033 đề HSG toán 8 thọ xuân 2017 2018

PHÒNG GD&ĐT
HUYỆN THỌ XUÂN
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HSG CÁP HUYỆN
NĂM HỌC : 2017 – 2018
Môn: Toán – Lớp 8
Ngày thi: 08 tháng 4 năm 2018

Câu 1. (5,0 điểm)
 x3  y 3
x2  4 y 2   2
3 
Cho biểu thức : P   2

: 2  2 
2
x  2y   y x x y 
 x  xy  y

a) Rút gọn biểu thức P
b) Tính giá trị biểu thức P khi x, y thỏa mãn ; x  y  6; x 2  y 2  26 \
c) Nếu x; y là các số thực dương làm cho P xác định và thỏa mãn: x  y  2.
Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P
Câu 2. (4,0 điểm)
a) Lúc 7 giờ sáng một xe buýt đi từ vị trí A đến vị trí B với độ dài là 60 km.
Khi đi tới vị trí C cách vị trí A 39km thì xe bị hỏng. Xe phải dừng lại và sửa
chữa mất 15 phút, sau đó xe tiếp tục đi từ C đến B với vận tốc giảm hơn so
11
với vận tốc đi từ A tới C là 3km / h. Tổng thời gian xe đi từ A đến B hết
6

giờ (tính cả thời gian dừng lại sửa xe). Hỏi xe buýt bị hỏng lúc mấy giờ ?
b) Giải phương trình
x 2  2 x  2 x 2  8 x  20 x 2  4 x  6 x 2  6 x  12



x 1
x4
x2
x3
Câu 3. (3,0 điểm)
a) Tìm tất cả các số nguyên n sao cho: 4n3  n  3 chia hết cho 2n2  n  1
b) Tìm các cặp số nguyên  x; y  sao cho: 3x2  y 2  2 xy  2 x  2 y  40  0
Câu 4. (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên cạnh AC lấy điểm M bất kỳ, sao
cho M khác A và C. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho AE  CM
a) Gọi O là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh OEM vuông cân
b) Đường thẳng qua A và song song với ME , cắt tia BM tại N. Chứng minh :
CN  AC
c) Gọi H là giao điểm của OM và AN . Chứng minh rằng tích AH . AN không
phụ thuộc vào vị trí điểm M trên cạnh AC.
Câu 5. (2,0 điểm)
Cho a, b, c là ba số thực dương. Chứng minh rằng:
3
a
b
c
a2
b2
c2




 2 2 2

2 b  c c  a a  b b  c c  a 2 a 2  b2


ĐÁP ÁN
Câu 1.
1a)
2
 x3  y 3
x2   2 y    2x  3 y 
P 2

: 2 2 
 x  xy  y 2
  x y 
x

2
y


  x  y   x 2  xy  y 2   x  2 y  x  2 y   2 x  3 y


: 2 2
2

2
x

xy

y
x

2
y

 x y
x2 y 2
  x  y  x  2 y .
2x  3y
x2 y 2
  2 x  3 y .
 x2 y 2
2x  3y
1b)

Điều kiện : x  0; y  0; x 

3
y; x  2 y
2

Ta có:

x  y

2

 x 2  2 x y  y 2  62  26  2 x y  x y  5

Vậy P  52  25
1c)

3
Với x, y dương và thỏa mãn điều kiện x  0; y  0; x  ; x  2 y ta có:
2
2
x y
xy  
  1 (vì x  y  2). Dấu "  " xảy ra  x  y  1
 2 
Vậy GTLN của P bằng 1  x  y  1
Câu 2.
a) Gọi vận tốc của xe buýt khi đi từ A đến C là x  km / h; x  3 thì vận tốc của
xe buýt khi đi từ C đến B là  x  3 km / h 
39
(h), thời gian để xe buýt đi hết
Thời gian để xe buýt đi hết quãng đường AC là
x
1
21
quãng đường CB là
 h  . Thời gian dừng lại sửa xe là 15 phút  (h)
4
x3

39
21 1 11

 
Theo bài ta có phương trình:
x x3 4 6


 x  39(tm)
Giải ra được 
36
 x  (ktm)
19

Vậy khi đi từ A tới C xe buýt đi với vận tốc 39km / h , suy ra thời gian để xe buýt
đo đi hết quãng đường AC là : 39 : 39  1(giờ)
Do đó đúng 8 giờ sáng thì xe buýt bị hỏng.
b) Giải phương trình
x 2  2 x  2 x 2  8 x  20 x 2  4 x  6 x 2  6 x  12



x 1
x4
x2
x3

 x  1


2

x 1

1

 x  4


2

x4

4

 x  2


2

x2

2

 x  3


2

 x  1; 2; 3; 4 

3

x3

1
4
2
3
 x4
 x2
 x  3
x 1
x4
x2
x3
1
4
2
3




x 1 x  4 x  2 x  3
x  4  4 x  4 2 x  6  3x  6
 2

x  5x  4
x2  5x  6

  5 x  8   x 2  5 x  6    5 x  12   x 2  5 x  4 
 x 1

 5 x3  33 x 2  70 x  48  5 x 3  37 x 2  80 x  48
 4 x 2  10 x  0
 x  0(tm)

5
 x  (tm)

2

Câu 3.
3a)

4n 3  n  3
4
 2n  1  2
Ta có:
2
2n  n  1
2n  n  1
Vì n là số nguyên nên 2n  1là số nguyên. Do đó để 4n3  n  3 chia hết cho
2n2  n  1 thì 2n2  n  1 phải là ước số của 4
2

