Bien ngau nhien

BIẾN NGẪU NHIÊN QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT


Mục tiêu

1.

Phân biệt và nhận dạng được một biến ngẫu nhiên là liên tục hay rời rạc.

2.

Trình bày được định nghĩa, tính chất và hiểu ý nghĩa của 4 quy luật xác suất của đại lượng
ngẫu nhiên liên tục: Chuẩn, Khi bình phương, Student, Fisher-Snedecor.

3.

Trình bày được định nghĩa, tính chất và hiểu ý nghĩa của 4 quy luật xác suất của đại lượng
ngẫu nhiên rời rạc: Nhị thức, Poisson, Siêu bội, Đa thức.

4.

Vận dụng được các quy luật xác suất này vào giải một số bài toán cơ bản.

2


NỘI DUNG BÀI HỌC



1. BIẾN NGẪU NHIÊN



1.1. Khái niệm BNN



1.2. Phân loại Biến NN



1.3. Luật phân phối xác suất

- Bảng phân phối xác suất của ĐLNN rời rạc



Hàm mật độ XS của ĐLNN liên tục: f(x)



Hàm Phân phối XS: F(x)



2. CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA ĐLNN



3. CÁC QUY LUẬT XÁC SUẤT THƯỜNG GẶP



…

3


1. Biến ngẫu nhiên (Random variables)
1.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên



Định nghĩa: Một biến số được gọi là biến ngẫu nhiên nếu nó nhận một giá trị ngẫu
nhiên đại diện cho kết quả của phép thử.



Kí hiệu: Các biến ngẫu nhiên được kí hiệu: X, Y, Z, …; cịn các giá trị của chúng là x,
y, z…

4


1. Biến ngẫu nhiên (Random variables)



Ví dụ: Khi thực hiện phép thử, gieo n hạt thóc, ta chưa biết có bao nhiêu hạt sẽ nảy
mầm, số hạt nảy mầm có thể là 0, 1, 2, …, n.

Gọi X là số hạt nảy mầm thì X là biến ngẫu nhiên và X có tập giá trị X = {0,1 ,2, …, n}.
[X= 1] là biến cố “có một hạt thóc nẩy mầm”

5


1. Biến ngẫu nhiên (Random variables)
(Đại lượng ngẫu nhiên)
1.2. Phân loại biến ngẫu nhiên:

 Biến ngẫu nhiên rời rạc: Biến ngẫu nhiên nhận các giá trị 1,2,3,…,n (biến ngẫu nhiên mà
tập giá trị của nó là hữu hạn hoặc vơ hạn đếm được).
Ví dụ:
- Y Số con trong một gia đình: Y={0,1, 2, …}, Y là ĐLNN rời rạc.



Z là số người đi qua Ngã tư đường phố nào đó, Z là 1 biến ngẫu nhiên rời rạc

6


Ví dụ BNN rời rạc



VD2: Chọn ngẫu nhiên 3 sản phẩm từ một lơ sản phẩm có 7 chính phẩm và 3 phế phẩm.

 Gọi X là số chính phẩm được lấy ra thì X có thể nhận các giá trị: 0, 1, 2, 3.



VD3: Tung 2 đồng xu, đặt X là số mặt Sấp có được.

 X = {0, 1, 2}.

7


1. Biến ngẫu nhiên (Random variables)
(Đại lượng ngẫu nhiên)
1.2. Phân loại biến ngẫu nhiên (tt):

 Biến NN liên tục (ĐLNN liên tục): Là biến ngẫu nhiên nhận các giá trị tùy ý trong một
đoạn [a,b](X nhận vô hạn không đếm được các giá trị mà tập các giá trị này lấp đầy
một khoảng nào đó trên trục số).
(khoảng nào đó của R).
Ví dụ: - Cân nặng, chiều cao… của người là ĐLNN liên tục;
hay “Khoảng cách từ điểm trúng viên đạn đến tâm của bia” là BNN liên tục.

8


1. Biến ngẫu nhiên (Random variables)
(Đại lượng ngẫu nhiên)
1.3. Luật phân phối xác suất của ĐLNN



Định nghĩa: 

Luật PP xác suất của biến ngẫu nhiên là một cách biểu diễn quan hệ giữa các giá trị

của biến ngẫu nhiên với các xác suất tương ứng khi nó nhận từng giá trị đó.

9


1. Biến ngẫu nhiên (Random variables)
(Đại lượng ngẫu nhiên)
1.3.1. PPXS của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc
Cho X là ĐLNN rời rạc, X = {x1, x2, …, xn,. . . }, với xác suất tương ứng là: pi= P(X=xi),
i = 1, 2, …, n, ... Ta có phân phối xác suất dạng bảng:

X

x1

x2

...

xn

...

P(X=xi)

p1

p2

...

pn

...

Trong đó: pi ≥ 0;

 Nếu x0

; P(a
{x1, x2, …, xn,. . .} thì P(X=x0)=0

10


1. Biến ngẫu nhiên (Random variables)
1.3.1. PPXS của ĐLNN rời rạc



Ví dụ: Thực hiện phép thử gieo một xúc xắc. Gọi X là số chấm xuất hiện trên mặt của xúc
xắc. Khi đó X là ĐLNN rời rạc và có bảng PP xác suất như sau:

X

1

2

3

4

5

6

P[X=xi]

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

[X=1] là biến cố “ xuất hiện mặt 1 chấm”
P[X=1] =P[xuất hiện mặt 1 chấm]=1/6

11

1. Biến ngẫu nhiên (Random variables)
1.3.2. Hàm mật độ XS của ĐLNN liên tục



Hàm f(x) đgl hàm mật độ XS của ĐLNN liên tục X nếu:

•

f(x) ≥ 0, x∊R;

Lưu ý:



Hàm mật độ XS tại 1 điểm bất kỳ luôn bằng 0



12



Ví dụ
  . Cho hàm số
f(x)=
Chứng minh rằng f(x) là hàm mật độ xác suất của một đại lượng ngẫu nhiên liên tục
nào đó.
Vì b>a nên f(x) với mọi xR
= + + dx

=
=
=1

13


CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Hàm mật độ XS f(x) của ĐLNN liên tục X tại một điểm bất kỳ, có giá trị là:

A.

