Mot vai van de lien quan den THI TOI UU KET CAU
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (493.93 KB, 11 trang )
Một vài suy luận về vấn đề tối u kết cấu GV: TS. Nguyễn Xuân Thành
thông qua bài thi Tối u
Học viên : Phùng Quyết Thắng MSHV : 036K2.2009
Tổng hợp kiến thức
để làm đợc bài thi tối u kết cấu
1/ Bậc tự do của dàn : n = D+C-2M
Trong đó : D : số thanh trong dàn
C : số liên kết tựa tơng đơng loại 1
M : số mắt dàn
2/ Tính chuyển vị trong dàn :
3/ Điều kiện bền trong dàn:
4/ Quy trình làm bài toán tối u dàn :
Mục đích : tìm
- Hàm mục tiêu : thể tích V = f(A
i
)
- Điều kiện ràng buộc : +) Điều kiện bền
+) Điều kiện độ cứng
+) Điều kiện biến dạng
Bớc 1 : Tìm nội lực (lực dọc N
i
) trong các thanh dàn
Bớc 2 : Tìm chuyển vị tại điểm cần tính (theo đề)
Bớc 3 Lập điều kiện bền
Bớc 4 : Lập điều kiện độ cứng :
Bớc 5 : Lập hàm mục tiêu
Bớc 6 : GiảI bài toán tối u (tuyến tính hoặc phi tuyến ):bằng tay hoặc phần mềm
Mathematica
- Tuyến tính : đồ thị và phơng pháp đơn hình
- Phi tuyến : Lagrang , gradient ,
6/ GiảI bài toán theo phơng pháp số (ma trận)
Một vài suy luận về vấn đề tối u kết cấu GV: TS. Nguyễn Xuân Thành
thông qua bài thi Tối u
Học viên : Phùng Quyết Thắng MSHV : 036K2.2009
Một vài suy luận về vấn đề tối u kết cấu
thông qua bài thi tối u
Bài 1 : Giải bài toán quy hoạch tuyến tính sau : Đề a : = 4
0, ,2,
144
27
min122228
51
54321
54321
54321
XXX
XXXXX
XXXXX
XXXXXZ
Giải :
Bớc 1 : Chuyển bài toán gốc sang bài toán đối ngẫu nh sau :
0,
124
24
2
4
2847
0,
124
2
2
2847
max2max2
21
21
21
21
21
21
4
21
21
21
21
21
21
2121
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xxWxxW
Thay
Bớc 2 : Giải bài toán tối u bằng phơng pháp đồ thị ( do số ẩn là 2 )
a/ Đối với hàm mục tiêu W :
- Biến đổi biểu thức W thành : ):(22
**
112
WWDatWxWxx
- Chọn W = 0 ta có
dxx
12
2 là đồ thị bậc nhất đi qua gốc toạ độ (0,0)
- Vẽ
12
2xx trên cùng hệ trục toạ độ Đề Các với miền đa giác của đk ràng buộc
b/ Đối với đk ràng buộc :
-Vẽ miền đa giác nghiệm D của đk ràng buộc trên cùng một hệ tọa độ Đề các : là miền đa giác
lồi ABCD nh hình vẽ
0,
5124
424
32
24
12847
0,
124
2
2
2847
22
21
21
21
21
21
21
4
21
21
21
21
21
21
012012
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
WxxWxx
Thay
Một vài suy luận về vấn đề tối u kết cấu GV: TS. Nguyễn Xuân Thành
thông qua bài thi Tối u
Học viên : Phùng Quyết Thắng MSHV : 036K2.2009
c/ Tìm vị trí để W đạt max :
- Từ đồ thị , ta có nhận xét sau :
+ Đờng thẳng (d) là hàm bậc nhất đồng biến ( do hệ số góc = 2 > 0 )
+ Miền ABCD chỉ nằm về một phía , bên bờ phải của đờng thẳng (d)
Khoảng cách từ điểm xa nhất của miền ABCD đến (d) sẽ làm W
*
nhận giá trị nhỏ nhất nên
W = - W
*
sẽ là giá trị lớn nhất .
