Dưới vi phân hàm lồi và ứng dụng docx

Luận văn
Đề tài: Dưới vi phân hàm lồi và
ứng dụng
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Năng Tâm.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn
Năng Tâm, người đã luôn quan tâm, động viên và tận tình hướng dẫn
tác giả trong quá trình thực hiện luận văn.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành Ban giám hiệu trường
Đại học sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong
nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích
đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên
và tạo mọi điều kiện để tác giả có thể hoàn thành bản luận văn này.
Hà Nội, ngày 15 tháng 8 năm 2010
Tác giả
Nguyễn Thị Thanh
LỜI CAM ĐOAN
Tác giả xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tác
giả dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Năng Tâm.
Hà Nội, ngày 15 tháng 8 năm 2010
Tác giả
Nguyễn Thị Thanh
Mục lục
Mở đầu 1
1 Tập lồi và hàm lồi 3
1.1. Định nghĩa tập lồi và các tính chất . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Định nghĩa hàm lồi và các tính chất . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1. Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2. Các phép toán về hàm lồi . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.3. Tính liên tục của hàm lồi . . . . . . . . . . . . . 9
2 Dưới vi phân hàm lồi 12
2.1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . 12
2.2. Một số phép toán dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Ứng dụng của dưới vi phân hàm lồi 25
3.1. Một số tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2. Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Tài liệu tham khảo 32
ii
BẢNG KÍ HIỆU
R
n
không gian Euclid n- chiều trên tập số thực
R tập số thực (R = R
1
)
N tập số nguyên dương
R = R ∪ {−∞, +∞} tập số thực suy rộng
x =

n

i=1
x
i
2
chẩn Euclid của x

F : X ⇒ Y ánh xạ đa trị từ X vào Y
domf miền hữu hiệu của f
epif trên đồ thị của f
int Ω phần trong của Ω
ri Ω phần trong tương đối của Ω
cone Ω nón lồi sinh bởi Ω
N(¯x, Ω) nón pháp tuyến của Ω tại ¯x
f

(x; v) đạo hàm theo hướng của f tại x theo hướng v
của f tại x theo hướng v
∂f(x) dưới vi phân của f tại x
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Những hàm số không khả vi xuất hiện thường xuyên và được biết
đến từ lâu trong Toán học và các khoa học ứng dụng khác. Vì lý thuyết
vi phân cổ điển không thể ứng dụng được cho việc khảo sát những đối
tượng không khả vi, nên các lý thuyết vi phân suy rộng đã ra đời và đã
được xây dựng. Lý thuyết vi phân suy rộng đầu tiên là lý thuyết vi phân
suy rộng cho các hàm lồi. Với những cống hiến quan trọng của T. R.
Rockafellar và một số nhà toán học khác, ngày nay Giải tích lồi đã trở
thành một bộ phận quan trọng và đẹp đẽ của Giải tích toán học, góp
phần giải quyết được nhiều bài toán trong thực tế ([1], [7]). Với mong
muốn được tìm hiểu sâu hơn về sự phát triển của phép tính vi-tích phân
và ứng dụng của nó, tôi đã chọn nghiên cứu đề tài: “Dưới vi phân của
hàm lồi và ứng dụng”.
2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu các kết quả đạt được về dưới vi phân của hàm lồi
và một số ứng dụng vào bài toán tối ưu.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu

Việc nghiên cứu luận văn với nhiệm vụ hệ thống, làm rõ khái niệm
dưới vi phân của hàm lồi và một số tính chất, từ đó trình bày ứng dụng
của nó trong một số bài toán.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Dưới vi phân của hàm lồi và một số tính chất.
- Ứng dụng của dưới vi phân hàm lồi.
2
5. Phương pháp nghiên cứu
- Tổng hợp kiến thức thu thập được qua những tài liệu liên quan đến
đề tài, sử dụng các phương pháp nghiên cứu của giải tích, giải tích lồi,
giải tích đa trị, tối ưu hoá.
6. Những đóng góp của đề tài
-Trình bày một cách có hệ thống các kiến thức cơ bản về dưới vi phân
của hàm lồi và một số tính chất. Nghiên cứu ứng dụng của dưới vi phân
hàm lồi trong một số bài toán.
Chương 1
Tập lồi và hàm lồi
1.1. Định nghĩa tập lồi và các tính chất
Định nghĩa 1.1.1. Tập A ⊂ R
n
được gọi là lồi nếu ∀x, y ∈ A và ∀λ ∈ R:
0 ≤ λ ≤ 1 thì λx + (1 − λ)y ∈ A.
Định lý 1.1.1. Giao của một họ tùy ý các tập lồi trong R
n
là một tập
lồi trong R
n
Chứng minh. Giả sử A
α
∈ R

n
(α ∈ I) là các tập lồi với I là tập chỉ số
bất kì, ta cần chứng minh tập A =
∩
α∈I
A
α
là lồi.
Lấy tùy ý x
1
, x
2
∈ A. Khi đó x
1
, x
2
∈ A
α
, với ∀α ∈ I. Do A
α
là lồi cho
nên λx
1
+ (1 − λ)x
2
∈ A
α
với ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx
1
+ (1 − λ)x

