TÓM tắt LUẬN văn phương trình và bất phương trình hàm trong lớp hàm lượng giác ngược

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

PHẠM HỮU QUYỀN

PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM
TRONG LỚP HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC

Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp
Mã số
: 60.46.01.13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2015

N CHAT LUONG download : add luanvanchat@a


Cơng trình được hồn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu

Phản biện 1: TS. Nguyễn Ngọc Châu
Phản biện 2: GS.TS. Lê Văn Thuyết

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn
tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 27
tháng 6 năm 2015

Có thể tìm hiểu luận văn tại:
- Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng
- Thư viện trường Đại học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng

N CHAT LUONG download : add luanvanchat@a


1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Phương trình hàm và bất phương trình hàm là một chuyên đề
quan trọng trong giải tích, đặc biệt là trong chương trình chun tốn
Trung Học Phổ Thông (THPT). Các đề thi học sinh giỏi Quốc gia,
Olympic Quốc tế cũng thường xuất hiện bài toán sử dụng các tính
chất của hàm lượng giác và lượng giác ngược, đó là những bài tốn
khó và khá mới mẻ với học sinh THPT. Những cuốn sách tham khảo
cho học sinh về lĩnh vực này là không nhiều. Đặc biệt là trong các tài
liệu sách giáo khoa dành cho THPT thì hàm lượng giác ngược chưa
được trình bày một cách hệ thống và đầy đủ.
Xuất phát từ thực tế đó, với sự hướng dẫn của GS. TSKH
Nguyễn Văn Mậu, tơi chọn đề tài “ Phương trình và bất phương
trình hàm trong lớp hàm lượng giác ngược” làm đề tài luận văn
thạc sĩ của mình. Ngồi những kiến thức lý thuyết cơ bản, luận văn
cịn có thêm một số bài tập về phương trình và bất phương trình,
đồng thời đưa vào các bài tốn sử dụng tính chất hàm lượng giác
ngược.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Đề tài: “Phương trình và bất phương trình hàm trong lớp
hàm lượng giác ngược” nhằm cung cấp thêm cho các em học sinh
THPT, đặc biệt là các em học sinh khá, giỏi một tài liệu tham khảo

về phương trình và bất phương trình hàm.

N CHAT LUONG download : add luanvanchat@a


2
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
3.1 Đối tượng nghiên cứu: Phương trình hàm lượng giác
ngược và bất phương trình hàm lượng giác ngược.
3.2 Phạm vi nghiên cứu: Các tính chất của hàm lượng giác ngược
và các bài tốn liên quan trong lĩnh vực phương trình và bất phương trình
hàm
4. Phương pháp nghiên cứu
Cơ bản sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu ( sách, báo và
các tài liệu trên internet có liên quan đến đề tài luận văn ) để thu thập
thông tin nhằm hệ thống lại các vấn đề một cách lơgic, tìm hiểu các bài
tốn, các ví dụ minh họa.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Làm rõ các nghiên cứu đã có, tìm hiểu sâu hơn phương trình
và bất phương trình hàm.
Tạo được một đề tài phù hợp cho việc giảng dạy.
6. Cấu trúc của luận văn: Ngoài phần mở đầu và kết luận,
luận văn được chia thành ba chương :
Chương 1: Hàm lượng giác ngược và các hệ thức liên quan
Chương này trình bày một số tính chất của hàm số, các tính
chất của hàm lượng giác ngược, các đẳng thức hàm sinh bởi hàm
lượng giác ngược

N CHAT LUONG download : add luanvanchat@a

3
Chương 2: Một số dạng phương trình hàm trong lớp lượng
giác ngược
Chương này trình bày các phương trình hàm sinh bởi hàm
arcsin, arccos, arctan và arccot
Chương 3: Bất phương trình hàm trong hàm lượng giác
ngược
Chương này trình bày các bất phương trình hàm cơ bản, các
bất phương trình hàm cơ bản trong lớp hàm lượng giác ngược và một
số dạng tốn liên quan đến bất phương trình hàm.

