lý thuyết và bài tập cơ chất điểm lớp 10 từ động học đến bảo toàn

BÀI TẬP CƠ HỌC CHẤT ĐIỂM
MỤC LỤC
PHẦN MỘT : LÍ THUYẾT CHUNG..........................................................................................................2
I. ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM....................................................................................................................2
1. Các hệ tọa độ.......................................................................................................................................2
2. Hệ quy chiếu (HQC). Đổi hệ quy chiếu...........................................................................................3
II. ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM........................................................................................................5
1. Các lực thường gặp............................................................................................................................5
2. Các định luật Newton........................................................................................................................6
3. Các định luật bảo toàn.......................................................................................................................7
4. Va chạm...............................................................................................................................................8
PHẦN HAI : BÀI TẬP MẪU......................................................................................................................11
I. BÀI TỐN CHUYỂN ĐỘNG CĨ ĐIỀU KIỆN...............................................................................11
1. Điều kiện vật rời mặt sàn................................................................................................................11
2. Điều kiện vật đạt đi qua một vị trí xác định.................................................................................14
3. Điều kiện vật gặp nhau....................................................................................................................17
II. BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH TRẠNG THÁI CHUYỂN ĐỘNG TẠI MỘT THỜI ĐIỂM................19
1. Bài toán chuyển động tương đối của vật.......................................................................................19
2. Hệ chất điểm liên kết với nhau bằng dây không dãn...................................................................21
3. Chất điểm được gắn với khuyên tự do..........................................................................................28
4. Hệ chất điểm chuyển động trên mặt phẳng thẳng đứng.............................................................34
5. Hệ chất điểm chuyển động trên mặt phẳng ngang.......................................................................36
III. BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẶC ĐIỂM CỦA QUỸ ĐẠO CHUYỂN ĐỘNG.....................38
1. Chất điểm chuyển động trên quỹ đạo xoắn ốc..............................................................................38
2. Chất điểm chuyển động trong lòng bán cầu.................................................................................41
IV. BÀI TOÁN VA CHẠM.......................................................................................................................42
1. Va chạm của chất điểm với mặt phẳng..........................................................................................42
2. Va chạm của hệ chất điểm...............................................................................................................46
V. BÀI TOÁN CÁC BỀ MẶT TRƯỢT TRÊN NHAU........................................................................48
1. Các vật tự trượt trên nhau..............................................................................................................48
2. Các vật trượt dưới tác dụng của ngoại lực F................................................................................54

PHẦN BA: BÀI TẬP TỰ GIẢI...................................................................................................................56

1


PHẦN MỘT : LÍ THUYẾT CHUNG
I. ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM.
1. Các hệ tọa độ
1. 1.Tọa độ Đềcác.
a) Vị trí của chất điểm
rr r
Chọn 3 trục vng góc Oxyz làm mốc. i, j, k là các vectơ đơn vị trên các trục ấy. Điểm M
uuuu
r r
uuuu
r
OM

r
OM
có thể xác định bằng bán kính vectơ
hoặc bằng các hình chiếu x, y, z của
gọi là

các tọa độ Đềcác của chất điểm M.
uuuu
r
r
r
r

OM  xi  y j  zk .

b) Vectơ vận tốc
r

Vectơ vận tốc v của chất điểm M là đạo hàm đối với thời gian t của bán kính vectơ
uuuu
r r
OM  r :
r
r dr
r r r
&  y&j  zk
&
v
 xi
dt

Vectơ vận tốc có các hình chiếu là đạo hàm của các tọa độ.
c) Vectơ gia tốc
Vectơ gia tốc là đạo hàm của đối với thời gian của vectơ vận tốc, hoặc đạo hàm bậc hai
của bán kính vectơ
r
r
r dv d2r
r r
r
& &
&
a

 2 &
xi
y&j  &
zk
dt dt

1.2. Hệ tọa độ cực
a) Tọa độ của chất điểm
Giả sử M chuyển động trong mặt phẳng xOy. Vị
trí của M có thể xác định bằng : độ lớn r > 0 của bán
uuuu
r
uuuu
r
OM
OM
kính vectơ
và góc θ mà
làm với trục Ox

(Hình 1).
b) Vectơ vận tốc
r

uuuu
r

Gọi I là vectơ đơn vị trên bán kính vectơ OM và
ur
r

J là vectơ đơn vị thu được khi quay I 900 theo chiều
r
r
dương (chiều tăng của θ). Ta có thể viết r  r I
2


Lấy đạo hàm hai vế theo thời gian ta có
r
r
ur
dr r
 v  r&I  r&J
dt
r
v
Ta thấy vectơ vận tốc có hai thành phần
uu
r
r
&I
v

r
r
- Vận tốc xuyên tâm
hướng vào tâm O nếu r giảm, hướng ra xa nếu r tăng
uu
r
ur

uuuu
r
uuuu
r
&J
v

r

OM
OM

- Vận tốc phương vị
vuống góc với
và có chiều quay của
2
2 &
2 1/2
Modun của vận tốc là v  (r&  r  )

c) Vectơ gia tốc
Tiếp tục lấy đạo hàm vận tốc đối với thời gian ta có:
r
r
ur
ur
ur
r
&J  r&2 I
&I  r&

a  r&
&J  r&
&J  r&

Gia tốc có hai thành phần là:

uu
r
r
&2 ) I
&
&
a

(
r

r

- Gia tốc xuyên tâm r
uu
r
ur
& r&
&
&
a

(2
r


)
J

- Gia tốc phương vị

2. Hệ quy chiếu (HQC). Đổi hệ quy chiếu
2.1. Hệ quy chiếu quán tính.
Là hệ quy chiếu trong đó các định luật của Niutơn nghiệm đúng.
- HQC Copernic: có gốc ở tâm Mặt Trời và ba trục hướng về 3 ngôi sao cố định là một
HQC qn tính.
- HQC Galille: là bất kì HQC nào chuyển động thẳng đều với HQC Copernic, nó cũng là
HQC qn tính.
- HQC địa tâm: có gốc ở tâm Trái Đất và 3 trục song song với 3 trục của Copernic có thể
coi là HQC qn tính ở mức chính xác khá cao.
HQC có gốc và 3 trục gắn với Trái Đất và chuyển động tự quay của Trái Đất nên khơng
phải là HQC qn tính, nhưng với các thí nghiệm khơng kéo dài thì có thể gần đúng là HQC
quán tính
2.2. Đổi hệ quy chiếu (cộng vận tốc)
(O1) là HQC mà ta coi là cố định (O) là HQC lưu động.

