong hình vẽ thường có giá trị rất nhỏ
nên nếu vẽ thêm đường này thì hình vẽ trở nên rối (khơng cần thiết).
Ví dụ 1: Tính ngày Mặt Trời lên thiên đỉnh tại cực Nam đất nước, Xã Đất Mũi,
huyện Ngọc Hiển, tỉnh Cà Mau có vĩ độ là 8034’B.

Hình 3
9

LUAN VAN CHAT LUONG download : add

Giải:
Ta áp dụng giá trị chuyển động này là 15’08”/ngày tại bán cầu Bắc, số ngày
mà Mặt Trời chuyển động biểu kiến từ xích đạo tới 8034’B là:
8034’ / 15’08” = 33,96 ≈ 34 ngày.
Vậy ngày mà Mặt Trời đạt thiên đỉnh tại Xã Đất Mũi, huyện Ngọc Hiển, tỉnh
Cà Mau có vĩ độ là 8034’B là:
21/3 + 34 = 25/4 và 23/9 – 34 = 20/8
4. Xây dựng biểu thức để giải các bài toán về khảo sát chuyển động biểu
kiến của Mặt Trời:
Quy luật của chuyển động này là 1 biểu thức mô tả sự phụ thuộc biến thiên của
3 đại lượng cho 1 điểm bất kỳ trên mặt Trái Đất.
- Ngày (thời gian) xác định điểm.
- Góc nhập xạ tại điểm xác định
- Vĩ độ của điểm xác định
Chú ý:
Kết quả góc nhập xạ có thể là giá trị âm nếu điểm xác định nằm
trong vùng tối tại vùng cực. Trình bày rõ ở phần sau – xem phần (VI.4. **).
Biểu thức đó là:

Với bài tốn này, chúng ta cần áp dụng định lý về 2 đường thẳng song song để
tính các góc, từ đó tính các giá trị khác.
a. Trường hợp F1: Vĩ độ = f3(ngày, góc nhập xạ)
• Giải quyết vấn đề: Khi có ngày và góc nhập xạ (H) tại 1 điểm, ta thực hiện
các bước sau để tìm vĩ độ của điểm (C) đó.
-Áp dụng giá trị chuyển động biểu kiến để xác định điểm mà Mặt Trời đạt
thiên đỉnh (D).
-Từ tâm Trái Đất, vẽ đường thẳng qua (D) – Tia thiên đỉnh với giá trị góc ở
tâm hay vĩ độ là β.
-Ta biết tia tới tại (C) ║ tia thiên đỉnh nên vĩ độ điểm (C) = β ± α = β ± (90 0 –
H) (H là góc nhập xạ).

Bài tốn này thường có hai nghiệm tương ứng 2 điểm trên Trái Đất là C và C’.
10

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Hình 4
Ví dụ 4: Tính vĩ độ của điểm A vào ngày 02/9 có góc nhập xạ là 750.
Ta có:
Ngày 02/9, góc nhập xạ là 750.
Tính vĩ độ điểm A đó.
• Giải quyết vấn đề:
Ta lấy mốc gần nhất là ngày 23/9 (Thu phân – Mặt Trời đạt thiên đỉnh tại xích
đạo).
Số ngày Mặt Trời chuyển động biểu kiến từ 02/9 tới 23/9 là:
23/9 – 02/9 = 21 ngày
Giá trị vĩ độ tương ứng là:
21 x 15’08” = 5017’48”.

Hình 5
11

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Ta có góc phụ với góc nhập xạ có giá trị là: α = 900 – 750 = 150. Đây cũng là
giá trị vĩ độ từ thiên đỉnh tới điểm cần tìm. Vậy vĩ độ của điểm cần tìm có giá trị là:
150 ± 5017’48” = 20017’48”B và 9042’12”N.
b. Trường hợp F2: Góc nhập xạ = f2(ngày, vĩ độ) – Tính góc nhập xạ khi biết
ngày và vĩ độ của điểm.

