PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

BÀI TOÁN 1: TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I. Tọa độ của véctơ
Cho hệ tọa độ Oxyz và
u
r
. Khi đó có duy nhất một bộ ba số thực
(x, y, z) sao cho
. . .u x i y j z k= + +
r r r r
. Ta gọi bộ ba số (x, y, z) là tọa độ
của
u
r
và kí hiệu là :
( ; ; )u x y z=
r
hoặc
( ; ; )u x y z
r
Vậy :
( ; ; )u x y z=
r
. . .u x i y j z k⇔ = + +
r r r r
Từ định nghĩa trên ta suy ra :

(1;0;0), (0;1;0), (0;0;1), 0 (0;0;0)i j k= = = =
r r r r
II. Tọa độ của điểm
Cho hệ tọa độ Oxyz và điểm M. Ta gọi tọa độ của

OM
uuuur
là tọa độ của điểm M. Như vậy bộ ba số (x, y, z) là tọa
độ của điểm và kí hiệu là
( ; ; )M x y z=
hoặc
( ; ; )M x y z
nếu :
. . .OM x i y j z k= + +
uuuur r r r
.
Vậy theo định nghĩa trên, ta có :
•
(0;0;0)O
•
( ;0;0)M Ox M x∈ ⇔
•
(0; ;0)M Oy M y∈ ⇔
•
(0;0; )M Oz M z∈ ⇔
( ) ( ; ;0)M Oxy M x y• ∈ ⇔
( ) ( ;0; )M Oxz M x z• ∈ ⇔
( ) (0; ; )M Oyz M y z• ∈ ⇔
 Gọi
1 2 3
; ;M M M
lần lượt là hình chiếu vuông góc của M(x; y; z) lên 3 trục tọa độ Ox, Oy, Oz. Khi đó

1 2 3
( ;0;0), (0; ;0), (0;0; )M x M y M z

 Gọi
1 2 3
; ;M M M
lần lượt là hình chiếu vuông góc của M(x; y; z) lên 3 mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Oxz).
Khi đó
1 2 3
( ; ;0), (0; ; ), ( ;0; )M x y M y z M x z
.
 Cho
( ; ; ), ( ; ; )
A A A B B B
A x y z B x y z
. Khi đó
( ; ; )
B A B A B A
AB x x y y z z= − − −
uuur
III. Các công thức
• Cho hai véctơ
1 1 1 2 2 2
( ; ; ), ( ; ; )a x y z b x y z= =
r r
. Khi đó :
1.
1 2 1 2 1 2
( ; ; )a b x x y y z z± = ± ± ±
r r
2.
1 1 1
. ( ; ; ) m a mx my mz m R= ∀ ∈

r
3. Tích vô hướng của hai véctơ :
a)
. . .cos( ; )a b a b a b=
r r r r r r
b)
1 2 1 2 1 2
.a b x x y y z z= + +
r r
4. Độ dài của véctơ :

2 2 2
1 1 1
a x y z= + +
r
;
2 2 2
2 2 2
b x y z= + +
r
5. Côsin của góc giữa 2 véctơ :
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
.
cos( ; ) = ( ; 0)
.
.
a b x x y y z z
a b a b

a b
x y z x y z
+ +
= ≠
+ + + +
r r
r r r r r
r r
6.
1 2
1 2
1 2
x x
a b y y
z z
=


= ⇔ =


=

r r
7.
a
r
cùng phương với
b
r

⇔
1 1 1
2 2 2
x y z
x y z
= =
• Khoảng cách giữa hai điểm
2 2 2
( ) ( ) ( )
B A B A B A
AB AB x x y y z z= = − + − + −
uuur
z
.
x
.
k
r
j
r
0
y
.M
.
.
1
. . . 0
i j k
i j j k i k

= = =
= = =
r r r
rr r r rr
• Gọi I là trung điểm AB
2
2
2
A B
I
A B
I
A B
I
x x
x
y y
y
z z
z
+

=


+

⇒ =



+

=


• Gọi G là trọng tâm tam giác ABC
3
3
3
A B C
G
A B C
G
A B C
G
x x x
x
y y y
y
z z z
z
+ +

=


+ +

⇒ =



+ +

=


• Nếu điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (
1k
≠
), nghĩa là
.MA k MB=
uuur uuur
thì
.
1
.
1
.
1
A B
M
A B
M
A B
M
x k x
x
k
y k y
y

k
z k z
z
k
−

=

−

−

=

−

−

=

−

B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Bài 1 : Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với
( 1;2;4), (2;0;5), (1;1;2)A B C−
.
a. Tính chu vi tam giác ABC.
b. Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
c. Tìm tọa độ điểm E đối xứng với A qua B.
d. Tìm tọa độ điểm F sao cho A là trọng tâm tam giác BCF .

