Tính chính quy của nghiệm của phương trình đạo hàm riêng bậc không nguyên

—,--------------

r.

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM THÀNH PHĨ HƠ CHÍ MINH

Tơ Thị Hồi Thu

TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM
RIÊNG BẬC KHƠNG NGUN

Chun ngành : Tốn Giải tích
Mã số

: 8460102

LUẬN VÀN THẠC sĩ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DÁN KHOA HỌC:
GS. TS. ĐẶNG ĐỨC TRỌNG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2022


LỜI CÁM ƠN

Tơi xin dặc biệt bày tị lịng biết ơn chân thành và sâu sắc den Thầy cùa tôi. GS. TS. Động Đức Trọng về tất cã nhừng sự hướng dần. góp ý, chi
dạy. giúp đờ. động viên, khích lộ rat nhiệt tình và lận tâin cùa Thay trong suốt q trình nghiên cứu vã hỗn thành luận vãn.
Tơi xin chân thảnh cám ơn Quý Thầy Cô phán biện đã đục và góp ỷ để tơi hồn chinh luận vãn này.

Tôi xin chân thành cảm ơn Quỷ Thầy Cô trong Hội đồng chầm luận văn đã dọc và cho tói nhiều ý kiến q báu de tơi thấy dược những thiếu
sót cùa mình.
Tơi xin chân thảnh cám ơn Quỳ Thầy Cơ trong Tồ Tốn Giái tích cũa Trường Dại học Sư phạm Thành phơ Hồ Chi Minh đà giăng dạy tận lình,
ln khích lệ tơi trên con dường học tập và nghiên cứu Tốn học và hồn thành luận vãn.
Tơi xin bày tó lịng biết ơn sâu sắc và chân thành tới quý thầy giáo, cô giáo trong Khoa Tốn - Tin và Phịng Sau dại học Trường Đại học Sư
phạm Thành phố Hồ Chi Minh đả tận tinh giúp đờ và tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất cho tơi trong suốt q trình học tập. nghiên cửu và hồn thành luận
vãn.
Tơi gứì lời cám ơn chân thành tới bạn bẽ. đồng nghiệp đà hồ trợ. động viên và lạo điều kiện cho tôi trong thời gian học lụp. nghiên cứu và hồn
ihành luận vãn.
Tịi dặc biệt bày to lịng biết ơn sâu sắc den gia dinh tơi, dã luôn ớ bên tồi, giúp đừ. dộng viên, tạo điều kiện thuận lợi để tơi vượt qua mọi khó
khàn Irong quá trinh học tập và hoàn thành luận vãn này.

TƠ Thị Hồi Thu


MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lởi cám ơn
Mục lục
PHÂN MỜ DÂU........................................................................................................1
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẢN BỊ.....................................................................4
1.1. Khơng gian xác suất, q trình ngẫu nhiên, lục...............................................4
1.2. Tiếng ồn tráng và chuyền dộng Brown............................................................6
1.3. Martingale......................................................................................................10
1.4. Tốn tử tuyến lính..........................................................................................13
1.5. Biến dối Fourier.............................................................................................14
1.6. Bất đắng thức Holder.....................................................................................16
1.7. Bô dề Gronwall Bellman...............................................................................16
1.8. Phương trinh đạo hàm riêng bậc khơng ngun............................................16
Chương 2. sụ TỊN TẠI VÀ TÍNH DUY NHẤT NGHIẸM..............................18

2.1. Giới thiệu bài toán..........................................................................................18
2.2. Hàm Grccn cúa bài tốn.................................................................................18
2.3. Sự tồn tại nghiệm và tính duy nhất nghiệm...................................................20
Chương 3. TÍNH CHÍNH QUY CÙA NGHIỆM.................................................36
3.1. Giới thiệu........................................................................................................36
3.2. Tính chính quy cùa nghiệm............................................................................36
KẼT LUẬN..............................................................................................................51
TÀI LIỆU THAM KHÁO......................................................................................52


1

PHÀN MĨ ĐÀU

Phương (rình đạo hàm riêng bậc khơng ngun đà được mội số tác già nghiên cửu trong thời gian gần đây. Trên thực tế. nhừng loại phương trình
này có the được sử dụng rộng rài trong Vật lý. mòi trưởng Fractal, trường lượng tử. quản lý rúi ro và các lĩnh vực khác |5. 16. 22|.
Luận văn này dựa trên bài báo (I Ị, (5| nhầm mục đích trình bày một mờ rộng các kết q dược cơng bố bởi L. Dcbbi và M. Dozzi vào nãm
2005 [5]. Trong cơng trình cua minh, họ đà mơ rộng phương trình truyền nhiệt ngầu nhiên trong khn khổ của J. B Walsh (251 thành một phương trình đạo
hàm riêng bậc khơng ngun ngầu nhiên liên quan đền một tốn tứ vi phàn phân thứ Ị)a, đà được giới thiệu bới L.

Dcbbi |4|. 'l'oán tư vi phân Da được gọi là tốn tứ vi phân phân thứ (hay cịn gọi là tốn tử vi phân bậc khơng ngun) VỚI các tham số a, 5 nếu Da dược xác

định bời: Dỉộ(x) = Daộ(x) = F ' j-|.

(x).

-1
với ô < min{a - [a], 2 + [a] 2 - a) và [er]2 là số nguyên chẵn lớn nhiìt bé hơn hoặc bang a, F và F lần lượt là các phép biến đối Fourier vả Fourier ngược.
Toán tử này là tống quát cúa các toán tứ đà biết như toán tư Laplace, nghịch đáo cùa thế vị Riesz-Fcller tịng qt, tốn tử vi phân Ricmann-Liouville [4, 5.
13|. Dè đon gián hóa ký hiệu, tham số ổ sẽ dược bo qua trong các ký hiệu cùa luận văn này nếu khơng có sự nhằm lần.