3


Đối với (O) thì chất điểm M vạch ra

quỹ

đạo C0 gọi là quỹ đạo tương đối trong
khoảng thời gian t, t + ∆t điểm M có dịch

chuyển tương đối MM’. Vì (O) chuyển
động đối với (O1), C0 cũng cũng chuyển
động, điểm K trùng với M ở thời điểm t
nhưng gắn chặt với (O) có dịch chuyển
MM’’ gọi là dịch chuyển kéo theo.
Tổng hợp hai chuyển động ấy thì đối

với

(O1) điểm M có dịch chuyển MM1 gọi là
dịch chuyển tuyệt đối, và vạch ra quỹ

đạo

tuyệt đối C1. (Hình 2)
Khi ∆t → 0 thì MM’’M1 biến thành một tam giác và ta có:
uuuuur
uuuuur
uuuuuuur
MM 1
MM ''
M '' M 1
lim
 lim
 lim
t
t
t

uuuuur

MM 1
ur
lim
t : vận tốc của M đối với (O 1), gọi là vận tốc tuyệt đối v1
uuuuur
MM ''
uu
r
lim
t là vận tốc kéo theo vk
uuuuuuur
M '' M 1
ur
lim
v
t là vận tốc của M đối với (O), gọi là vận tốc tương đối t

Vậy ta có cơng thức cộng vận tốc
ur uu
r ur
v1  vk  vt

2.3. Đổi hệ quy chiếu (tổng hợp gia tốc)
a) HQC (O) chuyển động tịnh tiến (thẳng hoặc cong). Gia tốc tuyệt đối là tổng vectơ của
các gia tốc tương đối và kéo theo
ur uu
r ur
a1  ak  at

b) HQC (O) quay đều với vận tốc ω. Xét một thanh Ox quay quanh điểm cố định O với

vận tốc góc khơng đổi ω. Trên Ox có một chất điểm M. xOy là HQC lưu động, quay đều đối
với HQC cố định x1Oy1(Hình 3)

4


Nếu M đứng yên trên Ox thì vt = 0 , at = 0. Điểm kéo theo K trùng với M. Gia tốc tuyệt
đối trùng với gia tốc kéo theo và là gia tốc hướng tâm a 1 = ak = -ω2OM = const
Giả sử M chuyển động trên Ox với vận tốc tương đối v t. Vận tốc kéo theo là vk vng góc
với Ox, vì K chuyển động trịn
Nếu vt biến đổi thì có gia tốc tương đối at. Gia tốc kéo theo ak vẫn là gia tốc hướng tâm,
nhưng có mơđun biến đối, vì OM biển đổi. Mặt khác v t biến đổi cả về phương và mơđun. Vì
vậy gia tốc tuyệt đối (đối với x1Oy1 ) khơng chỉ bao gồm ak và at mà cịn có một số hạng thứ 3,
uu
r
a
gọi là gia tốc Côriôlit c , xuất hiện do sự biến đổi môđun của ak và sự biến đổi về phương

của vt
Người ta chứng minh rằng:
uu
r
ur ur
ac  2  vt

Vậy gia tốc tuyệt đối gồm 3 số hạng
ur uu
r ur uu
r
a1  ak  at  ac

ur
ur
v
t

Gia tốc Côriôlit ac triệt tiêu nếu vt = 0 hoặc song song với .

II. ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM
1. Các lực thường gặp
1.1. Lực căng
Lực căng là tên gọi chung có các lực xuất hiện bên trong một sợi dây, thanh, v.v… khi nó
bị kéo. Mỗi một đoạn của sợi dây chịu tác dụng của lực căng theo cả hai hướng, trừ hai điểm
5


cuối của nó. Trong một số trường hợp lực căng dây thay đổi dọc theo dây. Ví dụ sợi dây có
khối lượng hoặc được vắt qua một rịng rọc có ma sát.
1.2. Phản lực
Đây là lực vng góc với mặt phẳng do mặt phẳng tác dụng lên vật. Thông thường hợp
lực do mặt phẳng tác dụng lên vật là tổng của phản lực và lực ma sát. Nhưng với các mặt
khơng ma sát như mặt trơn nhẵn thì chỉ có phản lực tồn tại. Sự xuất hiện của phản lực là do
thực ra mặt phẳng bị nén xuống một ít và nó ứng xử giống như một lị xo rất cứng. Bề mặt sẽ
bị nén xuống cho đến khi lực đàn hồi là đủ lớn để làm cho nó khơng bị nén thêm nữa.
1.3. Lực ma sát
Lực ma sát là lực có phương song song với bề mặt tác động lên vật thế. Một số bề mặt ví
dụ như giấy nhám, có lực ma sát rất lớn. Cịn bề mặt trơn thì cơ bản là khơng có lực ma sát.
Có hai loại lực ma sát, gọi là ma sát “động” và ma sát “tĩnh”. Lực ma sát động xuất hiện khi
có hai vật chuyển động tương đối với nhau. Một xấp xỉ khá tốt của lực ma sát động giữa hai
vật là nó tỉ lệ với phản lực của chúng. Hệ số tỉ lệ này được gọi là µ k (hệ số ma sát động), trong

