PHÉP CHIA PHÂN THỨC đại số

PHÉP CHIA CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
A. Lý thuyết
1. Phân thức nghịch đảo: Hai phân thức được gọi là nghịch đảo nếu tích của chúng bằng 1.

Phân thức nghịch đảo của

A
B

B
A

là

2. Quy tắc chia: Muốn chia phân thức

nghịch đảo của

Ta có

A
B

cho phân thức

C
D

khác 0, ta nhân

A

B

với phân thức

C
D

A C A D A.D  C

: = . =
 ≠ 0÷
B D B C B.C  D


B. Bài tập
Dạng 1: Sử dụng quy tắc chia để thực hiện phép tính

Cách giải: Áp dụng công thức

A C A D A.D  C

: = . =
 ≠ 0÷
B D B C B.C  D


*) Chú ý: Đối với phép chia nhiều hơn hai phân thức, ta vẫn nhân với nghịch đảo của các
phân thức đứng sau dấu chia theo thứ tự từ trái sang phải
- Ưu tiên tính tốn đối với biểu thức trong dấu ngoặc trước (nếu có)
Bài 1: Làm tính chia phân thức

a)

1 − 9 x2 2 − 6 x 
1
:
 x ≠ −4; x ≠ 0; x ≠ ÷
2
x + 4 x 3x 
3

b)
Lời giải

a)

b)

1 − 9 x 2 2 − 6 x ( 1 − 3 x ) ( 1 + 3 x ) .3x 3 ( 1 + 3 x )
:
=
=
x 2 + 4 x 3x
2 ( 1 − 3x ) x ( x + 4)
2 ( x + 4)

y3 + 8
y+2
: ( y2 − 2 y + 4) =
y −1

y −1
1

y3 + 8
: ( y 2 − 2 y + 4 ) ( y ≠ 1)
y −1


Bài 2: Chia các phân thức sau

a)

27 − a 3 a − 3
:
( a ≠ −2, a ≠ 3)
5a + 10 3a + 6

( 2b

2

− 32 ) :

b)
Lời giải

a)

27 − a 3 a − 3
−5 2

:
( a ≠ −2, a ≠ 3) =
(a + 3a + 9)
5a + 10 3a + 6
9

( 2b
b)

2

− 32 ) :

b + 4 2 ( b − 4 ) ( b + 4 ) . ( 7b − 2 )
=
= 2 ( b − 4 ) ( 7b − 2 )
7b − 2
b+4

Bài 3: Chia các phân thức sau

a)

b)

m 2 − 5m + 6 m 2 − 6m + 9
:
( m ≠ −4, ±3, 0)
m 2 + 7 m + 12 m 2 + 4m
u 2 − 4uv + 4v 2 4u − 8v

:
( u ≠ −v; u ≠ 2v )
2u 2 − 2uv + 2v 2 6u 3 + 6v 3

Lời giải

a)

m 2 − 5m + 6 m 2 − 6 m + 9
m 2 − 2m
:
(
m
≠
−
4,
±
3,
0)
=
m 2 + 7m + 12 m 2 + 4m
m2 − 9

( u − 2v ) .6. ( u + v ) ( u 2 − uv + v 2 ) 3 ( u 2 − v 2 )
u 2 − 4uv + 4v 2
4u − 8v
:
=
=
2u 2 − 2uv + 2v 2 6u 3 + 6v 3

4
2 ( u 2 − uv + v 2 ) .4 ( u − 2v )
2

b)

Bài 4: Thực hiện phép tính
x 2 − 4 xy + 4 y 2 4 x − 8 y
:
( x ≠ − y, x ≠ 2 y)
2 x 2 − 2 xy + 2 y 2 6 x 3 + 6 y 3

a.

b.

n2 − 1
n 2 + 5n + 4
:
( n ≠ −5, −4, −1,3, 7)
n 2 + 2n − 15 n 2 − 10n + 21

2

b+4 
2
 b ≠ −4; b ≠ ÷
7b − 2 
7

c.

x 4 − 8 xy 3 x 3 + 2 x 2 y + 4 xy 2
−5
:
( x ≠ 0, y ≠ 0, x ≠
y)
2
2 xy + 5 y
2x + 5 y
2