1

B.

0

C.

khơng âm

D.

Đáp án khác

14

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 2: Tung 2 đồng xu, đặt X là số mặt Ngửa có được, giá trị nào còn thiếu trong bảng PP
xác suất của X dưới đây:

A.

q = 1/4

B.

q = 1/3

C.

q = 1/2

D.

q =1

X

0

1

2

P

1/4

q

1/4

15


 Tung hai đồng xu sẽ xảy ra 4 Kết cục đồng khả năng:
) N N: X = 2: có hai mặt ngửa
(N1 N2, N1 S2, S1 N2, S1 S2)=1/4
P[X=2] = P[N1N2] = P(N1) P(N2)=1/4
N

S

X = 1: có 1 mặt ngửa

S N
P[X=1] = P[N1S2+N2S1]
= P(N1) P(S2)+ P(N2) P(S1) =1/2
S

S: X= 0: khơng có mặt ngửa nào

P[X=0] = P[S1S2] = P(S1) P(S2)=1/4

16

1. Biến ngẫu nhiên (Random variables)
1.3.3. Hàm phân phối Xác suất



Định nghĩa: Hàm PP XS (hay hàm PP tích lũy) của ĐLNN X, kí hiệu F(x) là XS để X
nhận giá trị nhỏ hơn x x∊R. Nghĩa là
F(x) = P(X


Nếu X là ĐLNN rời rạc có PP XS: P(X=xi) = pi thì



Nếu X là ĐLNN liên tục có hàm mật độ f(x) thì



Tính chất của hàm PP: Tr.34 (Tr.21Ssv)

17


1. Biến ngẫu nhiên (Random variables)
1.3.3. Hàm phân phối Xác suất



F(-)  0
Với a>b thì F(a)>F(b) vì
F(a)==+
=F(b)+>F(b) vì f(x)

18


2. Các đặc trưng của ĐLNN
2.1. Kỳ vọng (Trung bình lý thuyết của ĐLNN)



Kí hiệu: MX (hoặc EX)



Nếu X là ĐLNN rời rạc có pi = P{X=xi} thì



Nếu X là ĐLNN liên tục và f(x) là hàm mật độ XS thì

19


2. Các đặc trưng của ĐLNN

 Ví dụ:
Cho BNN X có bảng PPXS:

X

-1

0

1

3

P

0,2

0,1

0,4

0,3

Hãy tìm kỳ vọng của X.
MX = (-1).0,2 + 0. 0,1 + 1. 0,4 + 3. 0,3 = 1,2.

 Ý nghĩa của kỳ vọng:
MX là giá trị trung bình (tính theo xác suất) mà X nhận được, nó phản ánh giá trị trung tâm
PPXS của X.

20

2. Các đặc trưng của ĐLNN

2.2. Mod
Mod (Mode) của ĐLNN X, kí hiệu Mod(X),
- Là XS lớn nhất nếu là X là BNN rời rạc;



Là cực đại của hàm mật độ xác suất nếu là BNN liên tục.

Nhận xét: BNN có thể khơng có giá trị mod hoặc cũng có thể có nhiều giá trị mod.

21


2. Các đặc trưng của ĐLNN

2.3. Phương sai và độ lệch chuẩn
2.3.1. Định nghĩa phương sai



2
Phương sai của BNN X, kí hiệu VarX hay DX, có giá trị σ , là một số thực khơng âm,
được tính:
2
2
2
DX = M(X-MX) = M(X) – (MX)



Tr.36

22


2. Các đặc trưng của ĐLNN



Ý nghĩa của phương sai:

Phương sai cho ta hình ảnh về sự phân tán của các số liệu, phương sai càng nhỏ
thì số liệu càng tập trung quanh giá trị trung bình của chúng.
Trong Kỹ thuật: phương sai đặc trưng cho sự sai số của thiết bị;
Trong kinh doanh: phương sai đặc trưng cho độ rủi ro đầu tư.

23


2. Các đặc trưng của ĐLNN


2.3.2.
  Độ lệch tiêu chuẩn


ĐN: Căn bậc hai của phương sai gọi là độ lệch tiêu chuẩn của BNN X, kí hiệu là σ = .



Độ lệch chuẩn có đơn vị trùng với đơn vị đo của X

24


Bài tập vận dụng!!!

BT1: Ba bác sỹ độc lập khám cho một bệnh nhân. Xác suất để ba bác sỹ chẩn đốn đúng bệnh cho bệnh nhân đó là 0,6;
0,7; 0,9. Gọi X là số bác sỹ chẩn đoán đúng bệnh.
a) Lập bảng PP xác suất của X.
b) Tính MX, DX và Mod(X)?

Gọi biến cố Bi: “Bác sỹ thứ i chẩn đoán đúng bệnh”, i=1,2,3.
P(B1) = 0,6; P(B2) = 0,7; P(B3) = 0,9 và X ∊ {0; 1; 2; 3}.
 X là ĐLNN rời rạc.
a) P(X=0) = (1-0,6). (1-0,7). (1-0,9) = 0,012
P(X=1) = 0,6. 0,3. 0,1 + 0,4. 0,3. 0,9 + 0,4. 0,7. 0,1 = 0,154
P(X=2) = . . . = 0,456
P(X=3) = . . . = 0,378
 Bảng PP XS của X

25