tai lieu chu de day so
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (918.55 KB, 31 trang )
CHỦ ĐỀ DÃY SỐ
I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1) Định nghĩa dãy số
Mỗi hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên dương * được gọi là một dãy số vơ hạn (gọi tắt là
dãy số). Kí hiệu:
u:
n u n
Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển u1 , u2 , u3 ,..., un ,..., , trong đó un u n hoặc viết tắt là
un , và gọi u1 là số hạng đầu, un là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số.
2) Định nghĩa dãy số hữu hạn
Mỗi hàm số u xác định trên tập M {1, 2,3,..., m} với m * được gọi là một dãy số hữu hạn.
3) Dãy số tăng và dãy số giảm
+) Dãy số un được gọi là tăng nếu un1 un , n * .
+) Dãy số un được gọi là giảm nếu un1 un , n *
4) Dãy số bị chặn
+) Dãy số un được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho un M , n * .
+) Dãy số un được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho un m, n *
+) Dãy số un được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại hai số M, m
sao cho m un M , n * .
Các dấu " =" nêu trên không nhất thiết phải xảy ra.
II. PHÂN DẠNG TỐN VÀ HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA
Dạng 1. Xác định dãy số
Ví dụ 1. Viết 5 số hạng đầu tiên của dãy số. Dự đốn cơng thức un và chứng minh cơng thức đó bằng
phương pháp quy nạp?
u1 1
un 1 un 2n 1; n 1
a)
u1 1
un 1 un 3; n 1
b)
Lời giải:
u1 1
u1 1; u2 u1 3 4; u3 u2 5 9; u4 u3 7 16; u5 u4 9 25
un 1 un 2n 1
a)
Từ đó ta có thể nhận thấy un n 2 ; n 1 ,
Trang 1
Ta chứng minh * bằng quy nạp.
+) Với n 1 ta có u1 1 , vậy * đúng.
+) Giả sử * với n k , tức là uk k 2 , k 1.
+) Ta cần chứng minh * với n k 1 , tức là uk 1 k 1 ; k 0
2
Thật vậy uk 1 uk 2k 1 k 2 2k 1 (k 1) 2 * đúng.
Vậy un n 2 ; n 1 .
u1 1
u1 1; u2 u1 3 2; u3 u2 3 5; u4 u3 3 8; u5 u4 3 11
un 1 un 3
b)
Từ đó ta có thể nhận thấy un 3n 4,
*
Ta chứng minh * bằng quy nạp.
+) Với n 1 ta có u1 1 , vậy * đúng với n 1 .
+) Giả sử * với n k , tức là uk 3k 4 .
+) Ta cần chứng minh * đúng với n k 1 , tức là uk 1 3 k 1 4
Thật vậy uk 1 uk 3 3k 4 3 3k 1 3(k 1) 4 * đúng.
Vậy un 3n 4 .
u1 3
. Viết 5 số hạng đầu tiên của dãy số.
2
un 1 1 un ; n 1
Ví dụ 2. Cho dãy số
Dự đốn cơng thức un và chứng minh cơng thức đó bằng phương pháp quy nạp?
Lời giải:
u1 3
2
2
2
un 1 1 un u1 3 9; u2 1 u1 10; u3 1 u2 11
Từ giả thiết ta có:
u4 1 u32 12; u5 1 u42 13 . Ta nhận thấy un n 8 ,
*
Ta chứng minh * bằng quy nạp.
+) Với n 1 ta có u1 3 , vậy * đúng với n 1 .
+) Giả sử * đúng với n k , tức là uk
k 8 .
+) Ta cần chứng minh * đúng với n k 1 , tức là uk 1
k 1 8
k 9
Thật vậy uk 1 1 uk2 1 k 8 k 9 * đúng.
Vậy un n 8 .
Trang 2
Ví dụ 3. Cho dãy số un
u1 1
xác định bởi công thức
3 2 5
un 1 2 un 2 un 1; n 1
a) Tính u2 ; u3 ; u4 .
b) Chứng minh rằng un3 un , n * .
Lời giải:
a) Ta có:
u1 1
3
5
3
5
3
5
u2 u12 u1 1 2; u3 u22 u2 1 0; u4 u32 u3 1 1
3 2 5
2
2
2
2
2
2
un 1 2 un 2 un 1
b) Ta chứng minh un 3 un , * n * bằng quy nạp.
+) Với n 1 ta có u4 u1 , đúng theo phần a.
+) Giả sử * với n k , tức là uk 3 uk .
+) Ta cần chứng minh * với n k 1 , tức cần chứng minh uk 4 uk 1
3
2
Thật vậy, theo cách cho dãy số ta có uk 4 uk2 3
5
3
5
uk 3 1 uk2 uk 1 uk 1 * đúng.
2
2
2
Vậy un3 un , n * .
Dạng 2. Xét tính đơn điệu của dãy số.
Phương pháp giải:
• Dãy số (un) được gọi là tăng nếu un un l ; n N *.
• Dãy số (un) được gọi là giảm nếu un un l ; n N *. Phương pháp khảo sát tính đơn điệu của một
dãy số
■ Phương pháp 1: Xét hiệu H un 1 un
+) Nếu H > 0 thì dãy số đã cho là dãy tăng.
+) Nếu H < 0 thì dãy số đã cho là dãy giảm.
■ Phương pháp 2: Nếu un 0 thì ta lập tỉ số T
un 1
un
+) Nếu T 1 un 1 un dãy số đã cho là dãy tăng.
+) Nếu T 1 un 1 un dãy số đã cho là dãy giảm.