e. Tính góc A của tam giác ABC.
Bài 2 : Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết
(1;1;3), ( 2;3;0), (0;4;1), '(2;4; 1)A B D C− −
. Tìm
tọa độ tất cả các đỉnh còn lại của hình hộp.
Bài 3 : Trong không gian Oxyz cho
0u ≠
r r
. Chứng minh rằng :
2 2 2
cos ( ; ) cos ( ; ) cos ( ; ) 1u i u j u k+ + =
r r r r r r
.
Bai 4 : Tìm
OxM
∈
cách đều 2 điểm
(1; 3;1) ; B(0;1;-2)A −
.
Bài 5 : Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với
(2;0; 3), (1;2; 2), (0;2;1)A B C− −
. Tìm tọa độ chân đường phân
giác trong và chân đường phân giác ngoài góc A của tam giác ABC.
Bài 6 : Cho
(4; 1;2) ; B(7;3;2)A −
. Tìm M trên mặt phẳng (Oyz) sao cho tam giác ABM vuông cân tại A.
Bài 7 : Trong không gian Oxyz, cho
(2; 1;4), ( 4;3;2)A B− −
. Tìm điểm M trên mặt phẳng (Oxy) sao cho :
a.

MA MB+
uuur uuur
đạt giá trị nhỏ nhất.
b.
2 2
( )MA MB+
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 8 : Cho
( 1;6;6) ; B(3;-6;-2)A −
. Tìm
(Ox )M y∈
sao cho
( )MA MB+
nhỏ nhất.
Bài 9 : Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm
(4;0;0), B(7;3;9), (2;2;2)A C
. Tìm M thuộc (Oxz) sao cho
2 3MA MB MC+ +
uuur uuur uuuur
nhỏ nhất.
BÀI TOÁN 2: TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ VÀ ỨNG DỤNG
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I. Định nghĩa :
Trong không gian Oxyz, cho hai véctơ
1 2 3 1 2 3
( ; ; ), ( ; ; )a a a a b b b b= =
r r
.
Tích có hướng của hai véctơ
a

r
và
b
r
là một véctơ, kí hiệu là
;a b
 
 
r r
,
và được xác định như sau :

2 3 3 1
1 2
2 3 3 1 1 2


; ; ;
b b b
a a a a
a a
a b
b b b
 
 
=
 ÷
 
 
r r

II. Tính chất
1.
a
r
cùng phương với
b
r
; 0a b
 
⇔ =
 
r r r
2.
;a b
 
 
r r
vuông góc với cả hai véctơ
a
r
và
b
r
a
r
b
r
;a b
 
 

r r
α
3.
; ;b a a b
   
= −
   
r r r r
4.
; . .sin( ; )a b a b a b
 
=
 
r r r r r r
III. Các ứng dụng
1. Xét sự đồng phẳng của ba véctơ
• Ba véctơ
; ; a b c
r r r
đồng phẳng
; . 0a b c
 
⇔ =
 
r r r
• 4 điểm A, B, C, D tạo thành tứ diện
; . 0AB AC AD
 
⇔ ≠
 

uuur uuur uuur
2. Tính diện tích tam giác :
1
;
2
ABC
S AB AC
∆
 
=
 
uuur uuur
3. Tính thể tích hình hộp :
. ' ' ' '
; .
ABCD A B C D
V AB AC AD
 
=
 
uuur uuur uuur
4. Tính thể tích tứ diện :
1
; .
6
ABCD
V AB AC AD
 
=
 

uuur uuur uuur
B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Bài 1 : Trong không gian Oxyz cho

(1;2;3), (3; 1;2), (2;3;1)
(9; 3;7), (1;8;8), w (5; 5;1)
a b c
u v
= = − =
= − = = −
r r r
r r uur
1. Chứng minh ba véctơ
; ; a b c
r r r
không đồng phẳng.
2. Chứng minh ba véctơ
; ; wu v
r r uur
đồng phẳng.
Bài 2 : Ba điểm A, B, C nào sau đây thẳng hàng :
1.
(1;1;1) ; B(-4;3;1) ; C(-9;5;1)A
2.
(1;3;1) ; B(0;1;2) ; C(0;0;1)A
Bài 3 : Cho 4 điểm
(1;1;2) ; B(0;3;-2) ; C(3;4;1); D(2;0;-3)A
1. Chứng minh 4 điểm A, B, C, D tạo thành một tứ diện. Tính thể tích tứ diện ABCD.
2. Tính độ dài đường cao của tứ diện xuất phát từ đỉnh A.
Bài 4 : Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD biết

