Luật số lớn và định lý giới hạn trung tâm cho MARTINGALE
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (754.98 KB, 71 trang )
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
--------
Trần Văn Huyến
LUẬT SỐ LỚN VÀ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN
TRUNG TÂM CHO MARTINGALE
TÓM TẮT LUẬN VĂN
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội - 2012
Lời nói đầu
Có lẽ một trong những thành tựu to lớn nhất của xác suất hiện đại
là lý thuyết thống nhất về giới hạn của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập
(BNNĐL). Thực tế là, thống kê toán học thường được xem là bắt nguồn
từ rất sớm với các luật giới hạn của Bernoulli và Moivre. Lý thuyết toán
về luật số lớn và luật giới hạn trung tâm cho martingale có thể được xem
là sự mở rộng của lý thuyết độc lập và nó cũng có nguồn gốc từ các kết
quả giới hạn trong trường hợp độc lập, như luật yếu số lớn của Khinchin,
của Liapounov và của Lolmogorov, và các định lý giới hạn trung tâm của
Bernstein và của Levy.
Đặt {Sn , Fn , n ≥ N } là một martingale trung bình khơng và bình
phương khả tích và đặt Xn = Sn − Sn−1 , n ≥ 2, và X1 = S1 biểu diễn martingale hiệu. Levy đưa ra khái niệm phương sai điều kiện cho martingale.
n
Vn2
E(Xi2 |Fi−1 ),
=
1
phương sai điều kiện đóng một vai trị quan trọng trong lý thuyết giới hạn
martingale hiện đại . Các kết quả ban đầu của Levy đòi hỏi các giả thiết
phải mạnh như với mỗi n, Vn2 là hằng số hầu chắc chắn, và những giả thiết
này cũng được đưa ra ngay cả trong các tác phẩm đương đại,
Doob đã đưa ra hàm đặc trưng để chứng minh các kết quả của Levy.
Billlingsley, và độc lập với Ibragimov, đã thiết lập định lý giới hạn trung
tâm cho các martingale với các hiệu được giả thiết dừng và thỏa mãn giả
thiết ergodic. Các martingale như vậy có phương sai tiệm cận hằng số.
Các kết quả mở rộng hơn nữa đã được phát trin v chng minh bi
Rosộn, Dvoretzky, Loynes v Bergstrăm v sau ú l Mcleish , Gănssler
o
a
at al. . Scott.
Trong lun văn này, tác giả đã trình bày một cách chi tiết và có hệ
thống các kết quả quan trọng của luật số lớn và định lý giới hạn trung tâm
martingale như là một trường hợp mở rộng của tổng các biến ngẫu nhiên
i
Lời nói đầu
độc lập, và làm sáng tỏ một số kết quả trong chứng minh một số định lý
giới hạn martingale. Với những mục đích và ý tưởng như vậy, tác giả đã
trình bày nội dung của đề tài khóa luận làm ba chương.
Chương 1 là những kiến thức chuẩn bị của luận văn. Trong phần đầu
của chương này, tác giả nhắc lại những khái niệm và kết quả cơ bản về
martingale, các dạng hội tụ, và một số định lý hội tụ quan trọng của martingale chẳng hạn định lý hội tụ Doob, hàm đặc trưng và mối quan hệ của
chúng với hàm phân phối.
Chương 2 đây là một trong những nội dung chính của chương. Trong
đó nội dung quan trọng nhất của chương xoay quanh hai vấn đề; luật yếu
số lớn và luật mạnh số lớn cho martingale, được tác giả trình bày trong
mục 2.3 và 2.4. Bên cạnh đó tác giả cịn trình bày chi tiết hai định lý đó
là: Định lý bất đẳng thức hàm bình phương, đây là bất đẳng thức rất quan
trọng làm cơ sở cho việc đánh giá và nghiên cứu các định lý giới hạn, như
luật số lớn và luật giới hạn trung tâm, và định lý 2.5.2 dùng để xấp xỉ
tương đương giữa các phương sai điều kiện và tổng bình phương, mà đó là
một trong những phần lý thuyết chính để nghiên cứu các martingale.
Chương 3 đây là phần chính của đề tài này. Ở đây tác giả đã trình
bày những kết quả chính các luật giới hạn trung tâm cho martingale như
sự mở rộng của tổng các đại lượng ngẫu nhiên độc lập, và kết quả dạng
Raikov đây là một phát hiện quan trọng trong việc nghiên cứu các martingale thơng qua các tổng bình phương các hiệu của chúng.
Qua đây, tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người thầy, người
hướng dẫn khoa học của mình, GS.TSKH. Đặng Hùng Thắng, người đã
đưa ra đề tài và tận tình hướng dẫn, chỉ bảo trong suốt quá trình nghiên
cứu của tác giả. Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm ơn các thầy cơ
trong khoa Tốn - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại
học Quốc gia Hà Nội, đã tạo mọi điều kiện cho tác giả về tài liệu và thủ
tục hành chính để tác giả hồn thành bản luận văn này. Tác giả cũng gửi
lời cảm ơn rất nhiều đến bạn bè, đặc biệt là bạn bè trong nhóm Xác suất
và thống kê toán, lớp Cao học 07 - 09, đã động viên giúp đỡ tác giả về tài
liệu tham khảo và kỹ thuật biên soạn Latex.
