Đề thi thử lần 1 trường THPT thái hòa năm 2013

www.MATHVN.com DeThiThuDaiHoc.com
www.dethithudaihoc.com

Sở giáo dục và đào tạo nghệ an

đề thi thử đại học năm 2013-lần thứ I

Trờng thpt thái hoà
Môn thi : Toán

Thời gian làm bài :180 phút

==========*=========

I.Phần chung cho tất cả thí sinh (7 điểm)
Câu I(2 điểm): Cho hàm số :
3
3 2
y x x
= +
có th (C)
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
2.Tìm im M thuc th (C) tip tuyn ca (C) ti im M cắt đồ thị (C) tại điểm thứ hai
là N thoả mãn
6
M N
x x
=
.
Câu II (2 điểm)
1.Giải phơng trình:

1
cos .cos2 .cos3 sin .sin 2 .sin3
2
x x x x x x
=

2.Gii h phng trình:
( )





=
++=+++
yxyy
yxyxyy
33)(
1241213
22

Câu III (1 điểm) Tính tích phân: I =
3
1
2
0
1
x
dx
x

+



Câu IV (1 điểm)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD l hình vuông cnh bng a, SA =
3
a

v SA vuông góc vi mt phng áy. Tính theo a th tích khi t din SACD v tính cosin ca
góc gia hai ng thng SB, AC.
Câu V (1 điểm) Cho các số dơng a, b, c thoả mãn: 3(ab+bc+ca) = 1.
Chứng minh rằng :
2 2 2
1
1 1 1
a b c
a bc b ca c ab a b c
+ +
+ + + + +
.
II.Phần riêng (3 điểm): Thí sinh chỉ đợc làm 1 trong 2 phần (Phần A hoặc phần B).
A.Dành cho Ban Cơ bản
Câu VIa (2 điểm)
1.Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A nằm trên đờng thẳng (d)
có phơng trình x - 4y - 3 = 0. Cạnh BC nằm trên đờng thẳng song song với (d), phơng trình
đờng cao kẻ từ B là x + y - 1 = 0 và trung điểm M của cạnh AC là M(1;1). Tìm tọa độ các đỉnh

của tam giác ABC.
2.Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho các điểm A(0; 1; 2), B(-1; 1; 0) và mặt phẳng (P):
x - 2z + 1 = 0. Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho tam giác MAB vuông cân tại B.
Câu VIIa.(1 điểm) : Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập đợc bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số
trong đó số 3 có mặt đúng 2 lần, 3 số còn lại khác nhau?
B.Dành cho Ban Khoa học tự nhiên
Câu VIb (2 điểm)
1.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1;5), B(-3;1), C(2;-2). Viết phơng trình
đờng phân giác trong góc A của tam giác ABC.
2.Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho các điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 3; 2) và mặt
phẳng (P): x + 2y + 2 = 0. Tìm tọa độ điểm M sao cho M cách đều A, B, C và mặt phẳng (P).
Câu VIIb
(1 điểm): Chứng minh rằng:
0 50 1 49 2 48 50 0 50
2012 2013 2012 2013 2012 2013 2012 2013 4025
. . . .C C C C C C C C C+ + + + =

www.MATHVN.com DeThiThuDaiHoc.com
www.dethithudaihoc.com
============Hết===========
Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
H v tờn thớ sinh: S bỏo danh:




Sở giáo dục và đào tạo Nghệ an Kì thi thử đại học năm 2012 Lần thứ 1
Trờng ThPT thái hoà Môn thi: Toán (Thời gian: 180 phút)

Đáp án- Biểu điểm (gồm 7 trang)

I.Phần chung
Câu nội dung điểm
2,0
1.(1 đ)

a)Tập xác định: D = R
b)Sự biến thiên
+)Chiều biến thiên: y= 3x
2
- 3, y=0
1
x
=

y>0
1 1, ' 0 1 1
x x y x
< > < < <


0,25
Hàm số ng bin biến trên các khoảng (
; 1

) và (
1;
+
)
Hm s nghch bin trờn khong (-1;1)
+)Cực trị : Hàm số tcc i ti x = -1, y

C
= 4
Hm s t cc tiu ti x = 1, y
CT
=0.
+)Giới hạn và tiệm cận:
+
=

=
+
yy
xx
lim,lim

Đồ thị hàm số khụng cú tim cn.



