MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC ppt

ĐẠI SỐ Phương trình – Bất phương trình
Nhóm giáo viên Toán TT Quang Minh 1


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC

Phương trình, bất phương trình chứa căn thức là một phần quan trọng của môn
Đại số ở bậc phổ thông. Đây cũng là dạng toán khiến các bạn học sinh gặp khó khăn vì
dạng bài tập phong phú, đòi hỏi nhiều kỹ năng tính toán và biến đổi. Chúng tôi xin
giới thiệu Một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình chứa căn thức
để giúp các bạn học sinh cơ
bản nắm được cách giải quyết các bài toán dạng này.

I. Một số dạng cơ bản của phương trình, bất phương trình chứa căn thức.
1. Phương trình
a)
() ()
()
() ()
0fx
fx gx
f
xgx
⎧
≥
⎪
=⇔
⎨
=
⎪

⎩

b)
() ()
()
() ()
2
0gx
fx gx
f
xgx
⎧
≥
⎪
=⇔
⎨
=
⎡⎤
⎪
⎣
⎦
⎩


Vd1:
Giải phương trình sau:
()
2
32 11xx x−+=−
Hướng dẫn:

Nhận xét:
Phương trình có dạng
() ()
f
xgx= nên ta giải như sau
Ta có

()
()
2
2
10
1
32 1
1
1
1
x
xx x
x
x
x
−≥
⎧
⎪
⇔
⎨
−
+= −
⎪

⎩
≥
⎧
⇔⇔=
⎨
=
⎩

Vậy
{
}
1S =
Vd2: Giải phương trình:
()
22
54 2 312 2xx xx−+=− −+
Hướng dẫn: Ta có
()
22
2
22
2542312
540
54 2 312
xx xx
xx
xx xx
⇔−+=−−+
⎧
−+≥

⎪
⇔
⎨
−+=− −+
⎪
⎩


(
)
(
)
2
140
3280
xx
xx
⎧− − ≥
⎪
⇔
⎨
−−=
⎪
⎩

ĐẠI SỐ Phương trình – Bất phương trình
Nhóm giáo viên Toán TT Quang Minh 2


1

4
8
2
6
8
6
x
x
x
x
x
⎧≤
⎡
⎪
⎢
≥
⎣
⎪
−
⎪
⇔⇔=
⎨
=
⎡
⎪
⎢
−
⎪
⎢
=

⎪
⎣
⎩

Vậy
8
6
S
⎧⎫
=−
⎨⎬
⎩⎭


2. Bất phương trình
a)
() ()
()
() ()
2
0
0
gx
fx gx
f
xgx
⎧
≥
⎪
<⇔

⎨
≤<⎡⎤
⎪
⎣
⎦
⎩

b)
() ()
()
()
()
() ()
2
0
0
0
gx
fx
fx gx
gx
f
xgx
⎡
⎧<
⎪
⎢
⎨
≥
⎢

⎪
⎩
>⇔
⎢
⎧
≥
⎢
⎪
⎢
⎨
>⎡ ⎤
⎢
⎪
⎣
⎦
⎩
⎣


Vd3: Giải các bất phương trình sau:
a)
()
2
12 1xx+≥ −
b)
2
25 43xxx−<− + −,
14
1;
5

S
⎡⎞
=
⎟
⎢
⎣⎠

Hướng dẫn
a) Ta có :
()
()
()
2
2
2
10
12 1
12 10
x
xx
xx
+≥
⎧
⎪
+≥ − ⇔
⎨
+≥ −≥
⎪
⎩
2

2
1
230
10
x
xx
x
≥−
⎧
⎪
⇔
−−≤
⎨
⎪
−≥
⎩


1
1
13
13
1
1
x
x
x
x
x
x

⎧
⎪
≥−
⎪
=−
⎡
⎪
⇔−≤ ≤⇔
⎨
⎢
≤≤
⎣
⎪
≤−
⎡
⎪
⎢
⎪
≥
⎣
⎩

Vậy tập nghiệm
[]
{
}
1; 3 1S =∪−
b)Ta có
2
25 43xxx−<− + −

()
()
()
2
2
2
250
1
430
250
2
25 43
x
xx
x
xxx
⎡
−<
⎧
⎢
⎨
−+ −≥
⎩
⎢
⇔
⎢
−≥
⎧
⎪
⎢

