031 đề HSG toán 6 sơn tây 2017 2018

UBND THỊ XÃ SƠN TÂY
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI – LỚP 6
Mơn Tốn – Năm học 2017-2018

Bài 1. (5,0 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A =

5
5 5
1 1
+ 6 11 − 9 ÷: 8
6
6  20
4 3

{

}

b) B = 23.53 − 3 400 − 673 − 23.( 78 : 7 6 + 7 0 ) 
5
4
3
1
13
c)C =
+
+
+

+
2.1 1.11 11.2 2.15 15.4

x, y
Bài 2. (4,0 điểm) Tìm các số nguyên

thỏa mãn

a) ( 7 x − 11) = ( −3) .15 + 208
3

2

b) 2 x − 7 = 20 + 5.( −3)
c) ( x − 2 )

2

( y − 3 ) = −4

Bài 3. (3,0 điểm)

a) Cho

a+n
b+n

a, b, n ∈ ¥ *.

a

b

Hãy so sánh:
và
10
10 − 1
10 + 1
A = 12 ; B = 11 .
10 − 1
10 + 1
A
b) Cho
So sánh và B
11

Bài 4. (6,0 điểm) Cho tam giác
A
khơng trùng với và C)
a) Tính độ dài

AC ,

b) Tính số đo của

biết
·
DBC

ABC

có

·ABC = 550 ,

AD = 4cm, CD = 3cm.
, biết

·ABD = 300

trên cạnh

AC

lấy điểm D (D


c) Từ B dựng tia

Bx

·
DBx
= 900.

·ABx

sao cho
Tính số đo
E(E
A

2
d) Trên cạnh AB lấy điểm
không trùng với và B). Chứng minh rằng
BD, CE
đoạn thẳng
cắt nhau.

q, p
Bài 5. (2,0 điểm) Với
p 4 − q 4 M240

là số nguyên tố lớn hơn 5, chứng minh rằng:

ĐÁP ÁN
Bài 1.
5 41  1
1  25 5 41 3
a) + 11 − 9 ÷: = + .2.
6 6 4
4  3 6 6 25
5 41 125 246 371
71
= +
=
+
=
=2
6 25 150 150 150
150
b) = 8.125 − 3{ 400 − [ 673 − 8.50] } = 1000 − 3.{ 400 − 273} = 619

c) B =

5
4
3
1
13
4
3
1
13 
 5
+
+
+
+
= 7.
+
+
+
+
÷
2.1 1.11 11.2 2.15 15.4
 2.7 7.11 11.14 14.15 15.28 

1 
1 1 1 1 1 1 1 1 1
 1 1  13
= 7. − + − + − + − + − ÷= 7. − ÷=
 2 7 7 11 11 14 14 15 15 28 

 2 28  4
Bài 2.


a) ( 7 x − 11) = ( −3) .15 + 208
3

2

( 7 x − 11)

3

= 9.15 + 208

( 7 x − 11)

3

= 73 ⇒ 7 x − 11 = 7 ⇔ x =

18
7

Vay....x ∈∅
2x − 7 = 5
x = 6
b) 2 x − 7 = 20 + 5 ( −3) ⇒ 2 x − 7 = 5 ⇒ 
⇒
 2 x − 7 = −5  x = 1

Vậy

x ∈ { 1;6}

c) Do

*)

−4 = 12.( −4 ) = 22.( −1)

nên có các trường hợp sau:
 x − 2 = 1
x = 3


2
( x − 2 ) = 1   y = −1
 y = −1
⇒
⇔

  x − 2 = −1   x = 1
 y − 3 = −4


  y = −4 + 3   y = −1

 ( x − 2 ) 2 = 22  x − 2 = 2  x = 4
⇒

⇒

y
=
2

y = 2
 y − 3 = −1
*)  
  x − 2 = −2 ⇒  x = 0

  y = −1
y = 2

Bài 3.
a
a
a
= 1; > 1; < 1
b
b
b

a) Ta xét 3 trường hợp:
a
a+n a
=1⇔ a = b
= =1
b
b+n b

Th1:
thì
a
>1⇔ a > b ⇔ a + n > b + n
b
Th2:


a+n
b+n

a−b
b+n

Mà
có phần thừa so với 1 là
a
a−b
b
b
có phần thừa so với 1là
a −b a −b
a+n a
<
<
b+n
b
b+n b
Vì
nên

