PHÉP NHÂN PHÂN THỨC đại số

PHÉP NHÂN CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
A. Lý thuyết
1. Quy tắc nhân: Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với

nhau:

A C A.C
. =
B D B.D

2. Các tính chất của phép nhân phân thức

a. Giao hoán:

b. Kết hợp:

A C C A
. = .
B D D B

 A C  E A C E
 . ÷. = .  . ÷
B D F B D F 

c. Phân phối của phép nhân đối với phép cộng:

A C E A C A E
. + ÷= . + .
B D F B D B F

B. Bài tập

Dạng 1: Sử dụng quy tắc nhân để thực hiện phép tính
Cách giải: Vận dụng quy tắc nhân các phân thức
Bài 1: Thực hiện các phép tính sau

a)

8x 4 y 2
.
( x ≠ 0; y ≠ 0)
15 y 3 x 2

b)

9a 2 a 2 − 9
.
( a ≠ −3; a ≠ 0 )
a + 3 6a 3

Lời giải

a)

8 x 4 y 2 8 x.4 y 2
32
. 2 =
=
3
3 2
15 y x
15 y .x 15 xy

b)

2
9a 2 a 2 − 9 9a . ( a + 3 ) ( a − 3 ) 3 ( a − 3 )
.
=
=
a + 3 6a3
6a 3 ( a + 3 )
2a

Bài 2: Nhân các phân thức sau

a)

3b + 6

4n 2  7 m 2 
. −
÷( m ≠ 0; n ≠ 0 )
17m 4  12n 

b)
Lời giải
1

.

2b − 18

( b − 9) ( b + 2)
3

2

( b ≠ −2; b ≠ 9 )


a)

2
2
4n 2  7 m2  4n . ( −7 m )
−n
. −
=
÷=
4 
4
17m  12n  17 m .12n
13m 2

3b + 6

b)

.

2b − 18

( b − 9) ( b + 2)
3

2

=

3 ( b + 2 ) .2. ( b − 9 )

( b − 9) .( b + 2 )
3

2

=

6

( b − 9) .( b + 2)
2

Bài 3: Thực hiện các phép tính sau

a.

c.

e.

a 2 − b2
a2
.
a − b (a + b)2

b.

2u 2 − 20u + 50 2u 2 − 2
.
(u ≠ ±5)
5u + 5
4(u − 5) 2

d.

3x − 3 y 8 x + 8 y
.
2 x + 2 y 15 x − 15 y
v + 3 8 − 12v + 6v 2 − v 3
.
(v ≠ −3; v ≠ ±2)
v2 − 4
7v + 21

3 x − 1 25 x 2 + 10 x + 1
−1 1
.
( x ≠ ; ± ;0)
2
2

10 x + 2 x
1 − 9x
5
3

Lời giải

c.

d.

e.

2u 2 − 20u + 50 2u 2 − 2
u −1
.
=
2
5u + 5
4(u − 5)
5(u − 5)
v + 3 8 − 12v + 6v 2 − v3 −(v − 2)2
.
=
v2 − 4
7v + 21
7(v + 2)

3x − 1 25 x 2 + 10 x + 1
5x + 1

.
=−
2
2
10 x + 2 x
1− 9x
2 x (3 x + 1)

Bài 4: Thực hiện phép tính

a.

b.

y −1 2
y3
( y + y + 1+
)( y ≠ 0, y ≠ 1)
2y
y −1
a 3 + 2a 2 − a − 2 1
2
1
(
−
+
)( a ≠ −5, −2, ±1)
3a + 15
a −1 a +1 a + 2

Lời giải
2


a.

b.

y −1 2
y3
y − 1 y3 − 1 y 3
2 y3 − 1
( y + y +1+
)=
(
+
)=
2y
y −1
2 y y −1 y −1
2y
a 3 + 2a 2 − a − 2 1
2
1
1
(
−
+
)=
3a + 15

a −1 a + 1 a + 2 3

Bài 5: Thực hiện phép tính

a.

c.

x3 − y 3 
2y
2 xy + 4 y 
.
+
2 y  4 − 2 y − 2 x + xy ( x − y )( x 2 − 4) 

b.