0,25
+)Bảng biến thiên:
+

-

+
-
+
0
0

0
4
1
-1
+

-

y
y'
x




0,25
I
+) Đồ thị: Cắt trục Ox tại (-2;0), (1;0).
Cắt trục Oy tại (0;2)
Nhận điểm uốn (0;2) làm tâm đối xứng






0,25
www.MATHVN.com DeThiThuDaiHoc.com
www.dethithudaihoc.com
8

6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10
-5
5 10


2.( 1đ )

Gọi điểm M(a ; a
3
-3a + 2). Phơng trình tiếp tuyến của (C) tại M:
y = (3a
2
- 3)(x - a) + a
3
-3a + 2

y = (3a
2
- 3)x -2a
3
+2.

0,25
Phơng trình hoành độ giao điểm : x
3
- 3x + 2 = (3a
2
- 3)x -2a
3
+2


(x-a)
2
(x+2a) = 0

2
x a
x a
=



=

.
Vậy
2
N
x a
=

0,25
Theo giả thiết :
( 2 ) 6 2 2
a a a a
= = =

0,25

Thay vào ta đơc M(2; 4), M(-2; 0) 0,25

2,0
1.(1đ) . Giải phơng trình:
1
cos .cos2 .cos3 sin .sin 2 .sin3
2
x x x x x x
=
(1)


Biến đổi:
( ) ( ) ( )
2
1 1 1
1 cos4 cos2 .cos2 cos2 cos4 .sin 2
2 2 2
cos4 .cos2 cos 2 cos2 .sin 2 cos4 .sin 2 1 0
x x x x x x

x x x x x x x
+ =
+ + =


0,25

(
)
(
)
( )( )
2
cos4 .cos2 cos4 .sin 2 sin 2 cos2 .sin2 0
cos2 sin 2 cos4 sin 2 0
cos2 sin 2 0
cos4 sin 2 0
x x x x x x x
x x x x
x x
x x
+ + =
+ =
+ =



=

0,25
II
Với
cos2 sin 2 0 2sin 2 0 2
4 4 8 2
k
x x x x k x



+ = + = + = = +



0,25
www.MATHVN.com DeThiThuDaiHoc.com
www.dethithudaihoc.com
Với
4 2 2
2
cos4 sin 2 0 cos4 cos 2
2
4 2 2
2
x x k
x x x x
x x k