Trang 3
Ví dụ 1. Xét tính đơn điệu của dãy số sau:
b) un
a) un 2n 3
n
2n
Lời giải:
a) Ta có: un 2n 3; un1 2( n 1) 3 2n 5 un 1 un (2n 5) (2n 3) 0
Suy ra un 1 un dãy số đã cho là dãy tăng.
b) Ta có: un
Giả sử:
Vậy
n
2n
; un 1
n 1
un 1
n 1 2n 1 n 1 1 n 1
2n 1
un
2 n1
2
n
n 2
n
un 1 1 n 1
1 n 1
1
1 n 1 4n 3n 1 vô lý.
un
2
n
4 n
un1
1 un 1 un dãy số đã cho là dãy số giảm.
un
Ví dụ 2. Xét tính đơn điệu của dãy số sau:
a) un
n
n 1
b) un
2
n 1 n
n
Lời giải:
a) Ta có: un
n
n 1
n 1
; un1
2
2
n 1
( n 1) 1 n 2n 2
2
(n 1) n 2 1 n n 2 2n 2
n 1
n
un1 un 2
n 2n 2 n 2 1
n 2 1 n 2 2n 2
n 3 n 2 n 1 n3 2n 2 2 n
n 2 n 1
0n 1 un là dãy số giảm.
n2 1 n2 2n 2
n2 1 n2 2n 2
b) un
n 1 n
n
n 1
n2
1 un1
1
n
n 1
n 2 n 1
n2
n 1 n n 2 (n 1) n 1
1
1
n
1
n
n
1
n
n( n 1)
Khi đó ta có: un1 un
Giả sử: un1 un 0 n n 2 ( n 1) n 1 0 n n 2 ( n 1) n 1
n 2 ( n 2) (n 1)3 n3 2n 2 n3 3n 2 3n 1 n 2 3n 1 0 vô lý.
Vậy un1 un 0 un là dãy số giảm.
Ví dụ 3. Xét tính đơn điệu của dãy số sau:
a) un
1
2
n
b) un
n 1
n 1
Lời giải:
Trang 4
a) un
1
1
1
1
1
2 un 1
2 un1 un
2 2
0 un 1 un
n
n 1
n n 1
n 1 n
Vậy dãy số un là dãy số giảm.
b) un
n 1
2
1
n 1
n 1
Khi đó: un1 1
2
2
2
2
un1 un 1
0 un 1 un
1
n2
n 2 n 1 n 1 n 2
Vậy dãy số un là dãy số tăng.
Ví dụ 4. Xét tính đơn điệu của các dãy số sau:
a) un
2n 1
5n 2
b) un 2n 2 5
Lời giải:
a) un
2n 1 2
1
2
1
un 1
5n 2 3 5 5n 2
5 5 5n 7
2
Khi đó: un1 un
5
2
1
1
1
0 un 1 un .
5 5n 7 5 5 5 n 2
5n 2 5n 7
Vậy un là dãy số giảm.
b) un 2n 2 5 un 1 2 n 1 5
2
Khi đó un1 un 2 n 1 5 2n 2 5 4n 2 0 un 1 un un là dãy số tăng
2
Ví dụ 5. Xét tính đơn điệu của dãy số sau:
a) un
2n 2 1
n2 1
b) un
n 1 n
Lời giải:
a) un
2n 2 1
3
3
2 2
un1 2
2
2
n 1
n 1
n 1 1
Với n N * n 1 n 2
1
2
n 1
2
1
1
3
3
2
2 2
un 1 un
2
n 1
n 1
n 1 1
2
un là dãy số tăng.
b) un
n 1 n
Do n * nên
1
n n 1
un1
1
n 1 n 2
n 2 n 1 n 1 n un1
1
1
un
n 2 n 1
n 1 n
Trang 5
un1 un un là dãy số giảm.
Ví dụ 6. Xét tính đơn điệu của các dãy số sau:
a) un
3n 2 2n 1
n 1
a) un
3n 2n 1
6
6
3n 5
un1 3n 2
n 1
n 1
n 1
n 1 1
n
b) un
Lời giải:
2
Khi đó: un1 un 3n 2
6
6
6
3n 5
3
n2
n 1
( n 1)(n 2)
n 1
6
6
( n 1)(n 2) 6
1 3
2 un 1 un
( n 1)(n 2)
( n 1)(n 2)
n N
Với
un là dãy số tăng.
b) Ta có: un
n 1 1
n
n
n
n 1 1
1
n 1 1
Khi n tăng thì dễ thấy mẫu số tăng, phân số giảm nên dãy số đã cho là dãy số giảm.
Ví dụ 7. Xét tính tăng - giảm của dãy số un với un
3n
.
2n1
Lời giải:
Ta có: un1
n 1
n 1
n 1
u
3
3
2
3
n 1 n 2 n 1
n2
2
un
2
3
2
Do un 0, n * un1 un , n * un tăng.
Ví dụ 8. Xét tính tăng - giảm của dãy số un với un
n
2n
.
Lời giải:
un 1
n 1
n 1 2n 1 n 1 1
1
Ta có: un1 n1
n1
1
2
un
2
n
2
n
n 2
Với n * n 1
u
1
1
1 n 1
2 1
n
un
2
Mà un 0, n * un1 un , n * u n giảm.
Ví dụ 9. Xét tính tăng - giảm của dãy số un
3n
với un 2 .
n
Lời giải:
Trang 6
2
3n 1
un 1
3n 1 n 2
un
1 1
n
Ta có: un1
n 3
1
2
2
( n 1)
un
( n 1) 3
un 1 3 n
n 1
Khi đó:
2
un
1
1
1
mà n * n 1 .
1 1 3 3 1 n
un1
n
n
3 1
un
1
1
1
1 1 3 3 1 n
mà n * n 2 .
un1
n
n
3 1
un1 un n 1
un1 un n 2
Hơn nữa un 0, n * nên
Do đó u1 u2 và u2 u3 un un 1 un không tăng và cũng khơng giảm.
Ví dụ 10. Xét tính tăng - giảm của dãy số un với un n n 1 .
Lời giải:
Ta có: un1
Lại có:
n 1 n un1 un n 1 2 n n 1 .
2
n 1 n 1 2 n
2
2n 2 n 2 1 4n 2
n 2 1 n 0, n *
n 1 n 1 2 n , n * un 1 un 0, n * un giảm.
Ví dụ 11. Với giá trị nào của a thì dãy số un , với un
na 2
n 1
a) là dãy số tăng.
b) là dãy số giảm.
Lời giải:
Ta có: un
na 2
2a
2a
a2
a
un 1 2
un 1 un
.
n 1
n 1
n2
n 1 n 2
a) Để un là dãy số tăng thì un1 un
a2
0 a 2.
n 1 n 2
b) Để un là dãy số giảm thì un1 un
Ví dụ 12. Cho dãy số ( un ) với un
a2
0a2
n 1 n 2
n a2
( a là tham số thực). Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của a
n 1
để dãy số un tăng.