2
x2
x2 − y 2
y2
x+ y
−( 2
−
−
). 2
2
x x + xy
xy
xy + y x + xy + y 2

a
1+
b2 + c 2 − a 2
b 2 + c 2 − (b − c) 2
(1 +
). b + c .
a
2bc
a+b+c
1−
b+c

Lời giải
=

a.

b.

c.


 x 2 + xy + y 2
x3 − y 3
1
1
.2 y 
+
=

2y
y−2
 ( x − 2)( y − 2) ( x − 2)( x − y ) 

2
x2
x2 − y2
y2
x+ y
2 x− y x+ y
−( 2
−
−
). 2
= +
=
2
2
x x + xy
xy
xy + y x + xy + y
x
xy
xy
a
1+
b2 + c2 − a 2
b 2 + c 2 − (b − c ) 2
(1 +
). b + c .

= a+b+c
a
2bc
a
+
b
+
c
1−
b+c

Bài 6:

Cho


x − 3 ( x 3 − 2 x 2 + 2 x − 1)( x + 1)
2( x + 6)  4 x 2 + 4 x + 1
A =  ( x 4 − x + 3 ).
+
1
−
.
x +1
x9 + x 7 − 3x 2 − 3
x 2 + 1  ( x + 3)(4 − x )


a. Rút gọn A
b. Chứng minh rằng :

−5 ≤ P ≤ 0

Lời giải

3


a.

 x 7 + x 4 − x 4 − x + x − 3  ( x − 1)( x 2 + x + 1) + 2 x(1 − x) 
2( x + 6)  (2 x + 1) 2
A=
.
.(
x
+
1)
+
1
−
.


x3 + 1
( x 7 − x 3 )( x 2 + 1)
x 2 + 1  ( x + 3)(4 − x)




 x 7 − 3 ( x − 1)( x + 1)( x 2 − x + 1)
2( x + 6)  (2 x + 1) 2
= 3 .
+
1
−
.
( x 7 − x 3 )( x 2 + 1)
x 2 + 1  ( x + 3)(4 − x )
 x +1
 ( x − 1)( x 3 + 1)
2( x + 6)  (2 x + 1) 2
x − 1 + x 2 + 1 − 2 x − 12 (2 x + 1) 2
= 3
+1− 2
.
=
.
2
x + 1  ( x + 3)(4 − x)
x2 +1
( x + 3)(4 − x)
 ( x + 1)( x + 1)

=

x 2 − x + 12 (2 x + 1) 2
( x + 3)(4 − x)(2 x + 1) 2 −(2 x + 1) 2
.

=
=
x 2 + 1 ( x + 3)(4 − x) ( x 2 + 1)( x + 3)(4 − x)
x2 +1

b. Vì

(2 x + 1) 2 ≥ 0; x 2 ≥ 0 ⇒ −(2 x + 1) 2 ≤ 0 ⇒ A ≤ 0∀x

A − (−5) =

+) Xét

−(2 x + 1) 2
( x − 2)2
+
5
=
≥ 0 ⇒ A ≥ −5
x2 + 1
x2 + 1

Dạng 2: Rút gọn biểu thức
Cách giải: Sử dụng hợp lý 3 quy tắc đã học: Quy tắc cộng, trừ, nhân phân thức để tính tốn
*) Chú ý:
- Đối với phép nhân có nhiều hơn hai phân thức, ta vẫn nhân các tử thức với nhau và các mẫu
thức với nhau
- Tính tốn biểu thức trong dấu ngoặc trước (nếu có)
Bài 7: Rút gọn biểu thức

a.

t 4 + 4t 2 + 8
t
3t 3 + 3
A=
.
.
( t ≠ −1)
2t 3 + 2 12t 2 + 1 t 4 + 4t 2 + 8
B=

b.

