PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

www.VNMATH.com
1

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.
Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc được gọi là hệ trục toạ độ vuông góc Oxyz
trong không gian z




k



i
O

j
y
x

 O ( 0;0;0) gọi là góc toạ độ .
 Các trục tọa độ:
 Ox : trục hoành.
 Oy : trục tung.
 Oz : trục cao.
 Các mặt phẳng toạ độ:
 (Oxy), (Oyz), (Oxz) đôi một
vuông góc với nhau.


, ,
  
i j k
là các véctơ đơn vị lần lượt
nằm trên các trục Ox, Oy, Oz.

i

= (1;0;0),
j

= (0;1;0),
k

= (0;0;1).

1
i j k
  
  
và
2 2 2
1
i j k
  
  
.

i j


 
,
j k

 
,
k i

 
.

. 0
i j

 
,
. 0
j k

 
,
. 0
k i

 
.

,
i j k

 

 
  
,
,
j k i
 

 
  
,
,
k i j
 

 
  

CÁC TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT CẦN NHỚ
 M

Ox

M(x;0;0)
 M

Oy

M(0;y;0)

 M

Oz

M(0;0;z)
 M

(Oxy)

M(x;y;0)
 M

(Oyz)

M(0;y;z)
 M

(Oxz)

M(x;0;z)
 Tọa độ của điểm:
. . . ( ; ; )
   
   
OM xi y j zk M x y z

 Tọa độ của vectở:
1 2 3 1 2 3
. . . ( ; ; )
    

    
a a i a j a k a a a a


CÁC TÍNH CHẤT CẦN NHỚ.
Cho




1 1 1 2 2 2
; ; , ; ;
 
 
a x y z b x y z
và số k tuỳ ý, ta có:
1. Tổng hai vectơ là một vectơ.



1 2 1 2 1 2
; ;    
 
a b x x y y z z

2. Hiệu hai vectơ là một vectơ.



1 2 1 2 1 2

; ;    
 
a b x x y y z z

3. Tích của vectơ với một số thực là một vectơ.





1 1 1 1 1 1
. . ; ; ; ; 

k a k x y z kx ky kz

4. Độ dài vectơ. Bằng
     
2 2 2
hoaønh tung cao
 


2 2 2
1 1 1
  

a x y z
.
5. Vectơ không có tọa độ là:
www.VNMATH.com

2




0 0;0;0


.
6. Hai vectơ bằng nhau: Tọa độ tương ứng bằng nhau.

1 2
1 2
1 2



  




 
x x
a b y y
z z

7. Tích vô hướng của hai vectơ: Bằng: hoành.hoành+tung.tung+cao.cao.

1 2 1 2 1 2

. . . .
  
 
a b x x y y z z

. 0
  
   
a b a b

8. Góc giữa hai vectơ: Bằng tích vô hướng chia tích độ dài.

 
.
os a,
.

 
 
 
a b
c b
a b
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
. . .
.
x x y y z z
x y z x y z

 

   

CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ
Trong hệ trục toạ độ Oxyz: Cho A( x
A
; y
A
; z
A
) , B( x
B
, y
B
, z
B
). Khi đó:
1) Tọa độ vectơ

AB
là:


; ;
B A B A B A
AB x x y y z z
   

.

2) Độ dài đoạn thẳng AB bằng đồ dài

AB
:
     
2 2 2
      

B A B A B A
AB AB x x y y z z
.
Chú ý: Độ dài đoạn thẳng AB hay còn gọi là khoảng cách giữa hai điểm A và B.
3) Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là:
A B
I
A B
I
A B
I
x x
x
2
y y
y
2
z z
z
2



















; ;

I I I
I x y z

4) Tọa độ trọng tâm của tam giác:
Cho

ABC với A(x
A
; y
A
; z
A

),B( x
B
, y
B
, z
B
), C( x
C
, y
C
, z
C
).
Khi đó toạ độ trọng tâm G của

ABC là:
 
3
; ;
3
3
 




 

 



 




A B C
G
A B C
G G G G
A B C
G
x x x
x
y y y
y G x y z
z z z
z

5) Tích có hướng và tính chất của tích có hướng:
Cho




1 1 1 2 2 2
; ; , ; ;
 
 
a x y z b x y z

. Khi đó:
www.VNMATH.com
3


1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
, ; ;
 
 

 
 
 
 
y z z x x y
a b
y z z x x y

 Hai vectơ

a
,

b
cùng phương
, 0
 
 
 

  
a b
.
 Hai vectơ

a
,

b
không cùng phương
, 0
 
 
 
  
a b

 Ba vectơ
, ,c
  
a b
đồng phẳng
, .c 0
 
 
 
  
a b
.
 Ba vectơ

, ,c
  
a b
không đồng phẳng
, .c 0
 
 
 
  
a b
.
6) Chứng minh hai vectơ cùng phương.
 Cách 1:


a
và

b
cùng phương
.
 
 
a k b
.


a
và


b
cùng phương
1 1 1
2 2 2
  
x y z
x y z
với


2 2 3
x ,y ,z 0


 Cách 2:



a
và

b
cùng phương
2 2 2
1 1 1
  
x y z
x y z
với



1 1 1
x ,y ,z 0


 Cách 3:


a
và

b
cùng phương
a,b 0
 
 
 
  
.
CÁC DẠNG BÀI TẬP CHỨNG MINH
Vấn đề1: Chứng minh ba điểm thẳng hàng. Ba điểm không thẳng hàng.
Dạng 1: Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng:
Cần nhớ Phương pháp
C
BA


Ba điểm A, B, C thẳng hàng

hai vectơ

,
 
AB AC
cùng phương
, 0
 
 
 
  
AB AC
.
Chú ý: Ba điểm A, B, C thẳng hàng là
ba điểm nằm trên 1 đường thẳng.
Để chứng minh ba điểm A,B,C thẳng hàng ta
thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tính


 
; ;
; ;




AB
AC
.
Bước 2: Tính
 

, 0;0;0 0
 
 
 
  
AB AC
.
Bước 3: Kết luận hai vectơ
,
 
AB AC
cùng
phương, nên ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Dạng 2: Chứng minh ba điểm A, B, C KHÔNG thẳng hàng:
Cần nhớ Phương pháp
C
B
A

Để chứng minh ba điểm A,B,C KHÔNG thẳng
hàng ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tính


 
; ;
; ;





AB
AC
.
Bước 2: Tính
 
, ; ; 0
 
 
 
  
AB AC
.
Bước 3: Vậy hai vectơ
,
 
AB AC
không cùng
www.VNMATH.com
4

Ba điểm A, B, C không thẳng hàng

hai vectơ
,
 
AB AC
không cùng
phương
, 0

 
 
 
  
AB AC

phương, nên ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

Chú ý: Ba điểm không thẳng hàng chính là ba
đỉnh của một tam giác.


