các dạng toán hình học luyện thi đại học

1
H×n
h häc mỈt ph¼ng täA ®é

C¸ch gi¶i c¸c bµi to¸n vỊ tam gi¸c: viÕt pt c¸c c¹nh cđa tam gi¸c, t×m c¸c ®Ønh
chó
ý
: - 2 ®g th¼ng // th× cã cïng vÐc t¬ ph¸p tuyªn vµ vÐc t¬ chØ ph¬ng
- 2 ®g th¼ng vu«ng gãc th× ph¸p tun ®êng nµy lµ chØ ph¬ng cđa ®g kia,
chØ ph¬ng ®êng nµy lµ ph¸p tun cđa ®g kia

Lo¹i 1: cho 1 ®Ønh vµ 2 ®êng cao kh«ng qua ®Ønh ®ã:
c¸ch gi¶i: - viÕt ph¬ng tr×nh c¹nh AB qua A vµ vu«ng gãc víi CK
- viÕt ph¬ng tr×nh c¹nh AB qua A vµ vu«ng gãc víi BH



Lo¹i 2: cho 1 ®Ønh vµ 2 ®êng trung tun kh«ng qua ®Ønh ®ã
c¸ch gi¶i:
- LÊy ®iĨm M thc BM theo tham sè, theo c«ng thøc trung ®iĨm t×m
to¹ ®é C , thay to¹ ®é C vµo PT ®êng CN t×m tham sè t 
®iĨm C
- LÊy ®iĨm N thc CN theo tham sè, tõ CT trung ®iĨm t×m to¹ ®é B
thay voµ PT ®êng BM t×m tham sè t  ®iĨm B

lo¹i 3: cho 1 ®Ønh vµ 2 ®êng ph©n gi¸c trong kh«ng qua ®Ønh ®ã
c¸ch gi¶i: - gäi A’ vµ A’’ lµ diĨm ®èi xøng cđa A qua ®êng ph©n gi¸c
BB’ vµ CC’  A’ vµ A’’ thc c¹nh BC
- viÕt PT c¹nh BC, t×m giao cđa nã víi ®êng CC’, BB’ta cã ®iĨm
B vµ C

chó ý :
c¸c bµi to¸n kÕt hỵp ®êng cao vµ ph©n gi¸c; ®êng cao vµ trung tun; trung tun vµ ph©n gi¸c ta ®Ịu dùa vµo
c¸ch gi¶i 3 bµi to¸n c¬ b¶n trªn

lo¹i 4: Bµi to¸n cho diƯn tÝch, cho ®iĨm trªn ®o¹n th¼ng theo tØ sè cho tríc
c¸ch gi¶i: Ta dïng c«ng thøc diƯn tÝch, c«ng thøc t×m to¹ ®é cđa ®iĨm chia ®o¹n th¼ng theo tØ sè k
Bµi tËp:
1/ Cho A ( 4 ; 6 ) , B( 1; 4) ,C( 7 ;
2
3
), D (- 2; 2)
a/ Chứng minh rằng A , B, C không thẳng hàng : A , B , D thẳng hàng.
b/ Tìm điểm E đối xứng với A qua B.
c/ Tìm điểm M sao cho tứ giác ABCM là hình bình hành.
d/ Tìm tọộ trọng tâm G của tam giác ABC .
2/ Cho A ( -1 : 3 ) ,B (1 ; 1 ) , C ( 2 ; 4 ) .
a/ Xác đònh tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
b/ Xác đònh tọa độ trọng tâm G, trực tâm H của tam giác ABC .suy ra ba điểm G,H,I thẳng hàng.
3/ Cho hai điểm A( 1; -2 ) và B( 3 ; 4 ) .
a/ Tìm điểm A’ đối xứng với A qua trục hoành.
b/ Tìm điểm M trên trục hoành sao cho MA +MB nhỏ nhất
.
c/ Tìm điểm N trên trục tung sao cho NA + NB nhỏ nhất.
d/ Tìm điểm I trên trục tung sao cho |



IB
IA
| ngắn nhất.

e/ Tìm J trên trục tung sao cho JA –JB dài nhất.
A

B
C(x;y)
A(x;y)

B
C
A’ B’
B’
C’
A(x;y)

C
A’
I
J
B
A’’
www.VNMATH.com
2
4/Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(1;1) . Hãy tìm điểm B trên đường thẳng y =3 và điểm C
trên trục hoành sao cho ABC là tam giác đều.
5/Trong mặt phẳng Oxy cho điểm B trên đường thẳng x + 4 = 0 và điểm C trên đường thẳng x–3 =0
a) Xác đònh tọa độ B và C sao cho tam giác OBC vuông cân đỉnh O
b) Xác đònh tọa độ B;C sao cho OBC là tam giác đều.

CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Lập phương trình của đường thẳng:

Bài 1 : Viết phương trình tham số phương trình , chính tắc rồi suy ra phương trình tổng quát của đường
thẳng trong các trường hợp sau:
1/ Qua điểm M(2 ; -5) và nhận vectơ

u
=( 4; -3) làm vectơ chỉ phương .
2/ Qua hai điểm A(1 ; - 4 ) và B( -3 ; 5 ) .
3/ Qua điểm N ( 3 ; -2 ) và nhận vectơ

n
= ( 5 ; - 2 ) làm vectơ pháp tuyến .
Bài 2: Viết Phương trình tham số , phương trình chính tắc của đường thẳng có phương trình tổng quát là: 3x
– 2y + 6 = 0 .
Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm A( 5 ; 5) , B( 1 ; 0) , C( 0; 3) . Viết phương trình đường
thẳng d trong các trường hợp sau :
a) d đi qua A và cách B một khoảng bằng 4.
b) d đi qua A và cách đều hai điểm B , C
c) d cách đều ba điểm A; B ; C
d) d vuông góc với AB tại A. e; d là trung tuyến vẽ từ A của tam giác ABC.
Bài 4: Cho tam giác ABC . M ( 1 ; - 2 ) , N ( 8 ; 2 ) , P ( -1 ; 8 ) lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , BC
, CA . 1/ Viết phương trình tổng quát của các cạnh của tam giác ABC.
2/ Viết phương trình các đường trung trực của các cạnh của tam giác ABC.
Bài 5: Cho đường thẳng (d) có phương trình : 4x – 3y + 5 = 0 .
1/ Lập phương trình tổng quát đường thẳng ( d’) đi qua điểm A (1 ; -2 ) và song song với (d).
2/ Lập phương trình đường thẳng (d’’) đi qua điểm M( 3 ; 1 ) và (d’’) vuông góc với (d).
Bài 6 : Cho hai đường thẳng d: 2x + 7y – 8 = 0 và d’ : 3x + 2y + 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng đi
qua giao điểm của d và d’và thoả mản môït trong các điều kiện sau đây :
1/ Đi qua điểm ( 2 ;- 3) 2/ Song song với đường thẳng x – 5y + 2 = 0
3/ Vuông góc với đường thẳng x- y + 4 = 0 .
Bài 7 :Tam giác ABC có A( -1 ; - 3 ) , các đường cao có phương trình : BH: 5x + 3y –25 = 0;

CH : 3x + 8y – 12 = 0 .Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC và đường cao còn lại.
Bài 8 :Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm M (5 ; 5 ) , N (1 ; 0 ), P( 0 ; 3 ). Viết phương trình đường
thẳng d trong mổi trường hợp sau :
1/ d qua M và cách N một khoảng bằng 4. 2/ D qua M vàcách đều hai điểm N, P.
Bài 9: Lập phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC biết A( 1; 3) và hai trung
tuyến có phương trình là x – 2y + 1 = 0, y – 1 = 0.
Bài 10: Lập phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC nếu cho điểm B(-4;-5) và hai
đường cao có phương trình là :5x + 3y – 4 = 0 , 3x + 8y +13 = 0.
Bài 11 : Cho điểm P( 3; 0) và hai đường thẳng d
1
: 2x – y – 2 = 0 , d
2
:x + y + 3 = 0. Gọi d là đường thẳng qua
P cắt d
1
, d
2
lần lượt tại A và B .Viết phương trình của d biết PA = PB.
Bài 12 : Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết C(4 ; -1 ) đường cao và trung tuyến kẻ từ một
đỉnh lần lượt có phương trình : 2x – 3y +12 = 0 , 2x + 3y = 0 .
Bài 13 : Cho tam giác ABC có M( - 2 ; 2) là trung điểm của cạnh BC cạnh AB có phương trình là x – 2y
– 2 = 0,cạnh AC có phương trình là 2x + 5y + 3 = 0 . Xác đònh tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
www.VNMATH.com
3
Bài 14 : Cho hai đường thẳng d
1
: x – y = 0 , d
2
:x – 2y – 2 = 0. Tìm điểm A trên d
1

, C trên d
2
và B , D trên
trục hoành sao cho ABCD là hình vuông .
Dạng 2 : Hình chiếu của một điểm trên đường thẳng
1 / Phương pháp : Xác đònh hình chiếu vuông góc H của điểm M trên đường thẳng d:
 Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua diểm M và vuông góc với d .
 Giải hệ gồm hai phương trình của d và d’ ta có tọa độ của điểm H.
2/ Phương pháp :Xác đònh điểm N đối xứng của điểm M qua d.
 Dùng phương pháp trên để tìm hình chiếu vuông góc H của điểm M trên đường thẳng d.
 Điểm N đối xứng với M qua d nên H là trung điểm đoạn MN , từ điều kiện đó ta tìm được tọa độ
điểm N
Bài tập :
Bài 1 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm M(-6 ; 4 ) và đường thẳng d: 4x – 5y + 3 = 0.
1/ Tìm tọa độ hình chiếu H của M trên đường thẳng d.
2/ Tìm điểm N đối xứng với điểm M qua d .
Bài 2 : Trong mp với hệ tọa độ Oxy cho hai đểm A(1 ; 6) , B( -3; -4 ) và đường thẳng d : 2x – y – 1 = 0 .
1/ Chứng minh rằng A , B nằm về cùng một phía đối với đường thẳng d.
2/ Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d .
3/ Tìm điểm M trên đường thẳng d sao cho MA + MB bé nhất.
Dạng 3 : Các bài toán về vò trí tương đối của hai đường thẳng
Bài 1: Xác đònh a để các đường thẳng sau đây đồng quy: 2x–y+3 = 0 ,x+y+3= 0 , ax + y – 3 = 0 .
Bài 2 : Cho hai đường thẳng d: mx –2y – 1 = 0 , d’: 2x – 4y + m = 0 .Với giá trò nào của m thì :
1/ d và d’ cắt nhau. 2/ d // d’. 3/ d trùng với d’.
Bài 3: Với giá trò nào của m thì hai đường thẳng sau cắt nhau tại một điểm trên trục hoành
d: ( m -1) x + my – 5 = 0 , d’: mx +( 2m – 1) y + 7 = 0.
Dạng 4 : Các bài toán Sử dụng công thức tính góc và khoảng cách.
Bài 1 : Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau :
1/ 4x + 3y +1 = 0 , x+ 7y – 4 = 0
2/ 6x – 8y –15 = 0 , 12x + 9y + 4 = 0 .