N CHAT LUONG download : add luanvanchat@a


4
CHƯƠNG 1

HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC VÀ CÁC
HỆ THỨC LIÊN QUAN
1.1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Xét hàm số f ( x ) với tập xác định D f Ì ¡ và tập giá trị

R( f ) Ì ¡
Định nghĩa 1.1. Nếu với mỗi phần tử y thuộc miền giá trị T,
tồn tại duy nhất 1 giá trị x Ỵ X sao cho y = f ( x ) thì f được gọi là
đơn ánh
Định nghĩa 1.2. Hàm f ( x ) được gọi là hàm chẵn trên M,

M Ì D f (gọi tắt là hàm chẵn trên M) nếu "x Î M Þ - x Î M và

f ( - x) = f ( x ), " x Ỵ M
Định nghĩa 1.3. Hàm f ( x ) được gọi là hàm số lẻ trên M,

M Ì D f (gọi tắt l hm l trờn M) nu "x ẻ M ị - x Ỵ M và
f ( - x) = - f ( x ), " x Ỵ M
Định nghĩa 1.4. Cho hàm số f ( x ) và tập M( M Ì D f ).
Hàm f ( x ) được gọi là hàm tuần hoàn trên tập M nếu tồn tại số
dương a sao cho

N CHAT LUONG download : add luanvanchat@a


5

ỡ"x ẻ M ị x a ẻ M
(1.1)
ớ
ợ f ( x + a ) = f ( x), "x Î M
Số a dương nhỏ nhất thỏa mãn (1.1) được gọi là chu kỳ cơ sở
của hàm tuần hoàn f(x).
Định nghĩa 1.5. Cho hàm số f ( x ) và tập M( M Ì D f ). Hàm

f ( x) được gọi là hàm phản tuần hoàn trên tập M nu tn ti s
dng a sao cho:

ỡ"x ẻ M ị x a ẻ M
(1.2)
ớ
ợ f ( x + a ) = - f ( x), "x Ỵ M
Số a nhỏ nhất thỏa mãn (1.2) được gọi là chu kỳ cơ sở của

hàm phản tuần hoàn f ( x ) .
Định nghĩa 1.6. Hàm f ( x ) được gọi là hàm tuần hồn nhân
tính chu kỳ a

trên M nếu M Ì D f và

a Ỵ ¡ \{0; -1;1}

ì"x Ỵ M ị a 1 x ẻ M
ớ
ợ f (a x) = f ( x), "x Ỵ M

(1.3)

Số a dương nhỏ nhất thỏa mãn (1.3) được gọi là chu kỳ cơ sở
của hàm tuần hồn nhân tính f ( x ) .
Định nghĩa 1.7. Hàm f ( x ) được gọi là hàm phản tuần hồn
nhân tính chu kỳ a

trên M nếu M Ì D f và

N CHAT LUONG download : add luanvanchat@a


6

ỡ"x ẻ M ị a 1 x ẻ M
ớ
ợ f (a x) = - f ( x), "x Ỵ M

(1.4)

Số a nhỏ nhất thỏa mãn (1.4) được gọi là chu kỳ cơ sở của
hàm phản tuần hồn nhân tính f ( x )
Định nghĩa 1.8. Hàm số g gọi là hàm số ngược của hàm số f
và ký hiệu là f -1 nếu:

f ( g ( x )) = x với mọi x thuộc miền xác định của g
g ( f ( x )) = x với mọi x thuộc miền xác định của f
Mọi hàm số đơn ánh đều có hàm ngược. Mọi hàm số đơn điệu
nghiêm ngặt đều có hàm ngược
Định nghĩa 1.9. Tập A Ì ¡ được gọi là trù mật trong ¡ , ký
hiệu A = ¡ nếu "x, y Ỵ ¡ , ( x < y ) ln tồn tại a Ỵ A, sao cho

x Định nghĩa 1.10. Tập A Ì ¡ được gọi là trù mật trong ¡ , ký
hiệu A = ¡ nếu "x Ỵ ¡ tồn tại dãy số (an ) đ x khi n đ Ơ
1.2. CC TNH CHT CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC
Định lý 1.1. Giả sử hàm y = f(x) xác định, đồng biến (đơn điệu
tăng thực sự) hoặc nghịch biến (đơn điệu giảm thực sự) và liên tục
trong một khoảng X nào đó. Khi đó trong khoảng tập các giá trị Y
tương ứng của hàm đó, tồn tại hàm ngược (đơn trị) x = g(y) và cũng
là hàm đồng biến hoặc nghịch biến và liên tục trong khoảng đó.