Vấn đề 2: Chứng minh bốn điểm đồng phẳng, bốn điểm không đồng phẳng.
Dạng 1: Chứng minh bốn điểm A, B, C, D KHÔNG đồng phẳng.
Cần nhớ Phương pháp
D
C
B
A

Bốn điểm A, B, C, D không đồng
phẳng


, ,
  
AB AC AD
đồng phẳng

, . 0

 

 
  
AB AC AD
.

Để chứng minh bốn điểm A,B,C, D không đồng
phẳng ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính


 
 
; ;
; ;
; ;






AB
AC
AD
.
Bước 2: Tính
 

, ; ;
, . 0
 

 
 
 
 
 
  
AB AC
AB AC AD
.
Bước 3: Vậy ba vectơ
, ,
  
AB AC AD
không đồng
phẳng, nên bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

Chú ý:
 A, B, C, D không đồng phẳng khi đó A, B, C, D là bốn đỉnh của 1 tứ diện ABCD.
 Vậy để chứng minh bốn điểm A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện ta đi chứng
minh bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng
Dạng 3: Chứng minh bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng.
Cần nhớ Phương pháp
D
C
B
A

Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng


, ,
  
AB AC AD
đồng phẳng

, . 0
 

 
  
AB AC AD
.
Chú ý: Bốn điểm A, B, C, D đồng
Để chứng minh bốn điểm A,B,C, D đồng phẳng
ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính


 
 
; ;
; ;
; ;







AB
AC
AD
.
Bước 2: Tính
 
, ; ;
, . 0
 

 
 

 
 
  
AB AC
AB AC AD
.
www.VNMATH.com
5

phẳng là bốn điểm thuộc một mp.
Bước 3: Vậy ba vectơ
, ,
  

AB AC AD
đồng
phẳng, nên bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng.
Vấn đề 3: Hình chiếu vuông góc.
Hình chiếu vuông góc lên trục tọa độ Hình chiếu vuông góc lên mp tọa độ
1. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của
điểm M(x
0
;y
0
;z
0
) trên các trục tọa độ.
Phương pháp
 Hình chiếu vuông góc của điểm
M(x
0
;y
0
;z
0
) trên trục Ox là: M(x
0
;0;0)
 Hình chiếu vuông góc của điểm
M(x
0
;y
0
;z

0
) trên trục Oy là: M(0;y
0
;0)
 Hình chiếu vuông góc của điểm
M(x
0
;y
0
;z
0
) trên trục Oz là: M(0;0;z
0
)
2. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của
điểm M(x
0
;y
0
;z
0
) trên các phẳng tọa độ.
Phương pháp
 Hình chiếu vuông góc của điểm
M(x
0
;y
0
;z
0

) trên (Oxy) là: M(x
0
;y
0
;0)
 Hình chiếu vuông góc của điểm
M(x
0
;y
0
;z
0
) trên (Oyz) là: M(0;y
0
;z
0
)
 Hình chiếu vuông góc của điểm
M(x
0
;y
0
;z
0
) trên (Oxz) là: M(x
0
;0;z
0
)
Vấn đề 4: Thể tích khối tứ diện.

Cần nhớ Phương pháp

Thể tích của khối tứ diện ABCD
A
 
 
  
1
V = AB, AC .AD
6


D
B

C


Bước 1: Tính


 
 
; ;
; ;
; ;







AB
AC
AD
.
Bước 2: Tính
 
, ; ;
, .
 

 
 

 
 
  
AB AC
AB AC AD

Bước 3:
 
 
  
1
V = AB, AC .AD
6

Chú ý: Thể tích không âm.

Vấn đề 5: Diện tích tam giác.
Diện tích tam giác ABC



 
 
ABC
1
S = AB, AC
2
 

A



B C
Chú ý: Diện tích không âm.
Bước 1: Tính


 
; ;
; ;





AB
AC
.
Bước 2: Tính
 
, ; ;
 

 
 
AB AC
.
Bước 3: Tính
2 2 2
AB,AC h t c
 
  
 
 
.
Bước 4: ADCT


 
 
ABC
1
S = AB, AC
2
 

MẶT CẦU
Vấn đề 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu.
Dạng 1 Dạng 2
MC (S):






     
2 2 2
2
x a y b z c R

Mặt cầu (S):
2 2 2
x y z 2ax-2by-2cz+d=0
  

www.VNMATH.com
6

Có tâm I(a;b;c) và bán kính R
Có tâm I(a;b;c) với
he ä soá x
a
-2
he ä soá y

b
-2
he ä soá z
c
-2













Bán kính:
   
2 2 2
R a b c d


Vấn đề 2: Lập phương trình mặt cầu.
Dạng 1: Lập phương trình mặt cầu dạng







     
2 2 2
2
x a y b z c R

Loại 1: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) và bán kính R=m (với m là số thực).
Phương pháp:
 Pt mặt cầu (S):






     
2 2 2
2
x a y b z c R
(*).
 Mặt cầu có tâm I(a;b;c), bán kính R=m.
 Thế tâm I và bán kính R vào pt (*).
Loại 2: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) và đường kính bằng n (với n là số thực).
Phương pháp:
 Pt mặt cầu (S):







     
2 2 2
2
x a y b z c R
(*).
 Mặt cầu có tâm I(a;b;c), bán kính R=
n
2
.
 Thế tâm I và bán kính R vào pt (*).
Loại 3: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) và đi qua điểm A.
Phương pháp:
 Pt mặt cầu (S):






     
2 2 2
2
x a y b z c R
(*).
 Mặt cầu có tâm I(a;b;c)
 Bán kính R=
IA IA



.
 Thế tâm I và bán kính R vào pt (*).
Chú ý: Điểm A thuộc mặt cầu nên khoảng cách từ A đến tâm bằng với bán kính R hay độ dài
đoạn thẳng IA bằng với bán kính R.
Loại 4: Mặt cầu có đường kính AB.
Phương pháp:
 Pt mặt cầu (S):