2
∈ A.
Vì vậy A là tập lồi.
Hệ quả 1.1. Cho b
i
∈ R
n
; β
i
∈ R; i ∈ I với I là tập chỉ số tùy ý. Khi đó
A = {x ∈ R
n
/ x; b
i
 ≤ β
i
; i ∈ I} là một tập lồi trong R
n
.
Định lý 1.1.2. Giả sử A
i
⊂ R
n
lồi; λ
i
∈ R (i = 1, 2, , m). Khi đó
λ
1
A
1

+ λ
2
A
2
+ + λ
m
A
m
là lồi.
Định nghĩa 1.1.2. Vectơ x ∈ R
n
được gọi là tổ hợp lồi của các vectơ
x
1
, , x
m
∈ R
n
nếu ∃λ
i
≥ 0 (i = 1, 2, , m)
m

i=1
λ
i
= 1 sao cho x =
m

i=1

λ
i
x
i
3
4
Định lý 1.1.3. Một tập trong R
n
là lồi khi và chỉ khi nó chứa tất cả các
tổ hợp lồi của các phần tử của nó. A là tập lồi trong R
n
khi và chỉ khi:
A = {x =
m

i=1
λ
i
x
i
|x
i
∈ A;
m

i=1
λ
i
= 1; λ
i

≥ 0; i = 1, m, ∀m ∈ N}
Chứng minh. ⇐ / Chọn m = 2, hiển nhiên đúng.
⇒ / Ta chứng minh bằng quy nạp
Giả sử A là tập lồi, ta lấy tùy ý x
1
, x
2
, , x
m
∈ A; λ
1
, , λ
m
≥ 0 và
m

i=1
λ
i
= 1 ; x =
m

i=1
λ
i
x
i
. Ta chứng minh x ∈ A
m = 1 : x
1

∈ A; λ
1
= 1 ⇒ x ∈ A
m = 2 : x
1
, x
2
∈ A; λ
1
+ λ
2
= 1 mà A lồi suy ra x = λ
1
x
1
+ λ
2
x
2
∈ A
Giả sử x ∈ A đúng với m − 1 , ta có
m

i=1
λ
i
x
i
∈ A; ∀x
i

∈ A;
m

i=1
λ
i
= 1; λ
i
≥ 0; i ∈ N
Xét x =
m

i=1
λ
i
x
i
=
m−1

i=1
λ
i
x
i
+ λ
m
x
m
Với λ

m
= 0 ⇒ x ∈ A λ
m
= 1 ⇒ λ
1
= = λ
m−1
= 0 ⇒ x = x
m
∈ A
Với 0 < λ < 1 ta có:
1 − λ
m
= λ
1
+ + λ
m−1
> 0
λ
i
1 − λ
m
≥ 0 (i = 1, , m − 1)
Vì
m−1

i=1
λ
i
1−λ

m
= 1 nên theo giả thiết quy nạp y =
m−1

i=1
x
i
∈ A
Với y ∈ A và x
m
∈ A ta có 1 − λ
m
> 0
và (1 − λ
m
) + λ
m
= 1 ⇒ x = (1 − λ
m
)y + λ
m
x
m
∈ A
5
1.2. Định nghĩa hàm lồi và các tính chất
1.2.1. Hàm lồi
Định nghĩa 1.2.1. Cho hàm f : S → R, trong đó S ⊂ R
n
; R =

R ∪ {−∞, +∞}, các tập
dom f = {x ∈ S| f(x) < +∞} ,
epi f = {(x, α) ∈ S × R| f(x) ≤ α} ,
được gọi lần lượt là miền hữu hiệu và trên đồ thị của hàm f.
Định nghĩa 1.2.2. Hàm f : S → R được gọi là lồi nếu trên đồ thị của
nó là một tập lồi trong S × R. Nếu dom f = ∅ và f(x) > −∞ với mọi
x ∈ S ta nói hàm f là chính thường.
Ví dụ 1.2.1. a) Hàm
f : R → R
f(x) = x
2
epi f =

(x; µ) ∈ R × R; f(x) = x
2
≤ µ

là tập lồi trong R × R ⇒ f là hàm lồi.
b) Hàm
f : R → R
f(x) = x
3
không là hàm lồi vì
epi f =