Do thời gian và trình độ cịn hạn chế, chắc chắn bản luận văn khơng
thể tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo tận
tình của các thầy cơ và bạn bè đồng nghiệp, tác giả xin chân thành cảm
ơn!
Hà Nội, năm 2012
Học viên
ii
Lời nói đầu
Trần Văn Huyến
iii
Bảng ký hiệu
CLT
Định lý giới hạn trung tâm.
hcc
Hầu chắc chắn.
bnn
Biến ngẫu nhiên.
L0
Không gian các hàm thực đo được.
L1 ≡ L1
Không gian các bnn có moment cấp 1.
Lp ≡ Lp
Khơng gian các bnn có moment cấp p.
||.||p
Chuẩn trong Lp .
d
−→
P
−→
p
Hội tụ theo phân phối.
Hội tụ theo Xác suất.
−→
L
Hội tụ trong Lp .
L1
Hội tụ trong L1 .
−→
a.s.
−→
Hội tụ hầu chắc chắn.
X
σ≤n = σ≤n σ− trường sinh bởi các biến ngẫu nhiên {Xm , m ≤ n}.
τa ∧ n
= min{τa , n}.
iv
Mục lục
1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Một số ví dụ về martingale . . . . . . . .
1.1.3 Thời điểm Markov và thời điểm dừng . .
1.1.4 Hiệu martingale . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5 Martingale bình phương khả tích . . . .
1.2 Các dạng hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Hội tụ hầu chắc chắn . . . . . . . . . . .
1.2.2 Hội tụ theo xác suất . . . . . . . . . . .
1.2.3 Hội tụ theo trung bình . . . . . . . . . .
1.2.4 Hội tụ theo phân phối . . . . . . . . . .
1.3 Các định lý về sự hội tụ martingale . . . . . . .
1.4 Hàm đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . .
1.4.2 Mối quan hệ giữa hàm đặc trưng và hàm
2 Các
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
Bất Đẳng Thức Và Luật Số Lớn
Các bất đẳng thức cơ bản . . . . . .
Bất đẳng thức hàm bình phương . .
Luật yếu số lớn . . . . . . . . . . . .
Luật mạnh số lớn . . . . . . . . . . .
Sự hội tụ trong Lp . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3 Định Lý Giới Hạn Trung Tâm
3.1 Định Lý Giới Hạn Trung Tâm . . . . . . .
3.2 Kết Quả dạng Raikov . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Phát hiện kết quả trong trường hợp
3.2.2 Kết quả Raikov trong martingale .
v
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
phân
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . . .
. . . . .
độc lập
. . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
phối
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
1
3
4
5
5
5
5
6
6
7
8
9
9
9
.
.
.
.
.
11
11
13
20
23
33
.
.
.
.
43
43
56
56
56
MỤC LỤC
Tài liệu tham khảo
64
vi
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1
Martingale
1.1.1
Các định nghĩa
Sau đây ta luôn giả sử rằng A1 , A2 , · · · , An là các dãy σ− trường con
tăng của σ− trường A, tức là A1 ⊂ A2 · · · ⊂ An ⊂ A.
Định nghĩa 1.1.1. Giả sử (Ω, A, P ) là không gian xác suất. Dãy {Xn , An , n ∈
N }, được gọi là:
• martingale trên (đối với An , n ∈ N ), nếu
(i)
{Xn , An , n ∈ N } là một dãy tương thích.
(ii)
E|Xn | < ∞,
∀n ∈ N .
(iii)
Với m ≤ n, m, n ∈ N , E(Xn |Am ) ≤ Xm ,
chắn.
P - hầu chắc
• martingale dưới (đối với An , n ∈ N ), nếu các điều kiện (i), (ii) được
thực hiện, và
(iii’)
với m ≤ n, m, n ∈ N , E(Xn |Am ) ≥ Xm ,
P - hầu chắc
chắn.
• martingale (đối với An , n ∈ N ), nếu các điều kiện (i), (ii) được thực
hiện, và
(iii’)
với m ≤ n, m, n ∈ N , E(Xn |Am ) = Xm ,
P - hầu chắc
chắn.
chú ý
1
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
1. Từ định nghĩa kỳ vọng có điều kiện, ta có:
Điều kiện (iii) tương đương với
Xn dP ≤
A
Xm dP,
∀A ∈ Am , m ≤ n.
A
Điều kiện (iii’) tương đương với
Xn dP ≥
A
Xm dP,
∀A ∈ Am , m ≤ n.
A
Điều kiện (iii”) tương đương với
Xn dP =
A
Xm dP,
∀A ∈ Am , m ≤ n.
A
2. Định nghĩa về martingale dưới, martingale trên, martingale tương
đương với: Giả sử N = 0, 1, 2, . . . , N, (Ω, A, P ) là không gian xác suất,
A0 ⊂ A1 ⊂ · · · ⊂ An ⊂ An+1 ⊂ A. Khi đó {Xn , An , n ∈ N } là:
• martingale trên, nếu
(i)
Xn ∈ An , ∀n ∈ N ;
(ii)
E|Xn | < ∞
(iii)
với n = 1, 2, . . .