Bài 2 : Tính khoảng cách từ điểm M ( 3 ; 2) đến các đường thẳng sau đây:
1/ 12x – 5y – 13 = 0 , 2/ 3x – 4y –16 = 0 , 3/ x + 2y +8 = 0 .
Bài 3: Cho đường thẳng d: 3x – 2y +1 = 0 và điểm A(1;2) . Lập phương trình đường thẳng  đi qua A và
hợp với d một góc 45
0
.
Bài 4 : Cho tam giác ABC cân đỉnh A . Cho biết BC: 2x – 3y –5 = 0 ,
AB :x + y + 1 = 0. Lập phương trình cạnh AC biết rằng nó đi qua điểm M(1;1).
Bài 5: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M( 2;7 ) và cách điểm A(1;2) một khoảng bằng1.
Bài 6 : Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P( 2 : -1) sao cho đường thẳng đó cùng với hai đường
thẳng : (d
1
):2x – y + 5 = 0 , (d
2
) : 3x + 6y – 1 = 0 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của
(d
1
) và (d
2
) .
Bài 7 : Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B( 2 ;- 1 ),đường cao qua đỉnh A có phương trình
3x – 4y +27 = 0 và phân giác trong của góc C có phương trình x + 2y – 5 = 0.
Bài 8: Viết phương trình đường thẳng song song với d:3x –4y +1=0 và cách d một khoảng bằng 1

CÁC BÀI TẬP TRONG CÁC ĐỀ THI
1/ Trong mặt phẳng Oxy một tam giác có phương trình hai cạnh 5x-2y + 6 =0 và 4x +7y – 21 =0. Viết
phương trình cạnh thứ ba biết trực tâm của tam giác trùng với góc tọa độ .
2/ Lập phương trình các cạnh của hình vuông có một đỉnh là (-4; 5)và một đường chéo có phương trình là
7x- y +8 = 0
www.VNMATH.com

4
3/ Chgo tam giác ABC ,cạnh BC có trng điểm M(0; 4) còn hai cạnh kia có phương trình :
2x + y – 11 =0 và x + 4y – 2 =0
a. Xác đònh tọa độ điểm A.
b. Gọi C là điểm trên đường thẳng x – 4y – 2 = 0 , N là trtrung điểm AC . Tìm N rồi suy ra tọa độ của
B , C.
4/ Cho tam giác ABC có M(-2 ;2) là trung điểm của BC , cạnh AB có phương trình x –2y–2=0
cạnh AC có phương trình 2x + 5y + 3 =0. Xác đònh tọa độ các đỉnh của tam giácABC.
5/ Cho A(-1; 2)và B(3;4).Tìm điểm Ctrên đường thẳng x –2y +1=0 sao cho tam giác ABC vuông tại C .
6/ Cho tam giác ABC có đỉnh B(3;5),đường cao vẽ từ A có phương trình 2x –5y +3 = 0 ,trung tuyến vẽ từ
C có phương trình x + y – 5 =0
a. Tìm tọa độ điểm A. b, Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.
7/ Cho tam giác ABC có trọng tâm G(-2;1)và có các cạnh AB:4x+y 15 = 0 và AC :2x+5y +3 = 0.
a,Tìm tọa độ A và trung điểm M của cạnh BC b,Tìm tọa độ điểm B và viết phưng trình đường thẳng BC.
8/ Cho A(1;1), B(-1;3)và đường thẳng d:x+y+4 =0.
a, Tìm điểm C trên d cách đều hai điểm A,B. Với C vừa tìm được .Tìm D s/cho ABCD là hbh .tính S
hbh
.
9/ Cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;-3)
a. Biết đường cao BH:5x+3y –35=0, đường cao CK:3x+8y – 12 =0 .Tìm B,C.
b. Biết trung trực của cạnh AB có phương trình x+2y –4=0 và trọng tâm G(4;-2).Tìm B,C.
10/ Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh C(4;-1) đường cao và trung tuyến vẽ từ một đỉnh
có phương trình 2x-3y +12 =0,2x+3y =0.
11/Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu biết A(1;3) và hai trung tuyến có phương trình x-2y+1
=0, y -1=0 .
12/ Cho tam giác ABC có A(2;-1) và phương trình hai phân giác trong của góc B và C lần lượt là d:x –
2y+1=0 , d
’
:x+y+3 = 0. Tìm phương trình cạnh BC.
13/ Cho tam giác ABC có A(2;-3) ,B(3;-2)trọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng

3x –y – 8 =0,diện tích tam giác ABC bằng 3/ 2.Tìm C.
14 / Cho tam giác cân ABC có phương trình cạnh đáy AB:2x –3y+5=0cạnh bên AC:x+y+1=0.
Tìm phương trình cạnh bên BC biết nó đi qua điểm D(1;1).
15/ Cho hình chử nhật ABCD có tâm I(1/ 2;0),phương trình đường thẳng AB là
x –2y+2=0,AB=2AD . Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C,D biết A có hoành độ âm.
16/ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng d
1
:x-y=0,d
2
:2x+y+1=0.Tìm tọa độ các đỉnh của
hình vuông ABCD biết A thuộc d
1
, C thuộc d
2
và cả hai đỉnh B,D thuộc trục hoành.
17/ Cho A(2;-3) , B(3;-2) .Trọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng d: 3x – y -8 = 0, diện
tích tam giác ABC bằng 3/2 . Tìm C.
18/ Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh C(4;-1) đường cao và trung tuyến ke û từ một
đỉnh có phương trình 2x -3y +12 = 0 và 2x + 3y = 0.
20/ Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu biết A(1;3) và hai đường trung tuyến có
phương trình là x -2y+1= 0 và y-1 =0.
21/ Cho tam giác ABC biết C(4;3) phân giác trong (AD):x+2y-5=0, trung tuyến (AE)
4x+13y-10 = 0. Lập phương trình ba cạnh.
22/ Cho tam giác ABC biết A(2;-1) và phương trình hai đường phân giác trong của góc B và C
lần lượt là d: x-2y+1=0 và x+y+3=0 .Tìm phương trình của đường thẳng chứa cạnh BC.
23/ Cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;3) , đường cao BH nằm trên đường thẳng y= x , phân giác
trong góc C nằm trên đường thẳng x+3y+2=0 . Viết phương trình cạnh BC .
24/ Cho tam giác ABC vuông ở A , phương trình BC là
3x
y 3 0


 
, các đỉnh A và B thuộc trục
hòanh và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

www.VNMATH.com
5
ĐƯỜN
G TRÒN


A . LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

I .phương trình đường tròn
:
*
Đường tròn ( C ) có tâm I ( a; b) ,bán kính R có phương trình là :
(x – a )
2
+ ( y – b)
2
= R
2

* Phương trình : x
2
+ y
2
–2ax – 2by + c = 0 , a
2

+ b
2
– c > 0 là phương trình của một đường tròn có tâm
I ( a ; b ) ,bán kính R =
cba 
22


II. Phương tích của một điểm đối với đường tròn.

Cho đường tròn ( C ) có phươngtrình : F ( x ; y ) = x
2
+y
2
– 2ax – 2by + c = 0 vá điểm M
0
(x
0
;y
0
)
P
M
/
(
C )
= F (x
0
; y
0

) = x
0
2
+y
0
2
–2ax – 2by + c .


III. Trục đẳng phương của hai đường tròn :

Cho hai đường tròn không đồng tâm ( C
1
) : x
2
+ y
2
– 2a
1
x – 2b
1
y + c
1
= 0 ,
( C
2
) : x
2
+ y
2

– 2a
2
x - 2b
2
y + c
2
= 0 .
Trục đẳng phương của hai đường tròn ( C
1
) , ( C
2
) có phương trình là :
2( a
1
- a
2
) x + 2( b
1
- b
2
) y – c
1
+ c
2
= 0 .


IV. Tiếp tuyến của đường tròn

1/Dạng 1

:
Cho đường tròn ( C ) : ( x – a )
2
+ ( y –b)
2
= R
2
. Tâm I ( a ;b) , bán kính R.
Tiếp tuyến với ( C ) tại điểm M
0
( x
0
; y
0
)

( C ) có phương trình :
(x
0
– a) (x – a ) + ( y
0
– b)( y – b) = R
2

Chú ý: Tiếp tuyến với ( C ) tại M
0
nhận vectơ M
0
I làm vectơ pháp tuyến từ đó suy ra phương trình
tiếp tuyến với ( C ) tại M

0
.
2/ Dạng 2
:
Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng k.
* Đường thẳng

có hệ số góc k có phương trình : y = kx + m
*

tiếp xúc với ( C )  d( I ,

) = R.Từ điều kiện này ta tìm được m.