đó giá trị của µk phụ thuộc vào hai bề mặt đang xét. Vì vậy F  k N trong đó N là phản lực.
Hướng của lực ma sát là ngược với chiều chuyển động.
Lực ma sát tĩnh liên quan đến hai vật ở trạng thái khơng có chuyển động tương đối với
nhau. Trong trường hợp bài tốn tĩnh, ta có F  s N trong đó µs là hệ số mà sát tính
1.4. Trọng lực
Xét hai chất điểm có khối lượng M và m, cách nhau một khoảng R. Thì giữa chúng có lực
2
hấp dẫn xuất hiện có độ lớn F  GMm / R trong đó G = 6.67 ×10-11m3/(kg s2). Một vật trên bề

mặt Trái Đất chịu ảnh hưởng của lực hấp dẫn bằng
 GM
F  m 2
 R


  mg


trong đó M là khối lượng Trái Đất, R là bán kính Trái Đất. Đây là phương trình định
nghĩa g và chúng ta thu được g  9.8 m/s2. Mỗi vật trên bề mặt Trái Đất đều chịu tác dụng
một lực F=mg hướng xuống.
1.5. Lực lò xo
Khi một lò xo bị biến dạng thì sẽ xuất hiện lực đàn hồi làm vật trở lại trạng thái không
biến dạng. Nếu độ biến dạng khơng q nhiều thì độ lớn lực đàn hồi tn theo định luật Húc
F  k l
6


trong đó k là độ cứng của lị xo và ∆l là độ biến dạng của lò xo.
2. Các định luật Newton

2.1. Định luật thứ nhất:Nếu một vật không chịu tác dụng của lực nào hoặc chịu tác
dụng của các lực có hợp lực bằng 0, thì nó giữ ngun trạng thái đứng yên hoặc chuyển động
thẳng đều.
Từ đó ta có điều kiện để một vật cân bằng hoặc chuyển động thẳng đều là tổng hợp lực
tác dụng lên vật bằng khơng
Một điều mà định luật này đưa ra nó là hệ quy chiếu quán tính, mà được định nghĩa một
cách đơn giản là một hệ quy chiếu mà trong đó định luật thứ nhất đúng. Định luật một khơng
đúng đối với một hệ quy chiếu bất kì. Ví dụ nó khơng đúng trong hệ quy chiếu quay.
2.2. Định luật thứ hai:Vectơ gia tốc của một vật luôn cùng hướng với lực tác dụng lên
vật. Độ lớn của vectơ gia tốc tỉ lệ thuận với độ lớn của vectơ lực tác dụng lên vật và tỉ lệ
nghích với khối lượng của vật
ur
r F
ur
r
a
m hoặc F  ma

Và trong hệ tọa độ Đềcác, ta sẽ có 3 phương trình
Fx  ma x ;
Fy  ma y ;
Fz  ma z .

2.3. Định luật thứ ba:Khi vật A tác dụng lên vật B một lực thì vật B cũng tác dụng trở
lại A một lực. Hai lực này là hai lực trực đối
uur
uur
FA   FB

Một điều mà định luật này nói là nếu chúng ta có hai chất điểm cơ lập tương tác với nhau

bởi một lực nào đó thì gia tốc của chúng có chiều ngược nhau. Theo một nghĩa tương đương,
định luật thứ ba nói rằng tổng động lượng của một hệ cơ lập là bảo tồn

3. Các định luật bảo toàn.
3.1. Định luật bảo toàn động lượng.
Xét một hệ cơ lập gồm N hạt có khối lượng lần lượt m 1, m2,…, mN đang chuyển động với
vận tốc v1, v2, …, vN
ur

r

Ta có động lượng được định nghĩa bởi biểu thức p  mv
Động lượng của hệ

7


ur
ur
P   mi vi
uuur uu
r
  mi vi G  vG
uuur
uu
r
  mi vi G   mi vG
uuur
uu
r

d ri G
  mi
   mi  vG
dt
uuur
d  mi ri G
uu
r

 M vG
dt
uu
r
 0  M vG
uu
r
v
G
M là tổng khối lượng các hạt,
là vận tốc khối tâm.









Hệ cô lập, theo định luật thứ hai của Newton, ta có:

uu
r
F
 i 0

ur
ur
ur
d vi
dP
  mi
0
 0  P  const
dt
dt
Từ đó
ur uu
r
P

P
'
Động lượng được bảo tồn. Hay nói cách khác

Trong hệ tọa độ Đềcác. Ta có: Px  Px ' ; Py  Py ' ; Pz  Pz'
Trong trường hợp ngoại lực tác dụng lên hệ khác khơng, thì xung lượng của ngoại lực tác
dụng bằng biến thiên động lượng của hệ
uu
r

ur

 F dt   m d v
i

i

i

ur

uur

hay Fdt  M dv

Trong hệ tọa độ Đềcác ta được 3 phương trình
Fx dt  Mdvx
Fy dt  Mdv y
Fz dt  Mdvz

3.2. Định luật bảo toàn năng lượng.
ur ur
Xét một hệ khối lượng m chịu tác dụng của hợp lực F  F (r ) , công của lực
r
uu
r r
dv r
 Fr .d r   m dt .d r
r

dr r
  m .d v
dt
r r
  mv.dv

1
 E  mv 2
2

uuur r
V( r )    F( r ) d r
r

Nếu định nghĩa thế năng

r0

thì chúng ta có thể viết
8


1 2
mv  V( r )  E
2

Hay nói cách, tổng của động năng và thế năng là một hằng số
V( r )  mgz

Thế năng trọng trường

Thế năng đàn hồi

V( r ) 