Chinh xác hơn. phương trinh dạo hàm riêng bậc không nguyên với tiếng Ồ11 trăng khỏng-thời gian trong không gian một chiều sê được nghiên
cứu:

'd

ĩ

= Dau(t,x) + 4

ơ (t x (t x:))
(t x) t
xeR
âtáx ' - > °'
J,.oàx' ' ' ’" '

m(0, x) = ư°(x), xeR

4

trong đó M, .‘V là hai số nguyên và các hệ sổ và là nhừng hàm đo được xác định trên [0, oc) X K X R và W(t,x) là một chuyến dộng Brown trẽn [0, 00)xR
(25),


2

thường được gọi là liếng ồn trắng theo biển không gian và thời gian, và ởtởx

u° là hàm ngầu nhiên xác định trên K. Trong suốt luận vãn này. chúng tôi sẽ gia định ràng a G (0; oo)\Fy đối với sự tòn tại nghiệm và a Ễ (l;oo)\N dổi với
tính chính chính quy cùa nghiệm.
Luận vãn trình bày hai kết qua chính. Một là trình bây các vấn đề cơ ban như Sự tồn tại nghiệm và tính duy nhất nghiệm, trong một số điều kiện

về M và N.
L. Dcbbi và M. Dozzi chi nghiên cứu trường hợp dặc biệt cho N = 0. Tuy nhiên, luận văn trình bày trường hợp tống quát hơn. Hai là trình bày về tính chính
quy theo biến khơng gian và thời gian của nghiệm u(t,x) đối với quan hệ cùa a. M và N. Mục dù một số phương trinh đạo hàm riêng bộc không nguyên ngẫu
nhiên đà được nghiên cứu, nhưng có rất ít kết qua về tính chính quy cùa nghiệm.
Tính chính quy cũa nghiệm cùa một phương trình đạo hàm riêng ngầu nhiên bậc chần (lớn hơn 2) với chuyển động Brown hình trụ với hệ số trơi
Lipschitz bị chặn đều và hệ số khuếch tán không đối bị chặn đều ban đầu được nghiên cứu bới T.Funaki 19. 10] và sau đỏ được nghiên cứu lại trong [2]. Kct
quã tương đối SC được tống quát cho tất cá các bậc phân số « > I trong luận văn này. Nhắc lại lảng Da chi là toán tư Laplace khi a = 2. Đối với tính chính
quy của nghiệm cùa phương trình truyền nhiệt ngầu nhiên với tiếng ồn trăng khơng-thởi gian, dộc giã có the tham khao [21. 24. 25]. Tính liên tục Holder cua
nghiệm u(t,x) cũng dược nghiên cửu bơi L. Dcbbi và M. Dozzi. Tuy nhiên, với các giã thiết nghiêm ngặt N = 0. a < 3 các tác giá này chứng tó được nghiệm
u(t,x) liên tục Holder theo biến khơng gian của nó. Kết q chính trình bày trong luận vãn sẽ khơng có diều kiện này. Thực lể. chúng tôi cho thầy ràng với
mọi a > I. tính liên lục Holder cùa nghiệm theo biến không gian SC dược thỏa mãn.
Chúng tôi SỖ trình bày các vấn đề liên quan đến phương trình đạo hàm riêng bậc không nguyên ngẫu nhiên một chiều với tiếng ồn trắng khôngthời gian. Luận vãn trinh bày sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm và tính chính quy cùa nghiệm theo các biến khơng gian và thời gian. Luận ván này
được trình bày thành 3 Chương. Trong Chương I. chúng tơi giới thiệu và trình bày một số kiến thức cơ


3

bán. các khái niệm, các ký hiệu, các không gian hàm được sử dụng trong luận văn. Trong Chương 2. chúng tơi trình bày một so két q về sự lon tại nghiệm
và tính duy nhất nghiệm. Trong Chương 3, chúng tơi trình bày một số kết q về tính chính quy của nghiệm và áp dụng các kểl quá trong Chương 2 đề giái
quyết chúng.


4

Chirong 1 KIẾN THỨC CHUẲN BỊ •

1.1. Khơng gian xác suất, q trinh ngẫu nhiên, lọc
Định nghía 1.1.1. Một khơng gian xác suầt (íì,y, P) được gọi là một khơng gian xác suất đầy đu nếu VỚI mọi B E T VỚI P(fi) = 0 và mọi /1 c B
ta có A e 'JF.
Thơng thưởng, việc nghiên cửu các khơng gian xác suất dược hạn chc trong các không gian xác suất đầy đù.

Định nghĩa 1.1.2. Một họ {?Ị,t G cùa ơ-dại số cùa T dược gọi là lọc ncu Ts c Tt với mọi 5 < í trong R +.
Ncu thỏa mãn hai điều kiện sau thì {Tt,l € R+} được gọi là một lọc tiêu chuẩn:
(i) Tt = Tt< = hs>tTs với mọi t.
(ii) Tữ chửa tất cà các P-tập hợp có độ đo khơng trong T.
Định nghĩa 1.1.3. Cho một khơng gian xác suất (íì, T, P) và một không gian trạng thái đo được {£■,£}. Một hụ (X t)fi0 với Xf là một biến ngầu
nhiên có giá trị trong E với mọi thời điếm t > 0 được gọi là một q trình ngầu nhiên. Nói đúng hơn là ánh xạ X: (IỈR+ X ÍÌ,'B+&F') —»

), với 'B là
đại số Borel cùa R, B+ là
ơ-dại số Borel của R+.
Định nghĩa 1.1.4. Nếu quá trình (Xt)r>0 có ánh xạ (K + X ÍÌ,'B4^7) —» (R,® ): (t, ờj) —» xt(a)) là đo được trên (R+ X Q) dổi với ơ-đại số
®(K+)® 'JF thì q trình (Xt)t>0 là đo được.
Liên kết với một quá trình là một lục. một chuồi táng cùa ơ -đại số. nghía lả 7X c Tf nếu 0 < s < t < oo
Với Tco được xác định bới


5

Neu (Xt)tỉ:o là một quá trình ngầu nhiên, thì lọc tự nhiên của (XjJtj-o được cho bơi
= ơ(Xs:s < t).
Quá trình (Xj)t50 được gọi là CFe)tS(i thích nghi, nếu Xf là Tị đo được đổi với mồi t > 0.
Quá trình (Xt)l20 là thích nghi đối với lọc (ự nhiên.
Định nghĩa 1.1.5. Cho một quá trình với mọi t hạn chế cùa t VỚI thời gian khoáng [0,t] lã đo được đối với 'B[0,

trong đỏ B[0, t] là ơ-đại số

Borcl các
tập con cũa (0, t) thi quá trinh đó được gụi lã quá trinh đo được dan dan.