N CHAT LUONG download : add luanvanchat@a


7
Nhận xét 1.1. Từ các hàm lượng giác cơ bản như y = sin x, y =
cos x, y = tan x, y = cot x, theo định lí trên, ta có các hàm lượng giác

ngược tương ứng trong các khoảng đồng biến hoặc nghịch biến của
chúng.

é p pù
; , (hay trong
ở 2 2 ỳỷ

Trong ờ -

ổ p pử
ỗ - ; ÷ ), hàm số y = sin x
è 2 2ø

(hay y = tan x) là hàm đồng biến, liên tục nên khi đó tồn tại hàm
ngược y = arcsin x (hay y =arctan x) như sau:

ì y = arcsin x
ìsin(arcsin x) º x
ï x = sin y
ï p
ïï
p
ï
Û
í -1 £ x £ 1
í- £ arcsin x £
2
ï
ï 2
ï- p £ y £ p

ïỵ-1 £ x £ 1
ïỵ 2
2
ì y = arctan x
ì tan(arctan x) º x
ï x = tan y
ï p
ïï
p
ï
Û
í-¥ £ x £ ¥
í- £ arctan x £
2
ï
ï 2
ù- p Ê y Ê p
ùợ-Ơ Ê x Ê Ơ
ùợ 2
2
Trong [ 0; p ] (hay trong ( 0; p ) ) hàm số y = cos x (hay y =cot
x) là hàm nghịch biến, liên tục nên khi đó tồn tại hàm ngược y =
arccos x (hay y =arccot x) như sau:

ì y = arccos x
ìcos(arccos x) º x
ï
ï
Û í0 £ arccos x £ p
í x = cos y

ï-1 £ x £ 1, 0 £ y £ p
ï -1 £ x £ 1
ỵ
ỵ

N CHAT LUONG download : add luanvanchat@a


8
và

ì y = arccot x
ìcos(arccot x) º x
ï
ï
Û í0 < arccot x < p
í x = cot y
ï-¥ < x < ¥, 0 < y < p
ï-¥ < x < ¥
ỵ
ỵ
1) arcsin ( - x ) = - arcsin x, "x Ỵ [ -1;1]

2) arccos ( - x ) = p - arccos x, "x Ỵ [ -1;1]
3) arctan ( - x ) = - arctan x
4) arccot ( - x ) = - arccot x

Để khảo sát các hàm lượng giác ngược, ta cũng cần phải biết
tính đạo hàm các cấp của chúng.
Định lý 1.2. Giả sử hàm y = f ( x) thoả mãn các điều kiện

của Định lí 1.1 về sự tồn tại hàm ngược và tại điểm x = x0 hàm số
có đạo hàm f ¢ ( x0 ) hữu hạn và khác 0.
Khi đó đối với hàm ngược x = g ( y ) tại điểm tương ứng

y0 = f ( x0 ) cũng tồn tại đạo hàm và có giá trị bằng
1
.
f ¢ ( x0 )
Vậy ta có cơng thức đơn giản
x 'y =

1
y 'x

N CHAT LUONG download : add luanvanchat@a


9
Bây giờ ta chuyển qua tính đạo hàm của các hàm lượng giác
ngược. Để thuận lợi trong tính tốn, ta đổi vai trị x và y. Cơng thức
trên khi đó sẽ được viết thành:

yx ' =

1
xy '

