Tài liệu Bài tập giới hạn dãy số doc

dcq dcq
Giới hạn dãy số
*Các giới hạn thường gặp:
limC = C ; lim= 0 α > 0 ; lim = 0 ; limq
n
= 0 |q| < 1
*Các phép toán giới hạn :
lim(u
n
± v
n
) = limu
n
± limv
n
;

lim(u
n
.v
n
) = limu
n
;
limv
n
lim =
*Các định lý về giới hạn:
Định lý 1: Một dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn
Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn
Định lý 2: Cho 3 dãy số (u

n
),(v
n
) và (w
n
)
Nếu ∀n ta có u
n
≤ v
n
≤ w
n
và limu
n
= limw
n
= A thì limv
n
= A
Định lý 3: Nếu limu
n
= 0 thì lim = ∞
Nếu limu
n
= ∞ thì lim = 0
*Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là S =
1.Dùng định nghĩa,tính các giới hạn sau:
a) lim b) lim c) lim
2.Tính các giới hạn sau:
a) lim b) lim c) lim

d) lim e) lim
1n2n
3n2
3 3
+−
−

f)lim() g) lim
3.Tính các giới hạn sau:
a) lim b) lim() c) lim)
d) lim) e) lim
f) lim g) lim
13n
1n3nnn
2
3
23
+
++++
h) lim i) lim()
j) lim n() k) lim(
nn2n
3
23
−−
)
l) lim m) lim(1 + n
2
– )
n) lim

4.Tính các giới hạn
a) lim b) lim c) lim
d) lim e) lim f) lim
g) lim với |a| < 1 ; |b| < 1
4.Cho dãy (u
n
) xác định bởi u
1
= ; u
n+1
=
a)Chứng minh rằng (u
n
) bị chặn trên bởi 2 và là dãy số tăng
b)Suy ra (u
n
) có giới hạn và tính giới hạn đó
5.Cho dãy (u
n
) xác định bởi u
1
= ; u
n+1
=
a)Chứng minh rằng (u
n
) bị chặn trên bởi 1 và là dãy số tăng
b)Suy ra (u
n
) có giới hạn và tính giới hạn đó

6.Tìm các số hữu tỉ sau :
a) 2,1111111... b)1,030303030303... c)3,1515151515....
7.Tính lim(1 – ).(1 – ).(1 – )…(1 – )
8. Cho dãy (x
n
) thỏa 0 < x
n
< 1 và x
n+1
(1 – x
n
) ≥
Chứng minh rằng: dãy số (x
n
) tăng. Tính limx
n

9. Cho dãy (x
n
) thỏa 1 < x
n
< 2 và x
n+1
= 1 + x
n
– x
n
2
∀n ∈ N
a)Chứng minh rằng: |x

n
– | < ()
n
∀n ≥ 3
b) Tính limx
n

10.Cho dãy số xác định bởi : u
1
= ; u
n +1
=
a) Chứng minh rằng: u
n
< 1 ∀n
b) Chứng minh rằng: (u
n
) tăng và bị chặn trên
c) Tính limu
n
11.Cho dãy số (u
n
) xác định bởi công thức u
1
= và u
n +1
=
a) Chứng minh rằng u
n
< 3 ∀ n

b)Chứng minh rằng: (u
n
) tăng và bị chặn trên
c) Tính limu
n
Giới hạn hàm số
*Các phép toán về giới hạn hàm số
[ ]
x a x a
x a
lim f (x) g(x) limf (x) limg(x)
→ →
→
± = ±
[ ]
x a x a
x a
lim f (x).g(x) limf(x).limg(x)
→ →
→
=
x a
x a
x a
limf (x)
f (x)
lim
g(x) limg(x)
→
→

→
=

x a x a
lim f (x) limf (x)
→ →
=
*Các định lý về giới hạn hàm số :
Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất
Định lý 2:Cho 3 hàm số g(x),f(x),h(x) cùng xác định trong khoảng K
chứa a và g(x) ≤ f(x) ≤ h(x). Nếu
x a x a
limg(x) lim h(x) L
→ →
= =
thì
x a
limf (x) L
→
=
Định lý 3: Nếu
x a x a
1
limf (x) 0 thì lim
f (x)
→ →
= = ∞

1
dcq dcq

Nếu
x a x a
1
limf (x) thì lim 0
f (x)
→ →
= ∞ =

Định lý 4:
x 0
sinx
lim 1
x
→
=

x 0
x
lim 1
sinx
→
=

x 0
sin kx
lim 1
kx
→
=

x 0
kx
lim 1
sin kx
→
=
*Các dạng vô định: là các giới hạn có dạng ; ; 0.∞ ; ∞ – ∞
1.Tính các giới hạn sau:
a)
2x
2x3x2
lim
2
2x
−
−−
→
b)
1x
3x5x3x
lim
2
23
1x
−
−+−
→

c)
4x4x

x2x
lim
2
2
2x
++
+
−→
d)
2x3x
1xxx
lim
2
23
1x
+−
+−−
→
e)
9x8x
9x3x5x
lim
24
23
3x
−−
++−
→
f)
3x2x