     
2 2 2
2
x a y b z c R
(*).
 Gọi I trung điểm AB


I ; ;


 Mặt cầu có tâm I(a;b;c)
 Bán kính R=
IA IA



.
 Thế tâm I và bán kính R vào pt (*).
Chú ý:
 Đường kính là AB nên A và B thuộc mặt cầu nên IA=IB là bán kính.
www.VNMATH.com
7

Ta cú th tớnh R theo 2 cỏch sau: R=
IB IB


hoc R=
AB
AB
2 2


.
Loi 5: Mt cu cú tõm I(a;b;c) v tip xỳc mp (P): Ax+By+Cz+D=0.
Phng phỏp:
Pt mt cu (S):







2 2 2
2

x a y b z c R
(*).
Mt cu cú tõm I(a;b;c).
Do mt cu tip xỳc mp(P) nờn:




0 0 0
2 2 2
Ax By Cz D
R d I,(P)
A B C

Th tõm I v bỏn kớnh R vo pt (*).


Dng 2: Lp phng trỡnh mt cu dng:
2 2 2
x y z 2ax-2by-2cz+d=0

.
Loi 1: Lp phng trỡnh mt cu qua bn im A, B, C, D.
Phng phỏp.
Pt mt cu (S) cú dng:
2 2 2
x y z 2ax-2by-2cz+d=0

(*)
Vỡ A, B, C, D thuc (S):

theỏ toùa ủoọ ủieồm A vaứo pt (*).
theỏ toùa ủoọ ủieồm B vaứo pt (*).
theỏ toùa ủoọ ủieồm C vaứo pt (*)
theỏ toùa ủoọ ủieồm D vaứo pt (*)









Gii h phng trỡnh bng phng phỏp th, ta tỡm c a, b, c, d.
Sau ú th a, ,b , c, d vo pt (*).
Chỳ ý: bi cú th hi thờm xỏc nh tõm, tớnh bỏn kớnh, tớnh din tớch xung quanh v th
tớch khi cu ngoi tip hỡnh chúp.
Loi 2: Lp Pt mt cu qua ba im A, B, C v cú tõm thuc mp (P): Ax+By+Cz+D=0.
Phng phỏp.
Pt mt cu (S) cú dng:
2 2 2
x y z 2ax-2by-2cz+d=0

(*)
Vỡ A, B, C thuc (S):
theỏ toùa ủoọ ủieồm A vaứo pt (*).
theỏ toùa ủoọ ủieồm B vaứo pt (*).
theỏ toùa ủoọ ủieồm C vaứo pt (*)

Vỡ tõm I(a;b;c) thuc (P) nờn th ta a;b;c vo pt ca (P) ta c phng trỡnh th
t. Ta gii h bn pt, ta tỡm c a,b,c,d.
VN 3: PHNG TRèNH MT PHNG
Dng 1: Vit pt mp bit im thuc mp v vect phỏp tuyn.
Loi 1: Mt phng (P) qua im


0 0 0
M x ;y ;z
v cú
vect phỏp tuyn


n A;B;C


.
Phng phỏp:

M

n


P)

www.VNMATH.com
8

 Mặt phẳng (P) qua điểm


0 0 0
M x ;y ;z
.
 Mặt phẳng (P) có VTPT


n A;B;C


.
 Ptmp (P):






0 0 0
A x x B y y C z z 0
     
.
Loại 2: Mặt phẳng (P) qua điểm



0 0 0
M x ;y ;z
và song
song hoặc chứa giá của hai vectơ
a , b
 
.
Phương pháp:
 Mặt phẳng (P) qua điểm


0 0 0
M x ;y ;z
.
 Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là




a= , b

 

 Mặt phẳng (P) có VTPT
n a,b
 

 
  
.

 Ptmp(P):






0 0 0
A x x B y y C z z 0
     
.




Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và
vuông góc với đường thẳng d.
Phương pháp:
 Mặt phẳng (P) đi qua M.
 Mặt phẳng (P) có VTPT:


P d 1 2 3
n a a ;a ;a
 
 
.
 Ptmp(P):







0 0 0
A x x B y y C z z 0
     



Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B,
C.
Phương pháp:
 Mặt phẳng (P) đi qua A.
 Mặt phẳng (P) có VTPT:
n AB,AC
 

 
  
.
 Pt(P):






0 0 0
A x x B y y C z z 0

     



Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai điểm
A, B và vuông góc với mp(Q).
Phương pháp:
 Mặt phẳng (P) qua điểm A.

Dạng 2: Viết phương trình mp (P) đi qua điểm M và
song song với mp(Q).
Phương pháp:
 Mặt phẳng (P) qua điểm


0 0 0
M x ;y ;z
.
 Do mp(P) song song mp(Q) nên mặt phẳng (P) có
VTPT

 
P Q
n n
.
 Ptmp(P):







0 0 0
A x x B y y C z z 0
     
.
 Chú ý: Hai mp song song cùng vectơ pháp
tuyến.

a


b


,
n a b
 

 
  

P)
Q)
M


Q
n


M



d
a

d

P)


,
n AB AC
 

 
  

A
B
C

B
Q
n


P

)

Q
)


A
www.VNMATH.com
9

 Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P)
là:
Q
AB n
 
 
.
 Nên mp(P) có VTPT:
Q
n AB,n
 

 
  
.
 Ptmp(P):







0 0 0
A x x B y y C z z 0
     

Dạng 6:
 Viết phưong trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng d và d’.
 Viết phưong trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d song song với đường thẳng d’.
Phương pháp:
 Mặt phẳng (P) qua điểm
M d

.
 Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là:
d d'
a a
 
 
.
 Mp(P) có VTPT:
d d'
n a ,a
 

 
  
.
 Ptmp(P):







0 0 0
A x x B y y C z z 0
     




Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A và đường thẳng d.
Phương pháp:
 Chọn điểm M thuộc đt d.
 Mặt phẳng (P) qua điểm A.
 Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là:
d
AM a
 
 
.
 Nên mp(P) có VTPT:
d
n AM,a
 

 
  
.

