Tích phân hàm một biến docx

TÍCH PHÂN HÀM
TÍCH PHÂN HÀM
MỘT BIẾN
MỘT BIẾN
Chương 3:
Chương 3:
TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN
§1. Tích phân bất định
§2. Tích phân xác định
§3. Tích phân suy rộng
§4. Ứng dụng tích phân xác định
§1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
I. NGUYÊN HÀM
1. Đ nh nghĩa:ị
Cho hàm số f(x) xác định trong (a, b).
Nếu tồn tại
hàm số F(x) thoả mãn F’(x) = f(x), ∀x ∈ (a, b), thì
F(x) gọi là nguyên hàm của f(x) trong (a, b), nếu có
thêm F’( a + 0 ) = f(a)
, F’(b – 0 ) = f(b) thì ta nói
F(x) là nguyên hàm của hàm f(x) trên đoạn [a, b].
Ví dụ :
* F(x) = sinx + 3 là nguyên hàm của f(x) = cosx,
∀
x
∈
R.
Vì F’(x) = (sinx + 3 )’ = cosx.
2. Các đ nh lí v nguyên hàm:ị ề
Đ nh lí 1:ị

Nếu hàm f(x) liên tục trên [a, b] thì nó có nguyên
hàm trên [a, b].
Đ nh lí 2ị :
* Nếu F(x) là nguyên hàm của f(x) trên [a, b] thì
F(x) + C, với C là hằng số tuỳ ý, cũng là nguyên
hàm f(x) trên [a, b].
* Nếu F(x), G(x) là hai nguyên hàm nào đó của
f(x) trên [a, b] thì ∃C ∈ R sao
cho:
G(x) = F(x) + C, ∀x ∈ [a, b].
Hay nói cách khác
mọi nguyên hàm
có dạng F(x) + C
đó của f(x).
của f(x) đều
với F(x) là một nguyên hàm nào
II. ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trong (a, b)
hay trên [a, b] thì biểu thức
thức F(x) + C, C là
hằng số tuỳ ý
, được gọi là tích phân bất định của f(x)
trong (a, b) hay trên [a, b]. Kí hiệu
∫
+= CxFdxxf )()(
* Dấu
∫
được gọi là dấu tích phân.
* f(x) gọi là hàm dưới dấu tích phân.
* f(x)dx gọi là biểu thức dưới dấu tích phân.

* x gọi là biến số tích phân.
III. CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH
(Giáo trình)
IV. BẢNG TÍCH PHÂN CÁC HS THƯỜNG GẶP:
(Giáo trình)
V. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1.Ph ng pháp đ i bi n s :ươ ổ ế ố
a) Đổi biến dạng u = u(x):
Đ nh líị :
Nếu u = u(x) có đạo hàm liên tục đối với
x ∈( a, b) và có f(x)dx = g(u)du thì trong (a, b)
ta có :
∫ ∫
= duugdxxf )()(

Ví dụ: Tính các tích phân sau đây:
,
3
2
∫
+x
xdx
dxe
x
∫
−1
b) Biến đổi dạng x = ϕ(t)
Đ nh líị :
Giả sử f(x) là hàm liên tục đối với x trên [a, b]
và x = ϕ(t) là hàm số khả vi, đơn điệu đối với t

trên [α, β]
và lấy giá trị trên [a, b].
Khi đó ta có :
∫ ∫
= dtttfdxxf ))(')](([)(
ϕϕ
Ví dụ: Tính

dxx
∫
−
2
1
Hướng dẫn:
Đặt x = sint với
22
ππ
≤≤− t
2. Ph ng pháp tích phân t ng ph nươ ừ ầ
Giả sử u = u(x), v = v(x) có đạo hàm liên tục đối
Đ nh líị :
với x ∈(a, b).
Khi đó trong (a, b) ta có:
∫ ∫
−= dxxuxvxvxudxxvxu )(').()().()(').(
Viết gọn:
∫ ∫
−= vduuvudv
Ví dụ:
Tính các tích phân sau đây:

∫
xdxxcos
Chú ý:
Khi tính những tích phân dạng
∫
dxxgxf )()(
với f(x) và g(x) là những hàm sơ cấp cơ bản không
cùng loại
ta thường dùng phương pháp tích phân
từng phần.
Cụ thể như sau:
a) Nếu f(x) là hàm đa thức và g(x) là những hàm
sin, cos, hàm mũ thì đặt: u = f(x); dv = g(x)dx.
b) Nếu f(x) là hàm đa thức & g(x) là những hàm
như
hàm logarit, hàm ngược, lượng giác thì đặt
u = g(x), dv = f(x)dx.
VI. TÍCH PHÂN CỦA MỘT SỐ HS THƯỜNG GẶP:
1.Tích phân hàm h u t :ữ ỉ
a) Tích phân của các hàm hữu tỉ đơn giản:
( i )
=
+
∫
bax
dx
( ii )
=
+
∫

k
bax
dx
)(
( iii )
0,ln
1
≠++ aCbax
a
0,
)(
1
.
1
1
1
≠+
+−
−
kC
baxak
k
:
2
∫
++ cbxx
Adx
Biến đổi
4
4

