Cầu bê tông_Lesson 11 pot

4.5.4 Tính dầm BTCT thường về cường độ chòu lực cắt :
1- Mô hình thanh kéo – nén :
Các cấu kiện BTCT chòu tải trọng vuông góc với trục
phải đủ sức kháng đối với lực cắt cũng như mômen uốn
và lực dọc trục. Cơ chế kháng cắt của các dầm cao cũng
khác với dầm mảnh.
Các chỉ dẫn của AASHTO khuyến cáo sử dụng
mô hình thanh kéo - nén khi khoảng cách từ điểm lực cắt
bằng không tới gối nhỏ hơn 2 lần chiều cao có hiệu
của dầm hoặc khi tải trọng gây ra ít nhất 1/2 lực cắt tại
gối nằm trong khoảng cách hai lần chiều cao có hiệu.
Đối với các dầm cao, mặt cắt không còn phẳng khi
chòu lực và mô hình thanh bêtông chòu nén, cốt thép
chòu kéo sẽ mô tả cơ chế chòu lực của cấu kiện tốt hơn
như trong hình 4.9.


Hình 4.9 Mô hình thanh kéo - nén cho dầm cao
a) Sự truyền lực; b) Hình chiếu đầu dầm; c) Mô hình dàn (AASHTO hình C5.6.3.2-1)

Các cấu kiện dầm cầu nói chung là mảnh và có thể
coi mặt cắt cấu kiện trước và sau khi chòu lực vẫn phẳng.
Do đó, lý thuyết thiết kế dầm là sự mô tả mối quan hệ
giữa ứng suất, biến dạng, đặc trưng tiết diện và tải trọng.
Các dầm BTCT thường được thiết kế chống phá hoại
do uốn tại các vò trí mômen lớn nhất. Tuy nhiên,
khả năng chòu uốn này không thể đạt được nếu sự
phá hoại cắt xảy ra sớm hơn do kích thước và cốt
thép sườn dầm không đủ.
Mô hình thiết kế mặt cắt theo AASHTO [A5.8.3]

được sử dụng để đánh giá sức kháng cắt của các dầm
cầu điển hình. Mô hình này thoả mãn điều kiện cân
bằng lực, biến dạng và dùng các đường cong ứng biến
kinh nghiệm cho cốt thép và bêtông nứt xiên.
Cơ sở và chi tiết của mô hình mặt cắt có thể xem
trong tài liệu của Vecchio và Collins (1986, 1988) và
sách của Collins và Mitchell (1991).

Sức kháng cắt danh đònh của mặt cắt V
n
được lấy theo
trò số nhỏ hơn trong hai giá trò sau đây ( Điều 5.8.3.3 ) :
V
n
= V
c
+ V
s
+ V
p
(4.32)
V
n
= 0,25 .b
v
.d
v
+ V
p
Phương trình thứ hai thể hiện sự đảm bảo không cho

bêtông bụng dầm bò vỡ trước khi cốt thép ngang chảy.
trong đó V
c
là cường độ kháng cắt danh đònh của bêtông,
V
s
là cường độ kháng cắt danh đònh của cốt thép sườn và
V
p
là cường độ kháng cắt danh đònh do thành phần
thẳng đứng của dự ứng lực xiên tạo ra.
Trên hình (4.9), V
p
có thể được xác đònh từ hình dạng
của đường cáp còn V
c
và V
s
có thể được xác đònh bằng
cách cân bằng ứng suất, biến dạng của sườn bêtông
cốt thép theo mặt cắt xiên. Việc xây dựng phương trình
cho V
c
và V
s
dựa trên mô hình dàn có góc thay đổi và
lý thuyết trường nén sửa đổi sẽ trình bày ở các mục sau.
c
f
′