 Ptmp(P):






0 0 0
A x x B y y C z z 0
     


Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng (P) là mp trung trực
của đoạn thẳng AB.
Phương pháp:
 Gọi I là trung điểm AB



I


 Mặt phẳng (P) qua điểm I.
 Mặt phẳng (P) có VTPT
n AB

 
.
 Ptmp (P):







0 0 0
A x x B y y C z z 0
     
.


Dạng 9: Viết phương trình mp (P) đi qua điểm M và vuông góc với hai mp (Q) và (R).
Phương pháp:
 Mặt phẳng (P) qua điểm M.
 Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là:
Q R
n ,n
 
 
.
 Nên mp(P) có VTPT:
Q R
n n ,n
 

 
  
.
 Ptmp(P):







0 0 0
A x x B y y C z z 0
     


Vấn đề 4: Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu (S):
Dạng 1: Lập phương trình mp(P) tiếp xúc mặt cầu (S) tại điểm A.
P)

A


I


B

www.VNMATH.com
10

Phương pháp:
 Xác định tâm I của mc(S).
 Mặt phẳng (P) qua điểm A.
 Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến
n IA


 
.
 Ptmp(P):






0 0 0
A x x B y y C z z 0
     


Dạng 2: Viết pt mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến


n m;n;p


và tiếp xúc mặt cầu (S).
Phương pháp:
 Trước tiên: Ta xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu.
 Ptmp(P) có dạng: Ax+By+Cz+D=0.
Vì mp(P) có VTPT


n m;n;p



mx ny pz 0
    
D
.
 Do mp(P) tiếp xúc mc(S)






d I; P R

Chú ý:
A B
A B
A B


 

 

.
Điều kiện tiếp xúc:
Mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S)

( ,( ))
d I P R

 


Điều kiện tiếp xúc:
Đường thẳng d tiếp xúc mặt cầu (S)

( , )
d I d R
 


Vấn đề 5: Khoảng cách:Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
Khoảng cách từ điểm M(x
0
;y
0
;z
0
) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 là

0 0 0
2 2 2
A
( ,( ))
x By Cz D
d M P
A B C
  

 

VẤN ĐỀ 6: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
.
Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A,B.
Phương pháp:
 Đường thẳng d đi qua điểm A.
 Đường thẳng d có VTCP:
a AB

 
.
 Pt tham số:
0
0
0
 


 


 

x x at
y y bt
z z ct
.
Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và song song với đường thẳng d’.
Phương pháp:
 Đường thẳng d đi qua điểm M.

 Đường thẳng d có VTCP:
d d'
a a

 
.
 Pt tham số:
0
0
0
 


 


 

x x at
y y bt
z z ct
.
Chú ý: Hai đường thẳng song song cùng vectơ chỉ phương.
r = d(I,(P))

I
P)
www.VNMATH.com
11

Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mp(P).
Phương pháp:
 Đường thẳng d đi qua điểm M.
 Đường thẳng d có VTCP:
d P
a n

 
.
 Pt tham số:
0
0
0
 


 


 

x x at
y y bt
z z ct
.
VẤN ĐỀ 7: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Tìm giao điểm của đường thẳng d:
0
0
0

 


 


 

x x at
y y bt
z z ct
và mp(P): Ax+By+Cz+D=0.
Phương pháp:
 Gọi H là giao điểm của d và (P).
 Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ pt:
0
0
0
Ax+By+Cz+D=0
x x at
y y bt
z z ct
 


 


 





 Xét pt:






0 0 0
A +B +C +D=0
  x at y bt z ct
(*).Giải pt (*) tìm t

x, y, z

H.
VẤN ĐỀ 8: XÁC ĐỊNH HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA M LÊN MP(P).

Phương pháp:
 Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M
và vuông góc với mp(P).
 Tìm giao điểm H của d và (P).
 Điểm H chính là hình chiếu vuông góc của M lên (P).

Cần nhớ: Hình chiếu vuông góc của M lên (P) chính là giao điểm của đường thẳng d đi qua M
và vuông góc với (P).
VẤN ĐỀ 9: TÌM ĐIỂM M’ ĐỐI XỨNG VỚI M QUA MP(P).
Phương pháp:
 Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và
vuông góc với mp(P).
 Tìm giao điểm H của d và (P).
 Do M và M’ đối xứng qua (P) nên H là trung điểm của
đoạn thẳng MM”.


M

H
)
P

d


M


H

)

P

d


M
/

Chú ý: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
nhận VTPT của mặt phẳng làm VTCP.
www.VNMATH.com
12

/
/
/
/
/
/
2
2
2
2
2
2






 




    
 
 
 
 




M
M
H
H M
M
M
M
H H M
M
H M
M
M
M
H
x x
x

x x x
y y
y y y y
z z z
z z
z

M’=
Cần nhớ: Hai điểm M và M’ đối xứng nhau qua (P) khi đó H là trung điểm của đoạn thẳng
MM’
VẤN ĐỀ 10: XÁC ĐỊNH HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA M LÊN đường thẳng d.


Phương pháp:
 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M
và vuông góc với đường thẳng d.
 Tìm giao điểm H của d và (P).
 Điểm H chính là hình chiếu vuông góc của M lên d.










Cần nhớ: Hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d chính là giao điểm của đường thẳng
d đi qua M và vuông góc với (P).

www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com

VẤN ĐỀ 11: TÌM ĐIỂM M’ ĐỐI XỨNG VỚI M QUA đường thẳng d.
Phương pháp:
 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và
vuông góc với đường thẳng d.
 Tìm giao điểm H của d và (P).
 Do M và M’ đối xứng qua d nên H là trung điểm
của đoạn thẳng MM’.
/
/
/
/
/
/
2
2
2
2
2
2





 





    
 
 
 
 




M
M
H
H M
M
M
M
H H M
M
H M
M
M
M
H
x x
x
x x x
y y

y y y y
z z z
z z
z

M’=

Cần nhớ: Hai điểm M và M’ đối xứng nhau qua d khi đó H là trung điểm của đoạn thẳng MM’.
VẤN ĐỀ 12: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG.
Phương pháp:


M



H

P)
(d)


M


M


H
P)

(d)
www.VNMATH.com
13

Bước 1:
 Xác định điểm M thuộc d và VTCP
a

của d.
 Xác định điểm M’ thuộc d và VTCP
a'

của d’.
Bước 2:
 Xét sự cùng phương của hai vectơ chỉ phương bằng cách tính
a,a'
 

 
 

 Nếu
a,a' 0
 

 
  
thì
a,a'
 

cùng phương khi đó d song song với d hoặc d trùng với d’.
o Nếu M thuộc d mà không thuộc d’ thì d song song d’.
o Nếu M thuộc d và cũng thuộc d’ thì d trùng với d’.
 Nếu
a,a' 0
 

 
  
thì
a,a'
 
không cùng phương khi đó d cắt d’ hoặc d và d’ chéo nhau.
o Nếu
a,a' .MM' 0
 

 
  
thì d và d’ cắt nhau.
o Nếu
a,a' .MM' 0
 

 
  
thì d và d’ chéo nhau.