A. 2
C. 3
B. 1
D. 4
Lời giải:
Ta có un 1
a 1
a 1
u n 1 1
n 1
n2
2
2
Trang 7
1
1
1
2
u n 1 u n a 2 1
a 1
(n 1)(n 2)
n 2 n 1
Mà un tăng nên un 1 un 0 a 2 1
1
0 a 2 1 0 1 a 1 .
(n 1)(n 2)
Hơn nữa a a 0. Chọn B.
Ví dụ 13. Cho các dãy số un , vn , wn Với un n 2 , vn
1
, wn 3n n. Hỏi có bao nhiêu dãy số là
n 1
dãy số tăng ?
A. 2
B. 1
C. 3
D. 0
Lời giải:
Ta có un 1 ( n 1) un 1 un 2n 1 0, n * un tăng.
2
vn 1
1
1
1
1
vn 1 vn
0, n * vn giảm.
n2
n 1 n
n(n 1)
wn 1 3n 1 (n 1) 3.3n n 1 wn 1 wn 2.3n 1
Với n * n 1 wn 1 wn 0, n * wn tăng. Chọn A.
Dạng
3. Xét tính bị chặn của dãy số
Phương pháp giải:
• Dãy số (un) được gọi bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho un M ; n N *.
• Dãy số (un) được gọi bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho un m; n N *.
• Dãy số (un) được gọi bị chặn nếu tồn tại một số M và m sao cho m un M ; n N *.
Chú ý:
+) Trong các điều kiện về bị chặn ở trên thì không nhất thiết phải xuất hiện dấu ‘’
+) Nếu một dãy số tăng thì ln bị chặn dưới bởi u1 ; cịn dãy số giảm thì bị chặn trên bởi u1 .
Ví dụ 1. Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
n2 1
a) un 2
2n 3
b) un
7n 5
5n 7
Lời giải:
3
5
1
5
a) Viết lại un dưới dạng: un 2 2
2 n 3 2 2 n 2 3 2 2 2n 2 3
n2
Trang 8
1
n 0 u0 3
Với n 1 u1 2
un 2
1
n 2 2n 2 3 0 un
2
Xét:
un 1
( n 1) 2 1 2n 2 3
un
2(n 1) 2 3 n 2 1
Nhận thấy un 0 thì
un1
1 n 2 2n 2 2n 2 3 n 2 1 2n 2 4n 1
un
4n 4 3n 2 4n3 6n 4n 2 6 4n 4 4n3 n 2 2n 2 4n 1 n 2 6n 6 n 2 4n 1
0 10n 5 n *
Do đó: un1 un u2 1
Vậy 2 un 1 un bị chặn.
7
24
(5n 7)
7n 5 5
24
7
5
5 7
b) Viết lại un dưới dạng un
n un
5n 7
5n 7
5 5(5n 7) 5
7
Do đó,
5
7
un un bị chặn
7
5
Ví dụ 2. Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
a) un
1
b) un
2n 3
2
1
n n 1
Lời giải:
1
n 0 u0
3
a) Với
n 1 u1 1
un 1
n 2 2n 2 3 0, u 0
n
Xét
un1
2n 2 3
1 n n 1
un
2(n 1) 2 3
Do đó, suy ra: un un 1 u2
1
1
. Vậy 1 un un bị chặn.
5
5
b) Ta dễ dàng thấy:
un 0 do đó nó bị chặn dưới.
Vì n( n 1) 2 un
Vậy ta được 0 un
1
do đó nó bị chặn trên.
2
1
, do đó nó bị chặn.
2
Trang 9
Ví dụ 3. Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
a) un
1
b) un
2n 1
2
n 1
n2 1
Lời giải:
a) Với n 0 u0 1n N * : 2n 2 1 0 nên un 0
do đó: un 1 n
un 1
2n 2 1
Xét
1 n n 1
un
2(n 1) 2 1
Do đó, suy ra un un 1 u2 u1 1
Vậy 1 un 1 un bị chặn.
b) Với n 0 u0 1 n N * : n 1 0 và
n 2 1 0 nên un 0
do đó un 1 n
Và n ,
n 1
n2 1
1 , vậy 1 un 1 un bị chặn.
Ví dụ 4. Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
a) un
2n 2
.
n2 1
b) un
2n 2 2 n 1
.
n2 n 4
Lời giải:
2n 2 0
a) Vì 2
n N un 0
n 1 0
Mặt khác, un
2 n2 1 2
n 1
2
2
2
2. Vậy 0 un 2 un bị chặn.
n 1
2
2n 2 2n 1 2 n 2 1 1 0
b) Vì
n N un 0
2
n
n
4
n
(
n
1)
4
0
2
2n 2 2n 1 2 n n 4 7
7
Mặt khác, un 2
2 2
2
2
n n4
n n4
n n4
Vậy 0 un 2 un bị chặn.
Ví dụ 5. Cho dãy số un , với un
3n ( 1) n
4n (1) n 1
a) Tính 6 số hạng dầu tiên của dãy, nêu nhận xét về tính đơn điệu của dãy số.
b) Tính u2n và u2 n 1 . Chứng minh rằng 0 un
3n 4
.
4n 1
Trang 10
Lời giải:
2
8
13
16
19
a) Ta có: u1 ; u2 1; u3 ; u4 ; u5 ; u6 , nhận xét thấy dãy số không tăng cũng không
5
13
15
21
23
giảm.
6n 1
u 2 n 8n 1
b) Ta có
6n 2
u
2 n 1
8n 5
Tổng quát, với n 2k ( k 1, k Z ) un
3n 1
3n 1
0 un
4n 1
4n 1
u 0
3n 1 n
3n 4
Vói n 2k 1(k 0, k Z ) un
3n 1 3n 4 3n 4 0 un
4 n 1 u n
4n 1
4n 1 4 n 1 4 n 1
Vậy với mọi n thì 0 un
3n 4
4n 1
Ví dụ 6. Xét tính bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn của các dãy số ( un ) cho bởi:
a) un
2n 3
n2
b) un
1
n(n 1)
Lời giải:
a) un 1 un
2n 5 2n 3
1
0 nên dãy là dãy tăng.
n3
n 2 (n 3)(n 2)
Hơn nữa un
2n 3 2(n 2) 1
1
5
2
1 un bị chặn trên bởi 2, chặn dưới bởi u1 .
n2
n2
n2
3
Vậy dãy đã cho bị chặn.
b)
un 1
n( n 1)
n
1
1 dãy là dãy giảm và bị chặn trên bởi u1 .