+ Hàm y=arcsinx , ( -1 < x < 1 ) với -

p

p
(hàm
< y<
2
2

ngược của hàm x=siny).
Khi đó ta có x y ' = cos y > 0 với -

p
p
< y< .
2
2

Theo công thức trên ta có:

yx ' =

1
1
1
1
=
=
=
2
x y ' cosy
1 - sin y
1 - x2

(Ta bỏ đi các giá trị x = ±1 vì đối với các giá trị tương ứng

y=±

p
thì đạo hàm x y ' = cos y = 0 ). Vậy hàm y=arcsinx là hàm
2

đồng biến.
Lại có y '' =

2x
(1 - x 2 )3

> 0 với 0
Vậy hàm y = arcsin x lõm với 0Tương tự ta xét các hàm ngược còn lại

N CHAT LUONG download : add luanvanchat@a


10
+ Hàm y=arccosx ,( -1 < x < 1 ) với 0 < y < p (hàm ngược
của hàm x=cosy)
Ta có x y ' = - siny với 0 < y < p
Khi đó y x ' =

1

1
1
1
===<0
xy '
siny
1 - cos 2 y
1 - x2

Vậy hàm y=arccosx là hàm nghịch biến.
Lại có:

y '' = -

2x
(1 - x 2 )3

< 0 với 0
Vậy hàm y = arccos x lồi với 0+ Hàm y=arccotx, -¥ < x < ¥ với 0 < y < p (hàm ngược
của hàm x=cot y)
Ta có x y ' = -

yx ' =

1
= - 1 + cot 2 y = - 1 + x 2 < 0 . Suy ra
2
sin y

(

)

(

)

1
1
=<0
xy '
(1 + x2 )
Do đó hàm y=cot x là hàm nghịch biến.
Lại có y '' =

1

(1 + x )

2 2

> 0 với x>0 và y '' < 0 với x<0. Suy ra

hàm y = arccot x lõm với x>0 và lồi với x<0

N CHAT LUONG download : add luanvanchat@a

11
1.3. MỘT SỐ ĐẲNG THỨC HÀM SINH BỞI HÀM LƯỢNG
GIÁC NGƯỢC

a) Hàm f ( x) = arcsin x có các tính chất
f ( x) + f ( y ) = f ( x 1 - y 2 + y 1 - x 2 ), "x, y Ỵ [-1;1].

b) Hàm g ( x) = arccos x có tính chất
g ( x) + g ( y ) = g ( xy - 1 - x 2 1 - y 2 ), "x, y Ỵ [-1,1].
c) Hàm h( x) = arctan x có tính chất
x+ y
h( x) + h( y ) = h(
), "x, y ẻ Ă, xy ạ 1.
1 - xy
d) Hm p( x) = arccot x có tính chất
p ( x ) + p ( y ) = p(

xy - 1
), "x, y ẻ Ă, x + y ạ 0.
x+ y

1.4. MỘT SỐ BÀI TỐN PHƯƠNG TRÌNH HÀM CƠ
BẢN
Bài tốn 1 (Phương trình hàm Cauchy) Tìm hàm f ( x) liên
tục trên tập số thực và thỏa

f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) ; "x, y Ỵ ¡

Bài giải.
Giả sử tồn tại hàm số f ( x) thỏa mãn yêu cầu đề bài

N CHAT LUONG download : add luanvanchat@a


12
Cho x = y = 0 , ta có f ( 0 ) = 0.
Cho y = - x , ta được f ( - x ) = - f ( x )
Vậy hàm f ( x) là hàm số lẻ nên ta chỉ cần xác định biểu thức
của f ( x) với x > 0
Cho y = x , suy ra f ( 2 x ) = 2 f ( x ) , "x Ỵ ¡.
Giả sử với k nguyên dương, f ( kx ) = kf ( x ) , "x Ỵ ¡
Khi đó f

( ( k + 1) x ) = f ( kx + x ) , "x ẻ Ă, "k ẻ Ơ

T ú theo nguyờn lý quy nạp, ta có f ( nx ) = nf ( x ) , "x Ỵ ¡
.Ta kết hợp với tính chất f ( - x ) = - f ( x ) thu
được f ( mx ) = mf ( x ) , "m ẻ Â, "x ẻ ¡

