Phần tử hai chiều pot

PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ
HỮU HẠN - FEM
Trường Đại học Công nghiệp TP.HCM
Đường Công Truyền
Chương 7:
PHẦN TỬ HAI CHIỀU
Ôn lại lý thuyết cơ bản
Thành phần ứng suất và biến dạng
• Dạng tổng quát của
thành phần ứng suất và
biến dạng
Liên hệ ứng suất - biến dạng
• Định luật Hooke cho vật liệu đàn hồi tuyến
tính và đẳng hướng
( )
( )
( )
1
1
1
, ,
x x y z
y y z x
z z x y
x y x y x y
y z zx x y
E
E
E
G G G
ε σ ν σ σ

ε σ ν σ σ
ε σ ν σ σ
τ τ τ
γ γ γ

 
= + −

 


 
= + −
 



 
= + −
 



= = =

( )
2 1
E
G
ν

=
+
E: môđun đàn hồi,
ν
: hệ số Poisson của vật liệu, G: môđun đàn hồi trượt
Liên hệ ứng suất - biến dạng
• Suy ra
• Hay
( )( )




















−

−
−
−
−
−
−+
=
ν
ν
ν
ννν
ννν
ννν
νν
5000000
0500000
0050000
0001
0001
0001
211
,
,
,
E
D
(
)
( )
1 2

x y z x y z
E
ν
ε ε ε σ σ σ
−
+ + = + +
D
σ ε
=
Các trường hợp đặc biệt
• Bài toán 1 chiều
σ
= E
ε
• Bài toán 2 chiều
– Ứng suất phẳng (plane stress)
– Biến dạng phẳng (plane strain)
Bài toán ứng suất phẳng (plane stress)
• Kết cấu có chiều dày (z=constant) rất nhỏ so
với tiết diện
•
( )
1
1
2 1
x x y
y y x
z x y
x y
x y x y

E
E
E
G E
ε σ ν σ
ε σ ν σ
ν
ε σ σ
τ
ν
γ τ

 
= −
 



 
= −
 



 
= − +
 


+


= =

Bài toán ứng suất phẳng (plane stress)
• Hay:
• Suy ra:
• Hay
D
σ ε
=
2
1 0
1 0
1
1
0 0
2
x x
y y
x y x y
E
σ ε
ν
σ ν ε
ν
ν
τ γ
 
   
 

   
 
=
   
 
−
   
 
−
   
 
 
Bài toán biến dạng phẳng (plane strain)
• Kết cấu có tiết diện (= constant) rất nhỏ so với
chiều dài (phương z)
• Tải trọng phân bố dọc theo chiều dài
Bài toán biến dạng phẳng (plane strain)
• Suy ra:
• Hay:
( )( )
1 0
1 0
1 1 2
1 2
0 0
2
x x
y y
xy xy
E

σ ε
ν ν
σ ν ν ε
ν ν
ν
τ γ
 
   
 
−
   
 
= −
   
 
+ −
   
 
−
   
 
 
D
σ ε
=
Phương trình cân bằng
• Trong lý thuyết đàn hồi, ứng suất thỏa mãn
phương trình
• Trong đó f
x

và f
y
là các lực khối (như trọng lực)
trên đơn vị thể tích
Điều kiện biên
• Biên S của vật thể có thể chia ra làm 2 phần S
t
và S
u
• Điều kiện biên
• t
x
và t
y
: lực mặt (ứng suất trên biên)
Ví dụ 1
• Một tấm chịu lực phân bố p như hình vẽ, cho
E và
ν
là hằng số
• Tìm chuyển vị, biến dạng và ứng suất (nghiệm
chính xác)
Ví dụ 1
• Ứng suất
• Biến dạng
• Chuyển vị
• Khi nghiệm chính xác được số hóa (ví dụ tấm
có
lỗ
)

