tai lieu chu de gioi han day so

CHỦ ĐỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ
I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Dãy số có giới hạn hữu hạn
a. Giới hạn hữu hạn
 lim un  0  un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
 Dãy số  un  có giới hạn là L nếu: lim un  L  lim  un  L   0
Chú ý: Ta có thể viết gọn: lim un  0, lim un  L.
b. Giới hạn đặc biệt
lim

lim
lim

1
0
n

lim C  C , C  

lim q n   nếu q  1

1
0
n

lim q n  0 nếu q  1

lim n k  , k  *

1
0

n

3

lim

1
 0, k  *
nk

c. Định lí về giới hạn
 Định lí 1: Nếu hai dãy số  un  và  vn  cùng có giới hạn thì ta có:
+) lim  un  vn   lim un  lim vn
+) lim

un lim un
(Nếu lim vn  0 )

vn lim vn

+) lim  un .vn   lim un .lim vn
+) lim  k.un   k.lim un ,  k   

+) lim un  lim un
+) lim 2 k un  2 k lim un (nếu un  0 ) (căn bậc chẵn)
+) lim 2 k 1 un  2 k 1 lim un (căn bậc lẻ)

+) Nếu un  vn và lim vn  0 thì lim un  0.

 Định lí 2: (Nguyên lí kẹp) Cho ba dãy số  un  ,  vn  ,  wn  và L  .

Nếu un  vn  wn ,   * và lim un  lim wn  L thì  vn  có giới hạn và lim vn  L.
 Định lí 3: Nếu lim un  a và lim vn   thì lim

un
 0.
vn

 Định lí 4: Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn.
Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn.
n

 1
Chú ý: e  lim  1    2, 718281828459..., là một số vô tỉ.
 n

d. Tổng của cấp số nhân lùi vơ hạn
Một cấp số nhân có cơng bội q với q  1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.


Ta có tổng của cấp số nhân lùi vơ hạn: S  u1  u1q  u1q 2  ... 

u
(với q  1 )
1 q

2. Dãy số có giới hạn vô cực
a. Định nghĩa
 lim un    un có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
n 

 lim un    un có thể nhỏ hơn một số âm nhỏ tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
n 

 lim un    lim  un   
n 

n 

Chú ý: Ta có thể viết gọn: lim  un   .
b. Định lí
 lim un   thì lim

1
0
un

 Nếu lim un  0,  un  0, n     lim

1

un

c. Một vài qui tắc tìm giới hạn
Quy tắc 1:

Quy tắc 2:

Quy tắc 3:

Nếu lim un   và

Nếu lim un   và

Nếu lim un  L và lim vn  0

lim vn   , thì lim  un .vn 

lim vn  L  0, thì lim  un .vn 

và vn  0 hoặc vn  0 kể từ

là:

là:

một số hạng nào đó trở đi thì:

lim un



lim vn



lim  un .vn 


lim un

Dấu
của L

lim  un .vn 









+























+









Dấu
L

của vn

lim

un
vn

+

+



+







+










II. PHÂN DẠNG TỐN VÀ HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA
 Dạng 1. Dãy số có giới hạn 0
Phương pháp giải
 Dãy  un  có giới hạn 0 nếu mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số
hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó.
Khi đó ta viết: lim  un   0 hoặc lim un  0 hoặc un  0.

lim un  0    0, n0  * : n  n0  un  

 Một số kết quả: (xem phần tóm tắt lý thuyết)
Chú ý: Sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh, đánh giá biểu thức lượng giá, nhân liên hợp của
căn thức, …

Ví dụ 1. Chứng minh rằng các dãy sau có giới hạn 0
a) un 

1

b) un

 n  1 n  2 

 1


n 1

sin 2n
2n  1
3

Lời giải:

1
1
0
n2
a) lim un  lim
 lim 2

 lim

 0.
3
2
n  3n  2
 n  1 n  2 
1   2 1  3.0  2.0
n n
1

Vậy lim un  0.
b) 0 

1
n 1
sin 2n
1 sin 2n

1
1
n3  0  0


0

lim

lim


lim
1
2n 3  1
2n3  1
2n3  1
2n3  1
20
2 3
n

 1

n 1

 1
 lim

n 1

sin 2n
 0 (Nguyên lý kẹp).
2n  1
3

 1
Suy ra lim

n 1

sin 2n

 0  lim un  0. Vậy lim un  0.
2n  1
3

Ví dụ 2. Tính giới hạn của các dãy số sau
a) un 

1
n
5 2

b) un 

5n cos 3n  6n
2n  2.7 n

Lời giải:
n

1
 
1
0
5
a) lim un  lim n
 lim   n 
 0. Vậy lim un  0.
5 2
 1  1  2.0
1  2.  

5

Trang 3


b) lim un  lim

5n cos 3n  6 n
6n
5n cos 3n

lim

lim
 A  B.
2 n  2.7 n
2n  2.7 n
2n  2.7 n
n

6
 
n
6
 7   0  0.
Có A  lim n

lim
n
n

2  2.7
02
2
  2
7
n

5
 
n
n
n
n
5 cos 3n
5
5 cos 3n
5
0
7
Có 0  n


0

lim

lim

lim


0
n
n
n
n
n
n
n
n
2  2.7
2  2.7
2  2.7
2  2.7
02
2
  2
7

5n cos 3n
5n cos 3n
 lim n
 0 (Nguyên lý kẹp). Suy ra lim n
 0  B  0.
n
2  2.7
2  2.7 n
Vậy lim un  A  B  0  0  0.
Ví dụ 3. Tính giới hạn của các dãy số sau
a) un  4n 2  1  2n

b) un  n 2  4  n 2  2
Lời giải:

a) lim un  lim





4n 2  1  2n  lim

 4n

2

 1  4n2

4 n  1  2n
2

 lim

1
4n  1  2 n
2

1
0
n
 lim


 0. Vậy lim un  0.
1
40 2
4 2 2
n

b) lim un  lim





n 2  4  n 2  2  lim

2

 lim
1

4
2
 1 2
2
n
n



n

2

 4   n2  2

n2  4  n2  2

 lim

2
n2  4  n2  2

2.0
 0. Vậy lim un  0.
1  4.0  1  2.0

Ví dụ 4. Tính giới hạn của các dãy số sau
a) un 

n 2  2n  n
n

b) un 

n 2  2n  n 2  n
n

Lời giải:
a) lim un  lim

 n 2  2n 

n 2  2n  n
2 
 lim 
 1   lim  1   1  1  2.0  1  0.
2


n
n
n 




Vậy lim un  0.
b) lim un  lim

 n2  2n    n2  n   lim
n 2  2n  n 2  n
 lim
n
n n 2  2n  n 2  n
n







n
n2  2n  n 2  n


Trang 4


 lim

1
n 2  2n  n 2  n

 lim

Ví dụ 5. Cho dãy số un 
a) Chứng minh rằng

1
n
2
1
1  1
n
n



0

1  2.0  1  0

 0. Vậy lim un  0.

n
, n  1
5n

un 1 3

un
5

b) Tìm lim un
Lời giải:

n 1
n
n  1 un 1 5n 1
5n n  1 n  1 1 1
a) Ta có un  n  un 1  n 1 

 n 1 .

  .
n
5
5
un
5

n
5n
5 5n
5n
Do n  1  0 

u
u
1
1 1
1 1 2 3
3

  n 1     . Vậy n1  .
5n 5.1 5
un
5 5 5 5
un
5

b) Ta sẽ chứng minh lim un  0, n  * * . Thật vậy
n 

 Với n  1 hiển nhiên (*) đúng.
 Giả sử (*) đúng với n  k tức lim uk  0 (đây là giả thiết quy nạp).
k 

 Ta sẽ chứng minh (*) đúng với n  k  1.

k 1

1 
k
1
 k
 lim  k 1  k 1   lim
 lim

k

1
k
k  5
k  5
5  k  5.5 k  5.5k


Quả vậy lim uk 1  lim
k 

k

uk 1
0 1
1
 lim     .0  0
k  5
5 k   5 
5 5

 lim

Suy ra (*) đúng với n  k  1. Do đó (*) ln đúng, Vậy lim un  0.
n 

 Dạng 2. Khử dạng vô định  / 
Phương pháp giải:
 Dãy  un  có giới hạn 0 nếu mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số
hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó.
Khi đó ta viết: lim  un   0 hoặc lim un  0 hoặc un  0.
 Đối với dãy un 

a0 n m  a1n m1  ...  am
, a0  0, b0  0 thì chia cả tử lẫn mẫu của phân thức cho lũy thừa
b0 n k  b1n k 1  ...  bk

lớn nhất của n ở tử n m hoặc mẫu n k , việc này cũng như đặt thừa số chung cho n m hoặc mẫu n k rồi rút
gọn, khử dạng vô định.

Trang 5


0 khi m  k

a
a
Kết quả: lim un   0 khi m  k ( dấu  hoặc  tùy theo dấu của 0 )
b0
 b0
 khi m  k
 Đối với biểu thức chứa căn bậc hai, bậc ba thì cũng đánh giá bậc tử và mẫu để đặt thừa số chung rồi đưa

ra ngoài căn thức, việc này cũng như chia tử và mẫu cho lũy thừa số lớn của n ở tử hoặc mẫu.
 Đối với các biểu thức mũ thì chia tử và mẫu cho mũ có cơ số lớn nhất ở tử hoặc mẫu, việc này cũng như
đặt thừa số chung cho tử và mẫu số hạng đó.
Biến đổi rút gọn, chia tách, tính tổng, kẹp giới hạn,… và sử dụng các kết quả đã biết.

Ví dụ 1. Tính các giới hạn sau
a) lim

3n 2  4n  1
.
2n 2  3n  7

b) lim

n3  4
.
5n3  n  8

c) lim

 n  1 2n  1 .
 3n  2  n  3

c) lim

n n 2  1  2n 2  3
.
3n 2  n  1

Lời giải:

4 1
3   2
3n 2  4n  1
n n   3.
a) lim 2
 lim
3 7
2n  3n  7
2
2  2
n n
1

b) lim

1
n3

n 4
1
 lim
 .
3
1
8
5n  n  8
5 2  3 5
n n
3

1
 1 
1   2  

n

1
2
n

1
 
  lim  n  n   1.2  2 .
c) lim
2  3  3.1 3

 3n  2  n  3
 3  1  
n  n 

Ví dụ 2. Tính các giới hạn sau

n2  n  3 n2  1
.
n 1

a) lim

3

b) lim

8n3  n  2n  1
.
3n  1
Lời giải:

1
1
n2  n  3 n2  1
1  3 1 2
n  n  3 n 1
n
n  1  3 1  4.
n
a) lim
 lim
 lim
1
1
n 1
1
1
1
n
n
2

2

8n 3  n  2 n  1
b) lim
 lim
3n  1
3

3

8

1
1
2
2
2
n
n  8 2  4.
1
3
3
3
n

Trang 6


1
3
n n 2  1  2n 2  3

1 2  2  2
2
n n  1  2n  3
n
n  1  2  1.
n
c) lim
 lim
 lim
2
2
1 1
3n  n  1
3n  n  1
3
3  2
2
n n
n
2

2

Ví dụ 3. Tính các giới hạn sau
a) lim

n  2n  1 3n  2 

 6n  1

3

b) lim

.