⎨
⎢
−<−+−
⎪
⎩
⎣

ĐẠI SỐ Phương trình – Bất phương trình
Nhóm giáo viên Toán TT Quang Minh 3


Giải (1)

()
5
5
11
2
2
13
x
x
x
⎧
<
⎪
⇔⇔≤<
⎨
⎪
≤≤

⎩

Giải (2)
()
2
5
5
514
2
2
2
14
25
2
524280
5
x
x
x
x
xx
⎧
⎧
≥
⎪
≥
⎪⎪
⇔⇔⇔≤<
⎨⎨
⎪⎪

<<
−+<
⎩
⎪
⎩

Từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình là
14
1;
5
S
⎡
⎞
=
⎟
⎢
⎣
⎠


II. CÁC PHƯƠNG PHÁP
1. Phương pháp bình phương liên tiếp
Sử dụng phương pháp bình phương liên tiếp nhằm biến đổi phương trình, bất phương trình
về dạng không còn chứa căn thức. Tuy nhiên khi bình phương hai vế của phương trình, bất
phương trình nhớ đặt điều kiện cho hai vế cùng dấu (đối với phương trình có thể giải bằng
phương trình hệ quả sau đó thử lại kết quả, còn đố
i với bất phương trình bắt buộc phải đặt điều
kiện cho hai vế cùng dấu)

Vd1:

Giải phương trình
31 21 6
x
xx+− −= −

Hướng dẫn:
Điều kiện
310
1
210 6
2
60
x
xx
x
+≥
⎧
⎪
⎧
−≥ ⇔ ≤ ≤
⎨⎨
⎩
⎪
−≥
⎩

Với điều kiện trên ta có
31 21 6
31 6 21
316 2126 21

2426 21
xx x
xxx
x
xx xx
xxx
+− −= −
⇔+=−+−
⇔+=−+−+ − −
⇔−= − −

26 21
x
xx⇔−= − −
(
)
2x ≥

()
22
2
44 2 136
317100
5
2
3
x
xxx
xx
x

xl
⇔−+=− + −
⇔−+=
=
⎡
⎢
⇔
⎢
=
⎣

Vậy
{
}
5S =

ĐẠI SỐ Phương trình – Bất phương trình
Nhóm giáo viên Toán TT Quang Minh 4

Vd2: Giải bất phương trình
()
13
23 92 2
22
xx−− − ≥

Hướng dẫn
Điều kiện
30
9

3
92 0
2
x
x
x
−≥
⎧
⇔≤≤
⎨
−≤
⎩

Với điều kiện trên ta có
()
()()
13
22392
22
193
43 92 92
442
16 48 18 2 6 9 2
xx
x
xx
xxx
⇔−≥−+
⇔−≥−++−
⇔−≥−+−

()()
2
18 64 0
933392
933 992
x
xx
x
x
−≥
⎧
⎪
⇔−≥−⇔
⎨
−≥−
⎪
⎩

2
32
32
9
4
28
9
81 576 1008 0 9
4
x

x
x
x
xx
x
⎧
≥
⎪
⎧
≥⎪
⎪
⇔⇔⇔≥
⎡
⎨⎨
≤
⎢
⎪⎪
−+≥
⎩
⎢
⎪
≥
⎣
⎩

Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là
9
4;
2
S

⎡
⎤
=
⎢
⎥
⎣
⎦

2. Phương pháp đặt ẩn phụ

Mục đích của phương pháp đặt ẩn phụ là đưa phương trình bất phương trình về dạng cơ
bản hoặc là dạng đã biết cách giải. Từ nghiệm của phương trình, bất phương trình mới ta suy ra
nghiệm của phương trình, bất phương trình ban đầu.
Chú ý:

Phương trình, bất phương trình mới không tương đương với phương trình bất phương
trình cũ (vì khác tập hợp nghiệm) mà chỉ tương đương theo nghĩa từ phương trình ,bất phương
trình này ta suy ra nghiệm của phương trình, bất phương trình kia và ngược lại.