Dịnli nghĩa 1.1.6. Cho một quá trình (X £)t20. Neu tổn tại một hằng số K. sao cho đối với tất cá (1) và t > 0, ta có |Xt(ứ>)I < K. Khi đó (X£)£20
được gọi là một q trình bị chặn.

Định nghĩa 1.1.7. Cho X = (X£)£Sfi là một quá trình ngầu nhiên xác định trên (ÍÌ,T, P) và X' = (Xt')£i0 là một quá trình ngẫu nhiên xác định trên
(!!,?■, P).

Nếu với mọi n, 0 < t t < t2 < ••• < t,i < °°> và AVA2, ...,An e £.
PỌỈti e 4,.....xtn e 4n) = P(X£\ e Aỵ.....X’tn e 4tt)
thì X và X' có củng phân bổ hữu hạn chiều.
đ
Định nghĩa 1.1.8. Cho hàm X'.ỉ X *—♦ R trong đó / là một khoảng thời gian trong K + và X(t,.) là T -đo được với mụi f € / . Khi đó. X được gụi
là q trình ngầu nhiên (I chiều.
Định nghĩa 1.1.9. Một quá trình X lã do dược ncu X là ‘B X T -do được.
Neu 0 6/ và X(0,.) = X hau chắc chán thì ta nói X có giá trị ban đầu X E

Khi / = R|, quá trình X dược bleu diễn bơi {Xt,t 6 /} hoặc dơn giãn {Xf}. Biến ngầu nhiên vcctơ X(í,.) thi cùng biéu thị bởi X(í) hay x r.
Dịnh nghĩa 1.1.10. Cho một họ tảng {Tf,t 6 /} của ơ-đại số trên íl. Neu xt 6 Ti với í 6 / thì q trình X được gọi là thích nghi với họ {Tt, t 6 /}.
Quá trình X được gọi là liên tục (phãi/trái) nếu t—>X(t, co) là liên tục (phài/trái) trên / với mỗi b) E n.


6

1.2. Tiếng ồn trắng vả chuyển động Brown
Định nghĩa 1.2.1. |25. tr. 2691 Cho (E.‘jF,v) là một không gian đo được ơ -hữu hạn. Một tiếng ồn trang trên V' là một lớp hàm ngẫu nhiên w trôn
các tập A E T của độ đo I' hữu hạn sao cho
(i) IV(4) là một biến ngầu nhiên có phân phổi chuẳn /V(0,v(A)).

(ii) Nếu 4 n B = 0 thì W(A) và W(B) dộc lập và
W(AnB) = W(A) + W(B).

Trong hầu hết các trường hợp. /i sè là một không gian Euclidean và \' sè là độ đo Lebesgue. Đề thấy răng một quá trinh như vậy tồn tại. xét một
quá trình Gaussian dược lập bời các tập của T:

E T, v(A) < oo}. Từ (i) và (ii). đây

phái là một quá trình Gaussian với trung bình 0 và hàm hiệp phương sai c được cho bơi
C(A.B) = E{W(A) W(B)} = v(AnB).

Ngược lại. theo một định lý tổng quát về các quá trình Gaussian, nếu c là xác định dương, tồn tại một quá trình Gaussian với trung bình 0 và

hâm hiệp phương sai c. Xét c thịa C(â,B) = v(An/í). Bây giờ. cho Ạ,...,A n trong 'jF và là các số thực.
Z/W CịAt,A/)=ỵatai IlA (x)/x (à)í/v

Vì vậy c lã xác định dương, do dó tồn tại một khơng gian xác suất (ọ,7?,p) một quá trình Gaussian

với trung bình 0 trên (Ọ, .'£,//) sao cho

H' thoa mãn
(i) và (ii) ớ trên.
Dịnh nghĩa 1.2.2. Chuyển động Brown hai biến (Brownian sheet) [25, tr 269-270]
Xét trường hợp cụ the E = Ỉ&+ = {(ti,...»t„): ti > 0 j = 1,...,n} và V lả độ đo Lebesgue. Neu t = (t lf.... t,j) e ft”, đặt (0, í] = (O,tJ X ... X (O,t nJ.


7

Chuyền động Brown 2 biến trên R" là một quá trình {l'V t,t 6 Rị} được xác định bởi l'V t = lV{(0, í Ị}. Đây là một q trình Gaussian trung bình
khơng.
Nếu s = (Sj, ...,sn) và t = (íj,...»tn), hãm hiệp phương sai cùa nó là F(lV slVt} = (Sj A tị) ... (sn A tn)
Neu w (A) như là một độ đo thi VVf là một hàm phân phối của nó.

Chú ý rang chúng ta có the khôi phục tiếng ổn trắng trong Kĩ từ iv t. nếu cho
R là một hình chừ nhật. IV(/?) được cho bới công thức (nếu n = 2 và 0 < u <
s, 0 < ư < r, w[(u, v), (s,t)| = iy ư - wxv - IVut - IVul>). Neu A là một hợp hữu
hạn các hình chừ nhặt. IV(A) có the được tính tốn bới sự cộng tính và một tập Borel nói chung cùa độ
đo hữu hạn có the xấp XI bời các họp hữu hạn các hình chừ nhật /1„ bang cách sau:
E{(W(.A) - W(Anm = v(A\An) + vG4„VD -> 0
Chuyển động Brown 2 chiều được giới thiệu đầu tiên bới nhà thống kê J.Kitagawa vào
nám 1951 đe thực hiện phàn tích phương sai trong thịi gian liên tục.
Dề có ý tương về q trình này trơng như thế nào. hãy xem xét tính chất cũa nó dọc theo
một số dường cong trong Kị, V = dộ do Lebesgue.