3/ Da
ïng 3:
Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) đi qua M( x
M
; y
M
)
.
* Đường thẳng

qua M có phương trình : A ( x – x
M
) + B ( y – y
M
) = 0.
*


tiếp xúc với ( C )  d( I ,

) = R.Từ điều kiện này ta tìm được A và B.
B. CÁC
DẠNG BÀI TẬP

Bài 1 :Xác đònh tâm và bán kính của các đường tròn sau :
1/ x
2
+ y
2
– 2x + 4y + 2 = 0 . 2/ 2x
2
+ 2y
2
+ 4x - 8y - 2 = 0 .
3/ x
2
+ y
2
– 6x – 16 = 0 . 4/ x
2
+ y
2
- 8y - 9 = 0 .
Bài 2 :Lập phương trình đường tròn ( T ) trong các trường hợp sau:
1/ ( T ) có tâm I ( 2 ; - 1) và có bán kính R = 3 .
2/ ( T ) có đường kính AB với A ( 1 ; 2 ) , B( - 5 ; 4 ) .
3/ ( T ) có tâm I ( 3 ; - 1 ) và tiếp xúc với đường thẳng


: 4x –3y + 5 = 0 .
4/ ( T ) đi qua ba điểm A ( - 1 ; - 5 ), B ( 5 ; - 3 ) , C ( 3 ; -1 ).
5/ ( T )tiếp xúc với hai trục tọa độ và có tâm nằm trên đường thẳng

:2x – y – 8 = 0.
6/ ( T ) qua hai điểm A(1;2 ),B(3; ) và tiếp xúc với đường thẳng

có phương trình : 3x +y–3 = 0
Bài 3 : Cho đường tròn ( C ) có phương trình x
2
+ y
2
+ 4x + 4y – 17 = 0 .Lập phương trình tiếp tuyến d với (
C ) : 1/ Tại điểm M ( 2 ; 1 ) . 2/ Biết d song song với

: 3x – 4y – 2004 = 0.
3/ Biết d đi qua điểm A ( 2 ; 6 ) .
Bài 4: Cho đường tròn ( T ) có phương trình : x
2
+ y
2
– 4x – 2y = 0 .
1/ Tính phương tích của điểm M ( 5 ; -2) đối với đường tròn ( T ).
2/Viết phương trình tiếp tuyến với (T)vuông góc với đường thẳng

:2x – 3y + 1= 0.
www.VNMATH.com
6
3/ Viết phương trình tiếp tuyến với ( T ) kẻ từ N (– 2 ; 6 ).

Bài 5 : Cho hai đương tròn ( C
1
) và ( C
2
) lần lượt có phương trình là :
x
2
+ y
2
+ 4x + 4y –13 = 0 , x
2
+ y
2
- 2x + 8 y + 5 = 0 .Viết phương trình trục đẳng phương của hai đường
tròn đó .
Bài 6 : Cho ( C
m
) có phương trình : x
2
+ y
2
– 2mx – 4my + 2m
2
– 1 = 0.
1/ Tìm các giá trò của m sao cho (C
m
) là đường tròn. 2/ Tìm tập hợp tâm I của ( C
m
)
.

Bài 7 : Cho đường tròn (T) có phương trình : x
2
+ y
2
– 2x + 4y – 20 = 0.
a) Viết phương trình tiếp tuyế của (T) tại các điểm A(4 ;2) , B(-3 ; -5) .
b) Viết phương trình tiếp tuyế của (T) đi qua C( 6 ; 5) .
c) Viết phương trình tiếp tuyến chung của (T) và (T’) có pt : x
2
+y
2
-10x + 9 = 0
d) Với giá trò nào của m thì (T) tiếp xúc với đường tròn (T’’) có pt: x
2
+ y
2
– 2my = 0.

CÁC BÀI TẬP TRONG CÁC ĐỀ THI
1/ Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có ba đỉnh A(1;1),B(-1;2),C(0; -1)
2/ Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có ba cạnh nằm trên ba đường thẳng :
(d
1
) :
5
2
5



x
y
, (d
2
) : y = x+2 , (d
3
): y = 8 – x
3/ Lập phương trình đường tròn nội tiếp tam giác có ba đỉnh A(-1;7),B(4;-3)C(-4;1).
4/ Lập phương trình đường tròn đi qua các điểm A( -1;1) , B(1;-3) và có tâm nằm trên đường thẳng (d)
:2x – y + 1 = 0
5/ Lập phương trình đường tròn đi qua điểm A(-1;-2) và tiếp xúc với đường thẳng
(d) : 7x-y-5= 0 tại điểm M(1;2)
6/ Lập phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng (d
1
) : 2x +y = 0 và tiếp xúc với đường
thẳng (d
2
): x -7y+10 = 0 tại điểm M(4;2).
7/ Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng (d
1
) : 4x + 3y – 2 = 0 và tiếp xúc với hai
đường thẳng (d
2
) : x +y+4 = 0 ,(d
3
) :7x – y+4 = 0
8/ Viết phương trình đường tròn qua A( 2;-1) và tiếp xúc với hai trục toạ độ .
9/ Cho hai đường tròn (C
1
): x

2
+y
2
-10x = 0 , (C
2
): x
2
+y
2

+4x – 2y – 20 = 0
a. Viết phương trình đường tròn qua giao điểm của (C
1
) ,(C
2
) và có tâm (d):x+6y – 6 = 0.
b. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C
1
) ,(C
2
)
10/ Cho (C): (x – 1)
2
+ (y – 2)
2
= 4 và đường thẳng (d) : x – y – 1 = 0 . Viết phương trình đường tròn ( C’)
đối xứng với ( C) qua (d)
11/ Cho hai đường tròn (C
1
) : x

2
+y
2
– 4x – 5 = 0 , (C
2
): x
2
+y
2
– 6x +8y +16 = 0 . Viết phương trình tiếp
tuyến chung của hai đường tròn .
12/ Cho hai đường tròn : (C
1
) : x
2
+y
2
– 4x +2y –4 = 0 , (C
2
): x
2
+y
2
– 10x – 6y +30 = 0 có tâm I, J.
a. Chứng minh rằng (C
1
) và (C
2
) tiếp xúc ngoài với nhau , tìm tọa độ tíêp điểm H.
b. Gọi (d) là một tiếp tuyến chung của (C

1
) và (C
2
) không qua H .Tìm tọa độ giao điểm K của (d) với
IJ .Viết phương trình đường tròn (C) đi qua K và tiếp xúc với (C
1
) và (C
2
) tại H.
13/ Cho điểm M(6;2) và đường tròn (C) :x
2
+y
2
– 2x – 4y = 0 . Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M
và cắt (C ) tại hai điểm A,B sao cho AB = 10 .
14/Cho đường tròn (C ) : x
2
+y
2
– 2x – 6y – 9 = 0 và điểm M(2;4) .
a. Chứng tỏ rằng M nằm trong đường tròn.
b. Viết phương trình đường thẳng qua M cắt (C ) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho M là trung
điểm của đoạn AB.
c. Viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng với (C ) qua AB.
15 / Cho ba đường thẳng (d1) : 3x +4y -6 = 0, (d2):4x +3y -1 = 0 , (d3) : y = 0 .(d1)  (d2) = A,
www.VNMATH.com
7
(d
2
)  (d

3
) =B , (d
3
)  (d
1
) = C.
a. Viết phơng trình phần giác trong của góc BAC .
b. Tính diện tích tam giác ABC .
c. Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC .
16/ Cho đường tròn (C) :x
2
+ y
2
-8x -6y = 0 và điểm A(14;8) . Qua A kẻ các tiếp tuyên AM,AN với
(C) . Lập phương trình đường thẳng MN .
17/ Cho (Cm) : x
2
+y
2
+2(m – 1)x – 2(m – 2 )y +m2 -8m +13 = 0.
a.Xác đònh m để (Cm) là đường tròn .
b. Tìm quỹ tích tâm I của (C
m
) .
18/ Cho (C) : x
2
+ y
2
+2x – 4y – 20 = 0 và A(3 ; 0) .Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A và cắt (C)
theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất.

19/ Cho hai đường tròn (C1) :x
2
+ y
2
– 2x – 9y – 2= 0 v (C2) : x
2
+ y
2
– 8x – 9y +16 = 0.
a. Chứng minh rằng (C
1
) và (C
2
) tiếp xúc nhau .
b. Viết phương trình các tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó .
20/ Viết phương trình các tiếp tuyến chung của các cặp đường tròn sau :
a. (C
1
): x
2
+ y
2
-10x = 0 , (C
2
): x
2
+ y
2
+4x -2y -20 = 0
b. (C

1
): x
2
+ y
2
- 4x - 5 = 0 , (C
2
): x
2
+ y
2
- 6x +8y +16 = 0

C«ng thøc vỊ E-LÝp
Ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t:
2
2
2 2
x
y
+
= 1
a
b
(a,b>0)
NÕu a>b th×:

b
2
= a

2
-

c
2



trơc lín lµ 2a
trơc nhá lµ 2b
tiªu cù lµ 2c
t©m sai e=c/a
tiªu ®iĨm ( thc Ox) F
1
=(-c;0) F
2
=(c;0)
Víi ®iĨm M(x;y) thc (E) b¸n kÝnh qua tiªu lµ

1
2
c
MF
a ex a x
a
c
MF
a ex a x
a


  
   


NÕu
b
>
a

th×:

a
2
=
b
2
-

c
2



trơc lín lµ 2b
trơc nhá lµ 2a
tiªu cù lµ 2c
t©m sai e=c/b
tiªu ®iĨm ( thc Oy) F
1
=(0;-c) F

2
=( 0;c)
Víi ®iĨm M(x;y) thc (E) b¸n kÝnh qua tiªu lµ

1
2
c
MF
b ex a x
b
c
MF
b ex a x
b

  
   