⇒
cần
FEM
Phần tử hữu hạn cho bài toán
hai chiều
Dạng tổng quát ma trận độ cứng phần tử
• Chuyển vị (u,v) trong mặt phẳng được nội suy
từ chuyển vị nút (u
i
,v
i
) thông qua hàm dạng N
i
• N là ma trận hàm dạng, u là véc tơ chuyển vị,
d là véc tơ chuyển vị nút
Dạng tổng quát ma trận độ cứng phần tử
• Từ liên hệ biến dạng – chuyển vị
• B = DN là ma trận chuyển vị - biến dạng
Dạng tổng quát ma trận độ cứng phần tử
• Năng lượng biến dạng trong mỗi phần tử
Phần
tử
tam
giác
có
biến
dạng
hằng
(Constant strain triangle - CST)
• Là phần tử 2D đơn giản nhất, còn được gọi là

linear triangular element
(phần tử tam giác
bậc 1)
- Phần tử có 3 nút
- Mỗi nút có 2 bậc tự do
- Thứ tự nút được đánh
theo ngược chiều kim
đồng hồ
Phần tử tam giác bậc 1
• Chuyển vi:
• Hay
Phần tử tam giác bậc 1
• Chuyển vị u, v được giả định là hàm tuyến tính
• b
i
(i=1,2…6) = constant
• Suy ra biến dạng:
• Vì biến dạng là hằng số nên nó có tên gọi là
phần tử tam giác có biến dạng hằng
Hàm dạng phần tử tam giác bậc 1
• Công thức tổng quát để tính hàm dạng:
Hàm dạng phần tử tam giác bậc 1
• Hàm dạng :
• Với A là diện tích tam giác giới hạn bởi ba nút
1, 2, 3
Hàm dạng phần tử tam giác bậc 1
• Hàm dạng N1
Hàm dạng phần tử tam giác bậc 1
• Hàm dạng N2
Hàm dạng phần tử tam giác bậc 1

• Hàm dạng N3
Hàm dạng phần tử tam giác bậc 1
Liên hệ biến dạng – chuyển vị
• Từ liên hệ biến dạng – chuyển vị, ta được
•
Ma trận độ cứng phần tử
• Ma trận độ cứng phần tử
• Là ma trận 6×6, trong đó t là chiều dày của
phần tử
• Kết quả nhân ma trận k được thực hiện bằng
máy tính
Tìm hàm dạng theo tọa độ diện tích
• Định nghĩa tọa độ diện tích
Tìm hàm dạng theo tọa độ diện tích
• A
1
= diện tích tam giác 2-3-P
• A
2
= diện tích tam giác 3-1-P
• A
3
= diện tích tam giác 1-2-P
Tìm hàm dạng theo tọa độ diện tích
• Ta có:
• Suy ra:
Tìm hàm dạng theo tọa độ diện tích
• Khi P → 1:
• Khi P →2:
• Khi P → 3:

(
)
( )
1 2 3
1 2 3
1 ; 0 ; 0
1 2 3
DT
L L L
DT
− −
= = = =
− −
(
)
( )
2 1 3
1 2 3
1 ; 0 ; 0
1 2 3
DT
L L L
DT
− −
= = = =
− −
(
)
( )
3 1 2

1 2 3
1 ; 0 ; 0
1 2 3
DT
L L L
DT
− −
= = = =
− −
• A
1
= diện tích tam giác 2-3-P
• A
2
= diện tích tam giác 3-1-P
• A
3
= diện tích tam giác 1-2-P
Tìm hàm dạng theo tọa độ diện tích
• L thỏa mãn 2 tính chất của hàm dạng, nên
1
1
n
i
i
N
=
=
∑
Hàm dạng trong hệ tọa độ tự nhiên