1
2
m  l 
2

4. Va chạm
Có hai loại va chạm cơ bản giữa các chất điểm, gọi là va chạm đàn hổi (trong đó động
năng được bảo tồn) và va chạm khơng đàn hổi (trong đó một phần động năng bị mất đi).
Trong bất cứ va chạm nào, thì tổng năng lượng cũng được bảo tồn, nhưng va chạm khơng
đàn hồi thì một phần năng lượng chuyển thành nhiệt năng thay vì ở dạng năng lượng của
chuyển động tịnh tiến của các chất điểm.
4.1. Vật va chạm với mặt phẳng
Chúng ta chia quá trình va chạm thành hai giai đoạn.
Giai đoạn một: tính từ khi bắt đầu va chạm, vật bị biến dạng. Động năng chuyển thành
thế năng đàn hồi đến khi vật bị biến dạng cực đại thì vận tốc khối tâm theo phương pháp
tuyến với mặt phẳng bằng không
Giai đoạn hai: vật bị biến dạng cực đại sinh ra lực hồi phục. Thế năng đàn hồi sẽ chuyển
thành động năng.
Giả sử khơng có lực ma sát dọc theo mặt phẳng trong suốt quá trình va chạm nên hợp lực
tác dụng lên vật chỉ có thành phần theo phương pháp tuyến với mặt phẳng. Trong quá trình va
chạm diễn ra rất nhanh nên chúng ta có thể bỏ qua ảnh hưởng của trọng lực (hình 4).
a. Giai đoạn một. Lực nén cực đại của
F. Ta có

vật là

ur
uu
r
Fdt  mdv y

b. Giai đoạn hai. Lực hồi phục là
uur
ur
F '  k F (k là hệ số hồi phục). Ta có
uur
uur
F 'dt  mdv y '

Từ đó suy ra:

Theo Oy

uuur
ur
uuuu
r
uuur uur
uu
r
md v y
F dt
uur  uuuu
r  dv y '  k dv y  v y '   kv y
F 'dt mdv y '
9

uu
r uur
Fx  F ' x  0  vx  vx '

Theo Ox

Vậy chỉ thành phần vận tốc theo phương pháp tuyến thay đổi, còn thành phần vận tốc
theo phương tiếp tuyến giữ nguyên. Va chạm sẽ được coi là hoàn toàn đàn hồi nếu hệ số hồi
phục k = 1. Lúc này vectơ vận tốc trước và sau sẽ giống như tia sáng bị phản xạ
4.2. Va chạm xuyên tâm
Xét hệ cô lập gồm hai vật khối lượng m1 có vận tốc v1 va chạm với vật m2 có vận tốc v2
Chúng ta cũng tiếp tục chia quá trình va chạm thành hai giai đoạn
Giai đoạn một: hai vật bắt đầu va chạm đến khi biến dạng cực đại. Khi đó vận tốc hai vật
bằng nhau
Giai đoạn hai: hai vật hồi phục và chuyển thế năng đàn hồi thành cơ năng.
a. Giai đoạn một. Gọi lực tương tác trung bình trong giai đoạn thứ nhất của vật hai đối
uu
r
ur
v
F
với vật một là và khi kết thúc 2 vật chuyển động với cùng vận tốc 0

Áp dụng định luật bảo toàn động lượng cho hệ gồm hai vật
ur
uu
r
r

m1 v1  m2 v2  (m1  m2 )v 0

Đối với riêng từng vật ta có
Vật 1:

uu
r
ur ur
m1 v0  m1 v1  F t

Vật 2:

uu
r
uu
r
ur
m2 v0  m2 v2   F t

b. Giai đoạn hai. Gọi lực tương tác trung bình trong giai đoạn hai của vật hai đối với vật
uur
ur
uur
F
'

k
F với k là hệ số hồi phục
F
'

một là
. Ta có

Áp dụng định luật bảo tồn động lượng cho hệ gồm hai vật
uu
r
uur
uur
( m1  m2 )v 0  m1 v1 '  m 2 v2 '

Đối với riêng từng vật
Vật 1:
Vật 2:

uur
uu
r uur
m1 v1 '  m1 v0  F 't
uur
uu
r
uur
m2 v2 '  m2 v0   F 't

Giải hệ phương trình ta được
v1 ' 

m1v1  m2 v2  km2 (v1  v2 )
m1  m2

v2 ' 

m1v1  m2 v2  km1 (v2  v1 )
m1  m2
10


Nếu va chạm tuyệt đối đàn hồi thì k = 1 và động năng được bảo toàn.

11


PHẦN HAI : BÀI TẬP MẪU
I. BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG CÓ ĐIỀU KIỆN
1. Điều kiện vật rời mặt sàn
Bài 1:Vật m1 đặt trên mặt bàn nằm ngang không ma sát và được nối với vật m 2 bằng một sợi
dây nhẹ, khơng dãn vắt qua rịng rọc nhẹ, cố định, không ma sát. Hai vật xem như chất điểm.
Hệ được giữ sao cho góc hợp bởi phần dây nghiêng với phương ngang là α0. (Hình vẽ). Sau
khi bng các vật ra, hệ bắt đầu chuyển động.
1. Tính gia tốc của các vật ngay sau buông chúng ra. Cho gia tốc rơi tự do là g.
0
2. Cho α0 = 300. Khi góc hợp bởi phần dây nghiêng với phương ngang là   1  45 thì

m2
vật m1 bắt đầu rời khỏi mặt bàn. Tính tỉ số m1 .
Hướng dẫn:
Gọi v1, a1; v2; a2 lần lượt là vận tốc và gia tốc của vật 1 và vật 2 tại góc α như hình vẽ.

Phương trình định luật II Niu-tơn
Tcos  m1a1 (1)

m 2 g  T  m 2a 2 (2)
Ta có:

v1 cos   v 2  v1 

v2
cos  (3)

dv1 v 2sin d
1 dv 2
v 2sinα d
a2

.

.

a

.