 2n  1 n  2   n .
n3  n

Lời giải:

a) lim

b) lim

n  2n  1 3n  2 

 6n  1

3

1 
2

 2    3   2.3 1
n 
n
 lim 
 3  .
3

6
36
1

6 
n


 2n  1 n  2   n
n3  n

1
1  2  1
 2   1    2
n
n  n  n
 lim 
 0.
1
1 2
n

Ví dụ 4. Tính các giới hạn sau
a) lim

4n 2  n  3n 2
.
n2  1

b) lim

9n 2  n  3n  1
.
n2  2

Lời giải:
4 1
 3
4n 2  n  3n 2
n 2 n3
a) lim

lim
 3.
1
n2  1
1 2
n

9 1 3 1
  
9n 2  n  3n  1
n 2 n3 n n2  0.
b) lim

lim
2
n2  2
1 2
n

Ví dụ 5. Tính các giới hạn sau
a)

 n  1  2n 2  n   n2  1
lim
.
 n  1  n 2  2   3n3

 3n
b) lim

2

 2   n  3  n2
2n 3  1

.

Lời giải

a) lim

 n  1  2n 2  n   n 2  1
 n  1  n 2  2   3n3

 3n
b) lim

2

 2   n  3  n 2
2n 3  1

1 1 1
 1 
 1   2     3
1.2
n 
n n n
 lim 

 1.
2 
1.1  3
 1 
1

1


3


2 
 n  n 

2  3  1

 3  2  1   
n  n  n

 lim 
 3.
1
1 3
n
Trang 7


Ví dụ 6. Tính các giới hạn sau
a) lim

1  4n
.
1  4n

b) lim

2n  5.3n
.
3n  1

c) lim

3n  4n
.
3n  4n

Lời giải

1

1
n
1  4n
1
4
a) lim
 lim

 1
n
1
1 4
1

1
4n
n

2
  5
2n  5.3n
3
b) lim n
 lim  
 5
1
3 1
1 n
3
n

3
  1
n
n
3 4
4
c) lim n
 lim  n
 1
n
3 4
3
  1
4

Ví dụ 7. Tính các giới hạn sau
a) lim

3n  4n  5n
.
3n  4n  5n

b) lim

3n  4n 1
.
3n  2  4n

c) lim

3n  6n  4n 1
.
3n  6 n1

c) lim

2n  2  4.6n 1  2
.
3n 1  6n 1  1

Lời giải
a) Nhận xét q  1  lim q  0
n

n

n

 3  4
     1 0  0 1
n
n
n
3 4 5
5
5
Do đó, lim n
 lim   n   n


 1.
n
n
3  4 5
0  0 1
 3  4
     1
5  5
n

3
  4
3n  4n 1
04
4
b) lim n  2
 lim   n

 4.
n
3 4
9.0  1
3
9.    1
4
n

c) lim

3n  6n  4 n1

3n  6n 1

n

1
2
  1 4 
2
 3   0  1  4.0  1 .
 lim  
n
06
6
1
  6
2

Ví dụ 8. Tính các giới hạn sau
a) lim

2n  2n 1
.
2n  4.3n

b) lim

4.3n  7 n 1
.
2.5n  7 n
Lời giải

Trang 8


n

2
3.  
n
n 1
2 2
3.0
3
a) lim n
 lim  n  
 0.
n
2  4.3
04
2
  4
3
n

b) lim

4.3n  7 n 1
2.5n  7 n

3

4.    7
4.0  7
7
 lim  n

 7.
2.0  1
5
2  1
7
n

n

1 2
1
2
4     2.  
4.0   2.0
n 2
n 1
2  4.6  2
3
3
6 
3
c) lim n 1 n 1
 lim   n
 4.
n

1
3  6 1
1 1 1
3.0   0
3.      
6
2 6 6

Ví dụ 9. Cho un 

 n  1 3n  2 

 2n

2

n2  1

 6n  3  4 n  5
2

; n  1. Biết lim un 

a
a
là phân số tối
, với a, b  * và
b
b

giản. Tính P  a 2  2b.
A. P  17.

B. P  26.

C. P  25.

D. P  18.

Lời giải:
Ta có lim un

 n  1 3n  2 
 lim

 2n

2

n2  1

 6 n  3  4n 2  5

 lim

3n

 2n

2

2

 n  2 n2  1

 6 n  3  4n 2  5

1 2
1
1 2
1


 3   2 . n 1 2
 3   2  1 2
3.1 3
k
h
n n 
n
n n 
n
 lim 
 lim 

 vì lim 2  0; lim 2  0.
n
n
2.2 4
6 3

5
6 3
5


 2   2 . n 4  2
2  2  4 2
n n 
n
n n 
n



Mà lim un 

a 3 a  3
 

 P  32  2.4  17. Chọn A.
b 8 b  4

Ví dụ 10. Cho un 

 2n

3

 1 n  4

 n  1  3n  1
2

9n  1

; n  2. Biết lim un 

a
a
, với a, b  * và
là phân số tối
b
b

giản.
Tính P  a 3  2b.
A. P  5.

B. P  1.

C. P  3.

D. P  2.

Lời giải:
Ta có lim un  lim

 2n

3

 1 n  4

 n  1  3n  1
2

9n  1

 lim

2n3  1

 n  1  3n  1
2

.lim

n4
9n  1

Trang 9


1
4
1
3
n

4

2
n
n  2 1  2 vì lim k  0; lim h  0.
 lim
.lim
 .lim
2
1 3 9 9
n2
n2
9n  1 3
1
 1 
9
1

3


 

n
n
 n 
2

Mà lim un 

a 2 a  2
 


 P  23  9  1. Chọn B.
b

9
b 9


Ví dụ 11. Cho un 

4n  3.2 2 n  2.3n 1
a
a
là phân số tối giản.
; n  1. Biết lim un  , với a, b  * và
n2
n
5.4  2
b
b

Giá trị P  a  3b 2 thuộc khoảng nào dưới đây?
A.  9; 7  .

B.  7; 5 .

C.  12; 9  .

D.  5; 2  .

Lời giải:
4 n  3.22 n  2.3n 1
Ta có lim un  lim
 lim
5.4n  2  2n

2
2
4n  3.4n  .3n
4.4n  .3n
3
3
 lim
5 n
5 n
n
.4  2
.4  2n
16
16

n

2 3
4  . 
n
n
a 64  a  64
5 64
3 4

3
1
vì
 lim

4
:

lim

lim

.
 