Lời giải

c.

x 2 − 4 xy + 4 y 2
4x − 8 y
3
: 3
( x ≠ − y, x ≠ 2 y ) = ( x − 2 y )( x + y )
2
2
3
2 x − 2 xy + 2 y 6 x + 6 y
4

n2 − 1
n 2 + 5n + 4

( n − 1)( n − 7)
: 2
( n ≠ −5, −4, −1,3, 7) =
2
n + 2n − 15 n − 10 n + 21
( n + 4)(n + 5)

d.

e.

x 4 − 8 xy 3 x3 + 2 x 2 y + 4 xy 2
−5
x − 2y
:
( x ≠ 0, y ≠ 0, x ≠
y) =
2
2 xy + 5 y
2x + 5 y
2
y

Bài 5: Rút gọn biểu thức

a)

c)

4 x2 6x 2 x

: : ( p ≠ 0; q ≠ 0 )
25 y 2 5 y 9 y

b)

x+4  x+5 x+6
:
:
÷( x ≠ −6; x ≠ −5; x ≠ −4 )
x+5  x+6 x+4

3x 2  6 x 2 x 
:
: ÷( x ≠ 0; y ≠ 0 )
7 y2  7 y 3y 

Lời giải

a)

4x2 6x 2 x 3
: :
=
25 y 2 5 y 9 y 5
3x 2
7 y2

c)

x + 4  x + 5 x + 6  ( x + 6)

:
:
÷=
x + 5  x + 6 x + 4  ( x + 5) 2

2

b)

 6x 2x  x2
:
: ÷= 2
 7 y 3y  3y

Bài 6: Thực hiện phép tính

a.

 −2 x + 10 5 x + 50
x 2  3 x + 15
A = −
+ 2
+
÷:
x
x + 5 x 5 x + 25 
7


3

b.

c.


3( x + 2)
2 x 2 − x − 10   5
3
3 
B= 3
+
: 2
+
−


2
3
2
 2( x + x + x + 1) 2( x − x + x − 1)   x + 1 2( x + 1) 2( x − 1) 
 x − y x2 + y 2 + y − 2 4 x4 + 4 x2 y + y 2 − 4 
x +1
C = (
− 2
):
: 2

2

2
x + y + xy + x  2 x + y + 2
 2 y − x x − xy − 2 y

Lời giải
A = (−

a.

b.

c.

−2 x + 10 5 x + 50
x2
3 x + 15 7
+ 2
+
):
=
x
x + 5 x 5 x + 25
7
15


3( x + 2)
2 x 2 − x − 10   5
3
3  x+2

B=
+
: 2
+
−

= 2
3
2
3
2
 2( x + x + x + 1) 2( x − x + x − 1)   x + 1 2( x + 1) 2( x − 1) 
 2 x 2 + y − 2 (2 x 2 + y − 2)(2 x 2 + y + 2) 
x +1
1
A=
:
: 2
=

( x + y )( x + 1)
 ( x + y )(2 y − x)
 2x + y + 2 2 y − x

Dạng 2: Tìm phân thức thỏa mãn đẳng thức cho trước
Cách giải: Thực hiện theo hai bước:
Bước 1: Đưa phân thức cần tìm về riêng một vế
Bước 2: Sử dụng quy tắc nhân và chia các phân thức đại số, từ đó suy ra phân thức cần tìm
Bài 1: Tìm phân thức A, biết

a.

b.

2x + 3y
4 x 2 + 6 xy
−3
.
A
=
(x ≠
y; x ≠ y )
3
3
2
2
x −y
3 x + 3 xy + 3 y
2
a − 2b
a 2 − 4ab + 4b 2
1
.A = 2
(a ≠ − b, a ≠ 2b)
3
3
2
27 a + b
9a − 3ab + b
3

Lời giải

a.

b.

2x + 3y
4 x 2 + 6 xy
−3
2
.
A
=
(x ≠
y; x ≠ y ) ⇒ A = x ( x − y )
3
3
2
2
x −y
3 x + 3 xy + 3 y
2
3
a − 2b
a 2 − 4ab + 4b 2
1
.
A
=

(a ≠ − b, a ≠ 2b) ⇒ A = (3a + b)(a − 2b)
3
3
2
2
27 a + b
9a − 3ab + b
3
4


Bài 2: Điền phân thích hợp vào chỗ trống

a.

b.