(x; µ) ∈ R × R; f(x) = x
3
≤ µ

không lồi trong R × R

Ví dụ 1.2.2. Hàm chỉ δ(./A) của tập lồi A ⊂ R
n
là hàm lồi
δ(x/A) :=

0 khi x ∈ A
+∞ khi x /∈ A
6
Định lý 1.2.1. Giả sử A là một tập lồi trong R
n
, hàm f : A →
(−∞; +∞]. Khi đó, f lồi trên A khi và chỉ khi:
f(λx + (1 − λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y) (1.1)
(∀λ ∈ [0; 1]; ∀x, y ∈ A)
Chứng minh. ⇒ / Giả sử f là hàm lồi, ta có thể xem như λ ∈ (0; 1) vì
với λ ∈ {0; 1} thì (1.1) hiển nhiên đúng.
Lấy r = f(x); s = f(y). Không thể xảy ra trường hợp f(x) < +∞; f(y) <
+∞ mà f(λx + (1 − λ)y) = +∞ bởi vì dom f lồi, với x, y ∈ dom f thì
[x, y] ∈ dom f. Do λ ∈ (0; 1) nên f(x) = +∞ ⇒ λf(x) = +∞. Nếu x
hoặc y không thuộc dom f thì f(x) = +∞ hoặc f(y) = +∞ và (1.1)
đúng.
Bởi vì epi f lồi ∀(x, r) ∈ epi f; ∀(y, s) ∈ epi f; ∀λ ∈ (0; 1) nên
λ(x, r) + (1 − λ)(y, s) = (λx + (1 − λ)y; λr + (1 − λ)s) ∈ epif
⇒ f(λx + (1 − λ)y) ≤ λr + (1 − λ)s
⇒ f(λx + (1 − λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y)
⇐ / Giả sử (1.1) đúng. Lấy tùy ý (x, r) ∈ epi f; (y, s) ∈ epi f; ∀λ ∈ [0; 1]
Ta phải chứng minh
λ(x, r) + (1 − λ)(y, s) ∈ epi f
Thật vậy
(x, r) ∈ epi f; (y, s) ∈ epif ⇒ f(x) ≤ r; f(y) ≤ s

⇒ f(λx + (1 − λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y) ≤ λr + (1 − λ)s
⇒ (λx + (1 − λ)y; λr + (1 − λ)s) ∈ epi f
⇒ λ(x, r) + (1 − λ)(y, s) ∈ epi f
7
Định lý 1.2.2. (Bất đẳng thức Jensen)Giả sử f : R
n
→ (−∞; +∞]. Khi
đó f là một hàm lồi ⇔ ∀λ
i
≥ 0(i = 1, , m);
m

i=1
λ
i
= 1; ∀x
1
, , x
m
∈ R
f(λ
1
x
1
+ + λ
m
x
m
) ≤ λ
1

f(x
1
) + + λ
m
f(x
m
) (1.2)
Chứng minh. Không giảm tổng quát, giả sử λ
i
≥ 0 (i = 1, , m). Ta có,
nếu x
i
/∈ dom f thì f(x
i
) = +∞; λ
i
f(x
i
) = +∞ ⇒ (1.2) hiển nhiên
đúng.
Do dom f lồi nên nếu f(x
i
) < +∞ (i = 1, , m) thì f

m

i=1
λ
i
x

i

< +∞
vì
m

i=1
λ
i
x
i
∈ dom f.
Nếu x
i
∈ dom f, do epi f lồi và (x
i
, f(x
i
)) ∈ epi f (i = 1, , m) nên
theo định lý 1.1.3 ta có:
(λ
1
x
1
+ + λ
m
x
m
; λ
1

f(x
1
) + + λ
m
f(x
m
) ∈ epi f
⇒ f(λ
1
x
1
+ + λ
m
x
m
) ≤ λ
1
f(x
1
) + + λ
m
f(x
m
)
Mệnh đề 1.2.1. Giả sử f : R
n
→ R. f là hàm lồi khi và chỉ khi
f(λx + (1 − λ)y) < λr + (1 − λ)s
(∀λ ∈ (0; 1); ∀x, y : f(x) < r; f(y) < s)
Định nghĩa 1.2.3. Một hàm f xác định trên R

n
được gọi là thuần nhất
dương nếu f(λx) = λf(x) với ∀x ∈ R
n
; ∀λ > 0.
Định lý 1.2.3. Hàm thuần nhất dương f : R
n
→ (−∞; +∞] là lồi khi
và chỉ khi
f(x + y) ≤ f(x) + f(y) (∀x, y ∈ R
n
) (1.3)
8
Chứng minh. ⇒ / Hàm thuần nhất dương f là lồi. Lấy x, y ∈ R
n
f(x + y) = 2f(
1
2
x) + f(
1
2
y)
≤ 2

1
2
f(x) +
1
2
f(y)


= f(x) + f(y)
⇐ / Giả sử (1.3) đúng. Lấy (x
i
, r
i
) ∈ epi f (i = 1, 2), ta có
(x
1
+ x
2
, r
1
+ r
2
) ∈ epi f, bởi vì f(x
1
+ x
2
) ≤ f(x
1
) + f(x
2
) ≤ r
1
+ r
2
Mà f là hàm thuần nhất dương nên nếu (x, r) ∈ epi f thì f(x) ≤ r và
λf(x) = f(λx) ≤ λr (0 < λ < ∞) ⇒ λ(x, r) ∈ epi f
Vậy epi f đóng đối với phép cộng và phép nhân vô hướng

Suy ra: λ(x
1
, r
1
) + (1 − λ)(x
2
, r
2
) ∈ epi f (với ∀λ ∈ [0; 1])
Nên epi f là lồi, suy ra f là hàm lồi.
1.2.2. Các phép toán về hàm lồi
Định lý 1.2.4. Cho f là một hàm lồi. f : R
n
→ (−∞; +∞] và ϕ là một
hàm lồi ϕ : R → (−∞; +∞] không giảm, khi đó h = ϕ(f(x)) cũng lồi.
Chứng minh. Với ∀x
1
, x
2
∈ R
n
; λ ∈ (0; 1)
h((1 − λ)x
1
+ λx
2
) = ϕ(f(1 − λ)x
1
+ λx
2