ỉxư
è2ø

ỉ x ư
= ... = 2 n
2 ÷
è2 ø

Lại có f ( x ) = 2 f ỗ ữ = 22 f ỗ

ổ x ử

fỗ nữ
ố2 ứ

ổ x ử 1
= n f ( x ) , "n ẻ Â, "x ẻ Ă
n ữ
ố2 ứ 2

T ú suy ra: f ỗ

Kt hp cỏc iu trờn li ta c

ổmử m
f ỗ n ữ = n . f (1) , "m ẻ Â, n ẻ Ơ +
ố2 ứ 2

N CHAT LUONG download : add luanvanchat@a


13
Sử dụng giả thiết liên tục của hàm f ( x) suy ra

f ( x ) = ax, "x Ỵ ¡, a = f (1)
Thử lại, ta thấy hàm f ( x) = ax thỏa mãn yêu cầu đề bài
Vậy, hàm f ( x) = ax là hàm cần tìm
Bài tốn 2 (Phương trình hàm Cauchy dạng mũ) Xác định
các hàm f ( x) liên tục trên ¡ thỏa mãn điều kiện sau:

f ( x + y ) = f ( x ) f ( y ) ; "x, y Î ¡ .
Bài giải.

Ta có thể nhận thấy f º 0 là một nghiệm của bài toán
Xét trường hợp f ¹ 0 , khi đó tồn tại x0 Ỵ ¡ sao cho

f ( x0 ) ¹ 0
Theo đề ta có

f ( x0 ) = f ( x + ( x0 - x)) = f ( x) f ( x0 - x) ạ 0 "x ẻ Ă
Suy ra f ( x) ¹ 0, "x Ỵ ¡
2

ỉ x x ư é ỉ x ửự
Mt khỏc f ( x) = f ỗ + ữ = ờ f ỗ ữ ỳ > 0, "x Î ¡
è 2 2 ø ë è 2 øû
Ta đặt g ( x) = ln f ( x) Þ f ( x) = e g ( x ) .
Khi đó g ( x) là hàm liên tục trên ¡ và

N CHAT LUONG download : add luanvanchat@a


14

g ( x + y ) = ln f ( x + y ) = ln [ f ( x) f ( y )]
= ln f ( x) + ln f ( y ) = g ( x) + g ( y ), "x, y Ỵ ¡
Theo bài tốn 1 thì g ( x) = bx, b Ỵ ¡ tùy ý.
Suy ra f ( x) = ebx = a x , a > 0
Vậy nghiệm của bài toán là f º 0 hoặc f ( x) = a x , a > 0
Bài tốn 3: Tìm hàm f : ¡ ® ¡ thỏa mãn

f ( x + y ) + f ( x - y ) = 2 cos x cos y, "x, y Ỵ ¡.
Bài tốn 4: Tìm hàm f : ¡ ® ¡ thỏa mãn

f ( x + y ) + f ( x - y ) = 2sin x sin y, "x, y Ỵ ¡.
Bài tốn 5: Tìm hàm f , g : ¡ ® ¡ thỏa mãn

f ( x + y ) + g ( x - y ) = 2sin x sin y, "x, y Ỵ ¡.
Bài tốn 6: Tìm hàm f : ¡ ® ¡ thỏa mãn

f ( x + y ) - f ( x - y ) = 2sin x sin y, "x, y Ỵ ¡.
Bài tốn 7: Tìm hàm f : ¡ ® ¡ thỏa mãn

f ( x + y ) + f ( x - y ) = 2 cos x sin y, "x, y Ỵ ¡.
Bài tốn 8: Tìm hàm f , g : ¡ ® ¡ thỏa mãn

f ( x + y ) + g ( x - y ) = 2 cos x sin y, "x, y Ỵ ¡.
Bài tốn 9: Tìm hàm f : ¡ ® ¡ thỏa mãn