2
un
(n 1)(n 2) n 2
Ví dụ 7. Xét tính bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn của các dãy số un cho bởi:
a) un
n 2 2n
n2 n 1
b) un
n
n 2 2n n
Lời giải:
a) un 1 un
n 2 2 n 1 2n 2
n2 2n
n 2 4n 3 n 2 2n
0 và
n 2 2n 1 n 1 1 n 2 n 1 n 2 3n 3 n 2 n 1
un
n 2 2n
n2 n 1 n
n
1 2
1
2
2
n n 1
n n 1
n n 1
Nên dãy đã cho là dãy tăng, bị chặn dưới bởi 1.
b) Ta có un
n
n 2 2n n
n ( n 2 2n n )
2n
n 2 2n n
0 . Lại có
2
Trang 11
un 1
un
n 2 4n 3 n 1
n 2n n
2
1 n 2 4n 3 n 2 2n 1
n 2 4n 3 n 2 2n 1 2 n 2 2n n 1 n 2 2n n 2 2n 1 n 2 2n (*)
Do (*) hiển nhiên đúng nên ta có dãy đã cho là dãy tăng, và bị chặn dưới bởi u1
n
Hơn nữa un
n 2n n
2
1
.
3 1
n
1 un bị chặn trên bởi 1 . Vậy dãy đã cho bị chặn.
n
n3
giảm và bị chặn.
n 1
Ví dụ 8. Chứng minh rằng dãy số un
Lời giải:
Xét: un 1 un
=
n 4 n 3 n 4 n 1 n 2 n 3
n 2 n 1
n 2 n 1
n 2 5n 4 n 2 5n 6
2
n 2 n 1
n 2 n 1
Nhận thấy un 1 un 0 un 1 un , do đó, dãy số un giảm
Viết lại un dưới dạng un 1
2
1 un bị chặn dưới
n 1
Ví dụ 9. Chứng minh rằng dãy số un
1
1
1
1
tăng và bị chặn trên.
1.2 2.3 3.4
n(n 1)
Lời giải:
Viết lại un dưới dạng
un
2 1 3 2 4 3
(n 1) n
1 1 1 1 1
1
1
1
1
1
1.2
2.3
3.4
n( n 1)
2 2 3 3 4
n n 1
n 1
Xét hiệu: un 1 un 1
Nhận thấy un 1
1
1
1
1
1
0 un tăng
n 2 n 1 n 1 n 2
1
1 un bị chặn trên.
n 1
Ví dụ 10. Chứng minh rằng dãy số un
n2 1
là một dãy số bị chặn.
2n 2 3
Lời giải:
3
5
1
5
Viết lại un dưới dạng un 2 2
2
2n 3 2 2n 3
2 2 2n 2 3
n2
Trang 12
1
n 0 u0
3
Với
n 1 u1 2
u n 2
1
n 2 2n 2 3 0 un
2
Xét
un 1
(n 1) 2 1 2n 2 3
un
2(n 1) 2 3 n 2 1
Nhận thấy: với un 0 thì
un 1
1 n 2 2 n 2 2n 2 3 n 2 1 2 n 2 4n 1
un
4n 4 3n 2 4n3 6n 4n 2 6 4n 4 4n3 n 2 2n 2 4n 1 n 2 6n 6 n 2 4n 1
0 10n 5 n N
Do đó, un 1 un u2 1. Vậy 2 un 1 un bị chặn
u1 0
Ví dụ 11. Chứng minh rằng dãy số
1
un 1 2 un 4
a) Chúng minh rằng un 8 .
b) Chứng minh rằng dãy số tăng và bị chặn.
Lời giải:
a) Giả sử tồn tại un 8 un 1 2 un 4 8
Như vậy nếu tồn tại un 8 thì un 1 8, cũng suy ra un 2 , un 3 u2 , u1 8 Vơ lí do u1 0 8. Nên điều
giả sử là sai. Suy ra un 8
1
u
8 un
b) Xét un 1 un un 4 un 4 n
0 un 1 un
2
2
2
Suy ra dãy tăng. Mà un 8 và u1 0 un 0. Suy ra dãy bị chặn dưới.
Vậy dãy tăng và bị chặn.
u1 1
Ví dụ 12. Chứng minh rằng dãy số
un 2
un 1 u 1
n
a) Tìm 5 số hạng đầu tiên của dãy số
b) Chứng minh rằng dãy số bị chặn dưới bởi 1 và bị chặn trên bởi
3
2
Lời giải:
7
3
17
2
2
2
1 2 3
7
17
41
a) u1 1; u2
; u3 2
; u4 5
; u5 12
3
7
17
11 2
1 5
1 12
1 29
2
5
12
Trang 13
b) u1 1 0 un 0 suy ra un 1 1
1
1
un 1
v1 1 2
Đặt un vn 2 , ta có
vn 2 2
v (1 2)
1
1
1 2
vn 1 n
vn 1 2
vn 1 1 2
vn
vn 2 1
vn 1 2
Đặt xn
x 1 2
1
1
vn
xn 1 1 2 (1 2) xn
(1 2)2
1 2
y1
Đặt yn xn
2
2
yn 1 (1 2) yn
Do yn là cấp số nhân công bội 1 2 yn
Suy ra xn
(1 2)2
(1 2) n 1
(1 2) n 1
2
2
1 2 (1 2)n 1
2
2
vn
un 2
n 1
2
2
1 2 (1 2)
1 2 (1 2) n 1
Vậy ta có đpcm.
u1 2
Ví dụ 13. Chứng minh rằng dãy số
tăng và bị chăn trên bởi 2.
un 1 un 2
Lời giải:
Ta có un 1
Giả sử tồn tại un 2 un 1 2 2 un 1 2
Như vậy, nếu tồn tại un 2 thì suy ra un 1 2 , từ đó cũng suy ra được un 2 , un 3 u2 , u1 2 vô lý
Do u1 2 2. Nên điều giả sử là sai.