   0. Mà lim un  
n
b 5
16 5
4
2
5 1
b  5
 
16  2 

Vậy P  a  3b 2  64  3.52  11   12; 9  . Chọn C.
6.

Ví dụ 12. Cho un 

 3

2n

 3n 1  2 n

n
2

; n  1. Biết lim un 

4.9  5.2 n 1
Khẳng định nào dưới đây là đúng?

B. 5a  b 2  1.

A. 2a  b  9.

a
a
, với a, b  * và
là phân số tối giản.
b
b

C. a 2  b 2  25.

D. a 2  2b  1.

Lời giải:

Ta có lim un  lim

6.

 3

2n

 3n 1  2 n

n

 lim

4.9 2  5.2n 1

6.3n  3.3n  2n
3.3n  2 n

lim
4.3n  10.2n
4.3n  10.2 n

n

2
3.3n  2 n
3 
n
n

a  3
3 a
2
3
3
mà
lim
 lim

lim
   0 suy ra lim un    b  4 . Chọn D.
n
n
n
4.3  10.2
4 b
3

2
4  10.  
n
3
3

Ví dụ 13. Cho un 
A.

1
.
3

 n  1

n

2

 n  1

2n 2  1  n3  1

B.

1
.
2

3

Biết lim un 

a
b 2

C.

2
.
3

(với a, b  ;

a
ab 2
tối giản). Tính P  2
b
a  b2

D.

3
.
2

Trang 10


Lời giải:
Ta có lim un  lim

n
 lim

3

 n  1

n

2

 n  1

3

 lim

2n 2  1  n3  1

 1 n 2  n  1

2n 2  1  n3  1

Ví dụ 14. Cho un 

 2n

2

 n  1  n 2  n  1

n2  n  1

2n 2  1  n3  1

1 
1 1

1  3  1   2
1

1
n 
n n
 lim 

 a  1, b  1  P  . Chọn B.
2
1 
1
2
2  2 1  3 
n  n 

 1  3n  1 n3  1
5n  2  n  1
3

3

. Biết lim un 

a
b 5

(với a, b  ;

a
tối giản). Tính
b

P  a  b2
B. 6  5.

A. 7.

C. 11.

D. 41.

Lời giải:

Ta có lim un  lim

 2n2  1  3n  1 n3  1
5n3  2  n  1

3

1 
1
1

 2  2 3   1 3
6
n 
n
n
 lim 

.

3
5
2  1
5  3 1  
n  n

Do đó suy ra a  6, b  1  P  a  b 2  7. Chọn A.
Ví dụ 15. Cho un 
A. 3.

7 n  22 n 1  3n1
a
a
. Biết lim un  (với a, b  ; tối giản). Tính P  a  b
n 1
n 1
7 5
b
b
B. 13.

C. 8.

D. 5.

Lời giải:
n

Ta có lim un  lim

7 n  2 2 n1  3n1
7 n 1  5n 1

n

1 4
3
1     3 
27
7  1.
 lim
n
7
15
7  
57

Do đó suy ra a  1, b  7  P  a  b  8. Chọn C.
Ví dụ 16. Cho un 
A. 10.

11n 1  32 n 1  2n
a
a
. Biết lim un  (với a, b  ; tối giản). Tính P  a  b
11n  7 n 1
b
b
B. 12.

C. 11.

D. 22.

Lời giải:
n

n

9 2
11  3     
n 1
2 n 1
n
11  3  2
 11   11   11 .
Ta có lim un  lim
 lim
n
n
n 1
11  7
1
1 7 
1  
7  11 

Do đó suy ra a  11, b  1  P  a  b  10. Chọn A.
Trang 11

Ví dụ 17. Cho un 

 2n  3 3n  1 4n3  1 . Biết lim u  a
n
2
b
 4n  1 9n3  2

với a, b  * và

a
là phân số tối giản. Đặt
b

S  a 2  4b 2 , mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. 54  S  60

B. 60  S  64

C. S  54

D. S  64

Lời giải:
Ta có lim un  lim

2n.3n 4n3

 4n 

2

9n

3



1
 S  65. Chọn D.
4

2n  3 4n  1 n3  1

a
Ví dụ 18. Cho un 
. Biết lim un 
2
3
b
 2n  1 9n  1

với a, b  * và

a
là phân số tối giản. Đặt
b

S  a 2  b 2 , mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. S  8

B. 8  S  14

C. 14  S  20

D. S  20

Lời giải:
Ta có lim un  lim

2n.4n n3

 2n 

2

9n 3



2
 S  13. Chọn B.
3

2.6n  2  4n
a
a

là phân số tối giản. Đặt S  a  b,
. Biết lim un  với a, b  * và
n 1
n 1
3.6  5
b
b
mệnh đề nào dưới đây là đúng?
Ví dụ 19. Cho un 
A. 310  S  320

B. 320  S  330

C. 330  S  340

D. 340  S  350

Lời giải:
n

4
2.62   
2
 6   2.6  1  S  325. Chọn B.
Ta có lim un  lim
n
3.6
324
5
3.6  5.  

6

5.6n 1  2n
a
a
. Biết lim un  với a, b  * và
là phân số tối giản. Đặt S  a  b,
n
n2
4.6  3
b
b
mệnh đề nào dưới đây là đúng?
Ví dụ 20. Cho un 
A. 10  S  20

B. 20  S  30

C. 30  S  40

D. 40  S  50

Lời giải:
n

2
5.6   
 6   5.6  15  S  17. Chọn A.
Ta có lim un 
n

4
2
3
4  9.  
6

 Dạng 3. Khử dạng vô định   
Phương pháp giải:

Trang 12


 Đối với dãy un  am n m  am 1n m 1  ...  a0 , am  0 thì đặt thừa số chung m cho thừa số lớn nhất của n là
n m . Khi đó: lim un   nếu am  0 và lim un  

nếu am  0

 Đối với các biểu thức chứa căn thức thì nhân, chia lượng liên hợp bậc hai, bậc ba để đưa về dạng:

A  B2
AB



AB



A B 

AB




A B
A B

A  B2
AB
A B
A B

A B 



3



3



3



3

AB
AB

A  B3
3

A2  B. 3 A  B 2
A  B3

3

A2  B. 3 A  B 2
A B

A3 B 
A3 B 

3

A  A.B  3 B 2
2

3

A B
3

A2  3 A.B  3 B 2

 Đặt biệt, đôi khi ta thêm, bớt đại lượng đơn giản để xác định các giới hạn mới có cùng dạng vơ định,
chẳng hạn:
3

 n  2  n   n  n  1 ;
  n  n  n  n  2  n 

n3  2  n 2  1 
n 2  n  3 2  n3

3

3

2

2

3

3

Đối với các biểu thực khá, biểu thức hỗn hợp thì xem xét đặt thừa số chung của mũ có cơ số lớn nhất, lũy
thừa của n lớn nhất.
Ví dụ 1. Tính các giới hạn sau
a) lim



3



n3  3n 2  n .

b) lim



3



n3  3  n 2  2 .

Lời giải
a) lim



3



Khi n   thì: lim

Do đó, lim
b) lim

 lim



3

n3  3n 2  n3

n3  3n 2  n  lim



3

3

n

3

 3n2   n 2  n. 3 n 3  3n 2
2

2

3

3
 3
1    1  3 1 
n

 n

2

1
3
3
 3
 0  lim 3 1   1  lim  3  1    1  3 1    1
  n
n
n
n




n  2   lim 

n3  3n 2  n  3

n3  3 

2

n3  3  n3

n

3

3

  lim

2
3

 3  n 2  n. 3 n3  3

3





n3  3  n  lim n  n 2  2

 lim

n2  n2  2
n  n2  2

 lim


3

n



3

2
3

 3  n 2  n. 3 n3  3

 lim

2
n  n2  2



2


Khi n   thì: lim   n3  3 3  n 2  n. 3 n3  3   ; lim n  n 2  2  



Trang 13


 lim

3

n

3

2
3

 3  n 2  n. 3 n3  3

 lim

2
n n 2
2

 0. Do đó, lim



3



n3  3  n 2  2  0

Ví dụ 2. Tính các giới hạn sau





a) lim n  1  n 2  n .

n2  n  n

b) lim

4n 2  3n  2n

.

Lời giải



a) lim n  1  n  n
2



 n  1
 lim

2

 n2  n

n 1 n  n
2

 lim

n 1
n  1  n  n  1

1

 lim
1

1
n

1
1
 1
n
n



1
2





1
Do đó, lim n  1  n 2  n  .

2

3
2
n n n
n nn
4n  3n  2n 1
2
n
b) lim
 lim 2
.

lim

2
2
2
4n  3n  4n
3
3
1
4n  3n  2n
n n n
1 1
n
2

Do đó, lim

2

n2  n  n
4n  3n  2n
2



2

4

2

2
3

Ví dụ 3. Tính các giới hạn sau
a) lim





3

4n 2  n  3 2n 2  8n3 .

b) lim

2n 2  n 3  n
n2  n  n

.

Lời giải
a) lim
 lim

 lim







4n 2  n  3 2n 2  8n3  lim

4n 2  n  4n 2
4n 2  n  2 n

n
4n 2  n  2n

1


1
lim  4   2 

n



 lim

4n 2  n  2n  lim



3

2n 2  8n3  2n



2 n 2  8n 3  8n 3
2

 2 n 2  8n 3  3  4 n 2  2 n 3 2 n 2  8n 3
2n 2

 lim







3

 2n

2

2
 1

 8n3   4n 2  2n. 3 8n3   1
4
n



1
1


3
1
1




lim  2.   1  2  2   1 
  4n 
 4n  



2
3

Trang 14


 

1
lim  4   2   2  2  0
n
 

1
Khi n   thì: lim  0  
2
1


n
   1
3
 1
3 
lim  2.  4n  1  2  2  4n  1   2  2  2  2






 


1


1
lim  4   2 
n



Do đó, lim
3

b) lim





1
1


3
1
1





lim  2.   1  2  2   1 
  4n 
 4n  


2
3



4n 2  n  3 2n 2  8n3  

2n 2  n3  n
n2  n  n

 lim

2 n 2  n3  n 3
n2  n  n
.
n 2  n  n 2 3 2n 2  n3 2  n 2  n 3 2n 2  n3





1

n  n 1  n 
n



 lim

1

2

2 
2 
n 6 .   1  n 2  n. 3 n3   1
n 
n 

3

 

 lim

1
1
n

2

2

 2 3
  1  1  3  1
n
n 

2
 

lim   2  1 3  1  3 2  1   1  1  1  1
   n 
n 
1

Khi n   thì: lim  0   
n
 
1 
lim  1   1  1

n 
 

1
 lim

1
1
n

2

3

 1. Do đó, lim

2
2 
  1  1  3  1
n
n 

3

2n 2  n 3  n
n2  n  n

1

Ví dụ 4. Tính các giới hạn sau
3

a) lim

n3  n  n 2  n  1
.
3n  1

b) lim

4n 2  1  2n  1
n 2  4n  1  n

.

Lời giải
3

a) lim

n  n  n  n 1
 lim
3n  1
3

2

3

1

1
1 1
 1  2
2
n
n n
1
3
n

Trang 15

 
1
1 1
lim  3 1  2  1   2
n
n n
1

Khi n   thì: lim  0   
n
1
 
lim  3  n   3

 
3

Do đó lim
b) lim

n3  n  n 2  n  1 2

3n  1
3

4n 2  1  2n  1
n 2  4n  1  n

 lim

4 n 2  1  4n 2  4 n  1
 lim
.
4n  1

Do đó lim


  1  1  2


4n 2  1  2n  1
n  4n  1  n
2

4n 2  1   2n  1
n  4n  1  n
2

2

2

n 2  4n  1  n

.

4 n 2  1  2n  1

4 1
4 1
 2 1
1  2 1
1
1
n n
n n
  lim
.

