Đề thi môn phương pháp tính và lời giải năm 2008 - 2009

Upload by
wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thơng Tin - Học Tập - Gải Trí Cho HS-SV


TRƯỜNG ĐH ĐỀ THI HỌC KỲ II - NĂM HỌC 2008-2009
Môn thi: Phương pháp tính (Lần: 1)
Dùng cho các lớp:

Thời gian: 90 phút (Không kể phát đề)
Câu 1: (2 điểm)
Bằng phương pháp dây cung tìm nghiệm dương gần đúng phương trình:
04x2xf(x)
4

biết khoảng cách ly nghiệm là: (1; 1,7), với sai số không quá
-2
10 .
Câu 2: (2 điểm)
Cho hàm số f(x) thoả mãn:
x
i
0 2 3 5
f(x
i
) 1 3 2 5
Tìm hàm nội suy Lagrăng của f(x); tính f(4).
Câu 3: (2 điểm)
Cho bảng giá trò hàm
x
i
7 8 9 10 11 12 13

f(x
i
) 7,4 8,4 9,1 9,4 9,5 9,5 9,4
Tìm hàm xấp xỉ bằng phương pháp bình phương bé nhất với quan hệ giữa y và
x là:
2
cxbxaf(x)y  .
Câu 4: (2 điểm)
Cho hàm


xfy dưới dạng bảng sau:
x

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
y

1 0,990 0,962 0,917 0,862 0,800

0,6 0,7 0,8 0,9 1
0,735 0,671 0,609 0,555 0,500
Tính tích phân:



1
0
)( dxxfI

theo công thức hình thang và công thức Simson.

Câu 5: (2 điểm)
Giải hệ phương trình bằng phương pháp lặp Gauss –Siedel









18x5x x
14x x5x
10x x x5
321
321
321


Upload by
wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thơng Tin - Học Tập - Gải Trí Cho HS-SV

(Thí sinh được sử dụng máy tính bỏ túi)

TRƯỜNG ĐH ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
Môn: PHƯƠNG PHÁP TÍNH - Lần 1, Năm học 2008 – 2009
Câu Lời giải Điểm

1

2






3

-Tách nghiệm: Phương trình có một nghiệm dương


7,1 ;1x 
f(1) = - 5 < 0; f(1,7) = 0,952 > 0.
- Chính xác hoá nghiệm:
Bảng kết quả:
a
n
b
n




   
ii
iii
ii
afbf
afab
ax







i
xf
1 1,7




   
588,1
1f7,1f
1f17,1
1x
1







0817,0588,1f 

1,588 1,7




   
639,1
588,1f7,1f

588,1f588,17,1
588,1x
2







0051,0639,1f 

1,639 1,7




   
642,1
639,1f7,1f
639,1f639,17,1
639,1x
3








0016,0642,1f 

1,642 1,7




   
643,1
642,1f7,1f
642,1f642,17,1
642,1x
3







004,0643,1f 
> 0

Vậy nghiệm cần tìm có độ chính xác 10
-2
là: 64,1x

.
W(x)=x(x-2)(x-3)(x-5)

     
       














5x30
5
3x)6(
2
2x6
3
30x
1
5x3x2xxxL
3

1x
15
62

x
6
13
x
10
3
23
 .
f(4)
15
31
14.
15
62
4.
6
13
4.
10
3
23
 .
Tính tích phân I theo công thức hình thang:
 
 
109876543210
1
0
yyyyyyyyyy2y
2

h
dx)x(fI 

 
 
5,0555,0609,0671,0735,08,0862,0917,0962,099,021
2
1,0

785,0

.
Tính tích phân I theo công thức công thức Simson.