1. IV triệt tiêu trên các trục. VỚI s = s0 > 0 cố định. [VVío t, t > o} là một chuyển động
Brown, nếu nó là một quá trình Gaussian trung bình khơng VỚI hàm hiệp phương sai C(t,t') = s0(t A t').
2. Dọc theo dưỡng hyperbol st = 1. đặt Xf =
Khi đó {Xị, -co < t < oo} là một quá trình Ornstein-Uhlenbeck, tức là quá trình Gaussian
nghiêm ngặt (dừng) với giá trị trung bình bang 0. phương sai 1 và hàm hiệp phương sai

C(s,t) = E{Wes^-sWttđ-t} =
3. Dọc theo đường chéo cùa quố trình = l’V u là một martingale và thậm chi là một q
trình cùa các gia so dộc lập. mặc dù nó không phái là chuyên dộng Brown, đối với các gia số này không
dừng. Diều này cùng dứng nếu chúng ta coi IV dọc theo các dường tâng dần trong Kị.


8

4. Cũng giống như một tham số, có các phép biến đối tý lệ, nghịch đao và phép tịnh tiến đế đưa một chuyến động Brown 2 chiều này thành một
chuyển động Brown 2 chiều khác.

Biền đồi tỳ lệ: Ait =
Biến dổi nghịch dào: Cst = stVVii ; Dsỉ = slVi

77

Phép tịnh liến theo (íộ.to): Est = WSo+S'to+t - WSo+Síta - lK0.to+t + W Voto.
Khi dó 4, c, ỉ) và E là các chuyền dộng Brown 2 chiều và hơn nữa E 1Ì1 khơng phụ thuộc vào F^tộ = ơ{Wuv:u < So hoặc V < t0).
Cách de nhất dê thấy diều này trong trường hợp của 4, c và D là nhận thấy rồng chúng đều là các quá trinh Gaussian bàng khơng. Trong trưởng

hợp của E, chúng ta có thế quay lại tiếng ồn trắng và nhận thấy ràng £ st = W((So,S]x(to,tj).
Ngay lập tức ta có dược kết qua từ (i) và (Í1) (25, tr. 269|.
s l
5. Một sự biến đỗi thú vị khác là: Dặt ust = e~ ~ w e2íe2t.
2
Khi dó {ust, -oa < s, t < co) là một chuyên dộng Omstein-Ưhlenbeck 2 chiều. Dây lả một quá trình Gaussian cố định trên R VỚI hàm hiệp
s t ,
phương sai E(ustuuv} = e-l“- l-l ~‘ l Ncu ta tìm thấy u dọc theo bất kỳ đường nào, ta sẽ có được một q trình Ornstcin-Ưhlcnbeck một tham số. Nghía là
nếu K = ưs.a+bs thì (l£, -co < s < co} là một quá trình Omstein-Ưhlenbeck.
Hệ quá 1.2.3. (Kolmogorov) (25, tr. 2731 Cho {Xpt E IfS} là một quá trình ngầu nhiên các giá trị thực. Giá sư răng có các hảng sổ k > 1, K > 0
và £ > 0 sao cho với mọi s, t G R:
k
+f
E(|xt — xs| } < K|t — s|” .
Khi dó
(i) X có một phiên bân liên tục.
(ii) Tồn tụi hăng số c và ỵ, chi phụ thuộc vào n, k và £, và một biến ngầu nhiên Y sao cho VỚI xác suất một, với mọi s, t e K:
2
|xt - xs| < r11 - s|í


9

và

E{F*} < CK.

(iii) Nêu E(|Ất|*} < co với một vài t nào đó thi
E Ịsup|Xt|* Ị < co.
<.«€»1 )

Hệ quả 1.2.4. [25. tr 274-275Ị Cho {x(,t E Rỵ} là một q trình Gaussian trung bình khơng và tập
2
p(w) = max _ lE{|Ất - xs| }z.
|s-e|s|u|Vn
1

Ncu Jo* ộog^y dp(u) < co , thì X có một phiên bân liên tục có module cùa A(<5) liên tục thỏa mãn
*1
A(
dp + Yp( S )
^
- '

trong đó c là một hàng số phố quát và Y là một biền ngầu nhiên sao cho

Tính chất 1.2.5. [25, tr. 275-2761 IV có một phiên ban liên tục với module cúa A(ố) liên lục thỏa màn
â(ố) < np(ỗ) + Kv'5,
trong đó Y lã mọt biển ngầu nhiên với IE ịeT* j < oo.

Hcm nừa, với xác suất một. VỚI mọi t 6 Rỵ ta có:
...... ..... W f+h-lVh
lim Slip——=----==< 16v2n.

Định lý 1.2.6. [25. tr. 276]
(i) lim sup T- , ■ = 1 hâukhăpnơi.
£-00 v'-»s‘loglogsf

(ii) lim sup I
M-0 (Uscloglogi

ty>t

= 1 hầu khăp nơi.


10

T
Định lý 1.2.7. [25, tr. 2771 Cho T là một điểm dừng hừu hạn yếu. Khi đó q trình {IV f , t G KỊ} là một chuyến động Brown ft biền không phụ
thuộc cùa TỊ- VỚI TỊ- = ơ[Ws:Sị < tị. ít nhất một giá trị i = 1,2}.
Tính chất 1.2.8. [25. tr. 280] cố định sữ. Khi đó. với xác suất một.
/7

lim sup

= vt

j2/iloglogỉ

với mọi r > 0.