• Giải quyết vấn đề:
Khi có ngày và vĩ độ (B) của điểm, ta thực hiện các bước sau:
-Áp dụng giá trị chuyển động biểu kiến để xác định điểm mà tại đó mặt trời
lên thiên đỉnh (M).
-Kẻ từ tâm trái đất 1 đường thẳng (l) qua điểm đó (tia thiên đỉnh).
-Kẻ tia tới tại (B) ║ (l).
-Áp dụng 2 góc đồng vị để tính giá trị góc nhập xạ. H = 900-α

Hình 6
Ví dụ 3: Tính góc nhập xạ tại Hà Nội vào ngày 30 tháng 4. Biết vĩ độ của Hà
Nội (B) là 20002’B.
• Giải quyết vấn đề:
Ta có ngày 30/4, vĩ độ 20002’B.
Tính góc nhập xạ.
Số ngày Mặt Trời di chuyển biểu kiến từ 21/3 đến 30/4 là:
30/4 – 21/3 = 39 ngày.
Giá trị vĩ độ tương ứng là: 39 x 15’08” = 9050’12”B.
Từ tâm Trái Đất dựng đường thẳng qua 9050’12”B (Tia thiên đỉnh);
Dựng tia tới ║tia thiên đỉnh;
Dựng từ tâm Trái Đất qua 20002’B đường thẳng phụ (để lấy 2 góc đồng vị) –
Hình 6.
12

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Hình 7
Từ hình 7 ta thấy:
Góc nhập xạ H = 900 – α = 900 – (20002 – 09050’12”) = 79048’12”.
c. Trường hợp F3: Ngày= f1(góc nhập xạ, vĩ độ) – Tức là tính ngày khi biết

góc nhập xạ và vĩ độ điểm.
• Giải quyết vấn đề: Khi có góc nhập xạ và vĩ độ (N) của điểm, ta thực hiện
các bước sau:
-Dựng tia tới.
-Dựng đường thẳng từ tâm Trái Đất qua N (đây là đường phụ để lấy 2 góc
đồng vị)
-Kẻ đường thẳng song song với tia tới từ tâm Trái Đất đường thẳng nằy cắt bề
mặt (mặt cắt) của Trái Đất tại điểm nào thì đó chính là điểm mà Mặt Trời lên thiên
đỉnh (A).
(Lưu ý: Trong vùng tối khơng có góc nhập xạ (Vì khơng có ánh sáng Mặt
Trời) nên có thể có trường hợp khi tính góc nhập xạ có giá trị < 0 thì điểm đó rơi
vào vùng cực tối).
-Tính vĩ độ của A:
-Tính ngày A đạt thiên đỉnh:
Nếu A ở bán cầu Bắc thì áp dụng giá trị chuyển động biểu kiến là 15’08”/ngày
còn ở bán cầu Nam thì áp dụng giá trị chuyển động là 15’38”/ngày.
- Lấy 1 trong 4 điểm đặc biệt là:
+ Ngày 21/3, Mặt Trời đạt thiên đỉnh tại xích đạo.
+ Ngày 22/6, Mặt Trời đạt thiên đỉnh tại chí tuyến Bắc 23027’B.
+ Ngày 23/9, Mặt Trời đạt thiên đỉnh tại xích đạo.
13

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


+ Ngày 22/12, Mặt Trời đạt thiên đỉnh tại chí tuyến Nam 23027’N.
Điểm được lấy là điểm gần A nhất để tính chuyển động biểu kiến từ đó tới A
mất bao nhiêu ngày rồi sau đó tính ra ngày đạt thiên đỉnh tại A – Đây chính là ngày
cần tìm.
(bài tốn này thường có 4 nghiệm – 4 giá trị ngày).

Hình 8
Ví dụ 2: Tính ngày mà tại Tp HCM có góc nhập xạ là 800, biết rằng vĩ độ tại
TpHCM là 10047’B.
• Giải quyết vấn đề:
Ta có: Góc nhập xạ H = 800, Vĩ độ điểm N (Tp HCM) = 10047’B.
Tính ngày đạt thiên đỉnh.