E(Xn |An−1 ) ≤ Xn−1 ,
P − hầu chắc chắn.
• martingale dưới, nếu các điều kiện (i), (ii) thỏa mãn, và
(iii’)
với n = 1, 2, . . .
E(Xn |An−1 ) ≥ Xn−1 ,
P − hầu chắc chắn.
• martingale, nếu các điều kiện (i), (ii) thỏa mãn, và (iii”)
n = 1, 2, . . .
E(Xn |An−1 ) = Xn−1 ,
với
P − hầu chắc chắn.
Những nhận xét trên chứng minh được dễ dàng dựa vào các tính
chất của kỳ vọng có điều kiện.
2
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
1.1.2
Một số ví dụ về martingale
Ví dụ 1.1.2. Giả sử (ξn , n ∈ N ) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập với
Eξn = 0, n ∈ N. Khi đó dãy các tổng riêng
Sn = ξ0 + ξ1 + · · · + ξn
là dãy martingale đối với An = σ(ξ0 , · · · , ξn ). Thật vậy, do Sn−1 ∈ An−1 và
tính độc lập của ξn đối với An−1 , ta có
E(Sn |An−1 ) = E(Sn−1 + ξn |An−1 ) = Sn−1 + Eξn = Sn−1 .
Ví dụ 1.1.3. Giả sử (ξn , n ∈ N ) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập với
Eξn = 1, n ∈ N. Khi đó dãy các tích riêng
n
ξn
Xn =
k=0
là dãy martingale đối với An = σ(ξ0 , · · · , ξn ). Thật vậy, do Xn−1 ∈ An−1
và tính độc lập của ξn đối với An−1 , ta có
E(Xn |An−1 ) = E(Xn−1 × ξn |An−1 ) = Xn−1 × Eξn = Xn−1 .
Ví dụ 1.1.4. Giả sử X là biến ngẫu nhiên nào đó có E|X| < ∞ và
{An , n ∈ N } là dãy σ− không giảm của A. Khi đó dãy
Xn = E(X|An )
là dãy martingale đối với An , n ∈ N. Thật vậy, vì An−1 ⊂ An ta có
Xn−1 = E(X|An−1 ) = E(E(X|An )|An−1 ) = E(Xn |An−1 ).
Ví dụ 1.1.5. Giả sử Y0 , Y1 , · · · là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng
phân phối sao cho E(Yn ) = 0 và EYn2 < ∞. Thì dãy
2
n
Zn =
Yj
− σ2n
j=1
là một martingale, đối với σ−trường An = σ(Y0 , Y1 , · · · , Yn ). Thật vậy, do
tính đo được của các Yj đối với An−1 , với mọi 1 ≤ j ≤ n − 1 và tính độc
3
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
lập của Yn với An−1 . Ta có:
n−1
E(Zn |An−1 ) = E
Yj
2
− σ2n + 2
j=1
=
Yj Yn + Yn2 An−1
n−1
2
−σ n+
Yj
E(Yn2 )
Yj E(Yn |An−1 )
+2
j=1
j=1
2
n−1
=
j=1
2
n−1
n−1
Yj
− σ 2 (n − 1)
j=1
= Zn−1
Ví dụ 1.1.6. Giả sử rằng X0 , X1 , · · · là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập
cùng phân phối p−Bernoulli, và đặt Sn = n Xj . (Sn có phân phối nhị
j=1
thức (n, p)). Ta định nghĩa
q
p
Zn =
2Sn −n
là một martingale, đối với σ−trường sinh bởi An = σ(X0 , X1 , · · · , Xn ).
Thật vậy cũng lý luận như ví dụ trên, ta có:
−1
E(Zn |An−1 ) = Zn−1
q
p
−1
= Zn−1
q
p
−1
= Zn−1
q
p
= Zn−1 ,
1.1.3
E
E
2Xn
q
p
2Xn
q
p
q
p
An−1
2
.p + q
vì p + q = 1.
Thời điểm Markov và thời điểm dừng
Định nghĩa 1.1.7. Giả sử τ : Ω → N ∪ {∞} là biến ngẫu nhiên (có thể
lấy giá trị ∞). Ta nói rằng τ là thời điểm Markov đối với {An , n ∈ N },
nếu
{ω : τ (ω) = n} ∈ An , ∀n ∈ N.
Nếu giả thiết thêm rằng P (τ < ∞) = 1, thì τ được gọi là thời điểm dừng.
4
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
1.1.4
Hiệu martingale
Định nghĩa 1.1.8. Dãy tương thích {Xn , An , n ∈ N } được gọi là hiệu
martingale, nếu E|Xn | < ∞ đối với mọi n ∈ N và
E(Xn+1 |An ) = 0,
P − hầu chắc chắn.
Rõ ràng, nếu S = {Sn , An , n ∈ N } là martingale thì {Xn , An , n ∈ N } là
hiệu martingale, trong đó
X0 = S0 ,
Xn = ∆Sn = Sn − Sn−1 , n = 1, 2 . . .