. CÁC DANG BÀI TẬP:
Bài 1 : Tìm tiêu điểm , tọa độ các đỉnh , tiêu cự , độ dài các trục và tâm sai của elip (E ) cho bởi các
phương trình sau :
1/ 16x
2
+ 25y
2
= 400 ; 2/ 4x
2
+ 9y
2

= 144 ;
3/ 9x
2
+25 y
2
= 225 ; 4/ 4x
2
+ 9y
2
= 25.
Bài 2 : Lập phương trình chính tắc của elip ( E ) trong các trường hợp sau :
1/ ( E ) có tiêu cự bằng 6 ; trục lớn là 2 10 .
2/ ( E ) có trục lớn bằng 20 tâm sai bằng 3/5,
3/ ( E ) có tiêu cự bằng 8 và đi qua điểm M ( 15 ; - 1 ).
4/ ( E ) có một tiêu điểm F
2
( 4 ; 0 ) và đi qua điểm N ( 3 ;
5
12
)
5/ ( E ) đi qua hai điểm A ( 5 ; 0 ) và B ( 4 ; 3
2
)
6/ ( E ) có trục nhỏ bằng 6 , phương trình hai đường chuẩn x 7

16 = 0.
www.VNMATH.com
8
7/ ( E ) có tâm sai bằng
2

1
, khoảng cách giữa hai đườg chuẩn bằng 32.
Bài 3 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip ( E ) :4x
2
+ 25y
2
= 100.
1/ Tìm các điểm trê ( E ) có hoành độ bằng 3 và tính khoảng cách giửa hai điểm đó.
2/ Tìm những điểm M trên ( E ) sao cho bán kính qua tiêu điểm bên trái bằng hai lần bán kính qua
tiêu điểm bên phải .
Bài 4 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip ( E ) : 2x
2
+ 6y
2
= 12 .
1/ Xác đònh tọa độ các tiêu điểm và độ dài các trục của ( E ) .
2/ Tìm những điểm M trên ( E ) nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông .
Bài 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip ( E ) : 16x
2
+ 25y
2
= 400 .
1/ Tìm các điểm M trên ( E ) sao cho 3F
1
M = F
2
M.
2/ Cho A , B là hai điểm thuộc ( E ) sao cho AF
1
+ BF

2
= 8 .Hãy tính AF
2
+ BF
1
.
Bài 6 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip ( E ) 16x
2
+ 25y
2
= 100.
1/ Tìm tọa độ các tiêu điểm , tọa độ các đỉnh , tính tâm sai của ( E ) .
2/ Đường thẳng d đi qua một tiêu điểm của ( E ) cắt ( E ) tại hai điểm A , B .Tính
đo
ä dài AB



3/ Tìm các giá trò của m để đường thẳng y = x + m cắt (E )tại hai điểm phân biệt.
Bài 7: Cho elip ( E ) : x
2
+ 4y
2
=25 ; (d) : 7x – 2y – 25 = 0.
1/ Tìm tọa độ giao điểm của (d) và ( E ) .
2/ Viết phương trình tiếp tuyến tại các giao điểm đó.
3/ Viết phương trình tiếp tuyến với ( E ) biết tiếp tuyến đi qua M( 5; 5 ).
Bài 8 : Viết phương trình tiếp tuyến với (E) : 9x
2
+ 16y

2
= 144 biết tiếp tuyến :
1/ song song với đường thẳng :3x – 2y +1 = 0.
2/ vuông góc với đường thẳng :x + 2y – 3 = 0.
Bài 9: Viết phương trình chính tắc của elip (E) biết rằng (E) nhận các đường thẳng:
3x – 2y – 20 = 0 và x + 6y – 20 = 0 làm tiếp tuyến.
Bài 10 : Cho elíp (E) có hai tiêu điểm F
1
(- 3 ;0) ,F
2
( 3 ;0) và một đg chuẩn có phương trình x =
3
4
.
1/ Viết phương trình chính tắc của (E).
2/ M là điểm thuộc (E) .Tính giá trò của biểu thức :P = F
1
M
2
+ F
2
M
2
– 3OM
2
– F
1
M.F
2
M.

3/ Viết phương trình đường thẳng (d) // Ox và cắt (E) tại hai điểm A,B sao cho OA  OB.
Bài 11:1/ Lập pt chính tắc của elíp (E) có tiêu điểm F
1
( - 15 ;0), tiếp xúc với (d) : x + 4y – 10 = 0.
2/ Viết phương trình tiếp tuyến của (E) vuông góc với (d’) : x + y + 6 = 0.
Bài 12 : Cho (E) : 4x
2
+ 9y
2
=36 và đường thẳng (d) có phương trình mx – y – 1 = 0 .
1/ Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt (E) tại hai điểm phân biệt với mọi m .
2/ Viết phương trình tiếp tuyến của (E) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1;3)
Bài 13: 1/Lập phương trình chính tắc của elíp (E) có một tiêu điểm F
2
( 10 ;0) độ dài trục lớn 2 18
2/ Đường thẳng (d) tiêp xúc với(E) tại M cắt hai trục tọa độ tại A, B .Tìm M để diện tích tam giác
OAB nhỏ nhất .
Bài 14 : Cho (E) :
1
4
9
2
2


yx
.Cho A(-3;0),M(-3;a),B(3;0),N(3;b) trong đó a,b là hai số thay đổi
1/ Xác đònh tọa độ giao điểm I của AN và BM .
2/ Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để đường thẳng MN tiếp xúc với (E) là ab = 4 .
Bài 15 : trong mặt phẳng tọa độ cho hai elíp (E

1
) :
1
1
16
2
2


yx
và (E
2
):
1
4
9
2
2


yx

1/ Viết phương trình đường tròn đi qua giao điểm của hai elíp .
2/ Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai elíp .
www.VNMATH.com
9

I.TỌA
ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

1.TÓM
TẮT LÝ THUYẾT
     
 
 




























21
2
1
13
13
32
32
332211
3
3
2
2
1
1
332211
33
22
11
2
3
2
2
2
1
321
332211
222

,,a
.10
0 0.a .9
0.//a .8
a .7
a .6
a .5
,,ak. .4
,, .3
.2
),,( .1
bb
aa
bb
aa
bb
aa
b
babababab
b
a
b
a
b
a
babkab
bababab
ba
ba
ba

b
aaa
kakaka
babababa
zzyyxxABAB
zzyyxxAB
ABA
BAB
ABABAB


cb,,a .11
đồng phẳng


0.  cba

cb,
,a .12
không đồng phẳng


0. 
 cba

13. M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1














k
kzz
k
kyy
k
kxx
M
BA
BABA
1
,

1
,
1

14. M là trung điểm AB










2
,
2
,
2
BA
BABA
zzyyxx
M

15. G là trọng tâm tam giác ABC








,
3
,
3
,
3

CBACBACBA
zzzyyyxxx
G

16. Véctơ đơn vị cña 3 trôc:
)1
,0,0();0,1,0();0,0,1(
321
 eee

17.
Ozz
KOyyNOxxM



),
0,0(;)0,,0(;)0,0,(

18.
Oxz
zxKOyzzyNOxyyxM



),
0,(;),,0(;)0,,(

19.
2

3
2
2
2
1
2
1
2
1
aa
aACABS
ABC




20.
ADAC
ABV
ABCD
).(
6
1


21.
/
.
).(
//

//
AA
ADABV
DC
BAABCD






www.VNMATH.com
10



2.CÁC DẠNG TỐN
Dạn
g 1:
Chứn
g minh A,B,C là ba đỉnh tam giác

 A,B,C
là ba đỉnh tam giác 

[


AC
,AB

] ≠

0



 S
AB
C
=
2
1


AC]
,[AB

 Đường cao AH =
B
C
S
ABC
.
2

 S
hbh
=



AC]
,[AB

Dạn
g 2: Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành

 Ch
ứng minh A,B,C không thẳng hàng
 ABCD là hbh


DCAB 


Dạn
g 3: Chứng minh ABCD là một tứ diện:

 [


AC
,AB
].

AD
≠ 0
 V
td
=
6

1


AD.AC],[AB

*Đường cao AH của tứ diện ABCD

AH
S
V
BCD
.
3
1




BCD
S
V
AH
3


 The
å tích hình hộp :


/

.
.;
////
AAADABV
DCBAABCD



Dạng4: Hình chiếu của điểm M
1. H là hình chiếu của M trên mp
 Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và vuông góc mp : ta có

n
a
d


 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và ()
2. H là hình chiếu của M trên đường thẳng (d)
*Viết phương trình mp qua M và vuông góc với (d): ta có
d
a
n 


*Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và ()

Dạng 5 : Điểm đối xứng
1.Điểm M
/

đối xứng với M qua mp
*Tìm hình chiếu H của M trên mp (dạng 4.1)
*H là trung điểm của MM
/

2.Điểm M
/
đối xứng với M qua đường thẳng d:
*Tìm hình chiếu H của M trên (d) ( dạng 4.2)
H là trung điểm của MM
/






www.VNMATH.com

11



3.BI TP P DNG
1: Viết tọa độ của các vectơ say đây:
2
a i j

;
7
8
b
i k



;
9
c
k




;
3 4 5
d i j k




2: Cho ba vectơ

a
= ( 2;1 ; 0 ),

b
= ( 1; -1; 2) ,

c
= (2 ; 2; -1 ).
a) Tìm tọa độ của vectơ :

u
= 4

a
- 2

b
+ 3

c
b) Chứng minh rằng 3 vectơ

a
,

b
,

c
không đồng phẳng .
c) Hãy biểu diển vectơ

w
= (3 ; 7 ; -7 ) theo ba vectơ

a
,

b
,

c
.
3: Cho 3 vectơ

a
= (1; m; 2),

b
= (m+1; 2;1 ) ,

c
= (0 ; m-2 ; 2 ) .Định m để 3 vectơ đó đồng phẳng .