1
2
1
1
1
1
1
4 2  2
4 2 2
4n
n
n
n
n
1



1
2

Ví dụ 5. Tính các giới hạn sau
 1

1
1
a) lim 
 1.3  3.5  ...   2n  1 2n  1 



 1

1
1
b) lim 
 1.3  2.4  ...  n  n  2  



Lời giải
a) Xét A 

2A 

1
1
1


 ... 
. Ta có:
1.3 3.5
 2n  1 2n  1

2
2
2
1 1 1
1
1
1
2n

 ... 
 1     ... 

 1

1.3 3.5
3 3 5
2n  1 2n  1
2 n  1 2n  1
 2n  1 2n  1

Suy ra lim A  lim

b) Xét B 

2B 

2n
2
 lim
1
1
2n  1
2
n

1
1
1

 ... 
. Ta có
1.3 2.4
n n  2

2
2
2
1 1 1 1 1
1
1
1
1
3
1


 ... 
 1       ...  
 1 
 
1.3 2.4
n  n  2
3 2 4 3 5
n n2
2 n2 2 n2

1 


3
1
3


n  3
Suy ra lim B  lim  
  lim  
2
 2 n2
 2 1  2
n

Ví dụ 6. Tính các giới hạn sau
a) lim

1  2  ...  n
n 2  3n

b) lim

1  2  22  ...  2n
1  3  32  ...  3n

Lời giải
Trang 16


a) Ta có 1  2  ...  n 

n  n  1 n 2  n

.
2
2

1
1
1  2  ...  n
n2  n
n 1
Suy ra lim
 lim 2
 lim
2
6 2

n  3n
2n  6n
2
n
  2 n 1 1
    n 1
1  2  22  ...  2n
2n 1  1
3
3
b) Ta có lim
 lim n 1
 lim  2.  
2
n
1

3 1
1  3  3  ...  3
1  n 1

3
2




0





Dạng 4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Phương pháp giải:
Ta có S  u1  u1q  u1q 2  ... 

u1
, với q  1.
1 q

Ví dụ 1. Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dạng phân số
a) 0, 7777777777777...

b) 0, 27777777777...
Lời giải

a)

1
1
1
1
 2  3  ... là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn công bội
nên
10 10 10
10

1
1
1

1
1
 2  3  ...  10 
1
10 10 10
9
1
10

1
1
1
 7
Suy ra 0, 7777777777777...  7.0,11111111111...  7   2  3  ...  
 10 10 10
 9
b)

1
1
1
1
 3  4  ... là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn công bội
nên
2
10 10 10
10

1
1

1
1
1
 3  4  ...  100  . Suy ra
2
1
10 10 10
90
1
10
0, 27777777777...  0, 2  0, 07777777 

2
1 25 5
 7. 

10
90 90 18

Ví dụ 2. Viết các số thập phân vơ hạn tuần hồn sau dạng phân số
a) 0, 3211111...

b) 0, 313131...

c) 3,1525252....

Lời giải
a) Ta có

1

1
1
1
 4  5  ... là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn công bội
nên
3
10 10 10
10

Trang 17


1
3
1
1
1
1
32
1
289
suy ra 0,321111... 
 4  5  ...  10 


3
1
100
900
900

10 10 10
900
1
10
b) Ta có

1
1
1
1
 4  6  ... là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn công bội 2 nên
2
10 10 10
10

1
2
1
1
1
1
1
1
1 31
 1

suy ra 0,313131...  31 2  4  6  ...   31. 
 4  6  ...  10 
2
1

10 10 10
99 99
 10 10 10

1  2 99
10
c) Ta có

1
1
1
1
 5  7  ... là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn công bội 2 nên
3
10 10 10
10

1
1
1
1
103  1 suy ra



...

1
103 105 107
1  2 990

10

3,1525252.... 

31
1
1
 1
 31 52 3121
 52  3  5  7  ...   

10
 10 10 10
 10 990 990

Ví dụ 3. Tìm số hạng đầu và công bội của một cấp số nhân lùi vô hạn biết số hạng thứ hai là

12
và tổng
5

của cấp số nhân lùi này bằng 15.
Lời giải

u2
1

q

u

u
12
q
5
Ta có S  1  15  1 

 25q 2  25q  4  0  
1 q
1  q 1  q 5q 1  q 
q  4

5
+) Nếu q 

1
u
 u1  2  12
5
q

+) Nếu q 

4
u
 u1  2  3.
5
q

Ví dụ 4. Một cấp số nhân lùi vơ hạn có tổng bằng 12, hiệu của số hạng đầu và số hạng thứ hai bằng

3
, số
4

hạng đầu là một số dương. Tìm số hạng đầu và cơng bội của cấp số nhân lùi này.
Lời giải
Ta có S 

u1
3
3
 u1  12 1  q  . Và u1  u2   u1 1  q  
4
4
1 q

Suy ra 12 1  q 

2


q 
3
 
4
q 


3
4

5
4
Trang 18


Ta chỉ chọn q 

3
 3
vì q  1, khi đó u1  12 1    3.
4
 4

Ví dụ 5*.
a) Chứng minh:

1
1
1


n  N*  .

n n  1   n  1 n
n
n 1

b) Rút gọn un 

1

1
1

 ... 
.
1 2 2 1 2 33 2
n n  1   n  1 n

c) Tìm lim un .
Lời giải
a) Ta có

 n  1  n
1


n n  1   n  1 n
n  n  1 n  n  1





n 1  n
n  n  1





n 1  n
n  n  1





n 1  n
n  n 1





1
1

n
n 1



b) Áp dụng đẳng thức đã chứng minh được ở câu a, ta có:

un 

1
1
1
1

1
1
1
1
1



 ... 



 un  1 
1
2
2
3
n 1
n
n
n 1
n 1

1 

c) lim un  lim  1 
 1
n 1 

Ví dụ

6*.