)
≤ ϕ((1 − λ)f(x
1
) + λf(x
2
))
≤ (1 − λ)ϕ(f(x
1
)) + λϕ(f(x
2
))
≤ (1 − λ)h(x
1
) + λh(x
2
)
(do f lồi và ϕ không giảm)
Từ đó suy ra h lồi.
Định lý 1.2.5. Cho f
i
(i = 1, , m) là hàm lồi chính thường trên R
n
khi đó f
1
+ f
2
+ + f
m
là một hàm lồi trên R
n

9
Ví dụ 1.2.3. Cho
f
1
=

0 x ∈ A
+∞ x /∈ A
lồi chính thường
f
2
=

0 x ∈ B
+∞ x /∈ B
lồi chính thường
f
1
+ f
2
: lồi không chính thường nếu A ∩ B = ∅
Định lý 1.2.6. Cho C là một tập lồi trong R
n+1
và đặt
f(x) = inf {µ|(x, µ) ∈ C}
Khi đó f là hàm lồi trên R
n
Chứng minh. Lấy µ
1
, µ

2
∈ R
n
; λ ∈ (0; 1)
Giả sử f(x) < µ
1
; f(y) < µ
2
, ta có
f((1 − λ)x + λy) < (1 − λ)µ
1
+ λµ
2
Thật vậy theo định nghĩa f ta có
f((1 − λ)x + λy) = inf {µ|((1 − λ)x + λy, µ) ∈ C}
Vì f(x) < µ
1
nên với ε = µ−f(x) > 0; ∃µ
1
: (x, µ
1
) ∈ C và µ
1
< f(x)+ε
Do đó f(x) < µ
1
< µ
1
Tương tự f(y) < µ
2

⇒ ∃µ
2
: (y, µ
2
) ∈ C
Và µ
2
< f(y) + ε
1
⇒ f(y) < µ
2
< µ
2
⇒ ((1 − λ)x + λy; (1 − λ)µ
1
+ λµ
2
) ∈ C
Và (1 − λ)µ
1
+ λµ
2
< (1 − λ)µ
1
+ λµ
2
⇒ f((1 − λ)x + λy) ≤ (1 − λ)µ
1
+ λµ
2

< (1 − λ)µ
1
+ λµ
2
Suy ra f lồi (theo mệnh đề 1.2.1)
1.2.3. Tính liên tục của hàm lồi
Định nghĩa 1.2.4. Cho X là không gian định chuẩn.
1) Ta nói rằng f là hàm Lipschitz trên tập D ⊂ X, nếu tồn tại số k sao
10
cho
|f(x) − f(x

)| ≤ kx − x

, ∀x, x

∈ D.
2) Hàm f được gọi là Lipschitz địa phương tại x ∈ X, nếu tồn tại số
ε > 0 sao cho f là Lipschitz trên B(x, ε) ∩ D.
3) Hàm f được gọi là Lipschitz địa phương trên D, nếu nó Lipschitz địa
phương tại mọi điểm của D.
Mệnh đề 1.2.2. Một hàm lồi chính thường f trên R
n
là liên tục tại mỗi
điểm trong của miền hữu hiệu của nó.
Định lý 1.2.7. Cho một hàm lồi chính thường f trên R
n
. Ta có các
khẳng định sau là tương đương:
i) f là liên tục tại điểm x

0
∈ R
n
;
ii) f là bị chặn trên tại lân cận của x
0
∈ R
n
;
iii) int(epi f) = ∅;
iv) int(dom f) = ∅ và f là Lipschitz trên mỗi tập bị chặn chứa trong
int(domf);
v) int(domf) = ∅ và f là liên tục trên int(domf).
Chứng minh. [(i) ⇒ (ii)] Nếu f là liên tục tại một điểm x
0
thì tồn tại
một lân cận U của x
0
thỏa mãn f(x) < f(x
0
) + 1 với mọi ∀x ∈ U.
[(ii) ⇒ (iii)] Từ giả thiết suy ra tồn tại lân cận U của x
0
và c > 0 sao
cho f(x) ≤ c, ∀x ∈ U. Đặt
V =

(x, α) ∈ R
n+1
| x ∈ U, α > c


,
ta có V ⊂ epif và V là tập mở, nên ta suy ra int(epif) = ∅.
[(iii) ⇒ (iv)] Nếu int(epif) = ∅ thì tồn tại một tập mở U và một
khoảng mở I ⊂ R thỏa mãn U × I ⊂ epif, do đó U ⊂ domf, tức là
int(domf) = ∅. Xét tập compact bất kì C ⊂ int(domf) và lấy B là
hình cầu đơn vị trong R
n
. Với mỗi r > 0, tập C + rB là compact, và
họ những tập đóng {(C + rB)\int(domf), r > 0} có một giao là rỗng.
11
Trong biểu diễn của tính compact của C + rB một họ con hữu hạn của
những họ này phải có một giao bằng rỗng, do đó với r > 0 ta phải có
(C + rB)\int(domf) = ∅, nghĩa là (C + rB) ⊂ int(domf). Bởi Mệnh đề
1.2.2 hàm f là liên tục trên int(domf). Kí hiệu µ
1
và µ
2
là cực đại và
cực tiểu của f trên C + rB. Lấy x, x

là hai điểm phân biệt trong C và
lấy z = x +
r(x − x

)
x − x


. Khi đó z ∈ C + εB ⊂ int(domf). Vì

x = (1 − α)x

+ αz, α =
x − x


r + x − x


,
và z, x

∈ domf nên
f(x) ≤ (1 − α)f(x

) + αf(z) = f(x

) + α(f(z) − f(x

)),
và
f(x) − f(x

) ≤ α(f(z) − f(x

)) ≤ α(µ
1
− µ
2
)