1
0
)( dxxfI
     
 
975318642100
yyyyy4yyyy2yy
3
h

     
 
555,0671,08,0917,099,04609,0735,0862,0962,025,01
3
1,0



0,5







1,5





0,5

1,0


0,5





1,0

1,0
Upload by
wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thơng Tin - Học Tập - Gải Trí Cho HS-SV



4
















5
786,0


.
Lập bảng số:
k x
k
(x
k
)
2
(x
k
)
3
(x
k
)
4
y
k
x
k
y
k
(x
k
)
2
y
k

1 7 49 343 2401 7,4 51,8 362,6

2 8 64 512 4196 8,4 67,2 537,6
3 9 81 729 6561 9,1 81,9 737,1
4 10 100 1000 10000 9,4 94,0 940,0
5 11 121 1331 14641 9,5 104,5 1149,5
6 12 144 1728 20736 9,5 114,0 1368,0
7 13 169 2197 28561 9,4 122,2 1588,6
∑
70 728 7840 87096 62,7 635,6 6683,4
Từ đó ta có hệ phương trình sau:









4,668387096840b7 28a7
6,635840c7 b7280a7
7,6228c7 0b7 a7

Giải hệ phương trình trên ta thu được:
a = 2,12; b = 1,10 c = - 0,04
Vậy hàm bậc hai cần tìm có dạng:



2
x04,0x10,112,2xf  .

Từ hệ phương trình đã cho ta suy ra:









6,3 x2,0x2,0x
8,2x2,0 x2,0x
0,2x2,0x2,0 x
213
312
321

Ta có: x = Bx + g, với:














0 0,2- 2,0
0,2- 0 2,0
0,2- 0,2- 0
B ,











6,3
8,2
0,2
g .
Để kiểm tra điều kiện hội tụ ta tính:
4,02,02,00b
3
1j
j1



; 4,02,002,0b
3

1j
j2



;
4,002,02,0b
3
1j
j3



; 14,0}4,0 ;4,0 ;4,0{MaxbMax
3
1j
ij
i



(thoả
mãn điều kiện hội tu)ï. p dụng phương pháp Gauss - Siedel
Chọn


0;0;0
0
x


ta có bảng kết quả sau:
i
x


x
1
x
2
x
3
1
x


2,00 2,80 3,60
2
x


0,72 1,68 2,64
3
x


1,136 2,128 3,120
4
x


0,950 1,949 2,947


1,0








1,0










0,5

0,5








1,0
Upload by
wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thơng Tin - Học Tập - Gải Trí Cho HS-SV

Vậy nghiệm của hệ phương trình:
x
1
= 0,950; x
2
=1,949; x
3
= 2,947.




TRƯỜNG ĐH ĐỀ THI HỌC KỲ II - NĂM HỌC 2008-2009
Môn thi: Phương pháp tính (Lần: 2)
Dùng cho các lớp:

Thời gian: 90 phút (Không kể phát đề)

Câu 1: (2 điểm)
Bằng phương pháp chia đôi tìm nghiệm gần đúng phương trình:
07x2xf(x)
3

biết khoảng cách ly nghiệm là: (1; 2), với sai số không quá
-3
10 .
Câu 2: (2 điểm)
Cho hàm số f(x) thoả mãn
x
i
1 2 3 4
f(x
i
) 2 3 4 5
Tìm hàm nội suy Lagrăng của f(x), tính f(5).
Câu 3: (2 điểm)
Cho bảng giá trò hàm
x
i
19 22 25 28 32 35
f(x
i
) 0,660 0,367 0,223 0,140 0,084 0,060
Tìm hàm xấp xỉ bằng phương pháp bình phương bé nhất với quan hệ giữa y và
x là: bxaf(x)y




.
Câu 4: (2 điểm)
Cho hàm


xfy dưới dạng bảng sau:
x 0 0,2 0,4 0,6 0,8
y 1,0000 0,9801 0,9211 0,8253 0,6967
Tính tích phân:



8,0
0
dx)x(fI

theo công thức hình thang và công thức Simson.
Câu 5: (2 điểm)
Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp lặp Gauss –Siedel:









20x10x2 x2

27x x10x2
33x x x10
321
321
321

Upload by
wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thơng Tin - Học Tập - Gải Trí Cho HS-SV


(Thí sinh được sử dụng máy tính bỏ túi)


TRƯỜNG ĐH ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
Môn: PHƯƠNG PHÁP TÍNH - Lần 2, Lớp Năm học 2008-2009
Câu Lời giải Điểm
1