1
1
7
 2 1

2
Mặt khác: 2n  n  1  2  n  n    2  n      0
2
2
4  16 




Do đó: 2n2  n  1  1 hoặc 2n2  n  1  2 hoặc 2n2  n  1  4
n  0
Giải từng trường hợp suy ra:  n  1

 n  1
3b) Ta có:
3x 2  y 2  2 xy  2 x  2 y  40  0
 4 x 2   x 2  y 2  2 xy  2 x  2 y  1  41
  x  y  1   2 x   41
2

2

  3x  y  1 y  x  1  41
Đặt : 3x  y  1  a và y  x  1  b. Suy ra a và b là các ước của 41, có tích bằng
41. Nhận thấy 41 là số nguyên tố, từ đó ta có các trường hợp như bảng sau:
a
41
1
1
41

b
1
41
41
1

10
10

10
10
a b
x
4
10
32
30
a  3b  4
12
y
4
Vậy các cặp số nguyên  x; y  cần tìm là  10; 12  ; 10; 32 ;  10;30 ; 10;10 


Câu 4

H

A

N

E

M

C

O
B
4a. Vì tam giác ABC vuông cân tại A và O là trung điểm của cạnh BC nên AO là
đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC. Suy ra OA  OC  OB và
OAB  ACO  450
Xét OEA và OMC có: OA  OC; OAB  ACO  450 ; AE  CM  gt 
 OEA  OMC  c.g.c   OE  OM & EOA  MOC (1)
Vì AO là đường trung tuyến của tam giác cân ABC nên AO cũng là đường cao
 AO  BC  AOM  MOC  AOC  900 (2)

Từ (1) và (2) suy ra : AOM  AOE  EOM  900
Vì OE  OM & EOM  900 nên OEM vuông cân tại O
4b.
BM BE

(3)
Vì ME / / AN nên theo định lý Ta – let ta có:
MN EA
Vì tam giác ABC cân tại A nên AB  AC, mà AE  CM nên BE  AM
Do đó, ở (3) ta thay BE bởi AM , thay EA bởi MC ta được:
BM AM


(4)  AB / /CN (Theo định lý Ta let đảo)
MN MC
Mà AB  AC  CN  AC
4c.
Từ ME / / AN  OME  OHA (cặp góc đồng vị)


Mà OME  450 (vì OEM vuông cân tại O) suy ra OHA  450  ACB
Hay MHA  ACB. Kết hợp với OMC  AHM (đối đỉnh) (1)
OM MC


, kết hợp OMA  CMH (hai góc đối đỉnh)
AM MH
 OMA CMH (c.g.c)  OAM  MHC (2)
Từ (1) và (2) suy ra AHC  MHA  MHC  900 , suy ra CH  AN
Xét tam giác AHC và tam giác CAN sẽ đồng dạng theo trường hợp góc góc
AH AC


 AH . AN  AC.HC không đổi
HC AN
Câu 5
Chứng minh

a
b
c
3




(1)
bc ca ab 2

Ta có:
a
b
c
 a
  b
  c




 1  
 1  
 1  3
bc ca ab bc  ca  ab 
abc bca cab
1
1 
 1


 3  a  b  c


3

bc
ca
ab
bc ca ab
Đặt : x  b  c; y  c  a; z  a  b. Suy ra x, y, z  0 và ta có:


1 1 1
a
b
c
1


  x  y  z      3
bc ca ab 2
x y z
 x z

1  x y
 y z
 9     2      2      2    3
2  y x
 z y
 z x

2
2
2
1   x  y  x  z  y  z 

1
3
 9 


  3  .9  3 
2 
xy
xz
yz 
2
2

 x  y

2

 x  z


2

 y  z


2

 0)
xy
xz

yz
a
b
c
3
Vậy


 . Dấu "  " xảy ra  a  b  c
bc c a a b 2
a2
b2
c2
a
b
c
 2



Chứng minh : 2 2  2
2
2
b c c a
a b bc c a a b

(Vì

(2)

Thật vậy, do vai trò của a, b, c như nhau nên không mất tính tổng quát , ta có thể
giả sử : a  b  c
Xét hiệu :
 a2
b2
c2   a
b
c 





 2

2
2
2
2
2 
c a
a b  bc ca ab
b c
 a2
a   b2
b   c2
c 
 2











2
2
2
c  a   a 2  b2 a  b 
b c bc c a

 a b  ab    a c  ac   b a  ba   b c  bc    c a  ca    c b  cb 

b  c  b  c 
c  a c  a 
a  b a  b
2

2

2



2

2

2

2

ab  a  b   ac  a  c 

b

2

 c2  b  c 

2

2



2

2

2

2

ab  a  b   bc  b  c 

c

2

 a2 c  a 

2

2



2

2

ac  a  c   bc  b  c 

a



1
1

 ab  a  b   2

 b  c2  b  c   c2  a2   c  a  





1
1

bc  b  c   2

  c  a 2   c  a   a 2  b2   a  b  


Vì giá trị của các biểu thức trong ngoặc đều không âm
a
b
c
a2
b2
c2


 2 2 2

Vậy
b  c c  a a  b b  c c  a2 a2  b2
Từ (1) và (2) suy ra đpcm . Dấu "  " xảy ra khi a  b  c

2

 b2   a  b 

2