Ngược lại, nếu {Xn , An , n ∈ N } là hiệu martingale thì
S = {Sn , An , n ∈ N }
là martingale trong đó
S0 = X0 ,
Sn = X0 + · · · + Xn .
Chẳng hạn, mỗi dãy {Xn , n ∈ N } các biến ngẫu nhiên độc lập có kỳ vọng
X
0 là hiệu martingale đối với σ− trường σ≤n . Trong đó;
X
σ≤n = σ≤n = σ({Xm , m ≤ n}), m, n ∈ N, gọi là σ− trường tự nhiên, là
σ− trường sinh ra từ X = {Xn , n ∈ N } .
1.1.5
Martingale bình phương khả tích
Định nghĩa 1.1.9. Dãy M = {Mn , An , n ∈ N } được gọi là martingale
2
bình phương khả tích, nếu: E|Mn | < ∞ với mọi n ∈ N.
Chú ý: Khơng mất tính tổng qt, ta có thể giả thiết, M0 = 0, vì nếu
2
cần thiết ta xét Mn − M0 thay cho Mn . Khi đó, M = {Mn , An , n ∈ N } là
martingale dưới.
1.2
1.2.1
Các dạng hội tụ
Hội tụ hầu chắc chắn
Định nghĩa 1.2.1. Dãy các đại lượng ngẫu nhiên {Zn } được gọi là hội tụ
hcc
hầu chắc chắn đến đại lượng ngẫu nhiên Z (ta viết Zn −→ Z) nếu
P {ω : lim Zn (ω) = Z(ω)} = 1.
5
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Sự hội tụ hầu chắc chắn (nếu tồn tại) là duy nhất theo nghĩa: nếu
hcc
hcc
Zn −→ Z và Zn −→ Z thì P (Z = Z ) = 1.
1.2.2
Hội tụ theo xác suất
Định nghĩa 1.2.2. Ta nói rằng, dãy các đại lượng ngẫu nhiên {Zn } hội
P
tụ theo xác suất đến đại lượng ngẫu nhiên Z (và viết Zn −→ Z) nếu:
lim P {ω : |Zn (ω) − Z(ω)| ≥ } = 0 ∀ > 0.
n→∞
P
Hội tụ theo xác suất nếu tồn tại là duy nhất theo nghĩa: nếu Zn −→ Z
P
và Zn −→ Z thì P (Z = Z ) = 1, vì
{|Z − Z | ≥ } ⊂ |Zn − Z| ≥
∪ |Zn − Z | ≥
2
2
Ta đưa ra một định lý sau đây thể hiện mối quan hệ giữa hội tụ theo
xác suất và hội tụ hầu chắc chắn.
P
hcc
Định lý 1.2.3. a) Nếu Zn −→ Z, thì Zn −→ Z.
P
hcc
b) Nếu Zn −→ Z, thì tồn tại dãy con {Znk } sao cho Znk −→ Z.
1.2.3
Hội tụ theo trung bình
Định nghĩa 1.2.4 (Tính khả tích đều). Giả sử {Zi , i ∈ I} là họ các
đại lượng ngẫu nhiên có kỳ vọng hữu hạn, tức là {Zi , i ∈ I} ⊂ L1 . Ta nói
rằng họ này là khả tích đều nếu
|Zi |dP = 0
lim sup
a→+∞ i∈I
{|Zi |≥a}
Định nghĩa 1.2.5 (Hội tụ trung bình). Giả sử rằng {Zn } ∈ Lp , Z ∈ Lp
và p ∈ (0, +∞). Ta nói rằng, dãy {Zn } hội tụ trung bình cấp p đến Z và
Lp
viết Zn −→ Z, nếu
lim E|Zn − Z|p = 0.
n→∞
Từ các bất đẳng thức Chebyshev và bất đẳng thức Liapounov:
P {|Zn − Z| ≥ } ≤
E|Zn − Z|p
p
6
,
∀ > 0.
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
1
1
(E|Zn − Z|r ) r ≤ (E|Zn − Z|p ) p ,
Lp
∀r ∈ (0, p).
L
P
r
Ta suy ra rằng, nếu Zn −→ Z, thì Zn −→ Z, và Zn −→ Z,
∀r ∈ (0, p).
Định lý 1.2.6. Để dãy biến ngẫu nhiên {Zn } hội tụ trung bình cấp 1 đến
Z cần và đủ là
Zn dP −
lim sup
n→∞A∈A
A
ZdP = 0.
A
Ba định lý sau nói về mối quan hệ giữa hội tụ trung bình và hội tụ theo
xác suất.
Định lý 1.2.7. Giả sử {Zn } ⊂ L1 và Z ∈ L0 . Khi đó hai điều kiện sau là
tương đương nhau:
P
1) {Zn } khả tích đều và Zn −→ Z.
L1
2) Z ∈ L1 và Zn −→ Z.
Định lý 1.2.8. Giả sử {Zn } ∈ Lp , p ∈ (0, +∞) và Z ∈ L0 . Khi đó hai
điều kiện sau là tương đương với nhau:
P
1) {|Zn |p } khả tích đều và Zn −→ Z.