N CHAT LUONG download : add luanvanchat@a


15

f ( x + y ) + f ( x - y ) = 2sin x cos y, "x, y Ỵ ¡.
Bài tốn 10: Tìm hàm f , g : ¡ ® ¡ thỏa mãn

f ( x + y ) + g ( x - y ) = 2sin x cos y, "x, y Ỵ ¡.
Bài tốn 11: Tìm hàm f : ¡ ® ¡ thỏa mãn

f ( x + y ) + f ( x - y ) = 2 f ( x) cos y, "x, y Ỵ ¡.
Bài tốn 12: Tìm hàm f : ¡ ® ¡ thỏa mãn

f ( x - y ) - f ( x + y ) = 2 g ( x) sin y, "x, y Ỵ ¡.
Bài tốn 13: Tìm hàm f : ¡ ® ¡ thỏa mãn

sin( x + y ) = f ( x) sin y + f ( y ) sin x, "x, y Ỵ ¡.
Bài tốn 14: Tìm hàm f , g : ¡ ® ¡ thỏa mãn
sin( x + y ) = f ( x)sin y + g ( y ) sin x, "x, y Ỵ ¡.
Bài tốn 15: Tìm hàm f , g : ¡ ® ¡ thỏa mãn

f ( x + y ) = g ( x) sin y + g ( y ) sin x, "x, y Ỵ ¡.
Bài tốn 16: Tìm hàm f : ¡ ® ¡ thỏa mãn

f ( x + y ) f ( x - y ) = sin 2 x - sin 2 y, "x, y Ỵ ¡.
Bài tốn 17: Tìm hàm f : ¡ ® ¡ thỏa mãn

f ( x + y ) f ( x - y ) = f ( x) 2 - sin 2 y, "x, y Ỵ ¡.

N CHAT LUONG download : add luanvanchat@a


16
CHƯƠNG 2
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRONG
LỚP HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC

2.1. PHƯƠNG TRÌNH HÀM SINH BỞI HÀM ARCSIN
Bài tốn 18. Tìm các hàm f ( x) xác định và liên tục trên

[-1,1] và thỏa mãn điều kiện
f ( x) + f ( y ) = f ( x 1 - y 2 + y 1 - x 2 ), "x, y Ỵ [-1,1].
2.2. PHƯƠNG TRÌNH HÀM SINH BỞI HÀM ARCCOS

Bài tốn 19. Tìm các hàm f ( x) xác định và liên tục trên

[-1,1]

và thỏa mãn điều kiện

f ( x) + f ( y ) = f ( xy - 1 - y 2 1 - x 2 ), "x, y Ỵ [-1,1]
2.3. PHƯƠNG TRÌNH HÀM SINH BỞI HÀM ARCTANG
Bài tốn 20. Tìm các hàm f ( x) xác định, liên tục trên ¡ và
thỏa mãn điều kiện

x+ y
f ( x) + f ( y ) = f (
), "x, y ẻ Ă, xy ạ 1.
1 - xy
Bi toỏn 21. Xác định hàm f ( x) liên tục trên ¡ và thỏa mãn
điều kiện

N CHAT LUONG download : add luanvanchat@a


17

x- y
f ( x) - f ( y ) = f (
), "x, y Ỵ ¡, | xy |< 1.
1 + xy

2.4. PHƯƠNG TRÌNH HÀM SINH BỞI HÀM ARCCOTANG
Bài tốn 22. Tìm các hàm f ( x) xác định, liên tục trên ¡ và

thỏa mãn điều kiện

f ( x) + f ( y ) = f (

xy - 1
), "x, y ẻ Ă : x + y ạ 0.
x+ y

2.5. MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM
Bài tốn 23. Tìm tất cả hàm f ( x) liên tục trên R và thỏa
mãn

f ( x ) f ( y ) - f ( x + y ) = sinxsiny,"x,y Ỵ ¡
Bài tốn 24. Tìm tất cả hàm f ( x) xác định và liên tục trên R
thỏa mãn

ìï f ( x + y ) + f ( x - y ) = 2 f ( x ) f ( y ) , "x, y ẻ Ă
ớ
ùợ f ( 0 ) = 1, $x0 Ỵ ¡ : f ( x0 ) < 1
Bài tốn 25. ( IMO 2002) Tìm tất cả các hàm f : ¡ ® ¡

thỏa f ( f ( x) + y ) = 2 x + f ( f ( y ) - x )