2- Mô hình dàn có góc thay đổi :
•
Mô hình dàn tương tự là một trong những mô hình phân tích
lực cắt trong dầm bêtông cốt thép sớm nhất. Theo Mitchell
và Collins (1991), mô hình này có khoảng 100 năm trước
khi Ritter đưa ra năm 1899 và Morsch thí nghiệm vào năm
1902.
•
Một ví dụ về mô hình dàn có góc thay đổi của một dầm
chòu tải trọng phân bố đều được mô tả trên hình 4.10a.
Nó tương tự như mô hình của Hsu (1993). Các đường
nét đứt thể hiện các thanh bêtông chòu nén là các thanh
biên trên và thanh xiên của dàn. Các đường nét liền thể
hiện các thanh chòu kéo thép là các thanh biên dưới và
thanh đứng của dàn. Diện tích thép biên dưới bằng diện tích
cốt thép dọc chòu uốn và các thanh đứng là cốt đai
với khoảng cách s.
•
Các thanh biên trên chòu nén bằng bêtông cân bằng với các
thanh biên dưới bằng thép chòu kéo, tạo ra cặp ngẫu lực
kháng mômen uốn. Các thanh bêtông xiên chòu nén tạo với
trục dầm một góc và nối đỉnh của cốt đai với biên dưới.
Các thanh xiên có hình nan quạt tại giữa và tại gối sẽ
truyền tải trọng cho từng thanh cốt đai. Nội lực trong thanh
biên ở giữa nhòp bằng mômen ở dầm giản đơn tương
đương chia cho cánh tay đòn d
v
.
θ

•
Theo AASHTO [A5.8.2.7] d
v
được xác đònh là chiều cao
có hiệu tính theo phương vuông góc với trục trung hòa
giữa các hợp lực của lực kéo và nén do uốn nhưng không
cần lấy nhỏ hơn giá trò lớn của 0,9d
e
và 0,72h. Chiều cao
có hiệu d
e
từ thớ chòu nén ngoài cùng tới trọng tâm của
lực kéo và h là chiều cao toàn bộ của cấu kiện.
•
Trong thiết kế không cần thiết phải xét tất cả các cốt đai
và thanh xiên khi xây dựng mô hình dàn cho một dầm
bêtông. Các cốt đai trên một đoạn dầm có thể gộp lại
thành một phần tử thẳng đứng và sẽ tạo ra một mô hình
dàn đơn giản hoá. Có thể thấy rằng, có nhiều cách để
xây dựng mô hình dàn.
•
Trong ví dụ ở đây, dầm được chia thành sáu khoang,
tải trọng trên mỗi khoang là wL/6. Chọn chiều cao
chòu cắt có hiệu d
v
= L/9, có tan = 2/3. Nội lực trong
các thanh dàn có thể xác đònh bằng phương pháp mặt cắt
hoặc tách nút.
θ

Hình 4.10 Mô hình dàn cho dầm chòu tải phân bố đều
a) Mô hình dàn góc thay đổi; b) Mô hình thanh kéo - nén được đơn giản hóa

c) Sơ đồ tách một phần dàn; d) Biểu đồ nội lực trong dàn

Sự thay đổi lực trong cốt đai và lực trong cốt chòu
kéo được thể hiện trên hình 4.10d. Do đặc tính của dàn,
biểu đồ các lực này có dạng bậc thang.
Biểu đồ nội lực trong cốt đai luôn nằm dưới biểu đồ
lực cắt của dầm trong khi biểu đồ nội lực trong cốt thép
chòu kéo luôn ở trên biểu đồ mômen của dầm chia cho
d
v
.
Nếu thể hiện nội lực trong các thanh chòu nén
biên trên thì nó sẽ nằm dưới biểu đồ nội lực tính từ
mômen của dầm giản đơn. Sự khác biệt này có thể
giải thích bằng cách xét sự cân bằng các nút ở biên trên
và biên dưới.
Sự có mặt của lực nén trong các thanh xiên làm giảm
lực kéo trong các thanh đai đứng, làm giảm lực nén
trong các thanh biên trên và làm tăng lực kéo trong
thanh biên dưới.

Hình 4.11 Điều kiện cân bằng
cho dàn góc thay đổi
a) Sườn nứt nghiêng;
b) Mặt cắt ngang;
c) Lực kéo trong cốt thép sườn

Xét điều kiện cân bằng cho một mặt cắt chòu cắt
thuần túy (M = 0) như hình 4.11. Cân bằng các lực đứng :


hoặc (4.33)
trong đó :
f
2
- ứng suất nén chủ trong sườn dầm
b
v
- chiều rộng nhỏ nhất của sườn dầm trong phạm vi
chiều cao d
v
.
Từ việc cân bằng lực, có tan = V/N
v
và
(4.34)
với N
v
là lực kéo theo phương dọc cần thiết để cân bằng
với lực cắt V.
Giả thiết lực kéo N
v
được chia đều cho các biên trên
và dưới của dàn, làm tăng lực kéo thanh dưới và giảm
lực nén thanh trên.
ﾃ