= +


= =




= + +



12 3
4
k
x
x k




= +




= +

Kết luận:Phơng trình có các họ nghiệm:
8 2
k
x

= +
;
12 3
k
x

= +
;
4
x k


= +



0,25
2.(1 đ): Giải h phơng trình:
( ) ( )
( )
2 2
3 1 2 1 4 2 1 1

( ) 3 3 2
y y x y x y
y y x y

+ + + = + +


=




Điều kiện:
2
2 1 0.
x y
+ +

Biến đổi PT (1) về dạng:
(
)
( )
2
2
2
2 2
2 2
2 2 1
2 2 1 2 1 3
2 2 1 2 1

y x y x y
y x y x y x y y x
y x y y x x y x y
+ + =

+ + = + + =



+ + = + + = +


0,5
TH1 :
2
2 1 3
x y y x
+ + =

2
2 2 2
3 0
3 0
9 2 1
2 1 9 6
6
y x
y x
y y
x y y xy x

xy








+ + = +
=




Thay vào (2):
2
2
1 1( )
9 2 1
3 3
17 415
6
( )
3 51
y x tm
y y
y y
y x tm
= =

=

= =


0,25
TH2 :
2
2
2 2 2
0
0
2 1
1 2
2 1 2
2
x y
x y
x y x y
y y
x y x xy y
xy
+

+

+ + = +

+
+ + = + +
=




Thay vào (2):
2
2
1
1( )
1 2
3 3
7
41
2
( )
3
21
y
x tm
y y
y y
y
x l
= =

+

=


=
=


Kết luận: Hệ có nghiệm (x;y): (1; 1),
415 17
;
51 3



.
0,25
III
Tính tích phân: I =
3
1
2
0
1
x
dx
x

+


( )
1
2
3
2
0
.
1
x x
dx
x
=
+



1,0

Đặt
2
1
u x
= +
,
1
2
2

du xdx xdx du
= =

Đổi cận: x = 0
1
u
=
, x =1
2
u
=
.
0,5
www.MATHVN.com DeThiThuDaiHoc.com
www.dethithudaihoc.com
Ta có: I =
2
3
1
1 1
2
u
du
u



=
2
2

2 3 2
1
1
1 1 1 1 1 1
2 2 2
du
u u u u

= +



=
1
16


0,5

1,0
O
S
A
D
B
C
M

Thể tích khối tứ diện SACD:
3

1 1 3
. . .
3 2 6
a
V SA AD DC= =
(đvtt)
0,5
Gi M l trung im ca SD và O =
AC BD

. Ta có OM//SB nên góc (SB;AC) =
góc(OM; OC).
Tam giỏc vuụng SAB cú SA =
2 2
2
SA AB a OM a
+ = =

Tng t, SD = 2a

MD = a , CM =
2 2
MD CD
+
=
2
a
.

0,25

IV
Xét tam giác MOC.
2
2 2
2 2 2
2
1
2
cos
2. .
2 2
2. .
2
a
a a
OC OM CM
COM
a
OC OM
a
+
+
= = =

=>cos(SB;AC) =
1
2 2
. Vậy cosin góc giữa hai đờng thẳng SB; AC là
1
2 2

0,25

1,0
Ta có :
2 2 2
1 1 1
a b c
a bc b ca c ab
+ +
+ + +
=
2 2 2
3 3 3
a b c
a abc a b abc b c abc c
+ +
+ + +

Đặt
3 3 3
; ;
a b c
u
a abc a b abc b c abc c


+ + +

,
(
)
3 3 3
; ;
v a abc a b abc b c abc c
+ + +


Ta có :
. .
u v u v


nên
2 2 2
3 3 3
a b c
a abc a b abc b c abc c
+ +
+ + +
( )
2
3 3 3
3
a b c
a b c abc a b c
+ +

+ + + + +

0,5

V

(
)
(
)
(
)
3
3 3 3 3 3 3
3 3 3
a b c abc a b c a b c abc a b c ab bc ca a b c
+ + + + + = + + + + + + + = + +


www.MATHVN.com DeThiThuDaiHoc.com
www.dethithudaihoc.com
=> Điều phải chứng minh.
Dấu đẳng thức xẩy ra khi
1
3
a b c
= = =

0,5
Phần riêng:

a.Dành cho ban cơ bản

2,0
1.(1đ)
Đờng thẳng qua M và vuông góc với đờng cao từ B là đờng thẳng AC. Phơng trình
đờng thẳng AC: (x-1) - (y-1) = 0 <=> x- y = 0.
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ:
( )
4 3 0 1
1; 1
0 1
x y x
A
x y y
= =



= =


0,25
Tọa độ điểm C:
( )
2 3
3;3
2 3
C M A
C M A
x x x

C
y y y
= =



= =


0,25
Phơng trình đờng thẳng BC:
(
)
(
)
3 4 3 0 4 9 0
x y x y
= + =

0,25
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ:
( )
1 0 1
1;2
4 9 0 2
x y x
B
x y y
+ = =