-Tìm điểm xa nhất giữa các điểm trong miền D so với đờng thẳng (d) :
+ Từ hình vẽ , ta thấy điểm C là điểm xa nhất so với các điểm khác của miền đa giác D đối với
đờng thẳng (d)
+ Tìm toạ độ điểm C :
11
14
11
36
32
12847
2
1
21
21
x
x
xx
xx
d/ Tính W
max
:
11
58
11
14
11
36
2
max
C
WW
Bớc 3 : Chuyển bài toán đối ngẫu về bài toán gốc :
Theo lý thuyết quy hoạch tuyến tính , ta có :
11
58
maxmin
WZ
Nhận xét :
1/ Từ nhận xét ở trên có thể rút ra các nhận định sau :
Một vài suy luận về vấn đề tối u kết cấu GV: TS. Nguyễn Xuân Thành
thông qua bài thi Tối u
Học viên : Phùng Quyết Thắng MSHV : 036K2.2009
- Điểm xa nhất : là điểm sao cho khi ta tịnh tiến (d) qua miền ABCD , đờng thẳng tịnh tiến không cắt qua một
cạnh bất kỳ nào của miền . Nếu cắt tại 1 điểm nút bài toán có một nghiệm (x
1
, x
2
), nếu trùng với một đờng nào
đó của miền ta có bài toán đa nghiệm (x
1
, x
2
)
- Vị trí tơng đối của đờng thẳng (d) với miền đa giác D có thể xảy ra 2 TH :
+ TH1 : Miền D nằm về một phía bờ (d) nh ở ví dụ này . Khi đó , ta chỉ cần tìm trên miền D điểm xa nhất (thoả
mãn chú ý về điểm xa nhất ở trên) thì đó là nghiệm cần tìm . Để biết là W đó là W
min
hay W
max
chỉ cần so sánh với
W
o
= 0 . Nếu W
ttoán
< W
o
= 0 là W
min
và ngợc lại
+ TH2 : (d) chia miền D thành 2 miền ( (d) cắt miền D làm đôi ) . Khi đó cũng chỉ cần tính 2 điểm xa nhất ở mỗi
miền (nếu không nhận biết đợc miền nào chứa W
min
hay W
max
cần tìm). Rồi so sánh với W
0
nh TH1 . Chú ý
rằng hai giá trị này sẽ trái dấu nhau !
2/ Không nên tìm tất cả các điểm A, B, C, D rồi tính giá trị W tại các điểm trên sau đó so sánh lấy giá trị Max
trong các trờng hợp kể trên! Sẽ mất rất nhiều thời gian để tìm đợc W
max
!
3/ Vấn đề tìm nghiệm X của bài toán gốc sau khi quy đổi từ bài toán đối ngẫu về bài toán gốc nh thế nào ?
Phần bổ sung :
1/ Giải bằng Mathematica bài toán gốc :
Lu ý : chơng trình không nhận giá trị chữ số , chỉ nhận giá tri thực (real_number)
Mã nguồn :
vc=Infinity;
Z={28,-4,2,2,12}; (* ma tran he so ham muc tieu Z > min *)
A={{7,-1,1,-4,1},{4,-1,-1,1,4}}; (* Ma tran he so cua dk rang buoc *)
B={{2,1},{-1,1}}; (* Ma tran he so gia tri dk rang buoc. Dau < tuong ung voi -1*)
X={{0,vc},{0,vc},{0,vc},{0,vc},{0,vc}}; (* dk bien X *)
Print["A = ",MatrixForm[A]];
Print["B = ",MatrixForm[B]];Print["X = ",MatrixForm[X]];
Print["X = ",LinearProgramming[Z,A,B,X]];
Print["Gia tri ham muc tieu = ",Z.LinearProgramming[Z,A,B,X]]
Kết quả :
Ma trận điều kiện ràng buộc : AX (<,=,>) B
A
7
1
1
4
1
4 1 1 1 4
B
2
1
1 1
Một vài suy luận về vấn đề tối u kết cấu GV: TS. Nguyễn Xuân Thành
thông qua bài thi Tối u
Học viên : Phùng Quyết Thắng MSHV : 036K2.2009