Lp
2) Z ∈ Lp và Zn −→ Z.
Lp
P
Định lý 1.2.9. 1) Zn −→ Z, p ∈ (0, +∞) thì Zn −→ Z.
P
2) Nếu Zn −→ Z và {Zn } bị chặn đều với xác suất 1, tức là
sup|Zn | ≤ C < +∞ hcc
n
Lp
thì Zn −→ Z
1.2.4
∀p ∈ (0, +∞).
Hội tụ theo phân phối
Định nghĩa 1.2.10. Ta nói rằng dãy các đại lượng ngẫu nhiên Zn hội tụ
theo phân phối đến dãy các đại lượng ngẫu nhiên Z ∈ L0 , nếu Fn (x) −→
d
F (x) với mọi điểm liên tục của hàm F , ký hiệu Zn −→ Z.
Định lý 1.2.11. Nếu dãy các đại lượng ngẫu nhiên {Zn }, Z cùng xác định
P
d
trên một không gian xác suất và Zn −→ Z thì Zn −→ Z.
d
P
Định lý 1.2.12. Nếu Zn −→ Z và Z suy biến thì Zn −→ Z
7
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
1.3
Các định lý về sự hội tụ martingale
Định lý 1.3.1 (Định lý Doob). Nếu {Xn , An , n ∈ N } là một martingale
dưới và L1 − bị chặn, tức là:
supE|Xn | < ∞,
n
thì {Xn } hội tụ hcc tới biến ngẫu nhiên X∞ nào đó, với E|X∞ | < ∞.
Hệ quả 1.3.2. Giả sử {Xn } là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, và đặt
{Sn } là dãy các tổng riêng của nó, tức là:
S0 = X0 ,
S n = X 0 + X1 + · · · + Xn .
Khi đó các điều kiện sau là tương đương
(i) {Sn } hội tụ hcc
(ii) {Sn } hội tụ theo xác suất;
(iii) {Sn } hội tụ theo phân phối.
Định lý 1.3.3 (Sự hội tụ trong Lp ). Giả sử 1 < p < ∞. Nếu {Xn , An , n ∈
N } là martingale và Lp bị chặn, tức là,
supE|Xn |p < ∞,
n
thì dãy Xn hội tụ trong Lp , đồng thời hội tụ hcc tới biến ngẫu nhiên X∞
với E|X∞ |p < ∞
Định lý 1.3.4 (Hội tụ trong L1 ). Nếu {Xn , An , n ∈ N } là martingale
và dãy {Xn } khả tích đều thì dãy {Xn } hội tụ trong L1 , đồng thời hội tụ
hcc tới biến ngẫu nhiên X∞ với E|X∞ | < ∞.
Như chúng ta đã thấy ở ví dụ (1.1.4). Đặt p ≥ 1, X ∈ Lp , thì Xn =
E[X|Fn ] là một martingale.
Định lý 1.3.5. Giả sử rằng p > 1, {Xn } là một dãy martingale bị chặn
trong Lp tức là supn ||Xn ||p < ∞, thì có tồn tại một biến ngẫu nhiên X ∈ Lp
sao cho Xn = E[X|Fn ], n ≥ 1 và ||Xn − X||p −→ 0 khi n −→ ∞ .
8
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
1.4
1.4.1
Hàm đặc trưng
Định nghĩa và tính chất
Định nghĩa 1.4.1. Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên X hoặc của hàm
phân phối FX là một hàm giá trị phức được xác định như sau:
ϕX (t) = E eitX =
eitx dF = E [cos(tX) + isin(tX)]
Ta sẽ liệt kê một số tính chất của hàm đặc trưng sau đây mà không
chứng minh.
1. ϕ tồn tại với bất kỳ hàm phân phối của X.
2. ϕ(0) = 1.
3. |ϕ(t)| ≤ 1, ∀t ∈ R.
4. ϕ là liên tục đều: nghĩa là, ∀ > 0, tồn tại σ > 0 sao cho, |ϕ(t)−ϕ(s)| ≤
, với bất cứ |t − s| ≤ σ.
5. Hàm đặc trưng của a + bX là eiat ϕ(bt).
6. Hàm đặc trưng của −X là hàm phức liên hợp ϕ(t).
7. Hàm đặc trưng ϕ nhận giá trị thực nếu và chỉ nếu biến ngẫu nhiên
tương ứng X có phân phối đối xứng tại điểm 0, nghĩa là nếu và chỉ nếu
P (X > z) = P (X < −z), ∀z > 0.
8. Nếu X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập thì hàm đặc trưng của
X + Y bằng tích các hàm đặc trưng thành phần của chúng, tức là:
ϕX+Y (t) = ϕX (t).ϕY (t).
9. Hàm đặc trưng của tích chập F ∗ G là ϕF (t)ϕG (t).
1.4.2
Mối quan hệ giữa hàm đặc trưng và hàm phân
phối
Ta thừa nhận một số định lý sau.