Suy ra un 2
Xét un 1 un un 2 un
2 un 1 un 0
un 2 un2
un 2 u n
un 2 u n
Suy ra un 1 un , nên đây là dãy tăng.
Vậy dãy đã cho tăng và bị chặn trên bởi 2.
Ví dụ 14. Cho dãy số un xác đinh bởi u1 1 và un 1 un 7; n 1
a) Tính u2 , u4 và u6
b) Chứng minh rằng: un 7 n 6; n 1
Lời giải:
a) u2 u1 7 8, u4 u3 7 u2 7 7 8 14 22, u6 u5 7 u4 7 7 22 14 36
Trang 14
b) Xét mệnh đề un 7 n 6 với n 1
Với n 1, u1 1 đúng.
Giả sử mệnh đề đúng với n k , tức là uk 7 k 6, ta chứng minh đúng với n k 1 , tức là
uk 1 7(k 1) 6 7k 1
Thật vậy, uk 1 uk 7 7 k 6 7 7 k 1. (đpcm).
Vậy un 7 n 6
Ví dụ 15. Cho dãy số un xác định bởi u1 2 và un 1 5un n 1
a) Tính u2 , u4 và u6
b) Chứng minh rằng: un 2.5n 1; n 1
Lời giải:
a) u2 5u1 10, u4 5u3 5.5u2 25u2 2500, u6 25u4 2500.25 62500
b) Xét mệnh đề un 2.5n 1 với n 1
Với n 1, u1 2, mệnh đề đúng.
Giả sử mệnh đề đúng với n k , tức là uk 2.5k 1 , ta chứng minh đúng với n k 1, hay là chứng minh
uk 1 2.5k .
Thật vậy, uk 1 5uk 2.5k 1.5 2.5k
Vây ta có đpcm. Suy ra un 2.5n 1 .
Ví dụ 16. Cho dãy số un xác định bởi u1 2 và un 1 3un 2n 1; n 1
Chứng minh rằng: un 3n n; n 1
Lời giải:
Xét mệnh đề un 3 n với n 1
n
Với n 1 thì u1 2, mệnh đề đúng.
Giả sử mệnh đề đúng với n k , tức là uk 3k k , ta sẽ chứng minh đúng với n k 1, hay là chứng
minh uk 1 3k 1 k 1 .
Thật vậy uk 1 3uk 2k 1 3 3k k 2k 1 3k 1 ( k 1)
Vậy ta có đpcm. Suy ra un 3n n .
Ví dụ 17. Cho dãy số un xác định bởi u1 2 và un 1
un2 4
, n 1 Chứng minh rằng un là một
4
dãy không đổi.
Lời giải:
Trang 15
Ta có un 1
un2 4
, n 1 u2 2; u3 2 nên bài toán dúng với n 1; 2;3
4
Dãy không đổi với n k uk 1
uk2 4
u2 4 4 4
2. Với n k 1 thì uk 2 k 1
2
4
4
4
Do đó dãy khơng đổi với mọi số tự nhiên n.
Ví dụ 18. Cho dãy số un
1
u1
xác định bởi
3
un 1 4un 7
a) Tính u2 , u3 và u4
b) Chứng minh rằng uk
22 k 1 7
3
Lời giải:
1
25
121
505
u1
a) Ta có
u2 ; u3
; u4
.
3
3
3
3
un 1 4un 7
b) Ta có un
2 2 n 1 7
đúng với n 1;2;3;4 .
3
Giả sử công thức đúng với n k , suy ra uk
2 2 k 1 7
3
Ta chứng minh đúng với n k 1 .
Thật vậy uk 1 4uk 7 4
2 2 k 1 7
22 22 k 1 28 21 2 2( k 1) 1 7
7
3
3
3
Theo nguyên lý quy nạp ta có đpcm.
u1 6
Ví dụ 19. Cho dãy số un xác định bởi công thức
un 1 un 6
Chứng minh rằng un 3, n .
Lời giải:
Ta có u1 6 3; u2 6 6 6 9 3
Giả sử bài toán đúng với n k un 3. Ta chứng minh đúng với n k 1. Thật vậy
u n 1 un 6 3 6 3
Theo nguyên lí quy nạp ta có đpcm.
Ví dụ 20. Cho dãy số ( un ) xác định bởi un
n ( 1) n
.
2n 1
a) Tìm 5 số hạng đầu tiên của dãy số.
Trang 16
b) Chứng minh rằng ( un ) bị chặn.
Lời giải:
a) Ta có un
n (1)n
3
2
5
4
u1 0; u2 ; u3 ; u4 ; u5 .
2n 1
5
7
9
11
b) Ta có (1)n {1;1} n (1)n 0 un 0 nên dãy bị chặn dưới bởi 0.
Quan sát thấy dãy không tăng không giảm.
Hơn nữa un
n ( 1)n 2n 1 n ( 1) n 1
n 1 ( 1) n
.
1
2n 1
2n 1
2n 1
n 1 ( 1) n
n
1
1
1
2
n
1
2
n
1
n
Xét hai trường hợp 1 ( 1) {0;2}
n2
n 1 ( 1) n
1
1
1
2n 1
2n 1
Do đó dãy bị chặn trên bởi 1. Kết luận dãy số ban đầu bị chặn.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
n
. Năm số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là số nào dưới
n 1
Câu 1. Cho dãy số un , biết un
đây?
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
1 2 3 4 5
A. ; ; ; ; B. ; ; ; ; C. ; ; ; ;
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
2 3 4 5 6
Câu 2. Cho dãy số un , biết un
D.
2 3 4 5 6
; ; ; ;
3 4 5 6 7
n
. Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào
3 1
n
dưới đây?
A.
1 1 1
; ;
2 4 8
B.
1 1 3
; ;
2 4 26
C.
1 1 1
; ;
2 4 16
D.
1 2 3
; ;
2 3 4
un 1
Câu 3. Cho dãy số un , biết
với n 0 . Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là
un1 un 3
những số nào dưới đây?