Tính chất 1.2.9. [25, tr. 280-2811 cố định to > 0
2

và cho 5 > 0 là một biến ngầu nhicn là độ đo Tt với Tị, =

F(0.oo)x((ựo|- Già sử
lim sup

= 00

J2hloglogỉ

hầu khắp nơi với t = t0. Khi dó, giới hạn trên đúng với mọi t
ơ
s
> t0. Neu s là độ do (Wsỉ0’ - 0} thì giới hạn trcn đúng với

mọi t > 0.
1.3. Martingale

Định nghĩa 1.3.1. Cho X = (xf,yf, t > 0} là một
q trình khà tích thì X là một

(i) Martingale nếu E(Xr|Ji) = xs hầu chác chăn với mọi 0 < s
< t < co.

(ii) Martingale trên nếu E(XC|7\) < xs hầu chắc
chăn với mọi 0 < 5 < t < co.

(iii) Martingale dưới nếu E(XjíFs) > Xs hầu
chẳc chẩn với mọi 0 < s < t < oo.
Định nghĩa 1.3.2. Cho Xf là một quá trình trên

(ÍÌ.T, P). Ta định nghía biến phân bậc hai cũa xt bời
n

với 0 < t() < ••• < t„ tự ta định nghĩa hiệp phương sai cùa hai quá trình
n-1


11

Dịnh nghĩa 1.3.3. [25. tr 287| Cho (Ft) là một lọc liên (ục phái. Một quá
trinh Ị Mị (/1), Ft, t > 0,/l e J j là độ đo martingale nếu

(i)

Mữ(A) = 0;

2
(ii) Neu t > 0. Mt là một giá trị độ đo L ơ-hừu hạn;
(iii) {Aft(/4),Ff, t > 0} là một martingale.

Dịnh nghĩa 1.3.4. (25, tr 288J Một độ đo martingale M được gọi là trực giao nếu với mọi tập .4 và B rời nhau trong A , các martingale (Mr(4), t

> 0} và {MịCB), t > 0} là trực giao.
Nói cách khác. M là trực giao nếu (ích Af t(j4)Mt(F) là một martingale với mọi tập /1 và /> rời nhau.
Dịnh nghĩa 1.3.5. (Thòi client dừng)
Cho (íì,r, {?,),«. p). Biến ngầu nhiên r:íì -* IR gọi lã một thòi điểm dừng (stopping time) nếu r(<ư) > 0, Vúj e n và

oo,t]) e Tt với mọi t > 0.

1.3.6. Bất đang thức Burkholder-Davis-Gundy [26. tr. 3034-30351

z
Cho u = (IVJiici là một chuyên động Brown chuẩn, T là một thời điềm dừng cùa IV 'lon tại các hăng sổ dương Ap và ap chi phụ thuộc vào p

sao cho llUịllp á 4p||r

1Z2
1/2
1/2
||p nếu 0 < p < 00 và «p||t ||p £ ||lVT||p nểu 1 < p < 00 và ||t ||,1 < «>.

II Hp

Giá trị dương lốt nhất cho hằng sổ 4p và ap được xác đinh như sau

Ap = Zp, 2 < p < oo; Ap = zp, 0 < p < 2;

ap = Zp , 2 < p < co; Ap = Zp, 1 < p < 2;
trong đó Zp là khơng dirưng (positive zero) lớn nhất của hàm hình trụ parabol (parabolic cylinder function) Dp(x) và Zp là không dương bé nhất cùa hàm

chùm siêu hình học (confluent hypergeometric function) p(x).
Lý thuyết martingale có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lình vực cùa xác suất và giãi tích hiện dại. các bất dăng thức martingale dóng vai trị
quan trọng trong lý thuyết martingale Martingale liên tục là quá trình ngầu nhiên rất quan trọng liên


12

quan chặt chè đến chuyền động Brown, một vài tác giã thiết lập nhiều hắt đùng thức

quan trọng của martingale liên tục.
Cho M =

lã một martingale liên tục với Mo = 0. (M) là biến phân

bậc hai thiết lập bất đăng thức sau

l|MJ|p < Kựp p

trong đó B là một hàng số độc lập với p. Chú ý ràng các bất đang thức đối với chuyên động Brown có thế chuyên đỗi qua bất đang thức martingale thông qua
các dối số thay dối theo thời gian, ta có

nếu 0 < p < co,

Carlen và Krcc (1991) đã cung cấp thông tin rõ ràng VC hàng số. họ đà chứng minh ràng 2 là hàng số dương thích hợp nhắt không phụ thuộc vào p trong bất
dẩng

, 1 < p < oo.

p
Các bất đảng thức nêu trên đều sử dụng chuẩn l. giừa Mr và <>r* nhưng
p
người ta thường cần xem xét trên chuẩn L giữa MỊ và (Aí)r, trong đó
MỊ = sup|s|. Trên thực tế. với mọi 0 < p < 00 . tồn tại các hang số phổ quát
Cp và Cp sao cho với mọi martingale địa phương liên tục M dần về 0

< IIM;||P < Cp
Dày là những bất đảng thức Burkholder Davis Gundy nơi tiếng có tầm quan trụng lớn trong lý thuyết martingale.

Nhiều tác giá dă đánh giá các giá trị cua hăng số Cp và Cp, tuy nhiên các giá trị tốt nhất vần chưa được biết. Liptser vã Shriyaev (1989) đâ chứng minh các

bất

dâng thức
^eỊ(M>ỉ] . 0

13

1.4. Tốn tử tuyến tính
Định nghĩa 1.4.1. (Tốn tú tuyến tính khơng bị chận)
Một tốn tư tuyến tính khơng bị chặn trên không gian Banach Y dược xác định bởi cặp (A,D(AỴ) với D(A) là một không gian con tuyến tính cũa
Y và A là một ánh xạ tuyến tính từ D(A) c Y vào Y Không gian con D(A) được gụi là miền cua tốn từ A.
Nói cách khác, một tốn tứ tuyến lính khơng bị chận từ Y vào z được xác định bời cặp (4,D(4)) với D(A) là một khơng gian con luyến lính cùa
Y và A là một ánh xạ tuyến tính từ D(_A) c Y vào z.
Định nghĩa 1.4.2. (Tốn tú đóng)
Một tốn tứ tuyến tính khơng bị chặn (A,D(A)) trên Y là một tốn lữ đóng nếu đồ thị cùa nó 6'(À) = {(y, Ạy)|y e D(A)} đóng trong YxY.
Định nghĩa 1.4.3. (Nửa nhóm liên tục mạnh)

Một hụ các tốn tữ tuyển lính bị chặn (5(t)) ÍS0 Iren Y được gọi là mội nứa nhóm liên tục mạnh trên Y khi các điều sau xảy ra:
(i)

5(0) = /.