Dạng 1. Đặt ẩn phụ khi thấy các biểu thức có dạng giống nhau. Đặt
()
tfx
=
, đưa phương
trình, bất phương trình theo biến
x
về phương trình bất phương trình theo biến t (Chú ý đặt
điều kiện cho biến
t
(nếu có)).

Vd1:
Giải phương trình
22
3293227xx xx−++ −+=

Nhận xét:
Ta thấy biểu thức dưới dấu căn đều có số hạng
2
32
x
x
−
, và đây là biểu thức chung, chú ý rằng
chúng ta quan tâm đến nhũng biểu thức chung chứa biến, còn nếu có thêm hằng số cũng không quan
trọng, và ta có thể đặt ẩn
2
32tx x=−
, để đưa phương trình về dạng cơ bản, tuy nhiên để bài toán
được gọn hơn ta thường đặt ẩn phụ cho nguyên biểu thức căn, tức là đặt
2
322txx
=
−+

ĐẠI SỐ Phương trình – Bất phương trình
Nhóm giáo viên Toán TT Quang Minh 5

Ta giải bài toán này như sau:
Đặt
2

322txx=−+ điều kiện 0t ≥ . Khi đó
22
329 7xx t
−
+= +. Phương trình trở thành

() ( )
2
2
2
2
22
77
77
77 dk 7
71449
3
tt
tt
tt t
ttt
t
++=
⇔+=−
⇔+=− ≤
⇔+=−+
⇔=

Với
3t =

ta có

2
2
2
3223
3229
3270
122
3
122
3
xx
xx
xx
x
x
−+=
⇔−+=
⇔−−=
⎡
+
=
⎢
⎢
⇔
⎢
−
=
⎢

⎣

Vậy
122122
;
33
S
⎛⎞
+−
=
⎜⎟
⎝⎠

Vd2: Giải bất phương trình
()( )
2
145 528xx xx++< ++

Hướng dẫn:
Ta có:

()( )
2
22
145 528
545 528
xx xx
xx xx
++< ++
⇔++<++

Đặt
2
528txx=++ điều kiện
0t ≥
. Khi đó bất phương trình trở thành:

2
24 5tt−<

2
5240
38
tt
t
⇔−+<
⇔−<<

Kết hợp với điều kiện ta có
08t<< (1)
Với
8t <
ta có:

()
2
2
2
2
5288

5280
94 2
5360
52864
xx
x
xx
x
xx
xx
++<
∈
⎧
++≥
⎧
⎪
⇔⇔⇔−<<
⎨⎨
+−<
++<
⎪
⎩
⎩
\

Với
2
05280txx x>⇔ + + >⇔∈\ (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có nghiệm của bất phương trình là
(

)
9; 4S
=
−

Vd3: Giải bất phương trình:
()
2
211 1
x
xxx−+> −+
ĐẠI SỐ Phương trình – Bất phương trình
Nhóm giáo viên Toán TT Quang Minh 6

Hướng dẫn:
Đặt
2
1txx=−+, điều kiện 0t ≥ , suy ra
(
)
(
)
2
2121xx t
−
=−
Bất phương trình trở thành:
()
()
2

2
211
210
1
2
1
tt
tt
tl
t
−+>
⇔−−>
⎡
<−
⎢
⇔
⎢
>
⎣

Với
1t > ta có
222
0
11 11 0
1
x
xx xx xx
x
<

⎡
−+>⇔ −+>⇔ −>⇔
⎢
>
⎣

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
(
)
(
)
;0 1;S
=
−∞ ∪ +∞


Dạng 2. Các phương trình, bất phương trình có biểu thức ABmAB±± trong đó AB
+
là
hằng số. Khi đó đặt
tAB=±, suy ra
(
)
2
2
tAB
AB
−
+
=±