y −1  2
y3 
. y + y + 1 +
÷( y ≠ 0; y ≠ 1)
2y 
y −1 

Lời giải
A=

a) Ta có:

( t 4 + 4t 2 + 8) .t.3 ( t 3 + 1) = 3t
t 4 + 4t 2 + 8
t
3t 3 + 3

.
.
=
2t 3 + 2 12t 2 + 1 t 4 + 4t 2 + 8 2 ( t 3 + 1) . ( 12t 2 + 1) . ( t 4 + 4t 2 + 8 ) 2 ( 12t 2 + 1)
4


b) Ta có:

y −1  2
y 3  y − 1  y3 − 1 y3  2 y3 − 1
B=
. y + y + 1 +
.
+
÷=
÷=
2y 
y −1  2 y  y −1 y −1 
2y

Bài 8: Thực hiện phép tính sau
A=

x 6 + 2 x 3 + 3 3x x 2 + x + 1
.
.
( x ≠ ±1)
x3 − 1
x + 1 x 6 + 2 x3 + 3

B=

a 3 + 2a 2 − a − 2  1
2
1 
.
−
+
÷( a ≠ −5; −2; ±1)
3a + 15
 a −1 a +1 a + 2 

a)

b)

Lời giải
A=

x 6 + 2 x 3 + 3 3x
x2 + x + 1
3x
.
.
= 2
3
6
3
x −1

x +1 x + 2x + 3 x −1

B=

a 3 + 2a 2 − a − 2  1
2
1  ( a − 1) ( a + 1) ( a + 2 )  1
2
1 
.
−
+
−
+
÷=

÷
3a + 15
3 ( a + 5)
 a −1 a +1 a + 2 
 a −1 a +1 a + 2 

a)

b)
⇒B=

( a − 1) ( a + 1) ( a + 2 )  1 − 2 + 1  = ( a + 1) ( a + 2 ) − 2 ( a − 1) ( a + 2 ) + ( a − 1) ( a + 1)

÷

3( a + 5)
3( a + 5)
3 ( a + 5)
3 ( a + 5)
 a −1 a +1 a + 2 

⇒B=

1
3

Bài 9:
M=

Tính hợp lý biểu thức sau:

1
1
1
1
1
1
.
.
.
.
.
( x ≠ ±1)
2
4

8
1 − x 1 + x 1 + x 1 + x 1 + x 1 + x16

Lời giải
Áp dụng hằng đẳng thức
M=

Ta có:
⇒M =

a 2 − b2 = ( a − b ) ( a + b )

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
.
.
.
.
.
=
.

.
.
.
2
4
8
16
2
2
4
8
1− x 1+ x 1+ x 1+ x 1+ x 1+ x
1 − x 1 + x 1 + x 1 + x 1 + x16

1
1
1
.
=
16
16
1− x 1+ x
1 − x 32

5


Bài 10:
Rút gọn biểu thức

P = xy,

biết

( 3a

3

− 3b3 ) x − 2b = 2a ( a ≠ b )

( 4a + 4b ) y = 9 ( a − b ) ( a ≠ −b )
2

và

Lời giải
2 ( a + b)

Biến đổi

9 ( a − b)
2 ( a + b) 9 ( a − b)
3( a − b)
x=
;y=
⇒ P = x. y =
.
=
3
3

3
3
4( a + b)
3( a − b )
3 ( a − b ) 4 ( a + b ) 2 ( a 2 + ab + b 2 )
2

2

Bài 11: Tính giá trị của các biểu thức sau.

a.

b.

 x2 + y 2  x − y
A= 2
− 1÷.
2
x −y
 2y

Với x = 15, y = -15

 x2 y2  
x+ y
1 
B =  − ÷.  2
+
÷

2
x   x + xy + y
x− y
 y

C = ( x 2 − y 2 − z 2 + 2 yz ) .

c.

x+ y+z
x+ y−z

Với x = 15, y = 5

Với x = 8,6 ; y = 2, z = 1,4
Lời giải

a.

b.