• Hàm dạng (từ tọa độ diện tích)
Hàm dạng trong hệ tọa độ tự nhiên
• Tính chất hàm dạng
• Hàm dạng N
1
Phần tử tam giác bậc 1
• Liên hệ giữa hệ tọa độ tổng thể và hệ tọa độ
tự nhiên
• Trong đó
Phần tử tam giác bậc 1
• Sử dụng đạo hàm của hàm hợp ta được
• Trong đó J là ma trận chuyển đổi Jacobian
Phần tử tam giác bậc 1
• Suy ra
• Tương tự
Phần tử tam giác bậc 1
• Từ liên hệ biến dạng – chuyển vị
• Suy ra
Phần tử tam giác bậc 1
• Dùng cho diện tích có tốc độ biến dạng nhỏ
• Dùng tạo lưới cho các bề măt tiếp giáp (từ
lưới tinh sang lưới thô)
• Dùng phân tích sơ bộ bài toán 2D
• Tránh sử dụng tại những nơi tập trung ứng
suất (cạnh của góc, của lỗ, …)
Phần tử tam giác có biến
dạng hằng KHÔNG thích
hợp cho các vật liệu phức
hợp
Phần tử tam giác có biến dạng bậc 1

(Linear strain triangle - LST)
• Còn gọi là phần tử tam giác bậc 2 (quadratic
triangular element)
- Phần tử có 6 nút
- Mỗi nút có 2 bậc tự do
- Thứ tự nút được đánh
theo ngược chiều kim
đồng hồ, từ ngoài vào
trong
• Chuyển vị u, v được giả định là hàm bậc 2
• b
i
(i=1,2…12) = constant
• Biến dạng được tính là
• Vì biến dạng là hàm bậc 1 nên nó có tên gọi là phần
tử tam giác có biến dạng bậc 1
Phần tử tam giác bậc 2
Hàm dạng phần tử tam giác bậc 2
• Xét phần tử tam giác tổng quát
bậc p theo tọa
độ diện tích
• Số nút phần tử bậc p
• Tại mỗi nút thì
Hàm dạng phần tử tam giác bậc 2
• Hàm dạng được tính theo công thức
• Với
• Trong đó
• Ví dụ khi
α
=1,

β
=1
Hàm dạng phần tử tam giác bậc 2
• Hàm dạng theo tọa điện tích
Hàm dạng phần tử tam giác bậc 2
• Tương tự ta được
(
)
2 2 2
2 1
N L L
= −
(
)
3 3 3
2 1
N L L
= −
Hàm dạng phần tử tam giác bậc 2
• Hàm dạng N
4
Hàm dạng phần tử tam giác bậc 2
• Tương tự ta được
5 2 3
4
N L L
=
6 1 3
4
N L L

=
Hàm dạng phần tử tam giác bậc 2
• Hàm dạng trong hệ tọa độ tự nhiên
• Thay L
1
=
ξ
, L
2
=
η
, L
3
= 1-
ξ
-
η
ta được
(
)
2 2 2
2 1
N L L
= −
(
)
3 3 3
2 1
N L L
= −

(
)
1 1 1
2 1
N L L
= −
5 2 3
4
N L L
=
6 1 3
4
N L L
=
4 1 2
4
N L L
=
Phần tử tam giác bậc 2
• Chuyển vị
• Ma trận độ cứng phần tử
• Chuyển vị là hàm bậc hai đối với x và y
• Kết quả nhân ma trận k được thực hiện bằng
máy tính
Phần
tử
tứ
giác
bậc
1

(Linear quadrilateral element)
- Phần tử có 4 nút
- Mỗi nút có 2 bậc tự do
- Thứ tự nút được đánh theo ngược chiều kim đồng hồ
Hàm dạng phần tử tứ giác bậc 1
• Hàm dạng được xây dựng từ định lý Lagrange
như sau:
• Áp dụng định lý Lagrange theo 2 phương (x, y)
hay (
ξ
,
η
)
( ) ( )
0
n
m
k k
m
k m
k m
x x
N x L x
x x
=
≠
−
= =
−
∏

(
)
(
)
(
)
,
k k k
N x y L x L y
= ×
Phần tử tứ giác bậc 1
• Hàm dạng
(
)
(
)
(
)
( )( )
1 1 1
,
1 1 1
1 1
1 1 1 1 4
N L L
ξ η ξ η
ξ η
ξ η
= ×
− −