4: Cho:


2
; 5;3 , 0;2; 1 , 1;7;2
a
b c

. Tìm tọa độ của vectơ: a)
1
4 3
2
d a b c



b)
4
2
e
a b c





5: Tìm tọa độ của vectơ
x

, biết rằng:
a)
0
a
x

và

1; 2;1
a


b)
4
a
x a




và

0; 2;1
a



c)
2
a
x b




và

5
;4; 1
a



,


2
; 5;3 .
b




6: Cho ba điểm không thẳng hàng:
(
1;3;7), ( 5;2;0), (0; 1; 1).
A
B C


Hãy tìm trọng tâm G của tam giác
ABC.
7: Cho bốn diểm không đồng phẳng :
(2
;5; 3), (1;0;0), (3;0; 2), ( 3; 1;2).

A
B C D


Hãy tìm tọa độ trọng tâm G
của tứ diện ABCD.
8: Cho điểm M(1; 2; 3). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M:
a) Trên các mặt phẳng tọa độ: Oxy, Oxz, Oyz. b) Trên các trục tọa độ: Ox, Oy, Oz
9: Cho điểm M(1 ; 2 ; 3). Tìm tọa độ của điểm đối xứng với điểm M:
a) Qua gốc tọa độ O b) Qua mặt phẳng Oxy c) Qua Trục Oy.
10: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; -1; 1), C'(4; 5; -5). Tìm tọa độ của các đỉnh còn
lại.
11: Cho A(2; -1; 7), B(4; 5; -2). Đờng thẳng AB cắt mặt phẳng Oyz tại điểm M.
a) Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào ? b) Tìm tọa độ điểm M.
13 . Cho ba vectơ


1
; 1;1 , 4;0; 1 ,
a
b







3
;2; 1 .

c



Tìm:

2
2 2 2
)
. ; ) . ; ) ;
a
a b c b a b c c a b b c c a







2
2 2
)
3 2 . ; ) 4 . 5
d
a a b b c b e a c b c

.
14. Tính góc giữa hai vectơ
a

và
b

:


)
4;3;1 , 1;2;3
a
a b







)
2;5;4 , 6;0; 3 .
b
a b

15. a) Trên trục Oy tìm điểm cách đều hai điểm: A(3; 1; 0) và B(-2; 4; 1).
b) Trên mặt phẳng Oxz tìm điểm cách đều ba điểm: A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0) và C(3; 1; -1).
16. Xét sự đồng phẳng của ba vectơ
,
,
a
b c


trong mỗi trờng hợp sau đây:



)
1; 1;1 , 0;1;2 , 4;2;3
a
a b c







)
4;3;4 , 2; 1;2 , 1;2;1
b
a b c

)
4;2;5 , 3;1;3 , 2;0;1
c
a b c






)
3;1; 2 , 1;1;1 , 2;2;1 .
d
a b c





17. Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;1).
a) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. b) Tính chu vi và diện tích ABC.
c) Tìm tọa độ đỉnh D để tứ giác ABDC là hình bình hành. d) Tính độ dài đờng cao của ABC hạ từ đỉnh A.
e) Tính các góc của ABC.

www.VNMATH.com

12
18. Cho bèn ®iĨm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1).
a) Chøng minh r»ng A, B, C, D lµ bèn ®Ønh cđa mét tø diƯn.
b) T×m gãc t¹o bëi c¸c c¹nh ®èi diƯn cđa tø diƯn ABCD.
c) TÝnh thĨ tÝch tø diƯn ABCD vµ tÝnh ®é dµi ®êng cao cđa tø diƯn h¹ tõ ®Ønh A.
19. Cho  ABC biÕt A(2; -1; 3), B(4; 0; 1), C(-10; 5; 3). H·y t×m ®é dµi ®êng ph©n gi¸c trong cđa gãc B.
20. Trong kh«ng gian víi hƯ täa ®é Oxyz cho bèn ®iĨm A(1; 1; 0), B(0; 2;1), C(1; 0; 2), D(1;1 ;1).
a) Chøng minh r»ng A, B, C, D t¹o thµnh tø diƯn. TÝnh thĨ tÝch cđa khèi tø diƯn ABCD.
b) TÝnh ®é dµi ®êng cao h¹ tõ ®Ønh C cđa tø diƯn ®ã.
c) TÝnh ®é dµi ®êng cao cđa tam gi¸c ABD h¹ tõ ®Ønh B.
d) TÝnh gãc ABC vµ gãc gi÷a hai ®êng th¼ng AB, CD.
21. Cho 3 ®iĨm A ( 3;-4;7 ),B( -5; 3; -2 ) ,C(1; 2; -3 ).
a) X¸c ®Þnh ®iĨm D sao cho tø gi¸c ABCD lµ h×nh b×nh hµnh .
b) T×m täa ®é giao ®iĨm cđa hai ®êng chÐo.
c) TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC, ®é dµi BC tõ ®ã ®êng cao tam gi¸c ABC vÏ tõ A.
T×m täa ®é träng t©m cđa tam gi¸c ABC .
22. Cho 4 ®iĨm A( 2; 0; 0) , B( 0; 4; 0 ) , C( 0; 0; 6 ), D ( 2; 4 ;6 ).
a) Chøng minh 4 ®iĨm A, B , C , D kh«ng ®ång ph¼ng.TÝnh thĨ tÝch tø diƯn ABCD
b) T×m täa ®é träng t©m cđa tø diƯn ABCD .
c) TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC , tõ ®ã suy ra chiỊu cao cđa tø diƯn vÏ tõ D.
d) T×m täa ®é ch©n ®êng cao cđa tø diƯn vÏ tõ D .
23. Trong kh«ng gian víi hƯ täa ®é Oxyz cho ba ®iĨm A(3;4;-1) , B(2;0;3), C(-3;5;4)
a) T×m ®é dµi c¸c c¹nh cđa tm gi¸c ABC. b) TÝnh cosin c¸c gãc A,B,C .
c) TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC


II
. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

1.T
ĨM TẮT LÝ THUYẾT
1. Vectơ pháp tuyến của mp

:
n

≠
0

là véctơ pháp tuyến của 


n

 
2. Cặp véctơ chỉ phương của mp

:

a


b

là cặp vtcp của 

a


,
b

cùng // 
3 Quan hệ giữa vtpt
n

và cặp vtcp
a

,
b

:
n

= [
a

,
b

]
4. Pt mp

qua M(x
o
; y
o
; z

o
) có vtpt
n

= (A;B;C)

A(x – x
o
) + B(y – y
o
) + C(z – z
o
) = 0

() : Ax + By + Cz + D = 0 ta có
n

= (A; B; C)
5.Phương trình mặt phẳng đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) :

1
c
z
b
y
a
x


Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng cần:

1 điểm và 1 véctơ pháp tuyến
6.Phương trình các mặt phẳng tọa độ
(Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0
7. Chùm mặt phẳng : giả sử 
1
 
2
= d trong đó
//
www.VNMATH.com

13
(
1
): A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0
(
2
): A
2
x + B
2
y + C

2
z + D
2
= 0
Pt mp chứa (d) có dạng sau với m
2
+ n
2
≠ 0 :
m(A
1
x + B
1
y
+ C
1
z
+ D
1
)
+ n(A
2
x +
B
2
y + C
2
z
+ D
2

) =
0


8. Vò trí tương đối của hai mp (
1
) và (
2
) :

°
2
22111
C
:
B
:
A
C
:
B
:
A
cắt


°
2
1
2

1
2
1
2
1
//
D
D
C
C
B
B
A
A





°
2
1
2
1
2
1
2
1
D
D

C
C
B
B
A
A




ª
0
2
12121

 CCBBAA



9.KC từ M(x
0
,y
0
,z
0
) đến (

) : Ax + By + Cz + D = 0

2
22
ooo
C
BA
D Cz By Ax


)d(M,


10.Góc
gi
ữa hai mặt phẳng
:

2
1
21
.
.
n
n
nn



),cos(


2.CÁC
DẠNG TOÁN

Dạng 1: Mặt phẳng qua 3 điểm A,B,C :
° Cặp vtcp:

AB
,

AC
°
]
)(

 AC , AB[nvtpt
qua

ChayBhayA



Dạng 2: Mặt phẳng trung trực đoạn AB :
°

 AB vtpt
AB điểm trungMqua
n



Dạng 3: Mặt phẳng

qua M và

d (hoặc AB)
°
)
( AB
n



d
a
vtpt nên (d) Vì
Mqua




Dạng 4: Mp

qua M và //

: Ax + By + Cz + D = 0
°




n n vtpt nên // Vì
M qua








www.VNMATH.com

14
Dạng 5: Mp

chứa (d) và song song (d
/
)
 Điểm M ( chọn điểm M trên (d))
 Mp chứa (d) nên

a
a
d


Mp song song (d
/
) nên


ba
d

/

■
Vtpt


/
,
d
d
a
an 

Dạng 6 Mp

qua M,N và



:
■
Mp qua M,N nên

a
MN 

■

Mp  mp nên


b
n 

°
]
,[


n
nvtpt
N) (hayM qua


 MN

Dạng 7 Mp

chứa (d) và đi qua
■
Mp

chứa d nên

a
a
d


■
Mp

đi qua
)
(dM

và A nên

b
AM 

°
],[ AM nvtpt
A qua


d
a




3.B
ÀI TẬP ÁP DỤNG
Bµi to¸n 1. Ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng
Bµi 1: LËp ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (P) ®i qua ®iĨm M vµ cã vtpt
n


biÕt
a,




M 3;1;1 , n 1;1;2
 

b,




M 2;7;0 , n 3;0;1
 


c,




M
4; 1; 2 , n 0;1;3

 

d,





M
2;1; 2 , n 1;0;0




Bµi 2: LËp ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng trung trùc cđa AB biÕt:
a, A(2;1;1), B(2;-1;-1) b, A(1;-1;-4), B(2;0;5) c,
1
1
A
; 1;0 , B 1; ;5
2 2

  