≤ kx − x

, k =
µ
1
− µ
2
r
.
Bởi tính đối xứng, ta cũng có f(x

) − f(x) ≤ kx − x

. Do vậy, với mọi
x, x

thỏa mãn x ∈ C, x

∈ C
|f(x) − f(x

)| ≤ k x − x

 ,
điều này chứng minh cho tính Lipschitz của f trên C.
(iv) ⇒ (v) và (v) ⇒ (i) : là rõ ràng.
Chương 2
Dưới vi phân hàm lồi
2.1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản
Định nghĩa 2.1.1. Cho f là hàm lồi chính thường trên R

n
; vectơ x
∗
∈
R
n
được gọi là vectơ dưới gradient của f tại điểm x
0
nếu
f(x) − f(x
0
) ≥ x
∗
, x − x
0
 ∀x ∈ R
n
(2.1)
Tập tất cả các dưới gradient của f tại x
0
được gọi là dưới vi phân của f
tại x
0
và được kí hiệu là ∂f(x
0
).
Hàm f được gọi là dưới khả vi tại x
0
nếu ∂f(x
0

) = ∅
Ví dụ 2.1.4. Cho f(x) = x
2
, x ∈ R
a) x
0
= 0 ta có
x
∗
∈ ∂f(0) ⇔ x
2
≥ x
∗
, x ∀x ∈ R
⇔ x
2
− x
∗
x ≥ 0 ∀x ∈ R
⇔ x
∗
= 0
Vậy ∂f(0) = 0
12
13
b) x
0
= 1 ta có
x
∗

∈ ∂f(1) ⇔ x
2
− 1 ≥ x
∗
, x − 1 ∀x ∈ R
⇔ x
2
− 1 ≥ x
∗
x − x
∗
∀x ∈ R
⇔ x
2
− x
∗
x + x
∗
− 1 ≥ 0 ∀x ∈ R
⇔ ∆ = x
∗
2
− 4x
∗
+ 4 ≤ 0
⇔ (x
∗
− 2)
2
≤ 0 ⇔ x

∗
= 2
Vậy ∂f(1) = 2
Nhận xét 2.1. Rõ ràng rằng x
∗
∈ R
n
là một dưới gradient của f tại điểm
x
0
nếu và chỉ nếu tồn tại α ∈ R sao cho hàm affine x → x
∗
, x + α
không trội hơn f khắp nơi và bằng f(x
0
) tại điểm x
0
.
Định lý 2.1.1. Cho f : R
n
→ R là lồi và x ∈ domf, thì
f(x) = min
x∈R
n
f(x) ⇔ 0 ∈ ∂f(x).
Chứng minh. Thật vậy, do f đạt cực tiểu tại x ∈ domf nên
f(x) − f(x) ≥ 0 ⇔ f(x) − f(x) ≥ 0, x − x ⇔ 0 ∈ ∂f(x).
Định nghĩa 2.1.2. Hàm afin h được gọi là hàm non afin của f nếu
h(x) ≤ f(x) với ∀x; h được gọi là hàm non đúng của f tại x
0

nếu
h(x) ≤ f(x) với ∀x và h(x
0
) = f(x
0
)
Bổ đề 2.1. Với một hàm lồi chính thường bất kì luôn tồn tại hàm non
afin. Nếu x
0
∈ int(domf) thì tồn tại hàm non afin đúng của f tại x
0
Định lý 2.1.2. Cho f là hàm lồi chính thường trong R
n
. Với bất kì tập
bị chặn C ⊂ int(domf) thì tập
∪
x∈C
∂f(x) là khác rỗng và bị chặn. Đặc
biệt ∂f(x
0
) là khác rỗng và bị chặn tại mỗi x
0
∈ int(domf).
14
Chứng minh. Lấy x
0
∈ int(domf). Khi đó f có hàm non afin đúng tại
x
0
có nghĩa là tồn tại một hàm afin h sao cho h(x) ≤ f(x) ∀x ∈ R

n
và
h(x
0
) = f(x
0
), suy ra h(x) = x
∗
, x − x
0
 + f(x
0
); x
∗
∈ ∂f(x
0
) do đó
∂f(x
0
) = ∅; ∀x
0
∈ int(domf)
Lấy C là tập bị chặn C ⊂ int(domf), khi đó ∃r > 0, C+rB ⊂ int(domf).
Với B là kí hiệu hình cầu đơn vị trong R
n
. Cố định x ∈ C ta có
x
∗
, y − x + f(x) ≤ f(y) ∀y ∈ R
n