1x
lim
23
4
1x
+−
−
−→
g)
1xx2
3x2x
lim
2
2
1x
−−
−+
→
h)
2
3
2x
x4
2x3x
lim
−
+−
−→
i)
1x

xx5x4
lim
2
56
1x
−
+−
→
k)
1x
1x
lim
n
m
1x
−
−
→
m,n∈N
2.Tính các giới hạn sau:
a)
x4
35x
lim
4x
−
−+
→
b)
x

x1x1
lim
0x
−−+
→
c)
49x
3x2
lim
2
7x
−
−−
→

d)
4x
31x4
lim
2
2x
−
−+
→
e)
31x4
x2x
lim
2x
−+

−+
→
f)
x51
x53
lim
4x
−−
+−
→

g)
3x3
2x3x2
lim
1x
+
+−+
−→
h)
3x4x
4x7x2
lim
23
1x
+−
−++
→
i)
1x

xx
lim
2
1x
−
−
→
j)
23x
1x
lim
1x
−+
−
→
k)
31x4
x2x
lim
2x
−+
−+
→
l)
3x2
37x2
lim
1x
+−
−+

→
m)
1x
1x1x
lim
2
1x
−
−+−
+
→
n)
1x
2x3x
lim
2
3
1x
−
−−
→
o)
1x
x3x3x
lim
32
1x
−
−++
→

3.Tính các giới hạn sau:
a)
33
2x
x8x8
x
lim
+−−
→
b)
1x
2xx
lim
3
35
1x
+
++
−→
c)
1x1
x
lim
3
0x
−+
→
d)
2
3 2

0x
x
1x1
lim
−+
→
e)
4x5x
x4x
lim
2
3
4x
+−
−+
→
f)
9x
5x10x2
lim
2
3
3x
−
−++
−→
g)
2x
2xx10
lim

3
2x
−
+−−
→

h)
4x
2x6x
lim
2
3
2x
−
+−+
→
i)
3
2
x 2
8x 11 x 7
lim
x 3x 2
→
+ − +
− +
g)
3 5
4
4

x 1
(1 x)(1 x)(1 x)(1 x)
lim
(1 x)
→
− − − −
−
h)
n
2
x 1
x nx n 1
lim
(x 1)
→
− + −
−
4.Tính các giới hạn sau:
a)
x2
x3sin
lim
0x
→
b)
x2sin
x5
lim
0x
→

c)
x7sin
x4sin
lim
0x
→
d)
2
0x
x
x6cos1
lim
−
→

e)
xcos1
x3cos1
lim
0x
−
−
→
f)
2
0x
x2
x3cosxcos
lim
−

→
g)
2
0x
x
xcos1
lim
−
→

h)
x6sin
xcosxsin3
lim
6
x
−
π
→
i)
x8sin
xcosxsin
lim
4
x
−
π
→
j)
11x

1xsinxcos
lim
2
44
0x
−+
−−
→
k)
xcosxsin1
xcosxsin1
lim
0x
−−
−+
→
l)
)
xcos
1
xsin
1
(lim
0x
−
→
m)
tgx)x
2
(lim

0x
−
π
→
n)
xsin
xcos12
lim
2
0x
+−
→
o)
2
0x
x
x2cos.xcos1
lim
−
→
p)
xtg
x2cosxsin1
lim
2
0x
−+
→
q)
tgx1

xcosxsin
lim
4
x
−
−
π
→
r)
2
0x
x11
1x2cos
lim
−−
−
→
4.Tính các giới hạn sau:
a)
x 0
1 3 1
lim .
sinx sin 3x x
→
 
−
 ÷
 
b)
3

x 0
tgx sinx
lim
x
→
−
c)
2
x 0
1 cosx
lim
tg x
→
−
d)
x
2
cosx
lim
x- /2
π
→
π
e)
x
2
lim(1 cos2x)tgx
π
→
+

f)
x
4
1 tgx
lim
1 cotgx
π
→
−
−
g)
x
4
sinx - cosx
lim
1 - tgx
π
→
h)
3
x
3
tg x 3tgx
lim
cos(x + )
6
π
→
−
π

i)
x
lim x.sin
x
→∞
π
 
 ÷
 
j)
2
x 0
2 1 cosx
lim
tg x
→
− +
k)
x 0
1 sin 2x 1 sin 2x
lim
x
→
+ − −
l)
x
lim(sin x 1 sin x)
→∞
+ −
m)

x
lim(cos x+1 cos x)
→∞
−
2
dcq dcq
5.Tính các giới hạn sau:
a)
)
1x
3
1x
1
(lim
3
1x
−
−
−
→
b)
)
4x
4
2x
1
(lim
2
2x
−