Hình 9

14

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Từ N dựng tia tới hợp với mặt phẳng tiếp tuyến của Trái Đất 1 góc 80 0, dựng
đường thẳng từ tâm Trái Đất qua N (đường phụ). Từ tâm Trái Đất, ta kẻ đường
thẳng ║ với tia tới, đường này cắt bề mặt Trái Đất tại A (Hình 9). Đây chính là vĩ độ
mà Mặt Trời lên thiên đỉnh, với cách làm này ta thu được 2 điểm A và A’, góc phụ
với H có giá trị α = 90 0 – H = 900 – 800 = 100. Theo hình 4, áp dụng 2 góc đồng vị ta
tính được:
Vĩ độ A = vĩ độ N ± 10 0 = 10047’B ± 100 = 20047’B và 47’B hay điểm A có vĩ
độ là 20047’B và điểm A’ có vĩ độ là 47’B. Vậy:
-Ngày Mặt Trời lên thiên đỉnh tại A:
Ta có: Điểm A cách 23027’B (chí tuyến Bắc, Mặt Trời lên thiên đỉnh ngày
22/6) là:
23027’B - 20047’B = 30.
Suy ra số ngày mà Mặt Trời di chuyển biểu kiến từ 23027’B tới A là:
30 / 15’08” = 11,89 ≈ 12 ngày hay ngày mà Mặt Trời đạt thiên đỉnh tại A là:
22/6 ± 12 = 24/6 và 10/6.

-Ngày Mặt Trời lên thiên đỉnh tại A’:
Ta có: Điểm A cách xích đạo (Mặt Trời lên thiên đỉnh ngày 21/3) là 47’.
Suy ra số ngày mà Mặt Trời di chuyển biểu kiến từ xích đạo tới A’ là:
47’/15’8” = 3,1 ≈ 3 ngày
Hay ngày mà Mặt Trời đạt thiên đỉnh tại A’ là:
21/3 + 3 = 24/3 và 23/9 – 3 = 20/9.
Tóm lại, ta có 4 ngày mà góc nhập xạ tại Tp HCM đạt 800 là:
24/3; 10/6; 24/6 và 20/9.
** Khi Mặt Trời đạt thiên đỉnh tại chí tuyến thì tại vùng cực bên kia, vùng tối
đạt giá trị lớn nhất và tại biên của vùng tối đó có giá trị góc nhập xạ = 0 0. Do đó, giá
trị vĩ độ tại biên là: 900 - 23027’ = 66033’. Vậy tại 2 ngày xuân phân (21/3) và thu
phân (23/9), tất cả mọi nơi trên trái đất đều có ánh sáng mặt trời (SGK). Từ ngày
xuân phân (21/3) tới ngày hạ chí (22/6) thì vùng tối tại bán cầu Nam có giá trị tăng
từ 0 tới lớn nhất và ngược lại, từ ngày thu phân (23/9) tới ngày đông chí (22/12) thì
vùng tối tại bán cầu Bắc có giá trị tăng từ 0 tới lớn nhất. Tại 1 điểm trong vùng tối
khơng có góc nhập xạ (vì khơng có ánh sang mặt trời) nên có thể có trường hợp khi
tính giá trị góc nhập xạ thu được kết quả âm (H < 0) thì điểm đó rơi vào vùng cực
tối.

15

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


IV. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI
Trong quá trình áp dụng phương pháp này để hướng dẫn học sinh giải bài tập
liên quan đến chuyển động biểu kiến của Mặt Trời, tác giả đã thu được các kết quả
tương đối khả quan.
1. Hiệu quả của đề tài
Bảng kết quả học tập trước và sau khi áp dụng phương pháp

Bảng 1.1 Kết quả khảo sát điểm của nhóm 1
Tỉ lệ học sinh đạt Khối 12
điểm trên 5 (%)
100

Khối 11

Khối 10

100

100

Bảng 1.2 Kết quả khảo sát điểm của nhóm 2
Tỉ lệ học Khối 12
Khối 11
Khối 10
sinh đạt Trước
Sau
Trước
Sau
Trước
Sau
điểm trên
56
100
43
100
40
100

5 (%)
Bảng 1.3 Thời lượng hướng dẫn học sinh tiếp cận phương pháp hình học để giải bài
tập chuyển động biểu kiến của Mặt Trời của giáo viên
Nhóm 1
Thời lượng( tiết)

Khối 12

Khối 11

Khối 10

6

5

5

Khối 12

Khối 11

Khối10

3

4

4

Nhóm 2
Thời lượng (tiết)

Bảng 1.4 Thời lượng hướng dẫn học sinh tiếp cận phương pháp giải bài tập chuyển
động biểu kiến của Mặt Trời bằng phương pháp ghi nhớ, tam xuất…của giáo viên
Nhóm 2
Thời lượng (tiết)

Khối 12

Khối 11

Khối 10

7,5

9

9

Bảng 1.5 Đánh giá độ tin cậy của học sinh và giáo viên về phương pháp truyền
thống trong giải bài tập chuyển động biểu kiến của Mặt Trời
Độ tin cậy(%)