. Đưa phương trình bất phương
trình về ẩn
t
.
Vd4:
Giải phương trình: 2 5 ( 2)(5 ) 4xxxx++ −+ + − =
Hướng dẫn:
Điều kiện
25
x
−≤ ≤
Đặt
25tx x=++− (điều kiện 0t ≥ ).
Suy ra
()()()()
2
2
7
72 25 72 25 25
2
t
txxxxxx
−
=+ + −=+ + − ⇒ + − =

Khi đó phương trình trở thành:

()
()
2

2
7
4
2
2150
5
3
t
t
tt
tl
tn
−
+=
⇔+−=
⎡
=−
⇔
⎢
=
⎢
⎣

Với
3t = ta có:
()()
()()
25 3
72 25 9
25 1

xx
xx
xx
++ −=
⇔++−=
⇔+−=

2
390xx⇔−−=

()
()
335
2
335
2
x
n
x
n
⎡
+
=
⎢
⎢
⇔
⎢
−
=
⎢

⎣

ĐẠI SỐ Phương trình – Bất phương trình
Nhóm giáo viên Toán TT Quang Minh 7


Vậy tập nghiệm của phương trình là
3 353 35
;
22
S
⎧
⎫
+−
⎪
⎪
=
⎨
⎬
⎪
⎪
⎩⎭

Vd5: Giải bất phương trình:
(
)
(
)
21 92 32192 13xxxx++ − + + − >

Hướng dẫn
Điều kiện
19
22
x−≤≤

Đặt
21 92tx x=++− (điều kiện
0t ≥
). Suy ra
()()
2
10
2192
2
t
xx
−
+−=
Bất phương trình trở thành

2
10
3. 13
2
t
t
−
+>

()
()
2
32560
14
3
4
tt
tl
tn
⇔+−>
⎡
<−
⎢
⇔
⎢
>
⎢
⎣

Với
4t > ta có

()( )
()()
2
21 92 4
10 2 2 1 9 2 16
2192 9
16 4 0

04
xx
xx
xx
xx
x
++−>
⇔++−>
⇔+−>
⇔−>
⇔<<

Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là
()
0; 4S =
Dạng 3. Các phương trình có dạng
4
mA nB pAB+± . Khi đó đặt
4
A
t
B
=
(xét
0, 0BB
=
≠
)
Hoặc đặt
44

,uAvB==
. Tính u theo v .
Vd6: Giải phương trình
2
4
2
12
4
xx
xx
−
−
+− − =

Hướng dẫn

Điều kiện
2
10 1
20 2 2
1
20
2
xx
xxx
x
xx
x
⎧
⎪

⎧
+≥ ≥−
⎪
⎪⎪
−≥ ⇔ ≥ ⇔≥
⎨⎨
⎪⎪
≤−
−−≥
⎡
⎩
⎪
⎢
⎪
≥
⎣
⎩

Đặt
44
1, 2axbx=+=− điều kiện , 0ab≥
ĐẠI SỐ Phương trình – Bất phương trình
Nhóm giáo viên Toán TT Quang Minh 8

Khi đó phương trình trở thành
22 2 2
2
22 0
1
2

2
ab
ab
ab a bab
ab
⎡
=
⎢
−= ⇔ − −=⇔
⎢
=−
⎢
⎣

Với
22ab=
ta có
(
)
44
12.2142 3xx x x x+= − ⇔ += − ⇔ =

Với
1
2
ab=−
ta có
()
44
1

12120
2
x
xxx vn+=− − ⇔+=−=
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
{
}
3S
=

Vd7: Giải bất phương trình
2
4
231
32 1 4 1
36
x
x
xx
−
+
−− −≥

Hướng dẫn
Điều kiện
2
210
10 1
231
x

x
x
xx
⎧
−≥
⎪
−≥ ⇔ ≥
⎨
⎪
−+≥
⎩

Ta thấy
1
x
= là nghiệm của bất phương trình.
Xét
1
x
≠ , chia hai vế của bất phương trình cho
2
4
231
x
x
−
+ ta có
44
21 1 1
3. 4.