Cho dãy số  un 

u1  1

được xác định bởi: 
1
un 1  un  2n  n  1

a) Đặt vn  un1  un . Tính v1  v2  ...  vn theo n .
b) Tính un theo n .
c) Tìm lim un .
Lời giải
1 
1

a) Ta có vn  un 1  un   un  n   un  n
2 
2


Khi đó A  v1  v2  ...  vn 


A 1 1
1
   2  ...  n
2 2 2

2

1 1
1
A 11 1
1 
 2  ...  n     2  ...  n 
2 2
2
2 22 2
2 

1  1
1
1
  1 1
   2  3  ...  n 1    n 1  A  1  n
2  2 2
2
 2 2

b) Từ câu a, suy ra A  v1  v2  ...  vn  u2  u1  u3  u2  ...  un  un1  un 1  un

Trang 19


n

 A   vi  un 1  u1  un 1  1  un 
i 1

1
1
1
1
 1  1  n  un  n  1  un  2  n 1
n
2
2
2
2

1 

c) lim un  lim  2  n 1   2
2 


u1  0; u2  1
Ví dụ 7*. Cho dãy số  un  được xác định bởi: 
2un  2  un 1  un ,  n  1

1
a) Chứng minh rằng: un 1   un  1, n  1.
2
2
b) Đặt vn  un  . Tính vn theo n . Từ đó tìm lim un .
3

Lời giải

1
a) Ta có: 2un 1  un  2un  un1  2un 1  un  2  ...  2u3  u2  2u2  u1  2  un 1   un  1
2

b) vn  un 

2
 3vn  3un  2  3vn  2un   un  2   2un  2un 1  2un   un  un1   un  un 1
3

1
3
1
1
1
2
1
3v n  un  un 1   un 1  1  un 1   un 1  1  vn   un 1     un 1     vn 1
2
2
2
3
2
3
2

1
1 1
  1
Từ đó, ta suy ra vn   vn 1     vn  2     

2
2 2
  2
2  1
 un  vn     
3  2

n 1

2 2
.  
3 3

2  1
1    
3   2 

n 1

n 1

 1
v1    
 2

n 1

.

2

3





 2   1 n1   2
Suy ra, lim un  lim  1       
 3   2   3

 

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

 s in5n

Câu 1. Kết quả của giới hạn lim 
 2  bằng
 3n

A. -2.

B. 3.

C. 0.
n  2 n k cos

Câu 2. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn k để lim
A. 0.

B. 1.

Câu 3. Kết quả của giới hạn lim
A. 1

B. 0.

2n

D.

5
.
3

1
n  1?
2

C. 4.

D. Vô số.

C. 2.

D. 3.

3sin n  4 cos n
bằng
n 1

Trang 20


n cos 2n 

Câu 4. Kết quả của giới hạn lim  5  2
 bằng
n 1 


A. 4.

B.

1
.
4

C. 5.

D. -4.

C. 0.

D. 

C. 4.

D. 2.

n


Câu 5. Kết quả của giới hạn lim  n 2 sin
 2n3  là
5


A. .

B. -2.

n

 1
Câu 6. Giá trị của giới hạn lim  4 

n 1


A. 1.


 bằng



B. 3.

Câu 7. Cho hai dãy số  un  và  vn  có un 
A. 3.

3
4

A. 2.

B. 1.

A.

3
.
2

D. 1.

C. 0.

D. -1.

C.

2
.
3

D. 0.

C.

2
.
7

D.

3
.
4

n n 1
bằng
n2  2

B. 2.

C. 1.

Câu 12. Cho hai dãy số  un  và  vn  có un 
A. 1.

C. 2.

3n 3  2n  1
là
4n 4  2n  1

B. 0.

Câu 11. Giá trị của giới hạn

1
. Khi đó lim  un  vn  có giá trị bằng
n 2
2

n  2n2
bằng
n3  3n  1

Câu 10. Giá trị của giới hạn lim
A. 

và vn 

3
là
4 n 2  2n  1

B. .

Câu 9. Giá trị của giới hạn lim

n

n 1
2

B. 0.

Câu 8. Giá trị của giới hạn lim
A. 

 1

B. 2.

Câu 13. Cho hai dãy số  un  với un 

D. 0.

v
1
2
và vn 
. Khi đó lim n có giá trị bằng
n 1
n2
un
C. 0.

D. 3.

an  4
trong đó a là tham số thực. Để dãy số  un  có giới hạn
5n  3

bằng 2, giá trị của a là

A. a  10.

B. a  8.

C. a  6.

D. a  4.

Trang 21


Câu 14. Cho hai dãy số  un  với un 

2n  b
trong đó b là tham số thực. Để dãy số  un  có giới hạn
5n  3

hữu hạn, giá trị của b là
A. b là một số thực tùy ý.

B. b  2.

B. không tồn tại b.

D. b  5.

Câu 15. Tính giới hạn L  lim
3
A. L  .
2

n2  n  5
.
2n 2  1

1
B. L  .
2

B. a  4.

Câu 17. Tính giới hạn L  lim
3
A. L   .
2

C. a  3.

D. a  2.

1
C. L  .
2

D. L  0.

n 2  3n3
.
2 n 3  5n  2

1
B. L  .
5

Câu 18. Tìm tất cả các giá trị của tham số a để L  lim
A. a  0, a  1.

D. L  1.

4n 2  n  2
. Để dãy số đã cho có giới hạn bằng 2, giá trị của a là
an 2  5

Câu 16. Cho dãy số  un  với un 
A. a  4.

C. L  2.

B. 0  a  1.

5n 2  3an 4
 0.
1  a  n 4  2n  1

C. a  0, a  1.

D. 0  a  1.

C. L  3.

D. L  .

 2n  n  3n  1 .
Câu 19. Tính giới hạn L  lim
 2n  1  n  7 
3

2

4

3
A. L   .
2

B. L  1.

Câu 20. Tính giới hạn L  lim
A. L  0.

2

n

3
3

4

 3n  1 3n 2  7 

.

8
C. L  .
3

D. L  .

1
C. L  .
8

D. L  .

C. 