A. 1; 2;5
B. 1; 4;7
Câu 4. Cho dãy số un , biết un
A. u5
1
4
B. u5
C. 4; 7;10
D. 1;3;7
2n 2 1
. Tìm số hạng u5 .
n2 3
17
12
C. u5
7
4
D. u5
71
39
Câu 5. Cho dãy số un , biết un ( 1) n .2n . Mệnh đề nào sau đây sai?
A. u1 2
B. u2 4.
C. u3 6.
D. u4 8
Trang 17
Câu 6. Cho dãy số un , biết un ( 1) n
A. u3
8
3
2n
. . Tìm số hạng u3 .
n
B. u3 2
D. u3
C. u3 2
8
3
u1 2
Câu 7. Cho dãy số un , biết
. Tìm số hạng u4 .
1
un 1 3 (un 1)
A. u4
5
9
C. u4
B. u4 1
2
3
D. u4
14
27
D. u5
63
16
u1 3
Câu 8. Cho dãy số un , biết
. Mệnh đề nào sau đây là sai.
un
un 1 2 2
A. u2
5
2
B. u3
Câu 9. Cho dãy số un , biết un
A. 8
15
4
C. u4
31
8
n 1
8
. Số
là số hạng thứ mấy của dãy số?
2n 1
15
B. 6
C. 5
D. 7
Câu 10. Cho dãy số un , biết un 2 n . Tìm số hạng un 1 .
A. un 1 2n.2
C. un 1 2 n 1
B. un 1 2n 1
D. un 1 2n 2
Câu 11. Cho dãy số un , biết un 3n . Tìm số hạng u2 n 1 .
A. u2 n 1 32.3n 1
B. u2 n 1 3n.3n1
D. u2 n 1 3
2 n 1
C. u2 n 1 32 n 1
Câu 12. Cho dãy số un , biết un 5n 1 . Tìm số hạng un 1 .
A. un 1 5n 1
n 1
Câu 13. Cho dãy số un , biết un
n 1
n 1
A. un 1
n 1
C. un 1 5.5n 1
B. un 1 5n
2 n 1 3
D. un 1 5.5n 1
2 n 3
n 1
B. un 1
n 1
. Tìm số hạng un1 .
2 n 1 3
n
C. un 1
n2
2 n 3
n
D. un 1
n2
2 n 5
1 2 3 4
Câu 14. Dãy số có các số hạng cho bởi: 0; ; ; ; ;... có số hạng tổng quát là công thức nào dưới đây?
2 3 4 5
A. un
n 1
n
B. un
n
n 1
C. un
n 1
n
D. un
n2 n
n 1
Câu 15. Dãy số có các số hạng đầu là: 1;1; 1;1; 1... có số hạng tổng quát là công thức nào dưới đây?
A. un 1
B. un 1
C. un 1
n
D. un 1
n 1
.
Câu 16. Dãy số có các số hạng đầu là: 2;0; 2; 4;6;... Số hạng tổng quát của dãy số này là công thức nào
dưới đây?
Trang 18
A. un 2n
B. un n 2
C. un 2( n 1)
D. un 2n 4
u1 2
Câu 17. Cho dãy số un , biết
. Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?
un1 2un
A. un n n 1
B. un 2n
C. un 2n 1
D. un 2
1
u1
Câu 18. Cho dãy số un , biết
Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?
2
un1 un 2
A. un
1
2( n 1)
2
B. un
1
2( n 1)
2
C. un
1
2n
2
D. un
1
2n
2
u 2
Câu 19. Cho dãy số un , được xác định 1
. Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng
un 1 un 2n 1
nào dưới đây?
A. un 2 (n 1) 2
B. un 2 n 2
C. C un 2 (n 1) 2
D. un 2 (n 1)2
u1 1
Câu 20. Cho dãy số un , được xác định
. Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào
2
un 1 un n
dưới đây?
A. un 1
n(n 1)(2n 1)
6
B. un 1
n(n 1)(2n 2)
6
C. un 1
n(n 1)(2n 1)
6
D. un 1
n(n 1)(2n 2)
6
u1 2
Câu 21. Cho dãy số un , được xác định
1 . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng
un 1 2 u
n
nào dưới đây?
A. un
n 1
n
B. un
n 1
n
C. un
n 1
n
D. un
n
n 1
u1 1
Câu 22. Cho dãy số un , được xác định
. Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng
2n
un 1 un ( 1)
nào dưới đây?
A. un 1 n
B. un 1 n
C. C un 1 (1)2 n
D. un n
Câu 23. : Cho dãy số un có số hạng tổng quát là un 2.3n với n * . Cơng thức truy hồi của dãy số
đó là
u 6
A. 1
un 6un 1 , n 1
u 6
B. 1
un 3un1 , n 1
u 3
C. 1
un 3un1 , n 1
u 3
D. 1
un 6un 1 , n 1
Trang 19
a1 3
Câu 24. Cho dãy số an , được xác định
. Mệnh đề nào sau đây sai?
1
a
a
,
n
1
a
1
n
2
A. a1 a2 a3 a4 a5
C. an 1 an
93
16
9
2n
B. a10
3
512
D. an
3
2n
Câu 25. Cho các dãy số sau. Dãy số nào là dãy số tăng?
1 1 1 1
B. 1; ; ; ;
2 4 8 16
A. 1;1;1;1;1;1;
1 1 1 1
D. 1; ; ; ; ;
2 4 8 16
C. 1;3;5;7;9;
Câu 26. Trong các dãy số ( un ) cho bởi số hạng quát un sau, dãy số nào là dãy số tăng?
A. un
1
2n
B. un
1
n
C. un
n5
3n 1
D. un
2n 1
n 1
Câu 27. Trong các dãy số un cho bởi số hạng quát un sau, dãy số nào là dãy số tăng?
A. un
2
3n
B. un
3
n
C. un 2n
D. un ( 2)n
Câu 28. Trong các dãy số un cho bởi số hạng quát un sau, dãy số nào là dãy số giảm?
A. un
1
2n
B. un
3n 1
n 1
D. un n 2
C. un n2
Câu 29. Trong các dãy số un cho bởi số hạng quát un sau, dãy số nào là dãy số giảm?