+
+
−→

b)
2 2
x 2
1 1
lim
x 3x 2 x 5x 6
→
 
+
 ÷
− + − +
 
c)
x4x
)x3x)(1x(
lim
3
2
x
+
+−
∞→
d)
1x2
x3xx
lim

2
x
−
−+
∞→

e)
)x3xx(lim
2
x
++−
∞→
f)
)x5x3(lim
x
−−−
−∞→

g)
)x5x(xlim
2
x
−+
∞→
h)
)x1x(xlim
2
x
−+
+∞→

i)
)3x7x1x2x(lim
22
x
+−−−−
+∞→
i)
2
2
x
x x 2 3x
lim
4x 1 x 1
→∞
+ + +
+ − +
j)
2 2
x
9x x 1 4x 2x 1
lim
x 1
→∞
+ + − + +
+
h)
2
3
3
x

x 2x 3
lim
x x 1
→∞
+ +
− +
j)
1xx
1xx1xx
lim
2
22
x
++
+−+++
∞→
k)
1xx16x141
x7
lim
2
x
++++
∞→
6.Tính giới hạn các hàm số sau
a)
2x
x3x
lim
2

x
+
−
∞→
b)
)1xxx(lim
22
x
+−−
∞→
c)
x
1
sinxlim
2
0x
→
d)
3x2x
x2cos3xsin
lim
2
x
+−
+
∞→

e)
1x
xxcos5

lim
3
2
x
−
+
+∞→
f)
2
x
lim( x x x
→∞
+ −
)
g)
2
x
lim(2x 1 4x 4x 3)
→∞
− − − −
h)
x
lim x x x x
→+∞
 
+ + −
 ÷
 
i)
3 2 3

x
lim(x 3x x )
→∞
+ −
j)
(
)
3
2 3
x
lim x 1 x 1
→∞
+ − −
7.Tìm 2 số a,b để
a)
0)bax1xx(lim
2
x
=−−++
+∞→
b)
)bax
1x
1x
(lim
2
x
−−
+
+

∞→
= 0
8. Tính các giới hạn sau:
a)
(
)
2 2
x
lim x x 2x 2 x x x
→+∞
+ − + +
b)
(
)
3 3 2 2
x
lim x 3x x 2x
→+∞
+ − −
Hàm số liên tục
Định nghĩa:
*Hàm số f(x) liên tục tại x
o
⇔
o
o
x x
lim f (x) f (x )
→
=

*Hàm số f(x) gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu nó liên tục tại mọi điểm
x
o
∈ (a;b)
*Hàm số f(x) gọi là liên tục trên đoạn [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng [a;b]
và
x a x b
lim f (x) f (a) và lim f (x) f (b)
+ −
→ →
= =
Các định lý:
Định lý 1:Các hàm số đa thức,hữu tỉ,lượng giác là các hàm số liên tục trên
tập xác định của chúng
Định lý 2:Tổng,hiệu,tích,thương của những hàm liên tục là một hàm liên tục
Định lý 3:Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại
ít nhất một số c ∈ (a;b) sao cho f(c) = 0
Hệ quả:Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì phương
trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm trên khoảng (a;b)
1.Xét sự liên tục của các hàm số sau:
a) f(x) = x
2
+ x – 3 b)f(x) = b)f(x) =
2.Xét sự liên tục của các hàm số sau:
a) f(x) =