a
<1⇔ a < b ⇔ a + n < b + n
b
Th3:
a+n
b−a a
b−a
,
b+n
b+n b
b
Khi đó :
có phần bù tới 1 là
có phần bù tới 1 là
b−a b−a
a+n a
<
>
b+n
b
b+n b
Vì
nên
1011 − 1
a
a+n a
A = 12 ;
<1
>
10 − 1

b
b+n b
A <1
b) Cho
rõ ràng
nên theo a, nếu
thì
11
10 − 1) + 11 1011 + 10
(
⇒ A<
=
( 1012 − 1) + 11 1012 + 10
10
1011 + 10 10.( 10 + 1) 1010 + 1
A < 12
=
=
10 + 10 10.( 1011 + 1) 1011 + 1

Do đó:
A< B
Vậy
Bài 4.


a) D nằm giữa A và C

⇒ AC = AD + CD = 4 + 3 = 7cm

BA, BC

BD

·ABC = ·ABD + DBC
·

b) Tia
nằm giữa hai tia
nên
·
⇒ DBC
= ·ABC − ·ABD = 550 − 300 = 250
c) Xét hai trường hợp:

Bx BD
AB
- Trường hợp 1: Tia
và
nằm về hai phía nửa mặt phẳng có bờ là
·ABx = 900 − ·ABD
. Tính được
BA, BC
00 < ·ABD < 550
BD
Mặt khác tia
nằm giữa hai tia
nên
⇒ 900 − 550 < ·ABx < 900 − 00 ⇔ 350 < ·ABx < 900

Bx, BD

Trường hợp 2: Tia
nằm về cùng nửa mặt phẳng có bờ là AB
·ABx = 900 + ·ABD
Tính được
900 < ·ABx < 1450
Lập luận tương tự trường hợp 1, chỉ ra được


350 < ·ABx < 1450 , ·ABx ≠ 900

Vậy
d) Xét đường thẳng BD

BD

Do BD cắt AC nên đường thẳng

chia mặt phẳng làm 2 nửa: 1 nửa mặt phẳng
⇒
có bờ BD chứa điểm C và nửa mặt phẳng bờ BD chứa điểm A tia BA thuộc nửa
mặt phẳng chứa điểm A
⇒E
⇒E
E thuộc đoạn AB
thuộc nửa mặt phẳng bờ BD chứa điểm A
và C ở 2 nửa
⇒
BD

mặt phẳng bờ BD đường thẳng
cắt đoạn EC
Xét đường thẳng CE
Lập luận tương tự: ta có đường thẳng EC cắt đoạn BD
Vậy 2 đoạn thẳng EC và BD cắt nhau
Bài 5.
Ta có:

p 4 − q 4 = ( p 4 − 1) − ( q 4 − 1) ;240 = 8.2.3.5

Chứng minh
Do

p>5

Mặt khác

⇒ ( p − 1)

p 4 − 1M240
p

nên

là số lẻ

p 4 − 1 = ( p − 1) ( p + 1) ( p 2 + 1)

và

( p + 1)

p2

p
Do

p>5

là hai số chẵn liên tiếp

là số lẻ nên

là số lẻ

⇒ p 2 + 1M2

nên p có dạng:

p = 3k + 1 ⇒ p − 1 = 3k M
3 ⇒ p 4 − 1M
3
p = 3k + 2 ⇒ p + 1 = 3k + 3M
3 ⇒ p 4 − 1M
3

⇒ ( p − 1) ( p + 1) M
8

Mặt khác p có thể là dạng :
p = 5k + 1 ⇒ p − 1 = 5k + 1 − 1 = 5k M
5 ⇒ p 4 − 1M
5
p = 5k + 2 ⇒ p 2 + 1 = ( 5k + 2 ) + 1 = 25k 2 + 20k + 5M
5 ⇒ p 4 − 1M
5
2

p = 5k + 3 ⇒ p 2 + 1 = 25k 2 + 30k + 10M
5 ⇒ p 4 − 1M
5
p = 5k + 4 ⇒ p + 1 = 5k + 5M
5 ⇒ p 4 − 1M
5

Vậy

p 4 − 1M
8.2.3.5

hay

Tương tự ta cũng có:
Vậy

(p

4

p 4 − 1M240

q 4 − 1M240

− 1) − ( q 4 − 1) = p 4 − q 4 M240