121
6
xx
xx
−−
−≥
−−

Đặt
44
21 11
121
xx
t
x
xt
−−
=⇒=
−−
(Điều kiện
0
t >
). Khi đó bất phương trình trở thành

()
()
2
16
66
41

336460
6
3
2
tl
ttt
t
tn
−
⎡
≤
⎢
⎢
−≥ ⇔ −− ≥⇔
⎢
≥
⎢
⎣

Với
3
2
t ≥
ta có
()
4
21 3 219 5
01 5
12 1441
xxx

x
xxx
−−−+
≥⇔ ≥⇔ ≥⇔<≤
−−−

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
[
]
1; 5S =

Dạng 4. Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình
Vd8:
Giải phương trình:
3
3
1
21
2
x
x
−
=+

Hướng dẫn
Đặt
3
3
1
21

2
t
tx x
−
=+⇒=

Khi đó ta có hệ
()
()
3
3
12 1
12 2
xt
tx
⎧
−=
⎪
⎨
−=
⎪
⎩

Lấy (1) trừ (2) ta có:
ĐẠI SỐ Phương trình – Bất phương trình
Nhóm giáo viên Toán TT Quang Minh 9

()
()
(

)
()
()
33 2 2
22
22 2 0
20
0
x t t x xtx xtt xt
xtx xtt
xt
−=− ⇔ − ++ + −=
⇔− +++=
⇔−=

(Vì
2
22 2
3
220
24
t
xxtt x t
⎛⎞
+++= + + +>
⎜⎟
⎝⎠
)
Với tx= ta có

()
(
)
33 2
12 2 10 1 1 0
1
15
2
15
2
xxxx xxx
x
x
x
−= ⇔−−=⇔+ −−=
⎡
⎢
=−
⎢
+
⎢
⇔=
⎢
⎢
−
⎢
=
⎢
⎣

Vậy phương trình có 3 nghiệm
1515
1; ;
22
S
⎧
⎫
+−
⎪
⎪
=−
⎨
⎬
⎪
⎪
⎩⎭

Vd9: Giải phương trình:
(
)
33
34 3 1 *xx+−−=
Hướng dẫn
Đặt:
3
33
3
34
37
3

ux
uv
vx
⎧
=+
⎪
⇒−=
⎨
=−
⎪
⎩

()
*1uv⇔−=
Ta có hệ:
()
()
33
37 1
12
uv
uv
⎧
−=
⎪
⎨
−=
⎪
⎩

() ()
213uv⇔=+ , sau đó thay vào
()
1 ta có:
()
3
3
137
3
4
vv
v
v
+−=
=
⎡
⇔
⎢
=−
⎣

3
3
33330
43461
vx x
vx x
•= ⇔ −= ⇔=
• =−⇔ − =−⇔ =−

Vd10: Giải phương trình:
()
22
7 4 5 1 14 3 3 17 13 *xx xx x+−− −+= −
Hướng dẫn
()
()
22
* 74 33171314 331713xx x xx x⇔−++−−−+=−
ĐẠI SỐ Phương trình – Bất phương trình
Nhóm giáo viên Toán TT Quang Minh 10

Đặt:
()
2
2
2
2
13
17 13
17
13 13 25 373
33 0
33
17 17 289
u
x
ux
uuuu
vxx v

v
+
⎧
=
⎪
=−
⎧
⎪⎪
⇔
⎨⎨
++ −+
=−+≥
⎛⎞⎛⎞
⎪
⎪
⎩
=−+=
⎜⎟⎜⎟
⎪
⎝⎠⎝⎠
⎩

()
* trở thành
2
74 14vu vu+− =
Ta có hệ:
()
()
2

2
2
74 14 1
25 373
2
289
vu vu
uu
v
⎧
+= +
⎪
⎨
−+
=
⎪
⎩

()
()
()
()
2
2
2
1494 14
49 28
28 49 0
0
49 28

vu vu
uuvu
uu v
u
uv
⇔+=+
⇔= +
⇔+−=
=
⎡
⇔
⎢
=−
⎣

13
0
17
ux•=⇔=
49 28uv•= −
Thay vào
()
2 :

()()
2
2
22
2
2

2
49 28 25 49 28 373
289
289 784 2044 1549
495 2044 1549 0
1
2
1
331
746
1549
1549
33
495
495
495
2231
495
vv
v
vv v
vv
x
x
v
xx
x
v
xx
x