≥−
<+−

1 xkhi 32x
1 x khi 4x3x
2
tại x
o
= 1
b) f(x) =







=
≠
−−
−−
2 xkhi
3
11
2 xkhi
2xx
6xx
2
3
tại x
o
= 2
c) f(x) =

sin x
khi x 1
x 1
khi x 1
π

≠

−


−π =

tại x
o
= 1
d) f(x) =
2
2
x 3x 2
khi x 1
x 1
x
khi x 1
2

− +
≥



−


− <


tại x
o
= 1
3
dcq dcq
e) f(x) =
2
4 x
khi x 2
x 2
1 2x khix 2

−
<

−


− >

tại x
o
= 2
f) f(x) =

3
3
x khi x 0
2
x 1 1
khi x 0
1 x 1

+ ≤



+ −

≥

+ −

tại x
o
= 0
g) f(x) =
3
2
1 cosx
khi x 0
sin x
1
khi x 0
6


−
≠




=


tại x
o
= 0
h) f(x) =
1 2x 3
khi x 2
2 x
1 khi x 2

− −
≠


−

=

tại x
o
= 2

3.Tìm a để các hàm số sau liên tục tại x
0
a) f(x) =



≥+
<−+
1 xkhi a2x
1 x khi 1x2x3
2
tại x
0
= 1
b) f(x) =





=
≠
−
−+
1 xkhi a
1 x khi
1x
3x2x
2
3

tại x
0
= 1
c) f(x) =
1 cos4x
khi x 0
x.sin 2x
x a
khi x 0
x 1

−
<



+

≥

 +
tại x
o
= 0
d) f(x) =
1 x 1 x
khi x 0
x
4 x
a khi x 0

x 2

− − +
<



−

+ ≥

 +
tại x
o
= 0
4.Xét sự liên tục của các hàm số sau:
a) f(x) =



−≥−
−<−−
2 xkhi x 1
2 x khi 7x3x
2

b) f(x) =










>−
≤≤
+
+
<
−
−+
5 x khi 43x
5x2 khi
2x
32x
2 xkhi
4x
10x3x
2
2

5.Tìm a để các hàm số sau liên tục trên R
a) f(x) =
3
3x 2 2
khi x 2
x 2
1

ax + khi x 2
4

+ −
>


−


≤


b) f(x) =
sin(x )
3
khi x
1 2cos x 3
a khi x
3
π

−

π
≠

−



π
=



5.Tìm a,b để hàm số sau liên tục trên R
a) f(x) =









π
>
π
≤≤
π
−+
π
−<−

2
x khi xcos
2
x
2

khi basinx
2
x khi xsin2
b) f(x) =





>−
≤≤+
<
3 xkhix 4
3x1 khi bax
1 x khi x
2
6. Chứng minh rằng các phương trình sau có nghiệm:
a) x
3
– 2x – 7 = 0 b) x
5
+ x
3
– 1 = 0
c) x
3
+ x
2
+ x + 2/3 = 0 d) x
3

– 6x
2
+ 9x – 10 = 0
e) x
5
+ 7x
4
– 3x
2
+ x + 2 = 0 f) cosx – x + 1 = 0
7. Chứng minh rằng phương trình
a) x
3
– 3x
2
+ 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3)
b) 2x
3
– 6x + 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 2;2)
4
dcq dcq
c) x
3
+ 3x
2
– 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 3;1)
d) x
3
– 3x
2

+ 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3)
e) 2x
2
+ 3x – 4 = 0 có 2 nghiệm trong khoảng (– 3;1)
f)* x
5
– 5x
4
+ 4x – 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (0;5)
8. Cho 3 số a,b,c khác nhau .Chứng minh rằng phương trình
(x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0
Có 2 nghiệm phân biệt
9*.Cho f(x) = ax
2
+ bx + c thoả mãn : 2a + 6b + 19c = 0
Chứng minh rằng phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có nghiệm trong [0;]
9*.Cho f(x) = ax
2
+ bx + c thoả mãn : 2a + 3b + 6c = 0
a)Tính a,b,c theo f(0), f(1) ,f(1/2)
b)Chứng minh rằng ba số f(0), f(1) ,f(1/2) không thể cùng dấu
c)Chứng minh rằng phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có nghiệm trong (0;1)
10*.Cho f(x) = ax
2
+ bx + c thoả mãn : = 0
a)Chứng minh rằng af() < 0 với a ≠ 0

b)Cho a > 0 , c < 0 ,chứng minh rằng f(1) > 0
c)Chứng minh rằng phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có nghiệm trong (0;1)
11*.Cho hàm số f(x ) liên tục trên đoạn [a;b] thoả f(x) ∈ [a;b] ∀ x ∈ [a;b]
Chứng minh rằng phương trình: f(x) = x có nghiệm x ∈ [a;b]
12. Chứng minh rằng: các phương trình sau luôn luôn có nghiệm:
a) cosx + m.cos2x = 0
b) m(x – 1)
3
(x + 2) + 2x + 3 = 0
c) a(x – b)(x – c) + b(x – c)(x – a) + c(x – a)(x – b) = 0
d) (m
2
+ m + 1)x
4
+ 2x – 2 = 0
13.Cho hàm số f(x) liên tục trên [a;b] và α , β là hai số dương bất kỳ. Chứng
minh rằng: phương trình f(x) = có nghiệm trên [a;b]
14.Cho phương trình x
4
– x – 3 = 0. Chứng minh rằng: phương trình có
nghiệm x
o
∈ (1;2) và x
o
>
5