N CHAT LUONG download : add luanvanchat@a


18
Bi

toỏn

26.(IMO

2004)Tỡm

tt

c

cỏc

hm

f : [1; +Ơ ) đ [1; +Ơ ) tha f ( xf ( y )) = yf ( x); "x, y ẻ [1; +Ơ )
Bi toỏn 27. ( IMO 2005) Tìm tất cả các hàm f : ¡ + ® ¡ +

thỏa f ( x) f ( y ) = 2 f ( x + yf ( x) ) "x, y Ỵ ¡ +
Bài tốn 28. ( IMO 2007) Tìm tất cả các hàm f : ¡ + ® ¡ +

sao cho
f ( x + f ( y ) ) = f ( x + y ) + f ( y ), "x, y Ỵ ¡ +
Bài

tốn

29.

(

IMO

2008)

Tìm

các

hàm

f : (0; +Ơ) đ (0; +Ơ) tha món
f ( p) 2 + f (q)2 p 2 + q 2
=
.
f (r 2 ) + f ( s 2 ) r 2 + s 2
Bài tốn 30. ( IMO 2009) Tìm tất cả các hàm f : ¡ ® ¡
thỏa mãn với mọi x, y thuộc ¡ thì: f

( [ x ] y ) = f ( x) [ f ( y ) ]

trong đó [ x ] chỉ số ngun lớn nhất khơng vượt quá x.

N CHAT LUONG download : add luanvanchat@a


19
CHƯƠNG 3
BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRONG LỚP HÀM
LƯỢNG GIÁC NGƯỢC
3.1. BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM CƠ BẢN
Tương tự như các dạng tốn về phương trình hàm chuyển đổi

các phép tính số học của đối số hoặc các đại lương trung bình, trong
mục này ta xét lớp các bất phương trình hàm tương ứng.

Bài toán 31. Xác định các hàm số f (t ) thỏa mãn đồng thời
các điều kiện sau:

f (t ) ³ 0, "t Ỵ ¡,
f ( x + y ) ³ f ( x) + f ( y ), "x, y Ỵ ¡
Bài tốn 32. Xác định các hàm số f (t ) thỏa mãn đồng thời
các điều kiện sau:

f (t ) ³ 1, "t Ỵ ¡,
f ( x + y ) ³ f ( x) f ( y ), "x, y Ỵ ¡.
Bài tốn 33. Xác định các hàm số f (t ) thỏa mãn đồng thời
các điều kiện sau:

f (t ) ³ 0, "t Ỵ ¡ + ,

f ( xy ) ³ f ( x) + f ( y ), "x, y Ỵ ¡ + .

N CHAT LUONG download : add luanvanchat@a


20
Bài toán 34. Xác định các hàm số f ( x) thỏa mãn đồng thời
các điều kiện sau:

f (t ) ³ 1, "t Ỵ ¡ + ,

f ( xy ) ³ f ( x) f ( y ), "x, y Î ¡ + .

Bài toán 35. Xác định các hàm số f ( x) thỏa mãn đồng thời
các điều kiện sau:

f (0) = 0 và f (t ) ³ 0, "t Ỵ ¡,
x+ y
f(
) ³ f ( x) + f ( y ) , "x, y Ỵ ¡.
2
2
Bài tốn 36. Xác định các hàm số f (t ) thỏa mãn đồng thời
các điều kiện sau:

f (0) = 1 và f (t ) ³ 1,
x+ y
"t Ỵ ¡, f (
)³
2

f ( x) f ( y ), "x, y Ỵ ¡.

Bài tốn 37. Xác định các hàm số f ( x) thỏa mãn đồng thời
các điều kiện sau:

f (1) = 1 và f (t ) ³ 1, "t Ỵ ¡ + ,
f ( x) + f ( y )
f ( xy ) ³
, "x, y Ỵ ¡ + .
2
Bài tốn 38. Xác định các hàm số f (t ) thỏa mãn đồng thời
các điều kiện sau:

N CHAT LUONG download : add luanvanchat@a


21

f (1) = 1 và f (t ) ³ 1, "t Ỵ ¡ + ,
f ( xy ) ³

f ( x) f ( y ), "x, y Ỵ ¡ + .