(ii)

Sịt + .0 = 5(0=5(.v) Vr 2 0, Ví £ 0,

(iii) lim||5(/)y- y||t. =0 với mọi yeP .

Định nghĩa 1.4.4. (Phần tú sinh vô hạn của một nứa nhóm)

Cho (5(t))tă0 là một nửa nhóm liên tục mạnh trên Y. Phẩn tư sinh vơ hạn của nửa nhóm (5(t)) t>0 là tốn tử khơng bị chặn (d. 0(A)) được xác
định bời.
í .... 5(t)y — y

ì

0(A) = S(t)y — y Ay = lim——Y—w y G D(Á).

Định nghĩa 1.4.5. (Nứa nhóm co)
Một nứa nhóm liên lục mạnh (5(c))íí0 trên Y là mội nữa nhóm co nếu:
||5(t)|| < l,Vt > 0.


14

1.5. Bien dổi Fourier
Định nghĩa 1.5.1. Cho f c £‘(R), hàm F định bới

F(/)=F(x) =/«“■/(»)—z
được gọi là biến đối Fourier cua /.
Định lý 1.5.2. Cho /,g G £' (R), eC. Khi đó, ta có:
(i) F(^/ + //s) = 2F(/)+//F(g),
(ii) F(/*g) = F(/)F(Ạ
,
(iii) sup|/ '(,v)|<||/||/ .

(iv) |F(.v)-F(y)|->() khi |x-y|->0.
(v) F(x)->0 khi |x| -> 50.
Định lý 1.5.3. Vởi r > 0. đặt f' (/) = í(rt). Ta có

F(rr)=F,W=lf(ii.
Định lý 1.5.4. Với «eR,đặt <(/) = /(/+«). Ta có
M
F(/J = F,(x) = e- F(.t).
Định lý 1.5.5. Cho /€£'(R) thỏa supp f c [-«;«]. Ta có F là hàm giãi
tích trên c.
Định lý 1.5.6. Cho dãy 1, hội tụ trong L (R). Khi đó, dồy {Fm}b u
hội tụ đều trên R.
Định lý 1.5.7. Cho /e£’(R) thịa tính chất f €£’(<) và / liên tục tuyệt
đối trên mụi khoảng hữu hạn. Khi đó F’(.v) = -ừF(.r).


15

Định lý 1.5.8. Neu / có đạo hàm bậc càng cao trong £ (R) thì F hội tụ VC

Định lý 1.5.9. Cho /e£‘(^). Neu Ị " tổn tại và /"e£‘(R) thì
F € £' (R).
Định lý 1.5.10. Cho f 6 £' (■?:) bị chặn, liên tục và F € £'(R). Khi đó ta có

?
Dịnh lý 1.5.11. (Plancherel) Với mọi f e£ (3). /v>o.tađặt

-N

Khi dó

(i) Fx [f ì hội tụ trong £ (R) đen một hàm F Í/Ị khi |V —>00. Hơn nừa

(ii) Neu f e£'(R)n£'(R) thì F{f] = F(f) h.hưèn K.
(iii) Đặt

«M')=p“rínw*
thì hội tụ trong £'(3t) đến f khi V ->x.

(iv) Toán tứ F là một đăng cấu từ /; (R) vào £ (R).

2
Hộ quá 1.5.12. Neu f € £ (R) và F € £'(K) thì

I*
!l
í e‘ F(x]dx với /t .h .X.

Dinh lý 1.5.13. (Dắng thức Parseval) Cho f 6 £’ (R). Ta có


16

1.6. Bất dáng thức Holder
Cho 5 là một không gian độ đo và 1 < p, q £ oo thỏa 7 + 7 = 1 (p, (/ liên V q
P
hợp Holder lẩn nhau). f € L (S) và g e
Khi đó. fg G L‘(S) và
11

?

11 f(x)g(x) dx| < Ợ|f(x)|i> dx) . ự|5(x)|’ dx)’.

1.7. Bổ dề Gronwall-Bellman
Bồ đề 1.7.1. Cho / (t) là hàm số khã vi trên ft. Neu
tồn tại các hằng số
0 thỏa f'(t) < cf(t) + k,vt E ft. thì la có
/(t) < /(í0) exp[c(t - t0)] + £ (exp[c(t - t 0)l - 1}, vt G ft.
Bố đề 1.7.2. Cho f(t),g(t) là các hàm số liên tục.
không âm trên ữ. Neu tồn
tại hàng số k > 0 thỏa /(t) < fl(t) + k fts) ds,Yt Ê ft, thì ta có
/(t) < ,ợ(t) + k í ,ợ(s)exp|k(t - s)J ds, vt e ft.
J
tữ
Hệ quá 1.7.3. Neu g(l) = a với a là hảng số. vt G ft
thì la có
/■(t) < aexp|k(t - t 0)J,Vt 6 ft.
1.8. Phương trình dạo hàm riêng hậc không nguyên
Định nghĩa 1.8.1. C^°(R) bleu thị tập hợp cua tất cà
các hâm trơn có giá
w
compact trên K và fp (x) biêu thị đạo hàm cấp k, k = 0, 1,2,....
Định nghĩa 1.8.2. Hàm Dirac dược xác định bơi
c/,n = (l nếuOe/1
5 (x) =
”
lo niu0«4Định nghĩa 1.8.3. [5, tr. 1766] Toán lừ VI phân Da
được gọi là toán tứ vi
phân phàn thứ VỚI các tham số a, ố nểu Da được xác định bới
2ĩ ni2
OỈ0M = p.«(x) = F-' j-|.|“e- ? F(0))(x).

với 8 < min{cr - [a], 2 + [er]2 “ Gt} và [erJ2 là số nguyền chần
lớn nhất be hơn
-1
hoặc bàng a. F và F lan lượt là các phép biến đôi Fourier và
Fourier ngược.