1
dt cos 2  dt cosα dt
cos2  dt cosα (4)
1. Tại thời điểm khi vừa bng các vật ra ta có
   0 , v 2  v1  0 →

a1 

a2

cos  0 (5)
12


Giải hệ phương trình (1), (2), (5) ta được

a1 

m 2gcos 0
m 2 cos 2  0  m1

m 2gcos 2 0
a2 
m 2 cos 2  0  m1
m1g
T

r
0
sin 1
2. Tại   1  45 , vật bứt khỏi mặt bàn thì N  0. Suy ra
T
Mà từ (1) ta có

a 1  gcot1  g và

m1a1
cos1 , suy ra
a2  g 

m1a1
m
g g 2 1
m 2 sin 1
m2

Gọi H là độ cao của ròng rọc so với mặt bàn

x  H.

cos
dx
H d d v 2sin 2
 v1    2 .

sin
dt sin    dt → dt H cos 

v 22
a
a1  tan 3   2
H
cos
Thay vào (4) ta được
Với α =α1 = 450 ta tìm được


2m1 
v 22  gH  1  2 


m2 

(6)

2m1 
v12  2gH 1  2 

m2 

(7)

1
1
m1v12  m 2 v22  m 2gΔh
2
Hệ bảo toàn cơ năng: 2
(8)
h 
Với

H
H

 (2  2)H
sin  0 sin 1
(9)

thay (6), (7), (9) vào (8) ta được
2

 2m1 
2m1
 3 2  0

  2 2 .
m
m
 2 
2









2m1
m
1 2  2
m1
Giải phương trình và loại nghiệm ta được: m 2
13


Bài 2: Một động cơ nhỏ cố định trên bức tường thẳng đứng ở độ cao H quay và quấn sợi dây
với vận tốc không đổi . Ở đầu kia của dây có một vật nhỏ có thể chuyển động không ma sát
trên mặt sàn nằm ngang. Hỏi vật sẽ cách bức tường bao nhiêu khi nó bị tách khỏi sàn. Áp
dụng số với .

Hướng dẫn:
- Xét ở thời điểm dây hợp với sàn một góc . Gọi x là khoảng cách từ vật đến tường ở thời
điểm ấy. Kí hiệu V là vận tốc của vật, do vận tốc kéo dây là khơng đổi nên ta có :
(1)
(2),
trong đó là vận tốc góc của vật trong chuyển động quay quanh vị trí đặt động cơ (vì ta có thể
phân tích chuyển động của vật thành hai chuyển động thành phần: chuyển động dọc theo dây
và chuyển động quay quanh điểm đặt động cơ).
- Mặt khác, ;

V 

dx
H
 2 
dt sin 
(3)

- Từ (1) và (3) ta có : , sau đó thế vào (2), ta được: (4)
- Ta lại có : (5)
- Khi vật bắt đầu rời khỏi sàn thì phản lực của sàn lên vật bằng khơng, ta có : (6)
- Từ (4), (5) và (6) ta có :
Khi đó vật cách tường một khoảng x : .
Với , ta được : .
Bài 3:Hai quả cầu nhỏ coi là chất điểm, mỗi quả có khối lượng m, được lồng vào một vịng
cứng, nhẵn có khối lượng M, bán kính R, được đặt thẳng đứng trên sàn nhà. Tác động nhẹ
vào hai quả cầu để chúng trượt xuống theo vịng sáng hai bên của vịng như hình 1. Để cho
vịng nảy lên khỏi sàn trong q trình chuyển động của hai quả cầu thì hãy tính:
a) Lực lớn nhất mà hai quả cầu tác dụng lên vòng.
m

b) Giá trị nhỏ nhất của tỷ số M .

c) Độ lớn góc  mà tại đó vịng nảy lên.
Hướng dẫn:

14


a) Do tính đối xứng nên hai quả cầu trượt xuống, vịng vẫn đứng n một chỗ.
Tại vị trí lệch góc , áp dụng định luật II Newton cho quả cầu ta có:
mg cos   N  m

v2
R

(1)

Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho quả cầu ta có:
mv 2
 mgR  1  cos  
2

(2)

Từ (1) và (2) ta có:
N = mg(2 – 3cos) (3)
Theo định luật III Newton, mỗi quả cầu tác dụng lên vòng một phản lực có độ lớn bằng N.
Tổng hợp các lực này được lực mà các quả cầu tác dụng lên vịng có phương thẳng đứng,
chiều từ dưới lên và có độ lớn là:
F = 2Ncos (4)

Thay (3) vào (4) ta có:
2
1 
1 
F  6mg    cos    
3  
 9 

(5)

2
1
mg  cos  
3
Từ (5) ta có: Fmax = 3
m 3

b) Để vịng nảy lên thì Fmax Mg  M 2

c) Với Fmax = Mg
cos  

1
1 M


3
9 6m

Thay vào (5) ta tính được:

2. Điều kiện vật đạt đi qua một vị trí xác định
Bài 1:Một vật nhỏ có khối lượng đang trượt trên mặt phẳng nằm ngang nhẵn với vận tốc thì
trượt lên một vật khối lượng như hình vẽ. có chiều cao đỉnh là , ban đầu nêm đứng yên và có
thể trượt khơng ma sát trên mặt phẳng nằm ngang. Bỏ qua ma sát và mất mát động năng khi
va chạm.
1. Tính giá trị cực tiểu của để vượt qua được nêm cao . Lấy .
2. Biết , mô tả chuyển động của hệ thống và tìm các vận tốc cuối cùng của vật và nêm
trong hai trường hợp và .
Hướng dẫn:
1.
15


Trong trường hợp không vượt qua được , khi lên đến điểm cao nhất nó sẽ có vận tốc tương
đối so với bằng , khi đó vận tốc của hệ là
Nếu gọi là độ cao cực đại mà đạt được, theo định luật bảo tồn cơ năng ta có
Do đó để vượt được qua ta cần có
Hay
2.
Tương tự như phần 1, vận tốc tối thiểu để vượt qua có là
vì vậy trong trường hợp thì khơng vượt được qua , do đó sẽ trượt lên đến điểm có độ cao
rồi trượt ngược xuống dưới. Áp dụng định luật bảo toàn động lượng và định luật bảo tồn cơ
năng ta có vận tốc cuối cùng của các vật là