VẤN ĐỀ 13: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MP.
Phương pháp: Để xét vị trí tường đối của đt d:
0
0
0
 


 


 

x x at
y y bt
z z ct
và mp(P): Ax+By+Cz+D=0.
Ta làm như sau:
 Xét pt:






0 0 0

A +B +C +D=0
  x at y bt z ct
(*).Giải pt tìm t.
o Pt(*) có một nghiệm t

d cắt mp(P) tại một điểm.
o Pt (*) vô nghiệm

d song song với (P).
o Pt(*) có vô số nghiệm t

d nằm trong (P).

Chú ý:

0t 1 voâ nghieäm.
0t =-2 voâ nghieäm.


0t 0 voâ soá nghieäm


VẤN ĐỀ 14: CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH.
1/ Chứng tam giác ABC là tam giác vuông tại
A.
Cần nhớ: Tam giác ABC vuông tại A
AB AC AB AC AB.AC 0
     
   

Phương pháp:

www.VNMATH.com
14

 Tính
AB ,AC
 
 

 Tính
AB.AC H.H T.T C.C 0
   
 

 Suy
AB AC

 

 Suy ra
AB AC

.
 Kết luận tam giác ABC vuông tại A
Chú ý:
 Nếu tam giác ABC vuông tại B
BC BA BC BA.BC 0
      
   

 Nếu tam giác ABC vuông tại C
C CB CA CB CA.CB 0
      
   

2/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’
VUÔNG GÓC với nhau.
Cần nhớ:
d d' d d'
d d' a a a .a 0
    
   

Phương pháp:
 Đường thẳng d có VTCP:
a

=
 Đường thẳng d’ có VTCP:
a'

=
 Tính
a.a H.H T.T C.C 0
   
 

 Suy ra:
a a


 
.
 Kết luận d và d’ vuông góc với nhau.


3/ Tìm tham số để đường thẳng d VUÔNG GÓC đường thẳng d’.
Phương pháp:
Do
d d' d d'
d d' a a a .a 0
      
   
ta giải pt tìm được tham số.

4/ Chứng minh đường thẳng d SONG SONG với đường
thẳng d’.
Cần nhớ:
 Hai đường thẳng song song không có điểm
chung tức là mọi điểm thuộc đường thẳng này nhưng
không thuộc đường thẳng kia.
 Hai đường thẳng song song khi hai vectơ chỉ
phương cùng phương với nhau.

Phương pháp chứng minh hai đường thẳng d và d’ SONG SONG với nhau:
Cách 1:
Bước 1: Chứng minh hai vectơ chỉ phương
a,a'
 
cùng phương:

 Ta chứng minh
a,a' 0
 

 
  
.
Bước 2: Chọn điểm M thuộc d rồi chứng minh M không thuộc d’. Rồi kết luận.
Cách 2:
Bước 1: Lập tỉ số: Tức là


 
1 2 3
1 2 3
a a ;a ;a
a' a' ;a' ;a'




cùng phương
3
1 2
1 2 3
a
a a
a' a' a'
  
.

Bước 2: Chọn điểm M thuộc d rồi chứng minh M không thuộc d’. Rồi kết luận.
www.VNMATH.com
15


5/ Tìm tham số m để đường thẳng d SONG SONG đường thẳng d’.
Phương pháp:
Bước 1: Chỉ ra hai vectơ chỉ phương


 
1 2 3
1 2 3
a a ;a ;a
a' a' ;a' ;a'




.
Bước 2: Vì d //d’ nên
a,a'
 
cùng phương
3
1 2
1 2 3
a
a a
a' a' a'

  
, lập pt hoặc hệ pt để tìm m.

6/ Tìm giao điểm của hai đường thẳng:
d:
0
0
0
 


 


 

x x at
y y bt
z z ct
và d’:
0
0
0
' ' '
' ' '
' ' '
 


 



 

x x a t
y y b t
z z c t


Cách tìm:

Bước 1:
 Gọi I là giao điểm của d và d’.
 Tọa độ giao điểm là nghiệm hệ pt:
0 0
0 0
0 0
' ' ' (1)
' ' ' (2)
' ' ' (3)
  


  


  

x at x a t
y bt y b t

z ct z c t
(*)
Bước 2: Để giải hệ (*) ta đi giải hệ gồm pt (1) và (2), rồi thế t và t’ vào pt(3) thử lại.
 Giải hệ pt
0 0
0 0
' ' ' (1)
' '
' ' ' (2) ' '
  
 



 
    


x at x a t
at a t m
y bt y b t bt b t n
. Tìm t và t’.
 Thế t và t’ vào pt (3) nếu thỏa thì t và t’ là nghiệm của hệ (*), nếu không thỏa thì hệ
(*) vô nghiệm.
 Thế t và t’ vào pt của d hoặc của d’ để tìm tọa độ giao điểm I.


7/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ CẮT nhau.
Cách 1:
 Chỉ ra một điểm M thuộc d và một vectơ chỉ phương

a

của d.
 Chỉ ra một điểm M’ thuộc d’ và một vectơ chỉ phương
a'

của d’.
 Chứng minh:
a,a' 0
a,a' .MM' 0

 

 

 


 

  
  
.
Cách 2: Tìm giao điểm của d và d’.

8/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ CHÉO nhau.
 Chỉ ra một điểm M thuộc d và một vectơ chỉ phương
a

của d.

www.VNMATH.com
16

Ch ra mt im M thuc d v mt vect ch phng
a'

ca d.
Chng minh:
a,a' .MM' 0




.
VN 15: KHONG CCH GIA HAI MT PHNG SONG SONG.
Cỏch tớnh:
tớnh khong cỏch gia hai mp song song (P) v (Q) ta lm nh sau:
Chn im M thuc (P).