−− −+
=
⇔=−+
⇔−+=
⎡
=
⎡
⎢
⎢
=
⎣
⎢
⎡
=
⎡
−+=
⎢
⎢
⎢
⎡
⇔⇔ ⇔
=−
⎢
⎢
⎢
⎢
=
−+=
⎢
⎢

⎣
⎢
⎣
⎢
⎢
=
⎢
⎢
⎣
⎣

Thay các giá trị vào phương trình đầu ta nhận nghiệm:
746
2,
495
xx==−

Vậy
746 13
;;2
495 17
S
⎧⎫
=−
⎨⎬
⎩⎭

Chú ý:
• Từ phương trình ta suy ra hệ, nên khi giải ra nghiệm ta phải thử lại.
• Phương pháp này chỉ hiệu quả trong việc giải phương trình, còn bất phương trình thì

rất khó sử dụng.


ĐẠI SỐ Phương trình – Bất phương trình
Nhóm giáo viên Toán TT Quang Minh 11

3. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức
Vd11:
Giải phương trình
2
210 1240xxxx−+ −= − +
Hướng dẫn
Đặt:
210,0tx xt=−+ − >

()
()
()
2
222
2 10 1 1 2 10 16
4
04
BCS
tx x x x
t
t
⇒= −+ − + −+−=
⇒≤
⇒≤≤

≤

Dấu
""= xảy ra 210 6xxx⇔−= −⇔=
Mặt khác:
()
2
2
12 40 6 4 4xx x−+=−+≥, dấu ""
=
xảy ra 6
x
⇔
=
2
210 1240xxxx⇒−+ −≤− +

Vậy
{
}
6S =
4. Dùng khảo sát hàm số để biện luận phương trình, bất phương trình chứa tham số
Vd12:
Tìm
m
để phương trình sau có nghiệm:
(
)
(
)

36 36
x
xxxm
+
+−− + −=
Hướng dẫn
Điều kiện:
[]
3; 6x∈−
Đặt
[]
36,3;6txxx=++− ∈−

()()
1163
23 26
26 3
x
x
t
xx
x
x
−− +
′
=−=
+−
−+

3

032
2
txt
′
=⇔=⇒=

Ta có:
33
63
x
t
xt
•=−⇒=
•=⇒=
và
()
()()
2
2
36 9236txx xx=++−=+ + −

Bảng biến thiên:

x


t’ + 0 -

t


3 3


3; 3 2t
⎡⎤
⇒∈
⎣⎦

32
3−

6

ĐẠI SỐ Phương trình – Bất phương trình
Nhóm giáo viên Toán TT Quang Minh 12


Xét
()
() ()
()
2
9
,3;32
2
9

1, 3 3, 32 32
2
t
ft t t
ft t f f
−
⎡⎤
=− ∈
⎣⎦
′
=− = = −

Bảng biến thiên:
t


3
32

()
f
t
′

–


()
f
t

Vậy
9
3; 3 2
2
m
⎡⎤
∈−
⎢⎥
⎣⎦
thì phương trình có nghiệm.
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
I. Giải các phương trình sau:
1)
22
22
2
1
12
xx xx
xx xx
−−+
−=
−+ −−

{
}

0;1S
=

2)
34 1 86 1 5xxxx++ −+ +− −=

[
]
1;10S =
3)
14
53
5
x
x
xx
−
−− =
+−

{
}
3;14S
=

4)
22347xxx+− −= −
{
}
2S

=

5)
4
20
2
xx
x
−++=
+

2
3
S
⎧
⎫
=
⎨
⎬
⎩⎭

6)
2
55xx++=
117121
;
22
S
⎧
⎫

−+ −
⎪
⎪
=
⎨
⎬
⎪
⎪
⎩⎭

7)
3
21 1
x
x−=− −
{
}
1; 2S
=

8)
2
3
26 3 3 8xxx++ ++=
{
}
1S
=

9)