(2;1; 1) ; B(3;0;1) ; C(2;-1;3)A −
, còn đỉnh D nằm trên trục Oy.
Tìm tọa độ đỉnh D nếu tứ diện ABCD có thể tích bằng 5. (ĐH Văn Hóa HN-1997)
Bài 5 : Cho ba điểm
( ;0;0) ; B(0;b;0) ; C(0;0;c)A a
với a, b, c > 0.
a. Chứng tỏ rằng tam giác ABC không thể là tam giác vuông.
b. Tính thể tích hình chóp OABC và diện tích tam giác ABC theo a, b, c. (ĐH Mỹ Thuật 1999)
BÀI TOÁN 3 : PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng.
• Véctơ
0n ≠
r r
được gọi là véctơ pháp tuyến của mp
( )
α
nếu giá của
n
r

vuông góc với mp
( )
α
, viết tắc là
( )n
α
⊥
r
.

• Nếu hai véctơ
a
r
và
b
r
không cùng phương và giá của chúng song song
hoặc nằm trên mp
( )
α
(ta còn gọi hai véctơ
a
r
và
b
r
là cặp véctơ chỉ phương
của mp
( )
α
) thì mp
( )
α
nhận
;n a b
 
=
 
r r r
làm véctơ pháp tuyến.

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng.
• Mặt phẳng
( )
α
đi qua
0 0 0
( ; ; )M x y z
và có VTPT
( ; ; )n A B C=
r
có phương trình tổng quát là :

0 0 0
( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z
− + − + − =
• Mỗi mặt phẳng đều có phương trình tổng quát dạng :
Ax 0By Cz D+ + + =
(1) với
2 2 2
0A B C+ + ≠
• Ngược lại, mỗi phương trình có dạng (1) đều là phương trình của một mp và mp đó có một VTPT là
( ; ; )n A B C
=
r
.
3. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn
Mặt phẳng
( )
α
không đi qua gốc tọa độ O và cắt Ox

tại
( ;0;0)A a
, cắt Oy tại
(0; ;0)B b
, cắt Oz tại
(0;0; )C c
có phương trình là :
( ) : 1
x y z
a b c
α
+ + =
.
4. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng
1 1 1 1 1
( ): A x 0B y C z D
α
+ + + =
và
2 2 2 2 2
( ) : A x 0B y C z D
α
+ + + =
.
•
1
( )
α
cắt

2
( )
α
1 1 1 2 2 2
: : : :A B C A B C⇔ ≠
•
1
( )
α
//
2
( )
α
1 1 1 1
2 2 2 2
A B C D
A B C D
⇔ = = ≠
•
1
( )
α

≡

2
( )
α
1 1 1 1
2 2 2 2

A B C D
A B C D
⇔ = = =
5. Chùm mặt phẳng
 Tập hợp tất cả các mặt phẳng qua giao tuyến của
hai mặt phẳng
( )
α
và
( )
β
được gọi là một chùm mặt phẳng
 Gọi (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng
1 1 1 1
( ) : A x 0B y C z D
α
+ + + =
và
2 2 2 2
( ) : A x 0B y C z D
β
+ + + =
.
Khi đó nếu (P) là mặt phẳng chứa (d) thì phương trình mặt phẳng (P) có dạng :

2 2
1 1 1 1 2 2 2 2
( ) : .(A x ) .(A x ) 0, 0P m B y C z D n B y C z D m n+ + + + + + + = + ≠
B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Bài 1 : Viết phương trình mặt phẳng

( )
α
trong các trường hợp sau :
1.
( )
α
qua
( 1;2;4)M −
và nhận
(3;4;5)n =
r
làm véctơ pháp tuyến.
2.
( )
α
qua
(1;3; 2)A −
và vuông góc với BC biết
(2;0; 3), (0;4; 1)B C− −
.
3.
( )
α
qua
( 2;4;1)M −
và song song với mặt phẳng
( ) :3 2 15 0P x y z− + − =
.
4.
( )

α
qua
(3; 4;1)N −
và vuông góc với trục Ox.
5.
( )
α
là mặt phẳng trung trực của cạnh AB với
(4; 3; 1), (0;1;5)A B− −
.
6.
( )
α
qua
(1; 3;2)I −
và chứa trục Oz.
7.
( )
α
chứa AB và song song với CD biết
(1;1;2) ; B(0;3;-2) ; C(3;4;1); D(2;0;-3)A
8.
( )
α
qua
(2; 1;2)M −
, song song với trục Oy và vuông góc với mp
( ) : 2 3 4 0x y z
β
− + + =