17

Z
Tốn tư Dầ là một tốn tư đóng, có tập xác định trù mật trong L (K) và là cãc phần tư sinh vỏ hạn cùa một nưa nhóm nói chung khơng dối
xứng và khơng phải là một nửa nhóm co [12].
Toán tử nảy tồng quát các toán từ vi phân phàn thứ trong (8, II. 15] với 0 < a < 2. Nó là hiển nhiên khi ỗ = 0 và trong trường hợp này. nó trùng
khớp với bậc phân thứ cua toán tir Laplace. Hiển nhiên, khi a = 2 thì nỏ chinh là (ốn tử Laplace. Hơn nữa, nỏ được chứng minh trong |4|, rằng khi s = 2 +

[a]2 - a hoặc ổ = a - [a]2 nó trùng với tốn tư vi phàn Riemann-Liouville. Bời 113|. D% có thề dược biêu diễn VỚI 1 < a < 2. bơi

và với 1 < a < 2. bời

trong dó Mi và là hai hằng so khơng ảm thoa mãn + Mị > 0 và Ì(-CÚ.O) và 1(0,+») là các hàm chi số cùa các khoáng (-CO.0), tương ứng, (0,+oo), và

một hãm trim mà các tích phân tồn tại. và (p' là đạo hàm cùa nó [4].
Định nghĩa 1.8.4. |1, tr. 14801 Phương trinh đạo hâm riêng bậc không nguyên với tiếng ồn trắng theo biến không gian và thời gian trong không
gian một chiều được xác định bới:
'đ,v_

V-»

M k
d ,

.
b
+ 2^ ữ^ kự’X,u(t,x))
N l
Z d '

____
t,x

'drdx

> O xếK
'
’ u(o,x) = u°(x),xéR.

trong đó Af. jV là hai số nguyên và các hệ số /) k và (Tị là những hàm đo được xác dịnh trcn [0, 00) X R X R và VK(t,x) là một chuyền dộng

Brown trên [0, oc) X R. ^^(í,x) thường dược gọi Là ticng ôn trâng theo biên không gian và thời gian, và u° là hàm ngầu nhicn xác định trên R.


18

Chirong 2
SỤ TỊN TẠI VÀ TÍMI DUY NHẤT NGHIỆM

2.1. Giới thiệu bài tốn
Xét phương trinh đạo hàm riêng bậc khơng nguyên ngầu nhiên

= Dauịf,x) +

+

> O,xdR,

(2,1
>

!t(o,x) = u°(x),xeR.
Trong phương trinh này. bk gụi là hộ số trôi. ƠỊ gọi là hệ số khuếch tán.
Ở đây chúng tôi đưa ra hai loại định nghía về nghiệm theo cách được giới

thiệu ban dầu bơi J. B. Walsh (25. tr. 2691; xem them [3, 12. 18].
Gọi P) là một không gian xác suất đầy đú và cho
{W(t,x),t > 0,x e R]
là một chuyển dộng Brown 2 biến (Brownian sheet) trên không gian xác suất này.
Xác định lọc 'Tt bởi:
7e = ơ{W(s,x): 0 < s < t,x e R}.
z
Khi đó (Vt (t,x), t > 0,x G 1R) tạo ra một độ đo martingale trực giao liên tục theo nghĩa cùa J. B. Walsh [25].
2.2. Hàm Green cúa bài toán
Giá sứ rang Ga(t,x) là hàm Green tương ứng với (2.1), tức là. nghiệm cơ bàn cúa bài toán Cauchy:

£ca(t,x) = xD'aGa(_t,x),t > o.x e R,

(22)

ốa(0,x) = ốo(x),

trong đó:
ơ’o biểu thị hàm Dirac.

X^ổtt(t,x) = F
a _w ,xma)
với sMK = -ui e ỉ
.

_1
{ ỏ^U)F{ổa(r,x)U};(t,x)},


19

Sau đó. Ga(t,x) có thể được biểu dicn bang cách sử dụng (ích phân Fourier:
Ga(t,x) = J exp{-í
Thật vậy. ta có
id „ z
= xDgGa(t,x),t > o.x e R, ứơ(O,x) = ốo(x).
xD$Ga(t,x) = F-\ ^aWF{Ga(t.xy,A}-,(t,x)}
Trong đó:

, n
M = -|;.|«e- ^ W

a iS sffn
wo
^(t.A) = xDỈGa(t,A) = -ỊAỊ e- 2 ^(t,A)t t > O.A e IR, Ổà((M) = J e*so(x) dx = e
=1.
£
Ta có:

Ằ
e^ Ga(t,X) dA.

Dặt w(t,A) = e

ipẢ

tó SflnW}
B _tó Stfn(A)
t
ỉ ,W>
Ga(t,A} dp. ta có w t(M) = -|A|“e" 2
0(M) => w f(M) + U| e ĩ
ív(U) = 0 => w ,(M)e wi“«'“ -

l ,| ỉ M
+ |A|«e-^W"«edAl*.-‘4’’’» (Ị>(u) _ 0 =>£ [>v(U)e' ' *’'“ ’’" ’] =0

=>

=c

=> w(t.Ả) = Ce-'W^"
Với t = 0. ta có: c = vv(O,Ấ) = 1.
Do đó

=0


20

Suy ra
G«(u) = £4

dp = ±4 e-^e-d^-^> dẲ.