+ = =


Đáp số : A(-1;-1); B(-1; 2); C(3;3).
0,25
2. (1đ)
Gọi điểm M(a; b; c). Ta có a - 2c +1 = 0.
(
)
(
)
1;0;2 , 1; 1;
BA BM a b c
= = +


Tam giác MAB cân tại B
. 0
BA BM
BA BM

=



=

0,25
Ta có hệ:
( ) ( )
2 2
2
2 1 0
1 2 0
5 1 1
a c
a c
a b c

+ =


+ + =


= + + +





0,25
VIa

Giải hệ trên ta đợc: a =-1; c = 0; b=1
5


Vậy các điểm M thỏa mãn: M(-1;1
5

;0).
0,5

1,0
Việc lập số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán là việc sắp xếp các số vào dãy 5 ô trống:


Số cách sắp xếp số vào ô trống thứ 5: 3 cách (lấy trong các số 2;4;6)
0,25
Số cách sắp xếp 2 số 3 vào 2 trong 4 ô trống (trừ ô trống thứ 5):
2
4
C
cách
0,25
Số cách sắp xếp 2 số trong 5 số còn lại (trừ số 3 và số đã xếp vào ô thứ 5) vào 2 ô trống
còn lại:
2
5
A
cách
0,25
VIIa

Theo quy tắc nhân, số các số thỏa mãn: 3.
2
4
C
.
2
5
A
= 360 số. Đáp số: 360 số
0,25



B.dành cho ban khoa học tự nhiên

2,0 VIb

1.(1đ)

www.MATHVN.com DeThiThuDaiHoc.com
www.dethithudaihoc.com
Phơng trình đờng thẳng AB: x - y + 4 = 0.
Phơng trình đờng thẳng AC: 7x + y -12 = 0.
0,25
Phơng trình đờng phân giác trong và phân giác ngoài góc A :
(
)
( )
1
2

3 16 0
4 7 12
3 2 0
2 50
x y d
x y x y
x y d

+ =
+ +
=

+ =



0,5
Ta có :
(
)
(
)
(
)
(
)
3 16 3 16 16 . 20 0
B B C C
x y x y
+ + = >

=> B, C nằm cùng phía đối với
đờng thẳng d
1
nên d
1
là đờng phân giác ngoài góc A của tam giác.
Vậy phơng trình đờng phân giác trong góc A là d
2
: 3x - y + 2 = 0.
0,25
2.(1đ)
Gọi điểm M (a; b; c). Ta có :
( )
( )
( ) ( )
( )
2
2 2
2
2 2
2 2
2
1
1
3 2
2 2
,( )
5
MA a b c
MB a b c

MC a b c
a b
d M P
= + +
= + +
= + +
+ +
=

0,25
Ta có : MA = MB = MC = d(M,(P)) nên:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
2 2
1 1
1 3 2
2 2
1
5
a b c a b c
a b c a b c
a b
a b c

+ + = + +



+ + = + +


+ +

+ + =


( )
2
2 2
3
2 2
1
5
a b
c a
a b
a b c


=


=

+ +

+ + =



0,25








Giải hệ trên ta đợc: M(1;1;-2); M(
23 23 14
; ;
3 3 3

)
0,5

1,0
Xét khai triển: P(x) =
(
)
(
)

2012 2013
1 . 1x x+ +

=
(
)
(
)
0 1 2012 2012 0 1 2013 2013
2012 2012 2012 2013 2013 2013
C C x C x C C x C x+ + + + + +

Hệ số của
50
x
trong khai triển P(x) là :

0 50 1 49 2 48 50 0
2012 2013 2012 2013 2012 2013 2012 2013
. . . .C C C C C C C C+ + + +



0,5
Xét khai triển Q(x) =
(
)
4025
1 x+
Hệ số của x

50
trong khai triển là
50
4025
C


0,25
VIIb
Do P(x) = Q(x) nên hệ số của x
50
bằng nhau => điều phải chứng minh
0,25