0 0 0
2 2 2
Ax By Cz D
d P , Q d M, Q
A B C

.
VN 16: KHONG CCH GIA HAI NG THNG SONG SONG.
Chn im M thuc d.





d d,d' d M,d'

.
VN 17: IM THUC NG THNG
Cho ng thng d cú phng trỡnh tham s:
0
0
0








x x at
y y bt
z z ct
.
ng thng l tp hp vụ s im.

Nu chn im M thuc d thỡ im M cú ta l:


0 0 0
M x at;y bt;z ct

.
VN 18: GểC.
1/ Gúc gia hai ng thng l gúc gia hai vect ch phng.


a.a'
cos = cos a,a'
a . a'




Chỳ ý:
0 0
0 90

.
2/ Gúc gia hai mt phng l gúc gia hai vect phỏp tuyn.


n.n'
cos = cos n,n'
n . n'

Chỳ ý:
0 0
0 90

.
3/ Gúc gia ng thng v mt phng l gúc gia vect ch phng v vect phỏp
tuyn.


a.n
sin = cos a,n
a . n




Chỳ ý:
0 0
0 90

.
VN 19: V TR TNG I CA MT PHNG (P) V MT CU (S).
Xỏc nh tõm I v bỏn kớnh r ca mt cu (S).
Tớnh khong cỏch d t tõm I n mp(P):

d d I, P

.
o TH1:
d r (P) (S)= .

(hay (P) v (S) khụng cú im chung).
o TH2:
d r (P) tieỏp xuực cụựi maởt cau (S).


www.VNMATH.com
17

o TH3:
d r (P) cắt (S) theo thiết diện là mộ
t đường tròn (C).
 

CÁC DẠNG TỐN ƠN THI TỐT NGHIỆP NĂM 2012
Vấn đề 1: Phương trình mặt phẳng.

















2. Các dạng tốn.
Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua một điểm
0 0 0
M(x ;y ;z )
và
vng góc với đường thẳng d.
0 0 0
HD

P d
Điểm đi qua M(x ;y ;z )
VTPT n a







 

Cần nhớ: MP vng góc đường thẳng nhận VTCP của đt làm VTPT.
Bài 1: Viết phương trình mp(P) qua điểm A(2;2;-1) và vng góc với đt d:
x 1 2t
y 3t
z 2
 


 





 Cách xác định tâm và bán kính đường tròn(C).
- Gọi H là tâm của (C).
Khi đó H chính là giao điểm của đường thẳng d đi
qua tâm I và vng góc mp(P).

- Gọi r’ là bán kính của (C).
Khi đó:
    
2 2 2 2 2
r R d r R d
.
Cần nhớ: H là hình chiếu vng góc của I lên (P)
nên tam giác IMH vng tại H.
Với: R=IM, d=IH=




d I, P
và r=MH.

r
I
r
I
HH
MMM
d
r’
r

1. Kiến thức cần nhớ:
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: Vectơ
n 0



đgl vectơ pháp tuyến của
mp(P) nếu giá của
n

vng góc với (P), viết tắt là
n (P)


.
- Nếu hai vectơ
a, b
 
khơng cùng phương có giá song song hoặc nằm trên mp(P)
thì mp(P) có một vectơ pháp tuyến là:
P
n a,b
 

 
  
.
- Phương trình tổng qt của mp có dạng: Ax+By+Cz+D=0 với
2 2 2
A B C 0
  

- Phương trình mặt phẳng (P) qua điểm
0 0 0
M(x ;y ;z )

có vectơ pháp tuyến


P
n A;B;C


có dạng:






0 0 0
A x x B y y C z z 0
     
.
Cần nhớ:
- Để viết phương trình mặt phẳng ta cần tìm:
 
0 0 0
P
một điểm M(x ;y ;z ) thuộc mp
một VTPT n A;B;C










www.VNMATH.com
18

Bài giải
HD
P d
Ñieåm ñi qua A(2;2-1)
VTPT n a







 

- Mặt phẳng (P) qua điểm A(2;2;-1).
- Mặt phẳng (P) có VTPT là


P d
n a 2; 3;0
  
 
.

-






0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0
     








      
    
   
2 x 2 3 y 2 0 z 1 0
2x 4 3y 6 0
2x 3y 2 0

Cần nhớ:
- Mp(P) vuông góc đường thẳng d nhận vectơ
d
a


làm vectơ pháp tuyến.
Bài 2: Viết phương trình mp(P) qua điểm A(2;2;-1) và vuông góc với đường thẳng
d:
x 1 y 2 z
1 2 2
 
 


Bài giải
HD
P d
Ñieåm ñi qua A(2;2-1)
VTPT n a







 

- Mặt phẳng (P) qua điểm A(2;2;-1).
- Mặt phẳng (P) có VTPT là


P d
n a 1;2; 2
  

 
.
-






0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0
     








      
      
    
x 2 2 y 2 2 z 1 0
x 2 2y 4 2z 2 0
x 2y 2z 8 0

Cần nhớ: Mp(P) vuông góc đường thẳng d nhận vectơ
d
a


làm vectơ pháp tuyến.
Bài 3: Cho ba điểm A(2;0;0), B(0;2;0), C(0;0;2).
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua B vuông góc với AC.
Bài giải
HD
P
Ñieåm ñi qua B(0;2;0)
VTPT n AC







 

- Mặt phẳng (P) qua điểm B(0;2;0).
- Mặt phẳng (P) có VTPT là


P
n AC 2;0;2
  
 
.
-







0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0
     








       
 
 
x 0 0 y 2 2 z 0 0
x + 2z = 0
x+z=0

Cần nhớ: Mp(P) vuông góc đường thẳng AC nhận vectơ
AC

làm vectơ pháp tuyến.

2. Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với BC tại B.
www.VNMATH.com
19

Bài giải
HD
P
Ñieåm ñi qua B(0;2;0)
VTPT n BC







 

- Mặt phẳng (P) qua điểm B(0;2;0).
- Mặt phẳng (P) có VTPT là


P
n BC 0; 2;2
  
 
.
-







0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0
     








       
 
 
x 0 2 y 2 2 z 0 0
y+4+2z=0
y+2z+4=0

Cần nhớ: Mp(P) vuông góc đường thẳng BC nhận vectơ
BC

làm vectơ pháp tuyến.
Bài 4: Cho hai điểm A(1;1;1), B(3;3;3). Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn
thẳng AB.
Bài giải
HD
P
Ñieåm ñi qua laø trung ñieåm I(2;2;2)
VTPT n AB








 

- Gọi (P) là mp trung trực của đoạn thẳng AB.
- Gọi I là trung điểm của AB


I 2;2;2


- Mặt phẳng (P) qua điểm I(2;2;2).
- Mặt phẳng (P) có VTPT là


P
n AB 2;2;2
 
 
.
-







0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0
     








       
 
 
x 0 2 y 2 2 z 0 0
y+4+2z=0
y+2z+4=0

Cần nhớ: Mp trung trực của đoạn thẳng AB là mp vuông góc với đoạn thẳng AB tại trung
điểm I của đoạn thẳng AB.

Kiến thức cần nhớ:

- Trục Ox có VTCP là


i 1;0;0



.
- Trục Oy có VTCP là


j 0;1;0


.
- Trục Oz có VTCP là


k 0;0;1


.
- Mp (Oxy) có VTPT:


n i, j k 0;0;1
 
  
 
   
.
- Mp (Oyz) có VTPT:


n j,k i 1;0;0
 

  
 
   

- Mp (Oxz) có VTPT:


 
  
 
   
n k,i j 0;1;0
.

Bài 5: Cho điểm M(1;2;3).
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với trục Ox.
Bài giải
 
HD
P
Ñieåm ñi qua M(1;2;3)
VTPT n i 1;0;0




 


 

- Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).
www.VNMATH.com
20

- Mặt phẳng (P) có VTPT là


P
n i 1;0;0
 
 
.
-






0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0
     









      

x 1 0 y 2 0 z 3 0
x-1=0

Cần nhớ: Mp(P) vuông góc trục Ox nhận vectơ
i

làm vectơ pháp tuyến.
2. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với trục Oy.
Bài giải
 
HD
P
Ñieåm ñi qua M(1;2;3)
VTPT n j 0;1;0




 


 

- Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).
- Mặt phẳng (P) có VTPT là



P
n j 0;1;0
 
 
.
-






0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0
     








       

x 1 1 y 2 0 z 3 0
y-2=0

Cần nhớ: Mp(P) vuông góc trục Oy nhận vectơ
j


làm vectơ pháp tuyến.
3. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với trục Oz.
Bài giải
 
HD
P
Ñieåm ñi qua M(1;2;3)
VTPT n k 0;0;1




 


 

- Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).
- Mặt phẳng (P) có VTPT là


P
n k 0;0;1
 
 
.
-







0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0
     








       
  
x 1 0 y 2 1 z 3 0
z =0

Cần nhớ: Mp(P) vuông góc trục Oz nhận vectơ
k

làm vectơ pháp tuyến.
Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua ba điểm A, B, C

0 0 0
HD
P
Ñieåm ñi qua A(x ;y ;z )

VTPT n AB,AC




 


 

  


Bài 1: Viết phương trình mp(P) qua ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1).
Bài giải
HD
P
Ñieåm ñi qua A
VTPT n AB,AC




 


 

  

- Mặt phẳng (P) qua điểm A(1;0;0).
- Mặt phẳng (P) có VTPT là
P
n AB,AC
 

 
  

Với


 
AB 1;1;0
AC 1;0;1
 
 



www.VNMATH.com
21




P
n AB,AC 1;1;1
 
  

 
  

-






0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0
     








      
    
    
x 1 1 y 0 1 z 0 0
x 1 y z 0
x y z 1 0

Bài 2: Cho hai điểm M(1;1;1), N(1;-1;1). Viết phương trình mp(OMN).
Bài giải

HD
P
Ñieåm ñi qua O, VTPT n OM,ON
 
 
 
  

- Mặt phẳng (P) qua điểm O(0;0;0).
- Mặt phẳng (P) có VTPT là
P
n OM,ON
 

 
  

Với


 
OM 1;1;1
ON 1; 1;1

 







P
n OM,ON 2;0; 2
 
   
 
  

-






0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0
     








       
   
x 0 0 y 0 2 z 0 0
x 2z 0

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua một điểm
0 0 0
M(x ;y ;z )
và song
song với mp(Q)
0 0 0
HD
P Q
Ñieåm ñi qua M(x ;y ;z )
VTPT n n







 

Bài 1: Viết phương trình mp(P) qua điểm A(1;2;3) và song song với
mp(Q): 2x+2y+z=0.
Bài giải
HD
P Q
Ñieåm ñi qua A(1;2;3)
VTPT n n








 

- Mặt phẳng (P) qua điểm A(1;2;3).
- Mặt phẳng (P) có VTPT là


P Q
n n 2;2;1
 
 
.
-






0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0
     









       
       
     
x 1 2 y 2 1 z 3 0
x 2 2y 4 z 3 0
x 2y z 3 0

Cần nhớ: Hai mp song song cùng VTPT.
Bài 2: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1). Viết phương trình mp(P) qua điểm
M(1;2;3) và song song với mp(ABC)
Bài giải
HD
P ABC
Ñieåm ñi qua M
VTPT n n AB,AC




 
 

 

   

- Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).

www.VNMATH.com
22

- Mặt phẳng (P) có VTPT là
P
n AB,AC
 

 
  

Với


 
AB 1;1;0
AC 1;0;1
 
 





P
n AB,AC 1;1;1
 
  
 
  

-






0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0
     








      
      
    
x 1 1 y 2 1 z 3 0
x 1 y 2 z 3 0
x y z 6 0

Cần nhớ: Mp(ABC) có VTPT là
ABC
n AB,AC
 


 
  
.
Bài 3: Viết pt mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song mp(Oxy).
Bài giải
 
HD
P
Ñieåm ñi qua M(1;2;3)
VTPT n i,j k 0;0;1




 
  

 

   

- Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).
- Mặt phẳng (P) có VTPT là


P
n i, j k 0;0;1
 
  

 
   
.
-






0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0
     








       

x 1 0 y 2 1 z 3 0
z-3=0

Bài 4: Viết pt mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song mp(Oxz).
Bài giải
 





 
  

 