3
11
1
22
xx++ −=

11
;
22
S
⎧
⎫
=−
⎨
⎬
⎩⎭

10)
11
1
x
x
xx
−+ −=

15
2
S
⎧
⎫

+
⎪
⎪
=
⎨
⎬
⎪
⎪
⎩⎭

11)
()()
11112
x
xx+− −+=

24
;0
25
S
⎧
⎫
=−
⎨
⎬
⎩⎭

9
32
2

−

3
ĐẠI SỐ Phương trình – Bất phương trình
Nhóm giáo viên Toán TT Quang Minh 13

II. Giải bất phương trình
1)
3
22
2
x
x
x
−−<
−

(
)
;1S
=
−∞
2)
2
2741
42
xx
x
+−
<

+

()
18
;4 ;
27
S
⎛⎞
=−∞− ∪
⎜⎟
⎝⎠

3)
23240xx x++ +− +>

[
)
2;S
=
−+∞
4)
22 2
32 432 54xx xx xx−++ −+≥ −+

{
}
[
)
14;S
=

∪+∞

5)
2
2
13
1
1
1
x
x
x
>−
−
−

225
1; ;1
25
S
⎛⎞⎛⎞
=− ∪
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠

6)
2
35
2
1

x
x
x
+>
−

()
5
1; 5 ;
2
S
⎛⎞
=
∪+∞
⎜⎟
⎝⎠

7)
22
113
x
x−+< −
33
1; ,1
22
S
⎡
⎞⎛ ⎤
=−− ∪
⎟⎜

⎢
⎥
⎣
⎠⎝ ⎦

8)
()( )
531453
x
xxx+ − −− <−+ + −−
83
5;
2
S
⎡
⎞
−+
=−
⎟
⎢
⎣
⎠

9)
2
112
4
x
xx++ −≤−

[
]
1;1S =−
10)
51 1 2 4xx x−− −> −
[
)
2;10S =
11)
()
22
32 320xxxx−−−≥
{}
[
)
1
;23;
2
S
⎛⎤
=
−∞ − ∪ ∪ +∞
⎜
⎥
⎝⎦

III. Tìm
m
để:
1)

2
99
x
xxxm+−=−++ có nghiệm
2)
2
12 2
3
x
mx−=− có hai nghiệm.
3)
()
2
2325xxm xx−++≥−+ có nghiệm chứa
[
]
0;1 .
4)
2
22 1
x
mx x++=+ có 2 nghiệm phân biệt.
IV. Phương trình bất phương trình chứa căn thức trong các kỳ thi đại học gần đây
Bài 1. Giải bất phương trình
(
)
22
32320xxxx−−−≥ (D – 2002)
Bài 2. Giải bất phương trình
()

2
216
7
3
33
x
x
x
xx
−
−
+−>
−−
(A – 2004)
[
)
4;S =+∞
Bài 3. Xác định
m để phương trình sau có nghiệm
(
)
22 422
1122111mx x x x x+−−+= −++−− (B – 2004) 21;1m
⎡⎤
∈−
⎣⎦

Bài 4. Giải bất phương trình
51 1 2 4xx x−− −> − (A – 2005)
[

)
2;10S =

ĐẠI SỐ Phương trình – Bất phương trình
Nhóm giáo viên Toán TT Quang Minh 14

Bài 5.
2221 14xxx++ +− +=
(D – 2005)
{
}
3S =

Bài 6. Tìm
m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt:
2
22 1
x
mx x++=+ (B – 2006)
9
;
2
m
⎡⎞
∈+∞
⎟
⎢
⎣⎠

Bài 7. Giải phương trình

2
21 310xxx−+ − +=
(D – 2006)
{
}
1; 2 2S =−

Bài 8. Tìm
m
để phương trình sau có nghiệm thực:

2
4
31 12 1xmx x−+ += − ( A – 2007)
1
1;
3
m
⎛⎤
∈−
⎜
⎥
⎝⎦

Bài 9. Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của
m
, phương trình sau có hai nghiệm thực phân
biệt:
()
2

28 2xx mx+−= − (B – 2007)
Bài 10: Tìm các giá trị của tham số
m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt
(
)
44
2226 26xx x xmm++−+−= ∈\ (A – 2008)

)
4
26 26;32 6m
⎡
∈
++
⎣