; x
∗
∈ ∂f(x)
Nhưng theo định lý 1.2.7 thì tồn tại γ > 0 thỏa mãn
|f(x) − f(y)| ≤ γ y − x ; ∀y ∈ C + rB
Do đó |x
∗
, y − x| ≤ γ y − x với ∀y ∈ C + rB tức là
|x
∗
, u| ≤ γ u với ∀u ∈ B
Nếu x
∗
= 0 thì x
∗
 = 0
Nếu x
∗
= 0 thì u =
x
∗
x
∗

∈ B và do đó

x
∗
,
x

∗
x
∗


≤ γ
Suy ra x
∗
 ≤ γ, ∀x
∗
∈ ∂f(x)
Vì f là Lipschitz trên C + rB với hệ số Lipschitz γ > 0 nên với mỗi
x ∈ C và x
∗
∈ ∂f(x) ta có x
∗
 ≤ γ
Vì vậy
∪
x∈C
∂f(x) là bị chặn.
Hệ quả 2.1. Cho f là một hàm lồi chính thường trên R
n
. Với bất kì tập
con lồi bị chặn C của int(domf) tồn tại một hằng số dương γ thỏa mãn
f(x) = sup {h(x)| h ∈ Q
0
} , ∀x ∈ C,
ở đó mỗi h ∈ Q
0

có dạng h(x) = a, x − α với a ≤ γ.
Ta xét một số ví dụ về dưới vi phân hàm lồi.
Ví dụ 2.1.5. Cho f : R
n
→ R là một hàm thuần nhất dương, nghĩa là
một hàm lồi f : R
n
→ R thỏa mãn f(λx) = λf(x), λ > 0. Khi đó
∂f(x
0
) = {x
∗
∈ R
n
| x
∗
, x
0
 = f(x
0
), x
∗
, x ≤ f(x), ∀x} . (2.2)
15
Thật vậy, sử dụng dưới vi phân hàm lồi ta tính dưới vi phân của hàm
trên.
Lấy x
∗
∈ ∂f(x
0

) nên f(x) − f(x
0
) ≥ x
∗
, x − x
0
.
Lấy x = 2x
0
có x
∗
, x
0
 ≤ f(x
0
).
Sau đó lấy x = 0 thay vào ta có −x
∗
, x
0
 ≤ −f(x
0
) ⇔ x
∗
, x
0
 ≥ f(x
0
).
Từ đó ta có x

∗
, x
0
 = f(x
0
). Hơn nữa
x
∗
, x − x
0
 = x
∗
, x − x
∗
, x
0
 = x
∗
, x − f(x
0
)
⇔ x
∗
, x − x
0
 + f(x
0
) = x
∗
, x

⇒ f(x) ≥ x
∗
, x, ∀x ∈ R
n
.
Ngược lại, nếu x
∗
thuộc vào vế phải của (2.3) thì
x
∗
, x − x
0
 = x
∗
, x − x
∗
, x
0
 ≤ f(x) − f(x
0
).
Do vậy x
∗
∈ ∂f(x
0
).
Nhận xét 2.2. Nếu ta thêm vào điều kiện f(−x) = f(x) ≥ 0 thì điều
kiện x
∗
, x ≤ f(x) tương đương với |x

∗
, x| ≤ f(x), ∀x ∈ R
n
.
Ví dụ 2.1.6. Cho C là một tập lồi đóng trong R
n
, và
f(x) = min

y − x với y ∈ C

.
Kí hiệu π
C
(x) là hình chiếu của x trên C, nên ta có: π
C
(x) − x =
min

y − x với y ∈ C

và x − π
C
(x), y − π
C
(x) ≤ 0, ∀y ∈ C. Khi đó
∂f(x
0
) =






N
C
(x
0
) ∩ B(0, 1), x
0
∈ C,

x
0
− π
C
(x
0
)
x
0
− π
C
(x
0
)

, x
0
/∈ C,

ở đó N
C
(x
0
) kí hiệu nón pháp tuyến của C tại x
0
và B(0, 1) là hình cầu
Euclide đơn vị.
Nón pháp tuyến N
C
(x
0
) của một tập lồi C ∈ R
n
tại một điểm x
0
∈ R
n
được xác định bởi công thức
N
C
(x
0
) =

{x
∗
∈ R
n
: x

∗
, x − x
0
 ≤ 0, ∀x ∈ C} nếu x
0
∈ C,
∅ nếu x
0
/∈ C.
16
Thật vậy, lấy x
0
∈ C, ta có f(x
0
) = 0. Khi đó x
∗
∈ ∂f(x
0
) kéo theo
x
∗
, x − x
0
 ≤ f(x), ∀x ∈ R
n
. Do vậy, trong trường hợp đặc biệt thì
x
∗
, x − x
0

 ≤ 0, ∀x ∈ C, nghĩa là x
∗
∈ N
C
(x
0
).
Hơn nữa x
∗
, x − x
0
 ≤ f(x) ≤ x − x
0
 , ∀x ∈ R
n
.
Do vậy x
∗
 ≤ 1 (vì x
∗
, x − x
0
 ≤ x
∗
 x − x
0
 ≤ x − x
0
) nghĩa là
x