= = − −
− − − −
( ) ( ) ( )
(
)
( )
( )( )
2 2 2
1
1 1
, 1 1
1 1 1 1 4
N L L
ξ
η
ξ η ξ η ξ η
− −
−
= × = = + −
− − − −
( ) ( ) ( )
(
)
( )
(
)
( )
( )( )
3 3 3
1 1

1
, 1 1
1 1 1 1 4
N L L
ξ η
ξ η ξ η ξ η
− − − −
= × = = + +
− − − −
( ) ( ) ( )
(
)
( )
( )( )
4 4 4
1
1 1
, 1 1
1 1 1 1 4
N L L
η
ξ
ξ η ξ η ξ η
− −
−
= × = = − +
− − − −
Phần tử tứ giác bậc 1
• Hàm dạng trong hệ tọa độ tự nhiên
Phần

tử
tứ
giác
bậc
2,
chín
nút
(9-node quadratic quadrilateral element)
- Phần tử có 9 nút
- Mỗi nút có 2 bậc tự do
- Thứ tự nút được đánh
theo ngược chiều kim
đồng hồ, từ ngoài vào
trong
Phần tử tứ giác bậc 2, chín nút
• Hàm dạng
(từ định lý Lagrange)
(
)
(
)
(
)
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
1 1 1
,

0 1 0 1
1 0 1 1 1 0 1 1
1
1 1
4
N L L
ξ η ξ η
ξ ξ η η
ξ η ξη
= ×
− − − −
=
− − − − − − − −
= − −
• Hàm dạng
•
Phần tử tứ giác bậc 2, chín nút
Phần tử tứ giác bậc 2, tám nút
(8-node quadratic quadrilateral element)
• Là phần tử được sử dụng rộng rãi nhất trong
các bài toán 2D do độ chính xác trong phân
tích và linh hoạt cao trong mô phỏng
- Phần tử có 8 nút
- Mỗi nút có 2 bậc tự do
- Thứ tự nút được đánh
theo ngược chiều kim
đồng hồ, từ ngoài vào
trong
Phần tử tứ giác bậc 2, tám nút
• Tính hàm dạng theo công thức sau

Phần tử tứ giác bậc 2, tám nút
• Hàm dạng
• Trường chuyển vị là các hàm bậc hai.
• Biến dạng và ứng suất là các hàm bậc nhất sẽ
được biểu diễn tốt hơn
Phần tử tứ giác bậc 2, tám nút
• Lưới các phần tử bậc nhất gồm: phần tử tam
giác bậc nhất và phần tử tứ giác bậc nhất
• Lưới các phần tử bậc hai gồm: phần tử tam
giác bậc hai và phần tử tứ giác bậc hai
• Các phần tử bậc hai thích hợp cho sự phân
tích ứng suất do độ chính xác trong phân tích
và linh hoạt cao trong mô phỏng hình dạng
hình học phức tạp (ví dụ các biên cong).
Ghi chú
• Tấm (10 in×10 in×0,1 in) có lỗ ở tâm (
φ
= 1 in)
chịu lực như hình vẽ. Cho E =10×10
6
psi,
ν
=
0,3, p = 100 psi. Tìm ứng suất lớn nhất trong
tấm?
Ví dụ 2
• Nghiệm giải tích: Ứng suất max sẽ tập trung ở A và
B. Nghiệm chính xác cho bài toán tấm có kích thước
vô hạn với lỗ ở tâm là 3p (300 psi).
• Nghiệm FEM: sử dụng ANSYS với các dạng phần tử

khác nhau
Ví dụ 2
Lưới tam giác bậc hai
Lưới tứ giác bậc nhất
Lưới tứ giác bậc hai
Lưới tứ giác bậc hai
Ví dụ 2
Lưới tứ giác bậc hai, 493 phần tử
Ví dụ 2
Ứng suất Max, lưới tứ giác bậc hai, 493 phần tử
Bài tập về nhà 1
• Tìm hàm dạng của phần tử tam giác bậc 3,
mười nút
Bài tập về nhà 2
• Tìm hàm dạng của phần tử tứ giác mười nút