B. un
A. un sin x
n2 1
n
C. C un n n 1
D. un (1) n 2 n 1
Câu 30. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Dãy số un
1
2 là dãy tăng.
n
B. Dãy số un ( 1) n 2n 1 là dãy giảm.
C. Dãy số un
n 1
là dãy giảm.
n 1
D. Dãy số un 2n cos
1
là dãy tăng.
n
Câu 31. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Dãy số un
1 n
là dãy giảm.
n
B. Dãy số un 2n 2 5 là dãy tăng.
n
1
C. Dãy số un 1 là dãy giảm.
n
Câu 32. Cho dãy số un , biết
A.
1
3
D. Dãy số un n sin 2 n là dãy tăng.
3n 1
. Dãy số un bị chặn trên bởi số nào dưới đây?
3n 1
B. 1
C.
1
2
D. 0
Câu 33. Trong các dãy số un cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào bị chặn trên?
Trang 20
A. un n2
B. un 2n
C. un
1
n
D. un n 1
Câu 34. Cho dãy số un , biết un cos n sin n . Dãy số un bị chặn trên bởi số nào dưới đây?
A. 0
B. 1
C.
2
D. Không bị chặn dưới
Câu 35. Cho dãy số un , biết un sin n cos n. Dãy số un bị chặn dưới bởi số nào dưới đây?
B. 1
A. 0
C. 2
D. Không bị chặn trên.
Câu 36. Cho dãy số un , biết un 3 cos n sin n. Dãy số un bị chặn dưới và chặn trên lần lượt bởi
các số m và M nào dưới đây?
A. m 2; M 2
1
B. m ; M 3 1
2
C. m 3 1; M 3 1
1
1
D. m ; M
2
2
Câu 37. Cho dãy số un , biết un ( 1) n 52 n 5 Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Dãy số un bị chặn trên và không bi chặn dưới. B. Dãy số un bị chặn dưới và không bị chặn trên.
C. Dãy số un bị chặn.
D. Dãy số un không bị chặn.
Câu 38. Cho dãy số un , với un
1
1
1
, n 1; 2;3 Mệnh đề nào sau đây đúng?
1.4 2.5
n(n 3)
A. Dãy số un bị chặn trên và không bi chặn dưới. B. Dãy số un bị chặn dưới và không bị chặn trên.
C. Dãy số un bị chặn.
D. Dãy số un không bị chặn.
Câu 39. Cho dãy số un , với un
1 1
1
2 , n 2;3; 4; Mệnh đề nào sau đây đúng?
22 32
n
A. Dãy số un bị chặn trên và không bi chặn dưới. B. Dãy số un bị chặn dưới và không bị chặn trên.
C. Dãy số un bị chặn.
D. Dãy số un không bị chặn.
Câu 40. Trong các dãy số ( un ) sau đây, dãy số nào là dãy số bị chặn?
A. un n 2 1
B. un n
1
n
C. un 2n 1
D. un
n
n 1
Câu 41. Trong các dãy số ( un ) cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào bị chặn?
A. un
1
2n
B. un 3n
C. un n 1
D. un n2
u1 6
Câu 42. Cho dãy số ( un ), xác định bởi
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
*
un 1 6 un , n
A.
6 un
5
.
2
B.
6 un 3 .
C.
6 un 2 .
D.
6 un 2 3 .
Trang 21
Câu 43. Cho dãy số un , với un sin
n 1
A. Số hạng thứ n 1 của dãy là un 1 sin
. Khằng định nào sau đây là đúng?
n 1
C. Dãy số un là một dãy số tăng.
B. Dãy số un là dãy số bị chặn.
D. Dãy số un không tăng không giảm.
Câu 44. Cho dãy số un , với un ( 1) n . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Dãy số un là dãy số tăng.
B. Dãy số un là dãy số giảm.
C. Dãy số un là dãy số bị chặn.
D. Dãy số un là dãy số không bị chặn.
Câu 45. Cho dãy số ( un ) với un ( 5) n . Khằng định nào sau đây đúng?
A. u4 625
B. u3 125
D. u8 58
C. u6 15625
u 1
Câu 46. Cho dãy số 1
(n 1), tính số hạng thứ 33 của dãy.
3
un 1 un n
A. 278788
B. 278786
C. 278787
D. 278785
Câu 47. Cho dãy số un thỏa mãn u1 2 và un1 2 un với mọi n 1. Tim u2018 .
A. u2018 2 cos
2
2017
B. u2018 2 cos
2
2019
C. u2018 2 cos
Câu 48. Cho dãy số un có số hạng tổng quát un sin
22018
D. u2018 2
n
với n * . Đặt S n u1 u2 un Tìm
2
khẳng định đúng trong các khằng định sau.
A. S 2020 0
B. S 2019 0
C. S 2017 0
Câu 49. Cho dãy số un thỏa mãn u1 2018 và un1
un
un
1 un2
D. S 2018 0
với mọi n 1 . Giá trị nhỏ nhất của n để
1
bằng
2018
A. 4072326
B. 4072324
C. 4072325
D. 4072327
Câu 50. Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số giảm
A. un n2
B. un 2n
2n 1
n 1
C. un n3 1
D. un
C. un n 2
D. un n3 1
Câu 51. Trong các dãy số sau, dãy số nào bị chặn
A. un
2n 1
n 1
B. un 2n sin n
Câu 52. Trong các dãy số un sau đây, hãy chọn dãy số bị chặn.
A. un n 2 1
B. un 2n 1
C. un n
1
n
D. un
n
n 1
Trang 22
Câu 53. Trong các số hạng tổng quát sau, đâu là số hạng tổng quát của một dãy số giảm?
A. un
2n 1
n
B. un n3 1
D. un 2n
C. un n 2
Câu 54. Dãy số nào sau đây giảm?
A. un
n5
, n *
4n 1
B. un
C. un 2n3 3, n *
5 3n
, n *
2n 3
D. un cos(2n 1), n *
Câu 55. Cho dãy số un với un
A. Số hạng thứ 9 của dãy số là
(1)n1
. Khẳng định nào sau đây là sai?
n 1
1
10
B. Dãy số un bị chặn.
C. Dãy số un là một dãy số giảm.
D. Số hạng thứ 10 của dãy số là
1
.