X
0
0
0
0
0
Nghiệm và giá trị của hàm mục tiêu tối u
X
1
11
, 0,
15
11
, 0, 0
Gia tri ham muc tieu
58
11
2/ Giải bằng Mathematica bài toán đối ngẫu :
Chú ý : Do Mathematica chỉ tìm Min mà không tìm Max mà trong bài toán đối ngẫu của bài 1 là tìm Max nên để
giải bằng Math phải nhân (-1) vào 2 vế của hàm mục tiêu để chuyển về tìm Min . Sau khi ra kết quả giá trị Min
=-58/11 phảI đổi dấu để trở lại bài toán đối ngẫu ban đầu Max = 58/11 là kết quả của bài toán đối ngẫu của bài 1
tơng ứng với nghiệm đối ngẫu là x={36/11,14/11}
Mã nguồn :
vc=Infinity;
Z={-2,1}; (* ma tran he so ham muc tieu Z > min *)
A={{7,4},{-1,-1},{1,-1},{-4,1},{1,4}}; (* Ma tran he so cua dk rang buoc *)
B={{28,-1},{-4,-1},{2,-1},{2,-1},{12,-1}}; (* Ma tran he so gia tri dk rang buoc *)
X={{0,vc},{0,vc}}; (* dk bien X *)
Print["A = ",MatrixForm[A]];
Print["B = ",MatrixForm[B]];Print["X = ",MatrixForm[X]];
Print["X = ",LinearProgramming[Z,A,B,X]];
Print["Gia tri ham muc tieu = ",Z.LinearProgramming[Z,A,B,X]]
Kết quả :
Ma trận điều kiện ràng buộc : AX <= B
A
7
4
1 1
1 1
4 1
1 4
B
28
1
4 1
2 1
2 1
12 1
X
0
0
Nghiệm và giá trị của hàm mục tiêu tối u
Một vài suy luận về vấn đề tối u kết cấu GV: TS. Nguyễn Xuân Thành
thông qua bài thi Tối u
Học viên : Phùng Quyết Thắng MSHV : 036K2.2009
X
36
11
,
14
11
Gia tri ham muc tieu
58
11
Bài 2 :Cho a =4m; b=3m Biết
a
b
tg
Bớc 1 : Xác định bậc tự do hệ là siêu tĩnh hay tĩnh định.
Đối với hệ dàn : n = D+C-2M
Trong đó : n : số tự do của hệ
D : số thanh trong dàn
C : số liên kết tựa tơng đơng loại 1
M : số mắt dàn
Bớc 2 : Xác định nội lực trong hệ :
1/Quy đổi hệ dàn : Hệ ban đầu = 30x(Hệ I ) + 40x(Hệ II) + 40x(Hệ III)
2 Xác định và vẽ biểu đồ nội lực (lực dọc ) đơn vị 31,1
__
iP
i
- Xác định phản lực của hệ đơn vị thành phần 31,1
__
iP
i
- Xác định nội lực (lực dọc N
i
) của hệ đơn vị thành phần 31,1
__
iP
i
- Vẽ biểu đồ nội lực ( lực dọc N
i
) của hệ đơn vị thành phần 31,1
__
iP
i
- Xác định biểu đồ nội lực N
P
:
Hệ I : 1
1
__
P
Một vài suy luận về vấn đề tối u kết cấu GV: TS. Nguyễn Xuân Thành
thông qua bài thi Tối u
Học viên : Phùng Quyết Thắng MSHV : 036K2.2009
Kết quả xuất từ SAP 2000 :
Phản lực 1
1
__
P Nội lực
1
__
1
P
N
Hệ II : 1
2
__
P
Kết quả xuất từ SAP 2000 :
0
5,0
625,0
375,0
375,0
0
0
2
1
cos2
1
2
2
1
5
43
21
5
43
21
N
NN
NN
Y
Y
X
N
NN
NN
tg
Y
tg
Y
X
B
A
A
B
A
A
0
667,0
833,0
5,0
5,0
0
0
cot
2
1
sin2
1
2
1
2
1
0
5
43
21
5
43
21
N
NN
NN
Y
Y
X
N
gNN
NN
Y
Y
X
B
A
A
B
A
A
Một vài suy luận về vấn đề tối u kết cấu GV: TS. Nguyễn Xuân Thành
thông qua bài thi Tối u
Học viên : Phùng Quyết Thắng MSHV : 036K2.2009
Phản lực 1
2
__
P Nội lực
1
__
2
P
N