∗
∈ B(0, 1).
Ngược lại, nếu x
∗
∈ N
C
(x
0
) ∩ B(0; 1) thì
x
∗
, x − π
C
(x) ≤ x − π
C
(x) ≤ f(x) và x
∗
, π
C
(x) − x
0
 ≤ 0.Từ
x
∗
, x − x
0
 = x
∗
, x − π
C

(x) + x
∗
, π
C
(x) − x
0

≤ f(x) = f(x) − f(x
0
), ∀x ∈ R
n
suy ra x
∗
∈ ∂f(x
0
).
- Với trường hợp x
0
/∈ C, khi đó
x
∗
∈ ∂f(x
0
) ⇔ x
∗
, x − x
0
 ≤ f(x) − f(x
0
), ∀x ∈ R

n
.
Do vậy, lấy x = π
C
(x
0
) thay vào ta có
p, π
C
(x
0
) − x
0
 ≤ f(π
C
(x
0
)) − f(x
0
)
⇔ x
∗
, π
C
(x
0
) − x
0
 ≤ − π
C

(x
0
) − x
0

⇔ x
∗
, x
0
− π
C
(x
0
) ≥ π
C
(x
0
) − x
0
 .
Mặt khác, lấy x = 2x
0
− π
C
(x
0
) thay vào ta có
x
∗
, x

0
− π
C
(x
0
) ≤ π
C
(x
0
) − x
0
 .
Suy ra x
∗
, x
0
− π
C
(x
0
) = π
C
(x
0
) − x
0
, và do đó x
∗
=
x

0
− π
C
(x
0
)
x
0
− π
C
(x
0
)
.
Ngược lại, từ
x
∗
, x
0
− π
C
(x
0
) = π
C
(x
0
) − x
0
 = f(x

0
)
và
x
∗
, x − π
C
(x) ≤ x − π
C
(x) = f(x)
17
ta suy ra rằng
x
∗
, x − x
0
 + f(x
0
) = x
∗
, x − x
0
 + x
∗
, x
0
− π
C
(x
0

)
= x
∗
, x − π
C
(x
0
)
= x
∗
, x − π
C
(x) + x
∗
, π
C
(x) − π
C
(x
0
)
≤ x − π
C
(x) = f(x), ∀x ∈ R
n
.
Vì x
∗
∈ N
C

(π
C
(x
0
)) nên x
∗
, π
C
(x) − π
C
(x
0
) ≤ 0, và do đó
x
∗
, x − x
0
 ≤ f(x) − f(x
0
), ∀x ∈ R
n
.
Vì vậy x
∗
∈ ∂f(x
0
).
Định nghĩa 2.1.3. (Đạo hàm theo hướng). Cho f : R
n
→ R; x

0
∈ R
n
sao cho f(x
0
) < +∞. Nếu với mỗi u ∈ R
n
mà giới hạn
lim
λ→0
+
f(x
0
+ λu) − f(x
0
)
λ
(2.3)
tồn tại thì ta nói f có đạo hàm theo hướng u tại điểm x
0
và kí hiệu
f

(x
0
, u)
Định lý 2.1.3. Cho f là một hàm lồi chính thường và x
0
∈ domf. Khi
đó

i) f

(x
0
, u) tồn tại với mỗi hướng u ∈ R
n
và thỏa mãn
f

(x
0
, u) = inf
λ>0
f(x
0
+ λu) − f(x
0
)
λ
. (2.4)
ii) Hàm u → f

(x
0
, u) là lồi và thuần nhất dương và x
∗
∈ ∂f(x
0
) nếu và
chỉ nếu

x
∗
, u ≤ f

(x
0
, u), ∀u ∈ R
n
. (2.5)
iii) Nếu f là liên tục tại x
0
thì f

(x
0
, u) là hữu hạn và liên tục tại mỗi
u ∈ R
n
, dưới vi phân ∂f(x
0
) là compact và
f

(x
0
, u) = max {x
∗
, u | x
∗
∈ ∂f(x

0
)} . (2.6)
18
Chứng minh. (i) Chứng minh tồn tại
f

(x
0
, u) = lim
λ→0
+
f(x
0
+ λu) − f(x
0
)
λ
Lấy λ
2
> λ
1
> 0. Vì f là hàm lồi nên:
f(x + λ
1
u) = f

λ
1
λ
2

(x + λ
2
u) + (1 −
λ
1
λ
2
)x

≤
λ
1
λ
2
f(x + λ
2
u) + (1 −
λ
1
λ
2
)f(x)
Suy ra
f(x + λ
1
u) − f(x)
λ
1
≤
f(x + λ

2
u) − f(x)
λ
2
Do đó
f(x+λu)−f (x)
λ
không tăng khi λ → 0
+
Lấy tùy ý λ > 0 ta có
f(x) = f

λ
1 + λ
(x − u) +
1
1 + λ
(x + λu)

≤
λ
1 + λ
f(x − u) +
1
1 + λ
f(x + λu)
Do đó
f(x + λu) − f(x)
λ
≥ f(x) − f(x − u)

Vì vậy tồn tại f

(x
0
, u) và
lim
λ→0
+
f(x
0
+ λu) − f(x
0
)
λ
= inf
λ>0
f(x
0
+ λu) − f(x
0
)
λ
(ii)
f