D.

n 1
.
n 8

B. L  1.

Câu 22. Kết quả của giới hạn lim
1
A.  .
3

 2n  2n3  1  4n  5 

B. L  1.

Câu 21. Tính giới hạn L  lim
1
A. L  .
2

n

n3  2n
là
1  3n 2

B. .

2
.
3

Trang 22


Câu 23. Kết quả của giới hạn lim
A.

3
.
4

2n  3n3
là
4n 2  2n  1

B. .

Câu 24. Kết quả của giới hạn lim

D.

5
.
7

C. .

D.

3
.
4

3n  n 4
là
4n  5

B. .

A. 0.

C. 0.

Câu 25. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0?
A. lim

3  2n3
.
2n 2  1

B. lim

2n 2  3
.
2 n 3  4

C. lim

2n  3n3
.
2n 2  1

D. lim

2n 2  3n4
.
2 n 4  n 2

1
Câu 26. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng  ?

3

A. un 

n 2  2n
.
3n 2  5

B. un 

 n 4  2n 3  1
.
3n 3  2n 2  1

B. un 

n 2  3n3
.
9n 3  n 2  1

D. un 

 n 2  2n  5
.
3n3  4n  2

C. un 

n 2  2n
.

5n  5n 2

D. un 

1  2n
.
5n  5n 2

C. un 

2n 2  3n4
.
n 2  2n3

D. un 

n 2  2n
.
5n  1

Câu 27. Dãy số nào sau đây có giới hạn là  ?
A. un 

1  2n
.
5n  5

B. un 

n2  2

.
5n  5n3

Câu 28. Dãy số nào sau đây có giới hạn là  ?
A. un 

1  2n
.
5n  5n 2

B. un 

n3  2n  1
.
 n  2n 3

Câu 29. Tính giới hạn L  lim  3n 2  5n  3 .
A. L  3.

B. L  .

C. L  5.

D. L  .

C. L  3.

D. L  .

Câu 30. Tính giới hạn lim  3n 4  4n 2  n  1 .

A. L  7.

B. L  .

Câu 31. Cho dãy số  un  với un  2 

 2

2

 ... 

 2  . Mệnh đề nào sau đây đúng?
n

2

A. lim un  .

B. lim un 

B. lim un  .

D. Không tồn tại lim un .

1 2

.

1

3
n
 1   ... 
2
2 bằng
Câu 32. Giá trị của giới hạn lim 2
n2  1

A.

1
.
8

B. 1.

C.

1
.
2

D.

1
.
4

Trang 23

2
n 1 
 1
Câu 33. Giá trị của giới hạn lim  2  2  ...  2  bằng
n
n 
n

A. 0.

B.

1
.
3

C.

1
.
2

D. 1.

 1  3  5  ...   2n  1 
Câu 34. Giá trị của giới hạn lim 
 bằng
3n 2  4



A. 0.

B.

1
.
3

C.

2
.
3

D. 1.

 1

1
1
Câu 35. Giá trị của giới hạn lim 
 1.2  2.3  ...  n  n  1  là


A.

1
.
2

B. 1.

C. 0.

D. .

 1

1
1
Câu 36. Giá trị của giới hạn lim 
bằng
 1.3  3.5  ...   2n  1 2n  1 


A.

1
.
2

B.

1
.
4

C. 1.

D. 2.

 1

1
1
Câu 37. Giá trị của giới hạn lim 
bằng
 1.4  2.5  ...  n  n  3 



A.

11
.
18

B. 2.

Câu 38. Giá trị của giới hạn lim

A. 4.

C. 1.

B. 1.

C.

D.

1
.
3

1
C. lim un  .
2

D. lim un  1.

un  2

xác định bởi 
. Tính lim un .
un  1
un 1  2 , u  1

B. lim un  0.

Câu 41. Kết quả của giới hạn lim

1
.
2

1

un  2

xác định bởi 
. Tính lim un .
un 1  1 , u  1
2  un


B. lim un  0.

Câu 40. Cho dãy số có giới hạn  un 
A. lim un  1.

3
.
2

12  2 2  ...  n 2
bằng
n  n 2  1

Câu 39. Cho dãy số có giới hạn  un 

A. lim un  1.

D.

C. lim un  2.

D. lim un  .

9n 2  n  1

bằng
4n  2
Trang 24


A.

2
.
3

B.

3
.
4

Câu 42. Kết quả của giới hạn lim
2
A.  .
3

B.

5
.
2

B.

Câu 45. Biết rằng lim

3n 4  2

C.

n n2
2

A. S  1.

A. .

 a sin

P

4

n4  n2  1

D. 1.

C. 1.

D.

C. S  0.

D. S  1.

C. 0.

D. .

2n  2
là:
n  n2  1
4

C. 0.

an3  5n 2  7
3n 2  n  2

1
.
2

là:

B. 1.
3

C. .

 b. Tính S  a 3  b3 .

10

Câu 47. Kết quả của giới hạn lim  n  1

Câu 48. Biết rằng lim



B. 10.

A. .

1
D.  .
2

n 1  4
bằng
n 1  n

B. S  8.

Câu 46. Kết quả của giới hạn lim

 3
.
3

2n  3
là:
2n  5

B. 0.

n  n2  1

D. 3.

bằng

5
.
7

Câu 44. Kết quả của giới hạn lim
A. 1.

 n 2  2n  1

1
.
2

Câu 43. Kết quả của giới hạn lim
A.

C. 0.

D. .

 b 3  c với a, b, c là các tham số. Tính giá trị của biểu thức

ac
.
b3

A. P  3.

1
B. P  .
3

C. P  2.

D. P  27.

Câu 49. Kết quả của giới hạn lim 5 200  3n5  2n 2 là:
A. .

B. 1.

Câu 50. Giá trị của giới hạn lim
A. 0.



C. 0.



n  5  n  1 bằng

B. 1.

Câu 51. Giá trị của giới hạn lim



D. .

C. 3.

D. 5.



n 2  n  1  n là

Trang 25