9
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Định lý 1.4.2 (Công thức ngược). Nếu X có hàm đặc trưng ϕX (t), thì
với mọi khoảng (a, b), ta có,
P [X = a] + P [X = b]
1
P [a < x < b] +
= lim
T →∞ 2π
2
T
−T
e−ita − e−itb
ϕX (t)dt
it
Hệ quả 1.4.3. Nếu Hàm đặc trưng của hai biến ngẫu nhiên X và Y trùng
nhau thì chúng có cùng hàm phân phối.
Định lý 1.4.4 (Định lý liên tục). Nếu Xn có hàm đặc trưng ϕn (t) thì Xn
hội tụ yếu nếu và chỉ nếu tồn tại một hàm ϕ(t) liên tục tại t = 0 sao cho
ϕn (t) −→ ϕ(t), ∀t. (Trong trường hợp này ϕ là hàm đặc trưng của biến
ngẫu nhiên giới hạn X.)
10
Chương 2
Các Bất Đẳng Thức Và
Luật Số Lớn
2.1
Các bất đẳng thức cơ bản
Định lý 2.1.1. Nếu {Si , Fi , 1 ≤ i ≤ n} là một martingale dưới, thì với
mọi số thực λ ta có,
λP
≤ E Sn I maxSi > λ
maxSi > λ
i≤n
i≤n
.
Chứng minh. Ta xác định
n
E=
maxSi > λ
i≤n
n
Si > λ; max Sj ≤ λ
=
1≤j
i=1
=
Ei ,
i=1
các biến cố Ei là Fi − đo được và rời nhau. Do đó
λP (E) ≤
E[Si I(Ei )]
i
≤
E[E(Sn |Fi )I(Ei )]
do tính chất của martingale dưới
i
=
E[E(Sn I(Ei )|Fi )]
i
=
E[Sn I(Ei )]
i
11
Chương 2. Các Bất Đẳng Thức Và Luật Số Lớn
= E[Sn I(E)].
Hệ quả 2.1.2. Nếu {Si , Fi , 1 ≤ i ≤ n} là một martingale, thì với p ≥ 1
và λ > 0,
λp P
≤ E|Sn |p .
max|Si | > λ
i≤n
Chứng minh. Vì {|Si |p }, Fi , 1 ≤ i ≤ n là martingale dưới (không âm) nên
theo bất đẳng thức trong định lý trên ta được: với a > 0
aP
max |Si |p > a
≤ E|Sn |p
0≤i≤n
thay a = λp ta suy ra điều cần chứng minh.
Định lý 2.1.3 (Bất đẳng thức Doob). Nếu {Si , Fi , 1 ≤ i ≤ n} là một
martingale thì với p > 1,
||Sn ||p ≤ max|Si |
i≤n
≤ q||Sn ||p ,
p
ở đó p−1 + q −1 = 1.
Chứng minh. Hiển nhiên bất đẳng thức đầu là tầm thường. Ta chỉ cần
chứng minh bất đẳng thức thứ hai, từ định lý 2.1.1 và áp dụng bất đẳng
thức Holder, ta có:
∞
p
E max|Si |
i≤n
xp−1 P
=p
max|Si | > x dx
i≤n
0
∞
xp−2 E |Sn |I max|Si | > x
≤p
i≤n
0
maxi≤n |Si |
= pE |Sn |
xp−2 dx
0
= qE |Sn | max|Si |p−1
i≤n
p
≤ q (E|Sn | )
1
p
từ đó ta suy ra điều cần chứng minh.
12
p
E max|Si |
i≤n
1
q
,
dx
Chương 2. Các Bất Đẳng Thức Và Luật Số Lớn
2.2
Bất đẳng thức hàm bình phương
Bất đẳng thức hàm bình phương đóng vai trị quan trọng trong nghiên
cứu các martingale, chúng nói nên mối quan hệ giữa việc xử lý một martingale và các bình phương của hiệu.
Đặt X1 = S1 và Xi = Si − Si−1 , 2 ≤ i ≤ n, biểu diễn hiệu của dãy
{Si , 1 ≤ i ≤ n}.
Định lý 2.2.1 (Bất đẳng thức Burkholder ). Nếu {Si , Fi , 1 ≤ i ≤ n} là
một martingale và 1 < p < ∞, thì tồn tại các hằng số C1 và C2 chỉ phụ
thuộc vào p sao cho
p
2
n
Xi2
C1 E
p
2
n
Xi2
≤ E|Sn |p ≤ C2 E
i=1
.
(2.1)
i=1
√
√
Trong đó C1 = (18 p q)−p và C2 = (18p q)p , ở đó p−1 + q −1 = 1
Định lý 2.2.2. Nếu {Si , Fi , 1 ≤ i ≤ n} là một martingale và p > 0 thì tồn
tại hằng số C phụ thuộc chỉ vào p sao cho
p/2
n
E max|Si |p
E(Xi2 |Fi−1 )
≤ C E
i≤n
+ E max|Xi |p .
i≤n
i=1
Định lý 2.2.3 (Bất đẳng thức Rosenthal ). Nếu {Si , Fi , 1 ≤ i ≤ n} là một
martingale và 2 ≤ p < ∞, thì tồn tại các hằng số C1 và C2 chỉ phụ thuộc
vào p sao cho
p
2
n
E(Xi2 |Fi−1 )
C1 E
n
E|Xi |p
+
i=1
i=1
p
2
n
E(Xi2 |Fi−1 )
p
≤ E|Sn | ≤ C2 E
i=1
n
E|Xi |p .