4 x 2 + 8 x + 16
x3 − 8
:
...
=
(
)
( x ≠ −1; x ≠ 2; x ≠ 5 )
x3 − 5 x 2 − x + 5
( x + 1) ( x − 5)

x x+3 x+5 x+9
:

:
:
: ( ...) = 3
x +1 x +1 x + 3 x + 7

Lời giải

a) Gọi phân thức cần tìm là

Ta có

A
B

4 x 2 + 8 x + 16
x3 − 8
A
4 x 2 + 8 x + 16
x3 − 8
A
4
:
...
=
⇒
=
:
⇒ =
(
)

3
2
3
2
x − 5x − x + 5
( x + 1) ( x − 5 ) B x − 5 x − x + 5 ( x + 1) ( x − 5 ) B ( x − 1) ( x − 2 )

b) Ta tìm được

A
x
=
B 3( x + 9)

BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 1: Thực hiện phép tính sau

a.

5 xy 15 xy 3 
3

:
 x ≠ 0; x ≠ ; y ≠ 0 ÷
2 x − 3 12 − 8 x 
2


(a

2

− 25 ) :

b.
Lời giải

a)
b)
Bài 2: Rút gọn biểu thức

a.

b.

m+7 m+8 m+9
:
:
( m ≠ −9; m ≠ −8; m ≠ −7 )
m+8 m+9 m+7
n+7  n+8 n+9
:
.
÷( n ≠ −9; n ≠ −8; n ≠ −7 )
n+8  n+9 n+7

Lời giải

5

4a + 20 
1
 a ≠ −5; a ≠ ÷
3a − 1 
3


m + 7 m + 8 m + 9 ( m + 7)
:
:
=
m + 8 m + 9 m + 7 ( m + 9) 2

2

a)

n + 7  n + 8 n + 9  ( n + 7)
:
.
÷=
n + 8  n + 9 n + 7  ( n + 8) 2

2

b)

Bài 3: Thực hiện phép tính sau
A=

a.
C=

c.

x 4 − xy 3 x 3 + x 2 y + xy 2
:
2 xy + y 2
2x + y

B=

b.

b 2 + 2b
2b + 4
:
2
3b − 6b + 3 5b − 5

5 x 2 − 10 xy + 5 y 2
8x − 8 y
:
2
2
2 x − 2 xy + 2 y 10 x 3 + 10 y 3

D=

d.

4u + 6v 4u 2 + 12uv + 9v 2
:
u−2
8 − u3

Lời giải
A=

x 4 − xy 3 x3 + x 2 y + xy 2 x − y
:
=
2 xy + y 2
2x + y
y

B=

5 x 2 − 10 xy + 5 y 2
8x − 8 y
25
:
= ( x2 − y2 )
2
2
3
3
2 x − 2 xy + 2 y 10 x + 10 y
8

C=

b 2 + 2b
2b + 4
5b
:
=
2
3b − 6b + 3 5b − 5 6(b − 1)

a.

b.

c.

d.

4u + 6v 4u 2 + 12uv + 9v 2 −2(u 2 + 2u + 4)
D=
:
=
u−2
8 − u3
2u + 3v

Bài 4: Tìm phân thức P, biết

a.

x 2 + 3x x 2 − 9
P.
= 2
( x ≠ −3, x ≠ 0, x ≠ 4)
x−4
x − 4x

b.

4q 2 − 4 4q 2 + 12q + 9
−3
P:
=
(q ≠
, q ≠ 1)
2q + 3
q −1
2

Lời giải

a.

x 2 + 3x x 2 − 9
x −3
P.
= 2
( x ≠ −3, x ≠ 0, x ≠ 4) ⇒ P = 2
x−4
x − 4x

x

P:

b.

4q 2 − 4 4q 2 + 12q + 9
−3
=
( q ≠ , q ≠ 1) ⇒ P = 4(2q + 3)( q + 1)
2q + 3
q −1
2

6

.