Bài toán 39. Xác định các hàm số f (t ) thỏa mãn đồng thời
các điều kiện sau:

2 xy
) ³ f ( x) + f ( y) , "x, y Î ¡ + .
x+ y
2
Bài toán 40. Xác định các hàm số f (t ) thỏa mãn đồng thời

f (1) = 1 và f (t ) ³ 1, "t Ỵ ¡ + , f (
các điều kiện sau:

f (1) = 1 và f (t ) ³ 1, "t Ỵ ¡ + ,
2 xy
f(
) ³ f ( x) f ( y), "x, y Ỵ ¡ + .
x+ y
Bài tốn 41. Cho trước hàm số h(t ) = at , a Ỵ ¡ . Xác định
hàm số f (t ) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

f (t ) ³ h(t ), "t Ỵ ¡,
f ( x + y ) ³ f ( x) + f ( y ), "x, y Î ¡.
3.2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM CƠ BẢN TRONG LỚP HÀM
LƯỢNG GIÁC NGƯỢC
3.2.1. Bất phương trình hàm sinh bởi hàm arcsin
Bài tốn 42. Tìm các hàm f ( x) xác định và liên tục trên

[-1,1]

và thỏa mãn điều kiện

N CHAT LUONG download : add luanvanchat@a


22

ìï f ( x) + f ( y ) ³ f ( x 1 - y 2 + y 1 - x 2 ), "x, y ẻ [-1,1]
ớ
ùợ f (t ) ³ 0, "t Ỵ [-1,1]

Bài tốn 43. Tìm các hàm f ( x) xác định và liên tục trên

[-1,1] và thỏa mãn điều kiện
ìï f ( x) + f ( y ) ³ f ( x 1 - y 2 + y 1 - x 2 ), "x, y Ỵ [-1,1]
í
ïỵ f (t ) ³ 2arcsin t , "t Î [-1,1]
3.2.2. Bất phương trình hàm sinh bởi hàm arccos
Bài tốn 44. Tìm các hàm f ( x) xác định và liên tục trên

[-1,1]

và thỏa mãn điều kiện

ìï f ( x) + f ( y ) ³ f ( xy - 1 - y 2 1 - x 2 ), "x, y ẻ [-1,1].
ớ
ùợ f (t ) Ê 0, "t Ỵ [-1,1]
Bài tốn 45. Tìm các hàm f ( x) xác định và liên tục trên

[-1,1] và thỏa mãn điều kiện
ìï f ( x) + f ( y ) ³ f ( xy - 1 - y 2 1 - x 2 ), "x, y ẻ [-1,1].
ớ
ùợ f (t ) £ 3arccos t , "t Ỵ [-1,1]

N CHAT LUONG download : add luanvanchat@a


23
3.2.3. Bất phương trình hàm sinh bởi hàm arctan
Bài tốn 46. Tìm các hàm f ( x) xác định, liên tục trên ¡ và
thỏa mãn điều kiện

x+ y
ì
), "x, y Î ¡, xy ¹ 1.
ï f ( x) + f ( y ) £ f (
1 - xy
í
ï f (t ) Ê 0, "t ẻ \ Ă.
ợ

Bi toỏn 47. Cho a Ỵ ¡. Tìm các hàm f ( x) xác định, liên
tục trên ¡ và thỏa mãn điều kiện

x+ y
ì
), "x, y ẻ Ă, xy ạ 1.
ù f ( x) + f ( y ) £ f (
1 - xy
í
ï f (t ) £ a arctan t , "t Ỵ ¡.
ỵ
3.3. MỘT SỐ DẠNG TỐN LIÊN QUAN ĐẾN BẤT PHƯƠNG
TRÌNH HÀM
Trong phần này ta trình bày một số bài tốn liên quan đến bất
phương trình hàm từ các kỳ thi Olympic các nước và quốc tế.

N CHAT LUONG download : add luanvanchat@a