Cao

Trung bình

Thấp

Học sinh

0.0

23

77

Giáo viên

0.0

15

85

16

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Bảng 1.6 Đánh giá độ tin cậy của học sinh và giáo viên về phương pháp hình học
trong giải bài tập chuyển động biểu kiến của Mặt Trời
Độ tin cậy(%)

Cao

Trung bình

Thấp

Học sinh

100

0.0

0.0

Giáo viên

100

0.0

0.0

- 100% học sinh khi được học bằng phương pháp này đều giải được các bài tập
một cách khoa học và chính xác mà khơng cần nhớ máy móc.
- 100% học sinh cảm thấy thích thú khi giải bài tập địa lý bằng phương pháp
hình học. Điều này học sinh chưa bao giờ nghĩ đến vì trong tư duy của học sinh môn
Địa Lý chỉ là môn lý thuyết- gạo bài.
- Học sinh tự đánh giá kết quả và có thể giải thích cho nhau về kết quả sau mỗi
lần làm bài tập.
- Đây là cơ hội để học sinh ơn lại kiến thức hình học và ứng dụng hình học đối
với các mơn học khác của học sinh: góc đồng vị và đường trịn đồng tâm.
- Giáo viên chỉ mất thời gian ban đầu để hướng dẫn học sinh hiểu và xây dựng
công thức cho từng trường hợp trong khi giải bài tập chuyển động biểu kiến. Nhưng
sau đó học sinh tự mình vẽ hình và tìm ra nghiệm khi đề bài yêu cầu loại một
nghiệm còn lại rất chính xác. Tạo hiệu ứng tốt cho học trị vì các em khơng bị lúng

túng, đặc biệt đối với bài tính góc nhập xạ.
2. Ý kiến của học sinh và giáo viên bộ môn
2.1 Ý kiến của học sinh
- Hầu hết các em hài lòng và cảm thấy hứng thú khi tự mình vẽ hình và tìm ra
cơng thức khi giải các bài tập.
- Hiểu bài thấu đáo và dễ khác sâu kiến thức bằng phương pháp này khi giải các
bài tập hơn khi giải các bài tập theo sách hướng dẫn.
2.1 Ý kiến của giáo viên trong tổ Địa Lý
Sau khi dự chuyên đề mà tác giả trình bày tại trường, các thành viên trong tổ đã
cho ý kiến và góp ý như sau:
- Dạy theo phương pháp hình học để giải các bài tập về chuyển động biểu kiến
của Mặt Trời, thì giáo viên khơng bị lúng túng khi học sinh hỏi về sự lựa chọn các
kết quả.
Ví dụ 1: Khi tính góc nhập xạ của một địa điểm theo công thức h 0 = 900 +/- б α (h0 : góc nhập xạ; б: vĩ độ địa phương; α: góc nghiêng cảu tia sáng Mặt Trời với
mặt phẳng xích đạo) học sinh yêu cầu giáo viên giải thích trường hợp nào thì dùng
dấu (+) và trường hợp nào thì dùng dấu (-), điều này thực sự gây lúng túng cho giáo
viên bởi vì khơng thể giải thích cho học sinh được thõa đáng nếu khơng dùng hình
để chứng minh.
Ví dụ 2: Đối với trường tìm vĩ độ Địa Lý của một điểm thì học sinh cũng đưa ra
thắc mắc tương tự như bài tốn tính góc nhập xạ Địa Lý. Với dạng này thì học sinh
khơng hình dung được điểm mặt trời lên thiên đỉnh ở đâu và tại sao lại loại một
17

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


trong hai nghiêm khi điểm điểm đó có khoảng cách nhất định đối với điểm mặt trời
lên thiên đỉnh. Khi tác giả hướng dẫn học sinh bằng phương pháp cũ và như cách
hướng dẫn chung trong sách thì thực sự khó khăn vì khơng thể giải thích một hiện
tượng khoa học và cách học thuộc lịng cơng thức mà khơng chứng minh cho học