+
i=1
Để phục vụ chứng minh ba định lý trên, chúng tôi xin đưa ra 3 bổ đề.
Bổ đề 2.2.4. Giả sử rằng {Si , Fi , 1 ≤ i ≤ n} là một martingale L1 bị
chặn hoặc martingale dưới không âm. Với λ > 0, ta định nghĩa thời gian
dừng τ bởi
min{i ≤ n|, |Si | > λ} nếu tập này khác rỗng,
τ=
n + 1
ngược lại.
13
Chương 2. Các Bất Đẳng Thức Và Luật Số Lớn
Thì
τ −1
Xi2
E
2
+ E(Sτ −1 ) ≤ 2λE|Sn |.
i=1
Chứng minh. Với bất kỳ m ≤ n + 1,
m−1
2
2
Xi2 + Sm−1 = 2Sm−1 − 2
i=1
Xi Xj
1≤i
=
2
2Sm−1
−2
Sj−1 Xj
j=2
m
= 2Sm Sm−1 − 2
Sj−1 Xj ,
j=2
ở đó ta xác định Sn+1 = Sn và Xn+1 = 0. Trong trường hợp cụ thể,
τ −1
τ
Xi2
+
2
Sτ −1
= 2Sτ Sτ −1 − 2
Si−1 Xi .
i=2
i=1
Bây giờ ta có
n
τ
E
Si−1 Xi
i=2
E[Si−1 E(Xi |Fi−1 )I(τ ≥ i)] ≥ 0,
=
i=2
với dấu bằng xảy ra trong trường hợp martingale. Do đó
τ
Xi2
E
2
+ E(Sτ −1 ) ≤ 2E(Sτ Sτ −1 ) ≤ 2λE|Sτ | ≤ 2λE|Sn |
i=1
hai bất đẳng thức cuối suy ra từ chú ý rằng |Sτ −1 | ≤ λ và {|Sτ |, |Sn |} là
martingale dưới đối với σ− trường {Fτ , Fn }.
Bổ đề 2.2.5. Giả sử {Si , Fi , 1 ≤ i ≤ n} là martingale dưới không âm và
đặt
1
n
2
Xi2
Y = max θ
, max Si ,
i=1
ở đó θ > 0. Thì với mọi λ > 0,
λP (Y > βλ) ≤ 3E[Sn I(Y > λ)],
14
(2.2)
Chương 2. Các Bất Đẳng Thức Và Luật Số Lớn
ở đó β =
√
1 + 2θ2 , với mỗi 1 < p < ∞,
1
2
n
√
≤ 9 pq Sn p ,
Xi2
i=1
(2.3)
p
ở đó p−1 + q −1 = 1.
Chứng minh. Vì β > 1, vế trái của (2.2) không vượt quá
1
n
λP
Xi2
maxSi > λ + λP θ
i≤n
2
> βλ, maxSi ≤ λ .
i≤n
i=1
(2.4)
Sử dụng định lý (2.1.1) chúng ta thấy số hạng đầu bị chặn bởi
E Sn I maxSi > λ
i≤n
Đặt Tm = Sm I(θ
m
2
i=1 Xi
≤ E[Sn I(Y > λ)].
(2.5)
> λ), m ≤ n. Vì
m−1
Xi2 > λ Fm−1
E(Tm |Fm−1 ) ≥ E Sm I θ
i=1
m−1
Xi2 > λ
= E(Sm |Fm−1 )I θ
i=1
≥ Tm−1 ,
như vậy {Ti , Fi , 1 ≤ i ≤ n} là martingale dưới không âm. Đặt Y1 = T1 và
Yi = Ti − Ti−1 biểu diễn các hiệu. Chúng ta sẽ chỉ ra rằng
n
n
2 > βλ, maxS ≤ λ
2 > λ, maxT ≤ λ
θ
Xi
⊆
Yi
.
i
i
i≤n
i≤n
i=1
i=1
(2.6)
Từ đây ta suy ra rằng số hạng thứ hai trong (2.4) được làm trội bởi
n
Yi2 > λ, maxTi ≤ λ ≤
λP
i=1
i≤n
15
E
n
2
i=1 Yi I
maxTi ≤ λ
i≤n
λ
Chương 2. Các Bất Đẳng Thức Và Luật Số Lớn
≤ 2E(Tn )
≤ 2E[Sn I(Y > λ)],
sử dụng bổ đề 2.2.4 ta đạt được bất đẳng thức thứ hai, kết hợp với (2.5)
ta suy ra được (2.2). Bất đẳng thức (2.3) suy ra được từ (2.2):
∞
p
xp−1 P (Y > x)dx
E(Y ) =
0
= pβ
∞
p
y p−1 P (Y > βy)dy
0
∞
y p−2 E[Sn I(Y > y)]dy
≤ 3pβ
0
y
p
y p−2 dy
= 3pβ E Sn
0
= 3pβ P E[Sn Y p−1 ]
1
1
p
≤ 3qβ p (ESn ) p (EY p ) q
Do đó
n
Xi2
θ
i=1
≤ Y
p
≤ 3qβ p Sn p .
p
Nếu θ = p−1/2 , thì β p = (1 + 2/p)p/2 < e < 3, và (2.3) được suy ra từ đó
Phần cịn lại ta chứng minh (2.6). Xét dãy thời điểm dừng:
i
2
min i ≤ n θ
nếu tập này khác rỗng
j=1 Xj > λ
v=
n
nếu ngược lại.