  

  
d,
2
1 1
A
1; ; , B 3; ;1
3 2 3


  


  

  

Bµi 3: LËp ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng



®i qua ®iĨm M vµ song song víi mỈt ph¼ng



biÕt:
a,






M 2;1;5 , Oxy
 
b,





M 1;1;0 , :x 2y z 10 0
     
c,




M 1; 2;1 , : 2x y 3 0
    

Bµi 4 LËp ph¬ng tr×nh cđa mỈt ph¼ng (P) ®i qua ®iĨm M(2;3;2) vµ cỈp VTCP lµ
(
2;1;2); (3;2; 1)
a
b

 

Bµi 5: LËp ph¬ng tr×nh cđa mỈt ph¼ng (P) ®i qua M(1;1;1) vµ
a) Song song víi c¸c trơc 0x vµ 0y. b) Song song víi c¸c trơc 0x,0z.
c) Song song víi c¸c trơc 0y, 0z.
Bµi 6: LËp ph¬ng tr×nh cđa mỈt ph¼ng ®i qua 2 ®iĨm M(1;-1;1) vµ B(2;1;1) vµ :
a) Cïng ph¬ng víi trơc 0x. b) Cïng ph¬ng víi trơc 0y. c) Cïng ph¬ng víi trơc 0z.
Bµi 7: X¸c ®Þnh to¹ ®é cđa vÐc t¬
n
vu«ng gãc víi hai vÐc t¬
(6
; 1;3); (3;2;1)
a

b


.
Bµi 8: T×m mét VTPT cđa mỈt ph¼ng (P) ,biÕt (P) cã cỈp VTCP lµ
)
4,2,3( );2,7,2( ba

Bµi 9: LËp ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa mỈt ph¼ng (P) biÕt :
a) (P) ®i qua ®iĨm A(-1;3;-2) vµ nhËn
);4,3,2(n
lµm VTPT.
www.VNMATH.com
15
b) (P) ®i qua ®iĨm M(-1;3;-2) vµ song song víi (Q): x+2y+z+4=0.
Bµi 10: LËp ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa c¸c mỈt ph¼ng ®i qua I(2;6;-3) vµ song song víi c¸c mỈt ph¼ng to¹ ®é.
Bµi 11: (§HL-99) :Trong kh«ng gian 0xyz cho ®iĨm A(-1;2;3) vµ hai mỈt ph¼ng (P): x-2=0 ,
(Q) : y-z-1=0 .ViÕt ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (R) ®i qua ®iĨm A vµ vu«ng gãc víi hai mỈt ph¼ng (P),(Q).
Bµi 12: LËp ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa mỈt ph¼ng (P) trong c¸c trêng hỵp sau:
a) §i qua hai ®iĨm A(0;-1;4) vµ cã cỈp VTCP lµ


3
;2;1
a

vµ


3

;0;1
b 


b) §i qua hai ®iĨm B(4;-1;1) vµ C(3;1;-1) vµ cïng ph¬ng víi trơc víi 0x.
Bµi 13: Cho tø diƯn ABCD cã A(5;1;3) B(1;6;2) C(5;0;4) D(4;0;6) .
a) ViÕt ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t c¸c mỈt ph¼ng (ABC) (ACD) (ABD) (BCD).
b) ViÕt ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa mỈt ph¼ng (P) ®i qua c¹nh AB vµ song song vãi c¹nh CD.
Bµi 14: ViÕt ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa (P)
a) §i qua ba ®iĨm A(1;0;0), B(0;2;0) , C(0;0;3) .
b) §i qua A(1;2;3) ,B(2;2;3) vµ vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng (Q) : x+2y+3z+4=0
c) Chøa 0x vµ ®i qua A(4;-1;2) , d) Chøa 0y vµ ®i qua B(1;4;-3)
Bµi 15: Cho hai ®iĨm A(3;2;3) B(3;4;1) trong kh«ng gian 0xyz
a) ViÕt ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (P) lµ trung trùc cđa AB.
b) ViÕt ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (Q) qua A vu«ng gãc v¬i (P) vµ vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng y0z
c) ViÕt ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (R) qua A vµ song song víi mỈt ph¼ng (P).









II
I.ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN
1.T
ĨM TẮT LÝ THUYẾT
1.P

hương trình tham số của đường thẳng (d) qua

M(x
o
;
y
o
;z
o
)
có vtcp
a

= (a
1
;a
2
;a
3
)


R
t;
tazz
tayy
t
a
x
x

(d)
3o
2o
1o










:



2.P
hương trình chính tắc của (d)


32
a
z-z
a
yy
a
xx
(d)

o
1
o 0
: 




3.P
T tổng quát của (d) là giao tuyến của 2 mp 
1
và 
2








0 DzBxA
0


D
z
B
x
A

(d)
2
222
1111
C
y
Cy
:


Véctơ chỉ phương









22
11
22
11
22
11
,
,
BA
BA

AC
AC
CB
CB
a

4.Vò
trí tương đối của 2 đường thẳng
:

Qui ước:
Mẫu = 0 thì Tư û= 0

www.VNMATH.com
16

(d) qua M có vtcp
d
a

;
(d’) qua N có vtcp
/
d
a

 d
chéo d’

[

d
a

,
/
d
a
].

MN
≠ 0
(kh
ông đồng phẳng)
 d,d’ đồng phẳng

[
d
a

,
/
d
a
].

M
N
= 0



d,d’ cắt nhau

[
d
a

,
/
d
a
]
0
và
[
d
a

,
/
d
a
].

MN
=0

d,d’
song song nhau

{

d
a

//
/
d
a
và
)(
/
dM 
}

 d,d’ trùn
g nhau

{
d
a

//
/
d
a
và

)(
/
dM 

}





5.Khoảng cách
:
Ch
o (d) qua M có vtcp
d
a

; (d’) qua N có vtcp
/
d
a

Kc từ điểm đến đường thẳng:

d
d
a
AM
a
dAd
];[
),( 

Kc giữa

2 đ
ường thẳng
:

];[
].;[
);(
/
/
/
d
d
d
d
aa
MNaa
ddd 

6.Góc
: (d) có vtcp
d
a

; ’
có vtcp
/
d
a
; ( )
có vtpt

n



Go
ùc giữa 2 đường thẳng
:

/
/
.
.
'
d
d
d
d
a
a
aa


)
dcos(d,


Go
ùc giữa đường và mặt
:
na

na
d
d




.
.
)sin(d,


2.CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: : Đường thẳng (d) đi qua A,B




 A
BaVtcp
hayBquaA
d
d
)
(
)(

Dạng 2: Đường thẳng (d) qua A và song song (

)


 a
d
a vtcp nên )( // (d) Vì
qua

A
d )
(

Dạng 3: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc mp




n

d
a vtcp nên )( (d) Vì
qua


A
d )
(


Dạng4: PT d’ hình chiếu của d lên

: d

/
=






www.VNMATH.com
17
 Viết pt mp chứa (d) và vuông góc mp

 

  












];[
)()(
)(









nan
bn
aad
dquaM
d
d

ª



)(
)(
)(
/


d

Dạng 5: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc (d
1
),(d

2
)

]
d
a ,
d
a [ avtcp
qua
1 2
)(


A
d
Dạng 6: PT d vuông góc chung của d
1
và d
2
:
+ Tìm
d
a
= [
a

d1
,
a


d2
]
+ Mp chứa d
1
, (d)
; mp
chứa d
2
, (d)


d =   
Dạng 7: PT qua A và d cắt d
1
,d
2
: d =






với mp = (A,d
1
) ; mp = (A,d
2
)
Dạng 8: PT d //


và cắt d
1
,d
2
: d =

1




2

với mp
1
chứa d
1
//  ; mp
2
chứa d
2
// 
Dạng 9: PT d qua A và

d
1
, cắt d
2
: d = AB
với mp qua A,  d

1
; B = d
2
 
Dạng 10: PT d

(P) cắt d
1
, d
2
: d =






với mp chứa d
1
,(P) ; mp chứa d
2
,  (P)

3.B
ÀI TẬP ÁP DỤNG

Bµi 1:LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) trong c¸c trêng hỵp sau :
a) (d) ®i qua ®iĨm M(1;0;1) vµ nhËn
(3;2;3)
a


lµm VTCP
b) (d) ®i qua 2 ®iĨm A(1;0;-1) vµ B(2;-1;3)
Bµi 2: Trong kh«ng gian Oxyz lËp ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa c¸c giao tun cđa mỈt ph¼ng
(
) : -3 2 -6 0
P
x y z


vµ c¸c mỈt ph¼ng to¹ ®é
Bµi 3: ViÕt ph¬ng tr×nh cđa ®êng th¼ng ®i qua ®iĨm M(2;3;-5) vµ song song víi ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng
tr×nh:


R
t,
21
22: 








tz
ty
tx

d

Bµi 4: Cho ®êng th¼ng (D) vµ mỈt ph¼ng (P) cã ph¬ng tr×nh lµ :


R
t,
21
22: 








tz
ty
tx
d
vµ (P): x+y+z+1=0
T×m ph¬ng tr×nh cđa ®êng th¼ng (t) ®i qua A(1;1;1) song song víi mỈt ph¼ng (P) vµ vu«ng gãc víi ®êng
th¼ng (D)
Bµi 5: Cho mỈt ph¼ng (P) ®i qua 3 ®iĨm A(3;0;0), B(0;6;0), C(0;0;9). ViÕt ph¬ng tr×nh tham sè cđa ®êng
th¼ng (d) ®i qua träng t©m tam gi¸c ABC vµ vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng chøa tam gi¸c ®ã
www.VNMATH.com
18
Bµi6: LËp ph¬ng tr×nh tham sè, chÝnh t¾c cđa ®êng th¼ng (d) ®i qua ®iĨm A(2;1;3) vµ vu«ng gãc víi mỈt
ph¼ng (P) trong c¸c trêng hỵp sau:

a)
(
) : 2 3 - 4 0
P
x y z

 
b)


:
2 3 1 0
P
x y z

  
.