sinh hiểu rõ vấn đề.
- Hầu như các thành viên trong tổ điều áp dụng phương pháp này để hướng dẫn
học sinh giải các bài tập biểu kiến của Mặt Trời. Nhưng có một giáo viên khơng sử
dụng phương pháp này thì rõ ràng khi đơi tuyển bồi dưỡng học sinh giỏi khối 12
năm học 2013-2014 đã khơng đạt được kết quả cao. Sau khi tìm hiểu và phỏng vấn
giáo viên và học sinh thì đều thừa nhận dạy theo phương pháp thuộc lịng cơng thức
nên học sinh không thể đưa ra đáp án đúng và cũng khơng thể nhớ được cách trình
bày bài tốn như thế nào. Trong khi tác giả và các thành viên còn lại áp dụng thì kết
quả thi học sinh giỏi rất khả quan như đã trình bày ở phần lí do chon đề tài.
- Qua báo cáo chuyên đề và thực hiện theo phương pháp này giáo viên phản hồi
là: Rất “nhàn” và không “né” khi hướng dẫn học sinh giải các bài tập về chuyển
động biểu kiến.
3. Khó khăn trong quá trình áp dụng phương pháp.
3.1 Đối với học sinh
- Ban đầu các em cịn bối rối xác định góc và tính độ của vịng trịn.
- Vì là học sinh theo khối xã hội nên tính tốn cịn chậm và kiến thức về tốn
học nói chung có nhiều hạn chế.
3.2 Đối với giáo viên
- Giáo viên phải mất nhiều thời gian để học và ơn lại kiến thức tốn học trong
quá trình dạy theo phương pháp này, đặc biệt là tác giả vì là người tiên phong trong
việc phổ biến và hướng dẫn đồng nghiệp.
- Kiến thức tốn học nhìn chung của giáo viên môn xã hội hạn chế hơn nữa
trong q trình cơng tác lại ít sử dụng kiến thức liên mơn nên khá khó khăn khi tiếp
cận với phương pháp này.
- Đây là phương pháp mới khi giải toán chuyển động biểu kiến của Mặt Trời
bằng kiến thức toán học nên đầu tư nhiều mà phạm vi áp dụng cũng như đối tượng
áp dụng cịn hẹp.Cơng sức giáo viên đầu tư nhiều nhưng ứng dụng chủ yếu trong
quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi là chủ yếu, gây lãng phí về kiến thức cho cả giáo
viên lẫn học sinh, có những học sinh khác muốn học thêm nhưng khơng có cơ hội
tiếp cận.

V. ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG
- Nhà trường nên tạo điều kiện cho giáo viên và học sinh áp dụng phương pháp
này rộng rãi hơn bằng cách tổ chức dạy tự chọn, có lớp nâng cao ban khoa học xã
hội.
- Tổ chức hoạt động dạy học liên môn thường xuyên để tạo hứng thú trong quá
trình học và giúp cho học sinh tư duy logic giữa kiến thức của các môn học với
nhau.
18

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


-Tổ chuyên môn nên tổ chức thường xuyên các buổi thảo luận, báo cáo chuyên
đề về các chủ đề khó để thành viên trong tổ có cơ hội học tập và trao đổi kinh
nghiệm với nhau.
- Tổ chức nhiều buổi thảo luận chuyên đề giữa các môn học để giáo viên có cơ
hội trao đổi và học hỏi kiến thức từ các mơn học khác có liên quan đến bộ mơn
mình đang giảng dạy.
VI. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Giáo trình thiên văn- Phạm Viết Thịnh – Nguyễn Đình Nỗn; Nxb
Giáo dục.
2. Sách giáo khoa Địa Lý 10,12- Lê Thông chủ biên; Nxb Giáo dục
3. Hướng dẫn ôn thi học sinh giỏi môn Địa Lý- Lê Thông; Nxb Giáo dục
Việt Nam
4. Tuyển tập Olympic 30-4 năm 2010,2011,2012, 2013; Nxb Đại học sư
phạm.
5. Sách giáo khoa hình học lớp 7, Nxb Giáo dục
6. Đổi mới phương pháp dạy học Địa Lý ở trường THPT- Nguyễn Đức
Vũ- Phạm Thị Sen; Nxb Giáo duc Hà Nội, 2004.
7. Trang web: google