11
Câu 56. Trong các dãy số ( un ) sau, dãy số nào không phải là dãy đơn điệu?
A. un (1)2 n1 3n
1
1
n n 1
B. un
C. un 3n 2 n3
D. un n 1 n
u1 0
Câu 57. Cho dãy số un xác định bởi
Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để un 1024
un 1 2un 2, n 1
A. 10
B. 12
C. 11
D. 13
Câu 58. Cho dãy số ( un ) với un 3n . Khi đó, số hạng u2 n 1 bằng
A. 3n 3n1
B. 32 n1 1
C. 32 n 1
D. 32 3n 1
Câu 59. Cho dãy số un (1) n . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây?
A. Bị chặn.
B. Dãy số tăng.
C. Dãy số giảm.
D. Không bị chặn.
Câu 60. Cho dãy số có cơng thức tổng quát là un 2 n thì số hạng thứ n 3 là
A. un 3 23
B. un 3 6n
C. un 3 6.2n
D. un 3 8.2n
u 1, u2 2
Câu 61. Cho dãy số un thỏa mãn 1
. Số hạng tổng quát của
un 1 2un un 1 3( n N , n 2)
dãy số có dạng un
A. 2
an 2 bn c
(n , n 3). Khi đó a b c bằng
2
B. 16
C. 4
D. 6
Câu 62. Trong các dãy số ( un ) có số hạng tổng quát un dưới đây, dãy số nào là dãy bị chặn?
A. un n 2 2
B. un
Câu 63. Cho dãy số un với un
n
2n 1
C. un 3n 1
D. un n
2
n
n2
, n 1. Tìm khẳng định sai.
3n 1
Trang 23
A. u3
1
10
B. u10
8
31
C. u21
19
64
D. u50
47
150
Câu 64. Cho dãy số un xác định bởi u1 3, un1 un n, n * . Tìm số hạng thứ 2019.
A. 2037168
B. 2037171
C. 2037176
D. 2035158
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN
1-A
2-B
3-A
4-C
5-D
6-C
7-A
8-A
9-D
10-A
11-B
12-B
13-A
14-C
15-C
16-D
17-C
18-B
19-A
20-C
21-C
22-D
23-B
24-B
25-C
26-D
27-C
28-A
29-C
30-D
31-C
32-B
33-C
34-C
35-C
36-A
37-D
38-C
39-C
40-D
41-A
42-D
43-B
44-C
45-A
46-D
47-B
48-A
49-A
50-D
51-A
52-D
53-A
54-B
55-C
56-C
57-C
58-A
59-A
60-D
61-A
62-B
63-D
64-A
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: 5 số hạng đầu tiên của dãy số là u1
1
2
2
3
4
5
, u2
, u3
, u4
và u5
2
2 1 3
4
5
6
Chọn A.
Câu 2: Ba số hạng đầu tiên của dãy là u1
1
1
2
2 1
3
3
, u2 2
và u3 3
3 1 2
3 1 8 4
3 1 26
1
Chọn B.
Câu 3: Ba số hạng đầu tiên của dãy là u1 1, u2 u1 3 2, u3 u2 3 5. Chọn A.
Câu 4: Ta có u5
2.52 1 49 7
. Chọn C.
52 3 28 4
Câu 5: Ta có: u1 (1)1.2(1) 2, u2 (1) 2 2.2 4, u3 (1)3 .2.3 6 và u4 (1) 4 .2.4 8
Mệnh đề sai là D. Chọn D.
Câu 6: Ta có u3 (1)3
2.3
2 . Chọn C.
3
Câu 7: Ta có u2
1
1
2
1
5
u1 1 1, u3 u2 1 và u4 u3 1 . Chọn A.
3
3
3
3
9
Câu 8: Ta có u2
u1
3
7
u
15
u
31
63
2 2 , u3 2 2 , u4 4 2
và u5 . Chọn A.
2
2
2
2
4
2
8
16
Câu 9: Giải un
n 1
8
15n 15 16n 8 n 7. Chọn D.
2n 1 15
Câu 10: Ta có un 1 2 n 1 2.2n. Chọn A.
Câu 11: Ta có u2 n 1 32 n 1 3n.3n 1. Chọn B.
Trang 24
Câu 12: Ta có un 1 5n 11 5n. Chọn B.
n 1
Câu 13: Ta có un 1
n 1
Câu 14: Dễ thấy 0
2( n 1) 3
n 1
n 1
2n 5
Chọn A.
11 1 2 1 2 3 1
n 1
,
,
.. Do đó un
. Chọn C.
1 2
2 3
3
n
Câu 15: Ta có u1 1 (1)1 , u2 ( 1) 2 suy ra un (1) n . Chọn C.
Câu 16: Ta có: u1 2 2(1 2), u2 0 2(2 2), u3 2 2(3 2)
Do đó un 2(n 2) 2n 4. Chọn D.
u1 2
Câu 17: un là cấp số nhân có
un u1 q n 2.2n 2n 1 . Chọn C.
u n 1
q n 2
1
Câu 18: un là cấp số cộng với u1 , công sai d 2
2
Do đó un u1 (n 1)d
1
5
(n 1) ( 2) 2n Chọn B.
2
2
u1 2
u u 2.1 1
2 1
Câu 19: Ta có: u3 u2 2.2 1
.
un un 1 2(n 1) 1
Cộng vế theo vế ta được un 2 (1 2 3 (n 1)) 2 (n 1) 2
1 n 1
(n 1) 2 n 1
2
n(n 1) 3 n n 2 2n 3 ( n 1) 2 2. Chọn A.
Câu 20: Ta có u1 1; u2 u1 12 ; u3 u2 22 ; u4 u3 32 ;un un 1 ( n 1) 2
Cộng vế với vế, ta được un 1 12 22 32 ( n 1) 2 1
Câu 21: Ta có u2 2
Và u3 2
n ( n 1) (2n 1)
. Chọn C.
6
1
1
3
2 1
2
u1
2
2
2
1
1
4
31
2
u2
3
3
3
2
Công thức tổng quát của dãy số là un
n 1
. Chọn C.
n
Câu 22: Kiểm tra u1 1 ta loại đáp án A, B và C. Chọn D.
Câu 23: Ta có un 2.3n u1 2.31 6
Trang 25