Còn đối với trường hợp thì khi trượt lên đến đỉnh của thì nó sẽ có vận tốc tương đối so với
bằng . Do đỉnh nêm là một vị trí cân bằng khơng bền của nên sẽ có hai khả năng xảy ra:
Khả năng thứ nhất: trượt ngược trở lại, khi đó vận tốc cuối cùng của các vật là

Khả năng thứ hai: vượt qua , khi đó vận tốc cuối cùng của các vật là



Bài 2: Một vật A coi như một chất điểm có khối lượng m chuyển động với vận tốc v0 như
hình vẽ, đến gặp một vật cản B có khối lượng M đang đứng yên trên mặt nằm ngang. Một
mặt của vật B là mặt bán cầu đường kính DE=2R. Bỏ qua các loại ma sát và biết rằng sau khi
gặp nhau, vật A chuyển động trên mặt bán cầu của vật B còn B chuyển động tịnh tiến trên mặt
nằm ngang.
16



v
a. Tìm điều kiện về 0 để vật A lên tới điểm E.

b. Tính áp lực do vật A tác dụng lên B khi nó ở trung
điểm N của cung DE.
Hướng dẫn:
a.
+ Tại điểm cao nhất, gọi v là vận tốc của m so với M, V
là vân tốc của M
+ Phương trình bảo tồn năng lượng
mv02 m(v  V ) 2

 mg 2 R
2
2

(1)

+ Phương trình lực hướng tâm

N

mv 2
 mg 0
R

Suy ra

v0 

(2)

(4m  5M ) gR
M

b. Khi vật ở N thì phản lực Q có phương nằm ngang, Fqt hướng cùng chiều Q.
Gọi vx, vy là các thành phần vận tốc của A hướng theo hai trục như hình vẽ thi:
Q  Fqt 

mv y2

Fqt ma 

R

(3)

mQ
M (4)

2
2
mv02 m(v x  v y )

 mgR
2
2

(M+m)vx=mv0

(5)

(7)

Giải hệ ta được
Q

Mmv y2
( M  m) R



 mM (2m  M )v02

M

 2 gR 
( M  m) R 
(M  M )


3. Điều kiện vật gặp nhau
Bài 1:Một hạt cườm khối lượng m được xỏ qua một sợi dây nhẹ, không giãn chiều dài L. Một
đầu dây buộc cố định tại điểm A, đầu kia buộc vào một cái vòng rất nhẹ, vịng lại có thể trượt
khơng ma sát trên một thanh ngang Tại thời điểm ban đầu, dây được giữ ở cạnh vòng và dây
17


thẳng, khơng căng. Thả cho hạt cườm chuyển động. Tìm vận tốc của nó ở thời điểm dây bị
đứt biết rằng dây chịu sức căng lớn nhất là T 0. Khoảng cách từ A đến thanh là h. Bỏ qua mọi
ma sát.
Hướng dẫn:
Trước tiên ta xác định quỹ đạo chuyển động. Chọn hệ tọa độ như hình vẽ. Theo định lý
Pitago:
AN2 = QN2 + QA2
(L – y)2 = x2 + (h – y)2
Lh
x2

2
2(L  h)
y=

Như vậy quỹ đạo là parabol.
Phương trình định luật II Newton viết theo phương pháp tuyến:

v2
m  2T.cos  mg.cos
R
với

v  2g.y

(1)
(2)

cịn R là bán kính chính khúc tại N.
Để tìm R ta so sánh quỹ đạo hạt cườm với quỹ đạo một vật ném xiên góc. Chọn các
thơng số của quỹ đạo để nó đối xứng với quỹ đạo hạt cườm. Như vậy:
OV
L2  h 2

t
2H
HL
g
ux =
với H = 2

 ux =
còn: vy =

g(L  h)
2g(H  y)

Gia tốc pháp tuyến tại N là:

an = g.cos 

2

2
u 2 u x  u y 2g(L  y)


R
R
R
=

2(L  y)
Vậy: R = cos 
Giải các phương trình (1) – (3) được:
18


mgL
T = 2(L  y)

 mg 
L 1 

2T0 

Lúc T = T0 thì y =
0 ≤ y ≤ (L + h)/2 

Chú ý là:

Khi đó v =

1

h mg

2
L T0

 mg 
2gL 1 

 2T0 

 Biện luận:

 Khi

mg
2
T0

 Khi

mg
h
 1
T0
L

thì dây đứt ngay ở thời điểm vừa thả ra.

: dây khơng bị đứt trong suốt q trình chuyển động.

II. BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH TRẠNG THÁI CHUYỂN ĐỘNG TẠI MỘT THỜI ĐIỂM
1. Bài toán chuyển động tương đối của vật.
Bài 1:Một chiếc thuyền bơi qua sông từ O với vận tốc v 1 khơng đổi ln vng góc với dịng
nước chảy. Dịng nước chảy có vận tốc đối với bờ tại mọi điểm đều song song với bờ, nhưng
πy
v = v sin
2
0
L , với v0 là hằng số,
có giá trị phụ thuộc vào khoảng cách đến bờ theo quy luật:

L là chiều rộng của con sông. Hãy xác định:
1. Vận tốc của con thuyền đối với bờ sau thời gian t kể từ khi xuất phát và vận tốc tại thời
điểm thuyền đến giữa dịng?
2. Xác định phương trình chuyển động, phương trình quỹ đạo của con thuyền và điểm đến
của con thuyền ở bờ bên kia sông?
Hướng dẫn:
πy
v 2 = v0sin
L ; v y = v1
1. Theo bài thì: vx =