, m
G.(M) = 2- í e-‘P*-‘W'- *‘'' di.
2n J
R
Hay

a (S n 2
Gữ(t,x) = £ exp{—tfx - t^\ e- ^ ^ ]dỊ

không đối xứng theo A, nhưng nó van có một số đặc tính tốt. Chăng hạn. nó thoa mãn
phương trinh Chapman-Kolmogorov vã trơn theo X với mỗi l > 0 cố định. v.v. Chúng tôi

giá định rằng giá trị ban đầu w° cùa (2.1) là Tữ -đo được.
2.3. Sự tồn tại nghiệm và tính duy nhất nghiệm

Định nghĩa 2.3.1. [1. tr. 1481] Một trường ngầu nhiên 'ĩt — thích nghi
(u(t.x),í > 0,x 6 K)
được gụi là nghiệm nhẹ của (2.1) VỚI giá trị ban đầu w° nếu u(t,x) thóa phương trình tích
phán sau

u(t,x) = ứa(t,x-y)u°(y)rfy
+

J J ■^Ga(t-s,x-y)b/((s,y,u(s,y))dsdy

Ắc® 0

ổ f sx
+ EỉíoC-l)' 4 4 ^ĩ a( - ' - y^i(s,y,u{s,yS)W(ds,dy) h.k.n, (2.3) trong đó ốft(í,x) là hàm Green được xác định bới (2.2) và

tích phàn ngầu nhiên đoi với iv(t,x) được hiểu theo nghía cùa J. B. Walsh [25].
Dịnh nghĩa 2.3.2. [5, tr. 1767] Cho 0 < 7’ <o> Một trường ngầu nhiên đo

được (u = u(t,x),t e [O,T],X e R)được gọi là một nghiệm nhẹ cúa phương trinh (2.1) trên đoạn [0,7'1, nếu VỚI mọi X G K. q trình (ư = u(í,x), t G [0,7'1) là

Tt —thích nghi và nếu u thơa món phng trỡnh tớch phõn
/ã+ô

u(t,x) =

G\(t,x y)(y)rfy +


21

+ ^(-l)

1
+ Sỉto(-l)'* Jỏ

với mọi t e [0,7] và X e R.

k+1

Ị ị bk(s,y,u(s,y)y^(t - s,x - y)dyds

-s,x- y)W(dy,ds), (2.4)

ơ.y) làn lượt là đạo hàm riêng bậc k

và I của ca đối với biến không gian.
Trường ngầu nhiên (u = u(t,x), t > 0,x e R} được gọi là một nghiệm nhẹ cua phương trinh (2.1) nếu, với mọi 0 < T p
IR } lã một nghiệm nhẹ cùa (2.1) trên đoạn [0.7]. Hơn nữa. một nghiệm nhẹ tống quát dược gụi là L (n) -bị chặn với một số p > 1 nếu, với mọi 7 > 0. sup
p
supE|u(t,x)| «».

ostir xề
Định nghĩa 2.3.3. [1, tr. 14X1] Trường ngầu nhiên .7, - thích nghi (u(t, x), t > 0, X G R) dược gọi là nghiệm yếu cùa (2.1) nếu với bẩt kỳ hàm
thừ nào

í u(t,x)
Jr

Jr

I

u(s, x)'ĩ)‘a(p(x)ds dx

M

.

+ V(-l)* í [ bk(s,x,u(s,x)) J°
f
(0
+ Xíío(-l)'Jfì 4 ơ/(s,x,u(s,x))ợ> (x)lV(ds,dx) h.k.n, (2.5) trong đỏ Da biểu thị toán tứ kép của Da, c™(R) biểu thi tập hợp cùa
w
tất cã các hàm trơn có giá compact trên K và ự> (x) biếu thị đạo hàm cấp k. k = ữ. 1.2.....
Dịnh nghĩa 2.3.4. [1, tr. 1481] Ta nói rằng hộ (2.1) có nghiệm nhọ (yếu) duy nhất nếu đói với bất kỳ hai nghiệm nhẹ (yếu) u(t,x) và ũ(t,x) cùa
(2.1), la có u(t, x) = ũ(t, x) hầu khắp nơi, với mọi I > 0, X e R.


22

Bổ đề 2.3.5.15, ư. 1768] Cho a e (0, +a>)\N.
(')/*“ G„(t,x)dx = 1.

(ii) Ga (t, x) là số thực nhưng nơi chung khơng đổi xứng theo X và có thê âm.
(iii) Ga(t,x) thoa mãn cúc tinh chât cùa nưa nhóm , hoặc phương trình Chapman Kolmogorov, nghĩa là cho 0 < s < t
Ga(t + s,x)=í Ca(t,OGa(s,x-Cd<.
*—00

(iv) Cho 0 < a < 2, hàm Ga(t,.) là hàm mật độ cùa một quả trình ồn (lịnh

Lẻvy trong thời gian t.

(v) Với t cồ định. Ga(t,.) e s°° = {/ € C” và / bị chận và dằn về 0 khi |x| (lần về 00, V/? e [&+)■
(vi) Sr(tx) = í 77^(1.01 _A. với mọi n > 0 (khi n = 0, MĨ
Ịsxt a

dược gọi là linh chất ty lệ).

(rá) Gf (Ì.x) = Ịs;.,|x|-«/-««>í^±r(a/ + (+ I)siný!2i2„ + 0(|x|-‘

t(n+1 - /+1
) ( >), Ẳ7ú |x| dà lởn. trong đò G„\ỉ,.) là dạo hàm cùa bậc l cùa Ga(l,.).

Chứng minh.
Chứng minh các tính chất (i)-(vi) có the tham kháo trong tài liệu [5].
Ta chứng minh (vii). Chi cần chứng minh tính chất này cho hàm G„(l,x)

khi X > 0 Thật vậy, khi X < 0, ta sir dụng cùng một phép tính với -6 thay cho 8. và lính tốn cũng đúng cho các đạo hàm nhờ vào biếu diễn
4 /• + 00

JT

1

a _ió ií,nW
G^d.x) = ^j (-ĨÀ)' exp [-Ux - |Ấ| e 2
] dẢ.

Chúng tôi quan tâm đến trưởng hợp a > 2. trường hợp 0 < a < 2 cỏ the được suy ra từ 114. 23]. Tữ biểu thức (2.2), hàm G„(l.-) có thể được viết
như sau

ổa(l,x) =^ỉrỊJ exp

l
-ĨẢX - Ầ“e~ 2

-ráĩl