ﾃ
sin sin
tan
cos sin
cot
v
v v
v v v
v v v
Vsb
Vs
A
b d d
A d
V
s
θ θ
= = θ
θ θ
= θ
cot
v
N V
= θ
θ

Phần lực kéo 0,5Vcotg được thêm vào lực kéo M/d
v
trong phần bên phải hình 4.10d. Đường nét đứt là giá trò
gần đúng nhất thể hiện lực kéo trong các thanh.

(4.35)
Không thể xác đònh ngay khả năng chòu cắt V từ hệ ba
phương trình (4.33)÷ (4.35) vì có tới bốn ẩn số , f
v
, N
v
và
f
2
. Một cách giải là giả thiết = 45
0
và giá trò cho f
v
như
một phần của f
y
khi thiết kế cường độ. Phương trình (4.35)
cho khả năng chòu lực cắt phụ thuộc vào ứng suất
kéo trong cốt đai và hướng của ứng suất nén chủ trong
bêtông mà không phụ thuộc vào cường độ chòu kéo của
bêtông. Nói cách khác, mô hình dàn có góc xiên thay đổi
chỉ phụ thuộc vào thành phần V
s
trong phương trình
(4.31), thành phần V
c
được coi là bằng không.
ﾃ
ﾃ
sin sin

tan
cos sin
cot
v
v v
v v v
v v v
Vsb
Vs
A
b d d
A d
V
s
θ θ
= = θ
θ θ
= θ
θ
θ
θ
θ

Tóm lại, mô hình dàn có góc thay đổi cho thấy
một cách rõ ràng qua phương trình (4.35) rằng lực cắt
theo phương ngang trên một mặt cắt ngang tạo ra lực dọc
trục và làm tăng lực kéo trong cốt thép dọc. Tuy nhiên,
nó có hai thiếu sót : không thể dự đoán được hướng của
ứng suất chính và bỏ qua cường độ chòu kéo của bêtông.
Cả hai thiếu sót này được khắc phục bằng lý thuyết vùng

nén sửa đổi, trong đó, sự phù hợp biến dạng sẽ
là phương trình thứ tư cho phép xác đònh khả năng chòu
lực cắt V.
3- Lý thuyết vùng nén sửa đổi :
Trong thiết kế, các dầm thép có sườn tương đối mỏng,
các khoang sườn giữa các sườn tăng cường chòu ứng suất
cắt được xem như chòu ứng suất kéo khi lực nén xiên
gây ra mất ổn đònh. Độ ổn đònh cục bộ sườn dầm
phụ thuộc vào hướng của ứng suất kéo chủ, khoảng cách
sườn tăng cường, chiều cao dầm, chiều dầy sườn và
cường độ chảy của vật liệu. Lý thuyết trường kéo đã được
phát triển để xác đònh mối quan hệ giữa những tham số
này và để dự đoán cường độ chòu cắt của sườn dầm thép.

Đối với dầm bêtông cốt thép chòu ứng suất cắt,
trạng thái làm việc tương tự cũng xảy ra trừ hiện tượng
nứt do kéo và sườn dầm chủ yếu chòu nén xiên.
Và lý thuyết trường nén đã được phát triển để giải thích
trạng thái làm việc của các dầm BTCT chòu cắt. Ban đầu,
lý thuyết trường nén giả thiết ngay khi sườn bò nứt,
ứng suất kéo chủ sẽ triệt tiêu. Tuy nhiên, sau đó lý thuyết
này được sửa đổi để xét tới ứng suất kéo chủ và đưa ra
sự mô tả phù hợp hơn cơ chế phá hoại do cắt.
Hình 4.12 thể hiện trạng thái ứng suất ở sườn dầm
BTCT trước và sau khi nứt. Mỗi trường hợp được
biểu diễn qua một vòng tròn M
o
(Morh) ứng suất.
Trước khi nứt (H.4.12a), sườn dầm được xem như là
đồng nhất và vòng tròn ứng suất có tâm trùng với gốc

toạ độ, bán kính v và 2 = 90
o
. Sau khi nứt (H.4.12b),
cốt thép ở sườn chòu kéo và bêtông chòu nén do đó hướng
của ứng suất chính sẽ nhỏ hơn 45
o
. Nếu không bỏ qua
cường độ chòu kéo của bêtông thì trạng thái ứng suất của
lý thuyết trường nén sửa đổi (H.4.12b) sẽ được dùng để
mô tả điều kiện làm việc của sườn dầm BTCT.
θ
θ