Bµi 7: LËp ph¬ng tr×nh tham sè, chÝnh t¾c cđa ®êng th¼ng (d) ®i qua ®iĨm A(1;2;3) vµ song song víi ®êng
th¼ng (

) cho bëi :
 
2
2
: 3 t
3
x t
y
t R

z t
 



  



 

.

Bµi8: XÐt vÞ trÝ t¬ng ®èi cđa ®êng th¼ng (d) vµ mỈt ph¼ng (P) ,biÕt:
a)


R
t,
2
3
1
: 









tz
ty
tx
d
(P): x-y+z+3=0 b)


R
t,
1
9
412
: 








tz
ty
tx
d
(P): y+4z+17=0
Bµi 9: (§HNN_TH-98): Cho mỈt ph¼ng (P) vµ ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh (P): 2x+y+z=0 vµ



3
2
1
2
1
:





zyx
d
.
a) T×m to¹ ®é giao ®iĨm A cđa (d) vµ (P) .
b) LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d
1
) qua A vu«ng gãc víi (d) vµ n»m trong mỈt ph¼ng (P) .
Bµi 10: Cho hai ®êng th¼ng (d
1
),(d
2
) cã ph¬ng tr×nh cho bëi :



1
1
2
1

1
2
:
1





zyx
d


  

t
31
2
21
:
2
R
t
z
ty
tx
d 










a) CMR hai ®êng th¼ng ®ã c¾t nhau.X¸c ®Þnh to¹ ®é giao ®iĨm cđa nã.
b) ViÕt ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa mỈt ph¼ng (P) chøa (d
1
),(d
2
).

Bµi 11: (§HNN-96): cho hai ®êng th¼ng (d
1
),(d
2
) cã ph¬ng tr×nh cho bëi :




3
4
24
37
:
1










tz
ty
tx
d


  
R
t
z
ty
tx
d 








1
1

1
1
2
t
t,
12
29
1
:

a) Chøng tá r»ng hai ®êng th¼ng (d
1
),(d
2
) chÐo nhau.
b) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng vu«ng gãc chung cđa (d
1
),(d
2
) .

III.MẶT CẦU
1.T
ĨM TẮT LÝ THUYẾT
1.Phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c),bán kính R








2
Rczbyax:R)S(I,
2
22

(1)

0
d
2cz
2b
y
2ax
z
y
x
:
R)
S(I,
2
2
2


(2)
(
0
d

c
b
a
với
2
22


)
 Tâm I(a ; b ; c) và
d
cbaR 
2
22

2.Vò trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
Cho






2
R
czbyax:(S)
2
22



và  : Ax + By + Cz + D = 0
Gọi d = d(I,) : khỏang cách từ tâm mc(S) đến mp :
 d > R : (S)   = 
www.VNMATH.com
19
 d = R :  tiếp xúc (S) tại H (H: tiếp điểm, : tiếp diện)
*Tìm tiếp điểm H (là hchiếu của tâm I trên mp

)
 Viết phương trình đường thẳng (d) qua I và vuông góc mp : ta có

n
a
d


 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và ()

 d < R :  cắt (S) theo đường tròn có pt













2
0
DCzByAx :
Rczbyax:(S)
2
22

*Tìm bán kính r và tâm H của đường tròn:
+ bán kính
)
,(
2
2

Id
Rr 

+ Tìm tâm H ( là hchiếu của tâm I trên mp)
 Viết phương trình đường thẳng (d) qua I và vuông góc mp : ta có

n
a
d


 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và ()

3.Giao điểm của đường thẳng và mặt cầu









tazz
tayy
t
a
x
x
d
3o
2o
1o
:
(1) và







2
R

czbyax:(S)
2
22


(2)
+ Thay ptts (1) vào pt mc (2), giải tìm t,
+ Thay t vào (1) được tọa độ giao điểm
2.CÁC
DẠNG TOÁN

Dạng 1: Mặt cầu tâm I đi qua A
ª






2
R
czbyax:R)S(I,
2
22


(1)
 Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R
2

Dạng 2: Mặt cầu đường kính AB
 Tâm I là trung điểm AB
 Viết phương trình mặt cầu tâm I (1)
 Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R
2


Dạng 3: Mặt cầu tâm I tiếp xúc mp

222

)
(
C
BA
D
I
zC
I
yB
S




I
A.
x
)d(I, R

I tâmcầu mặt Pt


Dạng 4: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
Dùng (2)
0
d
2cz
2b
y
2ax
z
y
x
:
R)
S(I,
2
2
2


A,B,C,D  mc(S)

hệ pt, giải tìm a, b, c, d
Dạng 5:Mặt cầu đi qua A,B,C và tâm I € (α)

0
d
2cz

2by
2ax
z
y
x
:
R)
S(I,
2
2
2

(2)
A,B,C  mc(S): thế tọa tọa A,B,C vào (2)
I(a,b,c) (α): thế a,b,c vào pt (α)
www.VNMATH.com
20
Giải hệ phương trình trên tìm a, b, c, d
Dạng 6: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại A
Tiếp diện

của mc(S) tại A :

qua A,

 IA
n vtpt


3.B

ÀI TẬP ÁP DỤNG

Bµi 1: Trong c¸c ph¬ng tr×nh sau ®©y ,ph¬ng tr×nh nµo lµ ph¬ng tr×nh cđa mỈt cÇu ,khi ®ã chØ râ to¹ ®é t©m
vµ b¸n kÝnh cđa nã ,biÕt:
a)


02642:
222
 zyxzyxS b)


09242:
222
 zyxzyxS
c)


03936333:
222
 zyxzyxS d)


07524:
222
 zyxzyxS
Bµi 2: Cho hä mỈt cong (S
m
) cã ph¬ng tr×nh:



04624:
2
222
 mmzmymxzyxS
m

a) T×m ®iỊu kiƯn cđa m ®Ĩ (S
m
) lµ mét hä mỈt cÇu .
b) CMR t©m cđa (S
m
) lu«n n»m trªn mét ®êng th¼ng cè ®Þnh.
Bµi 3: Cho hä mỈt cong (S
m
) cã ph¬ng tr×nh:


05824:
2
2222
 mymmxzyxS
m

a) T×m ®iỊu kiƯn cđa m ®Ĩ (S
m
) lµ mét hä mỈt cÇu .
b) T×m q tÝch t©m cđa hä (S
m
) khi m thay ®ỉi. c) T×m ®iĨm cè ®Þnh M mµ (S

m
) lu«n ®i qua.
Bµi 4: Cho hä mỈt cong (S
m
) cã ph¬ng tr×nh:


03cos2sin2:
2
22
 mymxzyxS
m

a) T×m ®iỊu kiƯn cđa m ®Ĩ (S
m
) lµ mét hä mỈt cÇu .
b) CMR t©m cđa (S
m
) lu«n ch¹y trªn mét ®êng trßn (C) cè ®Þnh trong mỈt ph¼ng 0xy khi m thay ®ỉi.
c) Trong mỈt ph¼ng 0xy, (C) c¾t 0y t¹i A vµ B. §êng th¼ng y=m(-1<m<1 ,m

0) ,c¾t (C) t¹i T, S ,
®êng th¼ng qua A , T c¾t ®êng th¼ng qua B ,S t¹i P .T×m tËp hỵp c¸c ®iĨm P khi m thay ®ỉi .
Bµi 5: LËp ph¬ng tr×nh mỈt cÇu (S) ,biÕt :
a) T©m I(2;1;-1), b¸n kÝnh R=4. b) §i qua ®iĨm A(2;1;-3) vµ
t©m I(3;-2;-1).
c) §i qua ®iĨm A(1;3;0) ,B(1;1;0) vµ t©m I thc 0x. d) Hai ®Çu ®êng kÝnh lµ A(-1;2;3),
B(3;2;-7)
Bµi 6: Cho 3 ®êng th¼ng (d
1

),(d
2
), (d
3
) cã ph¬ng tr×nh :


1
1
4
2
3
2
:
1





z
yx
d
,


1
9
2
3

1
7
:
2






z
yx
d
,
 
1
2
2
3
3
1
:
3








z
yx
d

a) LËp pt®t (d) c¾t c¶ (d
1
),(d
2
) vµ song song víi (d
3
).
b) Gi¶ sư






A
dd 
1
,






B
dd 

2
.LËp ph¬ng tr×nh mỈt cÇu ®êng kÝnh AB.
Bµi 7: Cho 2 ®êng th¼ng (d
1
),(d
2
) cã ph¬ng tr×nh :


R
t
z
ty
tx
d 








t
2
1
2
:
1
,

 
1
9
2
3
1
7
:
2






z
yx
d

a) CMR (d
1
) vµ (d
2
) chÐo nhau. b) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng vu«ng gãc chung cđa (d
1
) vµ (d
2
).
c) LËp mËt cÇu (S) cã ®êng kÝnh lµ ®o¹n vu«ng gãc chung cđa (d
1