2




3









-Tách nghiệm: Phương trình có một nghiệm


2;1x
f(1) = - 4 < 0; f(2) = 5 > 0.
- Chính xác hoá nghiệm:
Bảng kết quả:
n a
n
b
n








2
nn
ba
f
0 1,0 2,0 f(1,5) =3,375+3-7= - 0,625 < 0
1 1,5 2,0 f(1,75) = 5,359+3,5-7=1,859 > 0
2 1,5 1,75 f(1,625)=4,291+3,25-7=0,541> 0
3 1,5 1,625 f(1,563)=3,818+4,689-7=- 0,056 < 0
4 1,563 1,625 f(1,594)= 4,050+3,188-7=0,238> 0
5 1,563 1,594 f(1,579)= 3,937+3,158-7=0,095> 0
6 1,563 1,579 f(1,571)=3,877+3,142-7=0,019> 0
7 1,563 1,571 f(1,567)=3,848+3,134-7=-0,018<0
8 1,567 1,571 f(1,569)=3,863+3,138-7=0,001
Vậy nghiệm cần tìm có độ chính xác 10
-3
là: 569,1x

.
W(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)
      
        












4
x6
5
3x2
4
2x2
3
61x
2
4x3x2x1xx
3
L

1
x


.
f(5) = 5+1 = 6.
Lập bảng số:
k x
k

(x
k
)
2
y
k
x
k
y
k
1 19 361 0,660 12,5
2 22 484 0,367 8,1
3 25 625 0,223 5,6
4 28 784 0,140 3,9
5 32 1024 0,084 2,7
6 35 1225 0,060 2,1
∑
161 4503 1,500 34,9
Từ đó ta có hệ phương trình sau:

0,5

1,5




0,5

1,0
0,5




1,0






Upload by
wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thơng Tin - Học Tập - Gải Trí Cho HS-SV





4

5






897,34b4503 161a
534,1 161b a6

Giải hệ phương trình trên ta thu được:
a = 1,176; b = - 0,034
Vậy hàm bậc nhất cần tìm có dạng:


x034,0176,1xf  .
Tính tích phân I theo công thức hình thang:
 
 
43210
8,0
0

yyyy2y
2
h
dx)x(fI 

 
 
6967,08253,09211,09801,021
2
2,0

715,0

.
Tính tích phân I theo công thức công thức Simson.


8,0
0
dx)x(fI
     
 
31240
yy4y2yy
3
h

     
 
8253,09801,049211,026967,01

3
2,0
 717,0

.
Từ hệ phương trình đã cho ta suy ra:









0,2 x2,0x2,0x
7,2x1,0 x2,0x
3,3x1,0x1,0 x
213
312
321

Ta có: x = Bx + g, với:














0 0,2- 2,0
0,1- 0 2,0
0,1- 0,1- 0
B ,











0,2
7,2
3,3
g .
Để kiểm tra điều kiện hội tụ ta tính:
2,01,01,00
3
1
1



j
j
b ; 3,01,002,0
3
1
2


j
j
b ;
4,002,02,0
3
1
3


j
j
b .
14,0}4,0;3,0;2,0{
3
1



MaxbMax
j

ij
i

thoả mãn điều kiện hội tụ.
p dụng phương pháp Gauss - Siedel
Chọn


0;0;0
0
x

ta có bảng kết quả sau:
i
x


x
1
x
2
x
3
1
x


3,3 2,7 2,0
2
x



2,83 1,84 0,8
3
x


3,036 2,054 1,066
4
x


2,998 1,986 0,982
5
x


3,003 2,002 1,003


1,0





1,0

1,0








0,5



0,5










1,0


Upload by
wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thông Tin - Học Tập - Gải Trí Cho HS-SV

6
x


3,000 1,999 0,999
7
x


3,000 2,000 1,000
8
x


3,000 2,000 1,000
Vaäy nghieäm cuûa heä phöông trình:
x
1
=3,000; x
2
=2,000; x
3
=1,000.