θ
θ
Hình 4.12 Trạng thái ứng suất trong sườn dầm BTCT chòu cắt thuần túy
a) Trước khi nứt f
1
= f
2
= v, = 45
o
; b) Lý thuyết trường nén f
1
= 0, < 45
o
c) Lý thuyết trường nén sửa đổi f
1
= 0, < 45
o

(theo Mitchell và Collins, 1991)
θ

Vòng tròn ứng suất M
o
cho phần bêtông chòu nén ở
hình 4.12c được giải thích cụ thể ở hình 4.13. Một phần tử
BTCT chòu cắt thuần túy ứng với một vòng tròn ứng suất
như hình 4.13a. Sự tương tác bên trong phần tử tạo ra
lực nén trong bêtông và lực kéo trong cốt thép.
Phần bêtông của phần tử được giả thiết chòu toàn bộ
lực cắt và lực nén và ứng với vòng tròn ứng suất ở
hình 4.12c và 4.13b. Góc xiên 2 phụ thuộc vào giá trò
tương đối giữa lực cắt và lực nén.
Không có vòng tròn ứng suất ứng với cốt thép vì
sức kháng cắt của nó được bỏ qua. Ứng suất kéo là
các ứng suất kéo giả đònh của bêtông tương đương với lực
kéo trong cốt thép. Sử dụng phép cộng biểu đồ như hình
4.13b và 4.13c có :
(4.36)
*
*
s v x s s
s
s s x s
v x
f b s f A
A
f f f
b s

=
= = ρ
θ
* *
,
s v
f f

và
(4.37)
trong đó : s
x
- khoảng cách thẳng đứng của cốt thép dọc
s - cự ly giữa các cốt đai.
(4.38)
(4.39)
Ứng suất giữa bêtông và cốt thép có thể không
giống nhau sau khi bêtông bò nứt do môđun đàn hồi của
bêtông và cốt thép khác nhau nhưng biến dạng của
chúng thì bằng nhau.
Từ điều kiện này sẽ có thêm một phương trình
để tạo thành hệ phương trình và từ đó có thể xác đònh
góc nghiêng và cường độ chòu cắt của cấu kiện
BTCT.
*
*
v v x v v
v
v v v v
v x

f b s f A
A
f f f
b s
=
= = ρ
ρ = =

s
x
v x
A
ty so cot doc� � � �
b s

v
v
v
A
ty so cot ngang� � �
b s
ρ = =
θ

Việc xác đònh nghiệm của hệ phương trình được
thực hiện bằng cách coi sườn dầm như một phần tử
tấm mỏng với ứng suất, biến dạng có thể xác đònh bằng
các vòng tròn M
o
ứng suất, biến dạng.

Trước khi viết các phương trình cân bằng của
lý thuyết trường nén sửa đổi, cần xác đònh các điều kiện
cân bằng dựa trên một vòng tròn M
o
biến dạng.
Xét phần tử sườn dầm BTCT bò nứt có trạng thái
ứng suất hai phương và các biến dạng trung bình là
theo phương dọc, ngang và 45
o
lần lượt là
x
,
t
và
45
.
Biến dạng vuông góc là độ dãn dài trên một đơn vò
chiều dài (H.4.14a), còn biến dạng cắt là sự thay đổi góc
γ từ góc vuông ban đầu (H.4.14b). Do giả thiết các
đặc trưng vật liệu là đối xứng nên góc này ở hai bên
góc vuông ban đầu bằng nhau. Hướng của biến
dạng cắt tương ứng với hướng dương giả thiết của ứng
suất cắt trên hình 4.13.
ε
ε
ε

Hình 4.13 Phần tử BTCT chòu cắt thuần túy
a) Bêtông cốt thép; b) Thanh chống bêtông; c) Cốt thép