Hệ III : 1
3
__
P
Kết quả xuất từ SAP 2000 :
Phản lực 1
3
__
P Nội lực
1
__
3
P
N
1
667,0
833,0
5,0
5,0
0
1
cot
2
1
sin2
1
2
1
2
1
0
5
43
21
5
43
21
N
NN
NN
Y
Y
X
N
gNN
NN
Y
Y
X
B
A
A
B
A
A
Một vài suy luận về vấn đề tối u kết cấu GV: TS. Nguyễn Xuân Thành
thông qua bài thi Tối u
Học viên : Phùng Quyết Thắng MSHV : 036K2.2009
Từ hệ I , II , III ta có :
Bớc 3 : Xác định điều kiện độ cứng
P
:
55
1
1
1
2
2
4
55
1
1
1
2
2
3
0000
0
4
000
00
4
00
000
5
0
0000
5
103
1
0000
0000
0000
000
cos
0
0000
cos
1
xx
X
X
X
X
X
X
b
X
a
X
a
X
a
X
a
E
F
321321
53
53
100
667,0667,05,0
667,0667,05,0
833,0833,0625,0
833,0833,0625,0
100
2
cot
2
cot
2
1
2
cot
2
cot
2
1
sin2
1
sin2
1
cos2
1
sin2
1
sin2
1
cos2
1
PPPPPP
gg
gg
B
x
x
X
X
X
X
X
gg
gg
X
b
X
a
X
a
X
a
X
a
gg
gg
E
BFB
x
x
x
x
x
x
T
P
35
55
1
1
1
2
2
53
4
35
55
1
1
1
2
2
53
1667,0667,0833,0833,0
1667,0667,0833,0833,0
05,05,0625,0625,0
'
3
0000
0
4
000
00
4
00
000
5
0
0000
5
.
100
667,0667,05,0
667,0667,05,0
833,0833,0625,0
833,0833,0625,0
103
1
1
2
cot
2
cot
sin2
1
sin2
1
0
2
cot
2
cot
sin2
1
sin2
1
0
2
1
2
1
cos2
1
cos2
1
0000
0000
0000
000
cos
0
0000
cos
100
2
cot
2
cot
2
1
2
cot
2
cot
2
1
sin2
1
sin2
1
cos2
1
sin2
1
sin2
1
cos2
1
1
Một vài suy luận về vấn đề tối u kết cấu GV: TS. Nguyễn Xuân Thành
thông qua bài thi Tối u
Học viên : Phùng Quyết Thắng MSHV : 036K2.2009
Nhận xét :
- ở đây , ta đã lấy 3 hàng cuối để thực hiện phép nhân ma trận sẽ đơn giản hơn dùng 3 hàng đầu
vì ma trận cuối cùng
P
chỉ là 3x3 nên 2 trong 5 hàng của ma trận đầu B
T
sẽ không dùng đến
trong phép nhân ma trận !
Cụ thể nếu nhân 3 hàng đầu ta sẽ đợc ma trận dạng sau (biểu thức trong ma trận phức tạp hơn
nhiều ). ở đây đã sử dụng phép biến đổi lợng giác để biến đổi
cos
22
22
X
a
X
ba
nên biểu thức trong ma trận đã đỡ phức tạp đi nhiều !
- Mặt khác , trong ma trận
P
theo cách lấy ở trên sẽ loại bỏ đi biến X
2
chỉ còn lại biến X
1
trong
biểu thức
P
.Trong khi lấy 3 hàng đầu sẽ làm xuất hiện cả 2 biến X
1
và X
2
trong biểu thức
P
(nh trên). Nh vậy, bài toán tối u sau này sẽ giải dễ dàng hơn dù trực tiếp giải bằng tay hay
dùng phần mềm Mathematica để giải !
X
X
X
X
atg
X
ga
X
a
E
xx
P
33
1
2
2
4
33
1
1
2
1
9
16
00
0
36
125
0
00
64
125
103
1
00
0
4
cot
0
00
4
1
X
ag
X
a
X
a
E
x
P
33
1
2
2
2
3
2
2
cot
00
0
cos.sin4
0
00
cos4
1
Một vài suy luận về vấn đề tối u kết cấu GV: TS. Nguyễn Xuân Thành
thông qua bài thi Tối u
Học viên : Phùng Quyết Thắng MSHV : 036K2.2009
- Để làm giảm các tham số trong tính toán ( loại bỏ tham số b) , trong biểu thức
P
ta thay thế
b=a.tg . Khi đó ta chỉ cần biểu diễn bài toán thông qua 2 đại lợng a và là đủ , không cần
thêm đại lợng chiều cao b !