Trên tập vế trái của (2.6), maxi≤n Ti ≤ λ và
n
2 2
β λ <θ
2
v−1
Xi2
i=1
=θ
2
n
Xi2
+θ
2
2
Xv
+θ
2
i=1
Xi2
i=v+1
n
< λ2 + θ2 λ2 + θ2
Yi2 .
i=1
(Ở đây ta có |Xv | ≤ max(Sv−1 , Sv ) ≤ λ, và Xi = Yi với i ≥ v + 1; nếu
r < s thì r là khơng xảy ra.) Do đó trên tập n Yi2 > λ2 , điều này dẫn
s
i=1
đến (2.6).
16
Chương 2. Các Bất Đẳng Thức Và Luật Số Lớn
Bổ đề 2.2.6. Giả sử X và Y là các biến ngẫu nhiên không âm và giả sử
rằng β > 1, σ > 0, và > 0 sao cho với mọi λ > 0,
P (X > βλ; Y ≤ σλ) ≤ P (X > λ).
(2.7)
< β −p , ta có
Thì nếu 0 < p < ∞ và
β p E(Y p )
E(X ) ≤ p
.
σ (1 − β p )
p
(2.8)
Chứng minh. Từ (2.7) ,
P (X > βλ) = P (X > βλ, Y ≤ σλ) + P (X > βλ, Y > σλ)
≤ P (X > λ) + P (Y > σλ).
Do đó
∞
p
E(X ) = pβ
p
xp−1 P (X > βx)dx
0
≤ pβ
∞
p
∞
p−1
x
P (X > x)dx + pβ
p
0
xp−1 P (Y > σx)dx
0
β p E(Y p )
p
p
= β E(X ) +
,
σp
từ đó dẫn đến (2.8).
+
−
Chứng minh định lý 2.2.1 Đặt Ti = E(Sn |Fi ) và Ui = E(Sn |Fi ), 1 ≤
2.2.1.
i ≤ n. Dãy Ti , Fi và Ui , Fi là các martingale không âm; đặt T0 = U0 =
0, Yi = Ti − Ti−1 , và Zi = Ui − Ui−1 , i ≥ 1, biểu diễn các hiệu. Vì
Xi = Yi − Zi , từ bất đẳng thức Minkowski,
n
n
Xi2
≤
i=1
n
Yi2
Zi2 ,
+
i=1
i=1
theo bổ đề (2.2.4), ta có
n
n
Xi2
i=1
≤
p
n
Yi2
i=1
√
≤ 9 pq ( Tn
17
Zi2
+
p
p
i=1
+ Un p )
p
Chương 2. Các Bất Đẳng Thức Và Luật Số Lớn
√
≤ 18 pq Sn p ,
từ đây dẫn tới vế trái của (2.1). Để chứng minh tiếp vế phải, ta đặt
|Sn |p−1
Rn = sgn(Sn )
p−1 .
Sn p
Dãy Ri = E(Rn |Fi ), 1 ≤ i ≤ n, là một martingale với hiệu W1 = R1 và
Wi = Ri − Ri−1 , i ≥ 1. Bây giờ ta có,
n
Sn
p
= E(Rn Sn ) = E
W i Xi
i=1
1
2
n
Xi2
Wi2
≤
i=1
2
i=1
1
2
n
1
2
n
Xi2
Wi2
≤
1
n
i=1
i=1
q
,
(2.9)
p
sử dụng bất đẳng Holder. Chúng ta áp dụng vào vế trái của bất đẳng thức
(2.1) cho martingale {Ri , Fi } và đạt được
q
n
Wi2
i=1
√
√
≤ (18 qp)q E(|Rn |q ) = (18 qp)q .
q
Vế phải của (2.1) suy ra từ bất đẳng thức 2.9.
Chứng minh định lý 2.2.2 Định lý sẽ được suy ra trực tiếp từ bổ đề
2.2.2.
2.2.5 nếu chúng ta thiết lập được bất đẳng thức (2.7) với
1
2
n
2
X = max|Si |,
Y = max
E(Xi |Fi−1 ) , max|Xi |
i≤n
i≤n
i=1
và = σ 2 /(β − σ − 1)2 (β > 1, 0 < σ < β − 1). Đặt Ik là chỉ số của biến cố
k
E(Xi2 |Fi−1 ) ≤ σ 2 λ2
λ < max |Si | ≤ βλ; max |Xi | ≤ σλ;
i≤k−1
i≤k−1
i=1
và định nghĩa
i
Ti =
Ik Xk ,
k=1
18
1 ≤ i ≤ n.