Một vòng tròn biến dạng có thể xác đònh nếu biết ba
biến dạng tại một điểm và góc giữa chúng. Ba biến dạng
đó là
x
,
t
và
45
. Để xác đònh góc nghiêng của thanh
chòu nén cần xác đònh mối quan hệ giữa các biến dạng
này với các biến dạng chính trung bình
1
,
2
và góc .
ε
ε
ε
ε
ε
θ
Hình 4.14
Điều kiện
cân bằng
của phần tử
sườn dầm
bò nứt

Hình 4.15
Các điều kiện

cân bằng của
thuyết trường
nén sửa đổi
a) Sườn BTCT
bò nứt;
b) Mặt cắt ngang
c) Lực kéo trong
cốt thép sườn;
d) Vòng tròn
ứng suất của bêtông

Cân bằng các lực đứng ở hình 4.15c được :
thay f
2
ở phương trình (4.45) và v ở (4.46) vào, được :

(4.47)
Phương trình này thể hiện sự phân bố sức kháng cắt
của bêtông và ứng suất kéo trong cốt thép sườn dầm.
So sánh phương trình (4.45) với (4.47) thấy rằng so với
mô hình dàn có góc thay đổi, lý thuyết trường nén sửa
đổi đã xét thêm khả năng chòu cắt của bêtông.
Cân bằng các lực dọc ở hình 4.15a. có :
thay f
2
ở phương trình (4.45) vào, được :
Nếu không có tải trọng dọc trục thì N
v
sẽ do cốt thép
dọc chòu :

2 2
2 1
sin cos
v v v v
A f f sb f sb
= θ − θ
1
cot cot
v v v
v v
A f d
V f b d
s
= θ + θ
2 2
2 1
cos sin
v v v v v
N f b d f b d
= θ − θ
1
( cot )
v v v
N v f b d
= θ −
v sx sx px px
N A f A f= +

trong đó : A
sx

- tổng diện tích cốt thép dọc
A
px
- tổng diện tích thép dự ứng lực dọc
f
sx
, f
px
- ứng suất trung bình trên diện tích b
v
d
v

trong cốt thép thường và cốt thép dự ứng lực dọc.
Cân bằng hai phương trình trên và chia cả hai vế cho
b
v
d
v
:
(4.48)
trong đó :
(4.49)

(4.50)
Với các điều kiện cân bằng về ứng suất và biến dạng
đã trình bày, chỉ còn mối quan hệ giữa ứng suất và biến
dạng là đủ để hoàn thành lý thuyết trường nén sửa đổi.
1
cot

sx sx px px
f f v f
ρ + ρ = θ −

sx
sx
v v
A
ty l e cot thep th ng�� � � ���
b d
ρ = =

px
px
v v
A
ty le cot thep d ng l c�� � � ���� ��
b d
ρ = =

Hình 4.16 Mối quan hệ cơ bản của các phần tử
a) Bêtông chòu nén; b) Bêtông chòu kéo; c) Cốt thép thường; d) Thép dự ứng lực

Trong việc xác đònh sự làm việc của bêtông chòu kéo
trên hình 4.16b đã xét tới hai giả thiết : (1) dùng ứng suất
trung bình và biến dạng trung bình trên nhiều vết nứt và
(2) các vết nứt không đủ rộng để lực cắt vẫn có thể
truyền qua chúng.
Hình 4.17a thể hiện một sườn dầm bò nứt xiên với
biểu đồ ứng suất kéo thực và ứng suất chính trung bình f

1
cùng với biến dạng kéo chính trung bình
1
xác đònh trên
một đơn vò chiều dài. Đối với sườn bò nứt do biến dạng
kéo đàn hồi tương đối nhỏ nên ứng suất kéo chính
chủ yếu là do sự mở rộng của các vết nứt, và bằng :

(4.51)
trong đó :
ω
- bề rộng vết nứt;
s
m
- khoảng cách trung bình của các vết nứt xiên.

Nếu bề rộng vết nứt w trở nên quá lớn, nó sẽ không
thể truyền lực cắt qua vết nứt theo cơ chế cài cốt liệu như
thể hiện của chi tiết vết nứt. Nói cách khác, nếu vết nứt
quá rộng, phá hoại do cắt sẽ xẩy ra do hiện tượng trượt
dọc theo bề mặt vết nứt.
ε
1
m
w
s
θ
ε ≈
θ