2
2
2
2
cbb
xcbxx
−
−






+=++
( iv )
:
)(
2
∫
++
+
cbxx
dxBAx
Biến đổi
cbxx
Ab
B
cbxx
bxA

cbxx
BAx
++
−
+
++
+
=
++
+
222
2
)
2
(
2
Ví dụ :
Tính
dx
xx
x
∫
++
+
1
12
2
b) Tích phân các hàm hữu tỉ dạng tổng quát:
dx
xQ

xP
m
n
∫
)(
)(
i) B c Pn(x) < Qm(x) (n < m)ậ
Sau đó đưa tích phân đã cho về dạng:
∫
u
du
và tích phân dạng ( iii ).
* Phân tích Q
m
(x) thành tích các nhị thức, tam
thức bậc 2 hoặc các thừa số chung của chúng:
) ())( ()()(
22
2
211
2
12211
CxBxACxBxAbxabxaxQ
m
++++++=
βα
* Phân tích
22
2
211

2
111
2
1
11
221111
1

)(

)(

)()(
)(
CxBxA
HG
CxBxA
FxE
CxBxA
FxE
bxa
N
bxa
M
bxa
M
xQ
xP
x
m

n
++
+
++
++
+
++
++
+
+
+
++
+
++
+
=
ββ
β
α
α
( Ph ng pháp này g i là h s b t đ nh ).ươ ọ ệ ố ấ ị
Ví dụ:
Tính
∫
−1
3
x
xdx
ii) B c Pn(x) ≥ Qm(x) (n ≥ m)ậ
Ta chia Pn(x) cho Qm(x), phân tích

)(
)(
xQ
xP
m
n
đưa về dạng b.i)
Ví dụ:
Tính
dx
x
xx
∫
+
+
1
2
3
4
Ta có:
11
2
33
4
+
+=
+
+
x
x

x
x
xx
dx
x
x
xdxdx
x
xx
∫ ∫∫
+
+=
+
+
⇒
11
2
33
4
2. Tích phân các hàm l ng giác:ượ
a) Dạng
∫
dxxxR )sin,(cos
(với R(*,*) là biểu thức hữu tỉ đối với sinx, cosx)
Ph ng pháp: ươ
Đặt
2
x
tgt =
Khi đó

2
2
2
1
1
cos,
1
2
sin
t
t
x
t
t
x
+
−
=
+
=
và
2
1
2
t
dt
dx
+
=
Biến đổi tích phân dạng này về tích phân hàm hữu tỉ.

Ví dụ :
∫
+1sin x
dx
2
x
tgt =
,
1
2
2
t
dt
dx
+
=⇒
2
1
2
sin
t
t
x
+
=
Đặt

,
Tính
c) Dạng

∫
xdx
n
sin
∫
xdx
n
cos,
,
Ph ng phápươ :
dùng công thức hạ bậc (n chẵn )
Ví dụ :
Tính :
xdx
∫
4
cos
b) Dạng
∫ ∫ ∫
bxdxaxbxdxaxbxdxax sincos,sinsin,coscos
Ví dụ:
Tính
∫
xdxx 5sin3cos
Tính
∫
++ xx
dx
cos3sin53
Tính

dx
x
x
∫
sin
cos
5
Tính
dx
xx
x
3
sin
2
sinsin
∫
§2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
I. BÀI TOÁN DIỆN TÍCH HÌNH THANG CONG
Cho hình thanh cong aABb giới hạn bởi tục Ox, hai
đường thẳng x = a, x = b và đường cong y = f(x), trong
đó f(x) liên tục trên đoạn [a, b] ( hình vẽ ).
Hãy xác định diện tích hình thanh cong aABb ?
x
y
A
B
0
ξ
a=x
0

1
x
1
ξ
2
x
2
x
i-1
ξ
i
x
i
x =b
n
f(ξ )
i
f(ξ )
1
f(ξ )
2
f
(
x
)
Giả sử f(x) > 0 trong [a, b]. Chia đoạn [a, b] thành n
đoạn nhỏ bởi các điểm chia:
a = x
0
< x