(x
0
, µu) = inf
λ>0
f(x + λµu) − f(x)

λ
= µ. inf
λ>0
f(x + λµu) − f(x)
λµ
= µ.f

(x
0
, u)
⇒ Hàm u → f

(x
0
, u) là thuần nhất dương.
- Ta chứng minh u → f

(x
0
, u) lồi.
19
Ta có:
f

(x
0
, u + v) = inf
λ>0
f(x
0

+
λ
2
(u + v)) − f(x
0
)
λ
2
≤ inf
λ>0
f(x
0
+ λu) − f(x
0
) + f(x
0
+ λv) − f(x
0
)
λ
= inf
λ>0
f(x
0
+ λu) − f(x
0
)
λ
+ inf
λ>0

f(x
0
+ λv) − f(x
0
)
λ
= f

(x
0
, u) + f

(x
0
, v)
Do đó hàm u → f

(x
0
, u) là hàm thuần nhất và cộng tính và vì vậy nó
là hàm lồi.
- Đặt x = x
0
+ λu ta có: x − x
0
= λu
x
∗
∈ ∂f(x
0

) ⇔ x
∗
, x − x
0
 + f(x
0
) ≤ f(x)
⇔ x
∗
, λu ≤ f(x
0
+ λu) − f(x
0
)
⇔ x
∗
, u ≤
f(x
0
+ λu) − f(x
0
)
λ
∀λ > 0
⇔ x
∗
, u ≤ inf
λ>0
f(x
0

+ λu) − f(x
0
)
λ
= f

(x
0
, u) ∀u ∈ R
n
(iii) Nếu f là liên tục tại x
0
thì có một lân cận U của x
0
sao cho f(x
0
+u)
bị chặn trên ở trên U. Khi đó, bởi (i), có f

(x
0
; u) ≤ f(x
0
+ u) − f(x
0
),
theo đó f

(x
0

; u) cũng bị chặn trên ở trên U, và do vậy là hữu hạn và liên
tục trên R
n
. Điều kiện (2.5) khi đó kéo theo rằng ∂f(x
0
) là đóng, và do
đó compact vì nó bị chặn bởi Định lý 2.1.2. Trong tính thuần nhất của
f

(x
0
; u), một hàm affine (affine minorant) mà đạt được tại điểm đó phải
có dạng x
∗
, u, với x
∗
, u ≤ f

(x
0
; u), ∀u, nghĩa là bởi (ii), x
∗
∈ ∂f(x
0
).
Bởi hệ quả 2.1, ta có f

(x
0
, u) = max {x

∗
, u |x
∗
∈ ∂f(x
0
)}.
2.2. Một số phép toán dưới vi phân
Cho hàm f : R
n
→ R lồi, chính thường và λ > 0, ta có ∂(λf)(x) =
λ∂f(x). Thật vậy với x ∈ domf, do f lồi, chính thường và λ > 0 thì λf
20
cũng là lồi, chính thường và x ∈ dom(λf).
Ta có (λf)

(x, .) = λf

(x, .)
Từ định lý 2.2.1 suy ra ∂(λf)(x) = λ∂f(x)
Nếu x /∈ domf thì ∂(λf)(x) = λ∂f(x) = ∅
Ta sử dụng định lý sau cho việc chứng minh các phép toán của dưới vi
phân.
Định lý 2.2.1. Cho f
1
, f
2
, , f
m
là những hàm lồi hữu hạn trên tập lồi
khác rỗng D trong R

n
, và cho A là một ma trận cấp k × n, b ∈ riA(D).
Nếu hệ:
x ∈ D, Ax = b, f
i
(x) < 0, i = 1, 2, m
là vô nghiệm, thì tồn tại một vectơ t ∈ R
m
và những số không âm
λ
1
, λ
2
, , λ
m
có tổng bằng 1 thỏa mãn:
t, Ax − b +
m

i=1
λ
i
f
i
(x) ≥ 0 ∀x ∈ D.
Sử dụng định lý trên ta sẽ chứng minh một số định lý quan trọng sau.
Định lý 2.2.2. (Moreau - Rockafellar) Cho f
1
, f
2

là những hàm lồi chính
thường trên R
n
. Thì với mỗi x ∈ R
n
có
∂f
1
(x) + ∂f
2
(x) ⊂ ∂(f
1
+ f
2
)(x)
Hơn nữa, nếu tồn tại một điểm a ∈ domf
1
∩ domf
2
và một trong hai
hàm là liên tục ta có được bao hàm thức ngược lại.
Chứng minh. Giả sử với p
1
∈ ∂f
1
(x); p
2
∈ ∂f
2
(x) theo định nghĩa ta có:

f
1
(y) ≥ f
1
(x) + p
1
, y − x ∀y ∈ R
n
,
f
2
(y) ≥ f
2
(x) + p
2
, y − x ∀y ∈ R
n
.
Cộng vế với vế ta thu được (f
1
+ f
2
)(y) ≥ (f
1
+ f
2
)(x) + p
1
+ p
2

, y − x.
Do đó p
1
+ p
2
∈ ∂(f
1
+ f
2
) nên ta có ∂f
1
(x) + ∂f
2
(x) ⊂ ∂(f
1
+ f
2
)(x).