   
HD
P
Ñieåm ñi qua M(1;2;3)
VTPT n k,i j 0;1;0

- Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).
- Mặt phẳng (P) có VTPT là


P
n i,k j 0;1;0
 
  
 
   
.
-







0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0
     








       

x 1 1 y 2 0 z 3 0
y-2=0

Bài 5: Viết pt mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song mp(Oyz).
Bài giải
 
HD
P
Ñieåm ñi qua M(1;2;3)
VTPT n j,k i 1;0;0




 

  

 

   

- Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).
- Mặt phẳng (P) có VTPT là


P
n j,k i 1;0;0
 
  
 
   
.
-






0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0
     









      

x 1 0 y 2 0 z 3 0
x-1=0

www.VNMATH.com
23

Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua hai điểm A, B và vuông góc
với mp(Q)
HD
P Q
Ñieåm ñi qua A
VTPT n AB,n




 


 

  

Bài 1: Viết pt mp(P) qua 2 điểm A(3;1;-1), B(2;-1;4) và vuông góc với mp
(Q): 2x-y+3z-1=0
Bài giải
HD
P Q
Ñieåm ñi qua A
VTPT n AB,n




 


 

  

- Mặt phẳng (P) qua điểm A(3;1;-1).
- Hai vectơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên (P) là:



 
Q
AB 1; 2;5
n 2; 1;3
  
 




- Mặt phẳng (P) có VTPT là


P Q
: n AB,n 1;13;5
 
  
 
  

-






0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0
     









       

x 3 13 y 1 5 z 1 0
x-13y-5z+5=0

Bài 2: Viết pt mp(P) qua 2 điểm A(3;1;-1), B(2;-1;4) và vuông góc với mp(Oxy)
Bài giải
HD
P
Ñieåm ñi qua A
VTPT n AB,k




 


 

  

- Mặt phẳng (P) qua điểm A(3;1;-1).
- Hai vectơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên (P) là:



 
AB 1; 2;5
k 0;0;1

  




- Mặt phẳng (P) có VTPT là
P
n AB,k
 

 
  
=(-2;1;0)
-






0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0
     









       
 
x 3 1 y 1 0 z 1 0
x+y+5=0

Bài 3: Viết pt mp(P) qua gốc tọa độ, điểm A(1;1;1) và vuông góc với mp(Oyz)
Bài giải
HD
P
Ñieåm ñi qua O
VTPT n OA,i




 


 

  

- Mặt phẳng (P) qua điểm O(0;0;0).
- Hai vectơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên (P) là:



 
OA 1;1;1

i 1;0;0





www.VNMATH.com
24

- Mt phng (P) cú VTPT l
P
n OA,i




=(0;1;-1)
-






0 0 0
Pt mp(P): A x x B y y C z z 0

x 0 1 y 0 1 z 0 0
y-z=0




Vn 2: Phng trỡnh ng thng.















Cỏc dng toỏn.

Dng 1: Vit phng trỡnh ng thng qua hai im A, B.

HD
AB
ẹieồm ủi qua A
VTPT a AB









Cn nh: ng thng AB cú vect ch phng l vect
AB

.
Bi 1: Vit phng trỡnh ng thng qua hai im A(1;2;3), B(2;1;4).
Bi gii
HD
AB
ẹieồm ủi qua A
VTPT a AB

- ng thng AB qua im A(1;2;3).
- ng thng AB cú vect ch phng l:
AB
a AB


=(1;-1;1).
- Pt tham s ca AB l:












0
0
0
x x at
x 1 t
y y bt y 2 t

z 3 t
z z ct
.
Bi 2: Cho ba im A(1;1;1), B(2;2;2), C(3;6;9). Gi G l trng tõm tam giỏc ABC. Vit
phng trỡnh ng thng OG.
Kin thc cn nh:
- Vect ch phng ca ng thng l vect cú giỏ song song vi ng thng hoc
trựng vi ng thng.
- ng thng d qua im
0 0 0
M(x ;y ;z )
cú vect ch phng


d
a a;b;c


:
Cú pt tham s:
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct

.
Cú phng trỡnh chớnh tc:
0 0 0
x x y y z z
, a.b.c 0
a b c



- Cn nh: vit pt ng thng ta tỡm:

0 0 0
d
moọt ủieồm M(x ;y ;z ) thuoọc ủửụứng thaỳng
moọt VTCP a a;b;c









www.VNMATH.com
25

Bài giải
HD
OG
Ñieåm ñi qua O
VTPT a OG







 

- Ta có G(2;3;4)
- Đường thẳng OG qua điểm O(0;0;0).
- Đường thẳng OG có vectơ chỉ phương là:
OG
a OG

 
=(2;3;4).
- Pt tham số của OG là:
 
  

 
  
      

  
  
  
 
 

0
0
0
x x at
x 0 2t x 2t
y y bt y 0 3t y 3t
z 0 4t z 4t
z z ct
.
Cần nhớ: Đường thẳng OG có vectơ chỉ phương là
OG



Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M và vuông góc với mp(P).

HD
d P
Ñieåm ñi qua M
VTPT a n








 

Bài 1: Viết pt đường thẳng d qua điểm M(1;2;3) và vuông góc với mp(P): x-2y-z-1=0.
Bài giải
HD
d P
Ñieåm ñi qua M
VTPT a n







 

- Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3).
- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là:
d P
a n

 
=(1;-2;-1).
- Pt tham số của d là:
 
 



 
    
 
 
 
 


0
0
0
x x at
x 1 t
y y bt y 2 2t
z 3 t
z z ct
.
Cần nhớ: Đường thẳng vuông góc mp nhận VTPT của mp là VTCP.
Bài 2: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1). Viết pt đường thẳng d qua gốc tọa độ và
vuông góc mp(ABC).
Bài giải
HD
d ABC
Ñieåm ñi qua O
VTPT a n AB,AC





 
 

 

   

- Đường thẳng d qua điểm O(0;0;0).
- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là:
d ABC
a n AB,AC
 
 
 
   
=(1;1;1).
- Pt tham số của d là:
 



 
   
 
 

 



0
0
0
x x at
x t
y y bt y t
z t
z z ct
.
Bài 3: Viết phương trình đường thẳng d qua M(1;2;3) và vuông góc mp(Oxy).
Bài giải
HD
d
Ñieåm ñi qua M
VTPT a i,j k




 
 

 

   

- Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3).