1
< x
2
< …< x
n
= b
Từ các điểm đó, ta dựng đường thẳng song song với
trục Oy. Khi đó hình thang cong aABb được chia thành
n hình thang cong nhỏ.
Trong mỗi đoạn [ x
i-1
, x
i
] ( i = 1, 2, 3, …, n ) ta lấy
tuỳ ý một điểm ξ
i,
, khi đó tung độ tương ứng là f(ξ
i
).
Dựng hình chữ nhật có một cạnh là ∆x
i
= x
i
– x
i-1
và
một cạnh là f(ξ
i
). Thì diện tích của nó là f(ξi).∆xi
Do đó diện tích của tổng n hình chữ nhật đó là :

∑
=
∆=
n
i
iin
xfS
1
)(
ξ
( 1 )
S
n
chính là diện tích hình bậc thang ( hình vẽ )
Ta nhận thấy: khi ∆x
i
càng nhỏ và n càng lớn thì diện
tích hình bậc thang sẽ xấp xỉ diện tích hình thang cong.
Do đó người ta định nghĩa diện tích hình thang cong
như sau:
Nếu tổng (1) dần tới một giới hạn xác định S khi n → ∞
sao cho Max∆x
i
→ 0 thì S được gọi là diện tích hình
thang cong aABb.
∑
=
∞→
∆=
n

i
ii
n
xfS
1
)(lim
ξ
II. ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Đ nh nghĩaị
Giả sử f(x) là hàm xác định trên [a, b]. Chia [a, b]
thành n đoạn nhỏ tuỳ ý bởi các điểm chia a = x
0
< x
1
<
… < x
n
= b.
Trên từng phân đoạn [ x
i-1
, x
i
] ta chọn điểm ξ
i
tuỳ ý,
ni ,1=
.
i
n
I

in
xfI ∆=
∑
=
)(
1
ξ
1−
−=∆
iii
xxx
Lập tổng
với
Nếu
n
n
I
∞→
lim
( n → ∞ sao cho max ∆xi → 0 ) tồn tại
hữu hạn không phụ thuộc vào
và cách chọn ξ
i
thì giới hạn đó được gọi là tích phân xác
định của hàm f(x) trên [ a, b ]. Khi đó ta gọi f(x) là hàm
khả tích trên [ a, b ].
cách chia đoạn [ a, b ]
Kí hiệu :
n
b

a
n
Idxxf
∫
∞→
= lim)(
In : gọi là tổng tích phân của hàm f(x) trên đoạn [a, b ].
[a, b] : gọi là đoạn lấy tích phân, a : cận dưới, b : cận trên.
∫
b
a
: dấu tích phân xác định
f(x) : hàm dưới dấu tích phân
x : biến số tích phân
Chú thích 1:
Cho f(x) là hàm xác định tại a.
∫
=
a
a
dxxf 0)(
Chú thích 2:
Cho f(x) xác định trên đoạn [ a, b ]
∫ ∫
−=
a
b
a
b
xfdxxf )()(

Chú thích 3:
Tích phân xác định chỉ phụ thuộc vào hàm dưới dấu tích
phân xác định, phụ thuộc vào các cận, không phụ thuộc
vào biến số tích phân.
Tức là :
∫ ∫ ∫
==
b
a
b
a
b
a
dttfduufdxxf )()()(
III. Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Nếu f(x) ≥ 0 và liên tục trên [a, b] thì
∫
b
a
dxxf )(
là diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường
y = f(x), x = a, x = b và trục Ox.
( Gọi S là diện tích phần gạch chéo ở hình vẽ: S =
))(
∫
b
a
dxxf
0
a b x

y
f(x)
S
IV. CÁC ĐỊNH LÍ VỀ SỰ TỒN TẠI CỦA TÍCH PHÂN XÁC
ĐỊNH
1.Đ nh lí 1.ị
Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a, b] thì nó khả tích trên
đoạn đó.
Người ta cũng chứng minh được rằng nếu f(x) có một
điểm gián đoạn loại một ( x = c ) trên đoạn [a, b] thì nó
khả tích trên đoạn ấy và ta có :
∫ ∫ ∫
+=
b
a
c
a
b
c
dxxfdxxfdxxf )()()(
Mệnh đề trên vẫn đúng nếu f(x) có một số hữu hạn
điểm gián đoạn loại một trên đoạn [a, b].
V. CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
( Giáo trình )
VI. CÁC ĐỊNH LÍ.
1. Đ nh lí v giá tr trung bình c a TPXĐ:ị ề ị ủ
Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a, b ] thì ∃ ít nhất một điểm
c ∈ [a, b] sao cho:
∫
−=

b
a
abcfdxxf ))(()(