 x2 + y 2  x − y
y
A= 2
− 1÷.
=
= 15
2
x+ y
x −y

 2y
 x 2 y 2 
x+ y
1 
B =  − ÷ 2
+
÷= 2x + y = 7
2
x   x + xy + y
x− y
 y

C = ( x 2 − y 2 − z 2 + 2 yz ) .

c.

x+ y+z
x+ y+ z
=  x − ( y − z ) 2  .
= ( z + x) 2 − y 2 = 96
x+ y−z
x+ y−z

BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 1: Làm tính nhân

6


a)

x 2 − 49 3 
−1

.
 x ≠ ; x ≠ 7÷
2x +1 7 − x 
2


b)

3y2 − 2 y 1− y4 
2
.
y ≠ ±1; y ≠ ÷
2 
2
y −1 ( 2 − 3 y ) 
3

Lời giải

a) Ta có :

b) Ta có :

3( x + 7) 
x 2 − 49 3
−1


.
=−
 x ≠ ; x ≠ 7÷
2x +1 7 − x
2x +1 
2

y ( y 2 + 1)
3y2 − 2 y 1− y4
.
=
y 2 −1 ( 2 − 3 y ) 2 ( 3 y − 2) 2

2

 y ≠ ±1; y ≠ ÷
3


Bài 2: Thực hiện phép nhân các phân thức sau

a)

a − 3 a 2 − 7a − 8
.
( a ≠ −1; 2;3)
a + 1 a 2 − 5a + 6

b)

b2
. ( 4b + 12 ) ( b ≠ −3)
2b 2 + 12b + 18

Lời giải

a)

b)

a − 3 a 2 − 7 a − 8 a − 3 ( a + 1) ( a − 8 ) a − 8
.
=
.
=
a + 1 a 2 − 5a + 6 a + 1 ( a + 2 ) ( a − 3 ) a + 2

b 2 .4 ( b + 3)
b2 .4 ( b + 3) 2b 2
b2
.
4
b
+
12
=
=
=
(

)
2
2b 2 + 12b + 18
b+3
2 ( b 2 + 6b + 9 )
2 ( b + 3)

Bài 3: Thực hiện các phép tính sau

a)

b)

m3 − 1  1
m +1 
− 2

÷( m ≠ −2; m ≠ 1)
2m + 4  m − 1 m + m + 1 
u3
2001 − 2u
u3
u + 16
.
+
.
( u ≠ −2; u ≠ 2017 )
u − 2017 u + 2
u − 2017 u + 2

Lời giải

a)

m3 − 1  1
m +1  1
− 2

÷ = ( m ≠ −2; m ≠ 1)
2m + 4  m − 1 m + m + 1  2

7


b)

u3
2001 − 2u
u3
u + 16
u3
.
+
.
=
( u ≠ −2; u ≠ 2017 )
u − 2017 u + 2
u − 2017 u + 2 u + 2

Bài 4:

Rút gọn biểu thức
và

( 5a

3

A = mn

( 4a
biết

2

5

− 25 ) m = 7 a + 7  a ≠ ± ÷
2


+ 5 ) n = 6a 2 + 15a ( a ≠ −1)

Lời giải
m=

Biến đổi được

7 ( a + 1)
3a ( 2a + 5 )

21a
;n =
⇒ A = mn =
3
5 ( a + 1)
( 2a − 5 ) ( 2 a + 5 )
( 2a − 5 ) ( a 2 − a + 1)

Bài 5:
Tìm phân thức T thỏa mãn đẳng thức sau
1 x x + 2 x + 4 x + 14 x + 16 x + 18
1
.
.
.
...
.
.T =
x x + 2 x + 4 x + 6 x + 16 x + 18 x + 20
2

với các mẫu thỏa mãn khác 0
Lời giải

Ta có:

1 x x + 2 x + 4 x + 14 x + 16 x + 18
1
1
1

x + 20
.
.
.
...
.
.T = ⇒
T = ⇒T =
x x + 2 x + 4 x + 6 x + 16 x + 18 x + 20
2
x + 20
2
2

8

.