19

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


VII. PHỤ LỤC
PHIẾU KHẢO SÁT VÀ LẤY Ý KIẾN CỦA HỌC SINH VỀ: SỬ DỤNG
PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI BÀI TẬP VỀ CHUYỂN ĐỘNG BIỂU
KIẾN CỦA MẶT TRỜI (Tác giả xin phép được gọi phương pháp ghi nhớ, tam
xuất, hoặc các phương pháp được hướng dẫn trong sach Olympic… là phương
pháp truyền thống. Phương pháp hình học giải bài toán chuyển động biểu kiến của
Mặt Trời là phương pháp hinh học)
Họ và tên:
Khối:
Nhóm 1:
Câu 1: Nhận xét của em về phương pháp hình học
A, Khó
B, Bình thường
C, Dễ
D,Ý kiến khác
Câu 2: Đánh giá về mức độ tin cậy của phương pháp
A, Cao
B, Trung bình
C, Thấp
Câu 3: Khả năng ghi nhớ của phương pháp
A, Cao
B, Trung bình
C, Thấp
Câu 4: Thời lượng để em tiếp thu tốt và áp dụng vào giải bài tập bằng phương

pháp là bao nhiêu?.....
Câu 5: Nhận xét của em về phương pháphình học khi được tiếp cận
A: Thích thú khi tiếp cận
B, Hào hứng khi tiếp cận
C,Hồn tồn bình thường
C, Ý kiến khác
Câu 6: Khả năng giải bài tập sau khi tiếp cận phương pháp
A, Tốt
B, Hầu như đúng
C, Bình thường
D, Thấp
20

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Đối với nhóm 2 tác giả điều tra thêm các câu hỏi sau:
Câu 1: Đánh giá của em về phương pháp truyền thống
A, Khó hiểu
B, Khơng thuyết phục
C, Tính khoa học ít
D, Ý kiến khác
Câu 2: Ý kiến của em khi được tiếp cận hai phương pháp…..
Câu 3: So sánh thời lượng giữa phương pháp truyền thống với phương pháp
hình học phương pháp nào mất thời gian nhiều hơn.
A, Phương pháp truyền thống
B, Phương pháp hình học
C, Cả hai như nhau
Câu 4: Phương pháp nào giúp em dễ hiểu và khắc sâu kiến thức lâu hơn
A, Phương pháp truyền thống

B, Phương pháp hình học
C, Cả hai như nhau

21

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


PHIẾU KHẢO SÁT VÀ LẤY Ý KIẾN CỦA GIÁO VIÊN VỀ: SỬ DỤNG
PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI BÀI TẬP VỀ CHUYỂN ĐỘNG BIỂU
KIẾN CỦA MẶT TRỜI (Tác giả xin phép được gọi phương pháp ghi nhớ, tam
xuất, hoặc các phương pháp được hướng dẫn trong sach Olympic là phương pháp
truyền thống, Phương pháp hình học giải bài tốn chuyển động biểu kiến của Mặt
Trời là phương pháp hinh học)
Họ và tên:
Khối lớp:
Số lượng học sinh:
Câu 1: Đánh giá của giáo viên khi áp dụng phương pháp hình học
A, Khó
B, Bình thường
C, Dễ
D, Ý kiến khác
Câu 2: Thời lượng hướng dẫn học sinh tiếp cận phương pháp hình học
Câu 3: So sánh thời lượng giữa phương pháp truyền thống với phương pháp
hình học phương pháp nào mất thời gian nhiều hơn
A, Phương pháp truyền thống
B, Phương pháp hình học
C, Cả hai như nhau
Câu 3: Đánh giá mức độ tin cậy khi sử dụng phương pháp truyền thống
A, Cao

B, Trung bình
C, Thấp
Câu 4: Đánh giá mức độ tin cậy khi sử dụng phương pháp hình học.
A, Cao
B, Trung bình
C, Thấp
Câu 4: Đánh giá của giáo viên về thái độ tiếp thu bài của học sinh.
A, Thích thú khi tiếp cận
B, Hào hứng khi tiếp cận
C, Bình thường
D, Ý kiến khác
Câu 5: Đánh giá của giáo viên về thời lượng hướng dẫn giữa phương pháp
truyền thống với phương pháp hình học phương pháp nào mất thời gian nhiều hơn.
22

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


A, Phương pháp truyền thống
B, Phương pháp hình học
C, Cả hai như nhau
Câu 6: Đánh giá và so sánh của giáo viên về hai phương pháp trên, phương
pháp nào giúp học sinh dễ hiểu và khắc sâu kiến thức lâu hơn
A, Phương pháp truyền thống
B, Phương pháp hình học
C, Cả hai như nhau
Câu 7: Xin ý kiến đóng góp để phương pháp hình học hồn thiện.
Cẩm Mỹ ngày 26/5/2014

Dương Lan Anh

23

LUAN VAN CHAT LUONG download : add