Vậy:

v=

v 2x + v 2y =

πy
v12 + v02sin 2
L

19


 πv y
v = v 2 + v 2sin 2 
1
0
 L

- Ở thời điểm t, thuyển đến vị trí có y = vyt do đó:
y=

- Khi thuyền ra đến giữa dịng thì:

L
y
L
t=
=
 v(L/2) =
2
vy
2v y


t




v2 + v2
1
0

2. Ta có:
v=

v L
dx
 πv 
 πv 
 πv 
 πv 
= v sin  1 t  dx = v sin  1 t dt  x =  v sin  1 t dt = - 0 cos  1 t + C
0
0
0
dt
L 1
 L 
 L 
 Lπv



v L
v L

x(0) = 0 = - 0 + C  C = 0
πv
πv
1
1
Tại t = 0 thì:
x=

Do đó ta có:

v L
2v L 2  πv 
0 1 - cos  πv1 t   =
0 sin


 1 t 


πv 
πv
 L  
 2L 
1
1

Vậy phương trình chuyển động của thuyền là:
x=

Phương trình quỹ đạo của thuyền:

2v L 2  πv 

 x = 0 sin  1 t 

πv

 2L 
1

 y = v1t

2v L 2  πy 
0 sin
 
πv
 2L 
1

Khi thuyền sang đến bờ bên kia thì: y = L. Thay vào phương trình quỹ đạo ta xác định được
x=

vị trí thuyền cập bờ là:

2v L
0
πv
1

Bài 2:Một con thuyền bơi qua một khúc sơng có chiều rộng là a . Mũi thuyền ln vng góc

r
với bờ sơng . Vận tôc của thuyền so với nước là u , vận tốc của nước chảy tăng dần và đạt cực
đại khi ở giữa sơng. Chọn hệ trục xOy như hình bên O là điểm giữa sơng Ox vng góc với
bờ thì vận tốc nước chảy dọc theo bờ sơng có độ lớn tuân theo quy luật.
vn 


4  a2
v
 x2 
2 0
a
 4


với v0 là một hằng số dương
r
1, Nếu vận tôc của thuyền so với nước là u là khơng đổi
a, Lập phương trình quỹ đạo của thuyền .
b, Xác định điểm cập bến .
20


2, Để con thuyền đi theo quỹ đạo thẳng từ A đến C thì vân tốc con thuyền so với nước thay đổi
như thế nào? Biết C cách điểm đôi diện B về phía hạ lưu một khoảng b.
Hướng dẫn:
r
1, Vân tốc u không đổi
a. Vận tốc thực của thuyền so với bờ là :
r r r

v  vn  u

r
Quỹ đạo của con thuyền ln có v là tiếp tuyến

Ta có :

4  a2
v
 x2 
2 0
a
v
dy
 4

 tan   n 
dx
u
u
 a2

4
 2 v0   x 2 
ua
 4


suy ra :
dy 

 a2

4
v
 x 2 dx
2 0
ua
 4


Lấy nguyên hàm hai vế:
 a2

v x 4v
4
y   2 v0   x 2 dx  0  02 x 3  c
ua
u 3ua
 4


Hằng số c được xác định bởi điều kiện ban đầu
Khi

x

va
a
c 0

2 thì y = 0 suy ra
3u

Phương tình quỹ đậo con thuyền là :
b, Điểm cập bến khi

x

y

v0 x 4v0 3 v0 a

x 
u 3ua 2
3u

2v a
a
y 0
2 thì
3u

2, Để quỹ đạo con thuyền là quỹ đậo thẳng thì :

4  a2
v
 x2 
2 0
2
a

v
 4
  4 v  a  x2   b
tan   n 


0
u
u
ua 2  4
 a

Vận tốc con thuyền điều chỉnh về mặt độ lớn sao cho:
u


4  a2
v0   x 2 
ba  4

21


2. Hệ chất điểm liên kết với nhau bằng dây khơng dãn
Bài 1:
Cho hệ vật như hình vẽ. Một đầu dây được buộc cố định vào con trượt A, luồn qua
vịng gắn với vật 1,sau đó vắt qua con trượt B, đầu cuối của dây được buộc vào vật 2. Giữ hệ
vật ở vị trí dây nối giữ hai con trượt cố đinh nằm ngang. Thả nhẹ cho hệ chuyển động. Tính
vận tốc của các vật tại vị trí cân bằng. Biết hai con trượt được giữ cố định trong mặt phẳng
nằm ngang và khoảng cách giữa hai con trượt là 2L, hai vật có khối lượng bằng nhau là m. Bỏ

qua mọi ma sát. Dây không dãn và không có khối lượng.
Hướng dẫn:
Giả sử tại VTCB, dây nối vật 1 và B tạo với đường AB góc  ( Hình vẽ).
Xét cân bằng của vật 1,ta có: 2.T.sin0 = mg (1)
Xét cân bằng của vật2, ta có: T = mg (2)
Từ (1) và (2), ta có: góc lệch 0 = 300.
Chọn chiều dương hướng thẳng đứng lên trên.
Khi vật 1 cách đường thẳng AB một đoạn x, dây nối B1 lệch so với đường thẳng AB là . Giả
sử vật 1 đang đi xuống, vật 2 đang đi lên.
Gọi vận tốc của vật 1 là v1 của vật 2 là v2.
Khi vật 2 đi lên một đoạn x2, đoạn dây B nối với vật 1 đi xuống một đoạn x 2/2. Vậy, vận tốc
của dây nối B với vật 1 chuyển động theo chiều B1 với vận tốc v 2/2.
Do dây không dãn, nên vận tốc của điểm 1 và dây nối B1 phải như nhau. Ta có:
v2/2 = v1. sin = v1.
Vậy v2 = 2.v1.
Tại vị trí cân bằng,  = 0 = 300 ta có: v1 = v2 = v.
Mặt khác, ta có: x2/2 + L = .
Xét tại vị trí cân bằng, x =. => x2 = .
Chọn mốc thế năng tại độ cao của đường AB. Gọi khoảng cách từ vật 2 đến đường AB ban
đầu là H.áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho q trình chuyển động từ vị trí ban đầu đến
vị trí cân bằng, ta có:
- mgH = -mgx - mg(H - x2) + m.v2
=> v2 = g(x - x2)
=> v =
22