.
9.
( )
α
qua 2 điểm
(1; 3;1) ; B(0;1;-2)A −
và vuông góc với mặt phẳng
( ) :3 5 0P x y− + =
.
10.
( )
α
qua
( 1;3;4)A −
và vuông góc với hai mặt phẳng
( ) : 2 4 5 0P x y z+ − + =
;
( ) :3 4 1 0Q x z− − =
.
Bài 2 : Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
qua các điểm là hình chiếu vuông góc của
(1;2;4)M
lên các trục tọa độ.
Bài 3 : Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
qua
(1;2;3)G

và cắt 3 trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho G là
trọng tâm của tam giác ABC.
Bài 4 : Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
qua
(1;2;4)M
và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho
OA OB OC= =
.
Bài 5 : Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
qua
( 2;5;1)A −
và cách
(0;2; 1)B −
một khoảng lớn nhất.
Bài 6 : Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
qua
(3;1; 4)H −
và cắt 3 trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho H là
trực tâm của tam giác ABC.
Bài 7 : Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
qua
(1;1;1)M

và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho
1. Thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất.
2.
OA OB OC
+ +
có giá trị nhỏ nhất.
3.
2 2 2
1 1 1
OA OB OC
+ +
có giá trị nhỏ nhất.
Bài 8 : Trong không gian Oxyz, hãy viết phương trình mặt phẳng (P) biết
A
C
B
x
y
z
O
α
β
P
d
1. (P) đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng
( ) : 2 1 0x z
α
− + =
,
( ) : 4 0x y z

β
+ − − =
và đi qua điểm
( 1;4;3)M −
2. (P) đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng,
( ) : 2 4 0, ( ) : 3 0y z x y z
α β
+ − = + − − =
và song song với mặt
phẳng
( ) : 1 0Q x y z+ + − =
.
3. (P) đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng,
( ) :3 2 0, ( ) : 4 5 0x y z x y
α β
− + − = + − =
và vuông góc với mặt
phẳng
( ) : 2 2 0Q x z− + =
.
Bài 9 : Trong không gian Oxyz, cho
( 1;3;2), (4;1;1), (0;2; 1), (2;2;3)A B C D− −
.
1. Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Chứng tỏ ABCD là một tứ diện.
2. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và song song với mặt phẳng (BCD).
3. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, B và chia tứ diện ra làm 2 phần có thể tích bằng nhau.
Bài 10 : Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau :
1.
2 3 4 0x y z+ − + =
và

3 4 2 0x y z− + − =
2.
2 2 3 0x y z− − + =
và
4 2 4 5 0x y z− − + =
3.
2 3 1 0x y z− − − =
và
3 6 9 3 0x y z− + + + =
Bài 11 : Hãy xác định giá trị của m, n để các cặp mặt phẳng sau song song với nhau
1.
2 2 5 0x my z+ + + =
và
2 4 7 0nx y z+ − + =
2.
2 1 0nx y z+ + − =
và
2
2 ( 3) (3 1) 2 0x m y m z+ + + − − =
Bài 12 : Cho
( ) : 2 3 6 0P x my z m− + − + =
,
( ) : ( 3) 2 (5 1) 10 0Q m x y m z+ − + + − =
.
Với giá trị nào của m thì :
1. (P) song song (Q)
2. (P) trùng (Q)
3. (P) cắt (Q)
Bài 13 : Với giá trị nào của m thì ba mặt phẳng sau đây cùng đi qua một đường thẳng
( ) : (2 1) 3 2 3 0P m x my z− − + + =

,
( ) :3 7 3 0Q x y z+ + − =
,
( ) : 9 2 5 0R x y z− − + =
.
BÀI TOÁN 4 : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I. Véctơ chỉ phương của đường thẳng
Véctơ
0u ≠
r r
được gọi là VTCP của đường thẳng d nếu giá của
u
r
song
song hoặc trùng với d.
Nhận xét :
• Một đường thẳng có vô số véctơ chỉ phương, các véctơ này cùng phương với nhau.
• Nếu
u
r
là một VTCP của đường thẳng d thì
. ( )k u k R∈
r
cũng là một VTCP của đường thẳng d .
• Hai véctơ
a
r
và
b

r
không cùng phương và cùng vuông góc với đường thẳng d thì
;a b
 
 
r r
là một VTCP của d.
II. Phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng

Đường thẳng
0 0 0
( ; ; )
:
ó VTCP là ( ; ; )
qua M x y z
d
c u a b c



=


r
• Phương trình tham số của d là :
0
0
0
.
. (t R)

.
x x a t
y y b t
z z c t
= +


= + ∈


= +

• Nếu
. . 0a b c
≠
thì phương trình chính tắc của d là :
0 0 0
x x y y z z
a b c
− − −
= =
B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Bài 1 : Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d trong các trường hợp sau
1. d qua
(2; 1;5)M −
và có VTCP là
(4;3;2)u =
r
.
2. d qua hai điểm

( 1;0;3), (2;5; 1)A B− −
.
3. d qua
(2; 2;1)A −
và song song với BC biết
(3; 1;4), (1;2;3)B C−
.
d
d
.