) vµ (d
2
). d) ViÕt pttq mp c¸ch ®Ịu(d
1
) (d
2
).
Bµi 8: ViÕt ph¬ng tr×nh mỈt cÇu (S) biÕt :
a) T©m I(1;2;-2) vµ tiÕp xóc víi mỈt ph¼ng (P):6x-3y+2z-11=0.
b) (C§GTVT-2000): T©m I(1;4;-7) vµ tiÕp xóc víi mỈt ph¼ng (P) :6x+6y-7z+42=0.
c) B¸n kÝnh R = 9 vµ tiÕp xóc víi (P): x+2y+2z+3=0 t¹i ®iĨm M(1;1;-3).
Bµi 9: (§H H-96): Trong kh«ng gian víi hƯ to¹ 0xyz ,cho bèn ®iĨm A(1;0;1), B(2;1;2),C(1;-1;1),D(4;5;-5).
a) ViÕt ph¬ng tr×nh tham sè cđa ®êng th¼ng ®i qua D vµ vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng (ABC).
b) ViÕt ph¬ng tr×nh mỈt cÇu ngo¹i tiÕp tø diƯn ABCD.
Bµi10: Cho bèn ®iĨm O(0;0;0),A(6;3;0), B(-2;9;1), S(0;5;8)
a) (§HKT-99): CMR SB vu«ng gãc SA.
b) (§HKT-99): CMR h×nh chiÕu cđa c¹nh SB lªn mỈt ph¼ng (0AB) vu«ng gãc víi c¹nh 0A. Gäi K lµ
giao ®iĨm cđa h×nh chiÕu ®ã víi 0A. H·y x¸c ®Þnh to¹ dé cđa K.
c) ViÕt ph¬ng tr×nh mỈt cÇu ngo¹i tiÕp tø diƯn ABCD.
d) (§HKT-99): Gäi P,Q lÇn lỵt lµ ®iĨm gi÷a cđa c¸c c¹nh S0,AB . T×m to¹ ®é cđa ®iĨm M trªn SB sao
cho PQ vµ KM c¾t nhau.
Bµi 11: Trong kh«ng gian víi hƯ to¹ ®é 0xyz ,cho bèn ®iĨm A(4;4;4), B(3;3;1), C(1;5;5), D(1;1;1).
a) (HVKTQS-98): T×m h×nh chiÕu vu«ng gãc cđa D lªn (ABC) vµ tÝnh thĨ tÝch tø diƯn ABCD.
b) (HVKTQS-98): ViÕt ph¬ng tr×nh tham sè ®êng th¼ng vu«ng gãc chung cđa AC vµ BD.
www.VNMATH.com
21
c) Viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
d) Tính thể tích tứ diện ABCD.
Bài 12: Cho bốn điểm A(-1;3;2), B(4;0;-3), C(5;-1;4), D(0;6;1).
a) (HVNHTPHCM-99):Viết phơng trình tham số của đờng thẳng BC .Hạ AH vuông góc BC .Tìm toạ

độ của điểm H.
b) (HVNHTPHCM-99):Viết pttq của (BCD) .Tìm kc từ A đến (BCD). c) Viết ptmc ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Bài 13: Trong không gian 0xyz, cho hình chóp .biết toạ độ bốn đỉnh S(5;5;6), A(1;3;0), B(-1;1;4), C(1;-1;4),
D(3;1;0).
a) Lập pt các mặt của hình chóp. b) Lập pt mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp . c) Tính V
SABC
D

Bài 14: (HVKTMM-97) Cho bốn điểm A(1;2;2), B(-1;2;-1), C(1;6;-1), D(-1;6;2).
a) CMR tứ diện ABCD có cặp cạnh đối diện bằng nhau . b) Xác định toạ độ trọng tâm G của tứ
diện.
c) Viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp ,nội tiếp tứ diện ABCD.

www.VNMATH.com
22



ỨNG D
ỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
GIẢI
MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

I. Ch
ọn hệ trục tọa độ
Oxyz
tron

g không gian

Ta có
:
,
,
Ox Oy
Oz
v
uông góc từng đôi một. Do đó, nếu trong mô hình chứa các cạnh vuông góc
thì ta ưu tiên chọn các đường đó lần lượt thuộc các trục tọa độ. Cụ thể :




Với h
ình lập phương hoặc hình hộp chữ nhật
''''. DCBAABCD



Với hình
lập phương .
Chọn hệ trục tọa độ sao cho :

(0;0;0) ; ( ;0;0) ; ( ; ;0) ; D(0; ;0)
A B a C a a a


'(0

;0; ) ; '( ;0; ) ; '( ; ; ) ; D'(0; ; )
A a
B a a C a a a a a

Với hình
hộp chữ nhật.
Chọn hệ trục tọa độ sao cho :

(0;
0;0) ; ( ;0;0) ; ( ; ;0) ; D(0; ;0)
A B
a C a b b


'(0
;0; ) ; '( ;0; ) ; '( ; ; ) ; D'(0; ;c)
A c
B a c C a b c b













Với h
ình hộp đáy là hình thoi
''
''. DCBAABCD



Chọn hệ tr
ục tọa độ sao cho :

- Gốc tọa độ trùng với giao điểm O của
hai đường chéo của hình thoi ABCD

- Trục
Oz
đi qua
2 tâm của 2 đáy









Với h
ình chóp tứ giác đều S.ABCD

Chọn hệ

trục tọa độ như hình vẽ
Giả sử cạnh hình vuông bằng a và
đường cao
SO h


Chọn O(0;0;0) là
tâm của hình vuông
Khi đó :
















 0;0;
2
2
;0;0;
2

2 a
C
a
A

2 2
0; ;0 ; 0; ;0 ; (0;0; )
2 2
a a
B D S h
   

   
   
   







Với h
ình chóp tam giác đều S.ABC

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
A

B

C

D

D’

C

A
’

B’

O
O’
x

y



B’
A

D
C
B
D’
A’

C’
y

z

x

z


B
D

C

A

O
S
x

y

z


S

z

www.VNMATH.com
23
Giả
sử cạnh tam giác đều bằng a và
đường cao bằng
h
. Gọi I là trung điểm
của BC
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho I(0;0;0)
Khi đó :
;
0;0 ; ;0;0
2
2
a a
A B
   

   
   



3
3
0; ;0 ; S 0; ;
2 6

a a
C h

  

  

  

  








Với
hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và SA

(ABCD)


A
BCD là hình chữ nhật
;
AB
a AD b




chiều
cao bằng
h


Chọn hệ
trục tọa độ như hình vẽ sao
cho A(0;0;0)

Khi đó :




;
0;0 ; ; ;0
B
a C a b





0
; ;0 ; (0;0; )
D
b S h

Với
hình chóp S.ABC có ABCD là hình thoi và SA

(ABCD)



A
BCD là hình thoi cạnh
a

chiều cao bằng
h


Chọn hệ
trục tọa độ như hình vẽ sao
cho O(0;0;0)

Với hình chóp S.ABC có SA

(ABC) và

ABC vuông tại A



Tam giác ABC vuông tại A có
;
AB
a AC b


đườ
ng cao bằng
h
.


Chọn hệ
trục tọa độ như hình vẽ sao

cho A(0;0;0)


Khi đó :




;
0;0 ; C 0; ;0
B
a b





S 0;0;
h





B

D

C

A

O
S

x

y

z


B

D

C

A

O
S

x

y

z

B

C

A

S

x

y

z




www.VNMATH.com
24





Với
hình chóp S.ABC có SA

(ABC)
và


A
BC vuông tại B



Tam
giác ABC vuông tại B có
;
BA
a BC b



đường cao bằng
h
.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho B(0;0;0)


Khi đó :




;
0;0 ; C 0; ;0
A

a b






S ;0;
a
h







Với
hình chóp S.ABC có (SAB)

(ABC),



SAB cân tại S
và

A
BC vuông tại C



ABC vuông tại C
;
CA
a CB b



chiều
cao bằng
h


H
là trung điểm của AB

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho C(0;0;0)

Khi đó :




;0;0 ; B 0; ;0
A a b

( ; ; )
2
2
a
b
S
h







Với hình chóp S.ABC có (SAB)

(ABC),

SAB cân tại S
và

A
BC vuông tại A




ABC vuông tại A
;

AB
a AC b



chiều
cao bằng
h


H
là trung điểm của AB

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho A(0;0;0)

Khi đó :




;
0;0 ; C 0; ;0
B
a b




(0; ; )

2
a
S
h










Với
hình chóp S.ABC có (SAB)

(ABC),



SAB cân tại S
và

A
BC vuông cân tại C



z

B

C

A
S

x

y


B

C

A

H
S

x

y

z


B

C

A

H
S

x

y

z






www.VNMATH.com
25


T
am giác ABC vuông cân tại C có
C
A CB a


đườ
ng cao bằng

h
.


H là trung điểm của AB


Chọn hệ
trục tọa độ như hình vẽ sao
cho H(0;0;0)


Khi đó :
;0;0 ; A 0; ;0
2 2
a a
C
   
   
   





B 0; ;0 ; S 0;0;
2
a
h
 


 
 











b. Bài tập áp dụng

Bài toán 1
.

Cho tứ
diện OABC có các tam giác OAB,OBC,OCA đều là tam giác vuông tại đỉnh O. Gọi




, ,
lần
lượt là góc hợp bởi các mặt phẳng (OBC),(OCA),(OAB) với mặt phẳng (ABC).Chứng minh
rằng :
1coscoscos

222



( SGK Hình 11, trang 96, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000, SGK Hình 12, trang 106, Văn Như Cương
chủ biên, NXBGD 2000 )


Hướng dẫn Bài giải
Dựng hình :


Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc
Ox
yz
như sau :
)
0;0;0(O
;
)
0;0;(aA
;
)0;;0( bB

);0;0( cC
;
)
0 ; ; ( baAB 

) ; 0 ; ( caAC 

Tìm vectơ pháp tuyến của :
 Mặt phẳng (ABC) 
 Mặt phẳng (OBC) 
 Mặt phẳng (OCA)
 Mặt phẳng (OAB)




)
; ; (, abacbcACABn 


)
0 ,0 ,1 (i

vì :
)
(OBCOx


)
0 ,1 ,0 (j

vì :
)(OCAOy


)
1 ,0 ,0 (k

vì :
)
(OABOz



S
ử dụng công thức tính góc giữa hai
mặt phẳng:



)
(),(coscos ABCOBC




)
(),(coscos ABCOBC




)(),(coscos ABCOBC



222222
.
cos
baaccb
cb





222222
.
cos
baaccb
ac




222222
.
cos
baaccb
ba





H



B

C

A

S

x

y

z



x

y

z



A

B

C

C’

O

www.VNMATH.com