Bài 2:
Cho một hệ cơ học như hình vẽ, sợi dây dài 2L (không giãn, không khối lượng). Một đầu
buộc chặt vào A, đầu kia nối với vật có khối lượng m 2 , vật m2 có thể di chuyển không ma sát

dọc theo thanh ngang. Tại trung điểm I của dây có gắn chặt một vật có khối lượng m 1. Ban
đầu giữ vật m2 đứng yên, dây hợp với phương ngang một góc  . Xác định gia tốc của vật có
khối lượng m2 và lực căng của sợi dây ngay sau khi thả vật m 2.
Hướng dẫn:

uur uur uu
r
Q
,
T
',
P
Ngay sau khi thả m2 ra, m2 chịu tác dụng của các lực 2 2 2 , còn m1 chịu tác dụng của các
ur uur ur
T
lực 1 , T2 , P1 . Khi đó, m chuyển động sang trái, chỉ có thành phần gia tốc theo phương ngang
2

uur
a
là 2 . Vật m1 chuyển động trong quanh A. Ngay sau khi thả m2, vận tốc của m1 bằng không
nên thành phần gia tốc của m1 theo phương hướng tâm bằng khơng. Vậy m1 chỉ có thành phần

ur
a
gia tốc theo phương tiếp tuyến là 1
- Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ.
- Do dây không giãn, không khối lượng nên: T1  T1 ' ; T2  T2 '




a2cos =a1cos   2   2a1 sin  (1)
2

- Theo phương dây treo, ta có:
- Áp dụng địn luật II Niu-tơn cho các vật, ta có;

ur uu
r ur
ur
T

T

P

m
a
1
1 1
+ Với vật m1: 1 2
uur uu
r uur
uu
r
T
'

P


Q

m
a
2
2
2 2
+ Với vật m : 2
2

(2)
(3)

- Chiếu phương trình (2) lên trục Ox:

 T1  T2  cos =m1a1x  m1a1 sin 

- Chiếu phương trình (2) lên trục Oy:

  T1  T2  sin   P1 =m1a1cos

- Chiếu phương trình (3) lên trục Ox: T3cos =m 2 a2

(4)
(5)

(6)

- Thay (1) vào (6), ta được:

T2  T2 '  2m2 a1 tan 

(7)

- Thay (7) vào (4), ta được:

T1   m1  2m2  a1 tan 

(8)

- Từ (5), (7), (8)
23


a1 

m1 gcos
m1  4m2 sin 2 

a2  2a1 sin  

m1 g sin 2
m1  4m2 sin 2 

- Lực căng dây:

T2  T2 '  2m2a1 tan  

T1  T1 ' 

2m1m2 g sin 
m1  4m2 sin 2 

 m1  2m2  m1 g sin 
m1  4m2 sin 2 

Bài 3:
Cho hệ cơ như hình vẽ, hai vật m2 và m3 được đặt trên
mặt bàn nằm ngang. Bng tay khỏi m1 thì hệ chuyển động, khi đó phương của dây treo lệch
300 so với phương thẳng đứng. Biết m3=3m2=0,3kg. Bỏ qua ma sát, dây nhẹ khơng giãn,
g=9,8m/s2. Tính khối lượng vật m1 và gia tốc các vật?
Hướng dẫn:
Vật m3 chuyển động sang trái, m 2 chuyển động ngược lại, dây kéo bị lệch như hình vẽ

r r r
r
a1 , a 2 , a 3 là gia tốc của các vật. a12 là gia tốc của vật 1 đối với vật 2
r r
r
r
a1  a12  a 2 và a 32 là gia tốc của vật 3 đối với vật 2.
Do dây không giãn nên

r
r
a12  a 32

Các lực căng dây có độ lớn bằng nhau T.

ur ur

r
p

T

m
a
1
1 1
Xét vật 1: 1

Chiếu theo phương ox và oy

T sin 300  m1a1x  

T
 m1a1x
2

(1)

m1 g  Tcos300  m1a1 y
 m1 g 

3T
 m1a1 y (2)
2

Xét vật 2 và 3

24


T
 m2 a2
2
(4)

T sin 300  T  m2 a2  
T  m3 a3

a2  
Từ (3) và (4) ta có:

(3)

m3
3
a3   a3
2m2
2

Đặt

a2  3a; a3  2a
a12  a32  5a
a1x  a12 sin 300  a2  
a1 y  a12 cos300 

a

2

5 3
a
2
m1  m2

Từ (1) và (3) ta có:

a2
 6m2  0, 6kg
a1x

a
5 3
g
m1 g  3m1a1x  m1a1 y  g  3( ) 
aa
2
2
3 3
Thay vào (2)
g
 5, 66m / s 2
3
2g
a1 
 3, 78m / s 2
3 3
a2  

a3  a12x  a12y 

76
76
a
g  8, 23m / s 2
2
6 3

Bài 4:
Hai vật khối lượng m1 và m2 được bố
trí trong một cơ hệ như hình vẽ ở nơi
có gia tốc trọng trường g. Dây khơng
dãn, các rịng rọc nhẹ và có bán kính r.
Giữ các vật để hệ ở trạng thái cân
bằng sao cho góc tạo bởi các sợi dây
treo rịng rọc hợp với phương ngang
một góc  . Tìm gia tốc tức thời của
các vật ngay sau khi thả hệ ra.
25